Schema lezione XVII

Enrico Rogora

28 aprile 2016

1 Kepler (1571-1630)

Da [1], pp. 42-44.

2 Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647)

Nacque a Milano Da giovane entro nell’ordine dei gesuati di s. Girolamo.Nel 1615 prese gli ordini minori e fu mandato a Pisa per perfezionarsi, doveincontro Benedetto Castelli, allievo di Galileo Galilei, che diede a Cavalieri leprime lezioni di geometria e, avendone riconosciute le capacita, lo presentoa Galilei. Per piu di dieci anni cerco senza fortuna un incarico per l’insegna-mento della matematica presso una Universita. Finalmente, nel 1629, grazie

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anche all’appoggio di Galileo, ottenne una cattedra di Matematica pressol’Universita di Bologna. Cavalieri non lascera piu Bologna fino alla morte,avvenuta il 30 novembre 1647.

Oltre alla Geometria degli indivisibili, la sua opera piu importante, pub-blico la Trigonometria plana e sphaerica, lo Specchio ustorio, le Exercitatio-nes geometricae sex e varie opere di astronomia e di astrologia.

Cavalieri fu il primo a pubblicare in Italia tavole per i logaritmi, di-ciotto anni dopo la loro invenzione da parte di John Neper e a illustrarnel’uso. Introdusse diversi perfezionamenti, sia nell’uso dei logaritmi, sia nellageometria sferica, dove dimostro il teorema che asserisce che l’area di untriangolo sferico geodetico (cioe i cui lati sono porzioni di cerchi massimi)sulla sfera unitaria e uguale alla differenza tra la somma degli angoli deltriangolo e due angoli retti: A = α1 + α2 + α3 − π.

Il principale contributo di Cavalieri alla matematica e il metodo degli in-divisibili, di cui abbiamo ampiamente trattato nelle lezioni XIV e XV, che euno snodo cruciale della storia della matematica, sia per la maggiore flessibi-lita rispetto al metodo di esaustione, sia per le controversie che ne seguirono,che portarono in ultima analisi allo sviluppo dei metodi infinitesimali e allanascita del calcolo infinitesimale.

Dimostro geometricamente, con il suo metodo di esaustione, le formuleche in notazione moderna si leggono∫ b

axn =

bn+1

n+ 1− an+1

n+ 1

senza sapere che erano gia state precedentemente ottenute da Fermat, cheera riuscito a estenderle al caso di esponenti frazionari positivi. L’estensioneagli esponenti frazionari negativi fu invece ottenuta per la prima volta daTorricelli.

3 Il successo del metodo degli indivisibili

Il metodo di Cavalieri si diffuse rapidamente in tutta Europa, sollevandoadesioni entusiastiche, aspre critiche (Guldin) e rivendicazioni di priorita(Roberval). Ecco un’opinione di Torricelli, secondo cui, con profetiche pa-role, si solleva l’ipotesi che qualcosa del genere fosse conosciuto anche agliantichi, come verra dimostrato dalla scoperta del Metodo di Archimede agliinizi del ventesimo secolo.

Che poi la geometria degli indivisibili sia un’invenzione deltutto nuova, non oserei certo dire. Crederei, piuttosto, che gli

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antichi Geometri si siano valsi di questo metodo per scoprirei Teoremi piu difficili, e che poi, nella dimostrazione, abbinopreferito un altro metodo, sia per nascondere i segreti dell’arte,sia per non offrire, a invidiosi detrattori, alcuna occasione dicritica. Dalle opere.

In somma, a me pare che per via degl’indivisibili si trovino[...] delle conclusioni da non disprezzarsi [...]. Come dunquequesta dottrina non e da stimarsi? Se costoro ammettessero leconclusioni pur belle, come credo, che bisogni concedere, con-verra pur anco approvare la dottrina, almeno dovranno mostrareche ve ne sono delle false, ma credo che dureranno fatica?

4 Mengoli (1626 – 1686)

Da [1], p. 48.

