Lavoro ed energia - Istituto Nazionale di Fisica Nucleare · Spesso pero` l’analisi del moto...

Lavoro edenergia

NicolaGiglietto

Cap 4.1-Lavoro edenergia


4.1 - Lavoro diuna forzacostante



Cap 4.1- Lavoro ed energia

Abbiamo visto come applicare le leggi della dinamica in variesituazioni. Spesso pero l’analisi del moto spesso risultacomplicata o in altri casi si verifica che la forza agente evariabile nel tempo (e quindi anche l’accelerazione). Esiste unapproccio alternivo all’analisi del moto che si realizzaintroducendo i concetti di lavoro ed energia.

F

s

sFθ

Nicola Giglietto (Politecnico di Bari) Lavoro ed energia 21 ottobre 2016 1 / 16

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4.1 - Lavoro di una forza costante

Abbiamo visto come applicare le leggi della dinamica in variesituazioni. Spesso pero l’analisi del moto spesso risultacomplicata o in altri casi si verifica che la forza agente evariabile nel tempo (e quindi anche l’accelerazione). Esiste unapproccio alternivo all’analisi del moto che si realizzaintroducendo i concetti di lavoro ed energia.


Il lavoro svolto da una forza F e definito dal seguente prodottoscalare:L = (W) = ~F · ~∆s = F∆scosθ = (Fcosθ)∆s = Fs∆sovvero il lavoro e pari al prodotto della componente della forzanella direzione dello spostamento, moltiplicato per lospostamento stesso.

F

FθNicola Giglietto (Politecnico di Bari) Lavoro ed energia 21 ottobre 2016 1 / 16

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Il lavoro svolto da una forza F e definito dal seguente prodottoscalare:L = (W) = ~F · ~∆s = F∆scosθ = (Fcosθ)∆s = Fs∆sovvero il lavoro e pari al prodotto della componente della forzanella direzione dello spostamento, moltiplicato per lospostamento stesso.

Dalla definizione se una forza e perpendicolare allospostamento il lavoro risulta nullo.

F

s

sFθ


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4.4 Lavorocompiuto daforze variabili

4.4 Lavoro compiuto da forze variabili

Tale definizione comporta che il lavoro ha un segno:se l’angolo θ tra la forza e lo spostamento e θ ≤ 90◦ il lavoro epositivo altrimenti sara negativo; in quest’ultimo caso lacomponente della forza nella direzione dello spostamento e diconseguenza opposto allo spostamento stesso.


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Tale definizione comporta che il lavoro ha un segno:se l’angolo θ tra la forza e lo spostamento e θ ≤ 90◦ il lavoro epositivo altrimenti sara negativo; in quest’ultimo caso lacomponente della forza nella direzione dello spostamento e diconseguenza opposto allo spostamento stesso.Unita di misura: per il lavoro si usa il Joule e 1 Joule = 1Newton · 1m ed e la stessa unita di misura dell’energia.


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Lavoro compiuto da forze variabiliTEORIA

Tale definizione comporta che il lavoro ha un segno:se l’angolo θ tra la forza e lo spostamento e θ ≤ 90◦ il lavoro epositivo altrimenti sara negativo; in quest’ultimo caso lacomponente della forza nella direzione dello spostamento e diconseguenza opposto allo spostamento stesso.Unita di misura: per il lavoro si usa il Joule e 1 Joule = 1Newton · 1m ed e la stessa unita di misura dell’energia.

Lavoro compiuto da forze variabili (lungo il percorso)

Estendiamo la definizione usando gli integrali Se lospostamento e diretto lungo x si ha:L =

∫ xfxi

Fxdx e il lavoro compiuto in uno spostamento sull’assex.


