LICEO CLASSICO “SANTA TERESA DI GESU‟” Roma

LA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO:

MEDIA ED ESTREMA RAGIONE

Siamo studenti del 2' e 3' liceo classico dell'Istituto. Santa Teresa di Gesù, e il nostro obiettivo in

questa presentazione è quello di approfondire ciò che spesso si tende a giudicare come un concetto

di natura geometrica fine a se stesso: la sezione aurea.

Abbiamo deciso di prendere in esame questo argomento a causa della sua straordinarietà; alla

sezione aurea sono infatti associati l'equilibrio, la proporzionalità, l'armonia, ma questa è a sua volta

legata a contesti del tutto estranei a quello matematico, ed è questo il motivo che ci ha spinti ad

analizzarne tutti gli aspetti.

In filosofia ha grande importanza tra i Pitagorici, tanto che lo stesso Pitagora lega la sezione aurea

alle terne pitagoriche.

In ambito artistico è presente in molte opere architettoniche, come nella facciata del Partenone ad

Atene, e in numerosi affreschi celebri, come la Gioconda, l'Ultima cena, la Nascita di Venere.

Per quanto riguarda la musica, la sezione aurea fu utile a Debussy nella scansione del tempo delle

sue composizioni.

Inoltre, per quanto possa sembrare strano, la sezione aurea fa parte della nostra quotidianità, e a

testimonianza di ciò abbiamo infatti le scale a chiocciola e le carte di credito sulle quali è applicata

sempre la proporzione aurea.

Iniziamo con una massima di Keplero in merito alla sezione aurea:

“La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l’altro è la sezione aurea di un

segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d’oro, il secondo lo possiamo definire un

prezioso gioiello.”

Dividere in estrema e media ragione una retta terminata data “Prop. 30 di Euclide libro VI

La sezione aurea è quella parte di segmento media proporzionale tra l‟intero segmento (a) e la parte

rimanente (x). Si può scrivere la seguente proporzione definita “divina” per indicare il carattere

“superiore” di tale numero e si svolge con una normale equazione moltiplicando medi ed estremi

6180339887,115

21

2

15

1

2

15

2

)15(

2

52

5

2

5

2

5

2

)1)((4

2

4

2

02

)(

)(::

2222

2,1

22

22

2

a

a

a

aa

aa

aaaa

a

aaa

a

acbb

a

bx

axx

axax

xaax

xaxxa

Quest‟ultimo è invece il rapporto aureo, il rapporto, cioè, tra l‟intero segmento e la sua sezione

aurea. Si indica con un numero irrazionale, non rappresentabile quindi come frazione di numeri

interi, e algebrico, soluzione di un‟equazione polinomiale a coefficienti interi.

Può essere approssimato con maggior precisione dai rapporti fra due termini successivi della

sequenza di Fibonacci.

E‟ chiamato numero di Fidia dall‟iniziale dello scultore e architetto greco che interpretò al meglio

gli ideali della classicità (Atene 490-430 a.C.); egli eccelleva nella perfezione formale, nella

plasticità e si basava su ideali di eterna bellezza. Fu colui che diede vita a molti progetti in età

periclea, supervisionò, infatti, la costruzione del Partenone e rappresentò nudi. Ma rimane noto al

giorno d‟oggi per la realizzazione e la sistemazione dell‟Acropoli.

Costruzione della sezione aurea di un segmento

Si dice sezione aurea di un segmento quella parte del segmento (la maggiore), che è media

proporzionale fra l‟intero segmento e la rimanente parte (la minore).

- Tesi:

Se il punto E divide il segmento AB in due parti tali che si abbia: AB : AE = AE : EB, diremo che

AE è la sezione aurea del segmento AB.

- Costruzione della sezione aurea di un segmento:

Dato il segmento AB, si conduca per l‟estremo B la perpendicolare ad AB, si stacchi sulla

perpendicolare un segmento OB = (AB/2).

Con centro in O e raggio OB si descriva una circonferenza, si tracci da A una secante che passi per

il centro O e intersechi la circonferenza nei punti C e D.

Con centro in A e raggio AC si descriva un arco che intersechi AB in E.

Il segmento AE è la sezione aurea del segmento AB.

Infatti per il teorema della tangente e della secante si ha:

AD : AB = AB : AC.

Applicando la proprietà dello scomponendo:

( AD – AB ) : AB = ( AB – AC ) : AC.

Ma siccome è AB ≡ CD e AC ≡ AE, si ha pure AD – AB ≡ AD – CD = AC ≡ AE e

AB – AC ≡ AB – AE = EB; la proporzione diventa sostituendo, AE : AB = EB : AE, da cui per la

proprietà dell‟invertendo (invertendo i rapporti) si ottiene: AB : AE = AE : EB che dimostra la

proprietà della sezione aurea del segmento AB

Pertanto la sezione aurea è dunque la parte di un segmento AB, AE media proporzionale fra l‟intero

segmento e la rimanente parte EB; cioè :

AB : AE = AE : EB

IL RETTANGOLO AUREO

Si chiama rettangolo aureo il rettangolo avente un lato che è sezione aurea dell'altro.

Se ABCD è un rettangolo aureo, si ha, per definizione,

AB : AD =AD : (AB - AD) (1)

o anche, prendendo, su AB, AM ≡ AD, AB : AM = AM : MB.

Se sul lato maggiore AB del rettangolo aureo ABCD, esternamente al rettangolo, si costruisce il

quadrato AEFB, si ottiene un nuovo rettangolo aureo EFCD. Infatti per la proprietà del comporre

applicata alla (1), si ha

(AB +AD) : AB = [AD +(AB - AD)] : AD

cioè (fig. 35), essendo AB ≡ AE,

DE:AB = AB:ADDE:AE = AE:AD

e resta così dimostrato, essendo AE ≡ EF, che il lato minore EF del nuovo rettangolo EFCD è la

parte aurea del lato maggiore DE.

Ripetendo più volte tale costruzione, si ottiene una successione di quadrati, ognuno dei quali ha il

lato che è sezione aurea del lato del quadrato successivo. Costruendo in ogni quadrato un arco di

circonferenza come indicato nella figura, si ottiene una curva, detta, se pur impropriamente, spirale

logaritmica. Tale curva si ritrova in natura, ad esempio nella conchiglia del Nàutilus.

LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI

La successione di Fibonacci è una successione di numeri che, partendo da 0 e 1, si ottengono

sommando i due termini precedenti

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Si può osservare che, se si divide ogni termine, a partire dal terzo, per il precedente, la successione

dei rapporti tende al rapporto aureo.

Infatti, se scriviamo la successione dei rapporti a partire dal terzo termine, si ha

1; 2; 1,5; 1,6; 1,6; 1,625; 1,61538...; 1,61904...; 1,61764...; 1,61818...;

da cui si vede che i valori dei rapporti si avvicinano sempre più a 1,61803... che è il valore del

rapporto aureo.

