Le improbabili avventure matematichedel signor De Dadis

Massimo Borelli, Sergio Invernizzi ∗

Dipartimento di Matematica e InformaticaDipartimento di Scienze della VitaUniversità degli Studi di Trieste

Via A. Valerio 12/1, 34127 Trieste, ItaliaE-mail: borelli@units.it

Novembre 2011

Sommario

In questo Quaderno Didattico viene presentata una serie di attività acarattere di laboratorio per introdurre alcune nozioni basilari di pro-babilità e statistica, adatte alle classi quarte e quinte della Scuola Pri-maria. Il laboratorio è improntato alla metodologia dell’apprenderedivertendosi e tre simpatici personaggi guidano i bambini alla scopertadi queste nozioni. L’analisi dei dati viene effettuata in classe dall’in-segnante mediante un foglio di calcolo. Simulazioni vengono inoltrecondotte con il pacchetto statistico open source R.

∗Ciclo di due incontri tenuti presso la classe Quinta del Collegio Dimesse di Trieste.

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Indice

1 Le improbabili avventure matematiche del signor De Dadis 31.1 Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Per l’insegnante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Materiali occorrenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Ambientazione 72.1 I personaggi protagonisti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Gli antenati della famiglia De Dadis . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Oggi, la famiglia de Dadis .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Cosa faremo? Cosa impareremo? . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Il lancio di un dado 93.1 L’avventura di Dado De Dadis . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 L’invidioso signor Sacchetti .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 La domandona finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Riassumiamo: 1 dado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Il lancio di due dadi 124.1 Dadina e Dado De Dadis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Riassumiamo: 2 dadi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 La domandona difficilona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Una domandina premio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.5 A che gioco giochiamo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 E se lanciassimo cinquanta dadi? 16

6 Ringraziamenti 16

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1 Le improbabili avventure matematiche del signorDe Dadis

uscirai all’aperto così come ti trovisenza nessun preavvisocome la faccia di un dadoche abbia una probabilità sola su seisu come seio come le altre cinquedi cui una la più oppostae quella più nascostaè quella che tiene i piedi in terrae sulla quale poggi.

(Dalle Prime Battute, L. Battisti, 1988)

1.1 Presentazione

Parlare di probabilità nelle scuole primarie (le elementari) è certo una sfida.Passare dai risultati certi e riconosciuti come tali delle operazioni aritmetiche,come ad esempio 4 + 3 = 7, a ragionamenti che coinvolgono affermazioni lacui verità (o falsità) non è certa, ma è solo ’misurata’ con un numero decimalefra 0 ed 1, non è certo un passo né piccolo né facile; non lo è per gli allievi enon lo è neppure per l’insegnante, che forse dovrà pure convincere il dirigentescolastico ed i genitori che pure questo è matematica.

Tuttavia se la scuola deve, come deve, diventare in primo luogo la scuoladel cittadino, questa sfida è da raccogliere. Il ragionamento probabilistico ostatistico farà infatti sempre più parte della vita e potrebbe anche giunge-re prima o dopo il momento di aver bisogno di interpretare correttamenteuna diagnosi medica espressa in termini probabilistici (come l’esito di unamammografia, di un test per la celiachia, o come nel bitest di valutazionedel rischio che un feto sia affetto dalle sindromi di Edwards o di Down). Visono innumerevoli contributi al problema della probabilità nella fascia d’età5-10 anni, sia di matematici esperti di didattica, che di psicologi.

Questa nota però ha una caratteristica piuttosto interessante e quasi uni-ca: l’utilizzo di un software (gratuito e open-source) come R per consentireall’insegnante sia ’di fare i conti’ che soprattutto di simulare al computer(e ne basta uno minimo) gli esperimenti ed i dati ’aleatori’ da presentare ediscutere in classe. La scelta di usare R (invece di ricorrere a software scrittiad hoc) è certo meditata e merita qualche commento. In primo luogo con Rsi ricorre ad un programma stabile, certificato, garantito nel tempo. Inoltreil suo utilizzo non deve spaventare l’insegnante, perché, come qui dianzi sispiega, questi viene condotto quasi ’per mano’ ad un semplice utilizzo deicomandi necessari (addirittura con un ’copia e incolla’) senza alcuna preoc-

