1

i costituenti del mezzo in cui si propaga l’onda

un onda e’ una perturbazione che si

attenzione :

Fenomeni Ondulatori una perturbazione e’ la variazione

i fenomeni ondulatori non comportano il trasporto di materia :

cio’ che si propaga sono l’energia, la quantita’ di moto e il momento della ma non viaggiano da un punto all’altro dello spazio posizione di equilibrio

quantita’ di moto trasportati dall’onda

di una o piu’ grandezze caratteristiche di un sistema fisico

propaga nel tempo e nello spazio

oscillano intorno alla loro

rispetto alla configurazione di equilibrio

2

suono, luce, onde radio ... sono tutte:

- la frequenza delle onde

Nota bene:

di un sistema con origine in un fenomeno fisico,

( la sua elasticità, densità etc.) - la velocità di propagazione delle onde

solo nei mezzi non dispersivi la velocità di propagazione dipende unicamente

perturbazioni di una proprietà fisica,

dalle caratteristiche

( in una ’’sorgente’’ fisica )

dipende soltanto dalla sorgente della perturbazione

dipende dalle caratteristiche del mezzo ma non solamente

del mezzo

in cui si propaga l’onda

3

perturbazione scalare

( , , , ) ( , )x y z t r tψ ψ≡

detta “ funzione d’onda ” una perturbazione viene rappresentata matematicamente

ha ψ

xψ yψ zψe

ˆˆ ˆx y zi j kψ ψ ψ ψ= + +

tre componenti spaziali

vale a dire che ciascuna componente

in coordinate cartesiane:

perturbazione vettoriale

volta funzione di x , y , z , t e’ a sua

( , )x tψ

ψ

( , )r tψ

( , , , ) ( , )x y z t r tψ ψ≡

di un onda che si propaghi

nel caso unidimensionale,

lungo l’asse x delle ascisse

da una funzione spesso indicata dello spazio e del tempo

con la lettera greca

( , , , )x x x y z tψ ψ= etc. dove

4

Traslazione rigida di una curva,

2y ax bx c= + + 2( 1) ( 1)y a x b x c= − + − + 2( 2) ( 2)y a x b x c= − + − +

35a = 2b = 1c =

verso destra

0

10

20

30

40

50

60

-1.4

-1.2 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2 0

0.2

0.4

0.6

0.8 1

1.2

1.4

1.6

1.8 2

2.2

2.4

y

x 0

10

20

30

40

50

60

-1.4

-1.2 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2 0

0.2

0.4

0.6

0.8 1

1.2

1.4

1.6

1.8 2

2.2

2.4

y

x0

10

20

30

40

50

60

-1.4 -1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1 1.4 1.8 2.2

y

x

verso le ascisse crescenti se

5

( )( )( , ) vx t f k x tψ = ±

la traslazione di un onda che si propaghi nel caso unidimensionale,

e’ descrivibile come

lungo l’asse x delle ascisse senza distorsione, ne’ attenuazione

dove f e’ una generica forma funzionale

Perturbazione scalare unidimensionale lungo l’asse delle ascisse

dimostrazione in aula

6

Nota Bene : l’argomento di una funzione armonica, e quindi anche della

introduciamo la

per rendere adimensionale

dove k ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza,

mentre x e vt hanno le dimensione di una lunghezza

grandezza moltiplicativa k,

funzione esponenziale e del logaritmo,

adimensionale

e’ un angolo

anticipando l’esistenza di onde di tipo armonico

l’argomento della funzione f

( , )x tψ ( )( )vf k x t= ±

dunque e’ una grandezza

7

onda progressiva,

da una funzione del tipo

-- se l’onda si sposta rigidamente verso destra,

dovra’ essere descritta

onda regressiva,

da una funzione del tipo

-- se l’onda si sposta rigidamente verso sinistra,

dovra’ essere descritta

f(k(x− vt))

f(k(x + vt))

f puo’ essere una qualsiasi funzione,

una combinazione lineare di spazio e tempo

purche’ abbia come argomento

8

2 22

2 2( , ) ( , )vx t x tt x

ψ ψ∂ ∂=

∂ ∂

Equazione delle onde o di “D’Alembert” caso unidimensionale

si dimostra che le soluzioni a questa equazione, con opportune condizioni

( )0v( , ) ( )x t f k x tψ ϕ= ± +

ovvero 2 2

2 2 2( , ) 1 ( , )

vx t x t

x tψ ψ∂ ∂

=∂ ∂

l’equazione differenziale a cui deve soddisfare la funzione d’onda ( , )x tψ

al contorno sono del tipo

e’ la

dimostrazione in aula

9

segno negativo onda progressiva

fronte d’onda = luogo dei punti che ad un dato tempo hanno la stessa fase

( )0 + = vkx k t ϕ± = fase dell’onda

v = velocita’ di fase

( )0( ) kx tω ϕ± +

k = numero d’onda

ω = kV = pulsazione dell’onda

ϕ0 = fase iniziale

nomenclatura:

segno positivo onda regressiva

= funzione d’onda ( )0( , ) ( v )x t Af k x tψ ϕ≡ ± +

A = ampiezza, non necessariamente sempre costante

10

la linearita’ dell’equazione di D’Alembert garantisce che valga il

( )1 f kx tψ ω= −

( )2 f kx tψ ω= +

se e’ una soluzione

e e’ un’altra possibile soluzione

per il principio di sovrapposizione anche 3 1 1 2 2c cψ ψ ψ= +e’ una possibile soluzione

principio di sovrapposizione

dell’equazione di D’Alembert

dell’equazione dove c1 e c2 sono costanti

di D’Alembert

11

(solo parte progressiva)