Nell'esempio precedente di costruzione della spirale logaritmica, la successione dei lati dei quadrati

si ottiene come quella dei numeri di Fibonacci, partendo dai lati di un rettangolo aureo, anziché da 0

e 1, e ottenendo ogni termine dalla somma dei due precedenti.

Musica e matematica

Al contrario di quanto si immagina comunemente la musica, almeno in origine, ha avuto forti

legami con la matematica. Per esempio Pitagora, oltre che grandissimo matematico dell‟antichità, è

stato anche il primo vero teorico musicale; nel medioevo, invece, la matematica figurava tra le

materie di indirizzo scientifico. Per quanto riguarda la sezione aurea, qualcuno ha fatto anche

notare, non senza ironia, che persino la forma dell‟orecchio umano ricorda molto una spirale

logaritmica.

Violino

Nel caso del violino alcuni molti sono del parere che l‟abilità del liutaio consista nel costruire lo

strumento secondo alcune geometrie; per esempio l'arco che ne costituisce la base ha spesso il suo

centro di curvatura proprio in posizione aurea rispetto alla lunghezza complessiva dello strumento.

Si hanno testimonianze che lo stesso Stradivari rispettasse questa proporzione.

Pianoforte

Nel pianoforte, invece, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo con

parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci. I tredici tasti delle ottave (un‟ottava è la

distanza tra due note che hanno lo stesso nome), sono distinti in otto bianchi e cinque neri che a loro

volta sono divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno. 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla

successione di Fibonacci.

Analisi Musicologica

Prima dell‟8-900 l‟uso della sezione aurea nella composizione è per lo più involontario. Nel 1950 J.

H. Douglas Webster con un articolo su Music&Letters apre la strada allo studio della sezione aurea

nell‟analisi musicologica. Il più grande esperto e studioso del settore fu Erno Lendvai.

Béla Bartòk - Sezione “A-B” del terzo tempo della “Musica per archi, percussioni e celesta”

“L‟aspetto ritmico della musica di Bartòk mi interessa moltissimo, al punto che vorrei studiare a

fondo la sua applicazione della Sezione Aurea” (Sofia Gubajdulina, compositrice). Il brano consta

di 15 misure in 4/4 cioè in totale 60/4. I primi 14/4, occupati da un episodio introduttivo, durano 15

secondi; altri 30/4 da un‟esposizione tematica di 34 secondi; infine gli ultimi 16/4 da un‟episodio

risolutivo di 12 secondi, di transizione al tema successivo. Con la dovuta approssimazione

richiamano i numeri di Fibonacci 13,21,34.

Claude Debussy – “La cathédrale engloutie”, preludio per Pianoforte

Debussy era molto attratto dall‟uso in musica della sezione aurea, che lui chiamava divine nombre.

Nel brano si hanno in totale 89 battute di cui: le prime 68 hanno un tempo doppio delle restanti 21

(cioè dopo battuta 68 il brano rallenta il tempo della metà). Così all‟ascoltatore sembra che le

battute di questa prima sezione siano 34, e che il brano abbia una lunghezza di 55 battute.

21,34,55,89 sono tutti numeri di Fibonacci.

Genesis – “Firth Of Fifth”, dall’album “Selling England by the Pound” (1973)

La sezione aurea viene utilizzata talvolta anche nella popular music, riprendendone in alcuni casi i

significati esoterici. Nel pezzo “Firth Of Fifth” dei Genesis, considerando il numero di battute o di

note, vi sono molte analogie con la serie Fibonacci (55, 34, 144...); considerando l‟unità più piccola

di tempo, la struttura ricorrente è 30,30,60,90,150,240,390, ovvero i primi 7 valori della serie di

Fibonacci moltiplicati per 30 (1,1,2,3,5,8,13).

Terne pitagoriche

Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali x, y, z tali che x2 + y

2 = z

2

Esiste un legame tra le terne pitagoriche e i numeri di Fibonacci scoperto da Charles Raine:

presi 4 numeri di Fibonacci consecutivi, indicati rispettivamente con a, b, c, d.

x=ad

y=2bc

Risulta che la somma dei loro quadrati è un quadrato perfetto.

x2 + y

2 = z

2

Possiamo considerare la terna una terna pitagorica.

Inoltre, quattro numeri di Fibonacci consecutivi, il prodotto del primo col quarto è sempre pari al

prodotto del secondo col terzo aumentato o diminuito di 1.

ad=bc±1

Esempio: a=2, b=3, c=5,d=8.

2∙8=16

2∙3∙5=30

16²+30²=

=256+900=

=1156=

=34²

16 =15+1

La costruzione di un compasso aureo

Il compasso aureo è uno strumento semplice che ci si può costruire facilmente da soli: esso ci

permette di tracciare segmenti che mantengano fra loro la proporzione aurea, oppure di determinare

se due segmenti hanno fra loro detta proporzione.

Basta infatti tagliare due strisce di cartone o di legno, con le due estremità appuntite, di 2 cm di

larghezza e 34 cm di lunghezza, nelle quali faremo un foro a una distanza di 13 cm da una delle

estremità. Perciò uniamo i due fori con un chiodo.

Il compasso ottenuto è diviso in due parti, una di 13 cm e una di 21 cm, due termini consecutivi della

successione di Fibonacci il cui rapporto è ϕ; è quindi un compasso aureo.

Per verificare se due segmenti sono in rapporto aureo, basta aprire un'estremità fino a che questa

coincida con il segmento minore, e, senza variare l'apertura dei bracci del compasso, porre l'altro

estremo sul segmento maggiore; se coincide con la sua lunghezza, i due segmenti sono in

proporzione aurea.

La sezione aurea in architettura: Fidia e il Partenone, Gaudì e la scala a chiocciola

Già in età greca venne introdotta la proporzione divina: ogni opera e costruzione è stata pensata in

funzione dell‟uomo e delle sue necessità. Utilizzare la sezione aurea per l‟uomo greco significava

realizzare un tempio, in questo caso il Partenone, in cui l‟equilibrio tra le parti garantisse il suo

rapporto con le divinità. Era importante, quindi, non costruire un “blocco chiuso” ma innalzarlo e

aprirlo all‟ambiente esterno: ogni parte doveva essere proporzionale ad un‟altra.

Il bello, secondo i greci, crea un'emozione perché la bellezza tende alla perfezione e la perfezione è

divina e ed è per questo che tale rapporto viene definito “aureo”, divino, come gli dei perfetti che

campeggiavano sull‟Olimpo. Il fine era sempre quello di conferire agli edifici l'idea di equilibrio e

perfezione, di raggiungere l‟Armonia universale, ossia come perfetto equilibrio tra l‟opposizione

dei principi.