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cupazione su come realmente si ottengano le simulazioni. La situazione è percerti versi la stessa di un vero lancio di due dadi: nessuno si preoccupa di do-ve i dadi siano stati acquistati, né di quanto siano costati, non ci si preoccupadi quale legno o resina sintetica siano fatti, di come funzioni la macchina cheli costruisce cubici, né della composizione chimica delle vernici che sono stateutilizzate per dipingere le facce e indicarne i valori. E né tantomeno ci si pre-occupa della legge di gravità di Newton, senza la quale i dadi fluttuerebberonell’aria come spesso vediamo accadere alle matite degli astronauti in orbi-ta. Personalmente da molti anni seguo il problema dell’insegnamento dellaprobabilità nel passaggio dalla scuola secondaria all’università e non possoche congratularmi con l’autore di questo interessante lavoro ad augurare aicolleghi ed alle colleghe delle scuola primaria buon lavoro.

Sergio InvernizziDipartimento di Scienze della Vita

Università di Trieste

1.2 Per l’insegnante

Io sono convinto che bambini con capacità di partenza uguali pos-sano raggiungere in matematica risultati eccellenti o pessimi a se-conda del loro amore o odio per la materia. La passione fecondail talento, e i genitori e gli insegnanti hanno una considerevoleresponsabilità nello sviluppo di un atteggiamento positivo o nega-tivo verso la matematica.(S. Dehaene, Collège de France)

I programmi della Scuola Elementare (D.P.R. 12 febbraio 1985, n.104)assegnano - tra gli obiettivi del terzo, quarto e quinto anno relativi alla pro-babilita, alla statistica ed all’informatica - una importanza educativa notevole(..) anche a concetti, principi e capacità connessi con la rappresentazionestatistica di fatti, fenomeni e processi e con l’elaborazione di giudizi e diprevisioni in condizioni di incertezza. L’introduzione dei primi elementi diprobabilità, che può trovare posto alla fine del corso elementare, ha lo scopodi preparare nel fanciullo un terreno intuitivo su cui si possa, in una fase suc-cessiva, fondare l’analisi razionale delle situazioni di incertezza. La classicadefinizione di probabilità - come rapporto fra il numero dei casi favorevolie il numero dei casi possibili in situazioni aleatorie simmetriche - non puòessere assunta come punto di partenza, ma è piuttosto il punto di arrivo diuna ben graduata attività. Nello sviluppo di questo itinerario può realizzar-si la costruzione e l’analisi di procedimenti e di algoritmi - numerici e nonnumerici - anche con l’uso iniziale, ma coerente e produttivo, di opportunistrumenti di calcolo e di elaborazione delle informazioni.

Le improbabili avventure matematiche del signor De Dadis sonouna proposta per una attività di laboratorio di matematica orientata in tal

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senso. Si tratta di un lavoro che abbiamo realizzato con una classe di studentifrequentanti la classe quinta, allo scopo di consolidare alcuni concetti basilaridi probabilità e statistica già in parte trattati dall’insegnante seguendo il librodi testo (ossia, ’con carta e matita’).

Il titolo che abbiamo scelto di dare a questa attività è volutamente scher-zoso: in questo laboratorio di matematica non c’è in effetti nulla di improba-bile. Si tratta solo di un gioco di parole che mette in luce il fatto che effettue-remo degli esperimenti in condizioni di incertezza; esperimenti cui verrannoin ausilio le tecnologie informatiche di base (il foglio elettronico) ed avanzate(il pacchetto statistico open source R) con la matematica dell’incertezza.

Cos’è il pacchetto statistico R? In questa attività di laboratorio la parte percosì dire ’innovativa’ è rappresentata dall’uso del pacchetto statistico open source R. Si tratta diun software dedicato all’analisi statistica dei dati che è disponibile sia per Windows che per glialtri comuni sistemi operativi e che ha assunto un’enorme popolarità nel mondo della ricerca enella comunità scientifica. Essendo R anche un linguaggio di programmazione con un’interfacciaa riga di comando, esso è adatto anche all’insegnamento scolastico - a livello di scuola superiore -delle nozioni base di programmazione (in luogo, ad esempio, dell’obsoleto Turbo Pascal).

