H.C. Oersted connessione tra elettricità e magnetismo M. Farday...

F.Soramel Elementi di Fisica 2 - a.a. 2010/11 1

La carica elettrica

I greci avevano osservato che l’ambra

(elektron) aveva delle caratteristiche particolari se strofinata con una pelliccia, ilvetro

presentava le stesse caratteristiche se strofinato con seta

1820 H.C.

Oersted

connessione tra elettricità e magnetismoM. Farday

sperimentale puro, non scrive formule

1850 J.C.

Maxwell

formalizza le idee di Faraday

Vetro + Plastica -


Interazione elettrica ha un duplice aspetto

(+ e -) a differenza di quella gravitazionale

Due corpi che possiedono lo stesso tipo di elettrizzazione ( + o -)si respingono, mentre si attraggono se possiedono tipi di elettrizzazione diversi (uno + e l’altro -)

Interazione gravitazionale molto meno intensa di quella elettricavediamo l’interazione gravitazionale solo perché quella elettrica,avendo una duplice natura, di solito dà origine a corpi neutri

I materiali possono esser suddivisi inconduttori

(rame)

isolanti

(plastica)Nei conduttori le cariche (elettroni di conduzione) sono libere di muoversi Carica indotta

semiconduttori

(ad es. Si e Ge)superconduttori

(non presentano resistenza)


La carica elettrica è responsabile della forza elettrica, così come la massa lo è della forza gravitazionale

Misuro F esercitata su q1 e -F esercitata su q2

Se un sistema è isolato la sua carica totale rimane costante: principio di conservazione della carica elettrica (B. Franklin)Elettrostatica: studio dell’interazione tra due cariche elettriche a riposo (o al più in moto con v

molto piccola) in un sistema inerziale

Legge di Coulomb

(1785)L’interazione elettrostatica tra due particelle cariche è proporzionale alleloro cariche ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di esse; la direzione della forza è quella della linea congiungente le cariche stesse

rurqqkF rr2

21=

q1 q2

F -F


La costante k

prende il nome di costante elettrostatica

e il suo valoredipende dalle unità di misura utilizzate

+

θ

F

F

Utilizzando una bilancia di torsione posso misurare F. Non conosco il valore della caricaallora fisso k in modo arbitrario

luce della velocità =⋅≅⋅== − cck 9927 109109874.810

In questo modo la carica di 1 C

è definita come lacarica che, posta ad 1 m da una carica uguale nel vuoto, viene respinta con una forza di 8.9874·109 N

[ ] 2322 −−= Ckgm o CNmkPer praticità si pone

221122

7

0

0

10854.8410

41

−−−−⋅===

=

CmNc

vuoto del itàpermeattiv

con k

πε

πε

+


rur

qqF rr2

0

21 14πε

=

q1 e q2 vanno inserite con il loro segnoF<0 forze attrattive e q di segno oppostoF>0 forze repulsive e q dello stesso segno

F12

=-F21

q1 e q2 esercitano una sull’altra una forzadi modulo uguale e verso opposto, F12 e F21 sono una coppia di azione e reazione

Unità

di misura

della carica elettrica

derivada quella della corrente (Ampere): 1C

è la

quantità di carica che passa in un secondoattraverso una qualsiasi sezione di un filo percorso da una corrente di 1 A

idtdq =La forza elettrostatica F è

additiva

(principio

di sovrapposizione):

nFFFFF 11413121 ...rrrrr

++++=


Esempio

q1 =1.5·10-3 C AC = 1.2 m = r1q2 =-0.5·10-3 C BC = 0.5 m = r2q3 =0.2·10-3 C

F3

= ?A

B

Cq1 q3

q2

x

y F31F32

F3

N 10875.1

N 10875.12.1

102.0105.1109

N 106.3

N 106.35.0

102.0105.0109

331

3

2

339

21

3131

332

3

2

339

22

3232

iF

rqqkF

jF

rqqkF

rr

r

rr

r

⋅=

⋅=⋅⋅⋅

⋅==

⋅−=

⋅=⋅⋅⋅

⋅==

−−

−−

°−=⇒−=−==

⋅=+=

5.6292.1875.1

6.31006.4 32

322

313

θθ31

32

FFtg

N FFF


Il campo elettricoOgni regione dello spazio in cui una carica elettrica sia soggetta ad unaforza elettrostatica è detta campo elettrico

(dovuto alle cariche presenti)

q0 carica di prova q1

, q2

, ..., qn

cariche che generano il campo

q0

risente del campo generato dalle n cariche

(vale anche per le n cariche, ma non è un fatto rilevante per il discorso che stiamo facendo)

