L'equazione di terzo grado: storia e conseguenze della sua ...

AbstractLe origini della risoluzione delle equazioni algebriche

La soluzione nell’Italia del RinascimentoIl caso irriducibile

L’equazione di terzo grado: storia econseguenze della sua risoluzione

Emilia Mezzetti

Dipartimento di Matematica e GeoscienzeUniversità degli Studi di Trieste

[email protected]

Venezia, 13 novembre 2021

Emilia Mezzetti Equazione di terzo grado

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Outline

1 Abstract

2 Le origini della risoluzione delle equazioni algebriche

3 La soluzione nell’Italia del Rinascimento

4 Il caso irriducibile




Abstract

Nel XVI secolo grazie al lavoro dei matematici italiani Scipionedel Ferro, Niccolò Tartaglia e Gerolamo Cardano si arrivò allaformula risolutiva per radicali per le equazioni di terzo grado.Ripercorreremo la storia di tale scoperta, che vede sullo sfondodisfide, duelli e segreti. La scoperta della formula non chiuseperò il problema della risoluzione delle equazioni di terzo grado,ma anzi generò nuovi problemi, e portò alla nascita di nuoveteorie matematiche, come per esempio l’introduzione deinumeri complessi.




Equazioni di 1◦ grado: Ebla, Egizi, Babilonesi. . .

Equazioni di 2◦ gradoEgizi: equazioni pure come x2 = 5Babilonesi: metodo geometrico del completamento delquadratoGreci: Erone (I sec.d.C.), Diofanto: Arithmetica (IIIsec.d.C., ma quasi sconosciuta in Europa fino allatraduzione di Bachet, 1621)Arabi (∼ 800): al-Khwarizmi scrive L’Algebra “ Regola dellacosa”Classifica 6 tipi di equazioni di 2◦ grado e dà le regolerisolutive.




Equazioni di 2◦ grado secondo al-Khwarizmi

censi uguali a cose ax2 = bx

censi uguali a numero ax2 = ccose uguali a numero ax = c

censi e cose uguali a numero ax2 + bx = c

censi e numero uguali a cose ax2 + c = bx

cose e numero uguali a censi bx + c = ax2

I coefficienti sono sempre numeri positivi, per questo vi sonotanti casi diversi da distinguere.




Equazioni di 3◦ gradoStudio e soluzione di molte equazioni particolari, anche inDiofanto

Omar Khayyam (1048 - 1131): elenca 14 casi di equazioni di3◦ gradoRisoluzione geometrica come intersezione di due curve, manon regola risolutiva“ Forse uno di quelli che verranno dopo di noi riuscirà a trovarela regola. . . ”




Le Scuole d’Abaco

Abaco: insieme delle operazioni contabili e delle problematicheconnesse alla pratica mercantileScuole d’abaco in Italia nascono a partire dal XIII secoloLiber abaci - Fibonacci

I libri d’abaco si compongono di molti problemi particolari - nonmetodo generaleTendono a formare una mentalità mnemonico-analogica, nonlogico-deduttiva




Niccolò Fontana, detto Tartaglia: maestro d’abaco

Nacque a Brescia nel 1499Fu sfregiato durante il sacco diBrescia nel 1512 -> balbuzieDiventa Maestro d’abaco aVeronaTartaglia si afferma, molti loconsultano per risolvereproblemi, altri maestri d’abaco losfidano

Le disfide matematiche erano molto diffuse con regoleconsolidate.




Lo sfidante inviava alcuni problemi, lo sfidato dovevacercare di risolverli entro un termine prestabilito,proponendo allo sfidato ulteriori problemi.In caso di esito contrastato, pubblico dibattitoNessuno dei duellanti poteva avanzare problemi che eglistesso non fosse capace di risolvere

Nel 1530 Zuanne de Tonini da Coi sfida Tartaglia con duequesiti che si possono tradurre in equazioni di terzo grado,stimolando così la sua curiosità.

Non si usano formule: algebra retorica.




“ Trovatime un numero qualmoltiplicato per la sua radice più 3 mifaccia 5.Similemente, trovatime tre numeri, mache ’l secondo sia 2 più del primo etche ’l terzo sia pur 2 più del secondo,et che multiplicato el primo fia elsecondo, et quel produtto fia el terzo,faccia 1000.”

