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Laboratorio di Fisica I – Anno Accademico 2018–2019

Relazione esperienza n°3

Mario Lauriano, Francesco Giosuè, Flavio Magliozzo,

Chiara Coppola, Valeria Principato

3 gennaio 2018

Titolo: Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla di un oscillatore armonico

semplice

Sommario

L’esperienza svolta, nell’ambito del corso di Laboratorio di Fisica I, volta a:

i) misurare il periodo di oscillazione dell’oscillatore;

ii) determinare la costante elastica della molla elicoidale e commentate il risultato ottenuto.

1.0 Introduzione

L’esperienza si suddivide in due parti, che si svolgeranno avendo a disposizione un sistema massa-

molla e un cronometro digitale (avente risoluzione r = 0.01 s).

Procedimento - Parte I Ogni componente del gruppo misura il tempo corrispondente a 10 oscillazioni e ripete l’operazione almeno

20 volte. (Decidete quante misure fare, in modo che ogni componente del gruppo faccia lo stesso numero

di misure).

a) Utilizzando i risultati ottenuti dal singolo componente del gruppo, fate un istogramma.

b) Ricavate da esso il valore medio del periodo di oscillazione e la deviazione standard.

c) Calcolate il valore medio e la deviazione standard direttamente dai dati e confrontate i risultati ottenuti

con i due metodi.

d) Raccogliendo i dati ottenuti dai vari componenti del gruppo, fate un istogramma utilizzando l’intero

set di dati, confrontatelo con quelli fatti dai singoli componenti e commentate il risultato.

e) Dall’analisi complessiva dei dati, ricavate il periodo di oscillazione del sistema massa-molla e la

corrispondente indeterminazione.

Procedimento - Parte II Cambiare massa e ripetere le operazioni di misura del periodo di oscillazione (come meglio preferite: o

tutti insieme o separatamente). Fate le misure almeno con 5 differenti masse.

Per l’analisi dei dati procedete nel seguente modo:

a) per ciascuna massa, calcolate il valore medio e la deviazione standard della media;

b) riportate in un grafico log-log i valori della frequenza angolare in funzione della massa e

determinate la loro relazione funzionale;

c) applicando la procedura di linearizzazione, determinate graficamente il valore della costante

elastica della molla e la sua indeterminazione;

d) confrontate e commentate i risultati ottenuti con i vari metodi.

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Suggerimento

Conviene portare avanti i calcoli considerando il tempo di 10 oscillazioni e alla fine dei calcoli ricavare il

periodo.

𝛿𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝛿𝑙𝑒𝑡𝑡 + 𝛿𝑝𝑟𝑒𝑐 =𝑟

2+ 𝛿𝑝𝑟𝑒𝑐 = 0.01 𝑠

Indice 1.0 Introduzione .......................................................................................................................................................... 1

1.1 PARTE PRIMA - Obiettivi ................................................................................................................................... 2

1.2 Procedimento ........................................................................................................................................................ 2

1.3 Raccolta ed analisi dei dati .................................................................................................................................... 3

1.4 Istogrammi ............................................................................................................................................................ 7

1.5 Confronto tra risultati analitici e grafici .............................................................................................................. 10

2.1 PARTE SECONDA - Obiettivi ........................................................................................................................... 10

2.2 Procedimento ...................................................................................................................................................... 10

2.3 Raccolta ed analisi dei dati .................................................................................................................................. 11

2.4 Determinazione di K ........................................................................................................................................... 14

2.4.1 Metodo 1- Grafico Log-Log .............................................................................................................................. 14

2.4.2 Metodo 2 – Linearizzazione ............................................................................................................................... 16

2.5 Conclusioni ............................................................................................................................................................... 19

1.1 PARTE PRIMA - Obiettivi

La parte prima dell’esperienza ha l’obiettivo di determinare il periodo di oscillazione di una data massa

(m=50 g), a partire dai dati dei periodi misurati per mezzo di un cronometro e relative a 10 oscillazioni

complete del sistema massa – molla.

