Lezione 4) L’Equazione Iconale e la propagazione delle onde in mezzi disomogenei

Aei t k x( )

2

12

2

22

2

32 2

2

2

1x x x c x t

( )

( , ) ( ) ( ( )/ )x t A x ei W x c t 0

Ricordiamo la soluzione generale dell’equazione delle onde in tre dimensioni per mezzi omogenei :

Nel caso la velocità non sia costante scriviamo l’equazione delle onde utilizzando una velocità non costante :

Cerchiamo una soluzione nella forma trovata per mezzi omogenei:

22

2

20 0

1A x e

c x tA x ei W x c t i W x c t( )

( )( )( ( )/ ) ( ( )/ )

)()()(

)()()( 22

20

20

2

3

2

2

2

1

xAxA

c

xc

c

x

xW

x

xW

x

xW

Fatta questa assunzione inseriamo la soluzione nella equazione di partenza e troviamo:

L’equazione scritta sopra una volta sviluppata sarà una equazione complessa che si risolverà eguagliando tra loro la parte reale e la parte immaginaria dei due termini a sinistra e a destra del segno di uguaglianza.Per la parte reale si ottiene facilmente la seguente equazione :

Nel caso in cui il termine a destra del segno di uguaglianza sia trascurabile si ottiene il seguente risultato :

W xx

W xx

W xx

cc x

( ) ( ) ( )( )1

2

2

2

3

2

02

L’equazione sopra scritta si chiame equazione iconale e rappresenta una soluzione approssimata dell’equazione d’onda per mezzi non omogenei valida per alte frequenze. L’equazione iconale è applicabile se la variazione del grediente di A(x) è molto minore di A(x).

dxds

dxds

dxds

1 2 3, ,

dxds

dxds

dxds

1

2

2

2

3

2

1

dxdsproporzionalea

W xx

i

i

( )

Data un fronte d’onda W(x) che viaggia nello spazio tridimensionale definendo una superficie S, e dato un raggio ortogonale al fronte d’onda che percorre una traiettoria ds, definiamo coseni direttori di ds gli angoli che esso forma con le tre direzioni dello spazio :

I coseni direttori sono legati dalla relazione :

In questa ipotesi, visto che il grediente di W(x) è ortogonale alla superficie S, e quindi si ottiene che :

adW xdx

adW xdx

adW xdx

( ) ( ) ( )

1

2

2

2

3

2

1

ac xc

acc x

n indicedi rifrazione

( )

( )

0

1 0

Si può quindi riscrivere :

La relazione ottenuta è l’equazione iconale se poniamo :

Combinando le equazioni sopra presentate si ottengono le equazioni chiamate normali date dalle espressioni:

ndxds

W xx

ndxds

W xx

ndxds

W xx

1

1

2

2

3

3

( )

( )

( )

nxds

dx

ds

dx

ds

dxn

x

ds

dx

x

xW

ds

dx

x

xW

ds

dx

x

xW

xx

xW

ds

d

ds

dxn

ds

d

1

2

3

2

2

2

1

1

3

3

2

2

1

111

1 )()()()(

dds c x

dxds c x

1 1( ) ( )

Cerchiamo di capire come le equazioni normali variano lungo il tragitto del raggio, e quindi calcoliamone le derivate rispetto a ds, per la prima coordinata si ha :

Generalizzando in tre dimensioni si ottiene:

L’equazione ottenuta ci dice che le variazioni della posizione del punto, cioè la traiettoria, dipendono dal grediente di velocità presente, e quindi dal grado di disomogeneità del mezzo attraversato dal raggio stesso.

c c x n n xnx

nx

( ), ( ),3 31 2

0

ndxds

c

ndxds

c

ddsndxds

dndx

11

22

3

3

Supponiamo di lavorare con una distribuzione di velocità che è soltanto funzione di una coordinata. Prendiamo per convenzione gli assi x1 e x2 ortogonali e giacenti sul piano orizzontale e l’asse x3 ortogonale alla superficie e diretto verso il basso. In questo caso si ha :

Le equazioni normali si riducono quindi a: 

Le relazioni scritte ci dicono che le variazioni delle coordinate sul piano orizzontale sono costanti durante il cammino del raggio, e che quindi la proiezione del raggio sulla superficie è una retta. Ciò significa che il raggio compie la sua traiettoria su un piano ortogonale alla superficie, e che quindi se consideriamo una sorgente ed un ricevitore la traiettoria del raggio è contenuta in un piano ortogonale alla superficie e che contiene sia la sorgente che il ricevitore. Possiamo a questo punto ruotare il sistema di riferimento in modo da far coincidere la direzione x1 con la proiezione del raggio in superficie riducendo le equazioni normali alla forma :

ndxds

c

ddsndxds

dndx

11

3

3

ldxds

sini

ldxds

i

11

33

cos ptc

i

tic

c

ds

dxnnl

cossin

cossin011

In ogni punto della traiettoria i coseni direttori del raggio sono dati, indicando con i l’angolo tra l’asse x3 e la tangente al raggio, da :

Da cui si ottiene :

In questa relazione i è chiamato angolo di incidenza e p parametro del raggio che ci dà l’inverso della velocità in direzione orizzontale e che rimane costante su tutta la traiettoria. L’equazione sopra scritta rappresenta la legge di Snell sulla quale si

basa ad esempio anche l’ottica geometrica.

