Induzione  magne-ca  La  legge  di  Faraday-­‐Neumann-­‐Lenz  

e  l’indu7anza  

Esperienza  di  Faraday  •  Un filo percorso da corrente crea un campo magnetico. Con un magnete si può creare una corrente? La risposta è naturalmente si, ma…con alcune accortezze.

•  Il frutto di molti anni di osservazioni sperimentali ci porta a dire che: la condizione imprescindibile per avere una corrente è che il campo magnetico, che induce questa corrente, debba essre variabile. •  Indipendentemente da come si realizza la variazione; più è rapida più e intensa la corrente indotta.

•  Se il flusso concatenato aumenta la corrente avrà un verso, se diminuisce il verso opposto

Contributo  di  Lenz  •  Consideriamo una superficie A delimitata da una spira: il flusso

passante nella spira è: ΦB = ∫ B . dA. [Weber = Wb = T . m2].

Il segno meno indica che la f.e.m. indotta ha un verso tale da creare un campo magnetico che si oppone al campo magnetico che l’ha generata

Naturalmente per B _l_ A avremo ΦB = BA , mentre per B ll A avremo ΦB = 0

Energia  meccanica    e  induzione  

ele7romagne-ca  

•  Una corrente i circola nella spira di figura.

•  Come valutare la forza necessaria a spostare la spira? (Ricordando che P = Fv)

•  La spira tende ad uscire con velocità v e riduce il campo B concatenato.

•  Per la legge di Lenz si crea una corrente che a sua volta tende a riportare la spira all’interno del campo

F B= BA = BLx à |fem| = dF/dt = d(BLx)/dt = BLv

e la corrente indotta sarà: i = BLv/R (*)

•  La forza di Lorentz sarà:

Fd = iL x B. •  se la spira è rigida, F2 ed F3 si

annullano. •  Solo F1 si opporrà a F. •  Quindi F = i L B sin 90° = i L B •  sostituendo i con la i = BLv/R

RvLBFvP222

==RvLBRiP222

2 ==Lavoro meccanico

Lavoro termico

Segue  Energia  meccanica    e  induzione  

ele7romagne-ca  

Legge  di  Faraday  

BdtdsdE Φ−=⋅∫

!!

Se in una spira immersa in un campo magnetico variabile B viene indotta una corrente nei punti della spira deve esserci un campo elettrico E. Naturalmente se non c’è la spira il campo elettrico si genera lo stesso a condizione che il campo magnetico B continui ad essere variabile.

Possiamo dire che un campo magnetico variabile produce una f.e.m. dato da: f.e.m. = - dΦB/dt. D’altronde il lavoro che fa il campo elettrico (indotto) su una carica qo è w = qo∫E . ds quindi:

Legge di Faraday

Indu7anza  

AnlLi

AinnliBAnl

iNL B

20

0

))(())((

µ

µ

=

==Φ

=

Come il condensatore confina un campo elettrico uniforme fra due armature metalliche, così l’induttore o induttanza confina un campo magnetico all’interno di un solenoide. Il campo magnetico creato dalla corrente, induce a sua volta, una certa corrente nel solenoide. Questa è l’autoinduzione, legata alla corrente che l’ha prodotta dalla relazione, L = NΦB/i [H = Tm2A-1]

N numero di spire

n densità delle spire

l lunghezza del solenoide

A superficie della spira

i corrente nel filo

B Intensità del campo magnetico

µ0 permeabilità magnetica = 4π . 10-7 Hm-1

Autoinduzione  

dtdiLmef −=...

Si è visto che se in un circuito la corrente varia si otterrà una f.e.m. indotta: N ΦB = L i ; dalla legge di Faraday f.e.m. = - d(N ΦB) /dt ovvero

La presenza del segno meno mi indica che se la corrente aumenta la f.e.m. si oppone a questo aumento e viceversa se diminuisce la f.e.m. contribuirà ad aumentare la corrente

Circui-  RL  (1)  

0diiR L femdt

− − + =

Nei circuiti capacitivi si è visto che l’applicazione di una d.d.p. ai capi di un condensatore non implica l’immediato caricamento del condensatore.

q = C (fem)(1- e –t/RC) (carica di C)

q = q0 e –t/RC (scarica di C)

Allo stesso modo una crescita della corrente nel circuito induttivo fa aumentare la corrente di Lenz che si oppone all’aumento di correnti in tutto il circuito.

Nella fase di carica il circuito equivalente è un circuito serie formato da una batteria con fem, una resistenza in serie R e un induttanza L, quindi:

La cui soluzione è una funzione crescente di tipo esponenziale simile a quella che si ottenne per la carica del condensatore. Sola differenza qui quello che cresce è la corrente nel condensatore cresceva la d.d.p.

Circui-  RL  (2)  

/(1 )Lt

L

femi eRLR

τ

τ

−= −

=

/ /0

L Lt tfemi e i eR

τ τ− −= =

La soluzione dell’equazione del circuito induttivo sarà analoga a quella del circuito capacitivo Quando poi il circuito potrà essere attaccato ad una resistenza senza batteria si realizzerà una condizione simile alla scarica di un condensatore

scarica di L

carica di L

Energia  di  un  indu7anza  

2

0 0

12

L

LL

E i

L L

dE diLi dE Lididt dt

dE Lidi E Li

= → =

= → =∫ ∫

CqE

LiE

C

L

2

2

2121

=

=

R

L

f.e.m.

