Le coordiuate intr inseche e l ' in tegraz ione delle equazioni della meccanica dei continui.

FRANCA GRAIF~ (Milano) (*)

Santo. . Dopo aver" definito le coordinate i~trinseche in u n a generica varietdb ~' ieman~iana viene costruita u n a va~iazione del tensore fe~damentale che tascia invar ia fe le coordi~ate stesse. Vie~e qui~*di dimostrato che la co~oscenza di questu defvr~uazivne rende l)ossibile la costruzione di un tensore dol~pio simmetrico avof fe data divergenza : cicd f~'nisce un integrale part icolare delle equazieni delia s tat ica dei conti~nti com~nque curvi a due e tre dimensioni, in ~rese~za di forze di campo.

Viene inollre mostrato the tale i~tegrale loa~ticolare serve per costrui~'e t 'inleg~aIe generale delle equazicni stesse, e delle analvgI~e in asse~za di fvrze di campo. S i pub ottenere cos~ anche l'integ~'ale genes'ale deIle eqv, az ioni della d ivamiea dei cent i~ui negli spazi- lempo della Re la t iv i t4 genes'ale.

Introduzione.

Le equazioni indefini te:

(a) qJ~ = F~

{b) p~]~ - - 0

sane fondamental i nella meccanica dei continui. Esse sane infatt i le condizioni di equilibria di un continua, comunque curve, a due e tre dimensioni in assenza si sollecitazione attiva esterna (b), o soggetto ad nna forza di campo F (a): P~k e q~k sane i corrispondenti tensori degli sforzi. Nel]o spazio-tempo rappresentato da un 'oppor tuna varieth r iemanniana a quattro dimensioni, le (b) sono le equazieni di mote di un continue: P~k ne 6 il tensore energetico ehe compendia la distribuzione di mater ia ed energia.

I1 problema della taro integrazione b s tret tamente legato alle condizioni di compatibilit/~ delle:

(c) v~k -" s~/k Jr s~/~

helle quali il vettore spostamento s sia considerate incognito.

(*) Entraia in Redazione il 19 aprile 1971.

Annali di Matematiea a

66 ]TRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e l'integrazione, ecc.

Date il carat tere tensoriale delle tre equazioni {a), (b), (c), non esiste differenza formale tra il case degli spazi a curva tura nuIla o costante e quello delle variet~ comunque curve.

Pe r varieth a curvatura nnlla o costante, ]a soluzione delle (b) e le con- dizioni di compatibil i th delle (c) sono note da tempo: esse sono il frutto di molti lavori, tra i quali, fondameutali , quelli di AIRY, S~.V~A~T, M~XW~LL, ~:[ORERA~ BELTRAMI, ~INZI.

Per varieth a due dimensioni comunque curve, Fi~zi aveva gi~t date le eondizioni di eompatibiliti~ delle {c); io he poi r ipreso il problema completandolo ed indieando il metodo per risolverlo nel case di varieti~ a tre e quat t ro dimensioni.

He anche gik trat tato il problema del l 'equi l ibr io , in assenza di sollecita- zione attiva esterna, affrontando singolarmente i vari cast : di superfici curve, di varieth a t r e e quattro dimensioni.

Qui r iprendo s is temat icamente la quest ione per esporre un metodo~generale di trat tare i problemi dell 'equilibrio (anche in presenza di forze di campo) e della congruenza in varieti~ generati r i emanniane ; metro in evidenza un pro- fondo divario di comportalnento tra le varieth a curva tura nulla o costante e varietfi, comunque curve ; per queste ultimo, ad esempio, la r icerca delle condizioni di compatibil i th delle {c} deve essere preceduta dalla r icerea dello eventuale vettore spostamento s, the, se esiste, ~ un ico ; mentre la soluzione detle (b) deve essere preceduta, implici tamente o esplicit~mente, dalla r icerca di un integrale part icolare delle (a}.

Questo divario di comportamenlo ~ dovuto essenzialmente al fatto che le varieth r iemanniane generiche non ammettono spestamenti rigidi in si~: quindi sempre possibile scegliere, come coordinate, degli invarianti intrinseei costruit i con il tensore di curvatura, cio~ con il tensore fondamentale e con le sue derivate ordinarie. In tall sistemi di coordinate {" in t r inseche ' ) , le componenti covarianti e controvarianti di vettori e tensori r isultano degli invarianti , e come tall possono essere trat tate e derivate.

l~e segue che solo in un primo tempo le curvature di una varieth ap- paiono responsabil i di difficotth e complicazieni: in realth, se adopera~e in mode opportune, esse facili tano la soluzione dei problemi considerat i e n e rendono semp]iei, almeno concet tualmente, le soluzioni.

In questa esposizione, faccio use sistematico dei r iferimenti intr inseci: dope aver costruito una deformazione ~2 ~k del tensore fondamentale che induce variazioni nulle agli invarianti scelti come coordinate intrinseche, osservo che il sue annul lars i di~ le condizioni necessarie e sufficienti di congruenza.

