Le onde elettromagnetiche L’era dell’informazione è interamente fondata sulla fisica delle onde elettromagnetiche: in ogni istante della nostra giornata siamo totalmente immersi nelle radiazioni elettromagnetiche; esse arrivano da un’infinità di sorgenti: Dal Sole e dalle altre stelle dell’universo Dai trasmettitori arrivano le onde destinate alla ricezione da parte di televisioni, radio, telefoni cellulari. Dalle lampadine, dai motori caldi delle automobili, dai lampeggiatori fotografici, Dalle sostanze radioattive contenute nel suolo

Ai tempi di Maxwell, soltanto alcuni tipi di onde erano noti: la luce visibile, le radiazioni infrarosse ed ultraviolette. Stimolato da Maxwell, Heinrich Hertz scoprì poco dopo le onde radio. Adesso ne conosciamo e ne utilizziamo uno spettro vastissimo.

James Clerk Maxwell (Edimburgo 1831-1879)

Fu il grande Maxwell a scrivere le equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo, ed a mostrare per primo che la luce non è altro che un onda elettromagnetica, ovvero una configurazione di campi elettrici e magnetici in moto nello spazio.

Lo spettro elettromagnetico Nel vuoto le onde elettromagnetiche viaggiano tutte alla stessa velocità: c = 3108 m/s

cc 2

Ogni onda è caratterizzata da una specifica lunghezza d’onda e frequenza n ; esse sono legate dalla relazione:

La porzione di spettro visibile all’occhio umano racchiude soltanto un piccolissimo intervallo di frequenze

2Frequenza n e frequenza angolare sono legate dalla relazione:

distanza interatomica

1000 Km

Lo spettro visibile In figura è mostrata la sensibilità relativa dell’occhio umano in funzione della lunghezza d’onda. Il massimo della sensibilità si ha per una = 555 nm; questa onda produce sui nostri occhi la sensazione del giallo-verde. I limiti di sensibilità dell’occhio umano non sono ben definiti, poiché la sensibilità va asintoticamente a zero nelle code della distribuzione; comunque, al di fuori dell’intervallo tra = 430 - 690 nm la sensibilità scende al di sotto dell’1% del suo massimo.

cc 2

Propagazione delle onde elettromagnetiche Le onde di piccole lunghezze d’onda e grandi frequenze raggi X, raggi gamma, luce visibile si producono mediante meccanismi che coinvolgono la fisica quantistica atomica. Qui esaminiamo onde di grande lunghezza d’onda, come ad esempio le onde radio in FM ( m, n 100 MHz). In figura è mostrato lo schema di generazione di queste onde. Il circuito LC genera una corrente sinusoidale di frequenza

LC

1

Il circuito deve essere alimentato da una sorgente esterna al fine di: a) compensare le perdite termiche resistive; b) compensare l’energia che viene portata via dall’onda irradiata. La corrente sinusoidale prodotta dall’LC viene trasmessa, attraverso un trasformatore ed una linea di trasmissione, ad un’antenna metallica. Le cariche si propagano nell’antenna come un dipolo di carica di intensità e direzione oscillante, emettendo onde elettromagnetiche che si irradiano nello spazio con la stessa frequenza della corrente prodotta nel circuito LC

Onde piane Il dipolo di carica oscillante generato nell’antenna irraggia, ovvero emette radiazione elettromagnetica di frequenza uguale alla frequenza caratteristica del circuito LC utilizzato per produrre l’oscillazione nell’antenna. Dall’antenna parte dunque l’onda elettromagnetica di frequenza =1/LC, che si propaga nello spazio a velocità c. Supponiamo che il punto di ricezione P sia abbastanza lontano dall’antenna da poter trascurare la curvatura del fronte d’onda. In tal caso si dice che l’onda è piana, e la trattazione formale è semplificata.