1.2 Procedimento

Ciascun componente del gruppo di lavoro ha:

1. Messo sulla la molla una massa campione pari a 50 g (supposta esatta, cioè con un’indeterminazione

trascurabile);

3

2. Sollevato la massa (non eccessivamente, in relazione alla bassa elasticità della molla) e

successivamente lasciata in modo da dar luogo all’oscillazione;

3. All’istante in cui è stata lasciata, schiacciato il cronometro e aspettato (contando, una alla volta, le

oscillazioni) che la massa compiesse le 10 oscillazioni complete. Quando le oscillazioni sono state

dieci, schiacciato il cronometro e visualizzato il tempo;

4. Ripetuto i punti 2 e 3 per 20 volte.

In funzione dei tempi di risposta, ossia della prontezza con cui si è stati in grado di azionare ed arrestare il

cronometro, sono stati ottenuti dei dati influenzati da errori casuali (positivi se fatto partire in ritardo il

cronometro, o negativi viceversa, rispetto alle 10 oscillazioni complete). Pertanto, ciascun componente del

gruppo ha ottenuto Ti 10 per i da 1 a 20

In particolare, ciascun operatore ha proceduto alla misura diretta del tempo occorrente a che il sistema compia

le 10 oscillazioni complete riportando i dati misurati in un apposito foglio di calcolo che ne determini, per

ciascun set (5 set in totale – uno per ogni componente del gruppo), i valori del T10 quale valore medio tra

quelli ottenuti dalle misure (Periodo relativo alle 10 oscillazioni), le 𝜎𝑇 10 (Deviazioni Standard relative alle

10 oscillazioni) e la Deviazione Standard della Media x . Tutto ciò attraverso le relazioni:

�̅� =1

𝑁∑ 𝑥𝑖

𝑁1 𝜎𝑋 = √

1

𝑁−1√∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑁

1 𝜎�̅� =𝜎𝑋

√𝑁

1.3 Raccolta ed analisi dei dati

I dati sono stati raccolti ed inseriti in un apposito foglio di calcolo Excel, come appresso indicato.

Tutti i periodi relativi alle 10 oscillazioni sono in secondi

Mario Flavio Franco Chiara Valeria Set 1 Set 2 Set 3 Set 4 Set 5

T1 10 8,00 7,87 8,00 8,09 8,00

T2 10 8,06 7,88 8,04 7,84 8,00

T3 10 8,03 7,97 8,06 7,90 8,00

T4 10 8,03 7,94 7,97 7,97 7,86

T5 10 8,00 7,84 7,97 7,84 7,96

T6 10 8,00 7,94 8,03 7,97 7,95

T7 10 8,06 7,94 7,94 7,84 8,01

T8 10 8,00 7,93 7,88 7,97 8,00

T9 10 8,00 7,97 7,91 7,96 7,88

4

T10 10 8,15 7,90 8,09 7,94 7,87

T11 10 8,06 7,91 8,07 8,10 7,75

T12 10 8,03 7,94 8,03 8,03 7,84

T13 10 8,12 8,00 8,00 8,06 7,93

T14 10 8,00 7,90 7,81 7,97 7,94

T15 10 8,09 8,00 7,97 7,94 7,85

T16 10 8,00 7,94 8,15 8,09 8,00

T17 10 8,00 7,97 7,94 7,94 7,91

T18 10 7,97 8,04 7,75 7,88 7,91

T19 10 8,04 7,93 8,00 7,81 7,93

T20 10 8,00 7,94 7,90 8,00 7,91

Media ___________ Tbest 10

8,032 7,9375 7,9755 7,957 7,925

Deviaz. Stand. ____σT10

0,046180424 0,047336978 0,09500554 0,087965304 0,069167988

Dev. Stand d. Media__σṮ10

0,010326257 0,01058487 0,021243885 0,01966964 0,015466432

Allo stesso modo, costituito l’intero set di 100 misure si sono calcolati per via analitica i valori del periodo

relativo alle 10 oscillazioni (T10), le deviazioni Standard relative alle 10 oscillazioni (σT10) e la deviazione

standard della media ( x T10 ).

