CLASSE II C FIORETTI MAURO

LABORATORIO DI MATEMATICA PARTE PRIMA

1

Indice

Equazioni di primo grado……………………………………………… pag. 2

Equazioni di grado superiore al primo…………………………… pag. 13

Disequazioni di primo grado…………………………………………. pag. 15

Disequazioni di grado superiore al primo……………………… pag. 19

Sistemi di disequazioni di primo grado………………………….. pag. 20

Radicali………………………………………………………………………... pag. 22

Note…………………………………………………………………………….. pag. 37

2

Prefazione

Oggi 15 novembre 2012, ore 9.15, inizia un nuovo lavoro di matematica in collaborazione con

la classe 2 C del Liceo Scientifico “ E. Majorana” di Guidonia, impostato sull’idea di poter creare

un laboratorio matematico di idee su tematiche principali dell’anno scolastico in corso.

Naturalmente non saranno trattati tutti gli argomenti del programma ( questione di tempo ),

ma discussi in modo particolare alcuni. L’intento è quello di ricercare nel primo momento

materiale cartaceo o multimediale del concetto matematico interessato, per poi analizzarlo e

sottoporlo a discussione insieme alla classe e nel successivo momento impaginarlo in un file in

modo accattivante. La particolarità didattica è nel far vivere personalmente l’argomento agli

alunni in diretta sotto la mia direzione. Quest’ultimi si impegneranno in gruppi a realizzare

appunti e esercizi nuovi dal materiale raccolto e a preparare compiti in classe, calibrando

difficoltà di esercizio, punteggio di esercizio e a sviluppare a corredo esercizi di preparazione

allo stesso. Il tutto sarà presentato come un book di notizie, regole e curiosità matematiche.

Questo lavoro, potrà un domani rimanere alla scuola, visionato da chiunque voglia leggerlo.

Certo, dall’idea concepita alla realizzazione della stessa, il cammino non è facile, ma ci stuzzica

( a tutti ) come sarà il percorso e la nascita e chissà……anche la crescita.

In una nota canzone degli anni “ottanta “ si recitava un motivetto “ Per un amico in più “, anche

noi abbiamo un nostro amico che ci aiuterà, in questo percorso è l’alunno George, sempre

dubbioso e curioso e qualche volta spiritoso.

Quando si chiede a George che cosa è un’equazione, si hanno risposte che, ai suoi professori,

non possono che sembrare strane: “ ci sono delle operazioni ”, ” ci sono cifre e lettere ”, ” ci

sono delle funzioni di x ”, “ è per costruire delle rette ”, “ è per trovare la x ” ; trovare la x, va

bene, ma per farne che cosa?

A questo punto, mutismo: che cosa è un’equazione, al pari di ciò a cui essa può servire, non

sembra abbia fatto molta impressione a George.

La confusione è lampante, in attesa delle risposte.

Perché George è confuso su questa nozione, è perché non sa la risposta o essa è più

complessa del dovuto?

Definizione di equazione

3

In effetti del concetto di equazioni si possono dare diverse definizioni:

1. Equazione è una relazione di uguaglianza che traduce in modo algebrico un

problema.

Esempio 1 �

Risoluzione esempio 1.

Nel triangolo equilatero, abbiamo tre angoli e tre lati uguali

1 h 1

1/2 1/2 Pongo l’area del triangolo A = x , segue:

4

3

24

3

24

111

2==

−⋅=⋅== hb

xA

2. Equazione è una relazione di uguaglianza contenente una lettera che

rappresenta un elemento variabile in un certo insieme.

Esempio 2 � con 1≥x

41 =−x

Dato un triangolo equilatero di lato 1, determinare l’area.

4

Risoluzione esempio 2.

41 =−x , se 1≥x , allora posso elevare al quadrato, ottengo:

161 =−x , da cui ( con la regola del trasporto ) � 17=x

3. Equazione è una uguaglianza letterale tra due espressioni algebriche verificata

da particolari valori della variabile ( dette incognite).

Esempio 3 �

Risoluzione esempio 3.

Portando tutti i termini a sinistra e cambiando di

segno ho:

0232 =+− xx fattorizzando ho: ( )( ) 021 =−− xx da cui:

le due soluzioni 1=x e 2=x

4. Equazione è una uguaglianza tra due funzioni )(xfy = e )(xgy = definite

sullo stesso insieme.

Esempio 4 �

con 42)( −= xxf e 35)( +−= xxg

Risoluzione esempio 4.

Ricaviamo il valore della x : 3452 −−=+ xx � 77 −=x

La soluzione quindi è 1−=x , cioè le due funzioni si incontrano nel valore soluzione

1−=x

325 2 +=−+ xxx

3542 −−=+ xx

325 2 +=−+ xxx

3542 −−=+ xx

5

A cui corrisponde il valore unico 2=y �

( )( ) 23531535

24241242

=−=−−−=−−==+−=+−=+=

xy

xy

5. Equazione è una uguaglianza dove compaiono espressioni letterali per le quali

si cercano i valori da attribuire a una o più lettere che rendono vera

l’uguaglianza.

Esempio 5 �

con ℜ∈ax,

Risoluzione esempio 5.

Ricaviamo per esempio il valore della x:

2233 −−= aax , da cui 3

2−= ax ,

discutiamo:

• Se 2=a , ottengo 0=x

• Se 2>a , ottengo 0>x

• Se 2<a , ottengo 0<x

P: Hai capito qualcosa George, da questi esempi?

S: A dire la verità ho ancora qualche dubbio.

P: Ad esempio?

S: La regola del trasporto, ma ha forse qualcosa a che vedere con i mezzi pubblici?

P:No, essa ci dice che se porto o ( trasporto ) un termine da un membro all’altro di

un’equazione, ottengo una nuova equazione uguale (equivalente ) a quella data.

P: Capito?

axa 3232 =++

axa 3232 =++

6

S: Mmh…., adesso si.

S: Ma prof, avrei un altro dubbio:

S: Se in un’equazione ad esempio ci sono due o più lettere, ma qual è questa incognita?

P: Generalmente è la x o la y, oppure …..

P: Sai dirmi qual’ è l’incognita nell’equazione 2a – 3=0?

S: Prof, Lei mi sta imbrogliando! si è “ dimenticato “ di scrivere l’incognita?

P: No, George, l’incognita è a.

S: Adesso, ho capito.

S: Un’altra domanda prof.