Gli architetti e gli artisti greci facevano largo uso dei rettangoli aurei. Se da un rettangolo aureo si

taglia poi un quadrato, anche il rettangolo che rimane è un rettangolo aureo. Questi erano usati per

disegnare la pianta del pavimento e della facciata dei templi, come appunto il Partenone,

sull‟Acropoli di Atene.

La pianta, infatti, è un rettangolo con lati aventi dimensioni tali

che la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentre

nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più volte.

La facciata, come si può ben vedere in figura, è un rettangolo

aureo. Le altre linee nel mezzo indicano una peculiarità del

rettangolo aureo: se da esso ne togliamo un quadrato di lato pari

all‟altezza, la parte rimanente è ancora un rettangolo aureo.

Lo scultore greco Fidia fu il primo a servirsi della divina

proporzione, inserendola nel Partenone, non solo nella pianta e

nella facciata, ma anche in alcuni particolari, come le Cariatidi,

con proporzioni fisiche auree, che reggono l‟Eretteo, altro tempio

presso l‟Acropoli ateniese. La cariatide è inscritta in una serie di

rettangoli nei quali il rapporto tra altezza e lunghezza è un

rapporto aureo. Utilizzando la proporzione aurea, per suddividere

ripetutamente un rettangolo, otteniamo i punti per tracciare la

"spirale aurea".Piazzando i soggetti lungo la spirale compositiva, è

possibile attivare l'occhio dello spettatore che tende naturalmente

verso i punti di contrasto di colore o di luminosità.

Un esempio sono le scale costruite da Gaudì nei suoi palazzi e

nella Sagrada Famiglia. Le scale di accesso alle torri della

Cattedrale costituiscono uno splendido esempio di elicoide

leggermente conico che percettivamente viene letta, sia dall‟alto

sia dal basso, come una splendida spirale logaritmica.

Una scala a chiocciola nella Sagrada Familia di Gaudì

LA STELE DEL RE GET

Ars sine Scientia nihil est: l‟arte senza la Scienza è nulla. La

celebre frase fu pronunciata nel 1399 dal Maestro Giovanni

Mignot, architetto parigino, chiamato a Milano per valutare

l‟opera della fabbrica del Duomo. Si accese una disputa con le

maestranze locali sulle proporzioni da dare ai contrafforti in

rapporto al tipo di pietra usata, e nel corso della disputa il

Maestro Mignot pronunciò questa celebre frase, in cui «arte»

significa tecnica e «scienza» indica la geometria. Mignot non

intendeva certo affermare nulla di nuovo, si limitava a ribadire

una sapienza custodita da secoli che già echeggiava nell‟unico

frammento dello scultore Policleto che la storia ci ha restituito:

«l‟arte si ottiene con molti numeri e badando ai minimi

dettagli».

L‟unico modo per documentare l‟uso di teorie geometriche

nell‟arte è quello di impugnare squadra e compasso per

individuare se l‟opera è frutto di un sistema coerente. Circa la

stele del re Get osserviamo che la sua limpida scansione sembra

scaturire dalla sezione aurea, che si intravede soprattutto nel

rettangolo che circoscrive il palazzo e il glifo del re: il serpente.

Nella stele, proveniente da Abido e oggi al Louvre, è iscritto il

nome del re Get, della prima dinastia e indicato col serpente, sul

quale è il falco del dio Horus.In età antica, almeno nel mondo

greco, la simmetria indica solamente, che l‟opera è costruita con

lo «stesso metro», ovvero con lo stesso modulo.

Una semplice proporzione armonica come 1:2, „asimmetrica‟ per il mondo moderno, è invece

perfettamente „simmetrica‟ nel mondo antico: perché è commensurabile con lo stesso modulo.

Una concezione dinamica della simmetria, dunque, di cui la stele del re Get è squisita e sapiente

testimonianza: si osservi nell‟immagine sottostante come la mediana della stele scandisca il ritmo

delle colonne secondo un ritmo armonico d‟ottava,o1:2. In realtà il modulo che informa la stele non

è aureo, ma deriva da un processo chiamato dinamizzazione del quadrato: proiettando la sua

diagonale si ottiene un rettangolo il cui lato maggiore è pari alla diagonale del quadrato originario.

Questo processo, che può essere ripetuto ottenendo rettangoli in radice di 2, 3, 4, è tipico degli

avori tardo romani, dei fregi bizantini e delle composizioni medievali. La stele di Get ci offre

dunque un precedente storico di rilevante interesse. Si tratta di una composizione i cui rapporti

vengono tutti stabiliti mediante archi di cerchio e proiezioni dei loro raggi. Tuttavia anche la

proporzione aurea vi svolge un ruolo non secondario: sia nell‟assetto di Horus che nel rettangolo del

Palazzo; il rettangolo in cui ondeggia il serpente è in rapporto aureo col quadrato costituito dal

palazzo: il re è la parte „aurea‟ della terra regale; agli Egizi non sfuggivano le proprietà correlate

alla Sezione Aurea: fattore costante e armonico di crescita.

Ciò significa dunque che l‟arte egizia già padroneggia

con eleganza sistemi compositivi piuttosto articolati,

capaci di armonizzare le proporzioni dinamiche con le

auree e con le armoniche. Cosa tutt‟altro che semplice se

si considera che le proporzioni auree e dinamiche sono

irrazionali, governate cioè da numeri infinitesimali,

mentre le armoniche sono razionali, basate invece su

numeri interi.Tra gli aspetti peculiari della stele

l‟equilibrio dinamico, ottenuto attraverso il sapiente

spostamento dell‟asse della composizione; il rapporto tra

micro e macrocosmo, tra cielo e terra, sottolineato

dall‟uso di rettangoli di medesime proporzioni per la

stele e il palazzo del re; la sorprendente derivazione del

rettangolo che circoscrive il Palazzo e il Re da due

intersezioni apparentemente secondarie, che nondimeno

dobbiamo considerare come «emanazioni» di Horus;

infine l‟uso della «tavola tripartita», ancor oggi gioiello

del Maestro nella massoneria simbolica: segno

inequivocabile che per millenni è stato uno dei segreti

del mestiere. Quando ancora il mestiere era mysterium.

L‟anonimo scultore egizio che scolpì la stele del Re Get è partito, come è frequente nei secoli

successivi, da un quadrato. I modi di costruzione regolare del quadrato utilizzati sono in genere due:

la sua inscrizione in un cerchio, o il suo sviluppo a partire da un lato. In questo caso è probabile che

le dimensioni della stele abbiano indotto a costruirlo dal lato CD. Proiettati due archi di cerchio con

raggio pari a CD, e due verticali da C e D, si determinano i punti A e B. Il formato della stele risulta

da una dinamizzazione di questo quadrato originario ABCD: puntando il compasso in C e D con

raggio CA e DB si determinano i punti F ed E di un rettangolo in radice di 2 (d‟ora in poi V2): se

assumiamo che il quadrato abbia misura 1, la sua diagonale, per il teorema di Pitagora, sarà pari a

V2 . Poiché il rettangolo EFCD ha come lato minore quello del quadrato, e come maggiore la

proiezione della diagonale, è detto rettangolo V2.

