Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna ... x Inf_11... · Dipartimento di...

Lezione n. 1 (4 ore)

Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA

Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani

e-mail: [email protected] & [email protected]

Università degli Studi di MilanoFacoltà di Scienze Matematiche Fisiche e NaturaliCorsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni

Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna

FISICA

Unità di misura e calcolo dimensionale

Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12Carlo Pagani & Flavia Groppi 2

Schema del corso

Lezioni: 12 settimane, in ognuna delle quali si tengono due ore di lezione e due ore di esercizi (parte integrante delle lezioni, con la finalità non solo di preparare allo scritto d’esame ma di formare al “problem solving”).

Argomenti delle 12 unità (ogni settimana un argomento con esempi):Unità di misura e calcolo dimensionale. Sistemi di coordinate, vettori e calcolo vettoriale. Cinematica in una dimensione, 1D. Leggi di Newton - Piano inclinato - Attrito.Moti in due dimensioni, 2D - Quantità di moto e impulso. Lavoro ed energia (cinetica, potenziale gravitazionale ed elastica). Statica e dinamica dei fluidi. Termologia, calorimetria e 1° principio della termodinamica. Trasformazioni, legge dei gas perfetti e teoria cineticaForze elettriche, campi e potenziale elettrostatico. Capacità, resistenza, legge di Ohm e circuiti RC. Campo magnetico e forza di Lorentz - Induzione elettromagnetica.


Orario, testi di riferimento, esame

I due corsi diurni vanno, per quanto possibile, in parallelo. Lunedì 10.30-12.30 e mercoledì 8.30-10.30.Tutoraggio: supporto alla soluzione dei problemi con diretta partecipazione degli studenti: venerdì 8:30-10:30

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fondamenti di Fisica (Casa Editrice Ambrosiana).Jewett & Serway. Fondamenti di Fisica. Vol. I (EdiSES).Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione(EdiSES).

Modalità di esame: Prova scritta + breve orale di verifica (facoltativa)Prova scritta: 5 esercizi in 2 ore. Le due prove in itinere durante il corso sono sostitutive della prova scritta

Sito web: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani/teaching


Che cos’è la Fisica ?

È il tentativo dell’essere umano di descrivere in maniera quantitativa i fenomeni che osserviamo

– L’osservazione inizia attraverso i sensi e da essi è limitata.– La fisica ci ha dato strumenti per estendere le osservazioni al di là

dei nostri sensi, dal quark (10-19 m), all’universo (1026 m).

La Fisica non può affrontare il problema ontologico– Significato della fisica quantistica: “zitto e calcola”

(Richard Feynman / D. Mermin).


Metodo Scientifico e sue Basi

Metodo scientifico:– Acquisire i dati necessari a descrivere un sistema oggetto di studio.– Costruire un modello matematico del sistema in esame.– Utilizzare il modello per predire il comportamento del sistema.– Verificare la correttezza delle previsioni (nuovo esperimento).

Conoscenze necessarie– Capacità di utilizzare strumentazione complessa per l’acquisizione

dei dati.– Conoscere gli strumenti matematici necessari per la costruzione del

modello e per la predizione di nuovi comportamenti.– Conoscenze tecnologiche per progettare e costruire l’esperimento.– Conoscere la fisica ...


La fisica NON coincide con la matematica

La fisica parte da osservabili alle quali associa grandezze reali (massa, lunghezza, velocità, temperatura, ecc.) che è possibile misurare. Il procedimento operativo per la misura è parte della definizione della grandezza !

La matematica è il linguaggio attraverso il quale la fisica può esprimere le sue leggi e calcolare altre grandezze collegate a quelle definite.

Nota: La forza esercitata da una molla è direttamente proporzionale al suo allungamento. Il coefficiente di proporzionalità, k, si dice costante elastica

F = - k x

x ⇒ allungamento della mollak ⇒ costante elastica della molla F ⇒ forza esercitata dalla molla

FisicaF = - k x

x ⇒ variabile indipendente ∊ ℛ

k ⇒ costante ∊ ℛ

F ⇒ variabile dipendente ∊ ℛ

Matematica

F

x < 0 x > 0


Definizione di una Grandezza Fisica

È necessario che ciò che osserviamo possa venire rappresentato in modo quantitativo

La definizione di una grandezza fisica deve essere operativa, essa deve cioè descrivere le operazioni da compiere per misurare la grandezza in esame.Queste operazioni devono consentire di associare alla grandezza un numero [oppure un vettore: modulo(=numero) + direzione + verso], secondo operazioni fissate da regole ben precise.Il numero esprime il rapporto tra la grandezza ed un’altra grandezza omogenea usata come unità di misura.

10 chilometri 27 mele 100 watt 50 barili 75 chilogrammi

Osservazione Grandezza Fisica


Relazioni tra grandezze fisiche

Le grandezze fisiche e le loro relazioni comunicano un’informazione.

– L’informazione deve essere “strutturata”.• Unità di Misura: fondamentali e derivate. • Sistemi di unità di misura: es. Sistema Internazionale (S.I.).

– Si deve fornire esattamente l’attendibilità di questa informazione.• Cifre significative !

– L’informazione deve essere coerente.• Calcolo dimensionale.

– L’informazione deve essere completa.

massa = 57.3 kg = 573 hg = 57.3 ·103 g ……

velocità = 72 km/ora = 20 m/s = ……v


Unità di Misura: Sistema Internazionale (SI)

Il SI è un insieme minimo di grandezze di riferimento (7) dalle quali tutte le altre possono essere derivate attraverso relazioni coerenti.

Granzezza Unità di riferimento Simbolo SI– lunghezza metro m– massa (∝ al peso se c’è gravità) chilogrammo kg– tempo secondo s– intensità di corrente elettrica ampere A– temperatura kelvin K– quantità di sostanza mole mol – intensità luminosa candela cd

Tutte le altre grandezze fisiche possono essere espresse attraverso le grandezze fondamentali del Sistema Internazionale.Se si usa un altro sistema di grandezze di riferimento congruente le formule possono essere diverse.Se si mischiano i sistemi di riferimento il risultato che si ottiene èsemplicemente sbagliato !http://physics.nist.gov/cuu/Units/units.html


Grandezze fisiche derivate

Le grandezze fisiche sono molte e la loro unità di misura (SI) ha, in molti casi, associato un nome specifico: watt, joule, volt, newton, ecc.Poiché il sistema SI è coerente, tutte possono comunque essere espresse attraverso le grandezze di riferimento: m, kg, s, A, K, mol, cd.Attenzione: in tutte le relazioni tra grandezze fisiche (equazioni):

– Si possono sommare o sottrarre solo grandezze omogenee.– In un’esponenziale, l’esponente deve sempre essere adimensionale, così

come gli argomenti dei logaritmi e delle funzioni trigonometriche*.– Moltiplicando e dividendo tra loro grandezze fisiche differenti si ottengono

altre grandezze fisiche, derivate da quelle che le hanno originate.Esempi di grandezze fisiche derivate:

Nota: l’angolo è sempre espresso in radianti: rad [m/m] = adimensionale.

Velocità m/s = m s-1

Accelerazione m/s2 = m s-2

Volume m3

Forza N (newton) kg m s-2

Energia J (joule) kg m2 s-2

Potenza W (watt) kg m2 s-3

Tensione V (volt) kg m2 s-3 A-1


Il Radiante

Si rammenta la definizione: data una circonferenza di raggio r, l’angolo che sottende un arco lungo l misura l/r radianti (vedi figura).

Conversione:αrad : αdeg = 2π : 360º

αrad = (αdeg / 180º) π

Un angolo di 90º, 180º e 360ºcorrisponde rispettivamente aπ/2, π e 2π radianti.