Per un’introduzione adatta agli insegnanti al pacchetto R si possono utilizzare sia i videodisponibili in rete (in lingua inglese), oppure provare ad inserire direttamente alcuni comandicopiandoli ed incollandoli dai tutorial reperibili in rete.

Il sito web di appoggio per questa attività è reperibile per mezzo delmotore di ricerca Google, digitando la parola chiave massimo borellididattica ed, entrati nella pagina web, seguire il percorso scuola ele-mentare. Da lì sarà possibile scaricare copie ulteriori di questa guida perl’insegnante, nonché:

• la presentazione (’PowerPoint’) da usare in aula

• la scheda 1: il lancio di un dado

• il foglio elettronico per analizzare l’esito del primo esperimento

• la scheda 2: l’estrazione dei bicchieri colorati

• la scheda 3: il lancio di due dadi

• il foglio elettronico per analizzare l’esito del secondo esperimento

• i comandi di R per simulare il lancio di due dadi

• i comandi di R per simulare l’estrazione da un’urna equivalente al lanciodi due dadi

• i comandi di R per simulare il lancio di un dado a dodici facce

• i comandi di R per simulare il lancio di cinquanta dadi per mille lancie per un milione di lanci

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Non occorre sottolineare che questo Quaderno Didattico non è un’in-troduzione alla probabilità ed alla statistica nella scuola primaria; esistononumerosi testi ed articoli di letteratura in cui questi temi sono trattati inmaniera eccellente (e ad ogni livello scolastico). Le pagine che seguono sonodelle semplici note illustrative relative alla presentazione disponibile in rete:niente di più che un filo del discorso che guidi l’insegnante durante l’attivitàdi laboratorio.

Nelle pagine che seguono abbiamo adottato una convenzione tipografica:abbiamo evidenziato in grassetto i termini che a nostro avviso è opportunointrodurre ed utilizzare con gli allievi durante il laboratorio.

1.3 Materiali occorrenti

Per realizzare l’attività abbiamo utilizzato alcuni oggetti comuni:

• dadi da gioco

• un set di dadi per giochi di ruolo

• sei oggetti uguali di diversa colorazione (ad esempio, bicchieri di pla-stica variopinti)

• una palla giocattolo a sei spicchi colorati

• un cubo di Rubik

• alcune biglie da biliardo

Inoltre sulla cattedra avevamo disposto un computer gestito esclusiva-mente dall’insegnante e munito di videoproiettore, in cui erano già statiinstallati un foglio elettronico (per esempio, MS ExcelTM), il pacchetto R edi file elencati poc’anzi.

In questo Quaderno Didattico volutamente non abbiamo fornito una bi-bliografia, perché riteniamo che i docenti siano capaci di adattare questaattività a quanto riportato nei testi in adozione presso la loro scuola. Alsuo posto, abbiamo preferito indicare alcuni siti web dove il docente possatrovare approfondimenti e spiegazioni.

Possibili riferimenti per il docente:

http://www.ikea.com/it/it/catalog/products/10096907/

http://www.ikea.com/it/it/catalog/products/00159542/

http://it.wikipedia.org/wiki/Editor_di_testo

http://it.wikipedia.org/wiki/Foglio_elettronico

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Figura 1: I personaggi di questa attività di laboratorio.

http://it.wikipedia.org/wiki/R_(software)

http://www.r-project.org/index.html

http://www.youtube.com/watch?v=mL27TAJGlWc

http://www.dmi.units.it/∼borelli/comesipuofaRe/

2 Ambientazione

2.1 I personaggi protagonisti

L’attività si svolge narrando le vicende di alcuni personaggi di fantasia: ilsignor Dado De Dadis (esperimento: lancio di un dado), la moglie DadinaDe Dadis (esperimento: lancio di due dadi), la numerosa famiglia De Dadis(esperimento: lancio di cinquanta dadi) e l’invidioso signor Sacchetti, vicinodi casa della famiglia De Dadis: quest’ultimo vuole provare ad imitare intutto e per tutto le cose che la famiglia De Dadis realizza (esperimento:estrazione casuale di oggetti con reimbussolamento).

