Le onde Gravitazionali e l’Esperimento Virgo -...

Le onde Gravitazionali e l’Esperimento Virgo

Michele PunturoIstituto Nazionale di Fisica Nucleare

Forze ed Onde

Le onde Gravitazionali 2

Legge “statica”

Onde elastiche

xkF Deformazioni dei

mezzi elastici

Forza elastica

tv

xA

tkxAtkxy

cos

cos

Legge time-dependent

2

21

04

1

r

qqF

r

Forza di Coulomb

Equazioni di Maxwell

Onde elettromagnetiche

t

c

xnEtkxE cos0

2

21

r

mmGF

Gravitazione universale

?

Necessità di introdurre una propagazione a velocità finita della perturbazione

Gravità come interazione istantanea?

• La legge della gravitazioneuniversale implica un’interazionea distanza (istantanea), cosa chegià disturbava Newton

• La risoluzione di tale incorerenzasi trova nella Relatività di Einstein, ma possiamo tentare di arrivarci“intuitivamente” passandodall’elettromagnetismo

• Partiamo dalla meccanica classica


Trasformazioni Galileiane

• Le leggi della meccanica classica godono del principio di invarianza Galileiana

• Effettuando una trasformazione galileiana (traslazione a velocità v lungo x)


zz

yy

tvxx

tt

le equazioni del moto si mantengono invariate nella forma

• Questo determina che cambiando da un sistema inerziale ad un altro in quiete o in moto rettilineo rispetto al precedente le leggi simantengono invariate

• Per determinare un punto nello spazio (un evento) in uno spazio euclideo necessitiamo di 3 coordinate spaziali (dove) e di una temporale (quando)

http://apod.nasa.gov/apod/image/galileo_hist.gif

Distanze in uno spazio-tempo Newtoniano

• Nella meccanica newtoniana però il tempo è unavariabile indipendente

• Dobbiamo introdurre due concetti di distanza


2

3

1

2

321

321,

,,;

,,;

yx

i

ii

y

x

ttt

yxyxyxd

yyyty

xxxtx

2

2222

dt

dzdydxdl (intervallo spaziale)

(intervallo temporale)

• O equivalentemente:

Trasformazioni di Lorentz• Le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo non risultano

invarianti per traformazioni galileiane– Per esempio, la legge dell’induzione magnetica è diversa in due

sistemi di riferimento inerziali

• Esse sono invece invarianti per trasformazioni (poi dette) diLorentz:


zyxtzyxt ,,;,,;

• Principio di relatività:

– Tutte le leggi fisiche devono essere invarianti per trasformazioni di Lorentz

– Invarianza qui significa che ogni legge conserva la stessa forma matematica e che le costanti numeriche conservano lo stesso valore

zz

yy

c

v

vtxx

c

v

xc

vct

tc

2

2

1

1

Relatività Ristretta• Nella RR Einstein fa proprie le nozioni scaturite

dall’elettromagnetismo e formula la teoria dellarelatività ristretta, che risulta coerente con la dinamica e l’elettromagnetismo (e con l’esperimentodi Michelson-Morley), esclusa la gravità

• In RR il tempo è una coordinata dello spazio-tempo (euclideo) 4-dimensionale e si può introdurre la nozione di distanza:


222222 dzdydxdtcdl (intervallo spazio-temporale)

• Introduciamo la notazione: zxyxxxctx 3210 ,,,

• La distanza diventa:

dxdxdxdxds

3

0

3

0

2

• Dove si è usata la convenzione di somma sugli indici ripetuti (muti)

• Il termine è la matrice:

1000

0100

0010

0001

che prende il nome di tensore metrico o tensore di Minkowski.

Relatività Generale• Lo spazio-tempo in RR è piatto:

– Facendo variare le 4 coordinate tra -∞ e + ∞ è possibile coprire tutto lo spazio-tempo

• In tale spazio-tempo è possibile introdurre coerentemente le leggidell’elettromagnetismo e le trasformazioni di Lorentz sono le leggi ditrasformazione da utilizzare

• Ma per introdurre la Gravità Einstein ha introdotto la Teoria dellarelatività Generale

• In tale teoria lo spazio-tempo è curvato dalla presenza della massa e l’attrazione gravitazionale è puramente un fatto geometrico


Spazio-Tempo curvo• La metrica dello spazio-tempo curvo è espresso dal tensore g

e la distanza è qui definita come:


dxdxgds 2

GG

cT

8

4

• La causa della deformazione è l’oggetto massivo che è espresso dal tensore Energia-Impulso T.