Considerando il secondo termine delle equazioni normali si ottiene :

33

2

3

3

3

33

3

cossincossin

cos

dx

dn

dx

dni

ds

diin

dx

dn

ds

dx

dx

dni

ds

diin

dx

dnin

ds

d

dx

dn

ds

dxn

ds

d

33

3

2

3

sin

sinsincos1

dx

dcp

dx

dc

c

i

ds

di

dx

dn

n

i

ds

di

ds

diini

dx

dn

La relazione scritta mostra che la curvatura del raggio è proporzionale al grediente di velocità, e quindi se la velocità aumenta con la profondità il raggio piega verso l’alto. Da qui si deduce che in un modello di terra piatta un raggio generato in superficie con un angolo di partenza (angolo di take off) maggiore di 90° potrà uscire in superficie ad una certa distanza delta soltanto se la velocità aumenta con la profondità.

sinidxds

cp

idxds

sin i c p

dx dssinidxicp

cp

c pdx

1

3 2 2 2

13

2 2 3

1 1

1

cos

cos

X p

cp

c pdx

z

( ) 2

1 2 2 3

0

Nelle ipotesi fin qui fatte in ogni punto della traiettoria del raggio si ha :

Volendo calcolare la distanza a cui emergerà un raggio emesso da una sorgente superficiale con un angolo inferiore a 90° basterà integrare la relazione precedente su tutto il percorso attraverso la seguente elazione :

Tdsc s

dsdxc i

dx

c c ppath

zz

2 2 2

13 3

2 2 200

( ) cos /

X pdx

pdx

Tpdx

z

z

2

2

3

2 2 3

0

2

2 2 3

0

Per quanto riguarda il tempo di viaggio (travel time) esso sarà dato dall’integrale sulla traiettoria del rapporto tra lo spazio percorso e la velocità :

Ponendo g=1/c si ottiene per la distanza X e la travel time T :

Se calcoliamo ora la differenza di T - Xp otteniamo :

T pXpdx p

dx

pdx

p

p

pdx

T pX p dx

z z

z

z

2 2

2

2

2

2 2 3

0

2 3

2 2 3

0

2

2 2

2

2 2 3

0

2 23

0

La formula ottenuta fornisce la travel time per un modello di velocità dipendente soltanto dalla profondità.

Il caso di un modello di terra a strati piani e paralleli con velocità costante all’interno di ogni strato e crescente passandoda strati superficiali a strati più profondi può essere ottenuto come generalizzazione dell’equazione precedente,supponiamo quindi un modello a n strati ciascuno con velocità a e spessore th, l’equazione precedente si trasforma in :

T pX p th

pX p th

pX p th

i ii

n

iii

n

ii ii

n

2

21

21

1

2 2

1

22

1

22 2

1

sini sinp

1 2

t d / 1

a

xt

dsini t sini p

1 11

Ricaviamo la formula precedente in un modello a due strati con velocità

1 2 e

partendo dalla legge di Snell. Si ha :

Il fronte d’onda percorre la distanza d nel tempo

il fronte d’onda in superficie viaggia alla velocità apparente :

Se la velocità nel secondo strato è maggiore il raggio si allontana dalla normale.

sini sinc

1 2 2

90 1

i sinc 11 2( / )

Tr th

ic

2 1

2 1cos

Quando l’angolo di rifrazione è uguale a 90° si ha :

L’angolo ic si chiamo angolo critico :

La travel time per l’onda rifratta criticamente è :

L’Attenuazione delle onde sismiche

Le onde emesse da una sorgente puntiforme in un mezzo elastico omogeneo ed isotropo si propagano, per simmetria, su fronti d’onda sferici. A grandi distanze un fronte d’onda sferico si approssima con un piano tangente alla sfera.

Allontanandosi dalla sorgente il fronte d’onda si espande e quindi l’energia trasportata dall’onda si distribuisce su una superficie sempre più grande e quindi diminuisce la densità di energia (energia per unità di superficie).

Visto che l’energia è legata al quadrato dell’ampiezza dell’onda, e che la superficie di una sfera cresce con il quadrato del raggio, l’ampiezza dell’onda di volume diminuisce con la distanza dalla sorgente.

Tale fenomeno si chiama ATTENUAZIONE GEOMETRICA ed è sempre presente, anche in mezzi perfettamente elastici.

Nel caso di un solido perfettamente elastico la particella di terreno oscilla senza disperdere energia, quindi il suo moto può essere descritto dall’equazione dell’oscillatore armonico :

mx kx.. 0

che ammette una soluzione oscillante del tipo :

x Ae Be

km

i t i t

0 0

0

Nel caso il mezzo non sia perfettamente elastico al suo interno si dissipa energia e nell’equazione del moto si introduce un termine di smorzamento :

mx x kx

x x x

.. .

.. .

0

00 02

che ammette una soluzione del tipo :

x t A e sin tt( ) 0 0

20 1

Ponendo e = 1/ 2Q si ha per l’ampiezza dell’oscillazione :

A t A e t Q( ) / 0

20

Q si chiama fattore di qualità e rappresenta il decremento logaritmico dell’ampiezza delle oscillazioni tra due cicli successivi, infatti se si pone:

lnAA

1

2

si ottiene :

Per t A A

Per t A A e Q

0

21 0

02 0

/ Da cui si ottiene :

ln ln ln//A

AA

A ee

QQQ1

2

0

0

Si possono fare due ipotesi:

Q indipendente dalla frequenza – In questo caso a parità di distanza viaggiata onde ad alta frequenza effettuano più cicli di vibrazione e quindi si attenuano di più.

Q dipendente linearmente dalla frequenza – L’effetto del maggiore numero di cicli sull’onda viene compensato dall’aumento di Q e quindi dalla diminuzione dell’attenuazione anelastica, in questo caso le frequenze si attenuano della stessa quantità.

In realtà si osservano comportamenti intermedi e la dipendenza di Q dalla frequenza può essere espressa dalla seguente legge:

100 confQQ