2003

Lezione 11:Solidi, superfici e proiezioni

Le proiezioni

Lo schermo del calcolatore e' in grado di visualizzare immagini bidimensionali.

In grafica 3D si modellano oggetti in tre dimensioni.

Le proiezioni sono un meccanismo con cui costruire una vista bidimensionale di un mondo tridimensionale.

Le proiezioni

Ogni proiezione e' caratterizzata da un insieme di raggi di proiezione e da un piano di proiezione.

La visione 2D del mondo 3D corrisponde all'intersezione dei raggi di proiezione con il piano di proiezione.

Le proiezioni

Esistono due classi principali di proiezioni:

Proiezioni parallele

Proiezioni prospettiche

Le proiezioni

Nelle proiezioni parallele i raggi di proiezione sono tutti paralleli tra di loro.

Le proiezioni

Nelle proiezioni prospettiche i raggi di proiezione non sono paralleli, ma passano tutti per uno o piu' punti.

Le proiezioni

Le proiezioni parallele si dividono a loro volta in due sottoclassi:

Ortografiche

Oblique

Le proiezioni

Nelle proiezioni ortografiche i raggi di proiezione sono perpendicolari al piano di proiezione.

Le proiezioni

Nelle proiezioni oblique i raggi di proiezione sono inclinati rispetto al piano di proiezione.

Le proiezioni ortografiche

Le proiezioni ortografiche piu' importanti sono le proiezioni ortogonali.

In questo caso i raggi di proiezione sono perpendicolari alle superfici pricipali dell'oggetto.

Le proiezioni ortografiche

Esistono 6 tipi diversi di proiezione ortogonale, ma normalmente ne vengono utilizzati solamente 3:

Prospetto

Profilo

Pianta

Le proiezioni ortografiche

Il prospetto mostra l'oggetto visto "da sinistra".

Le proiezioni ortografiche

La pianta visualizza invece una visione "dall'alto" dell'oggetto stesso.

Le proiezioni ortografiche

Il profilo corrisponde ad una visione "frontale" dell'oggetto.

Le proiezioni ortografiche

Normalmente le tre proiezioni ortogonali vengono rappresentatte contemporaneamente in modo da dare una visione globale dell'oggetto.

Le proiezioni ortografiche

L'assonometria isometrica e' una proiezione ortografica in cui i raggi non sono perpendicolari alle direzioni principali dell'oggetto raffigurato.

Questo tipo di rappresentazione e' in grado di visualizzare tutte le facce di un oggetto contemporaneamente.

Le proiezioni ortografiche

In assonometria isometrica i tre assi formano un angolo di 120 gradi l'uno con l'altro.

Le proiezioni oblique

La proiezione obliqua piu' importante e' detta assonometria cavaliera.

Le proiezioni oblique

In questo caso gli assi x e y vengono rappresentati come nella proiezione ortogonale frontale.

Le proiezioni oblique

L'asse z viene raffigurato lungo una retta a 45 gradi. Le lunghezze lungo l'asse z vengono dimezzate.

Le proiezioni prospettiche

Le proiezioni prospettiche sono caratterizzate dal numero di punti da cui partono i raggi di proiezione:

Frontale

Accidentale

Razionale

Le proiezioni prospettiche

Nelle visioni frontali esiste un solo centro di proiezione.

Le proiezioni prospettiche

Le visioni accidentali hanno due centri di proiezione.

Le proiezioni prospettiche

Tre centri di proiezione contraddistinguono le proiezioni razionali.

I solidi

I programmi permettono di inserire numerosi oggetti con cui costruire le scene.

Questi oggetti si basano su astrazioni matematiche di forme reali che chiameremo solidi.

I solidi

La classe piu' semplice di oggetti solidi che considereremo e' quella dei 2-manifolds.

In un 2-manifold, ogni piccolo cerchio attorno ad un qualsiasi punto giace su un unico piano.

I solidi

In un 2-manifold tutto cio' che sta introno ad ogni suo punto giace su un solo piano.

I solidi

Non sono classificabili come 2-manifold le figure in cui, attorno ad un punto, giacciano piu' piani.

I solidi

Un poliedro semplice e' un 2-manifold in cui non vi siano "buchi" o "sporgenze".

I solidi

Una faccia di un poliedro e' una porzione di piano che ne delimita la superfice.

I solidi

Un spigolo corrisponde all'intersezione di due facce distinte.

I solidi

Un vertice e' situato nell'intersezione di tre facce distinte.

I solidi

Ogni spigolo e' delimitato da esattamente due vertici.

Ogni faccia e' delimitata da 3 o piu' spigoli.

I solidi

Esiste una relazione in un poliedro semplice tra il numero di vertici, gli spigoli e le facce, detta formula di Eulero.

Chiamati V il numero di vertici, E il numero di spigoli ed F il numero di facce...

V = 8F = 6E= 12

I solidi

V + F = E + 2.

I solidi

La formula puo' essere anche estesa a poliedri con buchi, sporgenze e parti separate.

Chiamati H il numero di buchi nelle facce, G il numero di "gallerie" che attraversano il solido e C il numero di componenti separate...

V = 24F = 15E= 36C =1H = 3G = 1

I solidi

V + F = E + H + 2(C - G).