In virtfl delle proprietk di 12 ~k, dimostro che si pub sempre costruire, mediante le componenti " i n t r i n s e c h e " delia forza di campo F, un tensore doppio simmctrico soddisfacente le (a): questo integrale part icolare serve pot sia per costruire l ' in tegra le generale delle (s) che delle (b).

FRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e lTntegrazione, ecc. 67

L ' impos taz ione e formulazione di questi problemi non dipendono dal namero di dimon.~ioni della varieth: ne dipoad~ao inveee la soluzione con i relativi casi part icolari .

Cosi, dopo aver esposto, senza speeificare il numero delle dimensioni, il metodo generale, tratto separatamente il problema del l ' equi l ibr io per ua con. tinuo a due e tre dimensioai e quello della dinamica di un continuo nello spazio- tempo.

5[a il metodo ~ valido per un namero di dimensioni qualsiasi ; 6 valido aache pet, variet~ motriehe nelie quail sia def ia i ta una derivazione tensoriale: esso pab quindi essere usato sia negli Universi a c laque dimensioni introdott i da K ~ v z x e K~Ers per le teorie relativistiche della gravitazione e de l l ' e le t - t romagaetismo, sia per gli spazi- tempo della teoria unitaria di Er~svEr~.

1 . - Yarietk r iemauniane r i fe r i t e agli stessi paramet r i .

Ai fini di stabilire o di r isolvere le equazioni di una teoria fisica the si intenda definita in una varieth r iemanniana V~ con n - - 1, 2, 3, 4, r isultano di fondamentate importanza le operazioni the comportano variazioni al tensore fondamentale delia V, stessa, fatte a pariti~ di parametri . Preeisamente , indi- cata con:

(1~ ds 2 - -g~kdx~dx ~ i, k : 1 ... n

la metrica della V. in un generico sistema di coordinate, si consideri una variazioae 8g~k del tensore fondamentale, rappresenta ta dal tensore ~k doppio, simmetrico, infinitesimo e, per ora, arbitrario. Mediante la:

(1') ds'2 - - . (g~ - ' [ - ~)dw~dx k

questa definiri~ una V~' inf ini tamente prossima alla V. data.; at traverso le (1) e (1't, le due varieti~ sono riferi te agli stessi parametri , non, in generale, alle stesse coordinate: in altre parole, la variazione ~k non solo determina la va- rieth, deformata IN ma stabilisce una corrispondenza puntuale tra le due va- riet~ stesse, intendendosi corrispondenti due punti P di V~ e P' di V~' definit i dagli stessi valori numerici dei parametr i x ~.

Se 8g~ b la variazione funzionale del tensore fondamentale per una tras- formazione infini tesima di coordinate:

risulta~ come ~ noto:

68 FRANCA ORAIFF: Le coordinate intrinseche e l'integrazione, ecc.

Questa variaziene, che 6 la sola possibile quando si operi in spazi privi di curvature (euclidei o psedo-euclidei) stabilisce, at traverso le (2), una cor- r ispondenza puntuale della varieth in s6 stessa.

Allora due variazioni ~k e ~ che differiseano per una deformazione congruente, del tipo (3):

(4)

definiscono la stessa varieth deformata, ma una diversa corrispondenza pun- tuale: ques t ' u t t ima pub essere precisata con un' oppor tuna scelta del vettore s.

Tra le trasformazioni infinitesime di coordinate, definite dalle (2), parti- colare importanza hanno quelle che danno luogo ad una variazione nulla del tensore fondamentale, cio6 quelle soddisfacenti le:

(5) s~j~ + sk/~ = 0

Esse caratterizzano una corrispondenza puntuale della varieth in s6 m e diante uno spostamento rigido infinitesimo che, conservando le distanze. t rasforma la metrica in s6 stessa, conservando quindi il tipo di coordinate: ad es., hello spazio ordinario, se w~ sono le coordinate cartesiane di P, ]o sono pure di P' rispetto al r i fer imento r igidamente spostato. L ' impor tanza di queste part icolari trasformazioni 6 dovuta al note Iegame tra i vettori di KILLIng, soluzioni delle (5) e le leggi di couservazione di una teoria fisica definita in una varieth V= ehe ammette tall svluzioni, cio6 spostamenti rigidi.

Nelle variet~ r iemanniane che non ammettono vettori di KILLinG, ogni trasformazione infiui tesima di coordinate dh luogo ad una variazione congru- ente, diversa da zero, del tensore fondamenta le : non si pub quindi stabilire una corrispondenza puntualo della varieth in s6 che rispetti le coordinate.

Si pub allora cercare di determinare in mode opportune il vettore s nella (4)eos i the la variet~t V~ e la sua deformata V; risultino riferite ad uno stesso tipo di coordinate int r insecamente definite.

2. - Coordinate int r inseehe e componenti in t r inseehe di vet tor i e tensori.

Si consideri una variet'~ r iemanniana V~, di metrica (1), che non ammetta vettori di K~LI~+: per ques~a si possono esten~lere le osservazioni e definizioni gi~ fatte nel case di uaa superf ic ie the non ammetta spostamenti rigidi [1].

