Le Funzioni

Funzioni reali di

una variabile

reale

Classificazione di una funzione

Rappresentazione di una funzione

Proprietà specifiche di

alcune funzioni

Grafici notevoli di funzioni elementari

Trasformazioni elementari di

funzioni

IniettivaSuriettivabiiettiva

TabulareAnalitica……

PariDispariperiodica

TraslazioniContrazioni RotazioniSimmetrie…….

Classificazione delle

funzioni analitiche

algebriche

trascendenti

Razionali Irrazionali Intere fratte

logaritmicheesponenzialigoniometriche……

LE FUNZIONILE FUNZIONI LA FUNZIONE LA FUNZIONE ESPONENZIALEESPONENZIALE

EE LOGARITMICALOGARITMICA

STUDIOSTUDIO

DEL GRAFICODEL GRAFICO

DI UNADI UNA

FUNZIONEFUNZIONE

ESCIESCI

La Funzione

Esponenziale E

Logaritmica

Prerequisiti

• Numeri reali• Concetto di funzione• Grafici di funzioni• Concetti e proprietà fondamentali

delle potenze ad esponente reale

Obiettivi

Saper tracciare il grafico di una funzione esponenziale del tipo y=a f(x) e dedurre le relative proprietà esponendo le opportune considerazioni sulla base a

Saper definire la funzione logaritmica e giustificare le relative proprietà

Saper tracciare il grafico di una funzione logaritmica e dedurre le opportune considerazioni al variare di a

Applicazioni

Saper risolvere equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche per via algebrica e per via grafica, anche con l’uso di trasformazioni geometriche

LA FUNZIONE

ESPONENZIALEDato un numero reale positivo a per qualunque valore di x è definita la

funzione f:x a x

Tale funzione è detta funzione esponenziale di base a Il suo dominio è l’insieme R dei numeri reali Il suo codominio è l’insieme R+ La sua equazione è : y = a x

PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE

Distinguiamo due casi: a>1 opp. 0<a<1Per es. supponiamo che sia a=2

f:x 2x

-2 -1 0 1 2

x y

-2-1012

¼½124

Deduzioni• possiamo assegnare qualsiasi valore ad x

ottenendo un valore reale di y D=R• la potenza cresce al crescere dell’esponente:

x1 > x2 2x1 > 2x2 funzione crescente• I valori di y sono tutti positivi C=R+

• I valori di y per x > 0 tendono a diventare grandi quanto si vuole, per x < 0 si avvicinano asintoticamente all’asse x a mano a mano che ci si allontana dall’origine

lim 2x = 0 lim 2x =

x - x +

0<a<1

per es. a = ½ si ha f: x (1/2)x

- 2 -1 0 1 2

x y-2-1012

421½¼

Deduzioni• possiamo assegnare qualsiasi valore ad x

ottenendo un valore reale di y D=R• la potenza decresce al crescere dell’esponente:

x1 > x2 (1/2)x1 < (1/2)x2

funzione decrescente• I valori di y sono tutti positivi C=R+

• I valori di y per x > 0 decrescono indefinitamente , per

x < 0 tendono a diventare grandi quanto si vuole

lim (1/2)x = 0 lim (1/2)x = x + x -

Generalizzazione• funzione esponenziale y = a x con a > 1

dominio D= R codominio C=R+

la funzione è crescente lim ax = 0 lim ax = +

x - x + y

1

0 x

• funzione esponenziale y = a x con 0 <a <1

dominio D= R codominio C=R+

la funzione è decrescente lim ax = 0 lim ax = +

x + x - y

1

0 x

Osservazione 1

Osservando i due grafici si può notare che ciascuna curva curva è la simmetrica dell’altra rispetto all’asse y, cioè è ottenuta tramite la

trasformazione:x -x y y

che rappresenta la simmetria rispetto all’asse y

Definizione di

Logaritmo

Dati due numeri positivi a e b, con a1si chiama logaritmo in base a del numero b l’esponente a cui si deve elevare la base per ottenere il numero b x=logab ax=bCiò equivale a dire che l’equazione ax=bammette una ed una sola soluzione.Tale soluzione si chiama logaritmo di b in base a.

La Funzione Logaritmica

Sia x un numero positivo qualunque e a 1 esiste il logaritmo di x rispetto alla base a

e ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di log a x , quindi:

y = log a x con a > 0 e a 1

si chiama funzione logaritmica di base a

PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE

Logaritmica

Distinguiamo due casi: a>1 opp. 0<a<1 Per es. supponiamo che sia a=2 y = log 2 x 2