Dal rettangolo EFCD lo scultore ha proiettato le diagonali CE e DF, ottenendo l‟intersezione G che

fissa l‟altezza della stele. È molto probabile che lo scultore si sia avvalso anche della sezione aurea.

In questo caso, puntato il compasso sulle mediane M ed N del quadrato ABCD con raggio NA e

MB, ha ottenuto i punti H e I. Si noterà che l‟intersezione degli archi AI e BH, il punto L, è stato

proiettato su IC ottenendo il punto S, che funge da base per l‟arco di chiusura della stele. L‟arco AI

determina l‟altezza di Horus, e la diagonale CA l‟estremo per la coda. Sull‟asse LS è impostato il

suo vigile occhio. Le zampe si stringono tra la mediana GP e la sezione aurea QR. Per determinare

questa misura lo scultore, dal rettangolo aureo HICD, puntato il compasso con raggio HA, ha

ottenuto il punto Q e quindi il quadrato aureo HQRA (è «aureo» perché è in proporzioni auree con il

quadrato maggiore ABCD).

Sorprendente è il sistema d‟individuazione del

rettangolo, su cui poggia Horus, con il Palazzo Reale e il

serpente. Dall‟intersezione dell‟arco BE con la diagonale

DF del rettangolo V2, lo scultore ha tratto il punto H, e il

punto I dalla intersezione dell‟altra diagonale CE con il

lato AB del quadrato di base. H e I, proiettati su CD,

determinano i punti M ed N dai quali lo scultore ha

ricavato il quadrato STMN. Questo quadrato è stato

dinamizzato col medesimo sistema: puntando su M ed N

con raggio MS ed NT, ha ottenuto il rettangolo V2

UVMN. Quindi con le diagonali MU ed NV ha

determinato il rettangolo XYMN V3 che circoscrive

Palazzo e Re. Sull‟asse UV del rettangolo V2 è stato

impostato il serpente. L‟analogia non è casuale: sia il

glifo del re Get, rappresentato dal serpente, sia Horus,

suo omologo celeste, sono impostati sul rettangolo V2.

La corrispondenza tra cielo e terra non potrebbe essere

più netta. Lo scultore utilizza anche la «tavola

tripartita», ovvero il sistema di divisione tripartito dei

lati d‟un quadrato che genera una scacchiera di nove

caselle.

Il quadrato minore ABCD, diviso dalle due diagonali CA e DB, viene scandito dalle oblique che

congiungono l‟angolo con la mediana del lato opposto, come per esempio BE ed EC. L‟intersezione

di queste oblique con le due diagonali consente di individuare quattro punti che possono essere

attraversati da due coppie di segmenti paralleli. In questo caso ci siamo limitati a segnare le due

parallele verticali e l‟orizzontale superiore. Su questa s‟arrestano gli sgusci delle colonne, mentre le

due verticali vengono usate per scandire il ritmo delle tre colonne. L‟ampiezza della maggiore è pari

al terzo centrale del quadrato ABCD.

I GRECI

I Greci apprezzavano il rettangolo aureo per le sue proporzioni perfette e caratteri magici in quanto

riproducibile geometricamente un' infinità di volte (illuminante esempio di questa proprietà del

rapporto aureo è la stella a cinque punte che ebbe grande successo tra i Pitagorici). Questo principio

matematico di bellezza, riflette appieno la genialità dello spirito greco che caratterizza gran parte

delle opere scultoree del periodo classico.

FIDIA E IL PARTENONE

Fra gli artisti chiamati da Pericle ai lavori pubblici,

Fidia,figlio di Carmide, scultore ingegnere architetto genio

artistico fra i più completi è quello di maggiore prestigio. La

sua gloria è affidata al Partenone, il tempio di Atena eretto

con la sua collaborazione, da Ictino e Callicrate. L'edificio

ancora conserva, nonostante le distruzioni e le spoliazioni,

tutto il fascino che gli viene da una struttura equilibrata e

proporzionata, in un miracoloso accordo di misure

geometriche esatte e di un'ispirazione libera da regole fisse,

viva, naturale. E' come se l'architettura si tramutasse in

scultura per variare armoniosamente di effetti con il variare

della luce. E ciò appunto è il messaggio e la conquista dello

spirito Greco: armonia del vero e dell'ideale, di ciò che è

momentaneo e di ciò che dura, del senso e dello spirito; le

emozioni e i sentimenti vivono e mantengono il loro valore

accanto al valore immortale della ragione e dell'idea. Il

Partenone il più celebre monumento dell'architettura Ellenica

contiene molti rettangoli aurei e le stesse proporzioni auree si

riscontrano nelle statue in esso presenti. Esempio

significativo sono le Korai dell'Eritteo.

IL CANONE DI POLICLETO

Policleto, indicò come ideale supremo da perseguire la simmetria anatomica della figura umana,

maschile e femminile, equilibrata nelle sue parti. Ignorando la lezione di Fidia e l'intensa carica

emotiva espressa dalla sua opera,egli scrisse addirittura un canone in cui dava le misure perfette e

assolute della figura umana: questa era concepita salda , atletica, armoniosa, con la testa piccola e la

fronte larga, nella ricerca geometrica strutturale per la resa delle parti del corpo, vincolate tra loro

da un rapporto dimensionale e di simmetria: la metà del corpo deve essere nell‟attacco delle gambe,

il piede è un settimo della lunghezza del corpo, la testa un‟ ottavo, e la faccia un decimo. Il risultato,

dice in un frammento rimasto di quest‟ opera letteraria Policleto, dipende da una piccolezza

decisiva in mezzo ai rapporti di proporzione.

La statuaria antica risente dell'influsso di questi grandi maestri, tenendo sempre maggiormente

all'equilibrio perfetto e inalterabile di ogni composizione. La sezione aurea riconosciuta come un

rapporto esteticamente piacevole è stata usata come base per la composizione di quadri o di

elementi architettonici. In realtà è dimostrato che la percezione umana mostra una naturale

preferenza e predisposizione verso le proporzioni in accordo con la sezione aurea; gli artisti

tenderebbero dunque, quasi inconsciamente, a disporrre gli elementi di una composizione in base a

tali rapporti.Gli artisti e i matematici del Rinascimento tra cui Leonardo da Vinci, Piero della

Francesca, Bernardino Luini e Sandro Botticelli rimasero molto affascinati dalla sezione aurea.