Come he1 case superficiale, per la V,. eonsiderata esiste una corrispondenza biunivoea ira i punti della stessa ed ennuple di valori delle coordinate ehe danno alla metr ica una terra forma: in assenza di vettori di KILL:rN~ inoltre, 6 sempre possibile de terminate in pifi modi una ennupla di invarianti intrinseci A della V~ stessa, tra lore funzionatmente indipendent i ; tall invarianti sono

r

FRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e I'integrazione, ece. 69

dadueibili dal tensore di cu rva tu ra : sono percib costruiti con il tensore fon- damantale e le sue derivate ordinarie. :Per la loro indipendenza funzionale essi sono idonei a definire la posizione di un generico punto P : possono quindi essere scalti come coordinate >. In questo riferimento, le componenti controvarianti di un vettore e di an tensore doppio simmetrico saranno individuate dai seguenti scalari :

(6) a s A/~

r

P q

Mediante formula analoghe alle (6b) si possono costruire la componenti controvarianti intrinsacha del tensore fondamentale, cosi che, mediante queste e le solite regole dell 'algebra tensoriale, r isulta immediata la costruzione delle componenti covarianti intrinseehe di un qualunque tensore, quando siano note quelle controvarianti . Le une e le altre sono rappresentate da scalari che hanno signifioato intrinseeo in un generico r ifer imento : per questo motivo la rappresantazioae dei tensori in un r ifer imento intrinseco r isul ta pr ivi legiata .

D'altra parte, per affrontare problemi che richiadono anche la derivazione tensoriale, 6 comodo poter lavorare in un r ifer imento qualsiasi : si po.-sono coneiliare i vantaggi della componenti intrinseche con le esigeuze della gene- ralit~ del riferimento, osservando che, in virtfi delle formula di trasformazione della componenti covarianti, un vettore eel un tensore doppio simmetrico pQtrstnno esprimersi, in un r iferimento generico, nel seguente modo:

(7} a s~ = ~A/~

r

b &~= @qA/M/k. p q

L'es tens ione della (6) e (7) per tensori di ordine qualsiasi 6 immediata.

3. - Variet£ r iemanniane r i f e r i t e ally stesse coordinate in t r inseche e condizioni di congruenza.

Nella V,, sopra considerata, siano A gli n invariant i intrinseci scelti r

come coordinate (>; siano ~A le loro variazioni~ dovute ad una r

variazione ~ del tensore fondamentale. Le n eguagl ianze .

(8) ~A = /is A r r

r isultano identith se {~k 6 congruente: ess% attraverso le variazioni 8A rivelano r

70 FRANCA GRAIFF: L e coord ina t e i n t r i n seche e l ' in tegraz ione , ecc.

lo spos tamento s che d~ luogo al ia deformazione ~k; d e f i n i s c o n o invece un vei tore s se ~k b arbi t rar io . Ne l l ' uno e ne lFa l t ro easo le (8) forniscono diret- t amen te le component i con i rovar ian t i in t r inseche di s che r i su l t a qu ind i un ivoeamente de te rmina to , essendo le ~A l i nea rmen ie ind ipenden t i i ra lo ro :

r

nel easo a l lora ehe la (e) a m m e t i a ann soluzione, ques ia ~ unica. P e r le (8} tale vet tore risulteri~ eapresso med ian te ~k e le sue der lvate tensor ia l i : l 'o rd ine mass imo di ques ie coincideri~ con l ' o r d i n e massimo delle der iva le o rd inar ie di g~ che compaiono negli i nva r i an t i A.

r

L a i ras formazione in f in i t e s ima di coordinate , de f in i t a dal vet iore s:

(2) x, '~ -- x~ - - 8 i

d~t luogo ad una var iaz ione c o n g r u e n t e :

(3) v ~ -- s ~/k -k- sk1~

del tensore fondamen ta l e cos t ru i ta con ~k e le sue de r iva te ; essa s tabi l isce una cor r i spondenza pun tua le P, P' del la variet/~ in sb: al punto P di coordinate in t r inseche A corr isponde il pun to P ' carat ter izzato, a t t raverso le (2) d~gli

r

stessi valor i numer i c i A, che perb non coincidono con i valori numer ic i delle r

sue coord ina te int r inseche.

Si consider i ora la deformazione s e g u e n t e :

(9) ~ h _~ ~k __ (s~;~ ..~ sk;~) = ~k _ v~

essendo s il vet tore def ini to dal le (8): ~ i~ qu ind i cos t ru i ta con la sola ~k e le sue der iva te eovar iani i . Pe r la linearit¢t delle (8) e delle (9} inoltre, essa de i e rmine rh u n a var iaz ione nu l l a agli n inva r i an i i in t r insee i A, soddisferh qu indi a l l e n i den t i t h : r

(10} ~A ~ 0 r

Segue c h e l a deformazione ~k stabi l isce i ra la Vn cons ide ra ta e la sun

de fo rma ta V'~ di me t r i e a :

d s '2 " - (g~k-{" Q~k)d~d~ ~

una cor r i spondenza che r i spe t ta la coordina te in t r inseche : punt i cor r i spondent i P di V, e .P' di W sono cara t ter izzat i dagl i stessi valori n u me r i c i delle coor-

d ina te int r inseche.

FRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e i ' integrazione, ecc.