uuT 0

2222

2

0

1,

1,

1,

1

1

1

v

v

v

v

v

v

vu

vmn

zyx

densità di massa propria

• L’effetto di T è la deformazione G dello spazio tempo G. L’equazione che lega il tutto è l’equazione di campo:

Interpretazione Naif• La risoluzione dell’equazione di campo di Einstein è un incubo:

– Equazione non lineare– Tentativi di risoluzione numerica con l’uso di supercomputers

• Ma con un parallelismo del tutto naif possiamo intuire che le perturbazioni dello spazio tempo sono piccolissime e una soluzioneapprossimata lineare è “corretta” (almeno lontano dalla sorgente dimassa)


GG

cT

8

4

Causa della deformazione dello spazio-tempo

Tensore di deformazione:

• Confrontiamo l’eq. di campo con la generalizzazione della legge di Hooke per i mezzi elastici:

klijklij C Tensore degli sforzi

Tensore dei coefficienti elastici

Tensore delle deformazioni

• Possiamo far giocare al coefficiente c4/8G il ruolo di modulo di Young dello spazio-tempo, ma:

NG

c

PaEacciaio

424

11

108.48

102

Lo spazio-tempo è un mezzo rigidissimo. Grandi energie in gioco causano piccolissime deformazioni:approssimazione lineare

Onde Gravitazionali• Nell’approssimazione di piccole deformazioni,

possiamo considerare lo spazio-tempo quasi piattocon una piccola deformazione h:


dxdxhdxdxgds 2

• Dove h rispetta l’equazione (nel vuoto):

0 h

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

ttzyx

• Questa è una tipica equazione d’onda:

0

0

2

22

2

22

t

uu

t

AA Onde elettromagnetiche (A, potenziale vettore)

Onde elastiche (u(x,t), spostamento)

Effetto dell’onda gravitazionale sulla materia• Quindi la deformazione h rappresenta un’onda piana

(lontana dalla sorgente) e si dimostra che può presentare solo due polarizzazioni:


0000

0100

0010

0000

h

0000

0010

0100

0000

h

• Supponiamo di avere due particelle poste, in uno spazio piatto, ad una distanza dx=(0,dl,0,0) colpite da un onda di freq con polarizzazione ed ampiezza h

• La distanza diventa:

dlth

ld

dlthld

dlhdlgdxdxgds

cos2

1

cos1 22

2

1111

2

11

2

Sviluppo in serie di Taylor

… effetto dell’onda gravitazionale sulla materia• L’effetto è la modulazione della distanza delle due particelle:


2

th

l

l

• Nella direzione y, grazie al fatto che h22=-h11 si ha una deformazione

opposta

• L’onda gravitazionale ha quindi natura quadrupolare e il suo effetto, su una

distribuzione di massa estesa è la modulazione della distanza reciproca dei

corpi

• Consideriamo una distribuzione di massa circolare:

h+

h

Fase: 0 /2 3/2 2

Potenziale gravitazionale• Torniamo al potenziale gravitazionale Newtoniano

• Consideriamo una distribuzione continua di massa, con densità (x’). Supponiamo di valutare il potenziale gravitazionale ad una posizione x, all’esterno della massa stessa:


V

xdxx

xGx 3

x

x

• Essendo x esterno alla massa, possiamo scrivere lo sviluppo in multipoli per il potenziale usando lo sviluppo in serie di Taylor di 1/|x-x’| in un intorno di x’=0:

...3

2

1111

,5

2

3222

lk

lkl

k

lk

k

kk

r

xxrxx

r

xx

rzzyyxxxx

• Dove x1,2,3=x,y,z e 222 zyxr

• Il potenziale gravitazionale diventa:

...2 ,

53

lk

lkkl

k

kk

r

xxQ

GDx

r

G

r

GMx

V

xdxM 3

V

kk xdxxD 3

V

k

l

lkkl xdxrxxQ 323

è sempre possibile scegliere l’origine del sistema di riferimento coincidente con ilcentro di massa in modo che i termini di dipoloDk siano identicamente nulli

Emissione di onde gravitazionali• L’emissione di onde gravitazionali avverrà quindi per una

variazione nel tempo del potenziale gravitazionale. Ma quale termine potrà avere un ruolo in tale processo?


