Lavoro di una forza Lavoro di una forza Una forza compie lavoro quando sposta il suo punto di applicazione. Si definisce lavoro compiuto dalla forza il PRODOTTO SCALARE della forza per lo spostamento.

s

F

sA B

F

Ricorda che il prodotto scalare è un’operazione vettoriale che associa a due vettori un NUMERO ovvero una quantità scalare

θcosFssFL BA

Distinguiamo 3 casi:

1) <90° → L>0F

s

2) =90° → L=0 F

s

3) >90° → L<0 F

s

Dimensioni Fisiche

[L] = [F] [L] = [M] [a] [L] =[L2] [M] [T-2]

Unità di misura[SI] joule (J) 1 J ≡ 1 N.m[CGS] erg 1 erg ≡ 1 dina.cm

Fattore di ragguaglio1 J= 107 erg

Dimensioni fisiche e unità di misuraDimensioni fisiche e unità di misura

EnergiaEnergia

Energia ≡ capacità di un corpo di produrre lavoro.

2C mv

21

E

Energia cinetica ≡ capacità di un corpo in moto di produrre lavoro. Come mi posso rendere conto del fatto che effettivamente un corpo in moto produce lavoro? Se un corpo di massa m si muove con velocità v per arrestarlo completamente c’è bisogno di una forza (agente esterno in grado di perturbare lo stato di moto di un corpo) che porti a zero la sua velocità. La forza modificherà lo stato di moto inducendo un’accelerazione negativa finché non avremo v=0. Da qui si evince che il corpo possiede energia proprio perché, per arrestarlo, abbiamo bisogno di una forza che (spostando il suo punto di applicazione fino ad arrestare il corpo) compie lavoro.

Energia CineticaEnergia Cinetica

Teorema dell’Energia Teorema dell’Energia CineticaCinetica

Supponiamo di avere un corpo di massa m che si muove di moto uniformemente accelerato per azione di una forza F costante in modulo direzione e verso. Ne segue che, la direzione e il verso del vettore spostamento coincidono, istante per istante, con quelli della forza F. Se consideriamo due istanti di tempo t1 e t2 separati da un intervallo di tempo piccolo (t=t2-t10)

Fs0cosFssFL21

s

Fs1 2

Fs

t2

vvtvs 21

media

t)vv(

mtv

mmaF 12

Dal II Principio della dinamica possiamo esprimere il modulo della forza in termini della variazione del modulo della velocità:

IPOTESI. Se l’intervallo di tempo è molto piccolo (tendente a zero) allora possiamo considerare che il corpo si muova di moto rettilineo e uniforme con velocità pari alla velocità media:

Sostituendo le due espressioni in quella del lavoro otteniamo:

t

2)vv(

tvv

mFsL 211221

Usando la differenza dei quadrati:

1C2C

2

1

2

2

2

1

2

2

21)E()E(mv

21

mv21

2vv

mL

C21EL

Il lavoro compiuto da una forza che agisce su un corpo è pari alla variazione di energia cinetica subita dal corpo. Poiché quest’espressione è stata ottenuta senza ipotesi restrittive sulle forze in gioco, vale in qualunque campo di forze

Forze conservative: Energia Forze conservative: Energia PotenzialePotenziale• Campi di forze ≡ regioni dello spazio in cui sono

misurabili punto per punto delle forzeEs.: campo gravitazionale, campo elettrico, campo magnetico

• Campi conservativi ≡ campi in cui il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni iniziale e finaleEs.: campo gravitazionale, campo elettrico

LAB,1 = LAB,2 = LAB,3

L su un percorso chiuso =0

A

B1

2 3

LAVORO IN UN CAMPO DI FORZE CONSERVATIVO Se il lavoro compiuto da una forza F che sposta il suo punto di applicazione non dipende dalla traiettoria seguita dal punto ma solo dalla posizione iniziale e finale si può introdurre una funzione di stato, ovvero una grandezza fisica il cui valore dipende solo dalla posizione tale che il lavoro compiuto dalla Forza per spostare il suo punto di applicazione dal punto A al punto B può essere espresso come differenza tra i valori che la funzione assume nei punti A e B. QUESTA FUNZIONE SI CHIAMA ENERGIA POTENZIALE.

