Decima Lezione

Il campo magnetico di solenoidi, toroidi, bobine; il potenziale vettore; legge di induzione di Faraday

Riassunto della lezione precedente Alcune proprietà degli operatori teorema di Stokes Teorema di Helmholtz Energia elettrica e magnetica Il vettore H e l’interazione con la materia:

polarizzazione magnetica e permeabilità magnetica

Alcuni esercizi

Campo magnetico in un solenoide “lungo”

Ipotesi: solenoide molto lungo: campo uniforme all’interno e nullo all’esterno

Applichiamo il th di Ampère in forma integrale ad abcd

Unico contributo non nullo sul lato ab

Campo uniforme: circuitazione=Bh

Corrente intercettata da abcd: Itot=inh, se n numero spire unità di lunghezza Uguagliando: InB z 0 uB

Solénoïde.mht

Campo magnetico in un toroide Se applichiamo Ampère ad una circonferenza

interna all’anello, non ci sono correnti racchiuse: circuitazione nulla

Se applichiamo Ampère ad una circonferenza esterna, la somma delle correnti concatenate è nulla: circuitazione nulla

Applichiamo Ampère ad una circonferenza tra le spire:il campo magnetico lungo la circonferenza è uniforme, orientato come la circonferenza

rBd 2 lB

NI0

uuB

r

NIB

20

Bobine di Helmholtz Obiettivo:creare un campo uniforme Struttura di due bobine di raggio a poste a distanza a Nella lezione precedente avevamo ricavato come esercizio il campo

prodotto sull’asse da una spira circolare z

h R

I dl

2

322

20

2ha

Ia z

u

B

Se si hanno n spire di filo sufficientemente sottile

2

322

20

2ha

Ian z

u

B

Bobine di Helmholtz

Se ne mettiamo due a distanza a, il campo sull’asse è la somma dei campi; ponendo l’origine tra le due bobine

2

3

22

20

2

3

22

20

)2

(2

)2

(2

a

ha

Ia

aha

Ia zz uuB

2 1 0 1 20.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

Coppia di Helmholtz

Singola bobina

Coppia alimentata in antifase

Helmoltz axe.mht

Bobine di Helmholtz

Campo sull’asse della spira per grandi distanze

Se h>>a

32

0

2

322

20

22 h

Ia

ha

Ia zz uuB

3

0

2 h

IA zu

3

0

2 h μ

u u Esinr

prr cos 2

4) , (3

0

Avevamo visto per il dipolo elettrico sull’asse (=0)

sull’asse (=0)

rr

pru E3

0 2) (

z

r

pu3

0 2

Il potenziale vettore Abbiamo visto che 0 B

Per cui è sempre possibile scrivere AB

Dove A si definisce potenziale vettore Così come il potenziale scalare era definito a meno di una

costante, il potenziale vettore non è unico

Abbiamo molti gradi di libertà: se sostituiamo

AA

' B non cambia, poiché il rotore del gradiente è nullo

La magnetostatica è completamente determinata dalla condizione di divergenza nulla (conglobata nella definizione di A) e dalla legge di Ampère

Il potenziale vettore Inserendo la nostra scelta nella legge di Ampère

JB

0 JA

0 Vale però l’identità (che utilizzeremo spesso)

AAA

2 Possiamo sfruttare la nostra discrezionalità nella scelta

di A imponendo che la divergenza sia “comoda”, per esempio nulla (Gauge di Coulomb); il primo termine sparisce e la legge di Ampère per il potenziale diventa

JA

02

Somiglia all’equazione di Poisson: di fatto corrisponde a 3 equazioni di Poisson, ma nulla di nuovo!