S: Dagli esercizi svolti, sembra che tutte le equazioni ammettono soluzioni?

P: Non sempre George, per esempio l’equazione 2x – 2 – x = 4 + x risolta si può scrivere 0x=0,

vedi non esiste nessun numero x che moltiplicato per zero mi da sei, allora l’equazione è

impossibile.

S: Meno male, prof. che sta finendo l’ora di matematica, perché comincio a perdere i colpi.

P: Devo essere onesto con te George, i casi che si possono verificare non sono terminati, se hai

ancora un po’ di pazienza, prova a risolvere questa equazione con me

8 - 4x = 2(2 - 3x)+ 2x + 4.

S: Questa la risolvo da solo, prof., porto tutti i termini con la x a sinistra e i numeri a destra, ho

quindi : - 4x + 6x -2x = - 8+ 4 + 4, è facile 0x=0.

S: Oddio, na’ so fa’!!

P: Ragiona come prima, George?

S: O.K.!! Se metto x = 3 viene 0=0, se metto x = -2 viene 0=0, se metto x=0 viene 0=0

S: Ho sgamato, prof., tutti i valori che metto alla x viene sempre 0=0

P: Allora, qual è il risultato?

S: Tutti i valori di x

P: Quanti sono. George?

S: Non l’ho so!!

P: Infiniti, quindi ho un numero illimitato di soluzioni, allora l’equazione 0x=0 si chiama

indeterminata.

S: Basta per oggi prof. , non c’è la faccio più !!

In un epigramma della " Antologia palatina " nel VI secolo D.C, si legge una

curiosa indicazione dalla quale è possibile trarre l'età del grande matematico greco

Diofanto.

Da questa indicazione, possiamo vedere che si tratta proprio di un problema di primo grado.

Se indichiamo infatti, con x l'età della morte del matematico, si ha: x= 1/6x + 1/12x + 1/7x +

5 + 1/2x + 4.

Da cui si deduce x= 84. Diofanto visse dunque 84 anni.

Nozioni storiche sulle equazioni di primo grado

7

Le equazione di primo grado erano note sia ai matematici greci, sia ai matematici

indiani che, probabilmente, le avevano apprese proprio dai greci e che crearono un

linguaggio abbastanza avanzato.

Nelle tavolette babilonesi nei papiri egiziani si trovano equazioni con enunciati

e soluzioni completamente privi di simbolismo algebrico. Il papiro Rhind, noto

come papiro Ahmes, contiene una tavola per esprimere le frazioni con numeratore 2 e

denominatore da 5 a 101 come somma di frazioni con numeratore 1 o frazioni unitarie.

Considerando il problema 25, il matematico egiziano ottiene il risultato con l'applicazione di

un procedimento molto diffuso nell’antichità, detto della " Falsa posizione ". Anzichè indicare

il valore da trovare con x, lo si pone uguale ad un numero vero e proprio ( 2 nel nostro caso ) :

se operando su di esso, come vuole l'enunciato, si perviene proprio al risultato richiesto (16),

allora si è risolto il problema. In caso contrario, si stabilisce in che rapporto stanno il risultano

richiesto (16) e quello ottenuto [( 1 + 1/2 )2= 3 ] ; tale rapporto ( 16/3 ) deve sussistere anche

tra il numero cercato e quello posto. Per cui il numero cercato è uguale al prodotto del citato

rapporto per il numero posto ( 16/ 3)2 = 32/3 = 10 + 2/3 ).

Secondo Kline " gli estesi e complicati calcoli con le frazioni furono uno dei

motivi per cui gli egiziani non portano mai la loro aritmetica e la loro algebra ad uno

studio avanzato ".

L'incognita appare esplicitamente per la prima volta in Diofanto che la chiama " aritmos " cioè

numero incognito.

Per risolvere equazioni di primo grado in un' incognita, Diofanto raggruppa in un membro

tutti i termini contenenti l'incognita e nell'altro i termini noti, così il problema è ridotto ad

eseguire una divisione o a cercare un quarto proporzionale.

Negli " elementi " di Euclide, un'equazione del tipo ax = b si trasforma nel

problema di cercare la misura x dell'altezza di un rettangolo la cui base misura A e la cui area è

B.

Durante il periodo altomedievale tutti i problemi erano ridotti all'applicazione delle quattro

operazioni fra numeri interi.

Attraverso il commercio e i viaggi, Leonardo Pisano detto Fibonacci, visitò

l'Algeria per imparare i procedimenti aritmetici utilizzati dagli Arabi. L'algebra di

Pisano utilizza il linguaggio naturale, è un' " Algebra Geometrica " , utilizza infatti il

metoto euclideo della rappresentazione lineare dei numeri. Nell'ultima proposizione del "

Liber Quadratorum " (sua opera) che compaiono le parole Res e Census per indicare,

rispettivamente l'incognita e il suo quadrato.

Questo simbolismo nascende è più accentuato nel " Liber Abaci " dove Pisano rappresenta i

numeri medianti segmenti di retta e questo favorisce l'impiego di lettere per indicare dati e

incognite del problema.

8

A partire dal XIII secolo si verificarono importanti progressi nel campo

dell'aritmetica e dell'algebra. Dal " Trattato d' Algibra " del XIV secolo scritto da un

anonimo maestro fiorentino d'abaco, in cui viene utilizzato il linguaggio naturale per

descrivere tutte le operazione algebriche, ma già si manifesta il simbolismo perchè l'incognita

e le sue potenze vengono chiamate con dei nomi particolari. Tutti i cambiamenti di notazione

introdotti fino al '500 erano abbreviazioni di parole comuni. I matematici di questo periodo,

sentivano il bisogno di utilizzare una notazione simbolica. L'algebra simbolica non ha

soppiantato di colpo quella sincopata.

Il cambiamento più significativo in questo senso fu introdotto da Viète. Egli fu il

primo ad usare sistematicamente le lettere sia per rappresentare l'incognita e le sue

potenze che per i coefficienti generici.

Nella prima metà del XIX secolo si sviluppa, all'interno della comunità dei

matematici britannici, una vivace polemica sul significato dell'algebra e del suo

simbolismo. Fino ad allora, l'algebra era stata considerata come " Aritmetica Universale

". In questa nuova visione, la variabile, era una cosa in se, svuotata di ogni significato esterno.

L'algebra veniva ad essere completamente sganciata dall'aritmetica. La costruzione del

linguaggio simbolico è stata troppo lenta e difficoltosa.