BPAPBA)E()E(L

QUESTA ESPRESSIONE DEL LAVORO VALE SOLO NEL CASO DI CAMPI DI

FORZE CONSERVATIVI

Teorema di conservazione dell’energia meccanicaTeorema di conservazione dell’energia meccanica

Nel caso di un campo di forze conservativo il lavoro può essere espresso come differenza tra l’energia potenziale iniziale e quella finale. Del resto, il lavoro è SEMPRE esprimibile (e quindi anche nel caso di un campo di forze conservativo!) come differenza tra l’energia cinetica finale e quella iniziale. Ne segue che:

2P1P21)E()E(L

1221)EC()EC(L

Uguagliando le due quantità si ottiene:

2C2P1C1P)E()E()E()E(

LA SOMMA DELL’ENERGIA POTENZIALE E DELL’ENERGIA CINETICA, CHE PRENDE IL NOME DI ENERGIA MECCANICA SI CONSERVA IN UN CAMPO DI FORZE CONSERVATIVO

Lavoro in presenza di forze Lavoro in presenza di forze conservative e non conservativeconservative e non conservative

ΔECECECEPEPLLLL iffi

Cons Non

fi

Cons

fi

Cons Non

fifi

ΔEPΔECLnc

fi

La variazione dell’energia meccanica di un sistema èuguale al lavoro delle forze non conservative

ifiiff

nc

fiEMEMEPECEPECL

Il lavoro è una quantità scalare e additiva. Se il campo di forze è costituito da n forze, il lavoro risultante sarà dato dalla somma dei lavori delle n forze.

Lavoro della forza gravitazionaleLavoro della forza gravitazionale

12 90 mglcosmglcosmglLLL CBACACB

BA1 hhl BABAACBAB EPEPhhmgLL

sF cosFsL

Energia potenziale gravitazionale del corpo nel punto A: AA mghEP

B

hA

A

ChB

l1=ABmg

l =AC

l2=BCll1

l2

m

1BA mglL

PotenzaPotenza

ΔtΔL

P

Rapidità con cui viene sviluppata una certa

quantità di lavoro.

Unità di misura: [SI] watt (W) 1 W ≡ 1 J/s [CGS] erg/s

Dimensioni [P] = [L2] [M] [T-3]

Fattore di ragguaglio1 W= 107 erg/s

La Contrazione muscolareLa Contrazione muscolare

Un muscolo può essere considerato come una macchina che trasforma l’energia potenziale chimica immagazzinata nel corpo in lavoro meccanico. Quando viene stimolato, il muscolo può dare luogo a due tipi diversi di contrazione: ISOMETRICA e ISOTONICA. Nella contrazione isometrica il muscolo sviluppa una forza detta TENSIONE può equilibrare una forza esterna, ma né si accorcia né si allunga. Ne segue che non viene compiuto lavoro da parte del muscolo. Tuttavia l’energia potenziale chimica viene parzialmente modificata in calore. Nella contrazione ISOTONICA il muscolo si allunga o si accorcia e compie lavoro.

Esempio: Una palla viene lanciata verso il basso da un’altezza h0 =3,0 m dal suolo, con una velocità iniziale v0 =2m/s. Calcolare l’altezza massima raggiunta dopo il rimbalzo trascurando ogni dispersione di energia nell’urto e trascurando gli attriti con l’aria.

Soluzione. Applicando il principio della conservazione dell’energia meccanica si ha:

mghmghmv21

02o

m.,,

h2gv

h 0

2o 233

829222

Esempio: La massa m=2 kg di un pendolo viene lasciata andare dalla posizione A, quando il filo è tenuto in posizione orizzontale. Se il filo ha lunghezza L=50 cm, qual è la velocità della massa e quale la tensione del filo quando la massa raggiunge il punto più basso B? (Si consideri il filo inestensibile e di massa trascurabile)

T

3,13m/s,,2gLhh2gv BAB 50892

SoluzioneLe forze in gioco sono la forza di gravità e la forza di tensione del filo:

2BBA mvhhmg

21

N,mg2mgmgL

vmmgTmamgT

2B

c 8583

0 TTG L ΔECLL

B

mg

mA

mg

T

Esempio: Un uomo la cui massa è M= 100 kg sale una scala fino ad un’altezza (h) di 10 m. (a) Quanto lavoro ha eseguito? (b) C’è qualche differenza fra il lavoro che occorre per salire una scalinata (che è inclinata) fino a una data altezza e quello che occorre per salire una scala a pioli (che è verticale) fino alla stessa altezza? (vedi Problema 4-13)

Soluzione:

(a) J. ,MghL

0ΔECMghMg0LLL G

98001089100

(b) No (?)

