IPOTESI: in campo plastico la deformazione · queste tre equazioni costituiscono il legame...

2

x

y

zF

A

A0

IPOTESI: in campo plastico la deformazione avviene a volume costante

l

lε

ingegneristica

La variazione di volume è dipendente unicamente dalla componente elastica della deformazione.

0

lnl

l flogaritmica(vera)

Definizioni di deformazione

0

0

l

ll f 10l

l f10

l

l f

ln 1 e 1

Tensione ingegneristica

0A

F

Tensione vera

F

A A

A

A

F 0

0

A

A0

Volume costante: A0l0 Al f

l f

l0

A0

A1

10AA

A0

e

1 e e

ln 1

Rapporto tra le aree A0 ed A

l0

l f

1 e

A0

A1 e

Caratteristichedel materiale

Condizione di collasso plastico

A0

P

P

P

P

A

Una relazione spesso utilizzata: P A

A A0

1

A A0

eP

A0

e k n

udP

d 0

dP

d

A0

ed d

0

d u

d u

u k nnk n1 k n u n

0

3

Curve σε sperimentali (prove di trazione)

Valori di k ed n misurati sperimentalmente (prova di trazione)

( 1 MPa = 1450 psi)

4

2) Volume costante:

IPOTESI: 1) Storia di carico monotona

3) Parallelismo tra tensioni e deformazioni principali

4) Rapporto tra deformazione e tensione tangenziale uguale per tutte le componenti e costante durante la deformazione

5) Componente elastica della deformazione trascurabile rispetto a quella plastica

V 0

1 1

2 2

3 3

( = Tensione vera)

1 2

1 2

2 3

2 3

3 1

3 1

Ci

5

dalla 2° delle ipotesi precedenti (costanza del volume) si ha:

V0 abc

VS a 1 1 b 1 2 c 1 3 VS abc 1 1 1 2 1 3 V0 VS 1 1 1 2 1 3 1

ln 1 essendo: 1 2 3 0

dalla 4° ipotesi si ottengono le due relazioni:

1 2 Ci 1 2 1 3 Ci 1 3

queste tre equazioni costituiscono il legame costitutivo tra tensioni e deformazioni

=V0 VS

1 2 3 0

1 2 Ci 1 2

1 3 Ci 1 3

1 2Ci

31

1

2 2 3

2 2Ci

3 2

1

21 3

3 2Ci

3 3

1

21 2

Queste relazioni sono simili a quelle di Hooke, valide in campo elastico, ma con ν = ½ e con 2Ci/3 al posto di 1/E

6

Ci è una caratteristica del materiale che può essere valutata con una prova sperimentale monoassiale (prova di trazione) ed estesa al campo triassiale.

I due stati di tensione sono equivalenti se la tensione equivalente calcolata nei due casi è la stessa

caso monoassiale (prova di trazione)

0

caso triassiale

1, 2, 3

IPOTESI: sia applicabile il criterio della tensione tangenziale ottaedrica

0 1

31 2 2 2 3 2 3 1 2

alla quale corrisponde la deformazione:

0 2

31 2 2 2 3 2 3 1 2

Nel caso monoassiale la tensione tangenziale ottaedrica vale:


0

caso triassiale

1, 2, 3

0 1

31 2 2 2 3 2 3 1 21 0

2 3 0

0 1

31 22 1 2

2

31

0 2

31


7

Nel caso monoassiale la deformazione tangenziale ottaedrica vale:


0

caso triassiale

1, 2, 3

1 0

2 3 1

2

0 2

31 2 2 2 3 2 3 1 2

0 2

31

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

0 2

31



0

caso triassiale

1, 2, 3

0 2

3

31

2

2

31

2

22

21

0 2

31 0 21

Nel caso monoassiale la deformazione tangenziale ottaedrica vale:

1 0

2 3 1

2


0 2

31 2 2 2 3 2 3 1 2

8

In campo monoassiale, il legame tra tensione e deformazione, per le ipotesi fatte, si può scrivere come:


0

caso triassiale

1, 2, 3

1 2

3Ci 1 Ci

3

2

1

1

che si può riscrivere mettendo in evidenza Ci:

Conviene esprimere Ci in funzione della tensioni e delle deformazioni tangenziali ottaedriche:

Ci 3

2

0

23 0

2

1 3 0

2 0

2

31 0 21 1

0

2




0

caso triassiale

1, 2, 3

1 2

3Ci 1 Ci

3

2

1

1



Ci 3

2

0

23 0

2

1 3 0

2 0

2

31 0 21 1

0

2


9



0

caso triassiale

1, 2, 3

1 2

3Ci 1 Ci

3

2

1

1



Ci 3

2

0

23 0

2

1 3 0

2 0

2

31 0 21 1

0

2

Ci 0

2 0


Ci 3

2

1

1

1 3 0

2

0 2

31 0 21

1 0

2Ci

0

2 0

Riepilogando:

3

2 0 k

0

2

n

Per valutare Ci è necessaria una prova sperimentale; in particolare, la prova di trazione.

k nIl risultato della prova di trazione è dato dalla curva:

In altri termini, dalla prova di trazione si ricavano i valori numerici di k ed n.

e possono essere espressi in funzione di e : 0 0

0 23 0

k 2

1nCi

0

2 0Ci

2

2 0

3 0

k 2

1

n

10

Ci 2

2 0

3 0

k 2

1

n

Ottenuto Ci nel caso monoassiale, è possibile estenderne la validità al caso più generale di una sollecitazione triassiale, utilizzando il concetto di tensione equivalente.

0 1

31 2 2 2 3 2 3 1 2

Ci 3 2 1n 2n

1

k

1 2 2 2 3 2 3 1 2

1n 2n

2

1

3

1

1 2 3ponendo: con la convenzione:

si possono scrivere le equazioni costitutive in campo plastico:

Equazioni costitutive in campo plastico:

1 2Ci

31

1

2 2 3

2 2Ci

3 2

1

21 3

3 2Ci

3 3

1

21 2

1 1

k

1

n 2 2 1

1n

2n 122

2 1

k

1

n 2 2 1

1n

2n 2

1

2

3 1

k

1

n 2 2 1

1n

2n 2

1

2

11

1 1

k

1

n 2 2 1

1n

2n 122

2 1

k

1

n 2 2 1

1n

2n 2

1

2

3 1

k

1

n 2 2 1

1n

2n 2

1

2

12

P

L

IPOTESI: spessore sottile De Di Dm

c

c

a

a

c F

A

PDL

2sL

PD

2s

P

D

s

P

s

a F

A

PD2

4

1

Ds

PD

4s

r

rMAX P

rMAX

c

P

PD2s

2s

D

rMIN 0

r 0

s D

P


1

1

2

2L

a 2

r 3

c 1 1 PD

2s

2 PD

4s

3 0

21

1

2

3

13

1 PD

2s 2

PD

4s 3 0

2

1

1

2

3

1

0

1 1

k

1

n 2 2 1

1n2n 1

22

1 1

k

1

n 1

2

2

0 1 0 1

2 0

1n2n

11

4 0

1 1

k

1

n 1

41

1

2

1n

2n1

1

4

1

k

1

n 3

4

1n

2n 3

4

1

k

1

n 3

4

1n

2n

1 PD2ks

1

n 3

4

1n

2n

1 PD

2s 2

PD

4s 3 0

2

1

1

2

3

1

0

2 1

k

1

n 2 2 1

1n2n

2

1

2

2 1

k

1

n 1

2

2

0 1 0 1

2 0

1n2n 1

2 0

1

2

2 0

0

14

1 PD

2s 2

PD

4s 3 0

2

1

1

2

3

1

0

3 1

k

1

n 2 2 1

1n2n

2

1

2

3 1

k

1

n 1

2

2

0 1 0 1

2 0

1n2n

0 1

4

1

2

3 1

k

1

n 3

4

1n

2n

3

4

1

k

1

n

3

4

1n

2n

3 1

1 2 3 0

1 0 3 0

1Come era prevedibile, dato che:

1 3

e che quindi:

1 PD

2s 2

PD

4s 3 0

1 PD2ks

1

n 3

4

1n

2n

21

1

2

3

2 0 3 1

lnD

D0

1 lnl f

l0

e1 D

D0

D D0e1

3 lns

s0

s s0e3 s0e

1

1 PD0e

1

2ks0e1

1

n 3

4

1n

2n

D0 s0

Diametro e spessore nominali

P 2ks0

D0

e211

3 / 4 1n

2n

n

s s0e1

15

21

1

2

3

P 2ks0

D0

e211

3 / 4 1n

2n

n

Condizione di collasso plastico:dP

d 0

dP

d

2ks0

D0

1

3 / 4 1n

2n

n

2e211n n1

n1e21 0

1u

n

2La derivata si annulla se:

Pcr 2ks0

D0

en n

2 3 / 4 1n

2n

n

Sostituendo con nella formula della pressione1u

n

2P

si calcola il valore della pressione critica:

Esempio numerico

D0 18" 457.2 mm

s0 1/ 8" 3.175 mm

k 154 ksi 1066 MPa

n 0.156

S 89 ksi 614 MPa

R 98 ksi 676 MPa

Dati

Pcr 2ks0

D0

en n

2 3 / 4 1n

2n

n

Pcr 2 1066 3.175

457.2

e0.156 0.156

2 3 / 4 10.156

20.156

0.156

10.05 MPa 100 bar

Acciaio SAE 4340

16

Esempio numerico

D0 18" 457.2 mm

s0 1/ 8" 3.175 mm

k 154 ksi 1066 MPa

n 0.156

S 89 ksi 614 MPa

R 98 ksi 676 MPa

Dati

Pcr 10MPa

1 10 457.2

2 3.175 720 MPa

2 10 457.2

4 3.175 360 MPa

eq 12 2

2 1 2

1 PD

2s 2

PD

4s 3 0

eq 7202 3602 720 360 624 MPa

Acciaio SAE 4340

17

P

P

D

s


21

1

2

3

1 2 PD2

4

1

Ds

PD

4s

3 0

2

1

1 3

1

0

1 PD

4s

1 1

k

1

n 2 2 1

1n2n 1

22

1 1

k

1

n12 0 1 0 1 0

1n2n 1

1

2 0

1 1

k

1

n111

1n

2n1

2

1

k

1

n1

1n

2n1

2

1

k

1

n 1

2

1 PD4ks

1

n 1

2

1 0

18

2 1

k

1

n 2 2 1

1n2n

2

1

2

2 1

1 PD

4s 1 0

2 1

k

1

n12 0 1 0 1 0

1n2n 1 0

1

2

1

k

1

n 1

2

3 1

k

1

n 2 2 1

1n2n

2

1

2

3 21

1 PD

4s 1 0

3 1

k

1

n12 0 1 0 1 0

1n2n 0

1

2

1

2

1

k

1

n1

19

P 4ks0

D0

e31 21 n

1 PD4ks

1

n 1

2

2 1

D D0e1 s s0e

1

PD0e

1

4ks0e1

1

n 1

2

3 PD0e

1

4ks0e1

1

n

Condizione di collasso plastico:dP

d 0

dP

d

4ks0

D0

2 n 3e311n n1

n1e31 0

1u

n

3La derivata si annulla se:

Pcr 4ks0

D0

en 2n

3

n

quindi la pressione critica vale:

Esempio numerico

D0 18" 457.2 mm

s0 1/ 8" 3.175 mm

k 154 ksi 1066 MPa

n 0.156

S 89 ksi 614 MPa

R 98 ksi 676 MPa

Dati

Pcr 4 1066 3.175

457.2

e0.156 0.156

3

0.156

17.8 MPa 178 bar

Pcr 4ks0

D0

en 2n

3

n

Acciaio SAE 4340

20

Esempio numerico

D0 18" 457.2 mm

s0 1/ 8" 3.175 mm

k 55.9 ksi 384 MPa

n 0.211

Dati

Pcr 4 384 3.175

457.2

e0.211 0.211

3

0.211

5.8 MPa 58 bar

Pcr 4ks0

D0

en 2n

3

n

Alluminio ALCOA 24-S

Esempio numerico

D0 18" 457.2 mm

s0 1/ 8" 3.175 mm

k 77.1 ksi 531 MPa

n 0.261

Dati

Pcr 4 5313.175

457.2

e0.261 0.261

3

0.261

7.2 MPa 72 bar

Pcr 4ks0

D0

en 2n

3

n

Acciaio 0.05% C

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