2.2 Gli antenati della famiglia De Dadis

Fantasticare sull’albero genealogico della famiglia De Dadis consente di trat-teggiare l’evoluzione del gioco ai dadi, richiamando alcune nozioni storichelegate alle popolazioni mesopotamiche ed al gioco reale di Ur; ad Achille edAiace che giocano con gli astragali; a Giulio Cesare che pronuncia la fraseAlea iacta est. La slide successiva è dedicata invece ai problemi posti nel1600 dal cavalier de Méré a Pascal e Fermat, che segnano l’inizio del calco-lo della probabilità (e in definitiva, anche della statistica) come disciplinamatematica a se stante.

Possibili riferimenti per il docente:

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http://en.wikipedia.org/wiki/Royal_Game_of_Ur

http://it.wikipedia.org/wiki/Exekias

http://la.wikipedia.org/wiki/Alea_iacta_est

http://en.wikipedia.org/wiki/Antoine_Gombaud

http://mathworld.wolfram.com/deMeresProblem.html

http://it.wikipedia.org/wiki/Storia_della_statistica

2.3 Oggi, la famiglia de Dadis ..

Che lavoro fa, oggi, il signor De Dadis? Questa domanda fornisce il pretestoper ribadire la rilevanza che la Statistica ha nella vita quotidiana dei cittadini(e degli studiosi). Il censimento che molte famiglie stanno affrontando a fineanno 2011, o la crisi finanziaria raffigurata dall’andamento altalenante (edaleatorio, nel senso di imprevedibile) degli indici di borsa, possono essereimmagini alla portata del vissuto degli allievi. Più sorprendente sarà perloro sapere che la biologia e la medicina, incontrandosi con il mondo dellaprobabilità, della statistica e dell’informatica, consentono oggi di studiare esperimentare per esempio nuove terapie a livello nanotecnologico.

2.4 Cosa faremo? Cosa impareremo?

Questa attività di laboratorio è un’occasione per richiamare alcuni vocabolipertinenti alla terminologia matematica; infatti, gli allievi eseguiranno degliesperimenti (il lancio di un dado ed il lancio di due dadi) e dovranno tenernota degli eventi che via via si manifesteranno, segnandoli su delle schedeche consegneremo loro. Con l’aiuto del foglio elettronico e del pacchettoR l’insegnante analizzerà le frequenze osservate degli eventi proponendodei grafici a barre1 e, dal confronto dei grafici, gli studenti coglieranno ladiversità tra la forma rettangolare del grafico relativo al lancio di un dado ela forma triangolare della distribuzione degli eventi relativa al lancio di duedadi. Durante l’attività ci sarà anche occasione per fare qualche operazioneche coinvolga la somma di frazioni, la rappresentazione percentuale di unnumero decimale e la divisione con quoziente decimale.

1E’ ben nota agli statistici la differenza che intercorre tra un grafico a barre ed unistogramma (che in molti casi si riduce ad essere un grafico a barre). Giova solo quiricordare che in molti fogli di calcolo vi è una confusione tra i due termini e che gli allievipotrebbero chiederne ragione!

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3 Il lancio di un dado

3.1 L’avventura di Dado De Dadis

Agli studenti viene ora consegnata ed illustrata la struttura della prima sche-da di lavoro. Nella prima fase, dedicata alla raccolta dei dati, gli allievi (riu-niti possibilmente in gruppi di lavoro di due o tre persone) lanceranno il dadoe terranno nota dell’evento occorso, segnando una crocetta nella casella cor-rispondente alla faccia del dado che è sortita. L’esperimento verrà ripetutopiù e più volte; come criterio di arresto dell’esperimento si conviene che ilgruppo si fermi non appena venga raggiunta la decima colonna (quella con losfondo grigio). In tal modo, l’insegnante ha la garanzia che ciascun gruppoavrà innanzi a sé una distribuzione aleatoria unimodale e non vi sarannopossibili ambiguità nella prosecuzione dell’attività.