Allora essa era conosciuta come divina proportione e veniva considerata quasi la chiave mistica

dell‟armonia nelle arti e nelle scienze.

De divina proportione è anche il titolo del trattato redatto dal matematico rinascimentale Luca

Pacioli e illustrato da sessanta disegni di Leonardo da Vinci (1452-1519).Questo libro è stato

pubblicato nel 1509 ed influenzò notevolmente gli artisti ed architetti del tempo, ma anche delle

epoche successive. In questo trattato Pacioli ricercò nella proporzione dei numeri i principi

ispiratori in architettura, scienza e natura: la regola aurea introdotta fu in seguito chiamata praxis

italica. L‟aggettivo divina si giustifica perché essa ha diversi caratteri che appartengono alla

divinità: è unica nel suo genere, è trina perché abbraccia tre termini, indefinibile in quanto è

irrazionale, è invariabile. Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo inoltre scoprì che,

guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine. In particolare Leonardo incorporò il

rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L’ultima cena e L'Uomo di Vitruvio.

LA SEZIONE AUREA E L’ARTE MODERNA

La sezione aurea vanta grande importanza anche nell‟ambito artistico: indipendentemente dalla

consapevolezza della sua presenza all‟interno di un‟opera d‟arte, infatti, è stato scientificamente

provato che dipinti nei quali essa sia presente suscitano nell‟osservatore un immediato senso di

armonia, di regolarità, di equilibrio. Il “gioiello della geometria”, insomma, sarebbe particolarmente

gradito all‟occhio umano, ancor prima che chi contempla l‟opera si renda effettivamente conto della

sua struttura.

Molti artisti, nel corso della storia, sono stati consapevoli delle potenzialità derivate

dall‟applicazione della “proporzione divina” nelle loro opere e, affascinati da essa, l‟hanno studiata

con passione e inserita fedelmente in quelli che sono divenuti veri e propri capolavori.

Nella nostra trattazione citeremo solo qualche esempio tra i più significativi, concentrandoci

sull‟arte moderna: essa, infatti, ha avuto come obiettivi principali

- la collaborazione fra le varie forme dell‟arte (pittura, scultura, architettura)

- la fusione di arte e scienza (dunque anche di arte e geometria)

e, in questo senso, ha “aperto la via” all‟arte contemporanea.

Rappresentativi, a tal proposito, sono:

- G. P. Seurat, esponente del Pointillisme (o Divisionismo)

- P. Mondrian e T. Van Doesburg, aderenti al cosiddetto De Stijl

- J. Itten e P. Klee nel Bauhaus

- J. Villon e J. Gris nel movimento della “Section d’Or”

- S. Dalì, uno dei maggiori pittori del Surrealismo

- G. Severini nel Futurismo.

IL POINTILLISME

"Se scientificamente, con l'esperienza artistica ho potuto trovare le leggi dei colori pittorici, non

posso scoprire un sistema egualmente logico, scientifico e pittorico, che mi permette di concordare

le linee del quadro verso l'armonia, come faccio per i colori?" (George Pierre Seurat, 1859-1891)

Questa eloquente affermazione si deve a G. P. Seurat, il più noto esponente del pointillisme,

movimento artistico che si sviluppa sulla scia impressionista nell‟ultimo ventennio dell‟Ottocento e

si propone di applicare all‟arte un metodo scientifico che dia ordine razionale alle intuizioni

impressioniste sul rapporto luce-colore. In particolare, artisti come Seurat ritengono che non esista

il “colore locale” bensì ogni colore, così come l‟occhio umano lo percepisce, sia il “prodotto”

dell‟influenza dei colori vicini su quello di partenza: per questo motivo i colori non devono essere

mischiati, né sulla tavolozza né sulla tela, ma piuttosto accostati separatamente (sotto forma di

puntini o linguette) ai loro complementari così da esaltarsi a vicenda (“contrasto simultaneo”), in

modo che la “fusione” avvenga nella retina dell‟osservatore. Di qui il termine pointillisme, da

tradursi in italiano come “divisionismo” piuttosto che col termine “puntinismo”, giacché Seurat

voleva porre l‟accento sulla divisione dei colori più che sulla forma della pennellata.

Il capolavoro di Seurat è senza dubbio Una domenica pomeriggio all’isola della Grande Jatte

(1884-86). Soffermiamoci sulla struttura dell‟opera: le figure sembrano rigidi automi “congelati” in

un‟atmosfera atemporale, in cui tutto è geometricamente calcolato. La tela è divisa esattamente a

metà dalla donna con l‟ombrello rosso al centro. Ciascuna delle due metà che si vengono a creare,

poi, è a sua volta divisa da una verticale secondo le norme della sezione aurea (v. figura), in modo

da creare due settori medi proporzionali tra l‟intera metà e la sua parte rimanente.

G. P. Seurat, Una domenica pomeriggio all’isola della Grande Jatte; 1884-1886; olio su tela; 2,05x3,08 m. Chicago,

Art Institute.

Anche in un altro quadro, La parade du cirq, Seurat utilizza vari rettangoli aurei, alcuni dei quali

evidenziati in figura.

DE STIJL (1916-1927)

De Stijl (che, in olandese, significa “Lo Stile”) è il nome di una rivista fondata dall‟architetto

olandese Theo Van Doesburg e pubblicata dal 1917 fino al 1932 (anno successivo alla morte di

Van Doesburg stesso). Per estensione esso indica gli artisti riunitisi intorno alla rivista (anche se,

effettivamente, si può collocare l‟esperienza del movimento tra il 1916 e il ‟27).

Nel “Manifesto” del movimento, pubblicato nel 1918, venivano esposti gli obiettivi principali degli

aderenti: la ricerca di un rapporto equilibrato tra l‟universale e il particolare e la collaborazione tra

le varie forme dell‟arte. L‟attività del De Stijl, fondamentale per lo sviluppo dell‟architettura

moderna, è caratterizzata in particolare dall‟uso di forme elementari e colori primari.

Piet Mondrian (1872-1944) fu senz‟altro uno dei principali esponenti del movimento. Mondrian

utilizzò spesso la “proporzione divina” nella ricerca di equilibrio all‟interno della composizione:

esempio significativo è senza dubbio “Losanga con piani ocra e grigi” (1919), dove vari rettangoli

aurei si intrecciano entro i confini di una losanga (v. figura1) e Composition (v. figura 2), dove

rettangoli aurei di diversi colori sono accostati in modo da esaltarsi reciprocamente e racchiusi da

una marcata linea di contorno.

FIGURA 1: Losanga con piani ocra e grigi (1919; Otterlo - Rijksmuseum kroller-Müller)

FIGURA 2: P. Mondrian, Composition.