Dicesi onda elettromagnetica l’insieme di un campo elettrico E e di un campo magnetico B perpendicolari tra loro, che viaggiano accoppiati nello spazio con velocità c, le cui ampiezze variano sinusoidalmente con frequenza angolare ed in fase tra loro. Nel caso di onde piane (come in figura), E e B sono entrambe perpendicolari alla direzione di propagazione (onde trasversali).

Onde piane Sia x la direzione di propagazione, y la direzione di E, z la direzione di B:

cc 2

cck

22

numero d’onda Lunghezza d’onda

è lo spazio di una singola oscillazione

2sin0, mEEtx

T/2 Frequenza angolare e periodo

2sin,0

0sin0,0

m

m

EETtx

EEtx

T è il tempo di una singola oscillazione

Tc

Velocità dell’onda nel vuoto:

ytkxEE mˆsin

ztkxBB mˆsin

ONDA PIANA

Onde piane

La 2) ci dice una cosa molto importante: in un’onda elettromagnetica, non può esistere il campo elettrico senza la simultanea presenza del campo magnetico, e viceversa; se uno dei due campi è nullo, l’altra deve essere ugualmente nullo Questo deriva dal fatto che il campo magnetico sinusoidale genera per induzione un campo elettrico perpendicolare ad esso, e viceversa: i due campi continuano a generarsi a vicenda per induzione, propagandosi come un’onda.

Si possono dimostrare le relazioni

B

Ec

B

Ec

m

m )2

ytkxEE mˆsin

ztkxBB mˆsin

ONDA PIANA

00

1)1

c

Dalla forza di Lorentz deriva che [E]=[vB]

Energia dell’onda elettromagnetica Ovviamente le onde elettromagnetiche trasportano energia; senza l’energia della radiazione solare il pianeta terra sarebbe un blocco di ghiaccio con temperature vicine allo zero assoluto. La quantità di energia trasportata dall’onda elettromagnetica è descritta da un vettore (S) detto vettore di Poynting (dal nome di John Henry Poynting 1852-1914, che per primo la formulò), definito come:

La direzione di S è perpendicolare ad entrambe i campi, ovvero parallela alla direzione di propagazione dell’onda. Consideriamo il modulo: essendo i campi perpendicolari tra loro si ha:

BES

0

1

0

EBS

Energia dell’onda elettromagnetica

BEc /)2

00

1)1

c

Utilizziamo la relazione 2) per esprimere S in funzione del solo B:

)2(0

2

BuccB

S

Utilizziamo le relazioni 1) e 2) per esprimere S in funzione di E:

)2(2

0

0

2

EucEcc

ES

Dall’uguaglianza tra queste due equazioni si vede chiaramente che, se chiamiamo u la densità di energia dell’onda elettromagnetica, deve essere:

BEBEBE uuuuuuu 22

Ovvero: in ogni istante, le densità di energia elettrica e magnetica sono uguali; la densità di energia totale trasportata dall’onda è quindi la somma delle 2.

ucuucS BE )(

Il modulo del vettore di Poynting è uguale al prodotto della velocità dell’onda per la densità di energia trasportata dall’onda.

Interpretazione fisica del vettore di Poynting

Ovvero la velocità è il volume di area unitaria (A=1) attraversato dall’onda nell’unità di tempo (t=1); ne segue che S può definirsi come: 1) la quantità di energia trasportata dall’onda nell’unità di tempo attraverso l’unità

di area 2) La potenza trasportata dall’onda attraverso l’unità di area 3) Il flusso di energia dell’onda attraverso l’unità di area.