La legge di Kirchhoff ci dice che f.e.m. = iR + Ldi/dt. Se moltiplichiamo per i avremo

i(f.e.m.) = i2R + Li di/dt •  dove i(f.e.m.) è l’energia che fornisce la batteria nel unità di tempo

•  i2R è la potenza dissipata per effetto joule

•  Li di/dt è la potenza accumulata in L

Andamento  dell’energia  nei  circui-  LC  •  Abbiamo visto come

l’energia si immagazzina nei condensatori o nelle induttanze studiando i circuiti RC ed RL.

•  La scala temporale della carica e della scarica è legato ad RC o RL tramite un esponenziale.

•  Realizzando un circuito LC avremo un andamento oscillante della corrente e la differenza di potenziale. Il periodo T e pulsazione ω variano nel tempo in modo sinusoidale.

Andamento  dell’energia  nei  circui-  LC  

2

2

212

LiE

CqE

L

C

=

=

•  In un circuito LC conoscendo il valore di C e misurando VC ai capi del condensatore avremo C VC = q

•  Allo stesso modo misurando la VR in un circuito con una piccola resistenza avremo VR = Ri

•  la pulsazione di un circuito puramente induttivo-capacitivo è dato da ω = 1/√LC

•  Nei circuiti reali le oscillazioni non saranno infinite, ma si smorzeranno dopo un tempo τ come succedeva per le oscillazioni meccaniche

Oscillazioni  LC    

)cos(0

021

21

2

2

22

φω +=⇒=+

=+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

tAxkxxdtdm

dtdxkx

dtdvmvkxmv

dtd

dtdE

)cos(01

021

21

2

2

22

φω +=⇒=+

=+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

tQqqC

qdtdL

dtdq

Cqi

dtdLi

CqLi

dtd

dtdE

Un blocco collegato ad una molla ha un moto oscillatorio come la corrente in un circuito LC. E = Kb + Um = ½ mv2 + ½ kx2 E = EL + EC = ½ Li2 + ½ Q2/C

La derivata della carica nel tempo è la corrente dq/dt = - ωQsin(ωt+φ) dove ωQ = I ampiezza massima e quindi i = - Isin(ωt+φ) e la pulsazione si ricava dalla derivata seconda ovvero d2/dt2 = - ω2Qcos (ωt+φ) che sostituita nella quadrata da

– Lω2 Qcos(ωt+φ)+1/C Qcos (ωt+φ) = 0

Lω2 = 1/C à ω2 = 1/LC

ω = 1/√LC

Oscillazioni  smorzate  

012

2

2

=++

−=+=

qC

qdtdRq

dtdL

Ridtdq

Cq

dtdiLi

dtdE

)'(cos2

2)]'cos([

22/

2

2)2/(2

φω

φω

+=

+==

−

−

teCQE

CtQe

CqE

LRtC

LRt

C

La cui soluzione è:

q = Q e –Rt/2L cos(ω’ t + f) con

ω’ =√ω2 – [R/(2L)]2 .

ovviamente ω’ è minore di ω, ma per R piccola tale che ω’ ≈ ω e sostituendo il valore di q nella EC = q2/2C avremo:

Se nel circuito LC ci sono dispersioni di tipo resistivo l’energia, nel tempo non si conserva, ma tende a diminuire. Per esempio si dissipa per effetto Joule, allora saremo in presenza di oscillazioni smorzate: E = EL + EC = 0 ovvero

Corrente  alternata  

Ci si chiede spesso: perché usare la corrente alternata?

La velocità di deriva degli elettroni è 4 x 10-5 m/s se poi gli si inverte la direzione ogni centesimo di secondo ogni elettrone si sposterà al più 4 x 10-7 m, quindi gli elettroni non si spostano per più di un centinaio di atomi .

•  La verità è che la corrente alternata permette l’uso della legge di Faraday. Facendo ruotare una spira in un campo magnetico la f.e.m. sarà f.e.m. = (f.e.m.)maxsin (ωgt) con ωg pulsazione.

•  Questa pulsazione è quella generata dalla rotazione della spira e fornisce una corrente: i = I sin (ωgt – f)

•  volendo si potrà usare la frequenza meccanica 2πνg = ωg

Oscillazioni  forzate  Un circuito RLC è un circuito in cui è possibile avere oscillazioni periodiche della carica, della tensione o della corrente. La frequenza o meglio la pulsazione angolare è data da ω = 1/√LC e questa è la pulsazione propria del circuito.

Esiste però anche la possibilità di imporre una frequenza estera al circuito, in questo caso come risponderà il circuito RLC e come risponderanno i singoli componenti alle frequenze oscillanti?

Risponderemo studiando le risposte di tre semplici circuiti. Uno resistivo, uno capacitivo ed uno induttivo.

Equazioni  di  Maxwell  Teorema di Gauss per l’elettricità Teorema di Gauss per il magnetismo

Legge dell’induzione di Faraday

Teorema di Ampere generalizzato

Dopo un po’ di manipolazioni algebriche otteniamo l’andamento ondulatorio dei campi elettrici e magnetici