Quando tutti i gruppi avranno concluso la prima fase si potrà passarealla seconda fase, dedicata al riassunto statistico dei dati. Con l’aiuto delleslide esemplificative l’insegnante guiderà gli allievi a compilare la tavola del-le frequenze osservate, nelle cui caselle gli allievi devono semplicementecontare e riportare il numero totale (cioè le frequenze assolute) dei singolieventi elementari.

Gli allievi ora devono determinare il valore degli indici di centralità:moda, mediana e il valore atteso, o media. Per trovare l’evento modale,gli allievi devono semplicemente individuare l’evento con la ’riga più lunga’(ossia la riga in cui ’è stata raggiunta la casella grigia’).

Per determinare l’evento mediano invece si può procedere in due modiequivalenti:

1. guardando la tabella della raccolta dei dati si contano quante crocettesono state segnate, ossia quanti lanci sono stati effettuati dal gruppo(per esempio, 44); si divide tale numero a metà (nell’esempio, 22) esi va ad individuare dove è posizionata, continuando nell’esempio, la22-esima crocetta, iniziando a contare naturalmente dall’evento 1;

2. guardando la tavola delle frequenze osservate, si vanno ad esaminare lefrequenze cumulate e si determina l’evento nel quale ricade la metàdel numero di lanci. Esemplificando, supponiamo che la distribuzionedelle frequenze assolute sia quella riportata nella Figura 2; le frequenzecumulate sono 8, 8 + 10 = 18, 18 + 7 = 25, 25 + 5 = 30, 30 + 8= 38, 38 + 6 = 44; la metà di 44 è 22; 22 è superiore a 8 e 18; ma èinferiore a 25 e perciò il 3 è l’evento mediano.

Con la funzione somma del foglio elettronico l’insegnante potrà con-trollare l’esattezza del computo del numero di lanci effettuati da ciascungruppo.

Lasciamo per il momento in sospeso il calcolo della media, per ragioniche appriranno chiare tra poco.

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Figura 2: Un esempio compilato di tavola delle frequenze osservate.

3.2 L’invidioso signor Sacchetti ..

Vogliamo mostrare agli allievi che, da un punto di vista probabilistico, illancio ripetuto di un dado a sei facce è un esperimento equivalente a quellodell’estrazione con reimbussolamento di sei palline numerate (o colorate di-versamente). A tale proposito possiamo far estrarre ad un gruppo di allievidegli oggetti (la nostra preferenza è andata verso dei bicchieri di plasticacolorata estratti da un sacco nero dell’immondizia), reimbussolando (ossiarimettendo dentro al sacchetto di volta in volta il bicchiere estratto) e farcompilare la tabella di raccolta dati e la tavola delle frequenze osservate del-la scheda2. Fatto ciò, possiamo porre le seguenti domande a carattere diverifica formativa:

Leggendo solamente le frequenze osservate, si riuscirebbe concertezza a distinguere il signor De Dadis dal signor Sacchetti?

Gli studenti, ragionando su questo quesito, possono cogliere il fatto chei due esperimenti hanno in comune un ’oggetto matematico’ (i.e. il concet-to di variabile aleatoria finita) che viene rappresentato dalla tavola del-le frequenze. Ulteriori domande possono venir poste ora agli allievi; adesempio:

Se ’riuniamo’ tutti i vostri esperimenti e facciamo un unico graficoa barre, c’è ancora tanta ’diversità’ tra le frequenze osservate inciascuno dei gruppi?

L’insegnante può mostrare che vi è parecchia eterogeneità tra le schederaccolta dati di ciascun gruppo di lavoro. Per fare ciò, è sufficiente mostrarealla classe un paio di schede di lavoro, ruotandole di 90 gradi, in mododa ’trasformarle’ in una rappresentazione grafica simile ad un diagramma abarre.

Tuttavia, utilizzando il foglio di calcolo analisischeda1, inserendo idati nella prima cartella e realizzando un istogramma, gli allievi osserverannoimmediatamente che la variabilità dei risultati è più contenuta.

L’insegnante, se vorrà, potrà ora anche far notare agli allievi il fattoche l’evento modale sia molto più ’variabile’ (nel senso di una maggioreeterogeneità, di una maggiore dispersione) dell’evento mediano, che invece siattesta ’quasi sempre’ sui valori di 3 o 4.