Tipicamente, invece dei valori istantanei è più comune considerare valori medi nel tempo. Il valor medio del vettore di Poynting è detto intensità della radiazione elettromagnetica (I). Si ha:

ucS

At

V

At

Al

t

lc

Se indichiamo con x lo spazio percorso dall’onda, ed A l’area perpendicolare alla direzione di propagazione, possiamo riscrivere la velocità come:

2

0

0

2

00

qm

qmqmqmEc

cBBEBESI

Intensità di radiazione

In generale determinare l’intensità di un’onda elettromagnetica è complicato; qui consideriamo il caso semplice di una sorgente puntiforme che dal punto S emette un’onda che si propaga isotropicamente nello spazio con simmetria sferica

Sia r la distanza tra sorgente e fronte d’onda; per definizione l’energia per unità di tempo (ovvero la potenza P) trasportata dall’onda ad un certo valore di r è:

24 rIP

Ma per la conservazione dell’energia, questa non può che essere la potenza della sorgente luminosa Ps, per cui: 24 r

PI s

Dunque l’intensità dell’irraggiamento elettromagnetico emesso da una sorgente isotropa puntiforme diminuisce con il quadrato della distanza dalla sorgente.

Polarizzazione dell’onda Se i campi oscillano lungo un asse ben determinato (come in figura il campo elettrico lungo y) si dice che l’onda piana è polarizzata lungo y. Il piano contenente E (ovvero (x, y)) si dice piano di oscillazione dell’onda.

Ad esempio, il segnale televisivo è rappresentato da onde polarizzate. In Italia l’onda ha campo elettrico polarizzato orizzontalmente, per cui i componenti delle antenne sono disposti in verso orizzontale. In altri paesi la polarizzazione di E è nel piano verticale, e l’antenna di ricezione deve anch’essa essere disposta verticalmente.

Al contrario, le onde di luce emesse dal sole o da una lampada a fluorescenza sono non polarizzate: ciò vuol dire che il piano in cui oscilla il campo cambia istante per istante in modo casuale (pur restando sempre perpendicolare alla direzione di propagazione)

Polarizzazione dell’onda Una luce non polarizzata può essere polarizzata mediante uso di una lamina polarizzante; la più comune è la cosiddetta polaroid inventata nel 1932 da Ewin Land. Essa consiste in una lamina di plastica contenente lunghe catene molecolari disposte parallelamente. Le molecole hanno la caratteristica di assorbire la componente dell’onda perpendicolare alla catena, mentre lasciano filtrare la componente parallela. Le componenti y e z della luce non polarizzata hanno uguale intensità, per cui nel passaggio attraverso il filtro, metà dell’intensità originale (I0) va persa:

Supponiamo invece che prima del filtro E sia polarizzato lungo una direzione generica, non parallela alle righe della lastra (sia q l’angolo tra E e le righe); la componente Ez viene assorbita, mentre Ey passa attraverso il filtro. Poiché l’intensità è legata al quadrato del campo, l’intensità dopo il filtro diventa:

2/0II

q2

0 cosII

Polarizzazione dell’onda In figura vediamo il caso di luce non polarizzata attraverso 2 filtri disposti in sequenza: P1 seleziona luce polarizzata verticalmente; della radiazione uscente, P2 seleziona la proiezione lungo le righe della lastra:

Ovviamente se le righe di P1 e P2 fossero perpendicolari tra loro la radiazione sarebbe totalmente schermata

2/01 II qq 202

12 cos2

cosI

II

Un’applicazione ben nota della polarizzazione della luce è la lente polarizzata: le lenti solari filtrano la luce in modo che passi soltanto la componente verticale; se proviamo a sovrapporre due lenti in sequenza , la luce continua a passare abbastanza bene, ma se le incrociamo come in figura, la luce sarà completamente schermata

Problema 33.3 Consideriamo luce inizialmente non polarizzata, e 3 filtri in sequenza con righe disposte come in figura; determinare l’intensità risultante dopo i 3 filtri

Dunque solo il 9% dell’intensità originale emerge dai 3 filtri; notiamo che se non ci fosse P2 la luce risultante sarebbe nulla. Un’opportuna disposizione dei filtri ci permette di selezionare una specifica intensità d’uscita.

