“Lavoro” compiuto da una forza :

U.Gasparini, Fisica I 1

v(t 1)

v(t2 )v(t3)

Fds

lavoro infinitesimo : dW F ds Fds

cos

m

A

B

lavoro da A a B : W dW F dsAB

A

B

A

B

unità di misura del lavoro (S.I.): [W]= N m Joule

Esempio:lavoro della forza d’attrito dinamico:

A B

v

s

Fattr =-Dmgux

B

A

attrattrAB sdFW

D x AB D ABmgu s mg s

x

ux

“Lavoro” compiuto da una forza :


A

B

zzA

zB

ds

mg

ds

mg

mg ds mgds mgdz cos

dz

dscos

W mg ds mg dz mg z zAB

A

B

A

B

A B

( )

lavoro indipendente dal cammino percorso:

(I)(III)

(II)

W(I)AB = W(II)

AB = W(III)AB

la forza peso é un esempio di “forza conservativa”

Lavoro della forza peso:


lavoro compiuto per unità di tempo ad un dato istante:

P tdW t

dt( )

( )

Unità di misura (S.I.) :[P] = [W] / [t] = J / s W (“Watt”)

Se F è una forza applicata ad un punto materiale in moto con velocità v,la potenza sviluppata dalla forza F è:

P tF t ds

dtF t v t( )

( )( ) ( )

Potenza media:

lavoro compiuto in un dato tempo diviso il tempo impiegato.Altre unità di misura di uso pratico:

PW

t

Lavoro: KWh KW s J 1 3600 36 106. “chilowattora”

Potenza: h p W. . .745 7 “cavallo vapore”

Potenza istantanea:


E’ definito quando in ogni punto di una data regione dello spazio è definito un vettore,ossia siano date tre funzioni dei punti dello spazio, in generale indipendenti, che rappresentino le componenti (ad es. cartesiane) di un vettore.Esempio: campo vettoriale delle velocità delle particelle di un fluido in moto.

“Campo di forza”:campo vettoriale che rappresenta, in ogni punto dello spazio in cui è definito, la forza cui un punto materiale è soggetto quando si trova in quel punto introduzione del concetto di “azione a distanza”

In situazioni “statiche” ( sorgenti della forza indipendenti dal tempo) è un utile strumento matematico; in situazioni dinamiche (sorgenti della forza in moto), è indispensabile per la decrizione descrive.

Campo vettoriale


Campo di forza per il quale il lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso sia nullo :

F r ds( ) 0

per qualsiasi curva chiusa

r

F( r )

ds

o, equivalentemente:

F ds F ds

A

B

A

B

1 2

per qualsiasi coppia di punti A,Be per qualsiasi percorsoche li congiunge

A B

Campo di forza conservativo


“Energia cinetica” di un punto materiale di massa m e velocità v :

E mvk 1

22

Per un punto materiale in moto da un punto A ad punto B sotto l’azione di una forza risultante F vale il teorema dell’energia cinetica :

( dimensioni: E kgm s mkgms mN Jk 2 2 2)

E E E W F dsk kB

kA

A B

A

B

A

BvA

vB

F

m

E mvkA

A1

22

E mvkB

B1

22

Energia cinetica


W F ds ma ds ma dsA B

A

B

A

B

T

A

B

aaN

aT

ds

dv t

dt

( )

dv t

dt

dv t

dtu

vuT N

( ) ( ) 2

mdv t

dtds m

dv s t

dtds m

dv s

ds

ds t

dtds

( ) ( ( )) ( ) ( )

mvdv s

dsds mvdv mv mv E E

A

B

B A kB

kA( ) 1

2

1

22 2

s(t)

A

B

Teorema dell’ energia cinetica


dalla legge di Newton: a

x

0

lcondizioni iniziali:x v0 00 0 ,

ad x t

dtg

2

2

( )sin

Integrando l’equazione del moto:

v t g t

x t g t x t tgf f

( ) sin

( ) sin , ( )sin

1

2

22

Utilizzando il teorema dell’energia cinetica, si giunge allo stesso risultato:

E E E mv W mgk kf

ki

f i f 1

22 sin

= 0

lavoro della forza peso

v v t g t gf f f ( ) sin sin 2

v gf 2 sin

la reazione vincolare non compie lavoro

mg

Esempio: moto lungo un piano inclinato privo d’attrito


Per un campo di forza conservativo, si definisce “energia potenziale” quella funzione dei punti dello spazio tale che la sua differenza tra due qualsiasi punti A, B sia uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza del campo per andare da A a B (lungo un qualsiasi percorso):