Intero set di 100 misure

Media ___________ Tbest 10 7,9668 s

Deviaz. Stand. ____σT10 0,088121587 s

Dev. Stand d. Media__σṮ10 0,008812159 δ statistico10 s δstrum.10 0,01

T10 = Tbest 10 ± δT10 = Tbest 10 ± (δstatistico10 + δstrum.10) = 7,9668 0,018812159 s

prima dell'approssimazione

T10 = Tbest 10 ± δT10 = 7,970 ± 0,019 s dopo l'approssimazione

𝑻 = 𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕 ± 𝜹𝑻 =𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕 𝟏𝟎

𝟏𝟎±

𝜹𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔. + 𝜹𝒔𝒕𝒓𝒖𝒎.

𝟏𝟎 0,7970 ± 0,0019 s

5

Parimenti, ciascun componente del gruppo ha proceduto, dopo aver fissato il numero di intervalli e l’ampiezza

di ciascuno di essi, a costruire gli istogrammi normalizzati dei dati e stimare graficamente il valore medio

Tbest10 e della deviazione standard σT10 , al fine di confrontare queste con i valori dedotti analiticamente e

verificare che i due differenti risultati siano consistenti. Per la costruzione degli istogrammi, preso atto del

valore minimo tra i minimi e del valore massimo tra i massimi, si è proceduto a fissare un intervallo

Δi = 0.05 s e son state quantificate le occorrenze all’interno di ciascuno degli intervalli tali che

𝑇𝑖 ≤ T > Ti + Δi. In questo modo, le scale di tutti gli istogrammi saranno uguali e l’ampiezza di ciascuno

degli intervalli Δi è fissata in modo da essere maggiore o uguale a 2 x 0.01.

Legenda: ni frequenza assoluta ossia il numero di volte che la misura rientra nel range dell’intervallo Δi;

N numero di misure (20/100) singolo istogramma/set complessivo;

Fi frequenza relativa; fi densità di frequenza relativa; Δi ampiezza di ciascun intervallo.