Si traducono nelle equazioni di terzogrado

x2(x + 3) = 5x(x + 2)(x + 4) = 1000

Tartaglia racconta la storiadella scoperta della formularisolutiva dell’equazione cubicae la sua diatriba con Cardanonel libro Quesiti et inventionidiverse (1546)




Nel 1534 a Venezia Tartaglia è sfidato da Antonio Maria Fior,maestro d’abaco proveniente da Bologna:Fior propone 30 problemi, Tartaglia li risolve tutti in due ore:i problemi di Fior sono tutti “del capitolo de cosa e cubo equal anumero”:

x3 + px = q

Tartaglia scrive a Tonini da Coi di aver scoperto 8 giorni primala regola generale. E` una scoperta straodinaria.Fior si vanta di aver avuto la regola 30 anni prima da “un granmatematico”.Tartaglia si rifiuta di rivelare la sua formula a Tonini da Coi (eanche testi e soluzioni dei problemi).

Non si usava pubblicare i propri risultati




Gerolamo Cardano

Nato nel 1501, Cardano è unbrillante affermato medicoStudioso di matematica,musicologo, astrologo. . .Abile parlatore ma vanitoso,rude, aggressivo.Sta scrivendo un libro dimatematica pratica, aritmetica,algebra e geometria Practicaarithmetice, con tabelle sulleequazioni di 1° e 2° grado.

Tonini da Coi sfida Cardano con equazioni di 3° e 4° grado e gliparla di Tartaglia.




La diatriba fra Tartaglia e Cardano

Cardano contatta Tartaglia e gli chiede la formula;Tartaglia rifiuta allora Cardano gli chiede i 30 problemi diFior;Tartaglia rifiuta, Cardano sfida Tartaglia con 7 problemi;Tartaglia capisce che vengono da Tonini da Coi e cheCardano non sa la risposta.

La corrispondenza ha toni a volte aggressivi e sarcastici, avolte di lusinga. Cardano invita Tartaglia a Milano, giura di nondivulgare la formula. Dopo molte insistenze di Cardano,Tartaglia cede e gli mostra la sua “poesia algebrica” checontiene le regole risolutive per

x3 + px = q, x3 = px + q, x3 + q = px .




La poesia algebrica

Quando che ’l cubo con le cose appressoSe agguaglia a qualche numero discreto x3 + px = qTrovan dui altri differenti in esso u − v = q

De poi terrai questo per consuetoChe ’l lor prodotto sempre sia egualeAl terzo cubo delle cose neto. uv = (p/3)3

El residuo poi suo generaleDelli lor lati cubi ben sottrattiVarrà la tua cosa principale. x = 3

√u − 3√

v




In el secondo de cotesti attiQuando che ’l cubo restasse lui soloTu osserverai quest’altri contratti

Del numer farai due tal part’a voloChe l’una in l’altra si produca schiettoEl terzo cubo delle cose in stolo

Delle qual poi, per comun precettoTorrai li lati cubi insieme giontiEt cotal somma sarà il tuo concetto.

El terzo poi de questi nostri contiSe solve col secondo se ben guardiChe per natura son quasi congionti.

Questi trovai, et non con passi tardiNel mille cinquecente, quatro e trentaCon fondamenti ben sald’e gagliardiNella città dal mar intorno centa.

Cardano interpreta la filastrocca e verifica la formula in molticasi; ma si accorge che in certi casi non funziona.




Le formule cardaniche - I caso

x3 + px = q,

{u − v = quv = (p/3)3

u2 − uq − (p/3)3 = 0 risolvente quadratica

u = q/2+√

q2/4 + p3/27, v = u−q = −q/2+√

q2/4 + p3/27

q2/4 + p3/27 = ∆ discriminante

x =3

√q/2 +

√q2/4 + p3/27− 3

√−q/2 +

√q2/4 + p3/27

risulta una radice (positiva) dell’equazione.Emilia Mezzetti Equazione di terzo grado



Interpretazione in termini moderni

Idea: esprimere la soluzione nella forma x = y − z, riconducendosi adue incognite al posto di una, dunque rimane un grado di libertà. Ciòpermette di imporre un’ulteriore condizione su y e z, che faciliti iconti. Si ottiene l’equazione

x3+px = (y3−3y2z+3yz2−z3)+p(y−z) = y3−z3+(p−3yz)(y−z) = q.

