Stabilità dell’equilibrio elastico: formulazione generale · •Cenni alla teoria di Timoshenko...

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Stabilità dell’equilibrio elastico: formulazione generale Travi soggette a carico di punta Instabilità flesso-torsionale Instabilità per avvitamento (solo torsionale) Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov Effetto delle tensioni normali secondarie Instabilità di lastre piane Altri casi di interesse tecnico 1

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Stabilità dell’equilibrio elastico:

formulazione generale

•Travi soggette a carico di punta

•Instabilità flesso-torsionale

•Instabilità per avvitamento (solo torsionale)

•Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov•Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov

•Effetto delle tensioni normali secondarie

•Instabilità di lastre piane

•Altri casi di interesse tecnico

1

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Esempi di instabilitò flesso-torsionale

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Esempi di instabilitò flesso-torsionale

This cantileverbeam has nolateral support. Itwas excessivelyloaded andexperienced lateralexperienced lateraltorsional buckling.Part of the failuremechanismincluded localbuckling of thecompression flange

3

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Esempi .

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Esempi di instabilitò flesso-torsionale

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Esempi di instabilitò flesso-torsionale

This set of models demonstrates the behaviour

of lateral buckling of a narrow rectangular beam

with different sizes of section

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Esempi di instabilitò flesso-torsionale

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Esempi di instabilitò flesso-torsionaleInstabilizzazione dei ferri dell’armatura

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Cenni alla teoria di Timoshenko-

Vlasov

Mt

Ingobbamento: libero impedito

Torsione primaria Torsione secondaria

Alla Saint Venant alla Vlasov

Mt Mt

9

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Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov

Mt

MtMt

Angolo unitario di torsione

Ingobbamento costante

costante====′′′′θ

0)( θθθθ ++++′′′′====⇒====′′′′ zzGJM

t

t

)s()s(w ωθ′= )s()z()s,z(w ωθ′=Ingobbamento variabile

tt

t

t GJzzMGJ

zM z )()(

)()( θθ ′′′′====⇒====′′′′

Angolo unitario di torsione variabile

10

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Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov

h(s) è la distanza della

tangente alla linea d’asse

nel punto corrente dal

centro di Taglio C.

La funzione di

ingobbamento è definita

comecomeh(s)

))((2)( ss ΩΩω −−−−====

dtdsthsbA

dsssbA

dAA

s

dtths

s

A

s

∫∫∫∫

============

====

0

0

)()(21

)()(11

)(

,)(21

)(

ΩΩΩ

Ωdsshsd )()( ====⇒ ω

11

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Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov

Mt

)()(),( szszw ωθ′′′′====

Ipotesi cinematiche

-indeformabilità sezione trasversale

-b<< sviluppo della linea d’asse ωωωω=ωωωω(s)

- dωωωω////ds=-h(s)

-Scorrimento γγγγzs=0 sulla linea media

)()(),( szszw ωθ′′′′====

)()()()( szEEszzw

zzz ωθεσωθε ′′′′′′′′========⇒′′′′′′′′====∂∂∂∂∂∂∂∂====

Nascono delle tensioni normali a causa dell’ingobbamento impedito

12

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Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov

Consideriamo un elemento infinitesimo di trave. Pensiamo distribuite uniformemente le σσσσz. Le σσσσz variano lungo z.Per equilibrio nascono delle tensioni tangenziali ττττ2 (da torsione secondaria per distinguerle da quella da torsione primaria previste dalla soluzione del Saint Venant)

13

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Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov

Equilibrio in z

bdzdsz

dzdssb z

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====

∂∂∂∂∂∂∂∂ στ )( 2

)()()()(),())(),(( 2 sbszE

zsbsz

ssbsz z ωθστ ′′′′′′′′′′′′−−−−====

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====

∂∂∂∂∂∂∂∂

zs ∂∂∂∂∂∂∂∂

14

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Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov

dttbtzEsbsz

sbszEs

sbsz

s

)()()()(),(

)()()())(),((

02

2

ωθτ

ωθτ

′′′′′′′′′′′′−−−−====⇒

′′′′′′′′′′′′−−−−====∂∂∂∂

∂∂∂∂

dtdsttbshzEdsshsbszMs

Vt )()()()()().().,(2 ωθτ ∫∫∫ ′′′′′′′′′′′′−−−−========

Nasce un momento torcente detto alla Vlasov

dtdsttbshzEdsshsbszM t )()()()()().().,(0

2 ωθτ ∫∫∫ ′′′′′′′′′′′′−−−−========

15

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Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov

dtttbdsshzE

dtdsttbshzEM

s

sVt

∫∫

∫∫

====′′′′′′′′′′′′−−−−====

====′′′′′′′′′′′′−−−−====

)()()()(

)()()()(0

ωθ

ωθ

momento torcente detto alla Vlasov

dsssbzE

dtttbdssdzEs

∫∫

∫∫

′′′′′′′′′′′′====

====′′′′′′′′′′′′−−−−====

)()()(

)()()()(

2

0

0

ωθ

ωωθ

Per dettagli sui passaggi si veda il LC II pag 90-9116

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Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov

Γθωθ )()()()( 2 zEdsssbzEMVt

′′′′′′′′′′′′====′′′′′′′′′′′′==== ∫

Momento torcente detto alla Vlasov

Rigidità all’ingobbamento o

Per dettagli sui passaggi si veda il LC II pag 90-91

dssbs )()(2∫==== ωΓ

Rigidità all’ingobbamento o momento delle areeSettorialiProprietà geometrica della sezione

17

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Cenni alla teoria di Timoshenko-Vlasov

Vt

SVtt MMM ++++====

Quindi in totale in caso di vincoli torsionali abbiamo che il Momento torcente totale è dato dalla somma di quello alla SV e di quello alla Vlasov

Γθ )(zEM Vt

′′′′′′′′′′′′====t

SV

tGJM θ′′′′====

dssbs )()(2∫==== ωΓ

18

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Applicazione: Il caso della trave ad I

Timoshenko (1905), LC II pag 91Consideriamo la trave con sezione ad I in figura

Supponiamo che la sezione ruoti di Supponiamo che la sezione ruoti di un angolo θθθθ

Allora i punti della sezione subiranno uno spostamento sx=θθθθy

Ciascuna flangia si sposta di sf=θθθθh/219

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Applicazione: Il caso della trave ad I

In seguito alla rotazione della sezione la trave si inflette se la rotazione è impedita

Rotazione libera

Rotazione impedita all’incastro

20

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Applicazione: Il caso della trave ad I

La flangia superiore si inflette come in figura Nasce un momento flettente per effetto della curvatura flessionale indotta dalla rotazione non uniforme

θθ ′′′′′′′′====′′′′′′′′========2421212

33

2

23 hbdE

hbdE

dzsdbd

EM ff

Per equilibrio insorgono i Tagli

θ ′′′′′′′′′′′′========24

3hbdE

dzdM

T ff

21

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Applicazione: Il caso della trave ad I

Nella flangia inferiore si hanno gli stessi risultati a segni invertiti 22

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Applicazione: Il caso della trave ad I

Equilibrio alla rotazione attorno a z deve tenere conto sia del momento torcente primario alla SV che del momento indotto dalla coppia di braccio h formata dai tagli Tf

Dove è il contributo alla SV da torsione primaria

hTMM ftt −−−−==== 1

)()(1 zGJzM t θ′′′′====23

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Applicazione: Il caso della trave ad I

21 ttt MMM ++++====

Se vogliamo scrivere il momento torcente

totale come somma del contributo primario e

secondario

1tM

tM

Possiamo vedere che il contributo torsionale secondario ottenuto come

Rappresenta il momento alla Vlasov che cercavamo dove )()()(2 zEhzTzM ft θΓ ′′′′′′′′′′′′−−−−====−−−−====

24

3hbd====Γ Rappresenta la rigidità di ingobbamento a torsione secondaria per la sezione ad I

24

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Applicazione: Il caso della trave ad I

Si dimostra che la funzione di ingobbamento

nel caso in esame si scrive come

ωωωω(s)

ωωωω(s)

25

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Applicazione: Il caso della trave ad I

È possibile visualizzare le tensioni normali associate alla torsione non uniforme che produce inflessione delle flange

Le tensioni normali risultano proporzionali alla funzione di ingobbamento

ωωωω(s)

funzione di ingobbamento

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Applicazione: Il caso della trave ad I