2/01 II

0

202

12 125.060cos2

60cos II

II

Dopo P1 la luce è polarizzata lungo y con intensità

Dopo P2 la luce è polarizzata lungo le righe di P2 con intensità:

Dopo P3 la luce è polarizzata lungo x con intensità:

02

2

23 093.075.030cos IIII

1P

2P

3P

Indice di rifrazione L’onda elettromagnetica viaggia nel vuoto con velocità c; se però consideriamo la propagazione all’interno di una sostanza qualsiasi, la velocità dell’onda si riduce:

c

v

n

cv

n è una costante adimensionale detto indice di rifrazione, il cui valore è proprio del mezzo in cui il raggio si propaga; l’indice di rifrazione è il rapporto tra velocità della luce nel vuoto c e velocità della luce nel mezzo considerato

v

cn

In tutte le sostanze è sempre n > 1; nel vuoto ovviamente n = 1; nell’aria n 1;

Riflessione e rifrazione

Definiamo q1 angolo d’incidenza, q’1 angolo di riflessione, e q2 angolo di rifrazione. Il piano che contiene il raggio d’incidenza e la normale alla superficie è detto piano d’incidenza (in pratica il piano della pagina).

Nel seguito assumiamo onde di luce che si propagano in linea retta. La fenomenologia di questa specifico tipo di radiazione è detto ottica geometrica. In figura vediamo un fascio luminoso che procede in aria in linea retta, e incontra una superficie di vetro piana orizzontale. Vediamo che parte della luce viene riflessa e si allontana dal vetro, mentre parte viene trasmessa attraversa il vetro (un materiale attraverso il quale la luce può trasmettersi si dice trasparente). Il passaggio della luce attraverso l’interfaccia tra due elementi distinti (aria e vetro in questo caso) si dice rifrazione. Si noti che la direzione del raggio rifratto è diversa da quella del raggio incidente.

Leggi dell’ottica geometrica

'

11 qq

n1 ed n2 sono gli indici di rifrazione dei due mezzi in cui il raggio si propaga; nel caso del passaggio da aria ad acqua:

Valgono le leggi seguenti:

Legge della riflessione: Il raggio riflesso giace nel piano d’incidenza; l’angolo di riflessione è uguale all’angolo d’incidenza

Legge della rifrazione (anche detta legge di Snell): Il raggio rifratto giace nel piano d’incidenza; gli angola di rifrazione e di incidenza sono legati dalla relazione:

)sin()sin( 2211 qq nn

33.1;1 21 nn33.1

)sin()sin( 1

2

qq

Indice di rifrazione

Abbiamo 3 possibilità: n1 = n2 q1 =q2 ovvero il raggio rifratto prosegue nella stessa direzione di quello incidente n1 < n2 q1 > q2 ovvero il raggio rifratto prosegue lungo una direzione più vicina alla normale n1 > n2 q1 < q2 : il raggio rifratto devia maggiormente dalla normale

)sin()sin( 1

2

12 qq

n

n

NB: se q1 =0, per qualunque n1, n2 è sempre sin(q2)=0 q2 = (0, ): se l’angolo di incidenza è nullo il raggio trasmesso prosegue con uguale direzione

Dispersione cromatica

v

cn

Dunque, quando un raggio incidente policromatico che viaggia nel vuoto o nell’aria colpisce una superficie, il raggio rifratto subisce una dispersione cromatica, ovvero onde di diversa frequenza vengono rifratte con angolo di rifrazione differente. In generale, n aumenta debolmente con l’aumentare di , ovvero decresce debolmente con l’aumentare di .