1 radiante = 57,29578º = 57º 17´ 44,8''


Prefissi SI ed esempi di lunghezze

Prefissi delle unità SIFattore Prefisso Simbolo Esempio

1018 exa- E1015 peta- P petawatt = 1015 W1012 tera- T terawatt = 1012 W109 giga- G gigawatt = 109 W106 mega- M megajoule = 106 J103 kilo- k kilometro = 103 m102 etto- h ettolitro = 102 litri101 deca- D decametro = 101 m10-1 deci- d decimetro = 10-1 m10-2 centi- c centimetro = 10-2 m10-3 milli- m millimetro = 10-3 m10-6 micro- micrometro = 10-6 m10-9 nano- n nanosecondo = 10-9 s10-12 pico- p picosecondo = 10-12 s10-15 femto- f femtosecondo = 10-15 s10-18 atto- a attosecondo = 10-15 s

Lunghezze, ordini di grandezza

Quark 10-19 m

Elettrone 10-18 m

Protone/Neutrone 10-15 m = 1 fmAtomo 10-10 m = 1 Å

Cellula 10-8 - 10-3 m

Essere umano 100 m

Terra 107 m

Sole 109 m = 1 Gm

Sistema solare 1013 m = 10 Tm

Via lattea 1021 m

Universo 1026 m


Unità di misura del tempo, s

Per misurare un tempo è necessario un orologio, cioè un oggetto che conta qualcosa (es.: le oscillazioni di un fenomeno periodico)

Strumento Errore di misura– Pendolo (un secondo per anno)– Rotazione della terra (1 ms ogni giorno)– Oscillatore a quarzo (1 s ogni 10 anni)

Orologio atomico Cs (1 s ogni 300̇000 anni)– 1 secondo ≡ 9192631770 vibrazioni della radiazione emessa dal cesio

Limiti sperimentali:– Direttamente è possibile misurare intervalli di tempo fino a qualche ps (10-13 e 10-14 s

raggiunti recentemente)– In fisica entrano in gioco circa 40 ordini di grandezza

Fenomeni nucleari 10-22 s

Vibrazioni dei solidi 10-13 s

Un anno 3 107 s

Vita dell’Universo 5 1017 s = 15 miliardi di anni (Big bang)


Unità di misura della lunghezza, m

Per misurare una lunghezza è necessario un metro campione Esempi storici:

– Il metro è la 1/40̇000̇000 parte della circonferenza della terra all’Equatore– Il metro è la lunghezza di una barra di Platino-Iridio conservata a Parigi

• La barra di Parigi non è un campione sufficientemente preciso (~10-7)• Le copie hanno un errore maggiore (~10-6)

Definizione attuale: 1 m ≡ Lunghezza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo

pari a 1/299792458 di secondo (c ≡ 299792458 m s-1 → valore esatto)

Limiti sperimentali:– Direttamente è possibile misurare lunghezze fino a qualche nm– In fisica entrano in gioco più di 40 ordini di grandezza

10-19 m Dimensione di un quark10-15 m Dimensione di un nucleone (protone). 1 fm10-10 m Dimensione atomica. 10 nm, 1 Angstrom6.4 106 m Raggio medio della terra. 6.4 Mm9.5 1015 m Un anno luce2 1026 m Distanza tra la Terra e la Quasar più lontana


Unità di misura della massa, kg

Per misurare una massa è necessaria una massa campioneEsempi storici:

– 1 kg = la massa di un dm3 di acqua– 1 kg ≡ la massa del cilindro di Platino-Iridio conservato a Parigi

• Il cilindro di Parigi è un campione unico • Le copie hanno un errore che porta ad una precisione insufficiente (~10-8)

Una definizione sostitutiva e soddisfacente non c’è ancoraIn fisica nucleare/particelle si usa l’unità di massa atomica “u”u ≡ 1/12 della massa di un atomo di 12C

– La definizione di kg come un certo numero di “u” sarebbe ottima (vedi “s “e “m”)Il problema è che “u” è noto con solo 4 cifre significative: u = 1.661‧10-27 kg

Nota: in Fisica le masse sono 2: inerziale e gravitazionale– La massa inerziale ha una definizione dinamica– La massa gravitazionale ha una definizione gravitazionale

– La teoria della relatività generale ha come ipotesi di partenza che la massa inerziale “min” e quella gravitazionale “mgr” siano esattamente la stessa cosa

2,2,1

rmm

GF grgr

amF in


Precisione e Cifre significative - 1

In fisica è sempre necessario fornire l’ ‘errore’, cioè una stima ragionata dell’incertezza della misura che è stata effettuata (spesso èlegata alla sensibilità dello strumento (righello, cronometro, termometro, ecc.)Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornito dallo strumento, ma anche di un errore e di una unità di misura (la mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili)Esprimere il risultato con più cifre di quelle che conosciamo con certezza non ne migliora la qualità. E’ solo sbagliato !Le cifre che utilizziamo per esprimere un risultato devono essere limitate a quelle di cui abbiamo certezza: cifre significative

Esempi: Misura di una massa con una bilancia con precisione di 1 gMassa = 874 ± 1 [g] = 8.74 ± 0.01 [hg] = 0.874 ± 0.001 [kg]Misura di un tavolo con un metro a nastro (precisione del millimetro)Lunghezza = 181 ± 0.1 [cm] = 1810 ± 1 [mm] = 1.81 ± 0.001 [m]



Il numero (dimensionale) associato a una misura è una informazioneE’ necessario conoscere la precisione e l’accuratezza dell’informazione.La precisione di una misura è contenuta nel numero di cifre significativefornite o, se presente, nell’errore di misura.Il numero di cifre significative, o l’errore, forniscono le potenzialità ed i limiti dell’informazione a disposizione. Non deve dipendere dalle unità di misura scelte, o dalla notazione scelta (ad esempio, esponenziale).Una manipolazione numerica non può né aumentare né diminuire la precisione di una informazione: è una grave scorrettezza

• Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla, da sinistra verso destra.

Esempi 187.3=1.873 102 4 cifre significative10.0000 6 cifre significative10.0101 6 cifre significative1 1 cifra significativa1234.584 7 cifre significative 0.00001 1 cifra significativa



Un semplice esempio per capire

Problema: Faccio una torta con questi ingredienti

310 g di farina 310 ± 1 g5 uova (1 uovo pesa 75 ± 5 g) 375 ± 25 g150 g di zucchero 150 ± 1 g15 grammi di lievito 15 ± 1 g

TOTALE 850 ± 28 gLa divido in 6 fette: quanto pesa una fetta ?

– La torta non perde peso in cottura, è un cilindro perfetto e io la taglio con una macchina perfetta

• (850 ± 28) [g] / 6 = 141.66666 ± 4.66666 [g] = 142 ± 5 g– In un caso più realistico, tagliando la torta con cura

• (850 ± 28) / 6 ± 5÷10 % = 140 ± 10 g già la 2° cifra è poco significaiva– Nel caso più realistico avremo che la fetta peserà 130÷150 g

In tutti i casi definire il peso con la precisione del grammo è sbagliato


Coerenza dimensionale

Ogni Equazione DEVE essere dimensionalmente coerente– I metri si possono sommare solo ai metri – Non posso sommare due grandezze dimensionalmente incoerenti– Gli argomenti delle funzioni trascendenti* devono essere adimensionali

(numeri puri)* funzione esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche

Esempio: Legge di Newton ( Lunghezza [m] Massa [kg] Tempo [s] )

Forza (F ) = massa (m) x accelerazione (a)

F [N] , m [kg] , a [ms-2] , [N] = [kg ms-2 ] F [N] = m [kg] a [ms-2]

posso sommare e uguagliare soltanto grandezze dimensinalmente coerenti prima di fare i conti devo convertire le grandezze che non lo sono:

– 1 litro = 1 dm3 = 10-3 [m3 ]– 1 ora = 60 minuti = 3.6 103 [s]– 1 pollice ≡ 25.4 mm = 2.54 10-2 [m]– 100 km/ora = 105 [m] / 3.6 103 [s] = 27.8 [m/s] = 27.8 [m s-1]– 50 °C = 50 + 273.15 [K] = 323.15 [K]

F = ma


Equazioni dimensionaliSupponiamo che io non conosca una legge fisica, ma che immagini per semplicità che una quantità ignota sia esprimibile come un monomio formato con quantità note (elevate ad opportuna potenza).

Esempio: il pendoloLe uniche quantità che possono intervenire sono: m, l, g m [kg] , l [m] , g [ms-2]La formula monomia è:

g x l y m z = periodo del pendolo = T [s]Nota: Le dimensioni a destra e sinistra devono essere coerenti !

Quindi, per la coerenza dimensionale:

(ms-2) x m y kg z = s = m 0 s 1 kg 0

m x+y s -2x kg z = m 0 s 1 kg 0

Soluzione: x+y=0, -2x=1, z=0

x = -1/2, y =1/2, z =0 T = (l/g)1/2

Nota: quella ottenuta è una relazione di proporzionalità, l’analisi dimensionale non può determinare le eventuali costanti, e vedremo che T = 2π (l/g)1/2.