00030201 ,...,,, qFqFqFqFqF Totn ∝⇒∝∝∝∝


Per valutare se siamo in presenza di un campo elettrico

in una certa zonadello spazio, la esploriamo con una carica piccola

detta carica di prova

o carica esploratrice

e misuriamo la forza

che agisce su di essa

0q seFE EqF oppure qFΕ 00 >==

rrrrr

r

0

|E| : intensità

del campo elettrico

è la forza che agisce sulla caricaunitaria posta in quel punto

[ ] 121 −−− ⋅⋅⋅⋅= Csmkg oppure CNEIl campo elettrico è

un campo vettoriale

Il campo elettrico non dipende dalla carica di provaL’effetto del campo elettrico

su cariche di segno opposto è di spostarle

verso zone diverse ⇒polarizzazioneIl campo elettrico

gode della proprietà

di sovrapposizione

ir

n

i i

in

iin u

rqEEEEEE rrrrrrr

∑∑==

==++++=1

201

321 41...πε


• In ogni punto le linee di forza sono tangenti

alla direzione del campo elettrico

in quel punto• Si determinano usando una carica di prova positiva

• Escono

dalle cariche + ed entrano

in quelle –

• Sono tracciate in modo che il numero di linee

che attraversano una superficie

unitaria ⊥

ad esse è

∝

all’intensità

del campo elettrico E

linee si addensano ⇒ E è

grandelinee si diradano ⇒ E è

piccolo

Linee di forza


Dipolo elettrico


Vettori campo elettrico nello spazio attorno ad una caricapuntiforme positiva


Lamina non conduttrice infinitaDistribuzione uniforme di cariche +da un latoForza netta ⊥

al piano uscente dal piano

Piano infinito e distribuzione di carica uniforme ⇒vettori campo elettrico hannotutti la stessa intensitàCampo elettrico uniforme


Sia q0 la carica esploratrice, a distanza r da q (che genera il campo elettrico) si ha

spaziodello punto urqE

Equr

qqEqF

ur

qqF

r

r

r

∀=

=

=

=

rr

rr

rr

rr

20

020

0

0

20

0

41

41

41

πε

πε

πε


Esempio

q1 =1.5·10-3 C AC = 1.2 m = r1q2 =-0.5·10-3 C BC = 0.5 m = r2q3 =0.2·10-3 C

E(C) = ?A

B

Cq1 q3

q2

x

y E1

(C)E2

(C)E(C)

17

3

33

33

1003.2E

N 1006.4

−⋅⋅==

⋅=

CNqF

FE3 è il campo in cui si trova q3 che qui equivale alla carica di prova

oppure

31-72

22

1

1-6

220

22

1-6

210

11

CN 1003.2)()()(

CN 10184

)(

CN 1037.94

)(

ECECECE

rqCE

rqCE

=⋅⋅=+=

⋅⋅−==

⋅⋅==

πε

πε E1 ed E2 sono i campi generatida q1 e q2 in C


Calcoliamo il campo elettrico generato da un filo molto lungo e sottileche porta una carica λ

per unità

di lunghezza

sds

O

r

RPθ

dE

dEcosθuR

dsdq λ=2

041)(

rdsPdE λ

πε=

L’elemento

simmetrico

a dsrispetto al punto O crea in P un campo dE uguale

in

modulo, ma con componenteverticale di verso opposto

Le componenti del campo elettrico parallele al filo si elidono, restanoquindi solo le componenti dEcosθ ⊥ al filo

θπελθ

π

π

π

π cos4

cos 2

22

0

2

2∫∫ −−

==rdsdEE

θθθθ dRr 2Rsecds Rtgs sec =⇒==


Dopo aver fatto le sostituzioni integriamo tra 0 e π/2 e moltiplichiamoil risultato per 2

RR

dR

dRRE

0

20

0

20

0

20 22

2

0

2sin

2

cos2

cossecsec

42

πελθ

πελ

θθπελθθ

θθ

πελ

π

ππ

==

=== ∫∫

In conclusione

RE u

RE R

12 0

∝=rrr

πελ


Vediamo ora il campo elettrico generato sull’asse di unanello di plastica uniformememte

carico con densità

di carica λdsdq λ= 2

041)(

rdsPdE λ

πε=

( )220

222

41

zRdsdE

Rzr

+=

+=λ

πε

Le componenti dE⊥

si elidono,⇒Efinale ⏐⏐z e restano solo lecomponenti del campo paralleleall’asse dell’anello

( )

( )R2 se 0 stra integro

zR

zdsdE

dEzR

zdErzdEdE

πλπε

θ

==⇒+

=

+===

23

220

21

22

41

cos


( )

( ) ( )23

220

23

220

2

023

220

44

24

cos

zR

qz

zR

Rz

dszR

zdEdEER

+=

+=

=+

=== ∫∫ ∫

πεπε

πλπε

λθπ

Per z >> R

si ottiene

q puntiforme carica della campo il ottengo 4

14 2

03

0 zq

zqzEanello πεπε

==r

Per z = 0

0=anelloEr


Vediamo il campo elettrico generato sull’asse di un disco uniformememte

carico con densità

di carica σ

Consideriamo il disco suddiviso in tanti anelli concentriciCome quello di raggio r e spessore drIl calcolo del campo elettrico procede in due fasi:

1. calcoliamo il campo dell’anello2. sommiamo

su

tutti

gli

anelli

in pratica dobbiamo fare due integrazioniConosciamo già il campo dell’anello

( ) ( ) 23220

23220 4

24

2

zrzrdr

zrzdqdE

rdrdAdq

anello+

=+

=

==

πεπσ

πε

πσσ

( ) ( )∫∫−

Σ

+==R

anellodisco drrrzzdEE0

2322

0

24πεσ


Abbiamo a che fare con un integrale del tipo

rdrdxmrzxmxdxx

mm 2 ,

23 ,con

122

1

=−=+=+

=∫+

Otteniamo quindi

( )( )

( ) 0per 12

112214

21220

2200

2122

0

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−=

−+

=−

zRzzE

zRzzrzzE

disco

R

disco

εσ

εσ

εσ

Per R →∞

02εσ

=→ ∞pianodisco EE

Per z →0

02εσ

=→ ∞pianodisco EE


Moto

di

una

carica

in campo elettrico

EmqaEqamFrrrrr

=⇒==

Il rapporto

tra

q ed m

determina l’accelerazione

cui è sottoposta la particella di carica q e massa m; se il campo elettrico E è uniforme, l’accelerazione

a risulta

costante

e quindi la traiettoria seguita dalla

particella è una parabola. Supponiamo che la particella entri nella zonain cui c’è campo elettrico con velocità v0

diretta orizzontalmenteda sx verso dx, sia inoltre v0

┴

E, indichiamo infine con v

la velocitàdella particella in uscita

dal

campo elettrico, con α

l’angolo

di

deflessione

della stessa rispetto all’asse delle x, con d la distanzadall’asse delle x del punto P in cui la particella colpisce lo schermo e con a la lunghezza

dei

piatti

deflettenti.

Pαx

ya


Dalla cinematica sappiamo che2

20

20 2

121 x

vE

mqyEt

mqytvx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

Abbiamo così verificato che la traiettoria è una parabola

a)(per x edeflession di angolo =⇒ αdxdy

avE

mq

dxdytg

ax20

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

α

Se la deviazione dall’orizzontale all’uscita dai piatti deflettenti è piccola,ovvero se lo schermo è sufficientemente lontano, possiamo scrivere

Ld

mvqEa

Ldtg ≅⇒= 2

0

α

I tubi a raggi catodici e gli oscilloscopi sono basati su queste proprietà


L’esperienza di Millikan

(1910 –

1913)quantizzazione

della carica

• Il campo elettrico può essere applicato e tolto• Le gocce di olio si caricano per strofinioAnalisi teoricaGocce di massa m e raggio rIn assenza di campo le gocce scendono in caduta libera

secondo l’equazione

rvmgma πη6−=In cui il secondo termine rappresenta l’attritoviscoso

Quando a = 0, la velocità diviene costante (velocità limite) v1

*

(verso il basso) (si trascura la spinta di Archimede)

33

2*1 4

39

26 r

mVm r

34V gr

rmgv

πρπ

ηρ

πη=====


Applico il campo elettrico E

(verso l’alto) e la goccia ha carica q > 0

rvqEmgma πη6−+−=

La goccia sale e la sua velocità limite v2

*

vale

rmgqEv

πη6*2

−=

Combinando i valori delle due velocità limite si ottiene il valore della carica q

( )E

vvrq*2

*16 +

=πη

Misuro v1

*

⇒ rMisuro v2

*

⇒ q


Analisi sperimentale

Sperimentalmente si trova che v1

* è

costante

per tutte le gocce, mentre v2

* dipende dalla carica

delle gocce (le particelle possono cambiare carica a causa dell’interazione con le particelle dell’aria ionizzate dai raggi cosmici). Se c’è un cambio di carica Δq, si registrerà un cambio di velocità Δv2

*

0 o essere può q vE

rq <>ΔΔ=Δ *2

6πη

Ripetendo l’esperimento per più gocce si verifica che Δq = ne

elementare carica Ce 19106021.1 −⋅=

Si ottiene così che la carica è

quantizzata

e che ogni carica è associata ad un oggetto dotato di massa


Il potenziale elettrico e l’energia potenzialeForza elettrica è

centrale

⇒ conservativa

⇒ energia potenziale

Elettrica Definiamo il potenziale elettrico

in un punto come l’energia potenziale

posseduta da una carica unitaria

posta in quel punto

[ ] 12 −−==== CkgsmV voltV qVU qUV 2

Il potenziale è

una caratteristica del campo e non della caricaIl potenziale,

come U, è definito a meno di una costante arbitraria:

poniamo V = 0 per r = ∞

A

B

VA

VBEESds

q

si muove da A verso B lungo la curva e attraversa una regione in cui c’è campo elettrico E

( )