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∫ xfxi


In generale per una forza ed uno spostamento con qualunquedirezione si ottiene che se la forza e un integrale di linea∫ BA~F · ~ds per cui scomponendo si ha ~F = Fxi+ Fyj+ Fzk per

calcolare il lavoro dobbiamo prima considerare lo spostamentoinfinitesimo ~ds = dx i+ dy j+ dz k


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∫ xfxi



calcolare il lavoro dobbiamo prima considerare lo spostamentoinfinitesimo ~ds = dx i+ dy j+ dz k di conseguenza il lavoroinfinitesimo edL = ~F ·~ds = Fxdx+ Fydy + Fzdz. Possiamo ricondurre ilcaso generico ad una somma di 3 integrali:


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calcolare il lavoro dobbiamo prima considerare lo spostamentoinfinitesimo ~ds = dx i+ dy j+ dz k di conseguenza il lavoroinfinitesimo edL = ~F ·~ds = Fxdx+ Fydy + Fzdz. Possiamo ricondurre ilcaso generico ad una somma di 3 integrali:L =

∫ rfridL =

∫ xfxi

Fxdx+∫ yfyi

Fydy +∫ zfzi

Fzdz

(~ri = xii+ yij+ zik e ~rf = xf i+ yf j+ zf k sono i vettoriposizione iniziale e finale)


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(4.2) Lavorodella forzapeso

(4.3) Lavorosvolto da unamolla


di conseguenza il lavoro infinitesimo edL = ~F ·~ds = Fxdx+ Fydy + Fzdz. Possiamo ricondurre ilcaso generico ad una somma di 3 integrali:L =

∫ rfridL =

∫ xfxi

Fxdx+∫ yfyi

Fydy +∫ zfzi

Fzdz

(~ri = xii+ yij+ zik e ~rf = xf i+ yf j+ zf k sono i vettoriposizione iniziale e finale)Il lavoro e additivo, ovvero il lavoro e pari alla somma deilavori delle singole forze agenti.Vediamo alcune applicazioni:


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(4.2) Lavoro della forza peso

Calcoliamo il lavoro per uno spostamento generico:

L =

∫ B

A

~F · ~ds =∫ B

A

∫

(−mg )j · ~ds =

−mg

∫ yB

yA

dy = mg(yA − yB)

Il lavoro della forza peso dipende solo dal dislivello (nondipende dal percorso)


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(4.3) Lavoro svolto da una molla

Le molle seguono la legge di Hooke F=-kx che descrive adesempio il caso di una molla che si puo muovere lungo l’asse x.Il lavoro necessario a spostare una molla dalla sua posizione diriposo (che assumiamo essere x=0) e

L =

∫ B

A(Fel)ux ~ds =

∫ xf

xi

(−kx)dx =

−1

2kx2|xfxi = −1

2k(x2f − x2i )


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4.1 - Teoremadel lavoro edell’energiacinetica

4.1 - Teorema del lavoro e dell’energiacinetica

Definiamo come Energia Cinetica la forma di energiaconnessa allo stato di moto di un corpo e si definisce comeK = (Ek) =

12mv2 e si misura anch’essa in Joule.

Il teorema stabilisce che L= ∆Ek = Ek,f − Ek,i ovvero che illavoro compiuto da una forza comporta una variazione dienergia cinetica. Questa espressione permette di definire anchel’energia (in generale) come la capacita di un corpo acompiere un lavoro.


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Definiamo come Energia Cinetica la forma di energiaconnessa allo stato di moto di un corpo e si definisce comeK = (Ek) =

12mv2 e si misura anch’essa in Joule.

Il teorema stabilisce che L= ∆Ek = Ek,f − Ek,i ovvero che illavoro compiuto da una forza comporta una variazione dienergia cinetica. Questa espressione permette di definire anchel’energia (in generale) come la capacita di un corpo acompiere un lavoro.La definizione generale del lavoro (per comodita considero solouno spostamento lungo x) e : L =

∫

xf

xiFx(x)dx e Fx = max ⇒

L =∫

xf

ximaxdx

esplicitiamo la funzione integranda:


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La definizione generale del lavoro (per comodita considero solouno spostamento lungo x) e : L =

∫

xf


L =∫

xf

ximaxdx


maxdx = mdvxdt

dx = mdvxdx

dx

dtdx =

= mvxdvxdx

dx = mvxdvx


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La definizione generale del lavoro (per comodita considero solouno spostamento lungo x) e : L =

∫

xf


L =∫

xf

ximaxdx


maxdx = mdvxdt

dx = mdvxdx

dx

dtdx =

= mvxdvxdx

dx = mvxdvx

avendo usato le regole di derivazione delle funzioni composte.Quindi si ottieneL =

