Lavoro

Si definisce lavoro:

Ftraiettoria

Tangente alla traiettoriaq

Il lavoro è una quantità fisica che viene definita partendo dai seguenti ingredienti: una forza F e la l’elemento Ds di traiettoria che il corpo compie sotto l’effetto della forza.

L=F.Ds

Ds

=F.Ds cos q

Il lavoro è uno scalare, e non è sempre positivo, dipende dal verso dello spostamento.

Consideriamo il caso della forza di gravità. Supponiamo che sul corpo agisca solo questa forza.

Forza peso

SpostamentoForza muscolareForza totale

Lavoro=Forza totale x spostamento

Forza peso

Forza muscolare

Forza totaleSpostamento

Lavoro=Forza totale x spostamento

Forza peso

Forza muscolare

Spostamento

Lavoro=0

Il lavoro misura lo sforzo complessivo

F

Ds

L=F.Ds

Per esempio, in entrambi i casi il corpo si muove solo la sola forza di gravità:

Il lavoro è uno scalare, e non è sempre positivo, dipende dal verso dello spostamento.

Primo caso:

mg

mg

Ds Ds

L=F.Ds =F.Ds cos q

=F.Ds >0L=F.Ds =F.Ds cos

q=-F.Ds <0

=0q =180°qcos =1q cos =-1q

Secondo caso:

Le dimensioni del lavoro sono:

L=F.Ds =ma.l

=massa x lunghezza2/tempo2

=massa x velocità2

Le unità di misura del lavoro sono:

L=F.Ds

1 Joule= 1 Newton x 1 metro

Esercizio 1:• Un uomo tira un’aspirapolvere per 3 metri, applicandogli una forza di

50 N a 60° dal piano orizzontale.

• Calcolare il lavoro fatto dall’uomo sull’aspirapolvere

x

q=60°

L=F.Ds

=F.Ds cos q=50.3 cos 60°=50.3 0.5=75 J

Energia cinetica

Si definisce energia cinetica la quantità:

2mv2

1K

K ha le dimensioni di un’energia.

Legame tra energia cinetica e lavoro

Fq

DsA

B

xFx=F cos q

Supponiamo,per generalità, che la forza non sia costante

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

F

x

B

In ogni intervallino la forza è costante.

0,0

F

s

F1x

s1 s2 s3 s4 s5

F2x

F3xF4x

a1

a2

a3

a4

v1=v0+a1t

v2=v1+a2tv3=v2+a3t

v4=v3+a4tx=s1+v0t+1/2a1t2

x=s2+v1t+1/2a2t2

x=s3+v2t+1/2a3t2

x=s4+v3t+1/2a4t2

Calcoliamo il lavoro nei vari intervalli:

L1=F1.Ds1=F1x

.Ds1 =ma1.(v0t+a1t2/2)

v1=v0+a1t t=(v1-v0)/a1

))a

vv(a

2

1

a

)v(v(vma 2

1

011

1

0101

)a

vvv2va

2

1

a

vvv(ma

21

2001

21

11

2010

1

)a

v

2

1

a

vv2

2

1

a

v

2

1

a

v

a

vv(ma

1

20

1

01

1

21

1

20

1

101

)2

v

2

vvm(

20

212

0 20

21 mv

2

1mv

2

1

Nel primo intervallo

Ds1=x-s1=v0t+1/2a1t2

x=s1+v0t+1/2a1t2

Quindi, il moto è uniformemente accelerato

Nel secondo intervallino:

0,0

F

s

F1x

s1 s2 s3 s4 s5

F2x

F3xF4x

a1

a2

a3

a4

v1=a1t

v2=v1+a2tv3=v2+a3t

v4=v3+a4t

x=s1+1/2a1t2

x=s2+v1t+1/2a2t2

x=s3+v2t+1/2a3t2

x=s4+v3t+1/2a4t2

L2=F2.Ds2=F2x

.Ds2 =ma2.(v1t+a2t2/2)

t=(v2-v1)/a2

))a

vv(a

2

1

a

)v(v(vma 2

2

122

2

1212

)a

vvv2va

2

1

a

vvv(ma

22

2112

22

22

2121

2

)a

v

2

1

a

vv2

2

1

a

v

2

1

a

v

a

vv(ma

2

21

2

12

2

22

2

21

2

212

)2

v

2

vvm(

21

222

1 21

22 mv

2

1mv

2

1

v2=v1+a2t

x=s2+v1t+1/2a2t2 Ds2=x-s2=v1t+1/2a2t2

Sommiamo adesso tutti i lavori sui singoli intervallini

L=L1+L2+L3+….+Lfin=F1.Ds1+F2

.Ds2+F3.Ds3+…..

+Ffin.Dsfin 2

12

2 mv2

1mv

2

12

02

1 mv2

1mv

2

1 2

22

3 mv2

1mv

2

1

20

2fin mv

2

1mv

2

1

21fin

2fin mv

2

1mv

2

1....