Nesselman ha individuato tre stadi distinti nella storia dell'algebra:

Fase retorica: si ricorre soltanto al linguaggio naturale, senza l'uso di simboli;

Fase sincopata: i calcoli sono ancora eseguiti nel linguaggio naturale, ma si ha l'introduzione

di abbreviazioni per l'incognita e le sue potenze;

Fase simbolica: si usano le lettere per tutte le quantità, i segni per le operazioni e il

linguaggio simbolico viene utilizzato per provare regole generali.

Tutte le equazioni algebriche razionali di primo o di grado superiore al primo,

sono classificabili in :

NUMERICHE: se non figurano altre lettere oltre l’incognita;

LETTERALI: se oltre l’incognita figurano altre lettere;

INTERE: se l’incognita non figura al denominatore;

FRATTE: se l’incognita figura anche, o solo, al denominatore.

Classificazione delle equazioni

9

Quindi in generale risolvere un’equazione, vuol dire trovarne le soluzioni.

Gli studenti spesso vedono la soluzione di un’equazione come il risultato di manipolazioni

magiche,

e tendono a meccanizzare �

i procedimenti non tenendo conto e anzi, banalizzando,i principi di equivalenza che sono alla

base della risoluzione.

Ma, allora……

Oggi ragazzi, vogliamo risolvere un problema geometrico, con l’aiuto delle equazioni di primo

grado.

Quindi prendiamo il quaderno e la penna e iniziamo a scrivere:

“ Su un segmento di misura a si costruiscono un triangolo isoscele di base x e un quadrato

-x-1=0 x+1=0 x = -1

10

come in figura:

x a-x

Qual’ è la condizione affinché i due poligoni abbiano la stessa area? “

Interviene George, dicendo basta disporre di un buon ventilatore per avere la stessa aria!!!

No!! George la stessa area, non aria?

Scusi prof.!!

Chi è in grado di risolverlo?

Nel silenzio più assoluto, una voce flebile sussurra, potremmo calcolarle le due aree e poi

uguagliarle.

Bravo Nicol, può essere un’idea, allora scriviamo le due aree:

( )xaxhbAT −⋅=⋅=2

1

2

1 ( )22 xalAQ −==

ora uguagliamole:

( 1 ) ( ) ( )2

2

1xaxax −=−⋅

Ora siamo pronti a risolvere l’equazione, con l’aiuto di un Sommo poeta:

Nel mezzo del cammino di nostra equazione,

mi ritrovai per un problema oscuro

e la diritta via avevo smarrito.

Ahi quanto a dir qual era è cosa dura esta soluzione selvaggia e aspra e forte

che nel voto rinnova la paura

11

La (1), si può risolvere in due modi:

1 � ( ) ( ) 02

1 2 =−−−⋅ xaxax

da cui ( ) ( ) 02

1 =

−−⋅− xaxxa � ax = e ax3

2= .

Solo la soluzione ax3

2= è soluzione della (1)

2 � ( ) )2(2 22 xaxaxax +−⋅=−⋅ , svolta segue: 0253 22 =+− aaxx , una

soluzione è ax = come divisore dal Teorema di Ruffini, da cui usando la regola dello

stesso Ruffini, ottengo la seconda soluzione:

3 -5a 22a

a 3a - 22a

3 -2a 0

allora : ( ) ( ) 023253 22 =−⋅−=+− axaxaaxx e quindi l’unica soluzione

possibile ax3

2= .

12

Interessante è ricavare il valore dell’area che soddisfa il problema, essa vale:

con ax3

2= � ( )933

2 22222 aa

aaxalAQ =

=

−=−== ( unità di area )

mentre con ax = ( ) ( ) ( ) 002222 ==−=−== aaxalAQ ( unità di area )

abbiamo un caso degenere.

Ora la preparazione alla verifica di Matematica sulle equazioni di primo grado

Test di verifica

1. Trascrivere in linguaggio matematico il seguente problema:

“ Il doppio di 12, diminuito di un terzo di un certo numero dà la metà di

20. Qual è quel certo numero? “

2. Verifica se sono stati applicati correttamente i principi di equivalenza alle

seguenti equazioni:

a) 329 =+− x � 293 −=− x � 26−=− x � 26=x

b) 5105155 +=−+ xx � 5155105 ++=+ xx � 2515 =x

� 3

5=x

c) 612363 +=−+ xx � 336126 +−=− xx � 66 =− x �

1=x

3. Eseguire le seguenti equazioni, utilizzando i principi di equivalenza:

a) 984 −=+x b) 4536 −=x

4. Indicare il valore corretto di x per la seguente equazione:

1648248 +=− xx 2

13

1. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]121211134 2 −⋅−⋅−=+⋅−−−⋅− xxxxxxx

2. ( )[ ] ( )[ ]xxx 621263 +−−−=+−−−⋅

3. ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxx ++−−−=−−−+ 45121032222

4. ( ) ( ) ( ) 21312 32 −−⋅=+−−⋅ xxxxx

5. ( ) ( ) ( ) ( )10

3

134

2

3

3

73

6

2323 2

−⋅−−⋅−−=−⋅−xx

xxx

6.

+

+⋅−

−=

−

−

+−

+

−

2

5

2

55

3

12

33

15

433:

2

51

2

3

2

31

2

1 xxx

7. ( ) ( ) ( )27

12

3

113

5

221

5

2

3

1 2

3

−−⋅−−⋅=

+⋅−−⋅

−−

− xxxx

xxx

x

8. ( )13

2635

1

25

73

2

−⋅+++=

−++

+ x

x

x

x

x

x

x

Esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8

Punteggio 0,8 0,8 1,0 1,0 1,0 1,4 2,0 2,0

Esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8

Risultato 0 impossibile -15 1/3 2 6/5 5/9 -21/5

Non tutte le equazioni di grado superiore al primo, possono essere ricondotte allo studio di

equazioni di primo grado.

Un’equazione si dice ridotta in forma normale quando è scritta nella forma 0)( =xP , con

)(xP polinomio ridotto nella variabile x.

Verifica di Matematica sulle equazioni di primo grado

Equazioni di grado superiore al primo

14

Se il polinomio )(xP si può fattorizzare come prodotto di due o più polinomi di primo grado:

0)()()( =⋅⋅ xhxgxf , allora per la legge dell’annullamento del prodotto, avrò:

0)()()( =⋅⋅ xhxgxf ⇔ 0)(0)(0)( =∨=∨= xhxgxf .