Imponendo la condizione p − 3yz = 0, ossia yz = p/3, l’equazione sitrasforma nel sistema {

y3 − z3 = qyz = p/3.

Per risolverlo, eleviamo al cubo la seconda equazione e risolviamo ilsistema per le incognite t = y3, s = z3. Otteniamo t − s = q,ts = p3/27 e concludiamo come sopra.




Le formule cardaniche - II e III caso

x3 = px + q,

{u + v = quv = (p/3)3

In questo caso si cerca una soluzione che si possa esprimerecome x = y + z.

x =3

√q/2 +

√q2/4− p3/27 +

3

√q/2−

√q2/4− p3/27

∆ = q2/4− p3/27

Cardano nota che la formula non si può applicare se∆ = q2/4− p3/27 < 0: casus irreducibilis.Tartaglia non risponde alle obiezioni di Cardano.




1542: Cardano e il suo allievo Ludovico Ferrari visitano aBologna Annibale Della Nave, genero del famoso matematicoScipione del Ferro, morto 15 anni prima: questi mostra loro untaccuino del suocero che contiene la stessa formula trovata poida Tartaglia! Del Ferro aveva comunicato la soluzione all’allievoAntonio Maria Fior.

Cardano si ritiene libero dalgiuramento.1545: pubblica l’Ars Magna,volume in cui illustra e discutele formule risolutive delleequazioni di terzo e anche diquarto grado (dovute a Ferrari):inizio dell’algebra moderna.




Cardano e l’Ars Magna

I coefficienti delle equazioni considerate sono numeri interi orazionali positivi. Cardano distingue e discute 13 casi. Leformule risolutive ottenute forniscono come soluzioni numerirazionali e anche irrazionali, contenenti radicali, eventualmentenegativi (soluzioni ficte). Non sempre sono applicabili.

Le radici quadrate sono prese sempre positive.

Cardano realizza che ogni equazione cubica può esserericondotta con un cambio di variabile a una in cui il coefficientedi x2 è nullo (equazione depressa).

E` consapevole che certe equazioni hanno altre soluzioni oltre aquella data dalla formula.

Si pone il problema di come manipolare i radicali doppi cubici.




Esempio

x3 + 6x = 20 ha 2 come soluzione.La formula dà l’espressione

3√

10 +√

108− 3√−10 +

√108

Si verifica con un semplice conto che

3√

10 +√

108 =√

3 + 1,3√−10 +

√108 =

√3− 1 :

la soluzione ottenuta è proprio 2!

Tartaglia cerca regole per esprimere radicali del tipo 3√

a +√

bnella forma u +

√v .




Il caso irriducibile

Nella formula di Tartaglia in alcuni casi compaiono radiciquadrate di numeri negativi: radici sofistiche, pur sel’equazione ha addirittura tre soluzioni reali.Cardano prova a manipolare formalmente le espressioni, manon riesce a costruire un’aritmetica per queste quantità (peresempio, problema dei segni).Cerca anche senza successo formule alternative da usare inquesti casi. Continua a studiare il problema nel De regula aliza,il caso “irrisolto” o “irrisolubile”.Sarà dimostrato che in questi casi non è possibile trovare unaformula per radicali che eviti la comparsa dei numeri complessi(Paolo Ruffini, 1799).Il primo a formalizzare i numeri complessi è Rafael Bombelli,nell’Algebra, 1572.




In termini moderni, data un’equazione generale di 3◦ grado acoefficienti in C x3 + bx2 + cx + d = 0, si può operare uncambio di variabile: x = y − a/3 e ridursi a un’equazione senzatermine quadratico y3 + py + q = 0: la somma delle radici è 0.Si prosegue come nella II formula di Tartaglia, ponendoy = u + v , con la condizione uv = −p/3.Si arriva all’estrazione di due radici cubiche 3

√A, 3√

B, con

A = −q/2 +√

q2/4 + p3/27, B = −q/2−√

q2/4 + p3/27.

Per ciascuno vi sono tre radici cubiche complesse, che dannoin principio 9 soluzioni:

u1 =3√

A,u2 = εu1,u3 = ε2u1, v1 =3√

B, v2 = εv1, v3 = ε2v1

dove ε è una radice primitiva terza dell’unità.