Se la variet/~ considerata b generica, la seelta di n invarianti intrinseci non ~ uniea : non b quindi unico il criterio atto a stabilire delle coordinate intrinsecl~e e definite, mediante le tS) e ~9) una def¢~mazio~:e ehe le rispetti.

Si consideri a l lma una secorda ennupla di invarianti inlrinseei B funzio. r

nalmente indipendenti t la loro e dalla prima ennup la ; se ~B sono le loro variazioni dovute a ~ , le :

(8') 8 B - " B / s v ~ r r

r isul teranno ancona identith se ~h b congruente, nel qual caso i due vettori s e v r i ve la l i dalle (8) e ~8't devono coincidele ; per ~ generi¢o inve(e, le 18') d e f i n i s c v n o un seeondo vettore v diverso da s e quindi una deformazione:

t9')

che conserva gli n invarianti B. Come ~2 ~k, anehe d~k risulia espressa mediante r

~k e le sue derivate tensoriali.

Se ~ b congruente, i due ~ettori daft dal]e (8) e IS'} coincidono, O~he ~k sono nul le ; viceversa, se ~k b nulla, la defo, mazione congruente Ck definita dalla /3) coincide con ~k che ~ quindi congruente e do~'uta allo spostamento s dato dalle (8); questo deve allora coincidcre con lo Sl0Ostan~enio v dalo dalle (8'), quindi anche ~ 6 nullla. Di consegnen~.a le equazioni:

( i l ) ~ "-- 0

(11') ~b ~ m 0

r isul tano le condizioni di congruer~za necessarie e sufficien| i , tra loro equi. valenti.

Le n equazioni :

(12) w ~ ~ s t - v~= 0

sono anch~esse condizioni di congruenza, neccssarie, non, in generale, suffi- c ient i : sono tali nel caso di una superficie [1]. Esse implicano un legame lineare ira le due ennuple di variazioni ~A e ~B.

r r

4. - Un tensore doppio s immet r ico di da ta divergenza.

Pe r le identith (10) alle quali soddisfa la variazione fl~k definita dalla {9), 6 semprc possibile cost luire un ten~ole doppio simmetrico 0~ =~ 0, soddlsfacente

72 FRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e I'integrazione, ecc.

]a seguente eondizione:

(13) l ~21kQ;~d'~ = 0

essendo z una regione della varieth r iemanniana V. considerata, ed ammettendo ehe, sul contorno di z, ~.~k sia nulla, assieme ad s.

Per iI metodo dei moltiplieatori arbitrari di L A ~ n A ~ , Q~ soddisfer~ la (13) per la part ieolare variamione ~ , quando soddisfera, per una qua]unque variazione ~ , nul la al eontorno di z, la seguente equazione:

dove l e a sono n moltiplicatori arbitrari, ~A le variazioni degli n invarianti r r

intrinseci dovute a ~k.

a) Si trovano subito le identit~ alle quali soddisfa Q~, imponendo che la (13') sia verif icata per una deformazione congruente gener ica :

(13") f (2s;/kQ~ - - aAl~s~)dz, ~ -- 0

e, dovendo questa valere per qualunque s (nulto al contorno di z) dovr~ essere :

{14) - - 2 Q ~ j k - - aA/~ r r

eio6 le componenti intrinseohe della divergenza di Q~k coineidono, (a meno \

4 9 ' f a ~ , o r e - - - ~ o I c o n . i m o l ~ i p l i e a t o r i a r b , t r a r i c,~ i n ~ l t r e p a r o l e : Qilz (~ a n r

integrale part ieolare della (14), dove l e a si intendono date. r

b) Pe r eostruire Q~k, basra esplicitare, nella (13'), le variazioni ~A r

esprimendole mediante {~k; con il solito metodo di integrazione per parti, t raseurando sempre gli integrali sul contorno, r isul terh:

(15) f Q~k(a) risulta qui~di eostruito, oltre ehe con la metriea, con gli n molti-

r

plieatori arbitrari a e con le lore derivate tensoriali. r

FRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e l'integrazione, ecc. 73

Dall' espressione generica di Q~k(a), si possono ottenere n part icolari tensori A~k soddisfacenti le :

r

(14') - - 2 A ~ J k - - A r r

Basterk porte, volta per volta, in Q~k(a) tutti i moltiplicatori arbi trari r

nulli, t ranne l%rresimo che si porr/~ uguale a 1: ogni tensore A~k sark allora r

espresso mediante il solo tensore fondamenta]e e le sue derivate ordinarie. Pe r quanto si ~ rilevato al paragrafo preeedente, queste considerazioni

valgono per ogni ennupla di invarianti intrinseci atti a costi tuire coordinate intrinseche.

La scelta di due ennuple, funzionalmente non legate, cosi che le lore variazioni non siano l inearmente legate, dar/~ luogo alla costruzione di due tensori Q~(a) e 1)~ktb) essenzialmente diversi.

r r

5. - S t r u t t u r a del pih generale tensore doppio s immetr ico a divergenza nulla.

Dope le considerazioni preeedenti , r isulta chiara la s t rut tura del pifi generale tensore doppio simmetrico soddisfacente le:

(b) pik/~ = 0.