𝐹𝑖 =𝑛𝑖

𝑁 𝑓𝑖 =

𝐹𝑖

Δ𝑖=

𝑛𝑖

𝑁Δ𝑖

Mario

Ampiezza intervallo 𝒏𝒊 𝑭𝒊 =𝒏𝒊

𝑵 𝒇𝒊 =

𝑭𝒊

𝟎,𝟎𝟓

Interv = 0,05 7,75 ≤ T < 7,80 0 0 0

Interv = 0,05 7,80 ≤ T < 7,85 0 0 0

Interv = 0,05 7,85 ≤ T < 7,90 0 0 0

Interv = 0,05 7,90 ≤ T < 7,95 0 0 0

Interv = 0,05 7,95 ≤ T < 8,00 1 0,05 1

Interv = 0,05 8,00 ≤ T < 8,05 13 0,65 13

Interv = 0,05 8,05≤ T < 8,10 4 0,2 4

Interv = 0,05 8,10≤ T < 8,15 2 0,1 2

20 1

6

Flavio

Ampiezza intervallo 𝒏𝒊 𝑭𝒊 =𝒏𝒊

𝑵 𝒇𝒊 =

𝑭𝒊

𝟎,𝟎𝟓

Interv = 0,05 7,75 ≤ T < 7,80 0 0 0

Interv = 0,05 7,80 ≤ T < 7,85 1 0,05 1

Interv = 0,05 7,85 ≤ T < 7,90 2 0,1 2

Interv = 0,05 7,90 ≤ T < 7,95 11 0,55 11

Interv = 0,05 7,95 ≤ T < 8,00 3 0,15 3

Interv = 0,05 8,00 ≤ T < 8,05 3 0,15 3

Interv = 0,05 8,05≤ T < 8,10 0 0 0

Interv = 0,05 8,10≤ T < 8,15 0 0 0

20 1

Franco

Ampiezza intervallo 𝒏𝒊 𝑭𝒊 =𝒏𝒊

𝑵 𝒇𝒊 =

𝑭𝒊

𝟎,𝟎𝟓

Interv = 0,05 7,75 ≤ T < 7,80 1 0,05 1

Interv = 0,05 7,80 ≤ T < 7,85 1 0,05 1

Interv = 0,05 7,85 ≤ T < 7,90 1 0,05 1

Interv = 0,05 7,90 ≤ T < 7,95 4 0,2 4

Interv = 0,05 7,95 ≤ T < 8,00 3 0,15 3

Interv = 0,05 8,00 ≤ T < 8,05 6 0,3 6

Interv = 0,05 8,05≤ T < 8,10 3 0,15 3

Interv = 0,05 8,10≤ T < 8,15 1 0,05 1

20 1

Chiara

Ampiezza intervallo 𝒏𝒊 𝑭𝒊 =𝒏𝒊

𝑵 𝒇𝒊 =

𝑭𝒊

𝟎,𝟎𝟓

Interv = 0,05 7,75 ≤ T < 7,80 0 0 0

Interv = 0,05 7,80 ≤ T < 7,85 4 0,2 4

Interv = 0,05 7,85 ≤ T < 7,90 1 0,05 1

Interv = 0,05 7,90 ≤ T < 7,95 4 0,2 4

Interv = 0,05 7,95 ≤ T < 8,00 5 0,25 5

Interv = 0,05 8,00 ≤ T < 8,05 2 0,1 2

Interv = 0,05 8,05≤ T < 8,10 3 0,15 3

Interv = 0,05 8,10≤ T < 8,15 1 0,05 1

20 1

7

Valeria

Ampiezza intervallo 𝒏𝒊 𝑭𝒊 =𝒏𝒊

𝑵 𝒇𝒊 =

𝑭𝒊

𝟎,𝟎𝟓

Interv = 0,05 7,75 ≤ T < 7,80 1 0,05 1

Interv = 0,05 7,80 ≤ T < 7,85 1 0,05 1

Interv = 0,05 7,85 ≤ T < 7,90 4 0,2 4

Interv = 0,05 7,90 ≤ T < 7,95 6 0,3 6

Interv = 0,05 7,95 ≤ T < 8,00 2 0,1 2

Interv = 0,05 8,00 ≤ T < 8,05 6 0,3 6

Interv = 0,05 8,05≤ T < 8,10 0 0 0

Interv = 0,05 8,10≤ T < 8,15 0 0 0

20 1

Complessivo

Ampiezza intervallo 𝒏𝒊 𝑭𝒊 =𝒏𝒊

𝑵 𝒇𝒊 =

𝑭𝒊

𝟎,𝟎𝟓

Interv = 0,05 7,75 ≤ T < 7,80 2 0,02 0,4

Interv = 0,05 7,80 ≤ T < 7,85 7 0,07 1,4

Interv = 0,05 7,85 ≤ T < 7,90 8 0,08 1,6

Interv = 0,05 7,90 ≤ T < 7,95 25 0,25 5

Interv = 0,05 7,95 ≤ T < 8,00 14 0,14 2,8

Interv = 0,05 8,00 ≤ T < 8,05 30 0,3 6

Interv = 0,05 8,05≤ T < 8,10 10 0,1 2

Interv = 0,05 8,10≤ T < 8,15 4 0,04 0,8

100 1

1.4 Istogrammi

Per mezzo di SciDAVis sono costruiti gli istogrammi relativi ai dati raccolti: 5 set, uno per ciascun operatore,

più un grafico complessivo. Da ciascuno di tali istogrammi si sono potute apprezzate le stime grafiche del

periodo T10 e le deviazione standard (chiamate Г al fine di distinguerle da quelle trovate per via analitica),

pari a metà dell’ampiezza dell’istogramma misurata a metà altezza dello stesso.

8

9

Per la determinazione grafica del valore medio è stato imposto, per ciascuno degli istogrammi, che la somma

delle aree sino al Tbest 10 (incognito) fosse uguale alla metà dell’area complessiva, ossia a 0,5.

10

1.5 Confronto tra risultati analitici e grafici

N°

misure

Stima grafica del

Periodo da

Istogramma

Tbest 10

Stima grafica della

Deviazione

standard da

Istogramma

Г

Calcolo

analitico del

Periodo

Tbest 10

Calcolo analitico

della Deviazione

Standard

𝝈𝑻 𝟏𝟎

Mario

20

8.034

0,025

8.032

0,046

Flavio

20

7.93

0,025

7.9375

0,047

Franco

20

8.00

0,1

7.9755

0,095

Chiara

20

7.96

0,15

7.957

0,087

Valeria

20

7.89

0,1

7.925

0,069

N°

misure

Stima grafica

del Periodo da

Istogramma

Tbest 10

Stima grafica della

Deviazione

standard da

Istogramma

Г

Calcolo

analitico del

Periodo

Tbest 10

Calcolo

analitico della

Deviazione

Standard

𝝈𝑻 𝟏𝟎

Set

complessivo

100

7.97

0.075

7,970

0,088

2.1 PARTE SECONDA - Obiettivi

La parte seconda dell’esperienza ha l’obiettivo di determinare la costante elastica k della molla a partire dalla