Introduciamo il Bimomento definito come

Esso rappresenta uno degli sforzi generalizzati associati al problema in

θΓ ′′′′′′′′==== EB

generalizzati associati al problema in esame

hMB f====

Nella sezione ad I il bimomento si scrive come

Prodotto momenti di flangia per la distanza delle flange stesse

27

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BM ====ω

Comportamento a torsione dei profili più usati

bimomento

ΓEGI

k xl====

Ballio Mazzolani p 438

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Carichi critici instabilità flesso-torsionale

L’instabilità flesso-torsionale è in genere descritta da equazioni differenziali complesse a coefficienti variabiliTuttavia il momento critico può essere scritto nella forma

ΓαGEIM yc ====

Dove αααα è una costante

Il momento critico aumenta con l’aumentare della rigidità flessionale trasversale secondo l’asse “debole” e con la rigidità torsionale Ciò suggerisce di adottare profili HE o profili chiusi

ΓGEIM ycl

====

29

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Manuale

dell’inge-

gnere

civile

Capitolo

instabilità

Carichi critici instabilità flesso-torsionale

instabilità

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Carichi critici instabilità flesso-torsionale

Manuale

dell’inge-

gnere

civile

Capitolo

instabilitàinstabilità

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Dipendenza del carico critico flesso-torsionale

dal punto di applicazione del caricoData una trave vincolata con appoggi flesso-

torsionali ai due estremi con sezione rettangolare

sottile, soggetta ad un carico trasversale uniforme

p = costante applicato ad una distanza ηηηη dal

centro di taglio C coincidente col baricentro G

La sezione è doppiamente simmetrica, la

sua EPT si scrive come

32

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Dipendenza del carico critico flesso-torsionale

dal punto di applicazione del carico

Si ottiene il seguente andamento per il carico critico al

variare del punto di applicazione del carico

Situazione più favorevole

33

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Travi a traliccio

qcritqcrit

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Instabilità di lastre piane

LC II vol

Equazione di equilibrio di Sophie Germain-Lagrange per le

piastre sottili in configurazione fondamentale

Dq

yxw

yw

xw

Dq

w ====∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂++++∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂↔↔↔↔====∇∇∇∇

22

4

4

4

4

44 2

DyxyxD ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

)1(12 2

3

ν−−−−==== Es

D

z

x

y

35

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Instabilità di lastre piane

LC II vol

Equazione di equilibrio di Von Karman in configurazione variata si scrive

yxw

Nyw

Nxw

NwD xyyx ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====∇∇∇∇

20

2

20

2

204 2

yxyx ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 22

)1(12 2

3

ν−−−−==== Es

D

z

x

y

36

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Instabilità di lastre piane

LC II vol

Caso della trave appoggiata e compressa uniformemente

yxw

Nyw

Nxw

NwD xyyx ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====∇∇∇∇

20

2

20

2

204 20,0, 000 ========−−−−==== xyyx NNNN

204 w

NwD x ∂∂∂∂∂∂∂∂====∇∇∇∇

)1(12 2

3

ν−−−−==== Es

D

2xNwD x ∂∂∂∂

====∇∇∇∇

37

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Instabilità di lastre piane

La soluzione dell’equazione di equilibrio si cerca con il metodo di Ritz espandendo w in serie di Fourier

axmxn

Wyxw nm

ππsinsin),(

l====

2w∂∂∂∂2

204

xw

NwD x ∂∂∂∂∂∂∂∂====∇∇∇∇

)(2

2

2

2

2

22

amn

nDNnm ++++====

l

Si ottengono i seguenti carichi critici

38

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Il più piccolo carico critico si ottiene per m=1 ed è pari a

Cui corrisponde la deformata critica che presenta n semionde in direzione carico ed una semionda in direzione normale

Instabilità di lastre piane

2

2

2 )1

(,minan

anKKKcon

aD

KN nnnE

l

l++++============ π

39

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Diagramma che rappresenta K al variare di ℓ/a

Instabilità di lastre piane

2)1

(,minan

anKKK nnn

l

l++++========

Difatto si assume K=4 valore cui tende per ℓ/a>> 40

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Esempi di instabilitò flesso-torsionaleThe following photo shows local bucklingof the compression flange

41

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Esempi di instabilitò flesso-torsionaleThe following photo shows local bucklingof the compression flange