Lo stesso Van Doesburg utilizza rapporti aurei con gli stessi scopi di Mondrian, ad esempio nei

disegni e nella realizzazione di alcuni ambienti del Café Aubette a Strasburgo (1927, v. figure

sottostanti).

BAUHAUS (1919-1933)

“Diamo vita tutti assieme alla nuova costruzione del futuro in cui tutto - architettura, scultura e

pittura - sarà destinato a fondersi ”. (Walter Gropius)

“Le forme hanno non di meno in ultima analisi una grande e precisa relazione tra loro. Infine, anche

questa relazione è esprimibile in forma matematica, benché in questo caso si operi più con numeri

irregolari che con numeri regolari. Come ultima espressione astratta rimane in ogni arte il numero”.

(Wassily Kandinsky)

Il Bauhaus (bau-haus, “casa dell‟edilizia”) è stato una scuola d‟arte fondata a Weimar nel 1919

dall‟architetto Walter Gropius e chiusa a Berlino, dove si era trasferita, nel 1933.

Il programma del Bauhaus si proponeva come obiettivo fondamentale l‟unità tra arte e tecnica. Tra i

docenti della scuola vi furono W. Kandinsky, P. Klee e J. Itten

J. Itten (1888-1967), nel suo corso di “teoria del colore”, proponeva accostamenti cromatici

disposti secondo schemi compositivi geometrici. Un esempio in questo senso si ha nello Studio di

proprietà cromatiche rosso-bianco-nero, di un suo allievo (Ludwig Hirschfeld-Mack): vi sono

presentate suddivisioni dello spazio secondo la tripartizione (colonna n°1), la progressione

aritmetica (colonna n°2), la progressione geometrica (colonna n°3), la sezione aurea (colonna n°4).

Ludwig Hirschfeld-Mack, Studio di proprietà cromatiche rosso-bianco-nero.

Itten era molto interessato alla matematica e alle scienze naturali. Tra i risultati dei suoi studi spicca

la Torre del Fuoco, un‟opera dal valore simbolico originariamente collocata di fronte al suo atelier

(a Weimar) e, purtroppo, andata distrutta nel 1920: essa consisteva in una spirale logaritmica

tridimensionale analoga alla conchiglia del Telescoptum (v. figura sottostante, che rende l‟idea di

come dovesse essere) e conciliava arte, matematica e natura.

Altra opera significativa di Itten è L’incontro (1916): sulla tela due spirali auree si incontrano e si

intrecciano.

J. Itten, L’incontro; 1916.

Paul Klee (1878-1940) fu una delle personalità di spicco all‟interno del Bauhaus: nelle sue opere

egli ricercava la struttura primordiale delle cose, la loro essenza, che esprimeva attraverso forme

geometriche e colori primari (per questo anch‟egli applicò la sezione aurea in molti dei suoi lavori).

Nell‟opera Constructiv-Impressiv (1927), per dare ritmo e movimento alla composizione, Klee

ricorre a quadrilateri animati attraverso la distribuzione del colore. Alcuni tra questi sono rettangoli

aurei.

P. Klee, Constructiv-Impressiv; 1927; Berna – Kunstmuseum.

LA “SECTION D’OR”La “Section d‟Or” (nome molto eloquente) è un movimento creato nel

1912 da un gruppo di giovani cubisti che criticava i maestri Picasso e Braque per una presunta

staticità e mancanza di colore nelle loro opere e voleva conferire all‟arte un significato scientifico e

una base razionale più evidenti.

All‟interno del movimento sottolineiamo la presenza dei fratelli Villon (Jaques Villon, Marcel

Duchamp, Raymond Duchamp - Villon) e dello spagnolo Juan Gris. Tra l‟altro il nome del gruppo

si deve proprio al primo dei fratelli Villon ed è dovuto al forte interesse di questi artisti per la

matematica.

J. Villon, in genere, dà una solida struttura geometrica ai suoi quadri intervenendo, in fase di

realizzazione, a spostare e spezzare le linee in modo personale. Questo modo di fare arte appare

esemplificato nella sua opera Soldati in marcia (1913): la struttura del quadro è fondata sulle

diagonali, alcune delle quali vanno ad incontrarsi sulla tela o nel loro prolungamento ideale al di

fuori dei suoi confini, in modo da costruire triangoli isosceli in cui i lati stanno tra loro secondo il

rapporto aureo.

J. Villon, Soldati in marcia; 1913; olio su tela; cm 65 x 92; Parigi, Centre George Pompidou, Musée National d'Art

Moderne / Centre de création industrielle.

J. Gris tendeva ad impostare i suoi quadri in termini puramente astratti, anzi, spesso matematici. Ne

Il lavabo (1912, v. figura sottostante), ad esempio, la struttura dell‟opera è fondata su una rete di

rettangoli aurei.

J. Gris, Il lavabo;1912.

IL SURREALISMO

Il surrealismo è un movimento nato nel 1924 (anno di pubblicazione del primo manifesto ad opera

di André Breton): esso si proponeva di esprimere l‟ “io” interiore in piena libertà, senza l‟intervento

della ragione, che, mettendo in atto meccanismi inibitori dovuti all‟insegnamento che riceve fin

dalla nascita, condiziona l‟uomo, obbligandolo a reprimere istinti e sentimenti, a nasconderli

seppellendoli nel profondo di se stesso, finendo per apparire proprio come la società costituita vuole

che egli sia. Per raggiungere questa totale libertà, secondo i surrealisti bisognava lasciarsi guidare

dall‟inconscio.

Tra gli esponenti principali ricordiamo Salvador Dalì (1904-1989). La sua arte si caratterizza per il

fatto che egli tendeva a rappresentare con minuzia quasi ossessiva ogni oggetto entro spazi conclusi

dalla linea dell‟orizzonte. Inoltre, invece che inventare forme nuove, il pittore preferiva comporre

immagini reali spesso deformandole in posizioni irreali: egli si poneva, dunque, in netta antitesi con

l‟astrattismo, soprattutto con quello geometrico, razionale, neoplatonico di Mondrian, opposto

all‟irrazionalismo esasperato dei surrealisti (anche se i due pittori, pur così diversi, trovano un punto

di contatto nell‟applicazione della sezione aurea in alcune delle loro opere).

Tra le opere di Dalì segnaliamo L’ultima cena, in cui la composizione è racchiusa in un rettangolo

aureo e sovrastata da un grande dodecaedro che, con le sue facce pentagonali, richiama la sezione

aurea.

S. Dalì, L'Ultima cena; Washington, National Gallery of Art.

IL FUTURISMO

“La composizione poggia su tutte le nozioni geometriche e matematiche del pittore ch‟egli può

applicare con una varietà infinita.”

“L‟Arte non è altro che la scienza umanizzata.”

