Le onde - users · Fisica e Fisica Medica -Prof. F. Soramel 14 Interferenza...

Leondea) onda sonora: le molecole si addensano e si

rarefannob) onda all’interfaccia liquido-aria: le particelle

oscillano in alto e in bassoc) onda in una cordad) onda in una mollae) onda sismica (S)f) onda elettromagnetica

Le onde si possono spostare per distanze grandi, ma il mezzo in cui simuovono fa solo delle piccole oscillazioni locali. Quindi si può affermare chel’onda non è materia e che la sua forma viaggia lungo la materia. L’onda è uninsieme di oscillazioni che si muovono senza trasportare la materia. L’ondatrasporta l’energia che le è stata fornita nel momento in cui è stata generata(ad es. la mano che fa oscillare una corda).

FisicaeFisicaMedica- Prof.F.Soramel 1


Le onde possono essere trasversali o longitudinali a seconda che il motovibrazionale delle molecole del mezzo in cui l’onda si propaga siaperpendicolare o parallelo alla direzione di propagazione dell’onda.

ondalongitudinale

ondatrasversale

La velocità dell’onda trasversale o longitudinale dipende dalle proprietà delmezzo in cui l’onda si propaga (B = modulo di compressibilità di un fluido, r =densità, µ = massa per unità di lunghezza e T = tensione della fune).

𝒗 =𝑻𝝁

�𝒗 =

𝒇𝒂𝒕𝒕𝒐𝒓𝒆𝒅𝒊𝒇𝒐𝒓𝒛𝒂𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂𝒇𝒂𝒕𝒕𝒐𝒓𝒆𝒅𝒊𝒊𝒏𝒆𝒓𝒛𝒊𝒂

�=

𝑩𝝆

�


L’onda può essere non periodica operiodica ed è generata da una vibrazioneo un’oscillazione. Ampiezza, cresta,periodo (T), frequenza (f), lunghezzad’onda (l) e velocità dell’onda (v). Lavelocità dell’onda è diversa (anche indirezione) dalla velocità di una particelladel mezzo in cui si propaga l’onda

𝒗 =𝝀𝑻 = 𝝀𝒇

L’onda si ripete sia nel tempo chenello spazio con andamentosinusoidale.


Ogni particella messa in vibrazione da un’onda sinusoidale compie un motoarmonico, pertanto ha un’energia pari a quella dell’oscillatore armonico

𝑬 =𝟏𝟐𝒌𝑨

𝟐 ⇒ 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂𝒅𝒆𝒍𝒍>𝒐𝒏𝒅𝒂 ∝ 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒕𝒐𝒅𝒆𝒍𝒍𝒂𝒔𝒖𝒂𝒂𝒎𝒑𝒊𝒆𝒛𝒛𝒂

Si definisce intensità I dell’onda la potenza trasportata attraverso l’unità disuperficie perpendicolare alla direzione del flusso di energia

L’intensità si misura in W/m2. Dato che l’energia varia come il quadratodell’ampiezza dell’onda, anche I presenta la medesima dipendenza.

𝑰 ∝ 𝑨𝟐

𝑰 =𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂/𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐

𝒂𝒓𝒆𝒂 =𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒛𝒂𝒂𝒓𝒆𝒂


Le onde che si propagano nello spazio isotropo sono onde sferiche. Man manoche le onde si propagano, l’energia che trasportano si distribuisce su di unasuperficie sempre maggiore. Per l’intensità si avrà

𝑰 =𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒛𝒂𝒂𝒓𝒆𝒂 =

𝑷𝟒𝝅𝒓𝟐

Selapotenzaemessadallasorgentedell’ondaècostanteallora 𝑰 ∝𝟏𝒓𝟐

Perduepuntiadistanzar1 edr2 dallasorgentesiha𝑰𝟐𝑰𝟏=𝒓𝟏𝟐

𝒓𝟐𝟐Anche l’ampiezza dell’onda decresce con proporzionalità inversa da r.

𝑨𝟐𝑨𝟏

=𝒓𝟏𝒓𝟐

Per l’onda trasversale questo non avviene perchél’area attraversata dal flusso di energia non varia.