5 Evangelista Torricelli (1608 – 1647)

Evangelista Torricelli nacque presso Faenza nel 1608 e studio presso i ge-suiti. Dopo il 1626 e a Roma, dove viene in contatto con Benedetto Castelli,

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professore alla Sapienza. Nel 1641 completa l’Opera geometrica (pubblicatanel 1644) che viene accolta con entusiasmo da Castelli e Galileo, che lo invitaa collaborare con lui ad Arcetri. Torricelli riesce a collaborare con Galileosolo per pochi mesi. La morte di quest’ultimo interrompe la collaborazionenel gennaio del 1642. Dopo la morte di Galileo, Torricelli viene nominatoMatematico del Granduca di Toscana.

Tra il 1643 e il 1647 Torricelli si occupa di geometria, di teoria del moto,della costruzione di lenti, della teoria del vuoto e della pressione atmosferi-ca. Muore a soli trentanove anni, nel 1647. Tra i suoi numerosi contributimatematici, che lo fanno ritenere il piu dotato dei matematici della cerchiadi Galileo, estese e perfeziono il metodo degli indivisibili, compı i primi passinella direzione del calcolo differenziale studiando le tangenti alla cicloide esi rese conto per primo del legame tra l’operazione di integrale e di derivata(Teorema fondamentale del calcolo o di Torricelli-Barrow). Discusse ancheun esempio, che fece grande scalpore, di un solido di superficie infinita madi volume finito, l’iperboloide infinito1.

Affronto ora un problema che, a degli aspiranti Geometri,sembrerebbe non solo difficile, ma addirittura impossibile. Infat-ti nelle trattazioni scolastiche di Geometria si trovano misure difigure limitate da ogni parte, e fra tutti i solidi, dei quali gli Au-tori antichi e moderni, con numerosi sforzi, hanno determinatola misura, nessuno, che io sappia, ha una estensione infinita.E se si propone di considerare un solido, oppure una figura pia-na, infinitamente estesa, ciascuno pensa subito che una figura diquesto genere debba essere di grandezza infinita. Eppure esisteun solido, di lunghezza infinita, ma dotato di una sottigliezza ta-le, che per quanto prolungato all’infinito, non supera la mole diun piccolo cilindro.

Il risultato suscito grande sorpresa e un acceso dibattito sul senso e sullecapacita della matematica di trattare l’infinito attuale.

L’iperboloide infinito, o tromba di Torricelli, o anche tromba di Gabriele,con riferimento all’Arcangelo, e un solido ottenuto dalla rivoluzione intornoall’asse della curva di equazione y = 1

x nell’intervallo [1,+∞)2. Questosolido ha la particolarita di avere volume finito, ma area infinita.

1Cfr. Lettura sull’iperboloide acuto infinito.2Torricelli utilizava una definizione geometrica equivalente. Data una coppia di assi

ortogonali e un punto Q sulla bisettrice del primo e terzo quadrante, l’iperbole e il luogodei punti P tali che, detto O il punto di intersezione dei due assi, il rettangolo PO e ugualeal quadrato QO.

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Quanto al metodo della dimostrazione3, dimostreremo un uni-co notevole teorema in duplice modo, cioe con gli indivisibili edalla maniera degli antichi. Benche, a dire il vero, esso sia statoscoperto con la Geometria degli Indivisibili, la quale e un veromodo scientifico di dimostrare, diretto, e per cosı dire, naturale.

Mi muove a compassione la vecchia Geometria, la quale nonconoscendo, oppure non ammettendo gli indivisibili, nello studiodella misura dei solidi scoprı cosı poche verita, che una penosapoverta di idee e perdurata fino all’eta nostra. Infatti, i teoremidegli antichi che compongono la dottrina dei solidi, rappresenta-no soltanto una parte delle speculazioni che, nella nostra epoca,il mirabile Cavalieri (per non parlare degli altri) fece attorno anumerose classi di solidi, differenti di specie e abbondanti in grannumero.

3Cfr. Letture, Torricelli, sul solido iperbolico.