La costante adimensionale si può determinare sperimentalmente

mg

m

l


Obiettivi esercizi Lezione 1

– Capire come in fisica spesso si possa costruire un modello relativamente semplice, schematizzando in modo opportuno la realtà.

– Capire con quante cifre significative rappresentare una misura fisica, e con quante cifre rappresentare il risultato di un’operazione tra grandezze fisiche.

– Saper gestire cambiamenti di unità di misura (per esempio da m a cm, da kg a g, ecc.).

– Saper utilizzare elementi di calcolo dimensionale (per esempio: ricavare le dimensioni di una costante o verificare la correttezza dimensionale di una relazione tra grandezze fisiche.


Esescizi Lezione 11. Un cubo molto preciso ha il lato pari ha 5.35 cm e la massa m = 856 g. Determinare la

densità del cubo in unità SI. [5.59·103 kg/m3]Nota: la densità è la massa per unità di volume. Nel sistema SI [kg/m3]

2. Determinare quanti secondi ci sono in un giorno, in un anno normale e in un anno bisestile. [86400 s, 31536000 s, 31622400 s]

3. Un'unità astronomica (UA) vale 150 milioni di Km, un anno luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno. Quanti anni luce vale 1 UA ? Cifre significative e stime. [1.59·10-5]

4. Determinare la massa della terra sapendo che il suo diametro e la sua densità sono rispettivamente: D = 12.75·103 km, = 5.515 kg/dm3. [5.99·1024 kg]

5. Determinare nelle unità di misura del sistema SI le seguenti velocità:130 km/ora [36.1 m/s o anche 36 m/s]20 miglia/minuto (1 ml = 1.609 km = 1609 m) [536 m/s non 536.33 m/s]1.5 105 pollici/ora (1 in ≡ 2.54 cm = 2.54·10-2 m) [1.1 m/s non 1.058 m/s]

6. Determinare nell’unità di misura [miglia/ora] le seguenti velocità:130 km/ora (1 m = 1/1609 ml = 6.214·10-4 ml) [80.8 ml/h o anche 81 ml/h]20 miglia/minuto [1.2·103 ml/h]1.5 105 pollici/ora (1 m = 1/0.0254 in = 39.37 in) [2.37 ml/h o meglio 2.4 ml/h]

7. Determinare nell’unità di misura [iarde/s] le seguenti velocità:Nota: 1 miglio ≡ 1760 iarde, 1 iarda ≡ 3 piedi, 1 piede ≡ 12 pollici, 1 pollice ≡ 25.4 mm

130 km/ora (1 m = 0.9144 ya) [39.5 ya/s o anche 40 ya/s o anche 39 ya/s]20 miglia/minuto (1 ml = 1760 ya) [587 ya/s o meglio 590 ya/s1.5 105 pollici/ora (1 in = 1/36 ya = 0.0278 ya) [1.16 ya/s o meglio 1.2 ya/s]


Esescizi Lezione 1 - continua

8. Sapendo che F [N] = m [kg] ·a [m/s2], cioè che la forza è uguale alla massa moltiplicata per l’accelerazione, si determini quale forza si deve applicare ad un corpo di massa pari a 10kg perché subisca un’accelerazione pari a 5g. [490 N = 490 kg m s-2]Nota: g è l’accelerazione di gravità sulla superficie della terra e vale: g = 9.83 m/s2

9. Sapendo che la legge di gravitazione universale è la seguente:

determinare le unità di misura della costante G [G] = [N m2 kg-2][G] = [m3 kg-1 s-2]

Nota: F è la forza gravitazionale con cui le due masse m1 e m2 si attraggono, r è la loro distanza

10. Utilizzando il risultato dell’esercizio 4. e la legge di gravitazione, in cui G = 6.67·10-11 [Nm2 kg-2], determinare il valore della forza e dell’accelerazione a cui è sottoposto un corpo di massa m = 103 kg che si trovi a 104 km dal centro della terra. [F=4.00·103 N ; a= 4.00 m/s2]

11. Discutere brevemente i risultati degli esercizi precedenti sulla base delle cifre significative dei dati. Nota: di ogni dato si suppone che tutte le cifre indicate siano significative. In generale, se non è indicato esplicitamente l’errore, si suppone che l’ultima cifra sia stata approssimata alla cifra più vicina al vero, per eccesso o per difetto (1.3454 1.345, 372.8 373)

12. Ripetere l’esercizio 4. usando come dati del diametro della terra e della sua densità i valori: D = 13·103 km, = 5.5 kg/dm3. Confrontare i risultati e discutere il significato delle cifre significative [6.327·1024 kg 6.3·1024 kg o anche 6·1024 kg]

221

rmmGF







FISICA

Sistemi di Coordinate, Vettori e Calcolo Vettoriale


Posizione di un Punto - 1

Per descrivere la posizione di un punto nello spazio, è necessario disporre di un sistema di coordinate rispetto al quale la posizione del punto è definitaLo spazio in cui un problema è descritto può essere a 1, 2 o 3 dimensioni: 1-D, 2-D, 3-DIl sistema di coordinate più comune e intuitivo è quello cartesiano

Sistema di coordinate cartesiane: 1-D

Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)

OOggetto


OOggetto

xog

xog

x

x

xog > 0

xog < 0



Sistemi di coordinate 2-D

Cartesiane Polari

Relazioni tra coordinate cartesiane e polari

P(xP ,yP) = P(x,y) = P(r,)

x = r cos r = x2 + y2

y = r sin = arctan(y/x)

yP

x

y

P (r ,)•

xP

r

yP

x

y

P (xP ,yP)•

xP

yP

xP

O O



P(r,)

y

z

x

0

r


Cartesiane Polari Sferiche

P(xP ,yP ,zP) = P(x,y ,z) = P(r)

– x = r sin (cos() r = x2 + y2 +z2

– y = r sin(sin() = arccos(z/r)– z = r cos() = arctan(y/x)

P(xP,yP,zP)

y

z

x

0

xP

yP

zP

xP

yP

zP

r sin()



P(r,θ,z)

y

z

x

0

θ


Cartesiane Polari Cilindriche

P(xP ,yP ,zP) = P(x,y ,z) = P(r,θ,z)

– x = r cos(θ) r = x2 + y2

– y = r sin(θ) z = z – z = z θ = arctan(y/x)

P(xP,yP,zP)

y

z

x

0

xP

yP

zP

xP

yP

zP

r


Grandezze Scalari e Vettoriali

Per caratterizzare completamente una grandezza fisica, a volte èsufficiente dare soltanto un numero (scalare), mentre altre volte questo non è sufficiente, serve anche una direzione e un verso (vettoriale)

– Massa, lunghezza, temperatura: grandezze scalari– Spostamento, velocità, accelerazione: grandezze vettoriali

• Quanto è veloce ? Modulo (lunghezza del segmento)• In quale direzione si muove ? Direzione (retta su cui giace)• Con quale verso ? Verso (orientamento)

Una grandezza vettoriale è caratterizzata SEMPRE da un valore numerico (modulo), da una direzione e da un verso

V

VV

modulo

verso

direzione

Notazione vettoriale

• vettore: V , V , V

• modulo: |V| , |V | , V


Rappresentazione grandezze vettoriali

Così come le “informazioni fornite” da una grandezza scalare possono venire rappresentate mediante un punto su una retta, le “informazioni fornite” da una grandezza vettoriale possono venire rappresentate mediante un punto nello spazio

I vettori, rappresentazione matematica di una grandezza vettoriale, sono segmenti orientati (dall’origine del sistema al punto)Secondo la natura del problema possono essere a 2 dimensioni (2D) o a 3 dimensioni (3D)

x0 P

P

y

z

x

0

V


Vettori in 2D e loro somma

Esempio: lo spostamento di un punto su un piano– Spostamenti da A a B e poi da B a C: vettore a e vettore b– Somma = spostamento da A a C: vettore a + vettore b = vettore s

Lo spostamento non dipende dalla traiettoriaLa somma vettoriale gode delle proprietà della somma algebrica

a + b = b + a a + b + c = a+(b+c) = b+ (a+c)= c+(a+b)