Se abbiamo un’onda sinusoidale di frequenza f, ciascuna particella si muovecon l’energia dell’oscillatore armonico.

𝑬 =𝟏𝟐𝒌𝑨

𝟐; 𝒇 =𝟏𝑻 =

𝟏𝟐𝝅

𝒌𝒎

�⇒ 𝑬 = 𝟐𝝅𝟐𝒎𝒇𝟐𝑨𝟐

𝒎 = 𝝆𝑽 = 𝝆𝑺𝒍 = 𝝆𝑺𝒗𝒕Quindi

𝑬 = 𝟐𝝅𝟐𝝆𝑺𝒗𝒕𝒇𝟐𝑨𝟐 𝑷L =𝑬𝒕 = 𝟐𝝅𝟐𝝆𝑺𝒗𝒇𝟐𝑨𝟐 𝑰 =

𝑷L𝑺 = 𝟐𝝅𝟐𝝆𝒗𝒇𝟐𝑨𝟐


Equazionedipropagazionedell’ondaLa sorgente di un’onda vibra nel tempo con legge sinusoidale, per lospostamento, nel caso di un’onda trasversale che si propaga in direzione x convelocità v, possiamo scrivere (f = 0)

𝒚 𝟎, 𝒕 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕Quando l’onda, al tempo Dt, raggiunge il punto P a distanza x dalla sorgente,lo spostamento y(x,Dt) sarà quello che la sorgente aveva Dt = x/v secondiprima, quindi

𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝝎 𝒕 −𝒙𝒗 = 𝑨𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅

𝒕𝑻 −

𝒙𝝀 = 𝑨𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 − 𝒌𝒙

𝝀𝒇 = 𝒗 =𝝀𝑻 𝒆𝒌 =

𝝎𝒗 =

𝟐𝝅𝝀 k=numerod’onda


Riflessione,rifrazioneeinterferenza

Fronte d’onda: può essere circolare (sferico) o piano. La direzione del motodell’onda è sempre perpendicolare al fronte d’onda (o superficie d’onda) ed èrappresentata dal raggio. Lontano dalla sorgente ogni fronte d’onda puòessere considerato come un fronte d’onda piano, si parla quindi di ondepiane. Quando un’onda piana colpisce una superficie di separazione tra duemezzi, essa in parte si riflette e in parte si trasmette.


Principio di Huygens: ogni punto di un mezzo raggiunto da una superficied’onda, può essere considerato sorgente di vibrazioni quindi di onde sferiche.La propagazione simultanea di due o più onde nello stesso mezzo avviene inmodo indipendente, ovvero per ciascuna onda come se le altre non fosseropresenti. Lo stato di vibrazione di un punto del mezzo è rappresentato dallasomma vettoriale degli stati di vibrazione associati alle altre onde presentinel mezzo in quel punto. Principio di sovrapposizione delle onde.Teorema di Fourier: una funzione periodica f(t) qualsivoglia può esseresempre vista come la somma di un numero finito o infinito di funzioni di tiposeno o coseno con ampiezze opportune e frequenze multiple di quella dellafunzione f(t) stessa.La scomposizione nelle singole funzioni si chiama analisi di Fourier dellafunzione f(t), o analisi armonica. Le frequenze delle funzioni presenti nellascomposizione si chiamano armoniche superiori.


Insostanzasitrova

𝒇 𝒕 =V𝑨𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝎𝒕 =V𝑨𝒏 𝐬𝐢𝐧𝟐𝝅𝒙𝒏𝝀

�

𝒏

�

𝒏

Di conseguenza la funzione periodica f(t) di lunghezza d’onda l è la somma ditante onde sinusoidali di lunghezza d’onda ln = l/n e frequenza fn =nf, ciascunadi ampiezza data An.