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Figura 3: Schermata esemplificativa del foglio di calcolo analisischeda1 con laprima cartella compilata.

Inoltre, copiando i dati ed incollandoli nella cartella seguente, denominatatutte_le_scuole, il grafico_totale si autoaggiornerà e l’insegnanteavrà modo di far cogliere il fatto che ormai le barre hanno pressoché la stessaaltezza. Gli allievi quindi saranno in grado di capire in modo autonomo cheil rettangolo è la risposta alla successiva domanda:

Il diagramma a barre di tutti gli esperimenti di tutte le scuole cisuggerisce una figura geometrica: quale?

3.3 La domandona finale

L’insegnante ora potrà mostrare la quarta cartella del foglio analisische-da1, denominata frequenze_relative, nella quale è riportato il calcoloappunto di quest’ultime. Il docente stimolerà l’osservazione degli allievi,chiedendo di notare la sostanziale uguaglianza delle frequenze e successiva-mente mostrerà alla classe questa slide, chiedendo di trarre in modo au-tonomo le conclusioni di questa prima scheda; e cioè, che effettuando ungran numero di prove ripetute, come ipotizzato dall’approccio frequentistaalla teoria della probabilità, le frequenze osservate convergono alle frequen-ze teoriche che si possono dedurre con semplici considerazioni di simmetriasull’esaedro. Questa può essere anche un’ottima occasione per consolidareil nesso tra la divisione, le frazioni e la rappresentazione percentuale di unnumero decimale.

Con le frequenze teoriche ora possiamo completare la prima scheda dilaboratorio calcolando la media (da noi intesa in questa attività come valo-re atteso della variabile aleatoria ’lancio di un dado’ e non come indice dicentralità del singolo esperimento effettuato da ciascun gruppo di allievi).

Possibili riferimenti per il docente:

http://it.wikipedia.org/wiki/Probabilità

http://it.wikipedia.org/wiki/Valore_atteso

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3.4 Riassumiamo: 1 dado

A conclusione di questa prima attività di laboratorio, è opportuno riassume-re i punti salienti che gli allievi dovranno aver acquisito. Nell’esperimentolancio di un dado gli eventi elementari sono sei, ciascuno con probabi-lità uguale ad 1/6. Calcolando il valore decimale di questa frazione, ossiacalcolando il quoziente del dividendo 1 e del divisore 6, si ottiene un nu-mero approssimativamente uguale a 0,17; lo stesso numero si otterrebbe sesi considerassero i successi ottenuti in un gran numero di prove ripetutedivisi per il numero totale delle prove effettuate. Questo numero decimalesi può rappresentare anche nella forma percentuale, 17%. Infine, se si rap-presentano le probabilità con un istogramma, le barre ci ricordano la figurageometrica del rettangolo.

4 Il lancio di due dadi

4.1 Dadina e Dado De Dadis

Soffermandosi scherzosamente sul reciproco e profondo affetto che vive trai coniugi De Dadis e che li rende indistinguibili l’uno dall’altro, possiamoora consegnare una coppia di dadi ad ogni gruppo di allievi ed iniziare acompilare la scheda 3 relativa alla somma dei punti ottenuti nel lancio didue dadi. Alla classe verrà richiesto di individuare in maniera autonomaquali siano gli eventi elementari da riportare nella scheda (il docente avràcura di controllare che tutti indichino come eventi possibili i numeri da 2 a12, essendo l’1 un evento impossibile nel lancio contemporaneo di due da-di). Giunti alla fase del riassunto dei dati, sarà interessante far notare agliallievi che mentre nel lancio di un dado l’evento modale era stato caratteriz-zato da notevole variabilità, in questo nuovo esperimento la moda è per lopiù concentrata attorno al numero sette. Chiediamo anche di determinarela mediana e lasciamo in sospeso come in precedenza avvenuto la media.Raccogliamo i dati nel foglio di calcolo analisischeda3 e li illustriamo conun istogramma. Per meglio mettere in evidenza la diversa distribuzione diprobabilità dei due esperimenti sin qui condotti, possiamo copiare le istru-zioni contenute nella pagina web denominata il lancio di Dadina e Dado DeDadis ed incollarle nella finestra del pacchetto R. Come output si otterrà undiagramma simile alla Figura 4.