“Il numero è come un principio d‟armonia nascosto nelle cose.”

Del Futurismo prendiamo in considerazione solo Gino Severini (1883-1966), fra gli esponenti più

rilevanti. Egli nel 1910 firmò il primo “Manifesto della cultura futurista” e scrisse molti articoli nei

quali rivelava il proprio interesse per lo studio delle relazioni esistenti tra musica e arte, entrambe

armonizzate da numeri e rapporti.

Significativa è la sua opera Corrispondenza tra musica e colore (1919, v. figura sottostante), che

presenta un rettangolo aureo costituito da 16 rettangoli aurei più piccoli di vari colori associati alle

note musicali.

G. Severini, Corrispondenza tra musica e colore; 1919.

Ancora, in Maternità (1919), quale spiegazione migliore se non quella data dallo stesso Severini?

“Per collocare la tenda ho diviso il lato superiore della tela secondo la „Sezione aurea‟ e la

ampiezza della finestra è determinata secondo una uguale proporzionalità tra lato minore e lato

maggiore”.

G. Severini, Maternità;1919.

Concludiamo, sottolineando ancora una volta che l‟arte e le scienze non rappresentano due “mondi

diversi e inconciliabili”, bensì sono unite da un sottile legame che solo pochi sanno cogliere (tra di

essi gli artisti sopra citati): a tal proposito, ci sembra “illuminante” questo passo, tratto da uno

scritto di Severini stesso, La Divina Proporzione ed altri rapporti d’armonia nelle arti (1941):

“In tutte le epoche d‟arte veramente grandi, vedremo usare, o riportare in uso, le forme semplici

della geometria; poiché il corpo dell‟opera d‟arte, la sua struttura interna, non può basarsi che su

queste forme primarie eterne che fanno scaturire in tutti gli uomini, con variazioni minime, un

ordine di sensazioni primarie costanti e invarianti.

Infatti il quadrato, p. e., darà sempre la sensazione della stabilità, mentre la circonferenza quella

della continuità indefinita. Una linea retta orizzontale darà l‟impressione del movimento continuo e

calmo, una linea spezzata conduce al movimento discontinuo e al ritmo.

A queste forme semplici si devono aggiungere delle forme secondarie e derivate, e dall‟unione di

forme primarie e di forme secondarie scaturisce tutto un gioco di sensazioni costanti, sempre in

accordo con la proprietà e il carattere delle suddette forme, che così quasi automaticamente

conducono alla sinfonia, al monumento, alla statua o al quadro.

Si sa quanto nella pratica delle arti sia importante il metodo, perciò m‟interessai un tempo, in modo

particolare, di trovare nell‟esempio dei nostri maestri, la chiave, per così dire, dei metodi da loro

adottati. Ed anche questa investigazione ci conduce naturalmente allo studio delle forme semplici,

al modo di dividere le superfici, e prima di tutto ai bei rapporti, e alle belle proporzioni, tra le quali

universalmente conosciuta per le sue qualità proprie e per le sue applicazioni nel dominio delle arti

è certo quella della sezione aurea.”

LASEZIONE AUREA IN BOTANICA

Due scienziati, Von Ettingshausen e Prokorni, hanno trasferito il metodo Fibonacci in botanica;

dato che la crescita delle piante avviene mediante il processo di divisione cellulare, le dimensioni

fondamentali delle piante di diverse età negli stessi periodi dell'anno devono assolutamente

manifestarsi attraverso tale successione. Infatti ritroviamo questa serie quando misuriamo lo stelo di

una pianta da un germoglio all'altro e durante la sua crescita. Questi esempi di sezione aurea sono

riscontrabili nelle foglie di finocchio, pioppo e rosa. Le lunghezze degli assi laterali di un "piumino"

(si chiama così qualsiasi pianta rappresentabile schematicamente) sono fra loro in rapporto aureo

come i numeri della successione di Fibonacci; inoltre questi assi laterali sono disposti ad elica

attorno al fusto e la loro proiezione su un piano forma una spirale logaritmica. Troviamo un altro

esempio nel girasole, dove si distinguono chiaramente due famiglie di spirali dirette in senso

opposto che dal centro dell'apice si dirigono dove nascono i petali. Le piccole protuberanze che

tracciano questo disegno sono chiamate "primordi"; esse spuntano dall'apice e, durante la crescita

della pianta, migrano verso destra dando vita ad un petalo o ad una foglia. Se consideriamo una

spirale molto stretta e tracciamo su di essa punti successivi separati da un angolo di 137° circa,

otteniamo due famiglie di spirali orientate in direzione opposta. Grazie alla relazione che intercorre

tra l'angolo scelto, la sezione aurea e i numeri di Fibonacci, il numero dei raggi delle due famiglie di

spirali è dato da due numeri consecutivi della serie di Fibonacci. Quindi, numerando in ordine

cronologico i primordi di un girasole, è possibile osservare che essi si dispongono lungo una spirale

stretta e che la distanza che li separa è di circa 137°.

Il fondatore della statistica delle frequenze Lambert A.J. Quetelet trattò approfonditamente il tema

delle proporzioni dell'uomo e misurando un dato numero di europei di statura normale capì che la

lunghezza totale del corpo umano viene divisa dalla vita secondo la proporzione aurea. Tenendo le

mani e le braccia pendenti si può osservare che la punta del dito medio divide a sua volta la

lunghezza totale determinando nuovamente una sezione aurea. Per finire si può notare che le spalle

e i genitali dividono la lunghezza totale del corpo in tre parti e che il loro rapporto è 3:5:8. Come

abbiamo già accennato prima, questi dati sono riscontrabili anche nelle affermazioni degli antichi

greci i quali ritenevano che nell'uomo perfetto la lunghezza complessiva del corpo viene divisa dai

fianchi seguendo le proporzioni della sezione aurea. La distanza tra la laringe e i genitali viene

divisa dall'ombelico secondo un rapporto aureo, così come quella tra la testa e l'ombelico divisa

dalla laringe. Questi ultimi sono riscontrabili anche nella distanza tra le spalle e il dito medio

quando viene divisa dal polso e anche nella distanza tra il punto della circonferenza massima della

coscia e la pianta dei piedi quando viene divisa dal ginocchio. Infine il rapporto aureo si ritrova

anche nel capo: la fronte divide l'altezza totale secondo tale rapporto così come la bocca divide la

parte inferiore del viso.