Poichè dev’essere uivj = −p/3, alla fine rimangono 3 soluzioni,del tipo

u1 + v1,u2 + v3,u3 + v2.

Nel caso di un’equazione a coefficienti reali, da ciò si ottienefacilmente:

se ∆ > 0 vi sono una soluzione reale e due complesseconiugate;se ∆ < 0 vi sono tre soluzioni reali;se ∆ = 0, si ha A = B reale; l’equazione ha radici tuttereali di cui almeno una con molteplicità > 1.




Rafael Bombelli, bolognese

Trattato L’Algebra: due versioni a distanza di 20 anni, laseconda nel 1572, fra le due scopre e traduce l’Arithmetica diDiofanto.Raccoglie i contributi della Scuola bolognese del ’500.“ Analizza dettagliatamente la struttura di un corpo aritmeticocontenente irrazionalità quadratiche e cubiche, osservando chel’aggiunta di irrazionali quadratici è sufficiente per risolvere leequazioni di secondo grado, mentre l’aggiunta di irrazionalicubici serve per risolvere le equazioni di terzo grado... Bisognaaggiungere anche quelle partiticolari irrazionalità cubiche che sipresentano nel caso irriducibile.Bombelli riconobbe la necessità di aggiungere nuovi numeri,che furono detti immaginari, adatti a rappresentare taliradici...Ne stabilì le leggi formali di calcolo.”




Introduce i segni “più di meno”e “meno di meno” e detta leregole di moltiplicazione. Stabilisce che i numeri complessi dasommare nella formula risolutiva sono coniugati (congionti).

Inoltre, Bombelli descrive due macchine, poi dette “squadri delBombelli”: il primo serve a “dimostrare in superficie piana”l’esistenza di una soluzione per l’equazione cubicax3 + px = q, il secondo invece “dimostra in superficie piana”l’esistenza di una soluzione per x3 = px + q. Quest’ultimadimostrazione è particolarmente importante perchè è “la primadimostrazione di esistenza per continuità storicamente nota.”(Franci - Toti Rigatelli, 1979).




Bombelli dimostrò, in un caso particolare, ma conprocedimento del tutto generale, l’equivalenza del problemadella trisezione dell’angolo con riga e compasso con quello delcaso irriducibile dell’equazione cubica.

Bombelli introduce e studia i numeri complessi al fine dirisolvere equazioni, non come nuovi numeri significativi in sè.Secondo Enrico Giusti, che individua delle condizioniabbastanza precise perchè si possa parlare di nascita di unnuovo oggetto matematico, nell’Algebra di Bombelli i numericomplessi non sono ancora nati. Ma, concludo citando GiorgioBagni:




Grazie per l’attenzione!




Referenze bibliografiche principali

R. Bombelli, L’Algebra, Prima edizione integrale, Prefazione diE. Bortolotti e E. Forti, Feltrinelli, 1966.S. Confalonieri, The casus irreducibilis in Cardano’s Ars Magnaand De Regula Aliza, Arch. Hist. Exact Sci. 69 (2015),257-289.R. Franci, L. Toti Rigatelli, Storia della teoria delle equazionialgebriche. Mursia, 1979.V. Gavagna, La soluzione per radicali delle equazioni di terzo equarto grado e la nascita dei numeri complessi: Del Ferro,Tartaglia, Cardano, Ferrari, Bombelli, Università di Firenze.E. Giusti, Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici, BollatiBoringhieri, 1999.R. Rosso, Note sulla teoria delle equazioni, Università di Pavia.




Risoluzione goniometrica in ambito reale

sin(3α) = 3 sinα− 4 sin3 α, quindisin3 α− 3/4 sinα + 1/4 sin(3α) = 0.

Allora data un’equazione del tipo x3 − 3/4x + 1/4γ = 0 con| γ |≤ 1, esiste un angolo α tale che sin(3α) = γ.Nell’intervallo (−π, π) ci sono tre scelte date daα = 1/3 arcsin γ + 2kπ/3, k = −1,0,1.Allora abbiamo una formula risolutiva di tipo goniometrico:

x = sin(1/3 arcsin γ + 2kπ/3), k = −1,0,1.

Il caso generale x3 + px + q = 0 con p < 0 può essere ridotto aquesto con una sostituzione del tipo x = mt , se ∆ < 0.


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