Il potenziale vettore

cioè

In più A è orientato come la corrente: semplificazione importante!

zz

yy

xx

JA

JA

JA

02

02

02

Conosciamo (almeno in teoria) la soluzione di una equazione di Poisson per il potenziale elettrico, che è il potenziale di una distribuzione continua di cariche

'4

')'()(

0

V

dVV

rr

rr

La soluzione generale per il potenziale vettore sarà analoga, dove invece di di 0 avremo 0J

eccetera dVJ

AV

xx

'4

')( 0

rrr

Esempio Proviamo a ricavarci la legge di Biot-Savart con il potenziale vettore: in

questo caso abbiamo solo una componente di corrente, poniamo lungo z, e la densità di corrente è (se il filo ha sezione a)

2a

IJ z

Quindi dobbiamo risolvere “solo”

202

a

IAz

)ln(2

)( rrV

La geometria è analoga al caso elettrostatico di un filo uniformemente carico, il cui potenziale fu determinato alla fine della 4a lezione

Qui era la carica per unità di lunghezza: se il filo ha sezione a2 e densità di carica di volume , deve essere a2

Dovendo rimpiazzare = a2) con J, sostituiremo in quella espressione

IaJ 02

00

Esempio

Per cui

B lo calcoliamo valutando il rotore; lo facciamo direttamente in coordinate cilindriche; sulle tabelle vediamo che

L’unico termine non nullo è la derivata della componente z rispetto ad r

)ln(2

0 rI

Az

z

zzrr

z F

r

rF

rr

F

z

F

z

FF

ruuuF

11

uAB

)ln(2

0 rI

r

u

r

I

20

Le esperienze di FaradayEvidenze sperimentali (1831):

Michael Faraday 1791-1867

Muovendo un magnete rispetto ad una spira (o viceversa) si genera una corrente. La direzione della corrente dipende dalla direzione del moto e dall’orientamento del magnete

Facendo scorrere corrente in una spira, una spira posta vicino registra una corrente solo all’accensione e allo spegnimento

Legge di FaradayLa variazione di flusso concatenato induce una forza elettromotrice (f.e.m): un campo elettrico

Definendo la f.e.m. come

dt

dfem B

Ovvero come una forza per unità di carica (E) integrata lungo il percorso del filo, si ottiene

cioè

Sl

dst

d nBlE Legge di Faraday

l

dfem lE

Notate che la fem è formalmente definita come il potenziale (a meno di un segno); tuttavia ora il risultato dell’integrazione DIPENDE DAL PERCORSO l, che racchiude la superficie S

Legge di LenzSe la spira è chiusa, il campo elettrico produce una corrente elettrica

La corrente produce un campo di induzione magneticaLa legge di Lenz stabilisce che il segno della corrente è tale che il campo magnetico indotto produce una forza si oppone al moto:

Legge di Lenz=la natura non concede pasti gratis….

dt

d

RR

femI B1

Qualche notaVi sarete accorti che nella slide precedente abbiamo assunto la legge di Ohm così come scritta in forma integrale, intercambiando fem e ddp...

In realtà in condizioni dinamiche il concetto di potenziale va rivisto (circuitazione di E non nulla…): chi ci assicura che la relazione di prima è corretta?

Quello che sappiamo per certo è che vale la legge di Ohm nella forma

JE Consideriamo il filo con sezione infinitesima, o l’integrale di linea richiederà attenzioni maggiori, così che la corrente su una sezione A sia semplicemente

JI A/Allora calcolando la fem avremo

IRA

dl

Idfem l

l

lE A destra i segni vettoriali sono scomparsi visto

che corrente e dl sono nello stesso verso

cioè quel che volevamo verificare

Un magnete in moto rispetto ad una spira

Il campo magnetico di un piccolo magnete permanente in moto in prossimità di una spira...