Potremo spiegare brevemente agli allievi la sintassi dei comandi: do-po aver definito la costante quantilanci uguale a un milione, simuleremoil lancio del DadoDeDadis e del DadinaDeDadis per un milione di volte esommeremo i loro valori nella variabile duedadi, chiedendo infine con il co-mando hist di visualizzare la situazione finale con un istogramma di colorearancione.

Possibili riferimenti per il docente:

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Histogram of risultato

risultato

Fre

quen

cy

2 4 6 8 10 12

010

0000

Figura 4: Istogramma relativo alla somma dei punti totalizzati lanciando due dadia sei facce. Simulazione ottenuta con il comando sample di R.

http://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_pseudo-casuali

4.2 Riassumiamo: 2 dadi

Come abbiamo fatto in precedenza, vogliamo porre l’attenzione sui concettisalienti emersi durante questa attività: nell’esperimento lancio di due dadigli eventi elementari sono undici, ma in questo caso le probabilità deglieventi elementari non sono tutte uguali tra loro; in termini più precisi, ladistribuzione delle probabilità non è uniforme. Il sette è l’evento più proba-bile, il due ed il dodici sono gli eventi meno probabili e la simmetria dellebarre dell’istogramma delle frequenze ci richiama la figura geometrica deltriangolo isoscele. Volutamente non diciamo agli allievi quale sia il valore ditali probabilità (ma il signor Sacchetti è in agguato ..)

4.3 La domandona difficilona

Per invitare gli allievi a ragionare ed esplicitare quanto valgano esattamentele probabilità degli eventi nel lancio di due dadi, si può scherzare chiedendoloro come l’invidioso signor Sacchetti possa fare per ’copiare’ Dadina e Dadode Dadis. In altri termini, se il signor Sacchetti avesse a disposizione nu-merosi oggetti diversamente colorati (per esempio, molte biglie da biliardonumerate, oppure molte palline della tombola), quante palline contrassegnatecon il 2, quante con il 3 e via via sino al 12, egli dovrebbe mettere nel sac-

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chetto? Il suggerimento può essere l’immagine che Lucio Lombardo Radice eLina Mancini Proia utilizzarono nella copertina dei loro testi di trent’anni fa,intitolati Il metodo matematico. Seguendo i dadi con un cammino simile aquello dalla funzione coppia di Cantor e riflettendo anche sulla simmetria deltriangolo esibito nell’istogramma delle frequenze, gli allievi potranno giun-gere alla risposta esatta. Sarà questa anche l’occasione per ’far scoprire’ agliallievi che conoscano l’elevamento a potenza, che:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 62

Sarà questa anche un’occasione per procedere per analogia, chiedendoquanti eventi elementari si debbano considerare se si lanciassero tre dadi,quattro dadi e così via ( 63, 64, ..).

Per fissare ulteriormente le idee, la pagina web denominata l’invidiososignor Sacchetti riporta il codice per raffrontare l’istogramma del lancio didue dadi con l’estrazione da un sacchetto con 36 palline.

Possibili riferimenti per il docente:

http://www.bergogliolibri.it/book/Lombardo_Radice_Lucio/METODO_MATEMATICO_Corso_matematica_scuole_SM1307-IT.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_pairing_function

4.4 Una domandina premio

Al posto di giocare con due dadi a sei facce, è la stessa cosagiocare con un dado a dodici facce?

La risposta negativa è dovuta innanzitutto al fatto che in un dado a do-dici facce gli eventi elementari sono dodici, mentre nel lancio di due dadi siha a che fare solamente con undici eventi elementari. Ma a questo problemapossiamo facilmente ovviare: è sufficiente prendere il dado a dodici facce econ un pennarello, o con il correttore bianco, trasformare la ’I’ dell’evento ’u-no’ in una R, attribuendo a questo evento il significato di ’ritenta’, ’rilanciareil dado’.