Onda sonora emessa dalle corde vocali e relativaanalisi di Fourier in frequenza.A parità di frequenza l’analisi di Fouriercaratterizza la qualità della vibrazione.Ad esempio strumenti diversi possono generaredue vibrazioni con la stessa frequenza o nota,ma con diversi sviluppi in armoniche, quindidiverso timbro.

frequenza 440Hz La

F.Soramel FisicaperMedicina 12

Indicedirifrazione

Si trova quindi che la frequenza dell’onda non dipende dal mezzo in cui essaviaggia, solo la lunghezza d’onda viene alterata dal mezzo. Quando siinviano un fascio di luce su materiali con n diversi, si hanno l diverse in ognimateriale e in uscita le onde possono essere sfasate.

Sidefinisceindicedirifrazionediunmezzoilrapportotrala

𝝀𝒏 =𝝀𝒗𝒄

𝒏W𝒄𝒗 𝝀𝒏 =

𝝀𝒏

𝒇𝒏 =𝒗𝝀𝒏

=𝒄𝒏𝒏𝝀 =

𝒄𝝀 = 𝒇


Nella riflessione sulla superficie di separazione tra ilmezzo 1 e il mezzo 2, se il raggio dell’onda incidenteforma un angolo di incidenza i con la normale allasuperficie stessa, il raggio dell’onda riflessa formerà unangolo di riflessione r con la normale alla superficie.Risulta che i due angoli sono uguali.

X̂ = 𝒓ZPer quanto riguarda la parte di onda trasmessa o rifrattasi ottiene

𝒏𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝒊 = 𝒏𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒓>𝒔𝒊𝒏 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝒓> =

𝒗𝟏𝒗𝟐

=𝒏𝟐𝒏𝟏

= 𝒏𝟏𝟐Legge di Snell


InterferenzaFenomeno che si verifica ogni volta che in un mezzo si propagano due o piùonde. Prendiamo due onde con la medesima frequenza che si propaganonella stessa direzione e hanno la medesima direzione di vibrazione(longitudinale o trasversale). Inoltre ipotizziamo che le sorgenti delle dueonde siano coerenti, ovvero emettano le onde con differenza di fase costantenel tempo. Ipotizziamo anche che Df = 0 e A1 = A2 = A, allora

𝒚𝟏 = 𝑨𝒔𝒊𝒏 𝟐𝝅 𝒕𝑻− 𝒙𝟏

𝝀𝒆𝒚𝟐 = 𝑨𝒔𝒊𝒏 𝟐𝝅 𝒕

𝑻− 𝒙𝟐

𝝀

La vibrazione risultante è la somma delle due vibrazioni

𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 = 𝑨𝒔𝒊𝒏 𝟐𝝅𝒕𝑻 −

𝒙𝟏𝝀 + 𝑨𝒔𝒊𝒏 𝟐𝝅

𝒕𝑻 −

𝒙𝟐𝝀

𝒚 = 𝑹𝐬𝐢𝐧𝟐𝝅𝒕𝑻 − 𝝋 ampiezzaR varianeltempo


𝑹 = 𝑨 𝟐 + 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝝅 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

𝝀�

R dipende dalla differenza di fase tra le due onde nel punto P• Df=2pn con n = 0,1,2,… interferenza costruttiva• Df=p(2n+1) con n = 0,1,2,… interferenza distruttiva

concordanzadifase

opposizionedifase

quadraturadifase

𝝋 = 𝝅𝒙𝟏 + 𝒙𝟐

𝝀


Consideriamo ora due onde di uguale frequenza, uguale ampiezza e stessavelocità di propagazione, che viaggiano in verso opposto lungo l’asse x.

𝒚𝟏 = 𝑨𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝒕𝑻 −

𝒙𝝀 𝒆𝒚𝟐 = 𝑨𝒔𝒊𝒏 𝟐𝝅

𝒕𝑻 +

𝒙𝝀

L’ondarisultanteèun’ondastazionariadatada

𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝑨𝒔𝒊𝒏 𝟐𝝅𝒙𝝀 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝝅

𝒕𝑻

L’ampiezza varia in funzione di x, mentreogni punto vibra con la stessa frequenza.L’oscillazione in ampiezza dà origine a nodie ventri, la distanza tra due nodi o dueventri successivi è l/2.