42

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Esempi di instabilitò flesso-torsionaleThe following photo shows local bucklingof the compression flange

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Esempi di instabilitò flesso-torsionaleLa trave da ponte collassa in fase dicostruzione a causa della mancanza dellasoletta di cls di copertura che le conferiscerigidità torsionale in fase di esercizio

44

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Esempi di instabilitò flesso-torsionaleLa trave da ponte collassa in fase dicostruzione a causa della mancanza dellasoletta di cls di copertura che le conferiscerigidità torsionale in fase di esercizio

45

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Esempi di instabilitò flesso-torsionaleThe following photo shows local buckling

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Instabilità locale e globale di lastre piane

Le pareti di profili sia chiusi che aperti sono lastre molto allungate Se tali lastre sono sottili possono instabilizzarsi dando luogo ad imbozzamenti che possono interessare zone più o meno esteseSi tratta di instabilità locale che può precedere sia l’instabilità della trave nel suo complesso che il l’instabilità della trave nel suo complesso che il raggiungimento del limite elastico del materiale

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Instabilità locale e globale di lastre piane

Prendiamo la trave lunga ℓ in figura supposta uniformemente compressa il carico critico euleriano globale della trave è PE=ππππ2EI/ℓ cui corrisponde la tensione

Tuttavia il carico si ripartisce su ciascuna parete Tuttavia il carico si ripartisce su ciascuna parete componente la trave e dunque il problema è riconducibile a quello della lastra appoggiata La tensione corrispondente al carico critico locale si scrive come

48

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Instabilità locale e globale di lastre piane

Globale Locale

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Instabilità locale di lastre piane

Il carico critico euleriano per Il carico critico euleriano per unità di area sarà dunque il minimo tra i due carichi critici globale e locale

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Lastra compressa secondo 2 direzioni ortogonali

Operando come in precedenza si ottiene il carico critico Euleriano

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Influenza delle condizioni di vincolo

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Lastre soggette ad azioni taglianti

Dove K si determina dai diagrammi sotto riportati

Valore del taglio critico

53

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Pannelli irrigiditi

In assenza di irrigidimenti la lastra non è in grado di

assorbire il carico dopo l’imbozzamento

Con gli irrigidimenti la lastra è in grado di assorbire il

carico dopo l’imbozzamento aumentano le risorse

post-critiche

54

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Lateral buckling of a cantilever

Additional supports provided to prevent lateraltorsional buckling through reducing the beam length

Prevention of lateral Buckling.

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Cilindri cavi inflessi: Ovalizzazione dei tubi

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Cilindri cavi inflessi: Ovalizzazione dei tubi

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Cilindri cavi inflessi: Ovalizzazione dei tubi

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Cilindri cavi inflessi: Ovalizzazione dei tubi

LC III p 396

Effetto

Brazier

Relazione momento Relazione momento

curvatura

In corrispondenza del

picco si ha

l’ovalizzazione

Ovvero instabilità a

scatto

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Instabilità di archi ribassati : arco incernierato

Esempi di problemi non EulerianiInstabilità Euleriana si manifesta

per inflessione inestensionale

secondo la deformata critica

antisimmetrica

Il valore HE della reazione

orizzontale del vincolo per cui si orizzontale del vincolo per cui si

instabilizza è

Ottenuto per analogia con un’asta

incernierata

2

24l

EIHE π≅≅≅≅

60

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Instabilità di archi ribassati : arco incernierato

Un’analisi non lineare mostra

un’instabilità a scatto (snap through)

simile a quella dell’arco a 3 cerniere

Il comportamento dell’arco

può essere descritto per

mezzo della relazione tra lo mezzo della relazione tra lo

spostamento U in mezzeria ed

il carico ρρρρ

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Instabilità di archi ribassati : arco incernierato

a) m<0.182 evento critico è la biforcazione,

che si verifica per

occorre un’analisi non lineare

b) 0.182<=m<1 collasso avviene per

instabilità a scatto

2

24l

EIHE π≅≅≅≅

c) m>=1 la transizione a configurazioni

rovesciate avviene con continuità e la

capacità portante è dettata dal limite di

deformabilità tollerabile

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Instabilità di membrane e gusci

Initial post-buckling deflection pattern ofcylindrical shell

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