( )UVq

VqVVqWWUUU

VVqUU

ABBA

BABA

BABA

Δ=ΔΔ−=−−=

=Δ−=−−=−

→

→ carica sulla fatto lavoro


Pertanto troviamo

( )BABA VVqW −=→ differenza di potenziale elettrico

BA

B

A

B

A

B

ABA

VVrdE

rdEqrdFW

−=⋅

⋅=⋅=

∫

∫∫→

rr

rrrr

Lungo un percorso chiuso, dato che il campo è conservativo, abbiamo

0=⋅∫ rdE rr

In generale, lungo un percorso qualunque se ES

è la componente del campo lungo il percorso, si ha

( ) ∫∫ −=−−=−=B

AAB

B

ABAS dVVVVVdsE

Se A e B sono molto vicini

possiamo scrivere

Possiamo anche definire il potenzialecome il lavoro fatto

dal campo elettrico

per portare la carica di prova

dall’infinitoal punto in cui si misura V, V = (-W∞

/q)


zVE

yVE

xVE

sVE dVdsE

zyx

SS

∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−=

∂∂

−=−=

QuindiVgradE −=

r

In questo modo posso calcolare V noto E e viceversaAd esempio consideriamo un campo elettrico uniforme (E = costante)con unica componente lungo l’asse delle x

-ExV

0x per 0V dVEdx dVEdxxx

=

==−=−= ∫∫00

Notiamo che in questo caso il potenziale cresce

nella direzione in cui il campo elettrico decresce, ovvero che la direzione del campo elettrico

è

quella in cui V decresce


Se mi sposto da x1 ad x2 ho

( ) ( )

[ ] 112112

121212

2211

E

d

−− ==−

=−

−=

−=−−=−−=−=

NCVmd

VVd

VVE

xxxxEVVExVExV Notiamo che

•se V1

-V2

> 0

⇒ E

va da x1

a x2•se V1

-V2

< 0

⇒ E

va da x2

a x1

Consideriamo ora una carica puntiforme q

sorgente del campo E

carica della secondaa 0 o V r4

qV

r per 0V dVrdrq

drdV

rq

rVE

0

V

<>=

∞==−=

−=

∂∂

−=

∫∫∞

14

40

02

0

20

πε

πε

πε

q > 0


Il potenziale V

è additivo, pertanto se ho più cariche, ottengo

∑=

=+++=n

i i

i

n

n

rq

rq

rq

rqV

10020

2

10

1

41

4...

44 πεπεπεπεLe superfici per cui è V = costante

sono superfici equipotenziali, E

è

sempre ⊥

ai punti di una superficie equipotenziale

(il lavoro

per muoversi su una superficie equipotenziale è

nullo)

Se E è

uniforme, allora V = costante

⇒ x = costante

⇒ superficiequipotenziali

sono dei piani

Se E è

generato da una carica puntiforme

⇒ superfici equipotenzialisono delle sfere


Consideriamo il caso del filo di lunghezza infinita ed uniformemente carico con distribuzione lineare di carica λ

∫∫ =−

=−=

==

rdrdV

rdrdVE

Vgrad-E ur

E r

0

0

0

2

12

2

πελ

πελ

πελ rrr

0V(1) 1 r per 0 C seCrV =⇒==+−= ln2 0πε

λ


Consideriamo ora l’energia totale

di una particella di massa m e carica qin una zona in cui è presente un campo elettrico E

qVmvUEE KTOT +=+= 2

21

Dato che non ci sono forze dissipative, quando la particella si muove dallaposizione 1 alla 2 abbiamo, per il principio di conservazione dell’energia

( )

( )2121

22

212121

2221

2221

21

21

21

21

2121

21

)2()1(

12

VVqmvmv

VVqWmvmvWE

qVmvqVmv

EE

K

TOTTOT

−=−

−=−==Δ

+=+

=

→→

Volt

= variazione di potenziale elettrico che una carica di 1 C deveeffettuare per aumentare la propria energia di 1 J

q > 0

EK

aumenta spostandosi verso V inferioriq < 0

EK

aumenta spostandosi verso V superiori


Se v1

= 0

e in 2 è V2

= 0

ticielettrosta riaccelerato gli basano sicui su principioqVmv ⇒= 1222

1

1 eV = (1.6 · 10-19 C ) (1 V) = 1.6·10-19 J

Ee = me c2 = 8.1867 ·10-14 J = 0.511 MeV

Ep = mp c2 = 1.5032 ·10-10 J = 938.26 MeV

En = mn c2 = 1.5053 ·10-10 J = 939.55 MeV


Note sull’energia potenzialeAnalizziamo ora l’energia potenziale

associata ad un sistema di più

cariche. Fino a qui abbiamo parlato di U solo per una carica q che si trova in un campo elettrico E

generato da altre cariche, ora ci chiediamo

invece qual è l’energia potenziale del sistema di cariche che genera il campo.Costruiamo il nostro sistema di cariche, prendendo ciascuna carica e portandola dall’infinito alla sua posizione finale, (le cariche sono in quiete sia all’infinito che nella posizione finale f)