In generale, la velocità con cui le onde elettromagnetiche viaggiano all’interno di una sostanza dipende dalla frequenza dell’onda (ovvero dalla lunghezza d’onda):

vv

Ne deriva che anche l’indice di rifrazione di una sostanza deve dipendere dalla frequenza dell’onda elettromagnetica; per cui se siamo in presenza di un raggio di luce composto da onde di diversa frequenza (ovvero un raggio non monocromatico) ognuna di esse si propaga nella sostanza con un indice di rifrazione differente:

Indice di rifrazione n() nel quarzo (SiO2)

c2

Dispersione cromatica

caso 1: la luce bianca passa dall’aria (n1 = 1) al vetro (n2 > 1). Poiché n2(blu) > n2(rosso), il raggio blu ha un angolo di rifrazione più piccolo, dunque è più deviato del rosso. caso 2: la luce bianca passa dal vetro (n1 > 1) all’aria (n2 = 1); il raggio blu avrà un angolo di rifrazione maggiore del rosso; dunque anche in questo caso la deviazione rispetto alla direzione incidente è maggiore per il blu.

se per esempio abbiamo un fascio composto da un’onda blu ed una rossa, la luce blu, avendo di minore (e dunque maggiore) della rossa, ha anche un indice di rifrazione maggiore della componente rossa; ne segue che la componente blu sarà maggiormente deviata rispetto alla componente rossa. La luce bianca è un insieme di onde di diversa frequenza, in cui sono presenti circa tutti i colori del visibile con uguale intensità.

rossonblun

)sin(1

)sin( 1

2

2 qqn

)sin()sin( 112 qq n

aria vetro vetro aria

Prisma di vetro

Per esaltare la separazione tra i colori si può utilizzare un prisma di vetro. La luce viene rifratta 2 volte, una quando il fascio bianco entra nel prisma, ed una quando i raggi rifratti dal prisma fuoriescono nuovamente in aria: entrambe questi passaggi tendano a divaricare le direzioni delle onde in base ai diversi colori.

nel passaggio dall’aria al prisma il blu ha un angolo di rifrazione minore del rosso, per cui devia maggiormente rispetto al raggio di luce bianca incidente

nel passaggio dal prisma all’aria il blu ha un angolo di rifrazione maggiore del rosso; dunque anche in questo caso il blu devia più del rosso dalla direzione del raggio incidente

Arcobaleno L’arcobaleno rappresenta l’esempio più affascinante di dispersione cromatica esistente in natura. Quando la luce solare viene intercettata dalle goccioline d’acqua presenti nell’aria, parte della luce si rifrange penetrando nelle gocce, viene poi riflessa dalla superficie interna e poi rifratta verso l’esterno. Le due rifrazioni esaltano la decomposizione cromatica nelle varie componenti di colore

Dopo la doppia rifrazione, i raggi luminosi sono reindirizzati verso il suolo. L'effetto complessivo è che la luce in arrivo viene riflessa in una larga gamma di angoli (più grandi per il rosso che per il blu) con la luce più intensa riflessa con un angolo di 40°–42° rispetto al raggio incidente. L'angolo è indipendente dalla dimensione della goccia, e dipende soltanto dall’indice di rifrazione dell’acqua.

Riflessione totale

Poiché il seno non può mai essere > 1, questa equazione ha senso solo per n1 > n2 , ovvero solo quando si passa da un mezzo con indice maggiore ad uno con indice minore; in caso contrario, l’indice di rifrazione è minore di quello incidente per cui la riflessione totale non può mai essere raggiunta.

In figura sono mostrati alcuni raggi emessi dalla sorgente luminosa S interna al vetro. Man mano che l’angolo d’incidenza cresce, per la legge di Snell cresce la divaricazione del raggio rifratto dalla normale, fino ad arrivare al caso critico rappresentato da un angolo di rifrazione di 90° : da questo punto in poi la componente trasmessa è nulla, ed il raggio incidente è totalmente riflesso: questa si dice condizione di riflessione totale

La riflessione totale corrisponde alla situazione in cui il seno dell’angolo di rifrazione raggiunge il suo valore massimo:

1

2

2

1 arcsin1)sin(n

n

n

ncc qq

1)2/sin(

Per la legge di Snell, questo corrisponde ad un angolo d’incidenza critico dato da:

La fibra ottica L’applicazione di gran lunga più importante del fenomeno di riflessione totale è certamente la fibra ottica, alla base della moderna tecnologia delle telecomunicazioni, che consente la trasmissioni di segnali con straordinaria potenza, velocità, ed efficienza energetica. Le fibre ottiche sono anche largamente impiegate nella tecnologia medica per operare in endoscopia, utilizzando la fibra per visualizzare gli organi interni del paziente

Ogni singola fibra ottica è composta da due strati concentrici di materiale trasparente: un nucleo cilindrico centrale (core) con diametro 10 µm ed un mantello (cladding) con diametro 50 µm, ed indice di rifrazione minore (1,475) rispetto al core ( 1,5). La luce deve entrare nel core con un angolo rispetto all’interfaccia core/mantello maggiore dell’angolo limite, in modo che si propaghi mediante riflessione totale, senza disperdersi al di fuori della fibra. Il core e il cladding della fibra ottica possono essere realizzati in silice (SiO2) oppure in polimeri plastici.

Polarizzazione per riflessione Consideriamo in figura un raggio incidente non polarizzato (focalizziamoci sul campo elettrico, dimenticando il campo magnetico); questo può essere decomposto in una componente parallela al piano incidente (indicata dalla freccia verde) ed in una perpendicolare (puntini arancioni), di uguale intensità. Nel raggio riflesso, il campo si polarizza parzialmente, ovvero una componente (quella perpendicolare al foglio) ha un’intensità molto maggiore dell’altra; per uno specifico valore dell’angolo incidente, detto angolo di Brewster (qB), la luce riflessa diventa totalmente polarizzata nel piano perpendicolare alla pagina.

In questa condizione la componente parallela non può essere riflessa, e deve perciò essere totalmente rifratta. Per esempio, vetro, acqua, e altri dielettrici sono in grado di polarizzare la luce per riflessione. Guardando la luce riflessa dall’acqua, totalmente polarizzata nel piano orizzontale alla superficie dell’acqua, si vede una macchia brillante detta riverbero. Per eliminare il riverbero, le lenti da sole hanno le righe di polarizzazione verticali, in modo da schermare totalmente la luce polarizzata in un piano parallelo al suolo.

Legge di Brewster

Quando l’angolo incidente è uguale all’angolo di Brewster (q1 =qB), il raggio rifratto e quello riflesso sono orientati con un angolo di 90° tra loro; ovvero la somma degli angoli di rifrazione e riflessione è uguale a 90°:

Questa espressione prende il nome di legge di Brewster, da Sir David Brewster che la trovò empiricamente nel 1812

o

rB 90qq

)cos()90sin()sin(2

1BB

o

Bn

nqqq

Dalla legge di Snell si ricava:

1

2arctann

nBq

Problema 33.4 In figura vediamo un raggio monocromatico che incide nel punto A dell’interfaccia tra due mezzi di indici n1 = 1.33 e n2 = 1.77. Il raggio incide con un angolo di 50° sulla superficie. a) Calcolare gli angoli di riflessione e rifrazione nel punto A.

b) Il raggio fuoriesce dal mezzo 2 ed entra in aria (n3 = 1) nel punto B. Calcolare angolo di riflessione e rifrazione.

o40'

11 qq

oo

n

n9.28)40sin(arcsin

2

12

q

o9.28'

22 qq

oo

n

n8.58)9.28sin(arcsin

3

23

q

Problema 33.5

In figura vediamo un prisma triangolare di vetro in aria; un raggio incidente perpendicolarmente ad una faccia è riflesso totalmente dalla superficie orizzontale vetro/aria; stimare l’indice di rifrazione n del prisma, sapendo che q1 = 45°.

Poiché per ipotesi q1 è maggiore del valore critico, deve essere (ponendo n2 = 1, n1 = n):

41.1707.0

11707.0sin 1 nnn q