TaUESDELL [2] ha dimostrato ehe, se 9 ~k-- 0 sono le condizioni di congru- enza, se SI~ ~ un generico tensore doppio simmetrico, in condizioni di regolaritk p~ soddisfa la :

(16) 0

per ogni ~k, quando si t rascurino gli eventuali integrali sul contorno di z, regione della varieth considerata.

Esp]icitando 9 ~k secondo le (9), r icordando che il vettore s ~ definite dalle (S), e indicando con d le componenti intrinseche della divergenza di Sik, r isulta:

r

e, per la (15):

(16')

r r

f ~ik[p,k -- S i k - 2Q~kid)]d.~ r

= 0

Annali di Matematica lo

74 FRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e l'integrazione, ecc.

Dovendo questa essere verificata per qualunque ~k, il pili generale tensore soluzione delle (b) ~ dato da l la :

(17) p~k -" Sik + 2Q~k(d). r

Esso risulta quindi somma di due tensori: il primo arbitrario, il secondo costruito applicando un operatore differenziale alla divergenza del primo.

Pe r quanto b stato detto, due tensori S~k ed S~'~ soddisfacenti la :

Sil = S~k + 2Qik(a) r

dove a sono n scalari arbitrari , daranno luogo allo stesso tensore p~k: ciob, r

nella (17), il tensore arbitrario S~k, ()di p~k, risulta definito a me- no de1 tensore Q~ia).

r

6 . - Gasi par t icolar i .

II teorema di TrtVESDELL, precedentemente usato, assicura la pifi completa generalit~ alia soluzione trovata, qualora le ~ k = 0 siano le condizioni di eongruenza necessarie e sufficienti.

Per condizioni di congruenza solo neeessarie, si troveranno particolari soluzioni delle (b): esse corr isponderanno ad una part icolare seelta del

FRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e l ' integrazione, ecc. 75

P e r la condizione di eongruenza :

~ka~ ---- 0

si o t t iene que l la par t ico lare soiuzione del le (b) cos t ru i t a con un potenziale isotropo :

S~k = ?~g~k

con ). a rb i t rar io . P e r ), = 1, p~k coincide col tensore f o n d a m e n t a l e ; per ).---A, r

si t rovano n tensori cost rui t i con il solo tensore fondamen ta l e e con le sue der iva te ordinar ie , deducibi l i qa ind i dal tensore di cu rva tu ra .

Tra le soluzioni del la (b) r i en t r a anche un tensore cost rui to nel seguente m o d e : scel ta una seconda en n u p l a di i nva r i an t i in t r insec i B , sia P~k(b) il

r r

tensore o t tenuto operando sugli n scalar i a rb i t ra r i b secondo il pa ragra fo (4), soddis facente qu ind i la: r

(14') - - 2P~i/k = bA/~ . r r

P o s t o o r a :

S~k = P g b ) r

il eor r i spondente tensore, soluzione del la (b), r i s u l t a :

(18) p~to - - P g b ) + Qga) r r

dove le due ennup le di sea lar i a e b sono legate dal le n equazioni l i nea r i : r r

(19) aA/~ -t- bB/~ = O. r r r r

II tensore (18) eorr i sponde alle condizioni (1.2) di congruenza . Esso r i su l t a anche il pifi genera le quando tal l condizioni ,

necessar ie , sono anche suff ie ient i , come nel case di una superf ice . oltre che

7. - Soluz ione delle equazioni indefinite della stat iea di una membrana tesa su di una generica superficie e soggetta a sol lee i tazione a t t i re esterna.

Le equazioni indef in i te di equi l ibr io di una m e m b r a n a tesa su di una superf ic ie pres tab i l i t a sono, come i~ no to :

(a) q~jk _ F~

76 FRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e l ' integrazione, ecc.

dove q~ b il tensore degli sforzi, F~ la sollecitazione specifiea att iva esterna.

Se la superfieie non ammette vettori di K ~ ( ~ , il metodo esposto nel paragrafo (4) fornisce nn integrale part icolare della (a) : in questo easo, infatfi, la curva tura gaussiana K ed il quadrato del suo gradiente : H ~ K/~K/~ sod- disfano la :

(20) ~K/~ H/~ ~ 0

Gli invarianti K e H possono essere assunti come coordinate intrinseche (~). Se FH e F~: sono le componenti eovarianti intrinseche della sollecitazione

att iva F~, un integrale part icolare q~k della (a) dovrh soddisfare l ' ident i th rispetto a ~k:

(21} {F~:~K + FH~H)d~ : - - ~ ~ ~11,

So si interpreta ~ come tensore di deformazione (congruente), la (21)~ la forma che il principio dei lavori vir tuali dh alle condizioni di equilibrio (a): per uno spostamento virtuale, hullo al contorno di ~, il lavoro della sollecita- zione att iva F deve equi l ibrare il lavoro delle force interne attive (lavoro di deformazione). A quest~ultimo contr ibuisce infatti solo un integrale part icolare della (a), che differisce dal l ' in tegrale generale per un tensore a divergenza nulla.