Su di una corda con entrambe le estremità fisse si può generare un’ondastazionaria, così pure in un tubo chiuso o aperto alle estremità, a patto che lalunghezza 𝑙 della corda o del tubo permetta la formazione di nodi o due ventrialle sue estremità. Deve quindi essere soddisfatta la seguente condizione

𝒏𝝀𝟐 = 𝒍𝒄𝒐𝒏𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …

Se la corda o il tubo hanno un’estremità fissa e l’altra libera, si generano ondestazionarie se

𝟐𝒏 + 𝟏𝝀𝟒 = 𝒍𝒄𝒐𝒏𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, …

Si possono formare onde stazionariepersistenti → risonanza. La corda risuonasolo per le componenti di Fourier le cui lsoddisfano le condizioni per l’instaurarsidi onde stazionarie.


Battimenti

𝒚𝟏 = 𝑨𝒔𝒊𝒏 𝝎𝟏𝒕 𝒆𝒚𝟐 = 𝑨𝒔𝒊𝒏 𝝎𝟐𝒕

𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝑨𝒄𝒐𝒔𝝎𝟏 − 𝝎𝟐

𝟐 𝒕 𝒔𝒊𝒏𝝎𝟏 + 𝝎𝟐

𝟐 𝒕

Si genera una vibrazione sinusoidalecon frequenza pari alla media delledue frequenze originarie, l’ampiezzadella vibrazione va come il cosenodella differenza tra le frequenze.

Consideriamo ora due onde di frequenza molto vicina, ma diversa. All’istantet0 le due onde sono in fase e si ha interferenza costruttiva e ampiezza elevata.Per t>t0 le onde si sfasano e l’interferenza diviene distruttiva. Si genera così ilfenomeno dei battimenti.


EffettoDopplerAnalizziamo ora cosa succede quando c’è moto relativo tra la sorgentedell’onda e l’osservatore che percepisce l’onda stessa. Supponiamo che l’ondaabbia velocità di propagazione v0 e la sorgente che la emette abbia velocità vs< v0, l’onda abbia poi lunghezza d’onda l. Sia d la distanza percorsa dall’ondain un periodo T e ds quella percorsa dalla sorgente che si muove versol’osservatore.

𝒇> =𝒗𝟎𝝀> =

𝒇

𝟏 − 𝒗𝒔𝒗𝟎

l’<l

f’>f

𝒅 = 𝒗𝟎𝑻 = 𝝀𝐞𝒅𝒔 = 𝒗𝒔𝑻 ⇒ 𝝀> = 𝒅 − 𝒅𝒔 = 𝝀 − 𝒗𝒔𝑻 = 𝝀 𝟏 −𝒗𝒔𝒗𝟎

𝜟𝝀 = 𝝀> − 𝝀 = −𝝀𝒗𝒔𝒗𝟎


Selasorgentesiallontanadall’osservatoresiha

𝜟𝝀 = 𝝀> − 𝝀 = 𝝀𝒗𝒔𝒗𝟎

𝒇> =𝒗𝟎𝝀> =

𝒇

𝟏 + 𝒗𝒔𝒗𝟎

l’>l

f’<f

Quando invece è l’osservatore a muoversi con velocità v1 < v0 verso unasorgente ferma che emette un’onda con velocità di propagazione v0, si ha chela velocità di propagazione dell’onda viene percepita dall’osservatore come v’somma delle due velocità

𝒗> = 𝒗𝟎 + 𝒗𝟏 ⇒ 𝒇> =𝒗>

𝝀 =𝒗𝟎 + 𝒗𝟏

𝝀 =𝒗𝟎𝝀 𝟏 +

𝒗𝟏𝒗𝟎

= 𝒇 𝟏 +𝒗𝟏𝒗𝟎

> 𝒇

Sel’osservatoresiallontanadallasorgentesiottiene

𝒇> = 𝒇 𝟏 −𝒗𝟏𝒗𝟎

< 𝒇

Le onde - users · Fisica e Fisica Medica -Prof. F. Soramel 14 Interferenza...

Documents

Transcript of Le onde - users · Fisica e Fisica Medica -Prof. F. Soramel 14 Interferenza...