misura dei periodi di oscillazione (calcolati come per la prima parte attraverso il valore medio e la deviazione

standard della media) relative a 6 masse campioni pari a 30, 40, 50, 60, 70, 80 g.

2.2 Procedimento

“Cambiare massa e ripetere le operazioni di misura del periodo di oscillazione (come meglio preferite: o tutti

insieme o separatamente). Fate le misure almeno con 5 differenti masse.”

11

Si è proceduto, per ciascuna delle sei masse campioni, alla misura dei relativi periodi per 10 oscillazioni

complete (Ti 10) e per un numero di 20 volte ciascuno. Il modus operandi è simile a quello adottato per la prima

parte dell’esperienza:

1. Messo sulla la molla la prima massa campione, 30 g (supposta esatta ossia con una indeterminazione

trascurabile);

2. Sollevato la massa (non troppo, in relazione alla bassa elasticità della molla) indi lasciata in modo

che essa con la molla potesse oscillare;

3. All’istante in cui è stata lasciata, schiacciato il cronometro e aspettato (contando, una alla volta, le

oscillazioni) che la massa compiesse le 10 oscillazioni complete. Quando le oscillazioni sono state

dieci, schiacciato il cronometro e visualizzato il tempo;

4. Ripetuto i punti 2 e 3 per 20 volte.

Ripetuto i punti 1 – 2 – 3 –4 per le altre masse 40, 50, 60, 70, 80 g.

2.3 Raccolta ed analisi dei dati

Per effetto di ciò, si è ottenuta una tabella, dalla quale è possibile riscontrare, per ciascuna delle masse 𝑚𝑖, il

Tbest10 = Media e deviazione standard della media, cioè l’errore statistico riferito alle 10 oscillazioni

complete.

𝑻𝟏𝟎 = 𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕 𝟏𝟎 ± 𝜹𝑻𝟏𝟎 = 𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕 𝟏𝟎 ± (𝜹𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕. 𝟏𝟎 + 𝜹𝒔𝒕𝒓𝒖𝒎. 𝟏𝟎)

Tutti i periodi relativi alle 10 oscillazioni sono in secondi Grammi [g]

s 30 40 50 60 70 80

T1 10 6,19 7,13 7,97 8,81 9,44 10,06

T2 10 6,13 7,09 8,00 8,87 9,50 10,13

T3 10 6,18 6,97 7,94 8,81 9,47 10,10

T4 10 6,18 7,12 8,00 8,84 9,59 10,06

T5 10 6,10 7,03 8,03 8,84 9,63 10,03

T6 10 6,25 7,09 7,97 8,78 9,50 10,18

T7 10 6,12 7,15 8,03 8,79 9,47 10,15

T8 10 6,18 7,13 8,03 8,87 9,46 10,13

12

T9 10 6,21 7,10 8,00 8,78 9,60 10,09

T10 10 6,12 7,10 8,07 8,84 9,47 10,13

T11 10 6,16 7,13 8,00 8,79 9,53 10,06

T12 10 6,25 7,12 8,06 8,87 9,47 10,16

T13 10 6,22 7,12 8,06 8,84 9,50 10,09

T14 10 6,15 7,09 8,00 8,78 9,50 10,12

T15 10 6,13 7,16 8,00 8,78 9,44 10,16

T16 10 6,13 7,13 8,09 8,84 9,44 10,12

T17 10 6,19 7,18 8,06 8,76 9,57 10,09

T18 10 6,19 7,12 8,03 8,81 9,59 10,09

T19 10 6,22 7,12 8,00 8,76 9,40 10,16

T20 10 6,22 7,13 8,03 8,87 9,43 10,20

Media 6,176 7,1105 8,0185 8,8165 9,5 10,1155

Deviaz. Stand. 0,0446507 0,0452449 0,0375955 0,0380132 0,0648074 0,0450117

Dev. Stand. d. Media 0,0099842 0,0101171 0,0084066 0,0085 0,0144914 0,0100649

Quindi, dai valori relativi alle 10 oscillazioni si è passati all’ottenimento dei medesimi relativi alla singola

oscillazione.

