LEZIONE N° 6 – STATI LIMITE DI ESERCIZIO IN STRUTTURE IN C.A. (stato limite di deformazione)...

LEZIONE N° 6 – STATI LIMITE DI ESERCIZIO IN STRUTTURE IN C.A. (stato limite di deformazione)

• Posizione del problema• Il calcolo delle deformazioni nelle strutture isostatiche

– Determinazione della curvatura nello stato fessurato– Calcolo analitico delle deformazioni– Riferimenti normativi (D.M. 14.09.05, Eurocodice 2)– Esempio: calcolo dell’abbassamento di una trave appoggiata

in c.a in condizioni di stato limite di deformazione• Il calcolo delle deformazioni nelle strutture iperstatiche

– L’effetto dell’iperstaticità sulla deformazione – La trave continua fessurata

Università degli Studi di Roma TreFacoltà di IngegneriaCorso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07

SLE di deformazione nel c.a. (Posizione del Problema)

Le deformazioni massime nelle strutture in c.a. devono essere limitate essenzialmente per evitare problemi di natura funzionale: evitare ad esempio danni agli elementi non strutturali sorretti (tramezzi, tamponature, pavimenti etc..), evitare che grandi deformazioni compromettano il razionale smaltimento delle acque, evitare indesiderati effetti antiestetici.La valutazione analitica delle deformazioni e degli abbassamenti conseguenti non è cosa facile in strutture in c.a. per i problemi già messi sufficientemente in evidenza nel caso di stato limite di fessurazione. La difficoltà maggiore consiste essenzialmente nel valutare la rigidezza degli elementi strutturali in presenza di fessurazione. Come già visto nel caso di sole tensioni normali la rigidezza media di una trave fessurata può calcolarsi tenendo conto del calcestruzzo ancora reagente che si trova tra due fessure consecutive (tension stiffening effect). Si tenga presente inoltre che le deformazioni nelle strutture in c.a. dipendono anche da altri fenomeni non meno importanti come il ritiro e la viscosità che modificano lo stato deformativo anche in assenza di variazione dello stato di carico.


SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)

IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente)Come già accennato in precedenza il calcolo analitico delle deformazioni dipende dalla possibilità di modellare in maniera accurata il fenomeno della fessurazione. Le formulazioni approssimate di tale fenomeno conducono a risultati che presentano notevoli differenze rispetto ai risultati dell’esperienza sperimentale.Una prima approssimazione consiste nel presupporre la sezione interamente reagente. Indicando con II il momento d’inerzia della sezione della sezione interamente reagente la curvatura è data dalla relazione

IcIE

)x(M)x(''v)x(

Curvatura della sezioneInteramente reagente Per doppia integrazione della

curvatura si ottiene lo spostamento v(x)

dd)(x)0('v)0(v)x(vx

0 0

)'x(v



IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente)Un metodo alternativo all’integrazione diretta della curvatura è far uso del teorema dei lavori virtuali

Sistema reale Sistema Virtuale

dx)x()x(Mf1x

0

)a()b()a()b(

Sistema virtuale

Sistema reale

Ic

)a()a(

IE

)x(M)x(



IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)Quando nella sezione viene superata la resistenza a trazione nel calcestruzzo, la deformazione nell’acciaio può essere espressa come una frazione della deformazione dello stesso al secondo stadio (D.M. 9.1.96, EC2)

II,s

2

s

sr21

s

ssm 1

E

II

2

d

f21II

s

cdsm M

M1

IE

)yd(M

Nel caso di pura flessione

s

I° stadio

II° stadio

M

Fessurazione

Tension Stiffening

II,stadio

< 1

In corrispondenza della condizione Md=Mf

sussiste una discontinuità in quanto il valore della sm non corrisponde a quello relativo al I° stadio

Momento di fessurazione

yc d



IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)La normativa europea corregge tale discontinuità definendo la deformazione dell’acciaio nella sezione fessurata come combinazione della deformazione al I° e al II° stadio (deformazione media del concio fessurato)

II,sI,ssm 1

Deformazione media del concio di trave fessurata secondol’Eurocodice 2

c

smm yd

yc d

II,ssm

Deformazione media dell’acciaionella sezione fessurata secondoIl D.M. 9.1.96

dd)(x)0('v)0(v)x(vx

0 0m

IIIm 1



IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)Volendo quindi calcolare la deformazione di una struttura isostatica tenendo conto delle indicazioni della normativa europea si possono calcolare le caratteristiche geometriche della sezione al I° e II° stadio, per poi calcolare analiticamente l’abbassamento con l’equazione della linea elastica sovrapponendo gli effetti così come indicato dall’Eurocodice 2