Regola del parallelogramma


Vettore 2D sul piano

Un vettore 2D si può definire attraverso le sue componenti, che dipendono dal sistema di coordinate (cartesiane o polari) e dal loro orientamento ma non dalla posizione dell’origine

ax e ay sono le componenti di a in coordinate cartesiane

|a | e sono le sue coordinate polari


x

y

Coordinate cartesiane e polari

Poiché le componenti di un vettore non dipendono dal punto di applicazione, si determinano posizionando il vettore all’origine del sistema di coordinate scelto

Componenti di un vettore in coordinate cartesiane e polari

– Coordinate cartesianeax , ay a(ax,ay)

– Coordinate polari|a| , a(|a|,)

Le equazioni sono le stesse di quelle viste per la posizione !

ax = |a| cos |a|2 = ax2 +ay

2 |a|= ax2 +ay

2

ay = |a| sin = arctan (ay / ax )

Nota: |a | si ottiene applicando il teorema di Pitagorasi ottiene dividendo ay per ax


Riassunto per il caso 3D

E’ tutto uguale ma le componenti del vettore sono 3La posizione di un punto P è definita da 3 coordinateI sistemi di coordinate sono a 3 dimensioni

I 3 sistemi di coordinate più importantiCartesiane: x, y, z

x = distanza dal piano yzy = distanza dal piano xzz = distanza dal piano xy

Polari Sferiche: r, x = r sin() cos () y = r sin() sin () z = r cos()

Polari Cilindriche: r, , zx = r cos()y = r sin()z = z

P(x,y,z)

V (Vx,Vy,Vz)

P(r,,)

V (|V|,)

P (r,,z)

V (|V|,Vz)

P

y

z

x

0Vx

Vy

Vz

V

V


Significato di “sferiche” e “cilindriche”

V

P(r,,)

V (|V|,) P (r,, z)

V (|V|,Vz)

V


Alcune considerazioni

Le componenti di un vettore dipendono dall’orientamento del sistema di coordinate, ma la grandezza espressa da un vettore non cambia

La somma di vettori si può fare graficamente o analiticamente,applicando le semplici relazioni trigonometriche dei triangoli rettangoli.

– Disegnati i vettori uno di seguito all’altro si chiude il poligono, stando attenti al verso del vettore risultante

– Si sommano le componenti x e le componenti y tra loro, ottenendo la componente x e la componente y del vettore somma (attenti ai segni)


Operazioni con i vettori

Con i vettori sono possibili operazioni di somma e moltiplicazione– La matematica chiama questo capitolo algebra vettoriale

Somma: ne esiste un solo tipo possibile: somma algebrica:vettore + vettore → Risultato: vettore

Prodotto: ne esistono 4 tipi possibili:

1) Vettore per un numero puro:scalare per vettore → Risultato: vettore

2) Prodotto Scalarevettore • vettore → Risultato: scalare

3) Prodotto Vettorialevettore x vettore → Risultato: vettore

4) Prodotto Tensorialevettore vettore → Risultato: tensore


Esempi di somma di vettori

Esempio di costruzione geometrica

Esempio di calcolo del vettore somma, usando vettori diversi e dati in coordinate cilindriche: a (|a|,) , b (|b|,) , c (|c|,)

ab

cs

a

b

ca + b + c = s

sx = ax + bx + cx

sy = ay + by + cy

Partendo dai moduli e dagli angoli si ha:

ax = |a| cos> 0 ay = |a| sin> 0

cx = |c | cos > 0 cy = |c| sin < 0

bx = |b| cos < 0 by = |b| sin > 0a

c

b

x

y


Prodotto di un vettore per un numero

Ha come risultato un vettore

Si ottiene moltiplicando le componenti cartesiane del vettore per il numero k

B (Bx,By) = k A (Ax,Ay) Bx= k Ax By= k Ay

Se si hanno le coordinate polari: si moltiplica il modulo per il numero (NON l’angolo)

B (|B|,) = k A (|A|,) |B| = k |A| =

Le operazioni di somma vettoriale e di prodotto di un vettore per un numero ci permettono di introdurre una nuova rappresentazione dei vettori, usando i versori

I versori sono vettori unitari (modulo = 1) con direzione e verso conformi agli assi del sistema di coordinate cartesiane di riferimento


AB

Ax i Ay j

Rappresentazione con i versori

In un sistema 3-D i versori sono 3, hanno modulo unitario, sono diretti secondo gli assi cartesiani e si indicano con la seguente notazione

In un sistema 2-D i versori sono solo 2: i e jNota: Ovviamente esistono versori anche nella rappresentazione polare…

i ≡ i

j ≡ j

k ≡ k

A (Ax, Ay , Ay) = Ax i + Ay j + Az kB (Bx , By , By) = Bx i + By j + Bz k


Versori associati alle coordinate polari : ei

V

P(r,,)

V (|V|,) P (r,, z)

V (r,Vz)

V


Prodotto Scalare - 1

Il Prodotto Scalare di due vettori, A e B, ha come risultato uno scalare. E’ il prodotto tra i moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo compreso, OVVERO il prodotto della proiezione del primo vettore sulla direzione del secondo per il modulo del secondo (o viceversa).

A (Ax ,Ay) B (Bx ,By)

A • B ≡ |A| |B| cos |A| (|B| cos |A| cos |B| B • Ma vale anche:

A • B = (Ax Bx) + (Ay By) = C = scalare

(dimostriamo questa affermazione nella prossima trasparenza).

B

A


Prodotto Scalare - 2

A (Ax ,Ay) • B (Bx ,By)

(Ax Bx) + (Ay By) = = [|A| cos(θA) |B| cos(θB)] + [|A| sin(θA) |B| sin(θB)] = = |A| |B| [cos(θA) cos(θB) + sin(θA) sin(θB)] == |A| |B| cos(θA-θB) = |A| |B| cos(θB-θA)

L’equivalenza è dimostrataLe due formule sono ambedue utili

Conseguenze:

Il Prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo !Il Prodotto scalare tra due vettori paralleli è il prodotto dei loro moduli

BA


BA C

Il risultato del Prodotto Vettoriale tra 2 vettori, A e B, è un vettore, C, ortogonale al piano formato dai vettori A e B.

Prodotto Vettoriale (o Vettore)

Note• Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo

• |C| è massimo per = ± /2

• A x B = - B x A (non è commutativo !)

A X B = A Λ B = C modulo: |C| = |A| |B| sin direzione: ⊥ al piano dei vettori verso: regola della mano destra,o anche: verso uscente se per portare il primo sul secondo devo ruotare insenso antiorario


P. V. in Coordinate Cartesiane

A X B = A Λ B = CA (Ax ,Ay , Az) B (Bx , By , Bz) C (Cx ,Cy , Cz)A=Ax i +Ay j +Az k B=Bx i +By j +Bz k C=Cx i +Cy j +Cz k

Cx = (Ay Bz – Az By)Cy = (Az Bx – Ax Bz)Cz = (Ax By – Ay Bx)

C=(Ay Bz – Az By) i + (Az Bx – Ax Bz) j + (Ax By – Ay Bx) k

Esempio

A (1,1,1) B (2,2,0)C (0-2,0-2,2-2) = C (-2,2,0)C=-2 i +2 j +0 k = -2 i +2 j x

y

z

B

CA

i j kAx Ay Az

Bx By Bz


Obiettivi esercizi Cap. 3 (RHW)

Cap. 3– Saper passare da un vettore (modulo e direzione) alle sue

componenti e dalle componenti al vettore.– Saper compiere le operazioni fondamentali con i vettori (somma,

prodotto per un numero, prodotto scalare e prodotto vettore).