1

0 1

-1

-2

x y

¼½124

-2-1012

Deduzioni• Possiamo assegnare alla variabile x solo valori positivi

D=R+

• Il valore del logaritmo cresce al crescere dell’argomento x : x 1 > x2 log2 x1 > log2 x2

funzione crescente• y può assumere qualsiasi valore reale C=R• I valori di y per x > 1 tendono a diventare grandi quanto

si vuole, mentre per valori di x <1 i valori di y risultano negativi e la curva si accosta asintoticamente all’asse y quando x tende a 0

lim log2x = - lim log2x =+

x 0+ x +

0<a<1

per es. a = ½ si ha y = log1/2x 2

1

0 1

-1

-2

x y

¼½124

210-1-2

Deduzioni• Possiamo assegnare alla variabile x solo valori positivi

D=R+• il valore del logaritmo decresce al crescere

dell’argomento: x1 > x2 log1/2 x1 < log1/2 x2

funzione decrescente• y può assumere qualsiasi valore reale C=R• I valori di y per x > 1 decrescono indefinitamente,

mentre per valori di x <1 i valori di y risultano positivi e la curva si accosta asintoticamente all’asse y quando x tende a 0

lim log1/2x = - lim log1/2x = +

x + x 0+

Generalizzazione• funzione logaritmica y = log a x con a > 1 dominio D= R+

codominio C=R la funzione è crescente lim log a x = - lim log a x = +

x 0 x + y

0 1 x

• funzione logaritmica y = log a x con 0 <a<1dominio D= R+

codominio C=R la funzione è decrescente lim log a x= + lim log a x =-

x 0 x + y

0 1

x

Le funzioni

Prerequisiti Teoria degli insiemi

Relazioni

Insiemi numerici N, Z, Q, R

Rappresentazioni grafiche nel piano cartesiano

Obiettivi• Definire la funzione.• Conoscere le rappresentazioni di una

funzione.• Classificare le funzioni.

Contenuti Definizione di funzione. Rappresentazione di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa. Funzione matematica.

Definizione Dati due insiemi A e B non vuoti e non

necessariamente distinti, si definisce funzione qualsiasi relazione di A in B che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno ed uno solo elemento di B.

f : A B

x y (x, y) f

Dominio, codominio e immagine

Dominio: insieme A

Codominio: insieme B

Immagine: insieme formato dagli elementi di B che sono i corrispondenti di elementi di A

LA RELAZIONE NON È UNA FUNZIONE….

quando ci sono elementi A a cui non corrispondono elementi di B

oppurequando ci sono elementi A a cui corrispondono più di un elemento di B

Rappresentazione grafica

di una funzione

DeduzionePoichè la funzione è una relazione;

la relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano

si deduce che: la funzione si rappresenta come i prodotti

cartesiani.

….. Rappresentazione tabulare (o per

elencazione)Rappresentazione sagittale (o diagramma

a frecce)Rappresentazione mediante diagramma

cartesiano

La classificazione

delle funzioni

Funzioni iniettiveUna funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti fa corrispondere immagini diverse.

f : A B f (x1) f(x2)

x1 x2

Come riconoscerele funzioni iniettive dal grafico:

Ogni elemento del codominio è al più immagine di un elemento di A.

•

•

•

• •

•

• •

Ad ogni elemento del codominio arriva al massimo una freccia

AB

Grafico di funzioni iniettive

Funzioni suriettive Una funzione f : A B si dice suriettiva

quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A

f : A f : A B B y y B B x x A A è suriettiva (x, y) è suriettiva (x, y) f f

•

•

• •

•

•

•

Ad ogni elemento del codominio arriva almeno una freccia

AB

Grafico di funzioni suriettive

Funzioni biiettive Si dice biiettiva una funzione f: A B che è sia iniettiva che suriettiva.

f : A B x1 x2 f (x1) f(x2) È biiettiva yB xA (x, y) f

•

•

•

•

•

•

Da ogni elemento di A parte una freccia

In ogni elemento di B arriva una freccia

Grafico di funzioni biiettive

A

B

Perché sono importanti le

funzioni

biiettive?

Perché sono invertibili

Funzione inversaData una funzione iniettiva f: AB si dice

funzione inversa la funzione f-1: B A tale che

se f(x) = y allora f -1(y) = x e viseversa se f -1(y) = x allora f(x) = y

La funzione matematica

… è una funzione f : A B in cui

A e B sono insiemi numerici

esiste una formula generale, del tipo y = f(x), che permette di calcolare l’immagine di ogni elemento del dominio

LE FUNZIONILE FUNZIONISTUDIO DEL GRAFICO

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Lo studio di una funzione è un procedimento che coinvolge concetti elevati, conoscenze fortemente correlate. Non si tratta di imparare un meccanismo, ma di seguire una procedura di estrema razionalità, che consiste nel migliorare progressivamente le informazioni, finché abbiamo acquisito tutto quello che occorre per dominarne il comportamento e tracciarne il grafico. Per risolvere tale problema è molto importante avere un continuo controllo sulle informazioni che man mano si acquisiscono.

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Nello studio di una funzione y = f(x) conviene procedere secondo il

seguente schema:

determinare l’insieme di esistenza della funzione. Esempi

calcolare le coordinate degli eventuali punti d’intersezione con gli assi cartesiani. Esempio

scrivere l’equazione degli eventuali asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Esempio

Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e di flesso. Esempio

Tracciare l’andamento del grafico della funzione. Esempio


Una funzione razionale intera è definita per qualsiasi valore della x.

Esempio. La funzione:

è definita per qualsiasi valore attribuito all’incognita. Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano.xxy 33

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Una funzione razionale fratta non è definita per i valori della x che annullano il denominatore.