( ),( , ) ( )x t y z f kx tψ ϕ ω= −

onda piana

di D’Alembert unidimensionale e’

Onde piane (lungo l’asse x)

x y

z

i y

z

una possibile soluzione all’equazione

il luogo dei punti che ad un certo tempo t

ne’ da y ne’ da z

attenzione : non e

il fronte d’onda e’ un piano

ma dipende da y e z

( , )y zϕ

ma solo da x

l’ ampiezza dell’onda la stessa ovunque nel piano y, z

hanno la stessa fase non dipende

definito dalla funzione secondo l’andamento

onda piana uniforme

( , )y z costante Aϕ = =se

( )( , )x t A f kx tψ ω= −si ha

Onde piane uniformi (lungo l’asse x)

x y

z

i y

z

(solo parte progressiva) onda piana

e e’

il fronte d’onda e’ un piano

l’ ampiezza dell’onda la stessa ovunque nel piano y, z

12

ˆx i r= ⋅

( )ˆ ˆ( )n r,t Af kn r tψ ω⋅ = ⋅ −

quindi un onda piana e uniforme, progressiva, lungo una

n

( )( , )x t Af kx tψ ω= −

P

direzione qualsiasi dello spazio individuata dal versore

( )ˆ( , )x t Af ki r tψ ω= ⋅ −

ma

avra’ l’ espressione :

i x

ˆ k kn=

dove si e’ posto

( )A f k r tω= ⋅ −

e’ il vettore di propagazione dell’onda k

detto anche ’’vettore d’onda’’

13

Onde sferiche

il cui sorgenti puntiformi producono

attenzione:

necessariamente distribuita in modo

anche se il fronte d’onda e’ una sfera in generale l’energia non e’

onda sferica

il luogo dei punti che ad un certo tempo t

il fronte d’onda e’ una sfera solo dal modulo della distanza r dalla sorgente hanno la stessa fase dipende

( )( , )( , ) gr t f kr tr

θ ϕψ ω= −

Onde sferiche uniformi

( , ) ( )Ar t f kr tr

ψ ω= −

( , )g costante Aθ ϕ = =se si ha

onde fronte d’onda e’ una sfera

(solo parte progressiva) (solo parte progressiva)

onda armonica piana

Nota Bene: a grande distanza

e’ sostanzialmente piano

sferica per r ∞

dalla sorgente,

come limite di un onda

del fronte d’onda sferico

uniforme sul fronte d’onda sferico

una piccola porzione

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( , ) ( )Ar t f kr tr

ψ ω≡ −

espressione di un onda cilindrica uniforme

sorgenti puntiformi producono onde sferiche;

sorgenti rettilinee producono onde cilindriche

Onde cilindriche

(solo parte progressiva)

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( )( , )x t A f kx tψ ω= ± ( , ) ( )Ar t f kr tr

ψ ω= ±

( , ) ( )Ar t f kr tr

ψ ω= ±( )ˆ( )n r,t Af k r tψ ω⋅ = ⋅ ±

ˆk kn=

Onda piana ( che si propaga lungo l’asse x )

( ) ˆA f k i r tω= ⋅ ±

Onda piana uniforme ( che si propaga lungo la

Onda sferica uniforme

Onda cilindrica uniforme

dove

Nota Bene: l’equazione di D’Alembert

Ricapitolando :

tutti questi tipi di onde scalari e altri ancora soddisfano la stessa

( ),( , ) ( )x t y z f kx tψ ϕ ω= −

Onda piana uniforme ( che si propaga lungo l’asse x)

Onda sferica

( )( , )( , ) gr t f kr tr

θ ϕψ ω= −

equazione differenziale:

direzione dello spazio individuata dal versore ) n

16

22

2 21

v tψ ψ∂

= ∇∂

2 2 2 22

2 2 2 2( )vt x y zψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

Equazione di D’Alembert per perturbazioni scalari tridimensionali

ovvero

( , , , )x y z tψnel caso tridimensionale

e l’equazione di D’Alembert per perturbazioni scalari tridimensionali diviene:

ψ =

17

avra’ se la perturbazione ha carattere vettoriale la ψ

xψ yψ zψe

ˆˆ ˆ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y zx y z t i x y z t j x y z t kψ ψ ψ ψ= + +

tre componenti

Perturbazioni vettoriali

con ciascuna componente a sua volta funzione di x , y , z , t

in coordinate cartesiane

l’equazione di D’Alembert diviene:

22

2 21

v tψ ψ∂

= ∇∂

18

equivalga alle tre equazioni scalari e’ inteso che la 2

22 2

1

v tψ ψ∂

= ∇∂

2 2

2 2 2

( , , , ) ( , , , )1v

x xx y z t x y z tx t

ψ ψ∂ ∂=

∂ ∂2 2

2 2 2

( , , , ) ( , , , )1v

y yx y z t x y z ty t

ψ ψ∂ ∂=

∂ ∂2 2

2 2 2

( , , , ) ( , , , )1v

z zx y z t x y z tz t

ψ ψ∂ ∂=

∂ ∂

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