Legge di Faraday in forma differenziale Applichiamo il teorema di Stokes alla legge di Faraday

in forma integrale

SSl

dst

dsd nBnElE

Dovendo essere vero per qualunque superficie S

BE

t

Legge di Faraday in forma

differenziale

Possiamo ancora definire una tensione tra due punti? Si’, ma ora il risultato non coinciderà con la differenza di

potenziale, dovendo dipendere dal percorso dell’integrale di linea

Alcune riflessioni…. Poniamo di ripetere l’esperimento della spira e della calamita in

moto relativo Uno di voi è solidale con la calamita e descrive l’esperimento: “la spira si muove, i

suoi elettroni si muovono nel mio campo magnetico, subiscono una forza di Lorentz e iniziano a percorrere la spira”: morale il suo campo magnetico spiega tutto

Un altro di voi è solidale con la spira e descrive “la calamita si muove, il flusso del campo concatenato con la mia spira cambia, nasce un campo elettrico che imprime un moto agli elettroni della mia spira, altrimenti fermi”: morale deve introdurre il campo elettrico indotto dalla variazione del campo magnetico per spiegare il fenomeno

Alcune riflessioni….

Questo apparente rompicapo è una volta di più indizio che campo elettrico e campo magnetico sono facce di una stessa medaglia

Campo elettrico e magnetico non sono singolarmente invarianti, ovvero indipendenti dallo stato di moto, ma è invariante il campo elettromagnetico

Einstein scrisse:

”L’influenza del decisivo esperimento di Michelson e Morley [invarianza velocità della luce ndt] su miei sforzi è stata piuttosto indiretta. Li conobbi attraverso il decisivo lavoro di Lorentz sull’elettrodinamica dei corpi in movimento (1895), con cui avevo familiarità prima di sviluppare la teoria della relatività speciale […] Ciò che, più o meno direttamente, mi portò alla teoria della relatività fu la convinzione che le forze elettromotrice che agisce su un corpo in movimento in un campo magnetico altro non fosse che un campo elettrico

EsercizioUna spira piana di superficie S= 35 cm2 e resistenza R=2 è immersa in un campo magnetico uniforme la cui direzione forma un angolo di /6 radianti con la normale alla superficie della spira. L’induzione magnetica varia nel tempo secondo la legge B(t)=Bo cos(t) con Bo=0.5 Wb/m2 e =200 rad/s. Si calcoli l’intensità della corrente che percorre la spira ad un generico istante t.

Calcoliamo il flusso di B attraverso la spira ed usiamo la legge di Faraday in forma integrale per valutare la fem indotta

B

nI

)(BlE

dt

ddfem

S

dsdt

dnB

cosBSdt

d cossin0 StB Vtsin3.0

Usiamo la legge di Ohm per calcolare la corrente

AtR

femI sin15.0

x

y

2 Wb/m ˆ)1000sin(100 ˆ)1000cos(20)( zyB txtxyt

Per la legge di Faraday la fem indotta è data dalla derivata temporale del flusso appena calcolato:

dxdyBdydxBBB z

0.5m0.5m

Spirazyx

00

ˆ)ˆˆˆ( zzyxIl flusso è dato da :

V)1000cos(6250 tdt

dfem

Una spira quadrata di lato d= 50 cm , posta come mostrato in figura 1, è immersa in un campo di induzione magnetica B(t). Si calcoli la fem indotta ai capi della spira, considerando il sistema nel vuoto.

Esercizio

Wbtsinyx

Wb/mtsinxdxdytsinm

m

20.5m0.5m

)1000(25.62

100)1000(100)1000(5.0

0

5.0

0

2

00

EsercizioUn foglio di carica uniforme con densità superficiale s=1/(6) nC/m2 è posto in x=0; un secondo foglio con carica uguale ma segno opposto è in x=20 m. Trovare Vab, Vbc e Vac se A(10m, 0, 0), B(3m, 0,0) e C(0,0,0).

Applicando la legge di Gauss in forma integrale al parallelepipedo con area di base S, sappiamo che

x

S

+++

+ +

--

--

Ex

0

SQ

SE sx

)(E Per cui:

mVE sx /6

In generale avremo, vista l’uniformità di E

xxEV ovvero

VVab 423106

VVbc 1836 VVac 60106