Pe r ottenere l 'espressione esplicita di ~ , si r ieorda che b:

1 A ~ K - - - - ~ ( ~O + KO - - ~/~) ; 0 ---" ~ik(~ ik

ik ~H = ( 2 8 K ) / ~ K / ~ - - ~ Ki~K/k .

Trascurando sempre gli integrali sul contorno, si ot t iene:

ff ff

avendo posto :

(22) = F K - 2(~d(/j)/J.

(t} /qel easo che H e K siano fanzionalmente dipendenti e quindi non soddisfino la {90}, sl pub assumere come secondo parametro intrinseco A ~ K ~ K/ikgik[1]. Qui per la soluzione esplicita della (a) viene considerato solo il primo caso.

FRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e I'integrazione, ecc. 77

Una soluzione part ieolare della (a) sarh allora data da :

(23)

dove ~ ~ dato dalle (22). Questo integrale part icolare r isul ta quindi espresso, oltre che da elementi

intrinseci della membrana considerata, dalle compcnenti covarianti intrinseche FK e I?~ della solleeitazione attiva esterna e dalle loro derivate tensoriali fino alle terze.

L , integrale generale della (a) si otterr/~ aggiungendo a q~k il pifi generale tensore a divergenza nulla, gih espUcitamente ottenuto, col metodo esposto nel paragrafo 5, in altra I~ota; [1].

Quindi, se Sjk ~ an generico tensore doppio simmetrieo, se da e dH sono le componenti covarianti intrinseehe della san divergenza, F integrale eercato pub essere espresso b revemente :

(24) q~ = S~k + q~k[(FK--- dx) , (Fz - - dz)].

Per quanto b gih stato osservato al paragrafo 4, S~ risulta definito a

meno di un tensore ~ ( a x , a~), costruito con due funzioni a~bitrarie aK, all: cio~ il potenziale St~ con il quale si costruisce il tensore degli sforzi~ b determinato a meno di un integrale part icolare della (a)~ eorr ispondente ad una solleeitazione attiva geaerica, di componenti covarianti intr inseehe aK, all: queste possono essere scelte in modo da r idurre la completa arbitrariet/~ di S~k: se si sceglie 2 a l l - - - $11, si pub sostituire, per la (23), al generico S~

"-7 un S~'k avente null~ la componente intr inseca S ~ , arbi trar ie le altre due. A sun volta S' ~ sar/~ determinato a meno di una part ieolare soluzione {23). corr ispondente ad una forza di eampo di componenti intrinseche aK, O.

Tra i tensori di sforzo q~k prima costruiti, ha part icolare interesse quello corrispondente ad una sollecitazione att iva di componenti covarianti intrinseehe costanti (in part ieolare una di esse pub essere nulla); indicate queste con k e h, per la (23) r i su l ta :

(23')

essendo :

(22'} ¢~ = k - - 2hA2K

La (23') nulla :

suggerisee poi un part icotare tensore intrinseco a divergenza

p~ - - Halk - - q~k(O, I).

78 FRANCA GRAIFF: Le coordinate intr inseche e I ' integrazione, ecc.

Esso r i su l t a eost rui to con il solo tensore fondamen ta l e e con le sue der iva te o rd inar ie f ino al le quar te .

8. - Soluzione delle equazioni indefinite della statiea dei continui comunque eurvi, in presenza di forze di eampo.

L' equazione inde f in i t a :

(a) q~jk = 1~

cons idera ta in u n a variet~ r i e m a n n i a n a a tre d imensioni , di met r ica (1), b ancora l ' equaz ione inde f in i t a di equi l ibr io di un corpo eontiEmo, c o mu n q u e eurvo, soggetto ad una forza di campo F : q~k ~ ancora il tensore degli sforzi: [3]. Le stesse (a) in te ressano anche la Rela t iv i th Genera l e ; infa t t i una sezione spaziale de l l 'Un ive r so r i emann iano rela t ivis t ieo b una variet~t r i e m n a n i a n a a tre d imens ion i ; per tale varieti~, pub essere ut i le a l lora la conoscenza di un in tegra le del la (a) : questo, a sua volta, pe rmet te la cost ruzione del pifi genera le tensore a d ivergenza nul la .

Se la V~ eons ide ra ta non a mme t t e vet tor i di KILLING, allora, med ian te il tensore di R~EMXN~ cont ra t to R~k, si possono sempre def in i re tre invar ian t i in t r insec i t ra loro funz iona lmen te ind ipendent i . Siano ques t i :

A -- R~ka ~k 1

(25) A -- R~k~,~k 2

A -" R~kR~JRj ~ . 3

Se Fr sono le component i in t r inseehe del la forza di eampo F, un in tegra le

par t ico la re del la (a), q~--k, dovrh soddisfare, in condizioni di regolar i t~, l 'identiti~

r ispet to a ~k: 1

dove l ' i n t e g r a l e si in tende esegui to in u n a regione ": di Y~ e dove la defor- mazione ~k si i n t ende sempre nu l l a sul contorno di ":.