Ma, nonostante questa modifica, possiamo facilmente convincere gli al-lievi della profonda diversità che caratterizza i due esperimenti, eseguendouna simulazione con R: nella pagina web denominata il lancio di un dadoad undici facce sono riportati i comandi per confrontare visivamente le duedistribuzioni di frequenza e convincersi immediatamente che giocare con undado a dodici (anzi, undici, a dire il vero, stante la nostra modifica) facce’assomiglia di più’ al gioco con un dado a sei facce che non a quello con duedadi.

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Histogram of duedadi

duedadi

Fre

quen

cy

2 4 6 8 12

010

0000

Histogram of dodicifacce

dodicifacceF

requ

ency

2 4 6 8 12

040

000

Figura 5: Istogrammi relativi alla somma dei punti totalizzati lanciando due dadia sei facce e lanciando un dado a dodici facce. Simulazione ottenuta con il comandosample di R.

4.5 A che gioco giochiamo?

Se un amico vi invitasse a giocare a dadi, quale di questi tre giochiche abbiamo visto scegliereste e su quale evento vi converrebbegiocare?

Non è superfluo ricordare qui che le ’Indicazioni didattiche’ del D.P.R.12 febbraio 1985, n. 104 affermano che Quanto alle prime nozioni di pro-babilità (..) si può raggiungere molto bene questo scopo mediante il gioco:molti giochi hanno carattere aleatorio o ricorrono alla sorte per l’assegnazio-ne di particolari ruoli. L’abilità del giocatore consiste nel saper scegliere, frale varie mosse possibili, quella che offre maggiore probabilità di vittoria; sitratta dunque, in primo luogo di condurre l’alunno a compiere confronti diprobabilità.

Gli allievi giunti a questo punto opereranno molto facilmente il confrontotra i tre giochi e senza esitazione risponderanno che conviene giocare sul ’7’.

Il docente peraltro potrebbe cogliere questa occasione per aprire unadiscussione inerente ai rischi connessi al gioco d’azzardo ed alla diffusionedel gioco delle ’slot machines’ tra i minori in Italia.

Possibili riferimenti per il docente:

http://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_d’azzardo

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http://www.camera.it/417?idSeduta=356&resoconto=btind&param=

http://consumatori.myblog.it/archive/2010/05/10/in-italia-aumenta-il-gioco-d-azzardo-tra-i-minorenni.html

5 E se lanciassimo cinquanta dadi?

Gli allievi si mettono a ridere quando scoprono che la numerosa famigliaDe Dadis è composta dalla mamma, dal papà e da altri quarantotto vivacibambini e che dunque ora stiamo per chiedere ’ai più bravi della classe’ dilanciare 50 dadi per mille volte e fare a mente la somma .. Per rendere piùveridica la narrazione abbiamo estratto dalla borsa un vero set di 50 dadi dagioco!

In realtà, il terzo esperimento lo effettuiamo solamente con una simula-zione; in questi frangenti R si rivela un software particolarmente adatto eveloce nel gestire mille, centomila e persino un milione di lanci di 50 dadi.

Agli allievi si può chiedere ora di provare ad immaginare di che ’formageometrica’ sarà l’istogramma risultante. Di solito, nessun allievo si immagi-na che da un rettangolo e da un triangolo isoscele si possa passare alla figurache un tempo era illustrata sulla banconota di dieci Marchi tedeschi accantoal ritratto di Carl Friedrich Gauß: la famosa ’curva a campana’.

Non appare opportuno soffermarsi più approfonditamente sulle peculia-rità di questo ’ingrediente essenziale’ della statistica. Sarà sufficiente darealcuni esempi tratti dalla realtà, come per esempio l’istogramma della staturadi 65 studenti universitari:

www <- "http://www.dmi.units.it/~borelli/dataset/studentiannoscorso.txt"dataset <- read.table( www , header = TRUE )attach(dataset)hist(statura)detach(dataset)

oppure si potrà ricordare che un andamento simile è evidenziato dalla di-stribuzione del peso dei neonati oppure, per citare un esempio più raffinato,dalla pressione intraoculare.

Possibili riferimenti per il docente:

http://it.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

6 Ringraziamenti

Un ringraziamento speciale va a Meri Zanolla, per avere curato e realizzatola grafica dei personaggioni simpaticoni di questa attività.

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