• Variazione del termine di monopolo?• Proibito dal principio di conservazione dell’energia (massa)

• Variazione del termine di dipolo?• La conservazione della quantità di moto e del suo momento lo proibiscono

• Variazione del termine di quadrupolo:

klkl Qr

xt

3

1

8,

Per avere emissione

ci deve essere un

momento di

quadrupolo non nullo

e che varia nel tempo

L’ampiezza della

deformazione è

inversamente

proporzionale

dalla distanza

della sorgente 2124

41004.2

16

cmgs

c

G

…emissione di onde gravitazionali• L’energia persa per irraggiamento è:


klkl QQc

G

dt

dE 545

31255

5106

45skgm

c

G

• La piccolezza del coefficiente ci dice che ogni tentativo di generareonde gravitazionali in laboratorio è fallimentare

• Le uniche sorgenti che possiamo immaginare di poter rivelare sonoquelle astrofisiche, dove le masse e le accelerazioni in gioco sonoenormi.

Sorgenti Astronomiche di onde gravitazionali

• Quindi, per avere una sorgente di onde gravitazionali occorrono corpi massivi, accelerati a velocità relativistiche:

– Sistemi binari di stelle “dense”:• Stelle a neutroni

• Buchi neri

– Esplosioni di supernovae

– Pulsars


Sistemi di binarie coalescenti• Stelle a neutroni:

– massive (m~0.253MQ)

– “puntiformi”

– Nella fase finale con velocità relativistiche

• Approssimazione newtoniana– Niente spin ed orbita circolare


z

r0

r

klkl Qr

xt

3

1

8,

6

100

03

1sin2sin

2

1

02sin2

1

3

1cos

2 2

2

2

0 crtcrt

crtcrt

MrQ orborb

orborb

kl

tMrrc

Ghh

tMrrc

Ghh

L

L

orb

orb

orb

22

042112

orb

22

042211

2sin8

2cos8

2

kgM 30109891.1 Q

… sistemi di binarie coalescenti• Questa formula è utile per calcolare gli ordini di grandezza aspettati:


Q

21

0

166

30

102

390

50

1031010MPc10

1024.14.1

h

Hzf

kmr

mr

kgMMGW

• ma è palese che è insufficiente.

• Infatti, se il sistema emette onde gravitazionali, perde energia. Questo si devetrovare sia nella frequenza orbitale che nell’ampiezza dell’onda emessa

• Occorre utilizzare l’approssimazione lineare per ottenere:

tttrc

MGiirth

tttrc

MGiirth

2sin

~

cos4,,

2cos

~

2

cos14,,

3

2

4

3

5

3

2

4

3

5

2

… sistemi di binarie coalescenti


• Dove:3

2

5

3~

TMM

Chirp mass

Reduced mass:TM

MM 21

21 MMMT

• i è l’angolo d’incidenza fra la direzione di propagazione ed il piano su cui stiamo guardando la deformazione

• (t) è la frequenza orbitale tempo-dipendente:

8

3

8

3

5

3

5

5

~

8

1

ttc

MGt c

chirp

Ma ci sono queste onde? Rivelazione indiretta: 1993 Premio Nobel a Taylor e Hulse


• Nel 1974 Taylor & Hulse scoprirono un sistema binario(1913+16), composto da due stelle a neutroni, di massacirca 1.4MQ, di cui una è una pulsar.

• Le due stelle ruotano intorno al CM con periodo di 7,75ore e la pulsar emette un impulso ogni 59ms

• La velocità è di circa 3·105m/s al periastro e 0,75·105m/s all’afastro

• Usando la tracciatura elettromagnetica essi fecero unaserie interessantissima di test relativistici

• Lo shift misurato testimonia una perdita di energia

sotto una forma non elettromagnetica: Onde

Gravitazionali. Il modello di radiazione previsto dalla

GR (parabola sovra-imposta) è compatibile con

quanto misurato

• In uno di questi tests, fu riportato (tramite effetto doppler)

la variazione del tempo di occorrenza del periastro, in

funzione dell’anno di misura

Rivelatori di onde gravitazionali

• La rivelazione diretta delle onde gravitazionali è un fondamentale tassello che ancora manca a questo puzzle.

• Se le onde gravitazionali esistono, trasportano energia ed impulso, deve essere possibile rivelarle.