Esempio: Una seggiovia di lunghezza l=500 m, alimentata da un generatore di potenza P=0,1 MW, trasporta contemporaneamente 100 passeggeri ad una velocità di 10 km/h. Calcolare il dislivello (h) tra la stazione di partenza e quella di arrivo assumendo che i passeggeri abbiano massa M= 80 kg. (vedi Problema 4-4)

t

nMght

LP tot

m5.22910

6,38,980100

500100,1nMgv

Pl

nMgPt

h6

Soluzione:

0EC MghMg0L

MghL

L = lavoro per trasportare uno sciatore

Esempio: Se l’energia potenziale gravitazionale dell’acqua contenuta nel bacino dietro una diga può essere convertita in energia elettrica mediante generatori idroelettrici con un rendimento del 20%, quanti m3 d’acqua al giorno devono cadere da un’altezza di 30 m se la centrale deve generare 10 MW di potenza elettrica? R=1,47.107 m3.(Vedi Problema 4-27)

Soluzione

Pt

0,2Mgh

kg,,,0,2gh

PtM 01

7

10471308920

24606010

33

m ,mkg

kg ,M 7

10

104711000

10471

Esempio: Ad un’automobile di massa M = 1000 kg che sta viaggiando ad una velocità v=25 m/s, vengono improvvisamente applicati i freni. Le ruote si bloccano e la macchina slitta per s = 62 m prima di fermarsi. Calcolare (a) quanto vale la forza di attrito Fa agente sull’automobile; (c) Dimostrare che la distanza di frenata è indipendente dalla massa.

. .

Mg

RMa

Fa

Soluzione

N.s

MvFMvsF- aa 5040

622251000

221

022

2

(a)

g2v

Mg2Mv

2FMv

s22

a

2

(c)

Esempio: La massa di un bambino più quella della sua slitta è M = 20 kg. Calcolare il lavoro Lm necessario per portare bambino e slitta per un tratto lungo s =100 m lungo un pendio che forma un angolo di 30° rispetto all’orizzontale se la neve esercita una forza di attrito Fa = 50 N. Una volta raggiunta la cima del pendio, il bambino torna indietro scivolando sulla slitta. Quali sono la sua velocità e la sua energia cinetica quando arriva alla fine della discesa?

Soluzione: 0ECLLLLL RmGatot

.J1480010050509,820

2s

MgsFhhMgsFLLL aifaGam

.J,mv21

mv21

ECLLL

2f

2fGatot

480050892010050

0

s.m,v f 921

Fm

Mg

Fa

R

salita

discesa

Esempio: Un carrello di massa M = 5 kg viene trascianto lungo un piano orizzontale da una forza F = 30 N che forma un angolo di 30° con la direzione orizzonatale. Se il carrello si muove con velocità costante, v = 3 m/s, si determini: (a) la forza di attrito a cui è soggetto il carrello, (b) la potenza dissipata per attrito durante il moto, (c) la forza di contatto tra carrello e piano. (v. Es. 3-8)

F

wattvFΔt

sFP a

a 78326 (b)

Mg

R

(c) N321

30-9,85senF-MgR 4

Soluzione: LF+LFa+LG+LR=0

Ncos3030FcosθFFFcosθ aa 260 (a)

0sFscosθF a

Esempio: Un blocco di peso P = 200 N è trascinato per 2 m lungo un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale da una forza costante F = 150 N diretta parallelamente al piano inclinato, Calcolare: (a) il lavoro LF fatto dalla forza F, (b) il lavoro LP fatto dalla forza peso, (c) il lavoro La compiuto dalla forza di attrito, supponendo che il blocco si muova con velocità costante, d) la forza di contatto tra blocco e piano.

F

PSoluzione:

0ECLLLL FPatot

Fa

R

.JsFLF 3002150

30°

(a)

(b)

.J,

sensP120cossPLP

200502200

30

(c)

J.LLL FPa 100300200

174N

0,87200

PcosθR

Esempio: Un blocco di peso P = 200 N è trascinato per 2 m lungo un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale da una forza costante F = 150 N diretta orizzontalmente. Calcolare: (a) il lavoro LF fatto dalla forza F, (b) il lavoro LP fatto dalla forza peso, (c) il lavoro La compiuto dalla forza di attrito e l’intensità di tale forza, supponendo che il blocco si muova con velocità costante.

F

PSoluzione:

0ECLLLL FPatot

Fa

R

.J,cossFLF 260870215030

30°

(a)

(b)

.J,

sensP120cossPLP

200502200

30

(c)

J.LLL FPa 60

Esempio: Un’automobile di massa M=1000 kg percorre alla velocità costante di 40 km/h una strada rettilinea in salita di lunghezza l= 1 km e pendenza del 10%. Calcolare la potenza del motore.

Soluzione

l0,1Mg MvMgh- MvMghL 2i

2f

nc

21

21

kW. ,,

,0,1Mgv,t

0,1Mgl

tL

P 91063

4089100010

c’ è un dato ridondante. Quale?

Il dato ridondante è la lunghezza