∫ xfxi

Fx(x)dx =∫ vx,fvx,i

mvxdvx = [12mv2x ]vx,fvx,i

Se teniamo conto anche delle altre componenti risultera quindiL = 1

2mv2f − 12mv2i = ∆Ek = ∆K

Di conseguenza il teorema si puo applicare in qualunquesituazione (ad esempio quando F ed a sono variabili).Nicola Giglietto (Politecnico di Bari) Lavoro ed energia 21 ottobre 2016 5 / 16

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maxdx = mdvxdt

dx = mdvxdx

dx

dtdx =

= mvxdvxdx

dx = mvxdvx


∫ xfxi




2mv2f − 12mv2i = ∆Ek = ∆K

Di conseguenza il teorema si puo applicare in qualunquesituazione (ad esempio quando F ed a sono variabili).Pertanto abbiamo dimostrato il teorema, che stabilisce chel’energia cinetica aumenta se il lavoro e positivo o diminuisce seil lavoro e negativo.Nicola Giglietto (Politecnico di Bari) Lavoro ed energia 21 ottobre 2016 5 / 16

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Lavoro svoltoda unagenerica forzain 3d



Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio



∫ xfxi




2mv2f − 12mv2i = ∆Ek = ∆K

Di conseguenza il teorema si puo applicare in qualunquesituazione (ad esempio quando F ed a sono variabili).Pertanto abbiamo dimostrato il teorema, che stabilisce chel’energia cinetica aumenta se il lavoro e positivo o diminuisce seil lavoro e negativo.In altre parole possiamo anche dire che l’energia cinetica epari al lavoro necessario a portare alla velocita v un corpoinizialmente fermo o il lavoro cambiato di segno perfermare un corpo di massa m in moto con velocita v.


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio

Potenza

Definiamo come Potenza la rapidita con la quale vienesviluppato un lavoro nel tempo ovvero in termini matematici:P =< P >= ∆L

∆t(Potenza media)

P = dLdt

(Potenza istantanea)La potenza si misura in Watt (W): 1W=1J/1sDalla stessa definizione e possibile dare una unita di misuraalternativa per l’energia: L =< P > ∆t ⇒ Watt x secondi =Joule (energia) ad esempio:1 wattora (1 watt · 1 hr) = 1 W · 3600 s= 3600 J eanalogamente per i multipli.

Legame Potenza-Forza

P = dLdt

= ddt(~F · ~ds) = ~F · d~s

dt= ~F ·~v (per F costante)


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio

Verifiche

Quale affermazione delle seguenti e l’unica corretta?

1 Il lavoro e dato dal prodotto vettoriale di ~F e ~s

2 Il lavoro e Fs, con F forza e s spostamento

3 Un lavoro positivo fa aumentare l’energia cinetica

4 Il lavoro non e mai negativo


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio

Verifiche

Quale affermazione delle seguenti e l’unica corretta?

1 Il lavoro e dato dal prodotto vettoriale di ~F e ~s

2 Il lavoro e Fs, con F forza e s spostamento

3 Un lavoro positivo fa aumentare l’energia cinetica

4 Il lavoro non e mai negativoLa 3) e quella giusta


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio

Esercizio

Una cassa di M=15 Kg e trascinata in salita su una pianorampa liscia a velocita costante, per una distanza d= 5.7 m efino ad una altezza h=2.5 m rispetto al punto di partenza, edinfine si arresta. Calcolare:

1 il lavoro svolto dalla forza peso;

2 il lavoro della tensione T della fune usata.


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio

Esercizio

Una cassa di M=15 Kg e trascinata in salita su una pianorampa liscia a velocita costante, per una distanza d= 5.7 m efino ad una altezza h=2.5 m rispetto al punto di partenza, edinfine si arresta. Calcolare:



Soluzione: 1) la forza peso e costante quindi il lavoro e dato daL = ~P ·~d = mgcos(90◦ + θ)d = −mgsinθd e θ e l’inclinazionedella rampa rispetto all’orizzonte data anche da sinθ = h

d

quindi


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio

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Calcolare:




d

quindi L = −mgd hd= −15Kg9.8m/s2 · 2.5m = −368J


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio


d


2) La tensione della fune T non e nota quindi non possiamosapere se e una forza costante a meno che non risolviamo ladinamica del sistema (quindi fare il bilancio delle forze ecc.)Tuttavia possiamo usare il teorema del lavoro e dell’energianella forma generica e applicata a tutte le forze agenti:


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio


d


2) La tensione della fune T non e nota quindi non possiamosapere se e una forza costante a meno che non risolviamo ladinamica del sistema (quindi fare il bilancio delle forze ecc.)Tuttavia possiamo usare il teorema del lavoro e dell’energianella forma generica e applicata a tutte le forze agenti:L = ∆Ek = 0 perche il corpo parte da fermo e si ferma alla fine.L =

∫

(~P+ ~T+ ~N) · ~ds = LP + LN + LT


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio

L = −mgd hd= −15Kg9.8m/s2 · 2.5m = −368J

2) La tensione della fune T non e nota quindi non possiamosapere se e una forza costante a meno che non risolviamo ladinamica del sistema (quindi fare il bilancio delle forze ecc.)Tuttavia possiamo usare il teorema del lavoro e dell’energianella forma generica e applicata a tutte le forze agenti:L = ∆Ek = 0 perche il corpo parte da fermo e si ferma alla fine.L =

∫

(~P+ ~T+ ~N) · ~ds = LP + LN + LTIl primo termine e gia noto, N e la reazione normale del pianoche essendo normale e perpendicolare allo spostamento che eparallelo al piano. Quindi LN = 0 ed in definitivaLP + LT = 0 ⇒ LT = −LP = +368J


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

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Problema 7.8

Un blocco di massa M=0.4 Kg scivola, con velocita costantev=0.5 m/s, su un piano orizzontale privo di attrito. Il blocco siarresta comprimendo una molla collocata sul suo percorso. Sela costante elastica e k=750 N/m di quanto viene compressa lamolla?

Il lavoro per comprimere una molla eL =

∫ xfxi

F (x)dx =∫ xfxi(−kx)dx = −1

2k(x2f − x2i ) e nel nostro

caso xi = 0 e la posizione a riposo della molla e xf e laposizione finale ignota. Applichiamo il teoremaL = ∆K = −1

2kx2f e per l’en. cinetica ∆Ek = 1

2(Mv2f −Mv2i ).La velocita finale e vf = 0 quindi −1

2kx2f = −1

2Mv2i da cui

x2f =Mv2

i

k⇒ xf =

√

Mkvi = 1.2cm.


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

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Problema 7.17

Un elicottero recupera un uomo di massa M=72 Kg,sollevandolo di 15 m, con una accelerazione pari a 0.1g.Calcolare il lavoro fatto sull’uomo:

a) dall’elicottero;

b) dalla forza peso;

c) la velocita e l’energia cinetica dell’uomo un attimo primadi entrare nell’elicottero.

Durante la salita si ha T−Mg = Ma il lavoro fattodall’elicottero e il lavoro fatto dalla tensione della funeW = L =

∫ h

0 Tdxricavando T dall’eq. della dinamicaT = M(g + a) = 72(1 + 0.1)g = 79.2 · g N ⇒Lel = T · h = 79.2 · 9.8 · 15 J = 1.2 · 104 J

LP = −Mgh = −1.1 · 104 J

Ltot = Lel + LP = ∆Ek =12Mv2f ⇒

Ltot = 0.1 · 104 J e vf =√

2Ltot

M= 5.4 m/s


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio

Un blocco di massa M e tirato da fermo da una forza F.Considerando che M=6Kg e F=12N, calcolare la velocitadel blocco dopo aver percorso un tratto di s=3m, sia nelcaso del piano liscio che il caso del piano scabro, conµd = 0.15.Nel caso il piano sia liscio e senza attrito possiamo utilizzare ilteor. lavoro-en.cinetica dal momento che si vuole sapere solo lavelocita finale (cambiava totalmente la risoluzione se si volevaconoscere il tempo impiegato):il lavoro complessivo e L = (~F+ ~N+ ~P) ·~s ma ~N e ~P sono ⊥ a~s quindi risultera L = Fs = ∆Ek e poiche vi = 0 allora si haFs = 1