( ) ff WUUU →∞∞ =−−=Δ−Il sistema più semplice è quello costituito da due cariche q1

e q2

.Prendiamo la carica q1 e la portiamo dall’infinito alla sua posizione finale f1 , per fare questo non variamo alcuna energia potenziale

in

quanto non abbiamo ancora un campo elettrico e quindi non facciamo lavoro


Prendiamo ora la carica q2 che si trova in quiete all’infinito e la portiamoalla posizione finale f2 situata ad una distanza r

da q1 . Abbiamo bisogno

di applicare una forza F

= -q2 E

che compia il lavoro L necessario a costruire il sistema, al termine del processo il sistema ha ricevuto energia(il lavoro fatto) e l’ha immagazzinata sotto forma di energia potenziale

VqrqqU 2

21

041

==πε

Esempio

Vogliamo determinare l’energia potenziale elettrostatica del sistema di cariche rappresentato in figura

d = 12 cm, q1 = +q, q2 = -4q, q3 = +2q, q = 150 nC


Sappiamo già che per posizionare la carica q1 non dobbiamo compiere alcun lavoro, quindi portiamo la carica q2

a distanza d da q1

dqqUW 21

0

1212 41πε

==

Prendiamo ora q3

e la portiamo a distanza d sia da q1

che da q2

, per fareciò dobbiamo compiere due lavori

in quanto abbiamo due campi, quello

generato da q1 e quello generato da q2 , pertanto

dqq

dqqUUWWW 32

0

31

0

23132313 41

41

πεπε+=+=+=

L’energia potenziale elettrostatica

del sistema così costruito sarà la somma delle energie elettrostatiche accumulate nel sistema

durante la

sua costruzione

dqq

dqq

dqqUUUU 32

0

31

0

21

0231312 4

14

14

1πεπεπε

++=++=


∑<

=ji ij

ji

rqq

U04

1πε

mJ d

qU 17410

0

2

−==πε

L’energia potenziale elettrostatica negativa

indica che il sistema si rompe solo se dall’esterno gli si fornisce un’energia

pari a 17 mJ, si dice anche

che il sistema è

legatoL’energia potenziale elettrostatica così calcolata non dipende dall’ordinecon cui vengono considerate le cariche, ma solo dalle interazioni fra lecoppie di cariche, interazioni che vanno considerate una volta sola per coppia. L’energia potenziale elettrostatica appartiene al sistema di cariche


Il dipolo elettricoVogliamo calcolare il campo in P creato dalle cariche+q e –q uguali in modulo.Esso sarà la somma di E+

ed E-

, entrambi in direzione z

2

0

2

0

20

20

24

24

41

41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

=−=+=−+

−+

dz

qdz

qrq

rqEEE

πεπε

πεπε

12

21

21

4

22

20

<<⇒>>

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−−

zddz

zd

zd

zqE

πε

Facciamo ora uno sviluppo binomiale


( )

( ) ...!12

212

1

...!12

212

1

2

2

+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

−

zd

zd

zd

zd Otteniamo così

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= ...

221...

221

4 20 z

dzd

zqE

πε

Notiamo che i termini successivi al primo sono potenze successive di (d/z) << 1 ⇒ possiamo trascurarli

30

30

20 2

12

124 z

pzqd

zd

zqEdipolo πεπεπε

===

Definiamo momento di dipolo

la seguente quantità

dqprr

= orientato dalla carica –

a quella +In generale il campo elettrico del dipolo

varia come 1/r3, dove r è la

distanza dal centro del dipolo. Il campo del dipolo

è più

debole

di quellodi una singola carica. Per punti sull’asse

del dipolo E e p sono paralleli


Dipolo in un campo elettrico esterno

Molecola di acqua in un campo elettricouniforme esterno E. La molecola di acqua è un dipolo perché le sue cariche +q e -q sono posizionate rigidamenteQuello che avviene è che i vettori E

e p

non sono paralleli, ma formano un angolo θ

Dal punto di vista dinamico abbiamo che su q e su –q agisce la forza elettrica dovuta al campo E

qq FF e EqF −+ −==rrrr


Globalmente abbiamo

CM al attorno ruota dipolo il fermo resta

0 0 ris

CM

Fris

⇓⇓

≠= τrr

( )

θθτ

θθθτττ

ττ

sinsin

sinsin2

sin2

2

2

21

21

pEqEd

dFFdFd

FdFd

ris

ris

−=−=

−=−−==+

−×=×=r

rrr

rr

Epris

rrr×=τ

Il dipolo risente di un momento torcente

che tende ad allinearlo ad E


Energia potenziale di un dipolo elettrico

L’energia potenziale del dipolo risulta minima quando p║EArbitrariamente scegliamo U = 0 per θ

= 90o

( ) ( )

θ

θθθτθ

θτθθ

cos

sin90

9090

pEU

dpEdWUUU

dWUW

−=Δ

=−=−=°−=Δ

=Δ−=

∫∫

∫

°°

arbitraria costante della meno a EpUrr

⋅−=

U minima p ║E (θ = 0) U(0) = -pEU massima p ║-E (θ = 180o) U(180o) = pE

In generale si ha

)()( fi UUUWfi

θθθθ −=Δ−=−


Esaminiamo il potenziale

associato ad un dipolo elettrico

Determiniamo il potenziale del dipolo nel punto P,esso sarà la somma

del potenziale V+

dovuto alla carica positiva e V-

dovuto alla carica negativa

+−

+−

−+−+

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+=

rrrrq

rq

rqPVPVPVTOT

00 441)()()(

πεπε

Nella realtà i dipoli sono molto piccoli e quindi possiamo assumere che r >> d, allora