𝑇 =𝑇𝑏𝑒𝑠𝑡10

10±

(𝜎𝑥 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 + 0,01)

10= 𝑇𝑏𝑒𝑠𝑡 ±

𝛿𝑇

10=

∑ 𝑇𝑖10

2010

±1

10(

𝜎𝑥

√100+ 0,01) 𝑠

𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕 =𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕𝟏𝟎

10

0,6176 0,71105 0,80185 0,88165 0,95 1,01155

𝜹𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 =𝑫𝒆𝒗. 𝑺𝒕. 𝒅. 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂

𝟏𝟎

0,00099842 0,001011708 0,000840661 0,00085 0,001449138 0,001006492

𝜹𝒔𝒕𝒓𝒖𝒎. =𝟎, 𝟎𝟏

𝟏𝟎

0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001

δT = δstatist. + δstr.

0,0019984 0,0020117 0,0018407 0,00185 0,0024491 0,0020065

13

Alla luce di quanto espresso, si riporta il migliore risultato del minimo periodo per ogni massa mi

T = Tbest ± δT

0,618 ± 0,002 0,711 ± 0,002 0,802 ± 0,002 0,882 ± 0,002 0,950 ± 0,002 1,012 ± 0,002

[s] [s] [g] [g]

Massa n° 𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕 𝜹𝑻 m 𝜹𝒎

1 0,618 0,002 30 0

2 0,711 0,002 40 0

3 0,802 0,002 50 0

4 0,882 0,002 60 0

5 0,950 0,002 70 0

6 1,012 0,002 80 0

Trascurabile

Da tali valori si sono ottenuti, secondo le regola della propagazione degli errori, i relativi valori in termini di

pulsazione ω. Infatti, essendo noto che: 𝜔 =2𝜋

𝑇 휀𝜔 = 휀𝑇 =

𝛿𝑇

𝑇=

𝛿𝜔

𝜔

Risulta: 𝛿𝜔 = 𝜔𝛿𝑇

𝑇=

2𝜋

𝑇2

E poiché è nota la legge numerica che lega i diversi Ti con le mi, abbiamo ottenuto la legge numerica che

lega le ωi alle medesime mi e quindi la legge numerica ω = ω (m)

[s] [g]

Massa n.ro ωbest δω m δm

1 10,16695793 0,032902776 30 0

2 8,837102672 0,024858235 40 0

3 7,834389027 0,01953713 50 0

4 7,123786848 0,016153712 60 0

5 6,613873684 0,013923945 70 0

6 6,208675889 0,01227011 80 0

Trascurabile

14

La seguente tabella rappresenta la legge numerica di variazione della pulsazione ω rispetto alla massa m. Da

quest’ultima si può determinare la migliore stima della costante elastica k della molla.

[𝒓𝒂𝒅𝒔⁄ ] [g]

Massa n° 𝝎 𝒃𝒆𝒔𝒕 𝜹𝝎 m 𝜹𝒎

1 10,17 0,03 30 0

2 8,84 0,02 40 0

3 7,83 0,02 50 0

4 7,12 0,02 60 0

5 6,614 0,014 70 0

6 6,209 0,012 80 0

Trascurabile

Com’è noto, infatti, la legge che lega la pulsazione alla massa è: 𝝎 = √𝒌

𝒎 e proprio a partire da questa è

possibile determinare k per mezzo della la rappresentazione log-log e tramite la linearizzazione.

