l’elemento infinitesimo isolato vale a dire il termine idl

non esiste

la prima formula di Ampere-Laplace riproduce i risultati sperimentali,

Legge di conservazione della carica elettrica

ad es. la legge di Biot Savart,

in natura

di corrente continua,

ma

una possibilita’ sarebbe quella di

se ne conclude che

di lunghezza infinitesima dl come produrre una corrente continua che scorra solamente in un tratto

rettilineo

la corrente elettrica puo’ fluire

ma si verifica sperimentalmente

non si crea ne’ si distrugge

di filo conduttore ?

che in natura la carica elettrica

solo in un circuito chiuso posizionare una carica in questo punto dello spazio

far sparire istantaneamente la carica in questo punto dello spazio

spostare la carica a velocita’ costante lungo il tratto dl e far riapparire istantaneamente un’altra carica in questo punto dello spazio

non e’ possibile isolare dal resto del circuito un elemento infintesimo di corrente continua

- supponiamo di avere cariche elettriche

- supponiamo che, al passar del tempo, la carica

totale qint all’interno del volume,

delimitato da una superficie chiusa Σ un volume V,

( equazione di continuita’ )

per esempio positive

diminuisca

della legge di conservazione Espressione matematica della carica elettrica

all’ interno di

Σ

pero‘ questo implicherebbe la della carica elettrica non conservazione

cio’ potrebbe avvenire se

dall’interno del volume V svanire

dq

una certa quantita’

di carica elettrica

all’interno del volume

e se la carica elettrica non si crea ne’ si distrugge,

a cariche che siano uscite

una diminuzione di carica

puo’ essere dovuto solamente

dall’interno del volume attraversando la superficie

il volume entro cui si trovavano le cariche

che racchiude

Σ

chiusa

potesse semplicemente

ma una carica elettrica che attraversa

Si J dS= ⋅∫

e’ una corrente elettrica una superficie

e risulta che

di solito S ma in questo caso particolare

le cariche elettriche

chiusa Σ corrisponde alla superficie

e’ una superficie aperta,

i J dSΣ

= ⋅∫

che circonda il volume in cui

Nota Bene:

sono contenute

per convenzione e’ orientata

positivamente verso l’esterno

Orientamento di Σ dato che Σ e’ una superfice chiusa

dS

J

vv

v

v

v

vJ nq=

in questo caso q e’ positiva

la velocita’ v

uscente dalla superficie Σ

e’ nel verso

quindi il vettore densita’ di corrente

uscente avra’ verso da Σ

Orientamento di J

sara’ positiva la corrente dunque i J dSΣ

= ⋅∫

la rapidita’ di variazione nel tempo della carica interna sara’ pari a : intdqdt

allo stesso tempo la carica qint che si trova

derivata che ha le dimensioni di una corrente

sta diminuendo nel tempo

i J dSΣ

= ⋅∫

e’ la corrente dovuta alla carica elettrica dq uscente dalla superficie chiusa Σ

Nota Bene:

all’interno del volume V racchiuso

entro la superficie chiusa Σ

che entra nella

deve essere la stessa carica

la carica elettrica dq che costituisce la corrente i J dSΣ

= ⋅∫

intdqdt

dato che la carica elettrica

ossia la stessa carica

si deve imporre l’uguaglianza tra queste due espressioni

dunque

non si crea ne’ si distrugge

che abbandona l’interno del volume

se vale la legge di conservazione della carica elettrica

int int int( ) ( )q t dt q t dq+ − =

qint(t+dt) < qint(t) dqint < 0 ossia e int 0dqdt

<

escono

ma attenzione :

in questo caso cariche elettriche

al passar del tempo qint ma dato che il segno delle cariche

e’ positivo

dalla superficie, quindi

diminuisce

positive

con la quantita’ positiva

dobbiamo introdurre un segno negativo per stabilire

percio’ se imponessimo direttamente l’uguaglianza

uguaglieremmo la quantita’ negativa

un uguaglianza corretta

int dqdt

J dSΣ

= ⋅∫

int dqdt

J dSΣ

⋅∫

commettendo un errore

int dqdt

J dSΣ

− = ⋅∫

equazione di continuita’

e’ – dqint/dt che deve uguagliare il flusso del in conclusione:

vettore densita’ di corrente

per il teorema di Gauss int

0

( )q

E E dSεΣ

Φ = ⋅ =∫

0 ( ) d E dS J dSdt

εΣ Σ

− ⋅ = ⋅∫ ∫

quindi l’equazione puo’ essere riscritta come

nota bene : la superficie Σ e’ chiusa !

nota bene : il termine 0 ( )d E dSdt

εΣ

⋅∫

ha le dimensioni di una corrente

int dqdt

J dSΣ

− = ⋅∫

per il teorema della divergenza

intdJdtρ∇⋅ = −

equazione di continuita’ in forma locale

V

J dS J dVΣ

⋅ = ∇ ⋅∫ ∫

int dqdt

−

in conclusione :

la carica qint e’ distribuita all’interno del volume

densita’ volumetrica di carica ρint int intV

q dVρ= ∫ int

V

d dVdtρ

= − ∫attenzione: si e’ scambiato l’ordine di derivazione con quello di integrazione !

da cui

( ) = ( ) int

V V

d dV J dVdtρ

− ∇ ⋅∫ ∫

int intV

q dVρ= ∫

ed e’ caratterizzata dalla

intV

d dVdt

ρ= − ∫

il risultato ottenuto - NON - dipende dal segno delle cariche

e neppure dal fatto che le cariche siano entranti o uscenti dalla superficie Σ

equazione di continuita’ legge di conservazione della carica elettrica

una formula matematica descrive una proprieta’ della natura

Nota Bene:

- cariche elettriche entranti in Σ - cariche elettriche uscenti da Σ

cariche positive uscenti

int 0dqdt

<

( ) ( )int intq t dt q t+ <

0intdq <

vJ nq=

e’ uscente da Σ

v vv

v

vJdS

Σ

v v

v

v

vJ

dS

Σ

J

dS

v

vv

v

vΣ

v

vv

v

v

J

dS

Σ

0i J dSΣ

= ⋅ >∫

int S

dqdt

J dS− = ⋅∫

cariche positive entranti

( ) ( )int intq t dt q t+ >

0intdq >

vJ nq=

e’ entrante entro Σ

0i J dSΣ

= ⋅ <∫

int S

dqdt

J dS− = ⋅∫

0J dS⋅ >

int 0dqdt

>

0J dS⋅ <

cariche negative uscenti cariche negative entranti

int 0dqdt

>

( ) ( )int intq t dt q t+ >

0intdq >

vJ nq=

e’ entrante entro Σ 0J dS⋅ <

0i J dSΣ

= ⋅ <∫

int S

dqdt

J dS− = ⋅∫

int S

dqdt

J dS− = ⋅∫

int 0dqdt

<

( ) ( )int intq t dt q t+ <

0intdq <

vJ nq=

e’ uscente da Σ 0J dS⋅ >

0i J dSΣ

= ⋅ >∫

ma ma

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