E r E r E r W F r dspAB

p B p A A B

A

B

( ) ( ) ( ) ( )

ossia: E r E r W E r F r dsp B p A A B p A

A

B

( ) ( ) ( ) ( )

l’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria ( al valore ad essa convenzionalmente assegnato in un punto arbitrario)

F( r )

rA

E E x y zpA

p A A A ( , , )

E E x y z E x y zpB

p B B B p A A A ( , , ) ( , , )

[ ( , , ) ( , , )F x y z dx F x y z dyx

A

B

y

F x y z dzz ( , , ) ]

F x y z u F x y z u

F x y z u

x x y y

z z

( , , ) ( , , )

( , , )

oux

uy

uz

Energia potenziale

rB

AB


E r v E E rM k p( , ) ( )

Principio di conservazione dell’energia meccanica :nel moto di un corpo in un campo di forze conservativo, l’energia meccanica è costante :

E E E EkA

pA

kB

pB

per due punti qualsiasi

A,B della traiettoria :

E E W E E EkB

kA

A B p pA

pB

Infatti:

teorema dell’ energia cinetica

definizione dienergia potenziale

Energia meccanica

E’ la somma dell’ energia cinetica e dell’ energia potenziale :


zA

Bmg

U U U mg ds mgdz mg z zB A

A

B

B A

A

B

( )

U U mg z zB A B A ( )

OIl punto A può essere scelto nell’origine: A O

zA 0 U U mgzB O B

Posto :UO 0. U U z mgzB B B( )

ossia, per il generico punto P di coordinata z :

U z mgz( )

zA

zB

U U mg z zA O A O ( )[ ovvero, considerando il percorso OA:

U U mg z z mg z z U mg z zB O A O B A O B O( ) ( ) ( )]

Esempio: energia potenziale della forza peso:


z

x

v0

mg

v

h

E mv mgh E mvMi

Mf

1

2

1

202 2

v v gh202 2

[ dall’equazione del moto si giunge allo stesso risultato:

v t v

v t v gtx x

z z

( )

( )

0

0

z t h v t gtz( ) 021

2

z t t v v hg gf f f f( ) /

0 20 0

2

v v gt v v v hg v hgz f z f z z z z

0 0 0 0

2022 2

v v v v v gh v ghf xf zf x z2 2 2

02

02

022 2 ]

Esempio: conservazione dell’energia meccanica nel moto di un corpo sotto l’azione della forza peso.


F x kxux( )

“costante elastica”: [k] = N / m

(il comportamento “elastico” dei materiali, cioè per deformazioni riproducibili che non inducono modificazioni irreversibili della struttura, è descritto da una legge di questo tipo, detta “legge di Hooke”)

Lavoro:

W F x ds kxdx kx k x xx

x

12

1

2

1

2

212

221

2

1

21

2

( ) ( )

Energia potenziale:E E x E x W k x xp p p ( ) ( ) ( )2 1 12 2

2121

2

E x E x k x xp p( ) ( ) ( ) 12

121

2

Scelto x 10. e posto E xp ( .) . 0 0 E x kxp ( ) 1

22

0.x

ux

F x kxux( )

Lavoro ed energia potenziale di una “forza elastica”

Forza elastica:

U.Gasparini, Fisica I

In presenza di forze sia conservative che non conservative ( o “dissipative”) , vale l’equazione del “bilancio energetico”:

E r v E E r WM k p NC( , ) ( ( ))

energia potenzialeassociata alle forzeconservative presenti

lavoro compiutodalle forze non conservativeInfatti:

E E W W W E E Wkf

ki tot

Cons NC pf

pi

NC . ( )

E E E E Wkf

pf

ki

pi

NC ( )Esempio: moto lungo un piano scabro

Fattr

mg

z

0

E mv mgzMi

i i 1

22

E mvMf

f1

22

zi W F

mgNC att

D

cosl

1

2

1

22 2mv mv mgzf i i

1

2

1

22 2mv mv mgz mgf i i D cos

Bilancio energetico


La relazione che definisce l’energia potenziale di un campo di forza conservativo:

E r F r dspAB

A

B

( ) ( )

può essere invertita, introducendo il concetto di “gradiente” di una funzione scalare:

data una funzione scalare V ( r ) = V(x,y,z) , si definisce il “gradiente di V”il vettore , indicato con V, tale che per qualsiasi spostamentoinfinitesimo dr risulti:

V dr dV V r dr V r( ) ( )

V

dV

drcos

V dr dVcos

Vdr

P

P’V r( )

V r dr( )

Gradiente di una funzione scalare

Il prodotto scalare del vettoregradiente di V nel punto r con il vettore dr èuguale alla variazione infinitesima della funzione V( r ) tra il punto r e il punto r+dr


dV

dr

V r r V r

rV V

r

lim

( ) ( )cos

0

La “derivata direzionale”(limite della variazione per unità di spostamento della funzione V( r ) lungo la direzione r ):

é massima (cos = 1 ) quando dr é diretto lungo la direzione del gradiente di V

il gradiente di V é un vettore diretto lungo la direzione di massima variazione (per unità di spostamento) della funzione V( r );il suo modulo é uguale al valore della derivatadirezionale di V( r ) lungo tale direzione; il verso è quello in direzione dei valori crescenti di V

Superficia egual valori di V

V( r ) = V1

V( r ) = V2

dr1

dr2

dV V VdV

drdr

dV

drdr 2 1

11

22

dV

dr

dV

dr1 2

V

Gradiente di una funzione scalare (II)


In uno spazio bidimensionale (per es.: V(x,y)= h altezza del suolo s.l.m.)

V(x,y)

x

y100

300

y

x

V

V

V

400

200

Esempio: gradiente di una funzione scalare V(x,y)

curve di egual livelloV=100

V=300V=200V=400

Il gradiente di V in ogni punto P è diretto perpendicolarmente alle curve di egual livello(ossia lungo la direione di massima pendenza del terreno)

P1

P3P2


V dr dV V r dr V r( ) ( )

dV V r dr V r

V x dx y dy z dz V x y z

V x y z

xdx

V x y z

ydy

V x y z

xdz

( ) ( )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

lim

( , , ) ( , , ) x

V x dx y z V x y z

x0

Dalla definizione di gradiente:

Per una funzione V( r ) = V(x,y,z) :

“derivate parziali”

V dr V dx V dy V dz dV

x y z

VV x y z

x

VV x y z

y

VV x y z

z

x

y

z

( , , )

( , , )

( , , )

Rappresentazione del gradiente in coordinate cartesiane

rappresentazione delvettore gradiente in coordinatecartesiane ortogonali


Per una funzione V( r ) = V(r,) :

dVV r

rdr

V rd

V rd

( , , ) ( , , ) ( , , )

lo spostamento dr ha componenti polari:

dr dru rd u r d ur sin

P=( r, P’=( r+dr, +d, +d

ur

u

u

dr

r

xy

z

r sin

V dr V dr V rd V r d dV

r sin

V

V

rr

, V

r

V

1

sin V

r

V

1,

dalla definzione di gradiente:

Rappresentazione del gradiente in coordinate polari

dd


dE r F r dsp ( ) ( ) Dalla definizione di

energia potenziale:

E

xdx

E

ydy

E

zdz F dx F dy F dz

p p px y z ( )

F x y zE x y z

xxp

( , , )( , , )

F x y zE x y z

yyp

( , , )( , , )

F x y zE x y z

zzp

( , , )( , , )

F r E rp( ) ( )

Esempio: dall’energia potenziale della forza peso : E x y z mgz cp ( , , )

F x y zE

xxp

( , , )

0

F x y zE

yyp

( , , )

0

F x y zE

zmgz

p( , , )

F mg ( , , )0 0

Forza : gradiente dell’energia potenziale


luogo dei punti dello spazio aventi lo stessovalore dell’ energia potenzialeE x y zp ( , , )

costante

xy

z

E Fp

ds per uno spostamento ds lungo la superficie,per definizione:

dE p 0

dE E dsp p

0 E dsp

Il vettore: E Fp

è in ogni punto dello spazio perpendicolare alla superficie equipotenzialepassante per quel punto.

Esempio: superfici equipotenziali della forza peso

mg

EP = - mg E z mgzp ( ) = costante

x

z

y

Superficie equipotenziale

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