Esescizi Lezione 21. Dati i vettori a = 4.2 i - 1.5 j , b = -1.6 i + 2.9 j e c = -3.7 j , trovare il vettore somma

a+b, il vettore a+b+c, e il vettore a+b-c. Fare le operazioni sia con il metodo algebrico, che con il metodo grafico dopo averli disegnati su un piano cartesiano. Scrivere modulo, direzione e verso (coordinate polari) dei vettori che si sono trovati.[ a+b = 2.6 i + 1.4 j , a+b+c = 2.6 i -2.3 j , a+b-c = 2.6 i + 5.1 j , a+b (3.0 , 28.3 deg) , a+b+c (3.5 , - 41.5 deg) , a+b-c (5.7 , 63 deg) ]

2. La squadra che nel 1972 trovò la connessione nel sistema di grotte Mammut-Flint percorse, dall'ingresso di Austin del sistema di grotte Flint-Ridge fino all'Echo River della caverna del Mammut una distanza netta di 2.6 km verso ovest, 3.9 km verso sud e 25 m verso l'alto. Definire i 3 spostamenti come vettori e calcolare lo spostamento complessivo (modulo, direzione e verso).[ Ov[km] = 2.6 i + 0 j +0 k ; Su[km] = 0 i + 3.9 j +0 k ; Al[km] = 0 i + 0 j + 2.5·10-2 k ; S=Ov+Su+Al ;S[km] = 2.6 i + 3.9 j + 2.5·10-2 k ; S (4.69 , 56.3 deg , 2.5·10-2 ) ]

a

b

c

b

- c

x

y



3. Dati i vettori: a = 2 i + 3 j [m]b (| b | , b ) , con | b | = 4 m e b = 65 gradi ⇒ b =c = - 4 i - 6 jd (| d | , d ) , con | d | = 5 m e d = 235 gradi ⇒ d =calcolare: a +b ; c+ d ; a +b+ c+ d ; b •d ; (a +b) • (c + d)[ a+b = 3.69 i + 6.63 j [m] ; c +d = - 6.87 i – 10.1 j [m]; a+ b+ c + d = - 3.18 i - 3.47 j [m] ;b • d = - 19.7 m2 ; (a + b) • (c + d) = - 92.3 m2 ]

4. Disegnare nel piano cartesiano un quadrato con centronell'origine e lati di 2 m. Definire le componenti dei vettoria = dal centro al vertice del quadrato nel 1° quadranteb = dal centro al vertice del quadrato nel 4° quadrantec = dal centro al punto medio del lato che attraversa il 2°

e il 3° quadrante. Calcolare a + b + c, e a • b.[ a = 0.707 i + 0.707 j ; b = 0.707 i - 0.707 j ; c = - i + 0 j ; a+b +c = 0.41 i + 0 j ; a • b = 0 ]

5. Il vettore a giace nel piano xy. Il suo modulo è 18 e la sua direzione è 250 gradi rispettoall'asse x. Il vettore b ha modulo 12 ed è diretto lungo l'asse z (concorde con il verso diz). Calcolare il prodotto vettore c = a x b. [ a = - 6.16 i – 16.91 j ; b = 12 k c = a x b = - 203 i + 73.9 j ⇒ c (216, 160 deg)

6. Se a = 3 i – 4 j e b = - 2 i + 3 k, quanto vale c = a x b ? [ c = - 12 i -9 j - 8 k ]

x

y

a

b

c

III

III IV

0 1

1

2 m







FISICA

Cinematica in una dimensione, 1D


Meccanica

La Meccanica è la branca della Fisica che studia il moto dei corpi in sè(Cinematica), il moto in relazione alle forze che lo fanno variare (Dinamica), e le condizioni di equilibrio delle forze che mantengono un corpo in quiete (Statica)

– La Cinematica descrive il moto dei corpi senza fare riferimento esplicito alle forze che agiscono su di essi

– La Dinamica è lo studio della relazione esplicita tra le forze ed il loro effetto sul moto

– La Statica studia le condizioni che mantengono un corpo in quietePer descrivere un moto è necessario specificare la posizione del corpo in ogni istante. E’ quindi necessario definire un sistema di coordinate (vedi lezione precedente…)


OOggetto


OOggetto

xog

xog

x

x

xog > 0

xog < 0


Cinematica

Per descrivere il moto di un corpo è necessario fornire, in ogni istante di tempo, la sua posizione, la sua velocità e la sua accelerazionePer poterlo fare è necessario fissare un sistema di coordinate e un istante di tempo, t0 , da cui facciamo partire la nostra descrizione del moto

Il punto P(x,y,z) si muoverà in funzione del tempo t e sarà quindi piùpropriamente descritto dalla notazione P(x(t),y(t),z(t))Così come le coordinate, (x(t), y(t), z(t)), sono misurate rispetto all’origine del sistema di coordinate scelto, anche il tempo t saràmisurato a partire da t0La velocità e l’accelerazione sono grandezze vettoriali poiché ènecessario conoscerne, oltre al valore, anche la direzione ed il verso

I vettori velocità, v, e accelerazione, a, sono applicati nel punto PSappiamo inoltre che anche alla posizione del punto possiamo dare una descrizione vettoriale: r = (rx i , ryj , rzk) = (x i ,yj , zk)


Moto di un punto in un piano e traiettoria

i = 0, 1, 2, 3, ….

P = P (x , y , z )r = r (x i , y j , z k)

x = x (t )y = y (t )z = z (t )

Pi = P (xi , yi , zi )ri = r (xi i, yi j , zi k)

xi = x (ti )yi = y (ti )zi = z (ti )

v=v(t ) =v (P(t) )v i = v (P(ti) )

a=a(t ) =a (P(t) )ai = a ( P(ti) )

Traiettoria

a0P0

y

x

P3

P2

P1r0

r1

r2

r3

v1

v2

v3

v0

a1

a3

a2

0

Nota: la direzione di v è sempre tangente alla traiettoria !


Spostamento di un punto e velocità media

Come è naturale fare, si definisce spostamento s di un punto P dalla posizione P1 alla posizione P2 (più propriamente s12) il vettore che congiunge r1 a r2, con verso da r1 a r2Si vede subito che tra i vettori r1 , r2 e s valgono le relazioni:

r1 + s12 = r2s12 = r2 – r1 s12 ≡ r2 – r1

La velocità è definita come lo spostamento eseguito nell’unitàdi tempo

La velocità media da P1 a P2 è:<v> = (r2 – r1 ) / ( t2 - t1 ) = s12 / t

ed ha la direzione e il verso di s12La velocità istantanea nel punto P1 , all’istante t1 , si ottiene come caso limite quando lo spostamento tra i punti P1 e P2 tende a zero

y

x

P2

P1r1

r2

0

s12


Velocità istantanea

La velocità istantanea di un oggetto, rappresentato dal punto P(x (t) , y (t) , z (t) ), all’istante generico t, è la velocità che il punto ha esattamente all’istante t. Cioè è la velocità media tra due punti infinitamente vicini, o tra due istanti di tempo infinitamente prossimi

Se chiamiamo s12 lo spostamento tra i punti P1 e P2 si ha:

Nota: per P2 che tende a P1 e s12 che tende a ds, la direzione di ds tende esattamente alla tangente alla traiettoria nel punto P1

ds

ds ds ds dsds

12 rr


Spostamento infinitesimo e traiettoria

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore spostamento diventa sempre più simile ad un segmento della traiettoriaPortando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore spostamento infinitesimo ds che descrive lo spostamento tra due posizioni infinitamente vicineIl vettore spostamento infinitesimo è quindi un segmentino della traiettoria, che giace sulla tangente alla traiettoria in PLa traiettoria, che è il percorso del corpo nel piano (2-D) o nello spazio (3-D), risulta essere la somma di tutti i vettori spostamento infinitesimo ds, percorsi in intervalli di tempo infinitesimi

Se invece i punti P1 ( P1= P) e P2 non sono infinitamente vicini, lo spostamento s = s12 = ( r2 - r1 ) non giace sulla traiettoria, e non è quindi tangente ad essa

ds

ds ds ds dsds


Velocità come derivata dello spostamento

La velocità (istantanea) nel punto generico P, all’istante t, è il rapporto finito tra due infinitesimi, ds e dt, detto derivata di s(t) rispetto a t

Il rapporto incrementale è proprio la velocità media e in quest’esempio si puòvisualizzare il limite di tale rapporto, che dà la velocità istantaneaSignificato geometrico della derivata: coeff. angolare della

retta tangentex

t

dx

dt

θ

θ


Legge (equazione) oraria

Il disegno appena visto è un esempio NON di traiettoria ma di legge oraria !Nella traiettoria, t è un parametro e si mostra il moto nello spazio realeLa legge oraria è l’equazione che descrive la posizione del punto P in funzione del tempo

Nel Sistema cartesiano … … o polare:

P = P (x(t) , y(t) , z(t) ) P = P (r(t) , (t) , (t) ) r = r (x(t) , y(t) , z(t) ) r = r (|r(t)| , (t) , (t) )

sono esempi di leggi orarieOgni moto ha una specifica legge oraria esplicita che lo descriveEsempi monodimensionali:

x(t) = A t2+C, x(t) = A cos (t+), x(t) = A t + C

Nota: A, C, e sono costanti che dipendono sia dai dati del problema, sia dalla posizione e dalla velocità del punto all’istante t = 0


Moto Rettilineo (monodimensionale)

I moti rettilinei sono moti monodimensionali esprimibili nella forma P(t)=x(t) (ovvero P(t)=y(t), ovvero P(t)=z(t))Partendo dalla posizione all’istante t=0, il moto può essere rappresentato graficamente sugli assi cartesiani t [s] e x [m]Ad ogni istante di tempo t (rappresentato normalmente sull’asse orizzontale) si associa il valore della posizione del corpo (rappresentandolo sull’asse verticale)Collegando tra loro i punti in cui abbiamo effettuato la misurazione, si ottiene l’espressione grafica della legge oraria del moto a partire dall’istante t=0.A lato c’è la rappresentazione grafica (diagramma orario) di un armadillo:

– fermo nella posizione x = -2m (figura in alto)– che si muove a partire dalla posizione x = -5m

(figura in basso)

Armadillo fermo: diagramma orario

Armadillo in moto: diagramma orario


Velocità in un moto rettilineoLa velocità è una grandezza vettoriale: oltre al suo valore (medio o istantaneo) si deve conoscerne la direzione e il versoNe caso monodimensionale, tuttavia, la velocità (che ha la direzione e il verso dello spostamento) giace sempre sull’asse xIn questo caso la notazione vettoriale è ridondante e si può evitareIl verso della velocità, espressa dal segno + o -, indica se il punto si muove rispettivamente verso le x positive o negativeAnche della velocità si può tracciare il diagramma orario: v = v (t)

Esempio dell’ascensore:

Nell’esempio si nota che:• dopo la chiusura delle porte, l’ascensore

comincia a salire (grafico sopra) e la velocitàaumenta

• Arrivata ad una valore massimo, la velocitàrimane costante

• All’avvicinarsi del piano la velocità comincia decrescere fino ad annullarsi

ts

vdtds

ist vvdt

tdstist)()( v(t)v


Accelerazione in un moto rettilineo

Laccelerazione è la variazione della velocità nell’unità di tempoL’accelerazione è una grandezza vettoriale: oltre al suo valore (medio o istantaneo) si deve conoscerne la direzione e il versoNe caso monodimensionale (moto rettilineo) l’accelerazione ha la direzione della velocità e dello spostamento e giace quindi sempre sull’asse x.In questo caso la notazione vettoriale è ridondante e si può evitareIl verso dell’accelerazione, espressa dal segno + o -, indica se nel punto la velocità cresce (+) o decresce (-)Anche dell’accelerazione si può tracciare il diagramma orario: a = a (t)

Esempio dell’ascensore:

Nell’esempio si nota che• Nel tratto in cui la velocità aumenta, l’accelerazione è

diversa da zero e positiva• Quando la velocità rimane costante l’accelerazione è

nulla• Nel tratto in cui la velocità diminuisce, l’accelerazione è

diversa da zero e negativa

)()()()( 2

2

dtxd

dttdx

dtd

dttdtata

ta ist

vv


Formule riepilogative

Spostamento da P1 a P2

P1 = P

Velocità media tra P1 a P2

Velocità in P1 = P

Spostamento da P1 a P2

Accelerazione media tra P1 a P2

Accelerazione in P1 = P

Velocità da P1 a P2

12 rr


Moto rettilineo uniforme

L’accelerazione è nulla. Questa è la definizione !

La velocità è costante. E’ uguale al valore all’istante iniziale t=0 (ovvero v0):

Lo spostamento è dato da una semplice formula, in cui s0 è lo spostamento a t=0:

E’ un caso particolare delle formule precedenti. Disegnare le leggi orarie !

0)( ta

00

)0()()0()( vv vdttatvt

tsdttstst

000

)()0()( vv


Moto uniformemente accelerato: leggi orarie

L’accelerazione è costante

Velocità:

Spostamento:

aata 0)(

200

00 2

1)()( tatsdttstst

vv

tadtttt

a vvv 00

0 )()(


Esempio numerico

Una Ferrari arriva da ferma alla velocità di 100 km/ora in 3 secondi. Supponendo che l’accelerazione sia costante, determinare:

– Il valore dell’accelerazione– La velocità raggiunta dopo 2 secondi

Svolgimento:– Se a=cost=<a>=ao si ha:

– Sappiamo che v (3s) = 100 km/ora = 105 [m] /3600 [s] = 27.8 m/s– Quindi ao = cost = v (3s) [ms-1] / 3 [s] = 27.8/3 [ms-2] = 9.27 [ms-2]

– La velocità dopo 2 secondi è: v(2s) = ao t = cost t = 9.27[ms-2] 2[s] = 18.5 [m/s] = 18.5(3600/103) [km/ora] →

v(2s) ≃ 68 km/ora

22

12

2121

21

2

)()()( :verifica

)()()(

msastmsasdt

dsdtmstdmsta

tmsamstmsast

msmsasdtmstdmsta

oo

oo

v

vvv

ao = 9.27 [ms-2]

v(2s) = 18.5 [ms-1] = 68 [km/h]


Moto circolare uniforme - 1

Il moto circolare è un modo in due dimensioni che, se trattato in coordinate polari, appare come un moto in una dimensione, t, poiché l’altra coordinata, r, è costante. E’ detto uniforme se la frequenza angolare d(t)/dt=(t)=0 = costante. 0 è detta pulsazione

= (t) = o tr = r(t) = ro

In coordinate cartesiane si ha invece:x = x(t) = ro cos(o t)y = y(t) = ro sin(o t)

Definizioni:t = spostamento angolare(t) = d(t)/dt = o = velocità angolare’(t) = d(t)/dt = 0 accelerazione angolare

Ma anche, rispetto alla coordinata curvilinea sv(t) = ds/dt = ro d/dt = ro o = velocità tangenzialea(t) = d2s/dt2 = ro d2/dt2 = 0 = acc. tangenziale

E rispetto alle coordinate cartesiane x(t) e y(t)vx(t) = dx(t)/dt = ro d(cos(o t)/dt = - ro o sin(0 t) ax(t) = dvx(t)/dt = - ro o

cos(0 t)vy(t) = dy(t)/dt = ro d(sin(o t)/dt = ro o cos(o t) ay(t) = dvy(t)/dt = - ro o

sin(0 t)

x

y

r

P(t)v(t)

ac(t) s

accelerazione centripeta

Nota: l’accelerazione a = ac = ax i + ay j è diretta verso il centro ed è detta centripeta


Alcune considerazioni sul moto circolare uniformeSe lo esprimiamo in coordinate polari (o con la coordinata curvilinea s) otteniamo una legge del moto, ma in termini scalari e ci manca l’informazione vettoriale

(t) = o tr(t) = rov (t) = ro oat(t) = (accelerazione tangenziale)

Se lo esprimiamo in coordinate cartesiane l’informazione è completa e scopriamo che l’accelerazione c’è, ma è ortogonale a vr(t) = x(t) i + y(t) j = ro cos(o t) i + ro sin(o t) j |r(t)| = x2 + y2 = r0v (t) = vx(t) i + vy(t) j = - ro o sin(o t) i + ro o cos(o t) j |v(t)| = vx

2 + vy2 = ro o

a(t) = ax(t) i + ay(t) j = - ro 2o cos(o t) i - ro 2

o sin(o t) j |a(t)| = ax2 + ay

2 = ro 2o

|r(t)| = ro = cost|v (t)| = ro o = cost e anche|a(t)| = |ac(t)| = ro 2

o = cost

Moto circolare uniforme - 2

x

y

r

P(t)v(t)

ac(t)s

v(t) r(t) v(t) a(t) r(t)

Definizioni importantio = pulsazione

=o/2 = frequenzaT = 1/ = periodo


Riepilogo della Cinematica

Con la cinematica descriviamo il moto dei corpi attraverso una equazione del moto, detta anche legge, o equazione, oraria