20

2

cos4

cos

rdqV

rrr drrϑ

πε

ϑ

=

≈≈− −++−

20

cos4

1r

pV ϑπε

=


Ora che abbiamo determinato il potenziale del dipolo elettrico, possiamocalcolare il campo elettrico del dipolo in ogni punto dello spaziousando le coordinate polari r e θ

pθ

E

uruθ

Er

Eθ

P

r

prVEr 3

0

cos42 ϑπε

=∂∂

−=

30

14sin1

rpV

rE

πεϑ

ϑϑ =∂∂

−=

ϑrdds =

20

cos4

1r

pV ϑπε

=


Legge di GaussSfrutta le simmetrie

che spesso riscontriamo in fisica

Equivale alla legge di Coulomb, l’utilizzo dell’una o dell’altra legge dipende dai casi Superficie gaussiana: ipotetica superficie chiusaMette in relazione

le cariche all’interno

della superficie chiusa con i

campi elettrici

in tutti i punti della superficie

stessaAbbiamo bisogno del concetto di flusso

Corrente d’aria con v uniforme

direttaverso una spira quadrata di area A, Φ

è

il flusso volumico

(portata volumica) concui l’aria fluisce attraverso la spira

( ) AvvAAvrr

⋅===Φ θθ coscos

Flusso:quantità del campo intercettata dallasuperficie


In generale, preso un campo vettoriale V

e una superficie S, orientata

e suddivisa in superfici infinitesime dSi

, abbiamo che, ad ogni dSicorrisponde un versore uni

che orienta la superficie e un angolo θi

tra tale versore e il vettore campo V

n

nnnn

n

.........,

u......, u u udSdSdSdS

n

θθθθ ,,,

,,,,...,,,

321

321

321

rrrr

Per definizione il flusso di V

è un integrale di superficie dato da

dSuV

dSuVdSuVdSuV

dSVdSVdSV

Sn

nnnnn

nnn

n

∫ ⋅=Φ

⇒⋅++⋅+⋅=

=+++=Φ

rr

rrrrrr...

cos...coscos

2211

222111

21

θθθ

Φ

può essere positivo

o negativo

a seconda del valore di cosθ, se θ

= π/2allora Φ

= 0, il vettore campo V è

tangente

alla superficie S in ogni suo

punto; se S è

chiusa ∫ ⋅=ΦS

ndSuV rr


Se ora il campo vettoriale

è proprio il campo elettrico E

generato da una carica q

posta al centro di una superficie chiusa sferica S, il suo

flusso attraverso detta superficie vale

0

22

0

414 ε

ππε

qrr

qdSEEdSdSuES SS

nE ====⋅=Φ ∫ ∫∫rr

r

(ricordiamo che E

e un

sono sempre paralleli

in una sfera al cui centro c’è la carica q e che quindi il loro prodotto scalare altro non è che ilprodotto dei moduli, inoltre la superficie S

della sfera vale 4πr2)

Da quanto sopra ricavato si può notare che Φ

non dipende dal raggiodella sfera, ma solo dalla carica q

in essa racchiusa


Consideriamo ora una superficie chiusa qualsiasi

che racchiude la carica q

dSr

q

dSr

qdSE

SE

SSE

∫

∫∫

=Φ

==Φ

θπε

θπε

θ

cos14

cos14

cos

20

20

r

r

Dalla definizione di angolo solido si ha

dSr

d θcos12=Ω

000

444 ε

ππεπε

qqdqE ==Ω=Φ ∫

Ω

r

Pertanto dΩ

è l’angolo solido infinitesimosotto cui la superficie dS

è

vista dalla

carica qL’angolo solido attorno ad un punto vale4π

steradianti, quindi


Abbiamo visto che il flusso del campo elettrico E

attraverso una superficie chiusa qualunque vale sempre q/ε0

, indipendentemente dalla forma della superficie e dalla collocazione della carica q all’interno della superficie stessaNotiamo inoltre che:• Se q è

esterno

alla superficie chiusa ⇒ flusso è

nullo

• Se all’interno della superficie ci sono più

cariche

⇒ flusso = Σ

flussi

Legge di Gauss

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa racchiudente le cariche q1 , q2 , ..., qn è

0εqdSuE

SnE =⋅=Φ ∫rr

r

dove q = q1 + q2 +...+ qn è la carica netta racchiusa all’interno della superficie S


In entrambi i casi se il conduttore è isolato e possiede una carica totale q, detta carica si dispone sulla superficie esterna del conduttore;se così non fosse infatti ci sarebbe una forza sulle cariche (dovuta alcampo elettrico esistente all’interno del conduttore) e si formerebberodelle correnti elettriche nel conduttore. Sperimentalmente si trova chequeste correnti non esistono e quindi, in condizioni statiche, il campoelettrico all’interno di un conduttore carico di forma qualsiasi è

nullo

e le cariche si dispongono sulla superficie esterna del conduttore.