La soluzione finale di un’equazione di grado superiore al primo, riconducibile a equazioni di

primo grado è data dall’unione delle singole soluzioni.

Esempio 1:

1

1 1

1 2 1 ALBERO

1 3 3 1 DI

1 4 6 4 1 TARTAGLIA (*)

1 5 10 10 5 1 CON n=5

e

s

e

m

p

i

o

03280804010 2345 =−+−+− xxxxx

( ) 025

=−x

( )2−x ( )2−x ( )2−x ( )2−x ( )2−x 0= , la soluzione è 2=x , contata 5 volte.

Esempio 2: Risolvere l’equazione 0652 =++ xx , con il Teorema di Ruffini (**), posso

scrivere � ( )( ) 032652 =++=++ xxxx e con la legge dell’annullamento

del prodotto abbiamo� ( ) 02 =+x e ( ) 03 =+x da cui le due soluzione che

soddisfano l’equazione data: 2−=x e 3−=x

Esempio 3: Risolvere l’equazione 0935 23 =++− xxx , con il Teorema di Ruffini, posso

scrivere

15

� ( )( ) ( )( ) 031961935 2223 =−−=+−+=++− xxxxxxxx e con

la legge dell’annullamento del prodotto abbiamo� ( ) 01 =−x e ( ) 03 2 =−x

da cui le due soluzione che soddisfano l’equazione data: 1=x e 3=x contata

2 volte.

E con ciò abbiamo terminato l’argomento, la prossima volta parleremo delle

disequazioni di primo grado.

Oggi parleremo delle disequazioni di primo grado, facendo un esempio:

P. George? Sai dirmi qual è il minimo voto per la promozione in Matematica?

S. Certo!! Il 6 prof.!!

P. Perché proprio il sei?

S. Perché lei può dire di me “ sei promosso “

P. Bella battuta George!!! Ma rimaniamo seri.

Se il voto sei ( la minima soglia per la promozione ) l’ho chiamo x , allora la promozione

dell’alunno generico in matematica sarà assicurata da tutti i voti maggiori o uguali di sei sino

al voto dieci, cioè 10,9,8,7,6 ===== xxxxx , questa scrittura è molto lunga e

noiosa, invece con i simboli matematici 106 ≤≤ x risulta semplice e compatta da capire ,

mentre l’alunno generico non raggiungerà la promozione in matematica con tutti i voti minori

di sei e maggiori uguali di uno,cioè 5,4,3,2,1 ===== xxxxx , come prima in

simboli matematici 61 <≤ x .

Quello che voglio dirvi, che molte volte, per indicare più eventualità per un certo evento e

conviene porlo uguale a x e le diverse eventualità con ex ≥ o ex ≤ .

In questo modo le scritture ex ≥ e ex ≤ sono chiamate disequazioni di primo grado in x .

In questo caso le eventualità sono finite, infatti sono 10, cinque a favore dell’alunno e cinque a

sfavore.

In generale le eventualità possono essere non finite, ad esempio se consideriamo tutti i valori

della 1≥x con x reale disposti sull’asse delle ascisse essi sono infiniti.

1 6 10

Introduzione disequazione di primo grado

16

Una disequazione è una disuguaglianza in cui compaiono espressioni letterali per le quali

cerchiamo i valori di una o più lettere che rendano la disuguaglianza vera.

Le lettere che compaiono sono dette incognite, tutti i valori che soddisfano una disequazione

viene detto insieme delle soluzioni.

Le disequazioni di primo grado si chiamano lineari.

Spesso le soluzioni sono sottoinsiemi dei numeri reali, costituiti da tutti i valori che precedono

un certo numero o da quelli che lo seguono, o da valori compresi tra due numeri. Insiemi di

questo tipo vengono detti intervalli ( aperti o chiusi).

Per questo motivo da oggi in poi parleremo di intervallo di soluzioni della disequazione

data.

I simboli usati sono: ( )≤≥<> ,,, .

Ritornando alle disequazioni algebriche razionali di primo o di grado superiore al primo,

esse sono classificabili come per le equazioni in :

NUMERICHE: se non figurano altre lettere oltre l’incognita;

LETTERALI: se oltre l’incognita figurano altre lettere;

INTERE: se l’incognita non figura al denominatore;

FRATTE: se l’incognita figura anche, o solo, al denominatore

Ora una definizione e due principi per le disequazioni tutte:

Definizione: Due disequazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzione.

Esempio: (1) xx 5184 −>− � 99 >x � 1>x

(2) 2237 +>− xx � 55 >x � 1>x

Primo principio di equivalenza: Data una disequazione, si ottiene una disequazione ad essa

equivalente aggiungendo a entrambi i membri

uno stesso numero o espressione. � data :

xx 2345 +>+− una equivalente è ad

esempio )3(23)3(45 xxxx ++>++−

cioè xx 5342 +>+−

Secondo principio di equivalenza: Data una disequazione, si ottiene una disequazione ad essa

equivalente moltiplicando o dividendo entrambi

i membri uno stesso numero positivo.� data

xx 2345 +>+− una equivalente è ad

esempio xx 46810 +>+− ottenuta dalla

prima moltiplicandola per più due.

Altrimenti moltiplicando o dividendo entrambi i

membri uno stesso numero negativo cambia il

verso della disequazione. .� data

xx 2345 +>+− una equivalente è ad

esempio xx 691215 −−<− ottenuta dalla

prima moltiplicandola per meno tre.

Disequazione

17

Ora la preparazione alla verifica di Matematica sulle disequazioni di primo grado

Test

1. 5

1

5

1

5

1

3

1

−−−+>

−−

x

xx

xx � 54/5 <∪< xx

2. 04751 >−−++ xxx � 3−<x 3. ( )421112 ++<− xx � 1>x

4. ( ) 15213 +<−− xx � 3>x 5. Le diagonali di un rombo sono lunghe rispettivamente ( 6x-2 )cm e

(5x+10) cm.