Le mesh

Ogni solido inserito in un programma di grafica 3D viene memorizzato come un insieme di triangoli.

Un insieme di triangoli adiacenti prende il nome di Mesh.

Le mesh

In geometria e' noto che per tre punti non allineati passa un solo piano.

Le mesh

Tre punti non allineati delimitano un triangolo.

Le mesh

Qualsiasi poligono formato da un numero superiore di punti, potrebbe non giacere su un unico piano.

Le mesh

Ogni poligono viene suddiviso e memorizzato come un insieme di triangoli, in quanto questi ultimi garantiscono la planarita' della figura da essi rappresentata.

Le mesh

Il processo di suddivisione di un poligono in triangoli viene chiamato triangolazione.

Le mesh

Ogni solido viene memorizzato attraverso i poligoni che delimitano le sue facce...

Le mesh

... e quindi in ultima analisi come un insieme di triangoli adiacenti.

Le mesh

Per creare ed inserire in un programma di grafica nuovi oggetti solidi, occorre definirli attraverso mesh.

Le superfici

Cio' che viene effettivamente rappresentato sullo schermo da un programma di grafica e' la superficie di un oggetto.

Tutta la "materia" contenuta "all'interno" dell'oggetto puo' essere ignorata in quanto mascherata dalla superifce stessa.

Le superfici

Una superficie piana e' una superificie i cui punti appaertengono tutti ad uno stesso piano.

Le superfici

Una superficie curva e' invece una superificie che presenta delle concavita' e delle convessita'.

Le superfici

Per ogni punto di una superficie curva esiste un unico piano tangente.

Le superfici

Il piano tangente viene generalmente identificato con un segmento perpendicolare al piano stesso.

Le superfici

Questo segmento viene rappresentato da un vettore chiamato normale alla superfice.

Le superfici

In ogni punto di una qualsiasi superficie (piana o curva che sia) e' definito un vettore normale che identifica "la direzione" del piano tangente alla superficie in quel punto.

Le superfici

Questa informazione viene utilizzata per determinare il colore che assumono i vari punti di una superficie in funzione delle sorgenti di luce presenti.

Primitive 3D base

I programmi di grafica 3D mettono a disposizione un gran numero di solidi da cui partire per creare i modelli.

Questi oggetti possono essere inseriti direttamente sulla scena e configurati in termini di dimensioni e parametri vari.

Primitive 3D base

Il solido piu' semplice e' il parallelepipedo.

Primitive 3D base

La sfera e' disponibile in due formati: quella a "faccie quadrate"...

Primitive 3D base

... e quella a "faccie triangolari".

Primitive 3D base

Il cilindro e' l'equivalente del parallelepipedo a base circolare.

Primitive 3D base

Il cono a base circolare. In molti programmi lo stesso strumento consente anche di inserire tronchi di cono.

Primitive 3D base

La piramide a base rettangolare.

Primitive 3D base

Il tubo corrisponde ad un cilindro bucato.

Primitive 3D base

Il toro invece corrisponde all'incirca al disegno di una ciambella.

Primitive 3D base

La teiera e' invece inserita per motivi storici, in quanto e' stata da sempre utilizzata per testare il rendering dei programmi.

Privitive 3D estese

La primitiva poliedri permette di inserire poliedri complessi quali l'ottaedro e l'icosaedro.

Privitive 3D estese

Il cilindro ed il parallelepidedo rifilato inseriscono le rispettive figure con gli spigoli smussati.

Privitive 3D estese

Il nodo toroidale inserisce una figura annodata, utile per studiare illuminazioni complesse.

Privitive 3D estese

Il fuso, il serbatoio e la capsula corrispondono a cilindri con differenti tipi di estremita'.

Privitive 3D estese

Il poligono Gen ed il prisma, corrispondono a prismi con differenti tipi di base.

Privitive 3D estese

L'estrusione ad L e l'estrusione a C creano giunti a forma di L e di C.

Privitive 3D estese

Il tubo flessibile costruisce un soffietto a fisarmonica.

Superfici curve

Cosi' come in grafica 2D esistono primitive per disegnare segmenti curvi, in grafica 3D sono presenti primitive per modellare superfici curve.

Queste superfici sono l'estensione delle curve di Bezier ed Hermite al caso 3D.

Superfici curve

Le superfici di Hermite uniscono 4 punti nello spazio...

Superfici curve

... per ogni punto viene specificata la normale alla superficie in quel punto...

Superfici curve

... ed un fattore di torsione.

Superfici curve

Piu' utilizzate sono le NURBS (Non Uniform Rational B-Spline).

Esse vengono definite mediante 16 punti.

Esistono due modi distinti di utilzzare questi punti: come punti interpolati o come punti di controllo.

Superfici curve

Nel caso di punti interpolati, la superficie definita passa per tutti i 16 punti inseriti.

Superfici curve

Una NURBS con punti di controllo e' invece l'analogo di una curva di Bezier in tre dimensioni: la superficie non tocca i punti ma giace nel guscio convesso da essi determinato.

Superfici curve

I programmi di grafica hanno numerosi strumenti per definire e modificare NURBS e superfici di Hermite.