LICEO SCIENTIFICO ESEDRA

PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2010/11

MATEMATICA PROF. Marchi Francesco CLASSE V LS

Metodologie didatticheL'attività didattica si è basata su lezioni frontali in cui si è cercato di incentivare, non sempre con successo, una partecipazione continua da parte degli studenti. La partecipazione degli alunni e la preparazione raggiunta sono state continuamente monitorate tramite domande, esercitazioni in classe (peer-tutoring), esercizi svolti alla lavagna. Le valutazioni si sono basate su: domande poste agli (e poste dagli) studenti durante le lezioni; interrogazioni alla lavagna, prove scritte, simulazioni (in numero di due) della seconda prova dell'Esame di Stato.

Materiali didattici• Appunti delle lezioni: costituiscono il riferimento principale del corso. • Libro di testo in adozione (Sasso, "Corso di matematica a colori", vol. 3, Petrini):

principalmente come fonte per gli esercizi assegnati• Materiali didattici forniti all'occorrenza dal docente e messi a disposizione degli studenti sul

blog www.francescomarchi.wordpress.com

Programma svoltoDiverse lacune nella preparazione complessiva della classe hanno suggerito di svolgere il programma secondo precise direzioni.Da un lato, la scarsa (o comunque incerta) familiarità con le proprietà algebriche e grafiche delle funzioni elementari ha suggerito di trattare i vari concetti del calcolo e dell'analisi principalmente attraverso esempi relativi a funzioni algebriche.Dall'altro lato, il programma svolto è stato principalmente indirizzato verso il calcolo (dei limiti, differenziale, integrale) e verso le sue applicazioni (tanto allo studio di funzione, quanto al calcolo di aree etc.). Per contro, si è scelto, sempre in sintonia con l'approccio generale, di ridurre al massimo la trattazione di aspetti propriamente fondamentali dell'analisi (topologia dei numeri reali; definizioni rigorose di limite, derivata etc.; teoremi). In ogni caso, tale trattazione, laddove è stata proposta, ha sempre seguito una trattazione più informale dei vari concetti.Inoltre, ogniqualvolta è stato possibile, si è cercato di porre l'accento non solo su aspetti “algebrico-numerici”, ma anche “grafico-geometrici” delle varie questioni affrontate.

Qua di seguito è riportato il programma svolto alla data odierna. In rosso, le parti ancora da trattare.

Calcolo

1. Calcolo "algebrico" elementare1. Composizione di funzioni2. Scomposizione di funzioni in somma, prodotto, quoziente, composizione di funzioni

elementari2. Limiti

1. Algebra degli infiniti2. Forme indeterminate3. Algebra dei limiti4. Ordini di infinito/infinitesimo e principio di soppressione di infiniti/infinitesimi5. Limiti di funzioni algebriche razionali che si presentano nella forma 0/0 o ∞/∞:

soluzione tramite principio di soppressione di infiniti e infinitesimi6. Limiti di funzioni algebriche irrazionali che si presentano nella forma 0/0 o ∞/∞:

soluzione tramite razionalizzazione e principio di soppressione di infiniti e infinitesimi7. Limiti delle funzioni composte8. Limiti cosiddetti notevoli e limiti da essi deducibili

3. Derivate1. Derivate delle funzioni elementari2. Derivate delle funzioni composte3. Algebra della derivata

4. Integrali1. Integrali immediati2. Algebra dell'integrale3. Integrazione tramite decomposizione della funzione integranda4. Integrali delle funzioni composte5. Tecniche di integrazione: cambiamento di variabile, integrazione per parti, integrali

delle funzioni razionali fratte

Studio di funzione e "connessioni algebrico-grafiche"

1. Rappresentazione di una funzione "per punti", a partire dalla sua espressione analitica2. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche: analisi grafica3. Funzioni pari e dispari: analisi grafica4. Limiti e continuità

1. Significato grafico del limite di una funzione2. Limiti delle funzioni elementari (discussione grafica)3. Definizione informale di funzione continua

5. Studio di funzione1. Dominio, simmetrie, segno, intersezioni con gli assi2. Asintoti (orizzontali, verticali, obliqui)3. Intervalli di monotonìa e punti estremanti4. Intervalli di convessità e punti di flesso

6. Relazione tra integrale definito ed area

Teoria e definizioni

1. Definzioni generali1. Definizione di funzione2. Funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca3. Inversa di una funzione data4. Definizione del concetto di operatore

5. Calcolo dei limiti e continuità1. Teorema di unicità del limite2. Esempi di funzioni che non ammettono limite3. Funzione infinitesima e infinita in un dato punto4. Relazione tra limite destro, sinistro e limite tout court5. Asintoto verticale, orizzontale, obliquo6. Tipi di discontinuità7. Definizione di limite di una funzione in termini di ε-δ8. Teorema di esistenza degli zeri9. Teorema di Weierstrass

6. Calcolo differenziale1. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy

7. Calcolo integrale1. Funzione integrale e sua derivazione 2. Teorema fondamentale del calcolo integrale3. Teorema della media

Applicazioni e complementi

1. Calcolo dei limiti e continuità1. Definizione del numero di Nepero come limite2. Determinazione di soluzioni approssimate di un'equazione tramite il metodo di

bisezione2. Calcolo differenziale

1. Classificazione sistematica dei "punti notevoli" di una funzione sulla base del segno di derivata prima e seconda nel punto medesimo

2. Problemi di ottimo3. Determinazione delle tangenti ad una curva in un punto assegnato4. Misura di angoli formati da rette o curve in un dato punto 5. Il teorema di de l'Hopital per il calcolo dei limiti

3. Calcolo integrale1. L'integrale definito

1. Proprietà algebriche (linearità)2. Linearità rispetto agli estremi di integrazione3. Inversione degli estremi di integrazione

2. Determinazione di lunghezze1. Determinazione della lunghezza di un arco di curva

3. Determinazione di aree1. Area compresa tra una funzione e l'asse delle ascisse2. Integrazione di funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici rispetto

all'origine3. Area compresa tra due funzioni4. Area compresa tra più funzioni (integrale lungo un percorso chiuso)

4. Determinazione del volume di solidi di rotazione1. Rotazione attorno all'asse delle ascisse2. Rotazione attorno all'asse delle ordinate

Verso l'Esame di Stato

Il modulo è stato dedicato al ripasso di una selezione di argomenti presi dal programma di tutti e cinque gli anni. I criteri che hanno guidato il docente nella selezione sono stati:

• Ricchezza di collegamenti con altri argomenti• Frequenza con cui gli argomenti sono apparsi negli anni precedenti come oggetto di

problemi o quesiti nella seconda provaQua di seguito gli argomenti trattati in tale modulo:

1. Funzioni elementari: classificazione, grafico cartesiano, proprietà algebriche2. Definizione generale di (curva) conica3. Classificazione di funzioni, curve, coniche4. Determinazione dell'equazione di una conica che soddisfa date condizioni (passaggio per

dati punti, vertice di coordinate note, misura della corda staccata su una data retta...)5. Determinazione dell'equazione di curve che soddisafano date condizioni su estremanti,

passaggio di punti, presenza di flessi etc.6. Calcolo combinatorio7. Calcolo delle probabilità8. Problemi che richiedono l'introduzione di incognite e/o la discussione

1. Problemi di geometria analitica2. Problemi di goniometria e trigonometria

Lucca, 7 aprile 2011 Il docenteProf. Marchi Francesco