2Mv2f da cui ricaviamo v2f = 2FsM

= 2·12·36 m2/s2 per cui

vf =√12m/s = 3.5m/s


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio

Nel secondo caso agisce anche la forza di attrito che risultaessere costante e pari a Fa = µdN = µdMg ed il lavoro totale eL = (F − Fa)s = Fs − µdNs = Fs − µdMgs con il segno menoche nasce dal fatto che la forza di attrito ha verso opposto allospostamento.In realta tutte le forze di attrito producono lavori negativi inquanto oppongono resistenza al moto e tendono a ridurrel’energia cinetica.Facciamo i conti: Fa = 0.15 · 6 · 9.8N = 8.82N quindiL = (F − Fa)s = (12− 8.82) · 3J = ∆Ek ⇒v2f = 2(F−Fa)s

M= 3.18m2/s2 ⇒ vf = 1.8m/s


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio

Esercizio 22P

Un blocco di 250 Kg e lasciato cadere su una molla verticale

avente costante elastica k=2.5N/cm. Il blocco rimane

poggiato sulla molla che si comprime di 12 cm prima di

fermarsi. Durante la compressione quale lavoro viene svolto (a)

dalla molla, (b) dalla forza di gravita (c) qual’era la velocita del

blocco al momento dell’urto con la molla? (d) raddoppiando la

velocita quanto diventa la compressione della molla?

k = 2.5 N/cm = 250 N/ma) Lavoro molla:L = −1

2k(x2f − x2i ) = −1

2kx2 = −125 · (0.12)2 J

b) Lavoro gravita’ L = mgh > 0 non sapendo h possiamo usareil teorema lav-en. cinetica: L = Lp + Lm = 0


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

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Esercizio 7.31 (ed.VI)

La cabina di un montacarichi a pieno carico ha una massa

complessiva di 1200 kg e deve salire di 54 m in 3 min. Il

contrappeso ha una massa di 950 kg. Supponendo il

movimento a velocita costante trovare la potenza richiesta al

motore quando il cavo solleva la cabina.

Complessivamente se la cabina sale (lavoro negativo), ilcontrappeso scende (lavoro positivo) e si ha cheLM −Mg · 54+mg · 54 = 0 (non varia l’en. cintetica) per cui illavoro del motore e LM = (1200− 950) · 9, 8 · 54 = 132.3 kJ lapotenza e L

∆t= 132300

180 = 735 W


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

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Esercizio 7.46 (ed VI)

Una cassa di massa 230 kg e sospesa tramite una fune lunga12,0 m. Spingendo orizzontalmente sulla cassa con una forza Fvariabile, la spostiamo di 4 m sul piano orizzontale.

1 a) Qual’e l’intensita della forza nella posizione finale?

2 b) Qual’e il lavoro totale fatto sulla cassa?

3 c) Qual’e il lavoro fatto dalla sola peso e dalla fune?


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

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Per i punti b) e c) tenere conto che all’inizio e alla fine la cassae ferma.Nella posizione finale abbiamo una situazione di equilibrio ildiagramma delle forze ci suggerisce le seguenti equazioni: x:F− T sin θ = 0 e y: +T cos θ −Mg = 0


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio






Per i punti b) e c) tenere conto che all’inizio e alla fine la cassae ferma.Nella posizione finale abbiamo una situazione di equilibrio ildiagramma delle forze ci suggerisce le seguenti equazioni: x:F− T sin θ = 0 e y: +T cos θ −Mg = 0 pertanto T = Mg

cos θ e

F = T sin θ = Mg tan θ e tan θ = dLper cui

F = 230 · 9, 8 412 = 751, 3 N


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Potenza

Potenza

Potenza

Esercizio

Esercizio

Esercizio


Per i punti b) e c) tenere conto che all’inizio e alla fine la cassae ferma.Nella posizione finale abbiamo una situazione di equilibrio ildiagramma delle forze ci suggerisce le seguenti equazioni: x:F− T sin θ = 0 e y: +T cos θ −Mg = 0 pertanto T = Mg

cos θ e

F = T sin θ = Mg tan θ e tan θ = dLper cui

F = 230 · 9, 8 412 = 751, 3 N

b) Il teorema del lavoro-en.cinetica ci dice cheL = LF +LP +LT = ∆Ek = 0 pertanto il lavoro totale e nulloinoltre LP = M~g · ~d = 0 (perche . . . ) e LF = ~F · ~d = F · d =


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