Lezione 3

EnricoRogora

Da Pitagoraad Euclide

Algebrageometrica

Problemiclassici

Coniche

I filosofi

Storia della matematica

Lezione 3

Enrico Rogorarogora@mat.uniroma1.it

Università di Roma

5 Marzo 2017 - Roma

Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 3 5 Marzo 2017 1 / 12

Lezione 3

EnricoRogora

Da Pitagoraad Euclide

Algebrageometrica

Problemiclassici

Coniche

I filosofi

Da Pitagora ad Euclide

Fase eroica della matematica: Raramente uomini così sprovvistidi mezzi hanno affrontato problemi matematici di importanzacosì fondamentale. [Cfr. Boyer].

Temi dominantiAlgebra geometrica. Teoria delle proporzioni.I tre problemi classici: quadratura del cerchio, trisezionedell’angolo, duplicazione del cubo.Studio delle coniche.

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I filosofi

Algebra geometrica

Metodo delle proporzioniCostruzione del quarto proporzionale dopo tre,Costruzione del medio proporzionale tra due.

Metodo delle areeApplicazione parabolica delle areeApplicazione ellittica delle areeApplicazione iperbolica delle aree

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Quarto proporzionale a : b = c : x

Soluzione con Talete [Euclide VII,12]

La risoluzione mediante la sola teoria dell’equivalenza [Euclide I.43, I.44] èuna tappa importante del movimento di svincolo della teoria delleproporzioni che Euclide attua nei primi quattro libri.

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Medio proporzionale a : x = x : b

La costruzione si basa sul teorema (di Euclide): l’altezzarelativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo è mediaproporzionale tra la proiezione dei cateti sull’ipotenusa.

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Applicazioni delle aree

Applicazione parabolica delle aree. Data un’area S , solitamente assegnatanella forma S = bc, con b e c segmenti dati, e un segmento a, determinareun segmento x tale che ax = bc.Dal punto di vista geometrico significa determinare il rettangolo su unsegmento dato equivalente a un rettangolo assegnato. Dal punto di vistaaritmetico si tratta di determinare due numeri di cui sia dato il prodotto esia fissato uno di essi.Se, invece di dare una dimensione del rettangolo di data area si dà unarelazione di primo grado tra le due dimensioni, il problema diventa disecondo grado. E precisamente si ha l’applicazione ellittica se delle duedimensioni è data la somma, mentre si ha l’applicazione iperbolica se delledue dimensioni è data la differenza.L’applicazione delle aree viene generalizzata a parallelogrammi qualsiasi eviene risolta, in generale, nel libro VI (Proposizione VI.28, cfr anche [Giaqpp. 25 – 26]), utilizzando la teoria delle proporzioni e nel libro II per irettangoli. L’applicazione ellittica si può risolvere anche grazie allaproposizione II.5 [Euc, pp. 166-170]

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Elementi, II.5

Se si divide una retta in parti uguali e diseguali, il rettangolocompreso dalle parti diseguali della retta, insieme con la partecompresa fra i punti di divisione, è uguale al quadrato dellametà della retta.Se la retta è AB, C il suo punto medio e D il suo ulteriore puntodi divisione, posto AC=a e CD=b, allora AD=a+b e DB=a-b equindi l’asserto si legge

(a+ b)(a− b) = a2 − b2.

Confronto tra algebra geometrica e algebra.

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I tre problemi classici: irrisolubili con riga ecompasso

Quadratura del cerchio

Antifonte: [Giaq. p. 31];

Spirale di Archimede, quadratrice di Ippia, concoide di Nicomede[Boyer]. Quadratura delle lunule [Cfr. Giaq. p. 30]. Dinostrato, conla trisettrice di Ippia.

Duplicazione del cubo

Lettera di Eutocio [cfr. Giaq. p. 32].

Ippocrate, con due medie proprzionali in progressione continua.Menecmo, con le coniche. Eudosso e Nicomede (concoide), Apollonio(cissoide).

Trisezione dell’angolo

Pappo, [Cfr. Giaq. p. 33].

Quadratrice di Ippia [Cfr. Giaq. pp. 34 – 35]. Critiche all’uso dellaquadratrice [Cfr. Giaq. p. 36].

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Trisettrice di Ippia o quadratrice di Dinostrato

Equazione polare: 2r sinφa = 2φ

π .

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Spirale di Archimede

Equazione polare: r = a+ bθ

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Studio delle coniche

Ippocrate osserva che per duplicare il cubo, basta risolvere unadoppia proporzione a : x = x : y = y : 2a.Menecmo, per risolvere il problema di Ippocrate, inizia lo studiodelle curve che si ottengono intersecando un cono retto conapertura pari a 45◦ con un piano perpendicolare a una delle suegeneratrici: parabola. [Cfr. Boyer]

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I filosofi

Importanza di Platone e Aristotele per lamatematica

Platone assegna alla matematica grande importanza. Alla suascuola si formano molti matematici (Eudosso, Menecmo eDinostrato). Importanza delle dimostrazioni: dimostrazioniall’indietro.Aristotele, studente di Platone, fu principalmente filosofo ebiologo. Importanza delle dimostrazioni: dimostrazioni inavanti, regole della logica.

Problemi dell’infinitoPlatone IndivisibiliAristotele Infinito attuale vs infinito potenziale. Lamatematica può fare a meno dell’infinito.

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