Campo elettrico in un conduttore


Campo elettrico di una distribuzione sferica di cariche

Prendiamo una sfera di raggio a

con carica q,il campo, per questioni di simmetria, deve essere radiale.Consideriamo ora una superficie gaussiana

di

raggio r concentrica con la prima, abbiamo

∫ ∫ ==⋅=ΦS S

nE rEdSEdSuE 24πrrr

Applichiamo Gauss ed esaminiamo le possibilità al variare di rr > a

la carica q è

tutta contenuta nella superficie gaussiana

di raggio r

( ) 200

2

44

rqEqrE

πεεπ =⇒= È come se la carica

fosse tutta

localizzata nel centro

della sfera


r < a•Se la carica

è superficiale

⇒ E = 0

•Se la carica è

distribuita uniformemente

in tutto il volume

della sferaq’

è la carica contenuta all’interno della superficie gaussiana e vale

33

3

3 34

34' r

aqr

a

qq == ππ

Quindi

( ) ra

qEa

qrrE 30

30

32

44

πεεπ =⇒=

Il campo elettrico

dentro ad una sfera isolante uniformemente carica varia proporzionalmente ad r


Infine resta da esaminare cosa succede sulla superficie della sferar = a

esternodall' venendo a

qE

internodall' venendo a

qaaqE

20

20

30

14

144

πε

πεπε

=

==

+

−

I due valori E+

ed E-

coincidono quindi il campo E è

continuo

in r = a

r

E

a

r = 0 ⇒ E = 0


Campo elettrico generato da una distribuzione cilindrica di caricadi lunghezza infinita

Consideriamo una distribuzione di carica per unitàdi lunghezza λ

distribuita uniformemente su un tratto

cilindrico

di altezza h

e tale che q = λh; sia a

il raggio del cilindro. Il campo elettrico

ha direzione

radiale

per questioni di simmetria e certamente dipenderà

dalla distanza r

dall’asse del cilindro.

Considero una superficie cilindrica coassiale

allasuperficie carica e con raggio r, il flusso attraverso detta superficie vale sempre

( ) ( ) ( ) ( )( ) rhEdSuElat. sup.

lat. sup.lat. sup.BB

SnE

EEEEE

π221

∫ =⋅=Φ

Φ=Φ+Φ+Φ=Φrr

r

rrrrr

Anche in questo caso dobbiamo distinguere vari casi


r > a

la carica q è

tutta contenuta nella superficie gaussiana

di raggio r

rEhrhE 1

22

00 πελ

ελπ =⇒= Come nel caso del filo infinito

con

carica uniforme

r < a•Se la carica

è superficiale

⇒ E = 0

•Se la carica è

distribuita uniformemente

in tutto il volume

del cilindroq’

è la carica contenuta all’interno della superficie gaussiana e vale

2

2

2

2

2

2

'arh

arq

hahrqq λ

ππ

===

ra

Ea

hrrhE 20

20

2

22

πελ

ελπ =⇒=

Il campo elettrico

dentro ad un cilindro isolante uniformemente carico varia proporzionalmente ad r

(come per la sfera)


Infine resta da esaminare cosa succede sulla superficie del cilindror = a

esternodall' venendo a

E

internodall' venendo aa

aE

12

122

0

02

0

πελ

πελ

πελ

=

==

+

−

I due limiti coincidono quindi il campo E è

continuo

in r = a

r = 0 ⇒ E = 0

r

E

a


Riconsideriamo ora il caso della sfera isolante

con carica q

e raggio Ra)

carica superficiale uniforme σ

( ) ( )

( )

( )r

Rr4

qrV

rV r

rr4qEdrrV rV

rR

r4qE Rr

RERV R4

qE Rr

costanteVV 0E Rr

0

2

0

r

r12

0

RR0

R

R

2

0

2

12

2

2

02

002

1

0

11

1

10

2

1

εσ

πε

πε

εσ

πε

εσ

εσ

πε

==

→∞→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−

==>

=====

===≤≤

∫


b)

carica volumetrica uniforme ρ

2

3

02

0

02

0

02

3

02

0

3

31

4

31

4

331

4

0

rR

rqE Rr

RR

qEE Rr

rrr

rq(r)E

Vq r34q(r) Rr0

0E r

R

ερ

πε

ερ

πε

ερ

ερ

πε

ρπρ

==>

====

===

==<<

==


Per il potenziale

abbiamo

( )

( )

MAX

R

R

r

R

rR

R

r

V

V(r)

R0

R

0

VRV(0) r

rRrV

rRRrRVrV

rRrRrdrdrrrVV

EdrdV-

EdrdV- Rr

RRER4

qVV Rr

rR

r4qV Rr

R

===

−=

−+=−+=

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−=−=−

=

=<<

=====

==>

∫∫

∫∫

0

20

2

0

20

2

0

2

0

222

0

22

0

22

000

0

20

3

20

621)(

6636)(

621

21

333)(

0

31

13

1

ερ

ερ

ερ

ερ

ερ

ερ

ερ

ερ

ερ

ερ

ερ

ερ

πε

ερ

πε


( )( )

