Lavoro ed energia

Lavoro di una forza Teorema dell’energia cinetica

Forze conservative Conservazione dell’energia

1)  v=v0+a(t-t0)

2)  s=s0+v0(t-t0)+½a(t-t0)2

s=s0 + v0 (v - v0) /a + ½ (v - v0)2 / a

s=s0 + (2 v0 v – 2 v0 2 + v2 – 2 v0 v + v0

2)/2 a

3) s – s0 = (v2 – v02)/2a a(s – s0)=1/2(v2 – v0

2)

Moto uniformemente accelerato

h(t) = h0 – ½ g t2

Caduta di un grave

Consideriamo una forza F applicata ad un punto

materiale P che si sposti di una quantità s lungo una

traiettoria rettilinea.

Lavoro di una forza

Si definisce lavoro compiuto dalla forza F che sposta il

suo punto di applicazione di una quantità s, il prodotto

scalare:

L = F·s=F s cos θ  

θ  

F  

s  P  

Casi particolari

•  L è massimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e concordi: L = F s cos 0 = F s •  L è nullo nel caso in cui forza e spostamento siano perpendicolari: L = F s cos π/2 = 0

•  L è minimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e discordi: L = F s cos π = - F s

È  la  componente  della  forza  lungo  lo  spostamento  l’unica  a  compiere  lavoro!  

Lavoro per un percorso generico

L = L1+L2+L3 + … = Σi Li

Unità di misura del lavoro

Nel SI il lavoro si misura in Joule:

1 J=1 N · m

Nel CGS si misura in erg:

1 erg = 1 dina · cm.

Ne consegue che:

1 J = 1 N · m = 105 dine·102 cm = 107 erg

Esempio

Non è semplice definire il concetto di energia.

L’energia cinetica è una forma particolare di energia. Esprime l’energia che un corpo

possiede per il fatto che si muove.

In generale per energia si intende la capacità di un corpo o di un sistema di compiere lavoro.

Trattandosi di una grandezza omogenea al

lavoro, si misura in J nel SI e in erg nel CGS.

Concetto di energia

Dato una particella di massa m e velocità v, si definisce energia cinetica la quantità scalare:

K = ½mv2

Secondo il teorema dell’energia cinetica o delle forze vive il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su una particella che si muove di moto

accelerato è uguale alla variazione di energia cinetica:

L = Kf - Ki = ½ mvf2 - ½ mvi

2

Teorema dell’energia cinetica

L = FΔs = mavmΔt = = m(vf-vi/Δt)(vf+vi/2)Δt =

= ½ m(vf-vi)(vf+vi) = = ½ mvf

2 - ½ mvi2 = Kf – Ki

Diretta conseguenza della 2a legge della dinamica.

Teorema dell’energia cinetica derivazione

Lavoro di una forza variabile

m=15 Kg h=10 m θ1=π/3 d1=20 m L1=? θ2=π/6 d2=11.55 m L2= ?

Quando si trasporta qualcosa ad un’altezza h si deve compiere lavoro contro la forza di gravità L = F d cos θ d cosθ = h Non importa il percorso compiuto ma solo il dislivello!

θ2=π/6  θ1=π/3  

Esempio/problema

Mentre su un punto materiale agisce una forza il punto può percorrere traiettorie molto complicate.

Il lavoro L dipende in generale da A, da B e dal percorso scelto per andare da A a B.

Per le forze conservative, L dipende dai soli punti iniziali e finali e non dalla traiettoria seguita.

 

Forze conservative

Forze conservative

Energia potenziale

Per le forze conservative è possibile introdurre una grandezza scalare, che dipende dalla posizione,

l’energia potenziale U, tale che:

L = Ui - Uf = - ΔU (teorema dell’energia potenziale)

L’energia potenziale o posizionale di un corpo

rappresenta l’energia che questo possiede in virtù della sua posizione sotto l’azione di una forza di tipo

conservativo.

Tale energia è potenzialmente convertibile in altre forme di energia (cinetica, calore, ecc.).

Supponiamo che su un corpo agiscano esclusivamente delle forze conservative.

Per il teorema dell’energia cinetica: L = ΔK

Dalla definizione di energia potenziale: L = -ΔU

Per cui: -ΔU = ΔK cioè ΔU+ΔK = 0

Se indichiamo con E l’energia meccanica totale del corpo, la precedente relazione diventa ΔE = 0

Principio di conservazione dell’energia (meccanica):

L’energia si può trasformare da una forma all’altra ma l’energia totale di un sistema si conserva

Non è dimostrabile ma al momento non ci sono casi in cui l’energia non si sia conservata

Vale per tutte le forme di energia!

Conservazione dell’energia meccanica

La forza di gravità è una forza conservativa, ad essa è associata una energia potenziale pari a U = m g h E’ l’energia che il corpo possiede per il fatto che si trova ad una certa quota h. Energia meccanica del sistema: ½ mv2+ m g h = costante

Energia potenziale gravitazionale

h=70 m m= 1 kg a=g=9.8 m/s2

v0= 0 m/s vfinale=?

Esercizio

Il lavoro fatto si è trasformato in energia cinetica del corpo? U=mgh=1Kg*9.8 m/s2*70 m=686 J

h=70 m m= 1 kg a=g=9.8 m/s2

v0= 0 m/s vfinale=? s(t)=1/2 a t2

s(tfinale)=1/2 g t2finale= h=70 m

sssght finale 78.3

8.91402

===

v = a t = 9.8*3.78 m/s=37.04 m/s

K=1/2 m v2=0.5 * 1 Kg * 37.042 m2/s2= 686 J

Esercizio

h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo

Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande o piccola?

Esercizio

h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo U=mgh=70 Kg*9.8m/s2*6m = 4116 J Principio di conservazione K = U = 4116 J = ½ m v2

=> v=10.8 m/s=39 km/h

€

v =4116 × 270

m /s

Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande o piccola? La stessa!

ghm

mghv 22=

×=

Esercizio

Energia potenziale elastica

Per una forza di natura elastica

esiste una proporzionalità

diretta fra deformazione e

forza deformante: F = k x

(legge di Hooke).

La forza elastica è una forza

conservativa a cui è associata

l’energia potenziale

U = ½ k x2.

La potenza esprime la rapidità con cui un lavoro viene compiuto. E’ definita come il rapporto fra il lavoro

compiuto e l’intervallo di tempo impiegato:

P = ΔL/Δt Potenza istantanea P = dL/dt = dK/dt = mv dv/dt =

= ma v = F�v

Nel SI si misura in Watt (simbolo W): 1 W = 1 J /s. Nel CGS in erg/s. Da cui:

1 W = 1 J/s = 107 erg/s

Il chilowattora (kWh) è un’unità di misura di energia: 1 kWh = 103 W 3.6 103 s = 3.6 106 J

Potenza

Un  atleta  di  60  Kg  sale  una  rampa  di  scale  alta  4.5  m  in  4.0  s  

Quanto  lavoro  compie?  Quanta  potenza  ha  impiegato?  

Esercizio

Un  atleta  di  60  Kg  sale  una  rampa  di  scale  alta  4.5  m  in  4.0  s  

Quanto  lavoro  compie?  Quanta  potenza  ha  impiegato?  

L=mgh=60  Kg*9.8  m/s2*4.5  m=2646  J  W=L/Δt=2646  J  /  4  s  =  661.5  W  

Cavallo  vapore=  potenza  per  sollevare  75  Kg  per  1  metro  in  1  secondo  

1  cavallo-­‐vapore=mgh/s=75*9.8  Js=735  W  In  Inghilterra  746  W!

Esercizio