Cartesiano PolareP = P (x(t) , y(t) , z(t) ) P = P (r(t) , (t) , (t) ) r = r (x(t) , y(t) , z(t) ) r = r (|r(t)| , (t) , (t) )

Nota la legge oraria, la matematica ci permette di ricavare la traiettoria del moto e le altre grandezze caratteristiche: velocità e accelerazione

– L’equazione che descrive la traiettoria si ricava, se possibile, dalla legge oraria eliminando, per sostituzione, la variabile t

– La velocità, istantanea, in ogni punto P(t)= r (x(t),y(t), z(t))=r (t) è data dalla derivata della legge oraria nel punto stesso: v = d/dt r(t) [m s-1]

– L’accelerazione, istantanea, in ogni punto P(t)= r (x(t),y(t), z(t))=r (t) è data dalla derivata della velocità nel punto stesso: a=d/dt v(t)=d2/dt2 r(t) [m s-2]

Analogamente, attraverso l’integrazione, che è l’operazione inversa della derivazione, note la velocità o l’accelerazione, in funzione del tempo possiamo ricavare la legge oraria, e quindi la traiettoria:

r(t)=∫v(t) dt +ro v(t)=∫a(t) dt + vo r(t)=∬a(t) dt + vo t + ro

Nota: in questo caso è però necessario che venga fornita la posizione del corpo e la sua velocità all’istante iniziale t=0 (ovvero t=to )


Riassunto su derivate e integraliLa derivata di una funzione x=x(t) rispetto alla variabile di cui è funzione è il passaggio al limite del rapporto x/t per t che tende a 0

Derivate più comuni

L’integrale, che ne è l’operazione inversa, è la somma finita di quantitàinfinitesime. L’integrale tra t=0 e t della funzione v(t) lo possiamo pensate come l’ “area” sottesa dalla funzione v(t) tra t=0 e il punto generico t

Integrali più comuni

Nota: le costanti, dette di integrazione e indicate genericamente tutte con C, sono necessarie perché l’”area” dipende dal valore della funzione x(t) a t=t0. Questo valore va fornito separatamente, come condizione iniziale, non essendo l’informazione contenuta nella derivata

)(lim )(lim )( )(

)(lim ))()((lim )()()(

''

''

''''

ttΔx

ttΔxtx

dtd

dttdx

ttdxttttxtxdxtxtxtx

ttxx

ttxx

α(t)dtdα(t)α(t)c

dtdα(t)

dtdα(t)α(t)

dtd

tCtCdtdtCtC

dtdCtC

dtdC

dtd

)(sin)os( )(cos)(sin

3 ) ( 2 ) ( ) ( 0 232

0,02

,02

0,0

00

,00 0 0

,00

0

,0,00

,0000

00

0000

21)( anche o

21)( )()(

)( cos)( se ) )(( )()(

)( cos)( se )()( )()0()( )( )( )(

)()( )()0()( )( )( )(

xttatxttadttadttaxtx

tattatadtdttadttxtxdx

tattatadttattttddtdt

tddtta

xdtttxxtxxtxtdxdtdt

tdxdtt

xxxx

t

xx

t

x

xxxxx

t t t

x

t

xx

xxxxxx

t

xxxxxx

t

x

tx

t

x

t

x

ttt

x

vvv

vvvv

vvvvvvvvvv

vv Nel caso unidimensionalese a(t) = cost = av(t) = a t + v0

x(t) = ½ a t2 + vot + x0

t

t

t

t

t

t

t

t

tt

t

t

t

t

t

t

Cdttαα

dttαCdttαα

dttα

ktkdtkttkdtkt

) -t(tkttkdttkdtktttktktkdtk

0000

000

) cos(1 ) sin( ) sin(1 ) cos(

cost 2

e :ha si 0 se

2

)2

2

( ) (

2

000

20

220

2

00


Obiettivi esercizi Cap. 2 (RHW)

Saper ricavare velocità ed accelerazione, nota la legge oraria.

Saper svolgere problemi su: moto rettilineo uniforme, uniformemente accelerato, circolare


Esescizi Lezione 3Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. JewettJr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).2-1: Una particella si muove lungo l’asse delle x, e la sua posizione in funzione del tempo è riportata in figura. Sulla base dei dati trovare la velocità media della particella negli intervalli di tempo: a) da 0 a 2s, b) da 0 a 4s, c) da 2s a 4s, d) da 4 s a 7s, e) da 0 a 8s. [ a) 5 m/s, b) 1.25 m/s, c) -2.5 m/s, d) -3.3 m/s, e) 0 m/s ]

2-5: Un’aereo atterra alla velocità di 100 m/s e, per fermarsi, può accelerare al massimo di - 5 m/s2. Determinare: a) dal momento che tocca il suolo l’intervallo di tempo minimo necessario per fermarsi, b) La lunghezza minima della pista necessaria per fermarsi. [ a) 20 s, b) 1000 m ]

2-6: Nel primato di velocità su terra del 1954, una slitta a razzi ha raggiunto la velocità di 632 miglia/h e successivamente è stata fermata in modo sicuro in 1,40 s. Determinare: a) l’accelerazione che è stata applicata per fermare la slitta e b) lo spazio percorso durante la frenata. [ a) -202 m/s2, b) 198 m ]

2-7: Una studentessa lancia un mazzo di chiavi ad un’amica affacciata alla finestra. La mano dell’amica che afferra le chiavi è ad un’altezza 4 m superiore rispetto alla mano al momento del lancio. Sapendo che le chiavi vengono afferrate dopo 1.5 s dal lancio determinare la componente verticale della velocità: a) al momento del lancio, b) quando le chiavi vengono afferrate. Spiegare perché la velocità orizzontale non entra in gioco. [ a) 10 m/s, b) -4.68 m/s ]



Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione(EdiSES).

7-9: Un’acrobata, seduta su un ramo, si lascia cadere sulla sella di un cavallo che sopraggiunge al galoppo, alla velocità di 36 km/h. Sapendo che la distanza in verticale tra il ramo e la sella è di 3 m, determinare: a) la distanza in orizzontale alla quale deve trovarsi il cavallo al momento in cui l’acrobata l’ascia il ramo, b) il tempo in cui resta in aria prima di raggiungere la sella. [ b) 0.782 s, a) 7.82 m ]

In assenza di gravità, una massa M = 1 kg è attaccata a una fune (massa trascurabile) di lunghezza L=1m e compie un moto circolare uniforme con velocità v = 10 m/s. Determinare il valore delle seguenti altre grandezze caratteristiche del moto: raggio dell’orbita, velocitàangolare, accelerazione angolare, accelerazione centripeta, forza centripeta, tensione a cui è soggetto il filo, periodo, frequenza. [R = 1 m, = 10 s-1, ’ = 10 s-1, ac = 100 m/s-2, Fc = 100 N, Te = 100 N, T = 0.628 s, = 1.59Hz ]







FISICA

Leggi di Newton - Piano inclinato - Attrito


Introduzione alla Dinamica

Con la cinematica descriviamo il moto dei corpi attraverso una equazione del moto, detta anche legge, o equazione, oraria

Cartesiano Polare

P = P (x(t) , y(t) , z(t) ) P = P (r(t) , (t) , (t) ) r = r (x(t) , y(t) , z(t) ) r = r (|r(t)| , (t) , (t) )

Nota la legge oraria, la matematica ci permette di ricavare la traiettoria del moto e le altre grandezze caratteristiche: velocità e accelerazione

La Dinamica descrive il perché un corpo si muove, collegandone il movimento alle grandezze che lo producono, e cioè le forze ad esso applicate

La Dinamica classica si basa sui 3 principi di Newton (più il principio di relatività di Galileo)

– 1° - Principio di inerzia– 2° - Principio della conservazione della quantità di moto– 3° - Principio di azione e reazione


I principi della DinamicaPrincipio di relatività galileianaLe leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali, cioè in moto tra loro di moto rettilineo uniforme

1° Principio o principio di InerziaSe un corpo è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme, vuol dire che non èsoggetto a forze oppure che la risultante delle forze che agiscono su di esso ènulla. Viceversa, se la risultante delle forze applicate a un corpo è nulla, esso èfermo o si muove di moto rettilineo uniforme

2° Principio o principio della conservazione della quantità di motoIn ogni istante l'accelerazione di un corpo è determinata dalla forza che agiscesu di esso: l'accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza, ilsuo modulo è proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massadel corpo

3° Principio o principio di azione e reazioneSe su un corpo agisce una forza, allora esiste un altro corpo che provoca tale forza e su cui agisce una forza uguale e contraria


Relatività e Principio di Inerzia

Principio di relatività galileianaLe leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali, cioè in moto tra loro di moto rettilineo uniforme.1° Principio della dinamica o principio di InerziaSe un corpo è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme, vuol dire che non èsoggetto a forze oppure che la risultante delle forze che agiscono su di esso ènulla. Viceversa, se la risultante delle forze applicate a un corpo è nulla, esso èfermo o si muove di moto rettilineo uniforme.