Quali valori può assumere x affinché la prima diagonale sia maggiore della

metà della seconda? � 2>x

6. 522105 +≥−− xx � 2/36/1 ≥∪−≤ xx

7. 1283 −≤+− xx � 3/4−≥x

18

1. xxx2

3

3

43

2

1

2

3 ++−>−−

2. 06

36 >+

−−x

x

3. 023

442

<+−

−xx

x

4. 076

962

2

>−

+−xx

xx

5. ( ) ( ) 1425

113

7

1 ≤−−− xx

6. xxx4

1

3

243

3

132 ++≥

+++

7. ( ) xxxxx 51352 +−<+−

8. xx

x

x

x

−+>

−−−

−−

2

12

63

1

42

15

Esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8

Punteggio 0,8 0,5 1,2 2,0 0,5 1,0 1,0 2,0

Ex. 1 2 3 4 5 6 7 8

Sol. impossibile -6<x<-1/2 x<2

- x=1

X < 0

X >6/7

– X=3

58≤x

61/20≥xX>1/3

2

29

>−<

x

x

Verifica di Matematica sulle disequazioni di primo grado

19

Nel caso che la disequazione è di grado superiore al primo, non sempre è possibile

risolverla.

Un metodo da provare sempre, è quello di fattorizzare il polinomio di grado superiore al

primo con il metodo di Ruffini (***) . Facciamo degli esempi:

1. Risolvere la seguente disequazione intera:

06116 23 <−+− xxx , con Ruffini si trovono i tre

divisori:

x = 1, x = 2, x = 3, allora fattorizzo:

( )( )( ) 0321 <−−− xxx

1 2 3

S ={ }321: <<∪<ℜ∈ xxx

2. Risolvere la seguente disequazione intera:

( ) ( ) 031 2 ≥−⋅+ xx , le soluzioni sono x =- 1

contata due volte e x = 3.

-1 3

S = { }3: ≥ℜ∈ xx

3. Risolvere la seguente disequazione fratta:

06

72

≥−+

−xx

x ⇔ ( ) ( ) 0

32

7 ≥+⋅−

−xx

x, studio il

numeratore e il denominatore maggiori di zero, allora

avremo:

Disequazioni di grado superiore al primo

20

0)( ≥xN � 07 ≥− x cioè 7≤x

0)( >xD � 02 >−x e 03 >+x , grafico il tutto:

-3 2 7

S = { }723: ≤<∪−<ℜ∈ xxx

Oggi ragazzi parleremo di un argomento nuovo “ I sistemi di disequazioni “

S. Meno male prof.

P. Perché dici così George?

S. Prof. Finalmente ho trovato un modo per sistemarmi, con i tempi di oggi?

P. Ma sono equazioni, George?

S. A maggior ragione, ho il modo di trovare una soluzione finale per sistemarmi?

P. Non è proprio così, la soluzione che tu trovi, serve solo per verificare il sistema dato.

S. Allora, prof., se il sistema è verificato, quindi idoneo, perché non posso usarlo per vincere

qualcosa al superenalotto?

P. No! George, non puoi pensare che ogni cosa ti serve per guadagnare, ma come possibilità di

poter creare delle nuove applicazioni a partire dai sistemi matematici.

S. Peccato, pensavo a qualcosa di diverso!!

Sistemi di disequazioni

21

Proviamo ora a definire un sistema di disequazioni

“ Un sistema di disequazioni è l’insieme di due o più disequazioni nella stessa incognita che

devono essere verificate simultaneamente.”

Quindi la soluzione di un sistema consiste nel determinare gli intervalli intersezione delle

soluzioni delle singole disequazioni.

Cioè determinare tutti i valori dell’incognita, generalmente x , che verificano

contemporaneamente tutte le disequazioni date.

Pianto Antico Sistema Antico

L'albero a cui tendevi Il sistema a cui risolvevi

la pargoletta mano, con la regoletta nella mano,

il verde melograno il verde risultato

da' bei vermigli fior, da’ bei calcoli fiorir

nel muto orto solingo nel muto foglio solingo

rinverdì tutto or ora ricopiai tutto or ora

e giugno lo ristora e a giugno la risposta

di luce e di calor. di luce è il valor.

tu fior della mia pianta Tu sistema antico

percossa e inaridita, percosso da me e inaridito

tu dell'inutil vita tu dell’inutil vita

estremo unico fior, l’unica soluzione a me confida

sei ne la terra fredda, sei proprio vera

sei ne la terra negra; per lo studente una chimera

né il sol più ti rallegra né il sol ti può cambiar

né ti risveglia amor. né la terra trasformar.

Giosuè Carducci Giosuè Calcolucci.

22

Radicali

Nascita dei radicali

23

Come si costruisce la spirale di Teodoro di Cirene?

1. Si parte dal quadrato ABCD di lato unitario.

2. Si traccia la diagonale del quadrato che è lunga 2 .

3. Si traccia il segmento ED=1 perpendicolare alla diagonale BD. EB = 312 =+

4. Si traccia il lato FE=1 perpendicolare a BE. FB= 2413 ==+ .

5. E così via…., bravo matematico della scuola pitagorica.

24

In effetti i numeri irrazionali nascono così………… C’era una volta un numero razionale nm / (con m e n numeri interi diversi e primi tra

loro), egli trascorreva tutti i giorni in un campo reale e le sue decisioni quotidiane erano

sempre ponderate e sapienti.

Un giorno decise di scalare una montagna elevandosi così al suo quadrato per diventare un

nuovo numero, il numero 2.

Si accorse, subito, che non poteva né essere 1, perché nm ≠ né essere 2, perché nm 2=

portava ad una contraddizione cioè che il numero primo m ( sempre dispari, tranne 2) era

uguale ad un numero pari n2 .

Allora, dopo aver ammirato il panorama, decise di scendere a valle.

Qui incontrò il re dei numeri Numerik, che vedendolo un po’ giù di morale, l’ho piantò nel suo

giardino, tra il numero 1 e il numero 2.

Dopo la prima luna , nacque una radice così bella, di una bellezza irrazionale, che fu chiamata

radice quadrata tra 1 e 2, e per gli amici radice quadrata di 2.