P e r le (25) r i su l t a i d e n t i e a m e n t e :

(26) F S A - - (SR~ ~ Rj~jk)v ~k r r

dove :

(27) v~k = F a ~ -{- 2 FR~k ~ 3 F R ~ R ~ . 1 2 3

FRANCA GRAIFF: Le coord ina te in tr inseche e l ' integrazione, ecc. 79

Essendo

1 0

t r a scu rando sempre gli in tegra l i sul contorno, si o t t i ene :

f 'f V s F S A d z = 2 ~k[2Iljvj~ - - v~q/pqa~k - - v~k/? q- v~4k" -4- k~]~ ]d:. r r T "r

U n a soluzione par t ieo la re del ia (a) sar~ a l lora l a :

(29) V s V s V s q~k(F) = 2R jv j k - - vpqlPqa~k-- ikl~ + ~]k + k~l~ r

dove il tensore s immetr ico v~k non b arbi t rar io , ma cost rui to con la solleeita- zione att iva, seeondo le (27): si osserva che tale tensore ha le stesse direzioni p r ine ipa l i di R~k. L ' in tegra le par t ico lare t rovato r i su l ta espresso, ol tre che da e lement i in t r insec i del la V3, da l la sol leci tazione a t t iva e dal le sue der iva te tensor ia l i f ine al le seeonde (2i.

Come al solito, l ' i n t e g r a l e genera le della, (a) si otterr~t agg iungendo a q~k il pifi genera le tensore a d ivergenza nu l l a cos t rui to secondo le (17).

Quindi, se S~k ~ un gener ico tensore s immetr ieo, se d sono le component i r

covar ian t i in t r inseche del la sua divergenza, 1' in tegra le ce~cato pub essere b revemente espresso :

(30) q~ = S~ -}- q~k(F- d). r r

Esso r i su l t a qu ind i eos t ru i to med ian te un tensore a rb i t ra r io e le sue der iva te f ine alle terze, e med ian te la forza di campo e le sue der iva te f ine alle seconde. Ancora S~k ~ def in i te a meno di un tensore qa(a) , cost rui to con ire sealar i a rb i t ra r i a. r

r

Se, al posto degli i nva r i an t i A, si cons iderano gli i nva r i an t i p r inc ipa l i to r r

del tensore di RI~A~rN contrat to , non si o t t iene un in tegra le par t ico la re della (a) d iverse da quel lo era t rovato (29). I n f a t t i gli i nva r i an t i A e to sono legat i dal le seguent i identiti~: [5] r

(e) Q u e s t o i n t e g r a l e p a r | i c o l a r e ~ g ih s t a t e da m e i m p l i c i t a m e n t e u s a t o p e r c o s t r u i r e i l pifi g e n e r a l e t e n s o r e a d i v e r g e n z a n u l l a [4].

80 FRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e l'integrazione, ecc.

A = m + o~- t -~ I 1 2 3

(31) A = to 2 + ~C + ~o 2 2 1 2 3

A = ~o~ + (o ~ + ~o~ 3 1 2 3

Se gli A sono funzionalmente indipendenti , gli (o sono dist int i ; per le r r

(31), le variazioni ~A e ~) sono l inearmente legate dal le: r r

(31') a~A = a'~o r r r r

dove l e a e le a' sono legate dalle formule di trasformazione delle eomponenti r r

covarianti di un vettore, per effetto della trasformazione di coordinate {31). Operando quindi nel solito modo sulla eombinazione a'8~o, si otterh ancora la soluzione part icolare (')9). ~ r

Per trovare allora un integrale part icolare della (a) diverso dal (29), b necessario prendere in considerazione tre invarianti intrinseci non legati ai precedenti A. Poieh~, in una V3, il tensore di R I ~ A ~ ¢ contratto esaurisce

r

l ' in tero tensore di RIE~A~¢, una seeonda terna di invarianfi andr/~ definita mediante combinazioni con i gradienti dei primi. Si potrfi, ad es., censiderare la terna B definita dal le :

r

(32) B = 51A. r r

Operando nel solito modo, r i su l ta :

f b ~ B - - --21 f ~[~(a'). ~ + 2bA/~Al~]d,~ T "t"

avendo posto :

(33) a' = - - 2(bA/0/~ . r r r

Uu secondo integrale part icolare delle (a) sari~ quindi dato dal le:

(34) q~(b) = q~(a') + 2bAl~A/k r r r r r

dove le a' sono definite dalle (33) e le b sono le eomponenti eovarianti intr inseche r r

della forza di eampo, nel r iferimento intrinseeo B. r

FRANCA GRAIFF: L e coord ina te i n t r i n seche e l ' in tegraz ione , ecc. 81

Affinch~ q~(b) e q~(a) forniscano due soluzioni part icolari della (a) in r r

corrispondenza ad una stessa forza di campo, b e a devono soddisfare le tre relazioni l ineari ~

(35) bBl~ = aA/~ . r r r r

No segue che il tensore:

(36) P~k - - q~(b) - - q~(a) r r

pub rappresentare il tensore degli sforzi in assenza di forze di campo. Esso, soluzione delle (b), corrisponde alle eondizioni (12) di eongruenza, neeessarie, non suffieienti, in questo case.