• Sono stati sviluppati due tipi diversi di detectors per GW

– Barre Risonanti

– Interferometri


Barre Risonanti• Sono il primo tipo di rivelatore sviluppato per

le GW

• Sono costituite essenzialmente da un cilindro di metallo (alluminio o niobio), di circa 103kg di massa portato a temperatura ultra-criogenica

• Il modo di oscillazione fondamentale è quello longitudinale che ha un momento di quadrupolo non nullo


• L’onda gravitazionale trasmette energia(alla frequenza di risonanza) alla barrache oscilla per un periodo “lungo” (dipende dal Q meccanico)

• La lettura avviene tramite un risuonatore accoppiato che ne amplifical’oscillazione, restringendone però la banda sensibile

Il network di rivelatori risonanti


Foto Barre

ALLEGRO AURIGA EXPLORER NAUTILUS NIOBE

• Le barre risonanti stanno per andare in disuso, ma hanno realizzato nel passato il primo network mondiale di rivelatori, in cui l’Italia, grazie all’INFN, ha avuto un ruolo dominante

I rivelatori interferometrici

• Negli ultimi anni un nuovo tipo di rivelatori ha soppiantato le barre risonanti:

– Gli interferometri

• Questi sono interferometri Michelson (con cavità Fabry-Perot) giganteschi distribuiti sul globo terrestre a formare un network


Interferometri nel mondo


TAMA, Tokyo, 300 m

GEO, Hannover, 600 m

LIGO Hanford, 4 km: 2 ITF on the same site!

LIGO Livingston, 4 km

Virgo, Cascina, 3 km

VIRGO• INFN – Firenze-Urbino

• INFN – Genoa

• INFN – Napoli

• INFN – Padova-Trento

• INFN – Perugia

• INFN – Pisa

• INFN – Roma 1

• INFN – Roma 2

• APC – Paris

• LAPP – Annecy

• LAL – Orsay

• IPN – Lyon / ESPCI Paris

• OCA – Nice

• NIKHEF – Amsterdam

• Univ of Warsav

VIRGO Collaboration

EGO consortium


Infrastrutture

Perchè un interferometro gigantesco?• Gigantesco?


02

Lh

L

2110h

NS/NS collapse

@ Virgo cluster

Detector “Kilometrico”

mLmL 183

0 1010

• Interferometro Michelson?

E1

E2Ein

2cos

2cos

coscos2

1212

21

21

tLtLkt

tLtLkE

tLkttLktE

tEtEtE

in

in

out

Termine di interferenza

• Natura quadrupolare dell’onda:

• un Michelson, che misura la differenza dicammino ottico fra i bracci ortogonali sembraappropriato

Segnale in uscita• Ipotesi quasi-statica: TGW>>2L/c


• La potenza del campo elettromagnetico, letta in uscita da un fotodiodo, risulta:

thL

nPthL

nPtP

laser

in

laser

inout

22cos1

2

2cos2

thL

t

tntPtP

laser

inout

22cos1

2

• Il più grande sistema in ultra-alto vuoto in Europa: Circa 7000 m3

• Interamente sotto vuoto?

• In un Michelson, la sensibilità ad una differenza di lunghezza L=2L=h.L0 , è data dallapendenza della curva in frangia grigia

1

0

P x( )

6 6 x5 10

60 5 10

60

0.5

1

0 /2/2

thhLLt rtLaseroptMich

44

c

Lrt

2

Cavità Fabry-Perot• In realtà I maggiori detectors interferometrici usano cavità Fabry-Perot inserite

nei bracci


laser

• Ricordiamo il principio di funzionamento di una cavità FP:

• Essa è costituita da (almeno) una coppia di specchi, come riportato in figura: M2M1

laser0E

10rE

L

• Ciascun specchio è dotato di un coating riflessivo, con coefficiente di riflettività in ampiezza r1,2.

• Ciascuno dei due substrati (più i coatings) è dotato di un coefficiente ditrasmissione in ampiezza t1,2 e di assorbimento a1,2, tale che:

12

2,1

2

2,1

2

2,1 atr e se si possono trascurare le perdite: 12

2,1

2

2,1 tr

… cavità Fabry-Perot

• Sommando fra I loro tutti I contributi in trasmissione e così anche quelli in riflessione si ha:


M2M1

laser10rE

10tE

L

0EikLettE

210

kLiertE 2

2

2

10

kLierrttE 3

21210

kLierrtE 42

21

2

10

kLierrttE 52

2

2

1210

kL

kLi

n

nkLkLirc

kL

ikL

n

nkLikLtc

err

ettrerrertr

E

Er

err

etterrett

E

Et

2

21

2

211

0

2

21

2

2

2

1

0

2

21

21

0

2

2121

0

11

1

• La cavità si comporta come uno

specchio a reflettività e transmittività complesse

• Se 2kL=2n la cavità si dice in risonanza (i denominatori assumono il

loro minimo valore):

• La luce viene immagazzinata nella cavità

• Comportamento risonante

Comportamento risonante


21

21

1 rr

rrF

Finesse

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

-4

-2

0

2

4

[

rad]

