Fisica 213° lezione

Programma della lezione

• Esperienze di Faraday• Legge di Faraday-Neumann• Relatività • Legge di Lenz• Legge di Lenz e conservazione dell’energia• Moto di un conduttore in un campo B • Lavoro della forza• Fem dinamica• Spira in moto in un campo B• Fem dinamica e variazione del flusso di B

Faraday (1831)

• Studia situazioni sperimentali diverse– Moto di un circuito in un campo B fisso– Moto di un campo B rispetto a un circuito fisso– Variazione d’intensita` del campo B

• Arriva alla conclusione che una variazione del flusso del campo B concatenato con il circuito induce una fem nel circuito

• Il flusso concatenato è il flusso attraverso una qualunque superficie che appoggia sul circuito

Faraday

• Scoperta di una nuova legge

• La fem è attribuita all’esistenza di un nuovo tipo di campo E, dinamico o indotto

• Anche una variazione geometrica del circuito nel campo B produce una fem– Variazione di dimensioni– Variazione di orientazione

Legge di Faraday-Neumann

• 2a eq. dell’e.m. nella sua forma completa

• Il segno negativo ha a che fare con il verso della fem (legge di Lenz)

• I campi E statici sono conservativi: l’integrale di linea di E su un cammino chiuso e` nullo

• I campi E indotti non sono conservativi: l’integrale e` uguale alla fem

dt

dldE B

C

E

Circuito a più spire

• Se il circuito è formato da più spire, bisogna sommare il contributo di ogni spira

• Se ci sono N spire tutte uguali in un campo B in totale avremo N volte il flusso e la fem di una spira

Una strana coincidenza

• Consideriamo i due casi perfettamente simmetrici:– Moto di un circuito in un campo B fisso: fem dovuta

alla forza di Lorentz– Moto di un campo B rispetto a un circuito fisso: fem

dovuta al campo elettrico indotto

• Le fem nei due casi sono esattamente uguali, ma nella teoria e.m. classica le spiegazioni sono completamente diverse

• Solo nella teoria della relatività le due spiegazioni vengono unificate

fem indotta

• La fem e` presente anche se il circuito non e` chiuso, cosicche’ non e` percorso da corrente

• Finora la fem era localizzata (es. tra i morsetti di una batteria)

• La fem indotta da un flusso magnetico variabile si puo` invece considerare distribuita in tutto il circuito

• In relatività la fem può essere attribuita a tutto lo spazio: ai capi del circuito è presente una fem in quanto esso occupa uno spazio in cui è presente una fem

Legge di Lenz

• Prescrive il segno negativo davanti alla variazione del flusso magnetico

• La fem indotta e la corrente indotta hanno verso tale da opporsi alla variazione che le genera

• Questo segno garantisce l’accordo con la conservazione dell’energia

Legge di Lenz: esempi

• Magnete che si avvicina ad una spira

• Il campo B del magnete sia rivolto nel verso positivo• Il flusso aumenta, quindi la fem e la corrente indotte

nella spira devono essere negative, cioe` generare un campo B il cui flusso sia negativo

12

1

S N

0t

S N

2

Legge di Lenz: esempi

• Circuiti affacciati percorsi da correnti variabili

• I1 crescente, flusso di B1 attraverso C2 crescente, I2 negativo, flusso di B2 attraverso C2 negativo

• I1 decrescente, flusso di B1 attraverso C2 decrescente, I2 positivo, flusso di B2 attraverso C2 positivo

A

C1 C2

A

C1 C2

Moto di un conduttore in campo B

• Sbarra conduttrice in moto perp. alla sua estensione (lunghezza L) e a un campo B

• Gli elettroni della sbarra risentono della forza di Lorentz e vengono spinti verso l’estremità lontana