Se le componenti eovarianti intrinseche della solleeitazione att iva F sono costanti (in part icolare due di esse possono essere nulle), si otterrano, mediante le (29) o (34), part ieolari soluzioni delle (a) eostruite essenzialmente con il solo tensore fondamentale e le sue derivate ordinarie. Ad esempio, alla forza di campo :

I~ -- )~A/~ 1

con k cosiante, eorrisponde la soluzione parf icolare :

(29') q~(t~, O, O) - - 2kRi~ .

Mediante questa, o altre analoghe~ part icolari soluzioni, si possono ottenere, servendosi delle (35) e (36), tensori a divergenza nulla, costruiti soltanto con elementi intrinseci della varieth considerata.

9. - ln tegrazione delle equazioni della dinamiea dei eontinui .

Nello spazio-tempo della Relativit~t generale, la cui metr ica indieo con la (1), l ' equazione indefini ta :

(b) piJ k -- 0

rappresenta le equazioni di moto di un continuo: P~k ne ~ il tensore energetieo.

Gti integrali part icolari della (a) interessano, in questo case, solo per costruire, con il solito metodo, il pifi generale tensore soddisfaeente le (b).

So la varieth non ammette vettori di KILLING, mediante il tensore di R IE~ANN contratto si possono defini te quattro invarianti intrinsecl, tra loro

Annali di Matematica I I

82 FRANCA GP.A~FF: Le coordinate intr inseche e t ' integrazione, ecc.

indipendenti :

(37)

j ~ ~ i k A - " ik(2¢ 1

A = R ~ R ~ 2

i" A = R~R~R~ k 3

A = R~kRp~R~R ~ . 4

Se a sono quat tro scatari arbitrari, r isul ta identicamente, come per la V~; r

(38) a ~ A = ( ~ R ~ k - - Ri~{J~)v ~k r r

dove si ~ posto:

(39) vs~ = aa~k Jr. 2ctR~k n u 3aR~jR!k .+- 4aR~iRkqRJq. 1 2 3 4

Poich(~ la variazione ~R~ coincide con la (28), segue che il tensore (29), gi~ trovato per la V3, ma costruito col tensore (39) soddisfa l a :

(40) [q~(a)]/~ = a.4/~. r r r

Se quindi S~k ~ un generieo tensore doppio simmetrico, se d sono le r

componenti covarianti intr inseche della sua divergenza, il pifi generale tensore dello spazio- tempo considerato, soddisfacente la (b) sar~t:

(41) Pi~ = S~h -- qi~(d). r

Esso r isul ta quindi somma di due tensori doppi s immetr ic i : il primo arbitrario, il secondo ottenuto applicando un operatore differenziale del secondo ordine alla divergenza det pr imo: come al solito, questo r isulta definito a meno di q~]a) essendo a quattro scalari arbitrari.

r r

In una varieti~ a quat t ro dimensioni, una seconda quaterna di invarianti intrinseei pub ricavarsi dal tensore di RIEMA~ : se con gli indici A , B , ... si intende indicare una coppia di indici i, k di emisimmetria, se con R~B si intende it tensore di R~MA~'N, tale quaterna pub essere:

(37) B = R~BR AB

B = R A s R c 4 R Bc 2

FRANCA GRAIFF: Le coordinate intrinseche e l 'integrazione, ecc. 83

(37)

B : R~ ,Rc~R~CR "~ 3

B - - R ~ R c ~ R ~ C R % R ~ . 4

Risu l t a i den t i camen te :

(38')

dove si ~ posto :

r r

t39') XA~ = 2 b R ~ + 3bRAcR% + 4 b R A c R , ~ R cD + 5bRAL'RBcRD~RD c • 1 2 3 4

II t ensore X.~B sopra defini to, cos t ru i to l i nea rmen te con i qua t t ro molti-

p l ica tor i a rb i t ra r i b, ha le s tesse p ropr ie th a lgebr iche del t ensore di RIEMANN. r

R i e o r d a n d o ehe ~;

(42)

si ot t iene, con il soli to p roeed imento , il t ensore dopp io s i m m e t r i c o :

(43)

sodd i s facen te le :

q*(b) = 2R~/,X~ ~ - - 2(X~h ~ + X~)/hq r

(44) [q~(b)]]~ - - bB/~ . r r r

Si pub qu ind i dare un ' a l t r a fo rma a l i ' i n t eg ra l e genera le del le (b):

(419 p~ S' - - r

In eo r r i spondenza a par t i co la r i scel te dei ) S~k e S~ , si otter- ranno par t i co la r i soluzioni del le (b); ad esempio, pe r :

S~k = Ag~k S ' ik - - Bg~k r r

si t rove ranno tensor i in t r insec i del la var ie t~ stessa~ i ra i quMi il t ensore di RIccI-Er~sTEI~.

P e r :

S~k "- q~k(b) r

84 FI~,NCA GRAIFF; Le coordinate intrinseche e I'integrazione, ecc.

si otterrh ancora una soluzione della (b) qualora siano soddisfatte equazioni lineari ;

aA/~ - - bB/~ = O. r r r r

le quattro

La soelta di una determinata soluzione tra le molte che si offrono dipende dal problema the viene proposto.

BIBLIOGRAFIA

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