Infatti, 2 è un numero approssimato tra 41 (quattro 1) e 42 (quattro 2), cioè

...4142,12 =

Il re dei numeri, vista questa radice così bella, la innestò ad altri numeri primi, da cui nacquero

i numeri irrazionali algebrici ,.......7,5,3 e successivamente altri numeri irrazionali

che trascendevano dagli algebrici, chiamati trascendenti come:

• .......1415,3=π � rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo

diametro

• .........718,2=e � numero di Nepero

• ....577215,0=γ � costante di Eulero

• ....6931,02ln = � logaritmo naturale di 2

• ...6651,22 2 = � numero di Hilbert

• 618,12

15 =+=φ …. � numero aureo, scoperto dai greci, periodo classico

• ....131,23=πe � numero di Nepero elevato a π

• ....450,22=eπ � numero π elevato al numero di Nepero

• ....01101001,0=tm � numero di Thue-Morse

• ....207,02 ==−π

ei i � unità immaginaria elevata a se stessa

• .....842,42 −=−=− −π

ei i � opposto dell’unità immaginaria elevata a se stessa

25

Esiste, in matematica, una formula compatta che colleghi ,,,, ie φπ ?

La risposta è si, essa è: 52 =+ φπie

Breve storia dei radicali

In verità la scoperta degli irrazionali non è interamente opera dei pitagorici, una traccia del

calcolo di estrazione della radice quadrata è stata scoperta in Mesopotamia, mentre i

Babilonesi risolvevano la radice quadrata, con il metodo noto oggi di “algoritmo di Newton”.

Sulla tavoletta di Yale n. 7289, viene determinato il valore di 2 come rapporto fra la

diagonale e il lato di un quadrato.

1

26

La scoperta degli incommensurabili è dovuta a Ippaso di Metaponto e si racconta “ che i

pitagorici stessero allora solcando il mare su di una nave e che essi abbiano gettato fuori bordo

Ippaso per punirlo del fatto di aver introdotto un elemento dell’universo che negava la dottrina

pitagorica secondo la quale tutti i fenomeni dell’universo possono essere ridotti a numeri interi o

a loro rapporti” negando così l’esistenza degli incommensurabili.

L’idea dei numeri irrazionali fu molto difficile da farsi accettare soltanto nel Rinascimento

1600 circa i numeri irrazionali prendono il concetto di numero, lasciando posto alle

grandezze.

Curiosità storiche sui numeri irrazionali

• Interessante sapere, che per molto tempo, sia la 2 e la 3 16 furono chiamate

radici o numeri sordi, in quanto non avevano un valore esatto, “ perché sfugge come

un rumore sordo che si distingue male”

• Risolvere le equazioni per radicali, è stato il sogno impossibile degli algebrici nel

corso dei secoli: si può vedere che in generale le equazioni algebriche possono essere

risolte mediante formule contenenti radicali solamente fino al quarto grado.

• Si è pensato che tale segno fosse anche una stilizzazione della lettera R, iniziale

di Radix.

• La lettera R, come simbolo di radice, comparve nelle opere di Leonardo Pisano (1180

circa-1250) il più grande matematico del medioevo, detto il Fibonacci.

• Il frate Luca Pacioli ( 1445-1517) sbarrò la lettera R e con 2R era per lui l’estrazione

della radice quadrata e con 3R era per lui l’estrazione della radice cubica.

• Bombelli (1526-1573) nella sua opera “Algebra“ indicò le radici, con la lettera R

seguita ta da q, radice quadrata o di c , radice cubica e con “ via “ la moltiplicazione.

La scrittura: R.q. 49 via R.q.5: fa R.q.245, equivalente ai tempi di oggi con la scrittura

matematica: 57245549 ⋅==⋅ .

La scrittura: R.c. 125 via R.c.27: fa 15, equivalente ai tempi di oggi con la scrittura

matematica: 1527125 33 =⋅ .

• Il segno apparve per la prima volta stampato nel 1525 nella famosa opera del

tedesco Rudolff (1500-1545) intitolata “Die Coss” ( l’incognita, o la Cosa ).

• Il segno di R deformato da Rudolff, fu perfezionato prima da Stifel ( 1486-1567) e poi

da Cartesio che è quello attualmente in uso oggi.

Perché i radicali?

In matematica ogni qual volta che facciamo un’operazione dobbiamo anche vedere se è

possibile tornare indietro cioè fare l’operazione inversa ( infatti una salita vista dall’altra

parte è una discesa).

Quindi possiamo dire che un radicale di un certo numero è quel numero tale che facendovi

la potenza ottengo il numero di partenza.

27

Sicuramente, hai già affrontato problemi del tipo:

a) La superficie di un quadrato misura 15 2m ; qual è la misura del suo lato?

b) Il volume di un cubo misura 30 3cm ; qual è la misura dello spigolo l del cubo?

c) Qual è quel numero che elevato alla terza dà -27?

Formalizziamoli con i simboli della matematica:

a) indicata con x la misura del lato del quadrato, si ottiene: 2x = 15 ; � 15=x m

b) indicata con l la misura dello spigolo del cubo, si ottiene: l 3

= 30 ; �l = 3 30 cm

c) indicato con n il numero da determinare, si ottiene: 3n = -27; � 3273 −=−=n

Teorema: Si definisce radice ennesima di un numero 0≥a quel numero 0≥b che elevato

a potenza 0Nn ∈ mi ridà a.

In formula (1) ban = ⇔ abn = , si può scrivere baa nn ==1

⇔

aba n

n

n ==

1

Nella formula (1), n si chiama indice della radice, a si chiama radicando, b risultato

della radice.

Si ricorda che se n=1 allora aa =1, perché aa =1

.

Si ricorda che se n=2 allora aa =2, perché le radice quadrate sono le più numerose e

non scrivere l’indice è un bel risparmio di tempo.

28

Radicali aritmetici:

Quando non ci interessa sapere che segno otteniamo estraendo la radice, parliamo di radicali

aritmetici, cioè di radicali senza segno, ad esempio 749 = è un radicale aritmetico.

Una delle applicazioni del radicale aritmetico è il concetto di modulo di un certo numero a

anche come la radice aritmetica del quadrato di a stesso: 2aa = .

Radicali algebrici:

I radicali algebrici sono l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

Infatti se ho 25 , significa che devo trovare quel numero che moltiplicato per sé stesso mi

dà 25, quindi avrò 5 perché 2555 =x ma anche –5 perché ( ) ( ) 2555 =−− x , quindi per

considerare tutte le possibili scriverò: 525 ±= .

29

Riassunto di quanto detto:

Per indicare un radicale aritmetico userò il modulo � aa =2

Per indicare un radicale algebrico userò il modulo � aa ±=2

Facciamoci ora una domanda?

Posso sempre risolvere un radicale?

Per rispondere in modo corretto, devo stare attento alle condizioni di esistenza della radice:

• Se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero per

assicurarci l’esistenza del radicale.

• Se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi per

assicurarci l’esistenza del radicale.