2.4 Determinazione di K

2.4.1 Metodo 1- Grafico Log-Log

𝝎 = √𝒌

𝒎 ⇛ 𝝎 = (

𝒌

𝒎)

𝟏

𝟐 ⇛ 𝝎 = 𝒌

𝟏

𝟐 ⋅ 𝒎−𝟏

𝟐

Questa funzione di potenza è del tipo: y = b xm’ , per cui passando ai logaritmi (per esempio decimali), si ha:

log y = log ( b xm’ ) = log b + m’ log x

e ponendo Y = log y e X = log x si ottiene:

𝑌 = 𝑙𝑜𝑔 𝑏 + 𝑚′𝑋 = 𝑄 + 𝑚′𝑋

che nel piano log-log sarà rappresentata da una retta, dove m’ sarà il coefficiente angolare e Q l’intercetta con

l’asse delle ordinate (pulsazione). Nella fattispecie, si ha:

log 𝜔 =1

2log 𝑘 −

1

2log 𝑚

15

Per cui, la retta in scala log-log è del tipo: 𝑌 = −1

2𝑋 + 𝑄 , dove l’intercetta Q sull’asse delle ordinate (ω),

ossia con m = 1 g sarà pari a:

log 𝜔 =1

2log 𝑘 −

1

2log 1 𝜔 = √𝐾

Cioè, il valore letto di ω (per m = 1 g), all’intercetta con retta di pendenza -1/2, permette di determinare il

valore di K .

Allo stessa maniera, per m = 100 g, si ha:

log 𝜔 =1

2log 𝑘 −

1

2log 100 = log

√𝐾

10

E, quindi: 𝜔 =√𝐾

10

Pertanto, tracciando due rette parallele con pendenza pari a -1/2, passanti per tutti gli intorni di dispersione,

ed intercettando queste con la verticale ad m = 100 g, si leggeranno nelle ordinate:

𝜔𝑚𝑎𝑥 = √𝐾𝑚𝑎𝑥

10= 5.56 𝑟𝑎𝑑

𝑠⁄ 𝜔𝑚𝑖𝑛 = √𝐾𝑚𝑖𝑛

10= 5.49 𝑟𝑎𝑑

𝑠⁄

𝐾𝑚𝑎𝑥 = (5.56 × 10)2 = 3091 𝑔

𝑠2⁄ 𝑘𝑚𝑖𝑛 = (5.49 × 10)2 = 3014 𝑔

𝑠2⁄

16

Noti 𝐾𝑚𝑎𝑥 e 𝐾𝑚𝑖𝑛 è possibile determinare Kbest e δk:

𝐾𝑏𝑒𝑠𝑡 =𝐾𝑚𝑖𝑛+𝐾𝑚𝑎𝑥

2=

3014+3091

2= 3052

𝑔𝑠2⁄ = 3,052 𝑁

𝑚⁄

𝛿𝑘 =𝐾𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑚𝑖𝑛

2=

3091 − 3014

2= 38,5

𝑔𝑠2⁄ = 0.039 𝑁

𝑚⁄

𝑲 = 𝑲𝒃𝒆𝒔𝒕 ± 𝜹𝒌 = (𝟑, 𝟎𝟓 ± 𝟎, 𝟎𝟒) 𝑵𝒎⁄

휀𝑘 =𝛿𝑘

𝐾𝑏𝑒𝑠𝑡= 0,013 휀𝑘% = 1.30%

2.4.2 Metodo 2 – Linearizzazione

𝝎 = √𝒌

𝒎 𝝎𝟐 = (

𝟐𝝅

𝑻)

𝟐

=𝒌

𝒎 𝒎 = (

𝑻

𝟐𝝅)

𝟐

𝒌 = 𝒌𝒛 𝒎 = 𝒎(𝒛)

Riportiamo m in funzione di z e determiniamo le rette di min e max pendenza: Kmin e Kmax, essendo k il

coefficiente angolare di tale retta. In effetti, la massa della molla non può essere trascurata, per cui è corretto

utilizzare la relazione: m massa applicata alla molla, M = 2,0 g ± 0,1 Massa della molla

𝜔2 =𝑘

𝑚+𝑀

3

= (2𝜋

𝑇)

2

da cui: 𝑚 +𝑀

3= (

𝑇

2𝜋)

2

𝑘

Pertanto, 𝑚 = (𝑇

2𝜋)

2

𝑘 −𝑀

3= 𝑘𝑧 −

𝑀

3= 𝑘𝑧 − 𝑀0

Quindi, le rette di min e max pendenza non potranno passare per l’origine degli assi. Si tracciano e si

determinano Kmin e Kmax , da cui Kbest e δk . Poi si confrontano questi valori con quelli ottenuti in scala

log-log e si decide quali siano i valori più precisi (confrontando ovviamente gli errori relativi).