Per chi conosce gli integrali:

dsFL

Possiamo quindi enunciare il teorema lavoro-energia

• Il lavoro fatto da una forza per spostare un corpo da un punto iniziale A ad un punto finale B è uguale alla variazione di energia cinetica

LAB=KB-KA

Esercizio 1• Calcolare tramite il concetto di lavoro a che quota arriva un corpo

lanciato verso l’alto con velocità iniziale v0.

mg

Ds

L=F.Ds =F.Ds cos q

=180°q

cos =-1q

=-mg.hDs=h

20in mv

2

1K 0Kfin

L=Kfin-Kin

-mg.h 20mv

2

1

g

20v

2

1h

• Un ragazzo di 80 kg usa uno skateboard per risalire un piano inclinato a 30° . Raggiunge la sommità a 10 m, dove si ferma. Calcolare il lavoro fatto dalla forza peso. Calcolare la sua velocità iniziale.

Esercizio 2

20in mv

2

1K

10 m

0Kfin

v0mg

q

Esercizio 2

20in mv

2

1K

h=10 m

0Kfin

v0

mgq

90°+q

L=F.Ds

Ds

=F.Ds cos (90°+ )q =-mgDs sin 30°=-F.Ds sin q

Ds =h/sin q

=-mgh sin 30°/sin30°=-mgh

Esercizio 2

20in mv

2

1K

h=10 m

0Kfin

v0

mgq

90°+q

L=F.Ds

Ds

Ds =h/sin q

=-mgh =-80x9.8x10 J 20

2infin mv

2

1mv

2

1KK

20mv

2

1

20v80

2

1

-80x9.8x10 2

0v802

1

10x9.8x2v 20

m/s14v0

Esercizio 3

Una slitta di massa m su un lago gelato ha una velocità iniziale di 2 m/s. Il coefficiente di attrito dinamico è md=0.1.Trovare la distanza percorsa prima di fermarsi.

Esercizio 3

Fg=mgT=-mgFA=md|mg|=0.1mg

Sulla slitta agisce la gravità mg , compensata dalla tensione della superficie T

E l’attrito FA, diretto in verso opposto alla velocità v ed allo spostamento Ds

Fg=mg

T

FAvDs

Esercizio 3

Fg=mgT=-mgFA=md|mg|=0.1mg

Fg=mg

T

FADs

LA=-md|mg|Ds 20in mv

2

1K 0Kfin

infin KKΔK 20mv

2

1

Esercizio 3

Fg=mgT=-mgFA=md|mg|=0.1mg

Fg=mg

T

FADs

LA=Kfin-Kin

-md|mg|Ds2

0mv2

1 md|mg|Ds

20mv

2

1

Esercizio 3

Fg=mgT=-mgFA=md|mg|=0.1mg

Fg=mg

T

FADs

velocità iniziale di 2 m/s.

md|mg|Ds 20mv

2

1

md|g|Ds 20v

2

1

Dsgμ

v

2

1

d

20 metri

x 8.91.0

2

2

1 2

metri04.2

Esercizio 4• Quanto riesco a saltare se mi stacco dal suolo con velocità di 2 m/s?

g

20v

2

1h

8.9

2

2

1h

2

=0.202 m

• Con che velocità devo saltare per superare il record del mondo?

• Il record del mondo è di Sotomayor ed è di 2.45 m.

g

20v

2

1h gh2v0 smxx /45.28.92v0

sm /92.6v0

Misura Atleta Nazionalità Luogo Data

2,00 m George Horine

Stati Uniti

Palo Alto, Stati Uniti 18 maggio 1912

2,11 m Lester Steers Stati Uniti

Los Angeles, Stati Uniti 17 giugno 1941

2,22 m John Thomas

Stati Uniti

Palo Alto, Stati Uniti 1º luglio 1960

2,32 m Dwight Stones

Stati Uniti

Filadelfia, Stati Uniti 4 agosto 1976

2,40 m Rudolf Povarnitsyn URSSDonec'k, Unione Sovietica

11 agosto 1985

2,45 m Javier Sotomayor Cuba Salamanca,

Spagna 27 luglio 1993

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00

1

2

3

4

5

6

7

8

v (m

/s)

h(m)

1,71 m

Fanny Blankers-Koen

Paesi Bassi

Amsterdam, Paesi Bassi 30 maggio 1943

1,80 m

Iolanda Balaș Romania Cluj-Napoca,

Romania 22 giugno 19581,91

mIolanda Balaș Romania Sofia, Bulgaria 16 luglio 1961

2,00 m

Rosemarie Ackermann

Germania Est

Berlino Ovest 26 agosto 1977

2.01m Sara Simeoni Italia Praga,

Cecoslovacchia 31 agosto 19782,09

mStefka Kostadinova Bulgaria Roma, Italia 30 agosto 1987