Facciamo alcuni esempi di radicali calcolabili nel campo dei reali:

+ 9 , - 36 , +3 27 , -

3 8− , 5 2013−

Facciamo alcuni esempi di radicali non calcolabili nel campo dei reali:

+ 4− , - 6 8− , + 1− , -

4 27− , + 2013−

In verità essi sono calcolabili solo nel campo dei numeri complessi.

Operazioni fondamentali

Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono di seguito elencate:

• mnn m aa ⋅=

• ( ) n mmn aa =

• n mn

m

aa =

• n m

n

m

aa

1=−

• 22

22 baabaaba

−−±−+=± radicali quadratici doppi

Proprietà dei radicali

Proprietà invariantiva: Il valore di un radicale non cambia se:

1. si moltiplicano l’indice di radice e l’esponente del

radicando per uno stesso numero intero positivo r;

2. si dividono l’indice e l’esponente del radicando per un

loro divisore comune. In simboli: nr mrn m aa =

30

Regole: • Regola di semplificazione di radicali: Per semplificare un radicale, quando ciò è

possibile, si divide l’indice della radice e l’esponente del radicando per il loro M:C:D.

Esempio � 36 2 33 =

• Regola di riduzione di più radicali allo stesso indice: Per ridurre due o più radicali

allo stesso indice si assume come indice comune il m.c.m. degli indici dei singoli

radicali; si divide poi il m.c.m. per ciascun indice e il quoziente ottenuto si moltiplica

per l’esponente del rispettivo radicale.

Esempio � Ridurre allo stesso indice 3 3 ,

4 33 , 6 23 , il m.c.m.(3,4,6) = 12, si

ha 12 43 ,

12 93 , 12 43 ,

• Regola del prodotto di due o più radicali: Il prodotto di due o più radicali dello

stesso indice è uguale ad un unico radicale che ha come indice lo stesso indice e come

radicando il prodotto dei radicandi.

In simboli : nnn abba =⋅

• Regola del quoziente di due o più radicali: Il quoziente di due o più radicali dello

stesso indice è uguale ad un unico radicale che ha come indice lo stesso indice e come

radicando il quoziente dei radicandi.

nnnn ba

b

aba :: == con b 0≠

• Regola del trasporto di un fattore sotto il segno di radice: Un fattore non negativo

che moltiplica un radicale di indice n , può essere portato sotto il segno di radice,

come fattore del radicando, purchè si moltiplichi il suo esponente per l’indice n del

radicando.

In simboli: n nn baba ⋅=⋅ oppure n

nn b

ab

a⋅

=⋅ 11

• Regola del trasporto di un fattore fuori dal segno di radice: Dato un radicale di

indice n, un fattore del radicando che compare con un esponente m = np , può essere

trasportato come fattore, fuori il segno di radice, con esponente uguale a p, cioè al

quoziente tra m e n.

In simboli: npn np baba ⋅=⋅ oppure n

npn

pb

ab

a⋅

=⋅ 11

• Regola per le successive estrazioni di radice: La radice n.esima di un radicale è

uguale a un radicale che ha per indice il prodotto degli indici.

In simboli: nmn m aa =

31

• Regola di potenza di un radicale: La potenza p.esima di un radicale, con p intero, si

ottiene elevando a potenza il radicando.

In simboli: ( ) n mpp

n m aa =

Regola della somma di radicali: La somma di due o più radicali simili è un radicale simile ad

essi, che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

Esempio �

( ) 611610232

6526263621502626324

=++−=

=⋅++−=++−

Errori comuni:

• baba +=+

• baba −=−

• baba +=+ 22

• ba

ba =

• ( ) 333 baba +=+

• xx =2

• esistenonn =>−1

• ( ) 41515 2 −==>=+=>=+ xxx

• Perché ba + non è uguale a ba + ?

Facciamo due esempi banali con 0>a e 1=b e successivamente con 0>a e 2cb = .

Nel primo caso sapendo che ( 11 = ):

( )

baaa

aaaaba

+≠+≠+=

=+=+⋅=+⋅=+=+

11

1111111

32

Nel secondo caso sapendo che ( 11 = ):

( )bacaca

cacacaba

+≠+≠±=

=±=⋅+⋅=⋅+⋅=+2

2 11111

Nel caso generale avremo con )0(, Uba +ℜ∈ :

se per assurdo risulta vera la (1) : ba + = ba + allora è vera anche:

( ) 22)( baba +=+ , svolgendo avremo:

bababa +=⋅++ 2 vera solo se 0== ba , caso unico.

• Perché ba − non è uguale a ba − ?

Se per assurdo risulta vera la (2): ba − = ba − con )0()( Uba +ℜ∈> ,

allora.

ba − = ( )ba −+ ( ) baba −≠−+≠ per la (1).

La (2) è vera solo quando 0== ba � 00 − = 00 − � 00 =

La (2) è vera solo quando ba = � bb − = bb − � 00 = ,

vera solo per due soli casi

33

L'Infinito

Sempre caro mi fu quest'ermo colle,

e questa siepe, che da tanta parte

dell'ultimo orizzonte il guardo esclude .

Ma sedendo e mirando, interminabili

spazi di là da quella, e sovrumani

silenzi, e profondissima quiete

io nel pensier mi fingo; ove per poco

il cor non si spaura. E come il vento

stormir tra queste piante, io quello

infinito silenzio a questa voce

sovvien l'eterno,

e le morte stagioni, e la presente

e viva, e il suon di lei. Così tra questa

immensità s'annega il pensier mio:

e il naufragar m'è dolce ……..

Giacomo Leopardi

L’in finito radicale

Sempre caro mi fu quest’ermo radicale

e questa soluzione, che da tanta parte

dell’ultimo passaggio il guardo include.

Ma sedendo e calcolando, interminabili

sforzi di là da quello, e sovrumani tentativi

e profondissima delusione io nel pensier mi

sento, ove per poco il voto in cor mi fa paura.

E come la radice ama nutrir le piante, io odo con infinita

pazienza la soluzione che va comparendo, e mi sovvien

lei, è qui presente evviva!! Così tra questi calcoli

irrazionali s’allegra il pensiero mio; e il

naufragar m'è dolce in questo compito

Giacomo Radicardi

34

Domande

1. Quanto vale 3 11− ?

2. Esiste la seguente radice x− nel campo dei reali?

3. Quanto vale n 0 ?

4. Quanto vale n 1 ?

5. Quanto vale 1 0 ?

6. Quanto vale 1 1 ?

7. Esiste ( )2

3

2− ?