• Definiamo un nuovo campo (elettromotore) facendo il rapporto tra forza e carica Bvqf

v

B

Bvqf

Campo statico. Equilibrio• Poiché gli elettroni non possono

fuoriuscire dalla sbarra, si accumulano all’estremità lontana

• All’estremità vicina avremo un eccesso di carica positiva

Eqf s

v

B -

+

0 BvqEq s

BvEs

• [La separazione di carica genera un campo elettrico statico all’interno e all’esterno della sbarra

• Questo campo si oppone con una forza ad un ulteriore accumulo di elettroni

• Si giunge all’equilibrio quando le due forze sono uguali

• In tal caso i due campi soddisfano:]

Lavoro della forza• Abbiamo “trascurato” la

componente vd di ve associata al moto delle cariche lungo la sbarra

• Essa determina una forza sui portatori, perpendicolare alla sbarra, in direzione opposta al moto

• La risultante di queste forze è una forza che decelera la sbarra

• Il vincolo posto dalla superficie della sbarra reagisce con una forza fv su ogni carica

• Le cariche rimangono contenute nella sbarra

vd

v

vefL

fv

S

B X

Lavoro della forza

• La forza di Lorentz fa lavoro nullo, quindi la reazione vincolare è necessaria per avere un lavoro non nullo

qvBLfLfSdlfldfSS

coscos

L

f

v

vefL

fv

SvL fff

qvBBqvff eL sinsin B X

Lavoro della forza

• Affinché la sbarra proceda di moto uniforme è necessario che ci sia una sorgente esterna di energia (meccanica)

• L’energia che fa circolare la corrente non proviene dal campo B: esso solo converte l’energia meccanica in energia elettrica

Fem dinamica

• Il lavoro eseguito dalla forza su una carica q trasportata lungo tutta la sbarra è

• Il lavoro per unità di carica è la fem dinamica

ldBvqldfCC

L

vBLldBvldfqq CC

1L

E

fem dinamica• E` dovuta al moto in un campo magnetico

• La fem dinamica e` indotta su un conduttore in moto, anche se il circuito non e` chiuso e quindi non e` percorso da corrente

Spira in moto in un campo B

• Spira di dimensioni b e h• Campo uniforme: gli

elettroni su ciascun lato sentono la stessa forza

• Risultato: c’è accumulo di carica sui lati vicino e lontano

• La fem totale è nulla: – sui lati vicino e lontano la

forza è perp. allo spostamento

– La forza è uguale sui lati destro e sinistro, percorsi in verso opposto

0 ldBvC

E

B

v

+++++++++

- - - - - - - - -

Spira in moto in un campo B

• Campo non uniforme: gli elettroni sul lato sinistro e destro sentono le forze

• La fem lungo la spira

22 Bvqf

hBBvhvBhvB

ldBvldBv

ldBv

LdLs

C

2121

21

E

B1

v

B2

11 Bvqf

f1f2

Relazione tra fem e variazione di flusso

• Nel tempo dt il circuito si sposta di vdt

• Il flusso diminuisce a sinistra e aumenta a destra risp. di

• La variazione di flusso totale è quindi

• Confrontando con l’espressione precedente della fem

hvdtB1

B1

v dt

B2

hvdtB2

hvdtBBd 21

dt

dhvBB

21E

Legge di Lenz e forza su una spira

• La fem fa fluire corrente nel circuito

• Se c’è resistenza, un po’ di energia viene dissipata in calore

• I lati della spira sono sottoposti a forze: F2 per il lato a destra e F1 per il lato a sinistra

• F1 è maggiore di F2 e la forza risultante si oppone al moto• Per mantenere la spira a velocità costante ci vuole un

agente esterno che fornisca energia• Questa energia si ritrova alla fine come calore nel filo

B1

v

B2

F1 F2

Legge di Lenz e conservazione dell’energia

• Se fosse vero l’opposto della legge di Lenz, la forza agente sulla spira ne farebbe aumentare la velocità

• Questo porterebbe ad un aumento della forza acceleratrice, creando una situazione a feedback positivo

• Come conseguenza l’energia non si conserverebbe, ma aumenterebbe