112

xxy

è definita per tutti i valori della x diversi da 1. Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano escluso x=1.

xxy 22

022 xx 02 xx 20 xx

Una funzione irrazionale quadratica è definita per i valori della x che rendono il radicando non negativo.


è definita per valori della x esterni all’intervallo (0;2) e pertanto non ci sarà grafico in tale intervallo. Infatti


L’’insieme di definizione di una funzione trascendente va stabilito caso per caso.


xy log è definita per i valori positivi della x e quindi il suo grafico si troverà nel primo e quarto quadrante


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Per trovare le coordinate dei punti d’intersezione con gli assi cartesiani di una funzione occorre porre y = 0 (punti d’intersezione con l’asse x) e quindi x = 0 (punti d’intersezione con l’asse y). Per esempio, data la funzione:

11

2

2

xxy

ponendo y = 0 nell’equazione si ottiene x2-1 = 0 e quindi x = ± 1. Pertanto il grafico passa per A(-1; 0) e B(1;0). Ponendo invece x = 0 si ottiene y = -1 e quindi il grafico passa per C(0; -1)

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Per trovare l’eventuale asintoto orizzontale di una funzione bisogna calcolare il limite per x che tende ad infinito della funzione. Se tale limite vale il numero finito k l’asintoto orizzontale sarà y = k. Nel caso in cui tale limite risulta infinito, non esiste asintoto orizzontale e le funzione diverge. Per esempio non ammette asintoto orizzontale la seguente funzione perché il limite suddetto è infinito.

1

2

xxy


Per trovare gli eventuali asintoti verticali bisogna calcolare il limite per x che tende ad ognuno di quei valori (supponiamo che sia h) per i quali la funzione non è definita. Se tale limite risulta infinito, la retta x = h è un asintoto verticale. Nell’esempio precedente la funzione ammette la retta x = 1 come asintoto verticale essendo il limite di tale funzione infinito.

Per trovare gli eventuali asintoti obliqui del tipo y = mx + q bisogna calcolare il limite per x che tende ad infinito di f(x)/x (tale numero nel caso in cui risulta finito rappresenta m) e il limite per x che tende ad infinito di f(x) – mx (tale numero nel caso in cui risulta finito rappresenta q). Nel nostro caso la funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = x – 1. Infatti i suddetti limiti risultano m = 1 e q = -1.

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Per calcolare i punti di massimo e minimo relativo di una funzione bisogna studiare il segno della derivata prima, ricordandosi che quando essa risulta positiva (negativa) la funzione è crescente (decrescente).

Per calcolare i punti di flesso bisogna studiare il segno della derivata seconda, ricordandosi che quando essa risulta positiva (negativa) la funzione è concava (convessa).

N.B. Per brevità non ci occupiamo delle funzioni non derivabili.

Data la funzione:

xxy 33 calcoliamo la derivata prima:

33 2 xy e ne studiamo il segno:

1101033 22 xxxxX = -1

X = +1

pertanto per x = -1 c’è un punto di massimo relativo e per x = 1 un punto di minimo relativo


F(x)


Di conseguenza y(-1) = 2 e y(1) = -2. Quindi la funzione ha un massimo relativo nel punto A(-1;-2) e un minimo relativo nel punto B(1;-2).

Calcoliamo quindi la derivata seconda della funzione e ne studiamo il segno:

006 xxyPertanto la funzione è concava per x>0 e convessa per x<0. Di conseguenza y(0) = 0 e quindi la funzione ha un flesso nel punto C(0;0), cioè nell’origine

Il grafico evidenzia i punti di massimo e minimo relativo e il punto di flesso.

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Come esempio finale trattiamo lo studio completo di una funzione algebrica razionale fratta. Sia data la funzione:

2

3

1xxy

1. La funzione è definita per x ≠ 1

2. Se x = 0 allora y = 0 e viceversa. Quindi l’unico punto d’intersezione della funzione con gli assi cartesiani è l’origine O(0;0).

3. La funzione non ha asintoti orizzontali perché il limite per x che tende ad infinito è infinito.

La funzione ammette come asintoto verticale la retta di equazione x = 1 perché il limite per x che tende ad 1 della funzione è più infinito sia da destra che da sinistra.

La funzione ammette come asintoto obliquo la retta di equazione y = x + 2 perché il limite per x che tende ad infinito di f(x)/x è 1 e il limite per x che tende ad infinito di f(x) – mx è 2.


4. Studiamo il segno della derivata prima, che può essere calcolata con facili passaggi algebrici:

31000)1(

)3(3

2

xxxxxxy

Pertanto (sempre attraverso facili passaggi algebrici), la curva presenta un flesso nell’origine e un minimo nel punto (3;27/4).

La derivata seconda:

416

xxy

Non annullandosi al di fuori dell’origine, ci indica che la funzione non presenta altri flessi

IL grafico della funzione è rappresentato nella successiva diapositiva.

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ANNO 2002

COMPONENTI DEL PROGETTO:

Prof.ssa Anna Maria Luppino

Prof.ssa Rosella Macchioni

Prof. Nino Manerchia

Prof.ssa Antonella Paolillo

Le Funzioni

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