Negli oggetti quotidiani, possiamo trovare alcuni esempi di sezione aurea:dalle schede telefoniche

alle carte di credito e bancomat, dalle carte SIM dei cellulari alle musicassette: sono tutti rettangoli

aurei con un rapporto tra base ed altezza pari a 1,618. Il Ventesimo Secolo ha determinato una

ramificazione capillare su tutto lo scibile umano della sezione aurea e dei rapporti ad essa

riconducibili, affermandosi anche nella più blanda quotidianità: la forma totale delle barrette di

cioccolato Kit Kat, ad esempio, è un rettangolo, così come le carte di credito Visa e Mastercard. Il

secolo scorso, inoltre, grazie alle nuove tecnologie, ha portato a compiere studi sempre più

complessi in merito al numero d‟oro, tra cui il più preciso calcolo del valore di φ effettuato

dall‟americano David Johnson con il calcolatore Transac S-2000: egli ha calcolato ben 2878 cifre

decimali del numero d‟oro, notando che tra le prime 500 ricorre l‟insolita sequenza 177111777.

A partire dal 1927, Ralph Nelson Elliott, ingegnere americano, si dedicò allo studio degli andamenti

dei mercati mobiliari dal 1850 in poi, formulando, sulla base della serie di Fibonacci un possibile

schema di andamento aureo degli indici borsistici. Tale teoria trova ancora oggi svariati riscontri

tangibili in borsa ed avrebbe potuto essere praticamente generalizzabile se Elliott avesse basato le

variazioni dei valori non solo sulle reazioni umane agli eventi politici, ma sugli eventi stessi. Un

complesso studio relativo ai videogiochi ha fatto emergere la bizzarra teoria secondo la quale un

videogioco sarebbe tanto più longevo quanto più il rapporto tra il suo coefficiente di ludicità e

quello di sviluppo tecnico (entrambi assegnati tramite canoni ben definiti) si avvicina a φ .

Una recente ricerca anatomica ha invece rivelato la strutturazione a nautilus dell‟organo di Corti

(coclea) nell‟apparato uditivo umano: da ciò si è dedotto che, come la selezione dei suoni nel nostro

orecchio avviene secondo canoni aurei, anche la progettazione di alcuni strumenti musicali e canne

d‟organo, che si basa sulla nostra anatomia, segue gli stessi principi. Anche i megaliti di

Stonehenge, secondo gli attuali sostenitori del numero d‟oro come unità del mondo, sarebbero

espressioni di divina proporzione: i due cerchi di pietre azzurre e sarsen sarebbero tra loro in

rapporto molto vicino a φ. Allo stesso modo, alcuni cartografi, probabilmente studiosi di sezione

aurea, ritengono voluta la presenza di un rettangolo aureo unito ad un segmento aureo nella

superficie della Centurazione Cesenate Romana. Uno studioso inglese nostro contemporaneo ha

osservato che il seno dell‟angolo di 666°, numero comunemente associato al maligno, è uguale a -

0,8090169, che è esattamente la metà del negativo di φ , altrimenti detto “antiphi”: considerando il

numero d‟oro come espressione di una proporzione divina, la matematica confermerebbe la valenza

diabolica di questo numero.

La smania di conoscenze relative a quello che Luca Pacioli ed Albrecht Dürer hanno definito

“l‟elemento proporzionale analogico tra la figura umana e la natura soggettiva” è ancora oggi molto

forte e gli studi che ne conseguono portano ogni giorno a nuove scoperte, ultima delle quali,

risalente ad alcuni mesi fa, quella relativa alla presenza di φ nei quasi-cristalli, strani materiali

individuati nell‟ultimo ventennio dall‟ingegnere israeliano Dany Schectman. Sicuramente l‟utopia

del numero d‟oro come unità naturale del mondo non avrà mai riscontro matematico, ma è

altrettanto certo che l‟evoluzione lunga miliardi di anni, di cui la natura è stata protagonista, ha

portato allo sviluppo in più ambiti di alcune costanti (come φ), che rivelano come la matematica sia

l‟unica via che conduce alla perfezione La sezione aurea non è evidente solo nell'uomo, ma dopo

numerosi studi si ha la certezza che moltissimi animali rispettano le sue proporzioni ( le farfalle, i

pesci, le stelle e i ricci di mare ) ed è incredibile come in alcune conchiglie sia possibile trovare

spirali ottenibili da una successione infinita di rettangoli aurei. Un particolare esempio ci è dato da

alcuni insetti che, a causa della struttura dei loro occhi, non hanno una visione frontale, ma

camminano seguendo un certo angolo che li porta a formare un cammino a spirale. Nelle conchiglie

non c'è nessuna legge particolare di accrescimento, se non quella di crescere secondo le stesse

proporzioni, per questo aumenta in grandezza, ma non cambia forma. La spirale logaritmica

caratterizza i tessuti morti come le corna o le conchiglie, per cui è sempre accompagnata da segni di

accrescimento che segnano le varie fasi di crescita. Un particolare tipo di crescita è lo

" gnomone ", scoperto in matematica, che consiste nell'aggiungere a una qualsiasi figura un'altra

figura che conservi la similitudine tra la figura finale e quella iniziale.

Riportiamo qui di seguito alcune proposizioni relative alla sezione aurea di Luca Pacioli:

Del titolo che conviene al presente trattato o compendio:

Mi sembra, o Eccelso Duca (di Milano), che il titolo conveniente al nostro trattato debba essere

La Divina Proporzione, e questo a causa del gran numero di somiglianze che trovo in questa

nostra proporzione, di cui si tratta in questo utilissimo discorso, che se sembrano effettivamente

corrispondere a Dio. Per il nostro proposito sarà sufficiente considerarne 4, tra le tante.

La prima è che essa è una e non più, e non è possibile assegnarle altre specie o differenze. Tale

unità è il supremo attributo di Dio stesso, secondo ogni scuola teologica e filosofica.

La seconda è che la Santa Trinità, poiché, come nel Divino vi è una sostanza in tre persone,

Padre, Figlio e Spirito Santo, allo stesso modo una stessa proporzione si incontrerà sempre tra

tre termini, mai di più o di meno, come poi si vedrà.

La terza è che, così come Dio non può propriamente essere definito né compreso da noi

attraverso le parole, la nostra proporzione non può essere determinata attraverso un numero

intelligibile né espresso attraverso alcuna quantità razionale, rimanendo sempre occulta e

segreta, così da essere chiamata irrazionale dai matematici.

La quarta consiste nel fatto che, come Dio non può mutare permanendo in tutta la sua identità e

tutto in ogni sua parte, in ugual maniera la nostra proporzione è sempre in ogni quantità

continua o discreta, grande o piccola, la stessa è sempre invariabile, in alcun modo può cambiare

e in nessun altro modo il nostro intelletto può apprenderla, come sarà dimostrato nella nostra

esposizione.

RELATORI ALUNNI: Flavia Alfonsi, Luigi Alfonsi, Emanuela Ferrara, Silvia Pigozzi, Monica

Muzzì, Francesco Anzuini, Paolo Tollis, Margherita Pizzi, Federico Rossi.

Prof.ssa Giovanna Dell‟Ovo