IIIm 1 yc d

ycd

I° stadio

II° stadio

I II

ddEI

Mdd1

EI

M.I.Cv

x

0 0 IId

x

0 0 Id

m



IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)Metodo AlternativoUn metodo alternativo è quello di separare le zone di trave fessurate da quelle non fessurate e applicare l’integrale per la determinazione dell’abbassamento tenendo conto della diversa distribuzione delle caratteristiche meccaniche

L

v

Mfess

a b c

Zona fessurata

(Zona non fessurata)

ddEI

Mdd1

EI

M.I.Cv

x

0 0 IId

x

0 0 Id

m



IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)ESEMPIO

Gk,Qk

6m 3m f ?

Calcolare lo spostamento verticale della trave di figura utilizzando i dati indicati a lato. Per il calcolo fare riferimento al D.M. 14.09.05 e all’EC2

Datib=20 cmh=60 cmAs=210=1.57cm2

As’=314=4.62cm2

Cls: Rck 25 MpaAcciaio: B450CGk = 14 kNQk = 7 kN

b

hAs

As’




Lo spostamento di può calcolare rapidamente facendo uso del Teorema dei Lavori Virtuali:

dx)x()x(Mf1x

0

)a()b()a()b(

Sistema virtuale

Sistema reale

Sistema Reale Sistema Virtuale



IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)ESEMPIOCalcolo con riferimento al D.M. 14.09.05.La normativa non fornisce alcun criterio di calcolo e rimanda a criteri reperibili in letteratura. Il precedente decreto faceva riferimento alla curvatura al secondo stadio corretta del tension stiffening effect.

Caratteristiche della sezione:

I° Stadio – Trascurando la presenza dell’armatura si ha yI=29 cm JI = byI 3/3+b(h-yI)3/3 +nAs(d-yI)2+nAs’(yI-d’)2 = 426507 cm4

II° Stadio - calcolo asse neutro

- calcolo momento d’inerzia

cm94.151nA

bd21

b

nAy

s

GsIIc

cm3.43

'AA

'd'AsdAsd

ssG

42IIc

2IIc

3IIcII cm147778)yd(nAs)'dy('nAs3

byJ



IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)ESEMPIOLa normativa Italiana del 96 prevedeva il calcolo delle deformazioni per carichi permanenti o quasi permanenti. La combinazione prevista per questa tipologia di carichi è la seguente:

)al(EJ3

aF

EJ3

aF

EJ3

laFdxx

EJ

Fdxx

lEJ

aFdxx

EJ

xFdxx

l

a

EJ

xla

Ff

II

2k

II

3k

II

2k

a

0

2II

kl

0

22II

2k

a

0 IIk

l

0 II

k

cm59.0cm97.0)300600(14777829003

3004.15ff

2II

611.0aF

)yd(Jf

1M

M1

2

k

IcI

ctm2

d

fess21

kN4.1572.014QGFi

iki2kk Combinazione di carico quasi permanente




Calcolo con riferimento al EC2La normativa suggerisce di adottare il calcolo della deformazione come combinazione della freccia riferita alla sezione al primo stadio e della freccia calcolata con la sezione al II° stadio

cm72.0611.097.0)611.01(336.0

)al(EJ3

aF)1)(al(

EJ3

aFf1ff

II

2k

I

2kIII

m


SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche)IL CALCOLO NUMERICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)

dx)x()x('Mfx

0m

IIIm 1


SLE di deformazione nel c.a. (Strutture Iperstatiche)

IL CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)Nel caso di strutture iperstatiche il diagramma dei momenti non è noto a priori e dunque il calcolo della deformazione non risulta essere immediato. Ad esempio, l’applicazione del teorema dei lavori virtuali comporterebbe la risoluzione di due sistemi iperstatici (sistema cinematicamente compatibile e staticamente equilibrato). L’ulteriore complicazione è che il problema è non lineare in quanto il momento d’inerzia della struttura cambia lungo l’asse della struttura stessa.

L’approccio classico al problema è di tipo numerico iterativo.

Per maggiori approfondimenti consultare gli appunti del Prof. Giannini – Cap. 7


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