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5.1 La Cicloide

Uno dei primi problemi che stimolarono lo sviluppo dei metodi differenziali ene costituı uno dei banchi di prova fu quello di determinare le proprieta dellacicloide. Essa fu studiata per la prima volta da Nicola Cusano e ricevette ilnome attuale nel 1599 da Galileo. Si dedicarono allo studio di questa curvaanche Torricelli, Roberval, Fermat, Cartesio, Huygens, Bernoulli e Newton.La cicloide risolve due problemi fisici importanti. E infatti la curva

• tautocrona, ovvero le oscillazioni su di un arco di cicloide sono esatta-mente isocrone (e non solo approssimativamente come in un pendolosemplice);

• brachistocrona, ovvero la curva su cui una massa che rotola senza stri-sciare, soggetta alla sola forza peso, impiega meno tempo per percor-rere il tragitto fra due punti posti nello stesso piano verticale.

Cicloide

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Cicloide

Cicloide

Scegliendo un sistema di riferimento in cui l’origine e posta nel punto dicontatto della circonferenza con la retta sulla quale la circonferenza rotolasenza strisciare, con l’asse delle ascisse coincidente con tale retta e orientatonel senso del movimento della ruota e con l’asse delle ordinate orientato inmodo che la circonferenza sia sempre nel semipiano delle ordinate positive

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durante il suo moto, l’equazione della cicloide e4.{x = −R · sinωt+Rωty = R−R · cosωt

dove R e il raggio e ω la velocita angolare del cerchio che rotola senza stri-sciare. Se invece di prendere un punto sulla circonferenza si prende un puntocollegato rigidamente al cerchio e posto a distanza r dal centro, l’equazioneparametrica della curva descritta da questo punto e:{

x = −r · sinωt+Rωty = R− r · cosωt

Per r < R abbiamo la ipocicloide e per r > R abbiamo la epicicloide

Cicloide

4Se ω e la velocita angolare della ruota che rotola senza strisciare sulla retta, dopo tsecondi il tratto percorso dalla ruota, e quindi la distanza dall’origine del nuovo punto dicontatto e pari a Rωt, che coincide anche con il tratto percorso dal centro del cerchio, inmoto traslatorio uniforme. Restando solidali con la circonferenza, il punto iniziale di con-tatto ha percorso un angolo pari a ωt e le sue coordinate rispetto a un sistema di riferimentocentrato nel centro del cerchio e parallelo agli assi coordinati sono (−R sinωt,R−R cosωt).Le equazioni parametriche nel sistema di riferimento fisso sono allora quelle indicate.

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Cicloide

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Area Cicloide

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Area Cicloide

Due importanti problemi che vennero considerati relativamente alla ci-cloide riguardano il calcolo dell’area dell’arco completo di cicloide e la de-terminazione della tangente in un punto della cicloide.

Per tracciare la tangente al punto P si procede nel modo seguente

1. Si traccia la circonferenza per P tangente alla retta di rotolamento.

2. Si traccia per P un segmento tangente al cerchio che rotola e unsegmento parallelo alla retta di rotolamento in modo tale che i duesegmenti abbiano la stessa lunghezza5

3. La direzione della tangente e quella della diagonale del parallelogram-ma costruito sui due segmenti del punto precedente.

Per calcolare l’area sottesa ad un arco completo di cicloide, il metodoproposto da Torricelli consiste in

5Esercizio: determinare il rapporto tra i due segmenti nel caso si voglia tracciare latangente all’epicicloide e la tangente all’ipocicloide.

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1. traslare gli indivisibili del semicerchio in nero nella figura, in modoche il loro estremo sinistro stia sulla cicloide C, ottenendo in questamaniera gli indivisibili in rosso, i cui estremi destri individuano unacerta curva G;

2. osservare che la curva G divide in due regioni congruenti il rettangolodi base uguale alla semicirconferenza e altezza uguale a due volte ilraggio (una di queste regioni e identificata con un tratteggio violanella figura);

3. dedurre quindi, in base al principio di Cavalieri e alla formula perl’area della circonferenza, che l’area di mezza cicloide e uguale a trevolte l’area di mezzo cerchio, e quindi che la regione delimitata daun arco completo di cicloide e dalla retta su cui rotola il cerchio chedefinisce la cicloide e uguale a tre cerchi.

6 Nuovi risultati di calcolo integrale

cfr. [1] pp.54 – 71.

Riferimenti bibliografici

[1] Castelnuovo G., Le origini del calcolo infinitesimale nell’era moderna

[2] Giusti E., Breve storia del calcolo integrale.

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