L/

FP100

FP25

Michelson

opt

Mich

opt

FP

L

FF

L

28

• La sensibilità viene amplificata dalla pendenza che la (variazione di) fase assume alla risonanza:

Power Recycling• La frangia grigia (esempio Michelson) non è il giusto punto dove operare:


I fisici vogliono realizzare sempre un “Null Instrument”• Uscita zero se l’ingresso è nullo•Uscita proporzionale (linearmente) all’ingresso

• La prima condizione è idealmente soddisfatta solo in frangiaoscura

• La seconda condizione è soddisfatta utilizzando tecniche dimodulazione e demodulazione (Pound-Driver) o spostandosileggermente dalla frangia oscura (DC detection)

• Non tratteremo qui questa seconda parte

laser

• In frangia oscura la maggior parte della luce è riflessa verso la “input port”:

• Aumento della potenza circolante (e riduzione dello “shot noise”) tramiteil riciclaggio della luce

36

Virgo simplified Optical Scheme

3km140m

Rumori Fondamentali• Se vogliamo vedere fluttuazioni della distanza reciproca fra gli specchi di 10-19 m

(ad una distanza di 3km), ogni altra sorgente di fluttuazione compete con l’onda gravitazionale e deve essere soppressa

• Curva di sensibilità:


1 10 100 1000 10000

10-23

10-22

10-21

10-20

10-19

10-18

h(f)

[1

/sqr

t(H

z)]

Frequency [Hz]

(a) Seismic noise

(b) Thermal pendulum

(c) Thermal Mirror

(d) Optical Read-Out

(e) Newtonian noise

(f) Nominal Virgo

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(f)

Rumore sismico• Il rumore sismico, cioè la continua vibrazione del sito dove è costruito

il rivelatore, è dovuto da molteplici cause– Attività sismica profonda

– Onde degli oceani o dei mari vicini

– Vento

– Attività umana (industrie, città, vie di comunicazione)

• Ogni sito sperimentale ha la propria caratteristica sismica, ma più o meno lo spettro del rumore è del tipo (in ogni direzione):


HzfHzmf

HzfHzm

fxseism 5.01.010

5.01.010

2

7

7

• A distanze chilometriche la vibrazione è pressocchè scorrelata e quindi tale

rumore, renderebbe cieco il rivelatore

Filtri Sismici• Occorre filtrare il rumore sismico

• Un oscillatore armonico opera come un filtro a frequenze superiori a quella di risonanza


seismx

x

seismseism xxxxx ~~0

22

0

2

02

0

• Un pendolo è un oscillatore armonico (in 2 direzioni orizzontali) difrequenza naturale:

L

gf

2

10

• Una catena di N pendoli è un filtro multi-stadio la cui funzione di trasferimento è:

N

seism f

f

x

x2

0

~

~

40

XYZ pendulum chains

to reduce seismic motion by

a factor 1014 above 10 Hz

Virgo “Superattenuators”

Blades

Magnetic anti-springs

DC-0.01 Hz

0.01-8 Hz

8-50 Hz

Locking• I filtri sismici sono però degli amplificatori di vibrazione alla

risonanza, con fluttuazione dell’ordine di 10-4m.

• La marea dovuta ala Luna causa spostamenti delle torri di sospensione di circa 200m


• La condizione di risonanza richiede di mantenere gli specchi, distanti 3 km, fermientro 1 pm

• Controllo gerarchico del superattenuatore

Ma ci riusciamo davvero?


Network Mondiale


Prospettive Future• Il network di interferometri è operativo, ma il rate di detection è previsto essere

piuttosto basso


NS-NS• Piano di evoluzione dei detectors già

definito:

• Virgo+ / eLIGO: Ora!

• advVirgo / advLIGO: 2011-2015

• La rivelazione delle GW è considerata“scontata” con I detectors avanzati

• Ma il passaggio dalla rivelazioneall’astronomia richiederà probabilmenteuna terza generazione di detectors

ET• La comunità Europea, sotto FP7, finanzia il disegno concettuale di un

detector di onde gravitazionali di terza generazione:

– Criogenia

– Istallazione sotterranea

• Il progetto (ET) vede la collaborazione dei maggiori esperti di Virgo e GEO e lo scopo è il disegno di un detector che abbia una sensibilità un fattore 10 circa migliore degli “advanced” in modo da aprire la finestra dell’astronomia gravitazionale


Links

• http://www.virgo.infn.it/

• http://www.et-gw.eu/

• http://www.ligo.caltech.edu/

• http://www.infn.it/


http://www.virgo.infn.it/

http://www.et-gw.eu/



http://www.ligo.caltech.edu/

http://www.infn.it/

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