8. Esiste ( )3

2

2− ?

Particolare radicale 6243456 =

Successione di multipli di 2 Numeri naturali successivi

Ora svolgiamo il test sui radicali:

Test sui radicali

1. Qual è il risultato semplificato del prodotto: 63102 ⋅− ?

• 158−

• 605−

• 1512−

• 606−

2. Qual è il valore di 1282

118

3

225 −+ :

• 218

• 226

• 182

• 262

•

35

3. Razionalizzare il numero: 527

98

• 26

13

• 26

26

• 26

• 262

4. Quale delle seguenti frazioni non è equivalente alle altre?

• 6

1

• 1

6

• 6

6

• 12

2

5. Se 0>n , quale delle seguenti proposizioni è vera?

1) nn =2 2)

nn

1> 3) nn −>

• Solo la 1)

• La 1) e la 2)

• La 1) la 2) e la 3)

6. Calcolare il valore delle seguenti potenze con esponenti radicali:

a)

5,1

125

1−

b)

5,17

1− c)

5,24− d) 5,33−−

Esercizio 1 2 3 4 5 6

Punteggio 0,5 1,0 2,0 0,5 2,0 1,0

36

Compito di Matematica

1. Risolvi: ( ) ( )25031602402903 −⋅−

2. Risolvi: abba

⋅

− 35

3. Risolvi: ba

ba

ba

ba

−−⋅

+− 22

4. Risolvi: ( ) ( ) 111 ++⋅− aa

5. Risolvi: ( ) 22 932 yyx −+

6. Risolvi: yxyx −

++

23

7. Risolvi: 31

1 a

a

a

a +⋅+

8. Risolvi: x

x

⋅+−21

21

9. Risolvi: ( )

( ) ( ) ( )babbabaa

ba

−−−⋅+

+ 2

Per concludere il viaggio sui radicali, proviamo a raccontare la parte allegra dei radicali

1. “ La radice quadrata di 4, ha bisogno di acqua e luce o il risultato sarà 123456789”

Così affermò un genio come Pikacku.

2. Il numero apice al di fuori della radice è detto indice, seguito dal medio, anulare e mignolo.

3. Che cos’è il radicando di una radice? Il suo gerundio!!

4. Purtroppo aveva una radice cubica, e l’estrazione sarebbe stata difficile.

5. Tutto ciò è immaginario, disse il radicale puntando l’indice accusatore su meno uno.

6. Il colmo per un matematico: Avere una pianta con le radici quadrate.

Esercizio 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Punteggio 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 1,5 1,5 1,0 2,0

37

Note

(*) Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò Fontana, nasce a Brescia nel 1499.

Nel 1512, viene ferito alla mandibola, da questo momento in poi il suo soprannome

diventerà quello di “Tartaglia”. Essendo povero non potè frequentare la scuola ed era

molto fiero di essere autodidatta. Grazie alla sua abilità, nel 1521, diventò insegnante a

Verona. In questo periodo, partirono i suoi studi sulle opere matematiche. Infatti sua è la

traduzione degli “Elementi di Euclide”.

La formula dell’equazione di terzo grado la scoprì Scipione del Ferro.

Essa permetteva di risolvere equazioni come qpxx =+3, riconducibili a 3

bzx −= ,

dove b è un coefficiente di secondo grado. Però lasciò la formula al suo fidato allievo

Fiorello Maria del Fiore che si vantò della risoluzione di questa formula. Questo stimolò il

Tartaglia , che in modo indipendente, riscoprì la formula di Dal Ferro e nel 1535, accettò

un cartello di matematica disfida dello stesso Fiore. Tartaglia con molta destrezza vinse la

disfida. Niccolò fu, così, oggetto di attenzione da parte di Gerolamo Cardano che lo invitò a

Milano (1539). Cardano, con l’allievo Ferrari, migliorarono la formula dell’equazione

cubica. Ferrari sfidò 6 volte in due anni Tartaglia, dove quest’ultimo perse. Dovette

tornare a Venezia ed ebbe molti problemi economici.

La formula dell’equazione cubica fu, alla fine, chiamata di “ Cardano-Tartaglia”.

Egli morì a Venezia il 13 Dicembre 1577.

38

(**) Paolo Ruffini, fu un matematico e medico italiano, nato a Valentano il 22 Settembre

1765.

Nel 1783 si iscrive all’Università di Modena.

Nel 1788 si laurea in varie facoltà tra cui matematica.

Nel 1797 diventa professore e nel 1814 ottiene anche l’incarico di Rettore.

E’ ricordato per il teorema e per la regola che prenderanno il suo nome.

La sua regola viene pubblicata nel 1809 e grazie alla quale si possono risolvere divisioni di

polinomi con binomi di primo grado nella stessa variabile.

Nel 1817 si ammala di tifo.

Nel 1822 muore a Modena.

(***) Teorema di Ruffini

Un polinomio è divisibile per un binomio se e soltanto se

Regola di Ruffini

Quando il polinomio divisore è un binomio del tipo , dove a è un numero reale

qualunque, per determinare il quoziente Q e il resto R, possiamo utilizzare un metodo

rapido, detto regola di Ruffini, che permette di calcolare i coefficienti iq del polinomio

quoziente Q e il resto R.

Schema �

-- -- -- -- …

a -- -- -- -- …

→iq -- -- -- -- R

)(xP ax −0)( =aP

ax −

39

Alunni che hanno contribuito alla realizzazione di questo piacevole lavoro

Classe 2 C A.S. 2012-2013

1. Agosti Luca

2. Angelini Luca

3. Annarumi Simone

4. Bernardinetti Edoardo

5. Borioni Giada

6. Cela Dashamir

7. Coppola Luca

8. De Luca Francesco

9. Di Gaetano Giada

10. Di Marco Chiara

11. Di Maria Alessandro

12. Frolo Cesare

13. Giovannozzi Marta

14. Giuseppini Giulia

15. Iorio Daniela

16. Ivan Vlad Dorin

17. Macri Giada

18. Madeddu Matteo

19. Malandrino Gianluca

20. Monti Valerio

21. Paciotti Irina

22. Pasquali Valerio

23. Piacentini Fabio

24. Pistelli Francesco

25. Vacante Pierluigi

26. Zega Sara