17

Il primo passo è determinare dalla seguente tabella dei periodi, con i relativi errori, Z e δz :

[s] [s] [g] [g]

Massa n° 𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕 𝜹𝑻 m 𝜹𝒎

1 0,618 0,002 30 0

2 0,711 0,002 40 0

3 0,802 0,002 50 0

4 0,882 0,002 60 0

5 0,950 0,002 70 0

6 1,012 0,002 80 0

Trascurabile

𝑻 = 𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕 ± 𝜹𝑻 𝒁𝒃𝒆𝒔𝒕 = (𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕

𝟐𝝅)

𝟐

𝜺𝒛 = 𝜺𝑻𝟐 = 𝟐𝜺𝑻 = 𝟐𝜹𝑻

𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕=

𝜹𝒛

𝒁𝒃𝒆𝒔𝒕 𝜹𝒛 = 𝟐 𝜹𝑻

𝒁𝒃𝒆𝒔𝒕

𝑻𝒃𝒆𝒔𝒕

18

[𝒔𝟐] [𝒔𝟐]

𝒁𝒃𝒆𝒔𝒕 𝜹𝒁

0,009674264 0,000062617

0,012805018 0,000072039

0,016292575 0,000081260

0,019705078 0,000089365

0,022860631 0,000096255

0,025941914 0,000102537

Pertanto, ottenuti i valori di Zbest e δZ, si riportano in ascissa e in ordinata le relative masse m.

[𝒔𝟐] [𝒔𝟐]

Zbest δZ

0,00968 0,00006

0,01281 0,00007

0,01630 0,00008

0,01970 0,00009

0,02290 0,00010

0,02600 0,00010

Il valore di K è stato ricavato con il metodo delle rette divergenti, perché la molla ha una massa a riposo

M = 2,0 ± 0,1 [g] e, quindi, la retta è del tipo m = k z – Mo, dove Mo è la massa effettiva della molla data da

𝑀0 =𝑀

3.

Mo = 0,7 g è trascurabile rispetto alle altre masse.

Quindi, tracciando le due rette che passano per gli intorni di dispersione si ottengono i seguenti valori di

pendenze:

𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝑡𝑔 𝛼𝑚𝑎𝑥 =ΔY

Δ𝑋=

77,38 − 14,84

0,0025 − 0,005=

62,74

0,02= 3,137

𝑔𝑠2⁄

𝐾𝑚𝑖𝑛 = 𝑡𝑔 𝛼𝑚𝑖𝑛 =ΔY

Δ𝑋=

76,13 − 16,22

0,0025 − 0,005=

59,91

0,02= 2,996

𝑔𝑠2⁄

19

𝐾𝑏𝑒𝑠𝑡 =𝐾𝑚𝑖𝑛+𝐾𝑚𝑎𝑥

2=

2,996 + 3,137

2= 3,066

𝑔𝑠2⁄ = 3,066 𝑁

𝑚⁄

𝛿𝐾 =𝐾𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑚𝑖𝑛

2=

3,137 − 2,996

2= 0,071 𝑁

𝑚⁄

𝛿𝐾 =𝐾𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑚𝑖𝑛

2=

3,137 − 2,996

2= 70,5

𝑔𝑠2⁄ = 0,0705 𝑁

𝑚⁄

𝑲 = 𝑲𝒃𝒆𝒔𝒕 ± 𝜹𝑲 = (𝟑, 𝟎𝟕 ± 𝟎, 𝟎𝟕) 𝑵𝒎⁄

휀𝐾 =𝛿𝐾

𝐾𝑏𝑒𝑠𝑡= 0,0228 휀𝐾 % = 2,28 %

2.5 Conclusioni

Alle luce di quanto affermato, i due valori di 𝑲𝒃𝒆𝒔𝒕 ottenuti, uno ricavato dal grafico in scala Log-Log e

l’altro con la linearizzazione, risultano consistenti. Tuttavia, dal confronto dei due rispettivi errori relativi di

K risulta che il primo valore 𝐾𝑏𝑒𝑠𝑡 (dal grafico in scala log-log) è più accurato del secondo.