( )0z

Rz

zE

zRz

zrzzE

disco

R

disco

≥⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

+−=

−+

=−

21220

21220

0

2122

0

12

112

214

εσ

εσ

εσ

Per R ⇒ ∞02ε

σ=⇒ infinito pianodisco EE

Per z ⇒ 0

∞⇒=⇒ piano un di quello è campo il disco al vicinoEE infinito pianodisco02ε

σ

a

Campo elettrico e potenziale di un disco uniformemente carico


Passiamo ora al calcolo del potenziale (a2 =z2 +r2)

( )

( )( ) 0z

22

24

14

1

22

0

)(

)0( 0 21220

212200

≥−+=+

==

+==

∫ ∫ zRzdrrz

rdVV

rz

rdra

dqdV

RV

V

R

εσ

εσ

πσπεπε

Per R ⇒ ∞∞⇒V

Per z ⇒ 0

02εσRV ⇒


Campo elettrico creato da una carica uniformemente distribuita su di un piano conduttore infinito

(σ

> 0)

Le linee di forza del campo elettrico sono ⊥

alpiano caricoPrendiamo come superficie gaussiana un cilindroche attraversa la superficie carica ed è ⊥

ad essa e

calcoliamo il flusso totale( ) ( )

Sq SES

ESlat. sup.S

E

EEE

σεσ

===Φ

+=Φ+Φ=Φ

0

1 0

r

rrr

Infine troviamo

0εσ

=E

Il campo elettrico

sulla superficie di un conduttore non dipende dalla distanza dal piano: campo uniforme


Consideriamo ora una lamina infinita isolante

uniformemente carica con densità σ

> 0

Il campo elettrico è ⊥

alla lamina ed è uscenteLa superficie gaussiana che consideriamo èsempre un cilindro ⊥

alla superficie stessa

Le linee di forza intersecano la superficie gaussiana da una parte all’altra

( ) ( ) ( )

Sq SES

ESESlat. sup.SS

E

EEEE

σεσ

===Φ

++=Φ+Φ+Φ=Φ

0

21

2

0

r

rrrr

e quindi

02εσ

=E

Il risultato vale per punti a distanza finita dalla lamina


Consideriamo ora due piastre conduttrici

uniformemente cariche e con carica opposta

con densità σ

= 2σ1

, il campo elettrico è nullo all’interno delle due piastre e appena al di fuori di esse vale

negativa carica con piastra la per E

positiva carica con piastra la per E

0

0

2

2

εσ

εσ

−=

=

−

+

Notiamo che il campo elettrico è uscente

dalla piastra con carica positivaed entrante

nella piastra con carica negativa

Se ora avviciniamo le due piastre

dobbiamo combinare i due campielettrici


1 2 3

Nella zona 1

abbiamo

022 00

1 =+−=+−= −+ εσ

εσEEE

Nella zona 2

troviamo

0002 22 ε

σεσ

εσ

=+=+= −+ EEE

022 00

2 =−=−= −+ εσ

εσEEE

Nella zona 3

infine è

In conclusione abbiamo creato un campo elettrico uniforme

confinatonello spazio compreso tra le due lamine conduttrici. Notiamo chepassando attraverso ad una superficie carica il campo subisce una discontinuità

pari a σ/ε0

, proprietà sempre valida


Legge di Gauss in forma differenzialeLa parete ABCD ha area dS = dxdz e il flussodel campo elettrico attraverso di essa vale

( ) ( ) dxdzEdxdzEEdSABCD yE ===Φ ϑϑ coscosr

Attraverso A’B’C’D’ abbiamo un flusso negativo( ) dxdzEDCBA yE

'''''' −=Φ r

Attraverso la superficie del cubo in direzione y il flusso vale( ) ( )dxdzEEdxdzEdxdzEy yyyE y

'')( −=−+=Φ r

Se ora ricordiamo che AA’

= dy

è

infinitesimo, abbiamo che anche ladifferenza Ey

– E’y

è

molto piccola, quindi

E diy componente della variazione di rapidità y

E con

dyy

EdEEE

y

yyyy

r

∂

∂∂

∂==− '

x

y

z

AA’BB’

CC’DD’ E

Eyθ

dydx

dz


Quindi il flusso totale in direzione y vale

dVy

Edxdzdy

yE yy

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

Attraverso tutto il volume abbiamo

0εdqdV

zE

yE

xE

dVz

EdVy

EdV

xE

zyx

zyxE

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=Φ r

Ricordando ora che dq

= ρdV, otteniamo

0

0

ερ

ερ

=

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

Ediv

zE

yE

xE zyx

r

relazione locale tra campo elettrico e distribuzione di carica

H.C. Oersted connessione tra elettricità e magnetismo M. Farday...

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