L’insieme di questi due principi ci dice che lo stato naturale di un corpo, non soggetto a forze, ovvero soggetto a forze la cui somma vettoriale (risultante) sia nulla, è quello di muoversi di moto rettilineo uniformeIl fatto di essere in quiete o in moto dipende soltanto dal sistema di riferimento che adottiamo, visto che le leggi della fisica non cambiano rispetto a due sistemi di riferimento in moto tra loro di moto rettilineo uniformeUn passeggero che si trovi su un treno o un’automobile che viaggiano su un rettilineo a velocità costante (moto rettilineo uniforme) non percepisce in alcun modo il movimento. Nessuna delle cose che può fare risentono del fatto che sia in moto. Se fa un esperimento di fisica (lascia per esempio cadere un oggetto), può fare misure o previsioni teoriche senza che i risultati ne siano affetti


Secondo Principio della Dinamica

2° Principio della dinamica o della conservazione della quantità di motoIn ogni istante l'accelerazione di un corpo è determinata dalla forza (“non equilibrata”)che agisce su di esso: l'accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza, il suo modulo è proporzionale alla forza e inversamente proporzionalealla massa del corpo.

Possiamo allora dire che se un corpo è soggetto ad “azioni” che ne alterano lo “stato naturale” questo si manifesta con una accelerazione. Le “azioni” che alterano lo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme sono le “forze”.Le forze, nei nostri esempi di spinta o trazione, sono grandezze vettoriali in quanto per essere definite è necessario fornire il valore della loro intensità (modulo), ma anche la direzione e il verso.Come possono essere misurate le forze in meccanica ?

– La risposta sta proprio nel modo in cui è definita la forza attraverso il secondo principio della dinamica. La forza è una azione in grado di modificare lo stato naturale di moto dei corpi. La forza ed è pertanto misurabile proprio a partire da come il moto di un corpo si discosta dal moto rettilineo uniforme, variando la sua velocità, cioè accelerando.

Attenzione: tra la forza e l’accelerazione, che hanno dimensioni diverse, c’è di mezzo una costante, la massa, che è la proprietà del corpo che “risponde” alla forza


Equazione di Newton

Questa equazione è l’espressione matematica del 2° principio:In ogni istante l’accelerazione di un corpo è proporzionale alla forza che agisce su di esso Il coefficiente di proporzionalità tra le due grandezze vettoriali è l’inverso di una grandezza scalare, che è una proprietà del corpo e che chiamiamo massa

Alcune conseguenze importantil'accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza, ma non le stesse dimensioni: a [ms-2] , m [kg] , F [kg m s-2 ] ⇒ [N] = [kg m s-2 ] La massa è la costante di proporzionalità tra la forza e l’accelerazione da essa prodottaLa massa viene quindi definita attraverso questa sua proprietà

Maggiore è la massa di un corpo, maggiore dovrà essere la forza necessaria per dare al corpo una data accelerazioneLa forza è sempre intesa come la risultante di tutte le forze applicate: F = Fi⇒F = Fx i + Fy j + Fy k = (Fi,x) i + (Fi,y) j + (Fi,z) ked essendo l’accelerazione proporzionale alla forza attraverso uno scalare si ha:a= ax i + ay j + ay k = (1/m) (Fi,x) i + (1/m) (Fi,y) j + (1/m) (Fi,z) k

def

F = m a

m = F/adef


Composizione delle forze

La forza che produce l’accelerazione è sempre la risultante delle forze applicate al corpo, cioè la loro somma vettorialeNella composizione delle forze si dovrà anche tener conto della eventuale forza resistente che si oppone al movimento del corpo (ad esempio l’attrito sulla superficie sulla quale avviene il movimento)

In questo esempio la forza applicata, Fap ,è pari a (275+395) N e quella resistente, Fres , è pari a 560 N Fap = Fap,x i + Fap,y j + Fap,z k = 275 i + 395 i = 570 i [N] Fres = Fres,x i = - 560 i

F = Fi = 10 i F = 10 N

Altri esempi


Digressione sulle forze in natura

In natura esistono quattro forze fondamentali, con cui è possibile descrivere tutti i fenomeni naturali noti

Forza Gravitazionaleè la forza responsabile di tutti i fenomeni astronomici, è la forza che ci tiene con “i piedi per terra”, che fa cadere gli oggetti e ci fa percepire la massa attraverso la forza peso ⇒ Legge di gravitazione universale di Newton

Forza Elettromagnetica è la forza che lega gli elettroni al nucleo ed è responsabile di tutti i fenomeni elettrici e magnetici ⇒ Equazioni di Maxwell

Forza Nucleare forteè la forza che lega i mattoni più elementari della materia. Mantiene unite le particelle, ed impedisce ai nuclei di disintegrarsi per la reciproca repulsione fra protoni, tutti carichi positivamente

Forza Nucleare deboleè responsabile, tra l’altro, dei decadimenti radioattivi

Qualsiasi forza è riconducibile a queste quattro


Gravità ⇒ Massa e Peso - 1

A causa della forza gravitazionale, Fg, due oggetti qualunque, siano essi particelle, pianeti o galassie, si attraggono reciprocamente con una forza proporzionale al prodotto delle loro masse

dove– G [kg-1 m3s-2] è la costante di gravitazione che vedremo in seguito– M1 e M2 sono le masse degli oggetti– r è la distanza tra gli oggetti (o meglio tra i loro centri di massa)

La forza è diretta come r, cioè secondo la congiungente i centri di massaConseguenza: sulla superficie terrestre ogni oggetto ha un “peso”Definizione: il peso PM di un corpo di massa M è il modulo della forza di attrazione gravitazionale della terra che agisce su di esso (a livello del mare).

detti: RT il raggio della terra, MT la sua massa, M la massa dell’oggetto, PM il suo peso,si ha:

22

212312 mr

kgMkgMsmkgGsmkgFg

g = 9.81 ms-2

NgMkgM

smgkgM

mkg

skgm

RMMGNP

terra

terraM

2226

24

2

311

2 )1037.6(1097.51067.6

221

rMMGFg


Gravità ⇒ Massa e Peso - 2

Alcune considerazioniIl peso è l’effetto su una massa dell’attrazione gravitazionale terrestreIl peso è il modulo di una forza (vettore), con modulo, direzione e versoLa direzione e il verso di Fg sono quelli dell’ accelerazione di gravità g

L’accelerazione di gravità g è definita dalla relazione vettoriale:

g = -|g| jnell’ipotesi che si usi un sistema di coordinate cartesiano con l’asse y diretto verso l’alto. Il peso P di un oggetto e: P = m g

Esercizio: calcolare la massa della terra sapendo che G = 6.67 10-11 [Nm2 kg-2] e che il raggio della terra, rT , è: rT = 6.37 103 kmPoiché conosciamo i valori delle grandezze G e rT, e abbiamo misurato g, possiamo scrivere:

la massa della terra è quindi: e parlare di peso della terra non ha senso

Fg = g m Il valore esatto di |g| dipende dallaposizione sulla superficie terrestre

kg

smkgsm

kgmkgmsmms

kgNmmms

GgrM

rMG T

T

T 24231

2324

22211

2262

2211

22622

2 100.6100.61067.6

)1037.6(81.91067.6

)1037.6(81.9 g

MT = 6.0 1024 kg


Misura del peso

Il peso P è una grandezza scalare e positiva, in quanto definito come il modulo della forza Fg. La sua misura si effettua misurando la forza di gravità che agisce sull’oggetto

Nel primo caso si misura il peso di un oggetto confrontandolo con dei pesi noti. Quando la bilancia è in equilibrio i due pesi sono ugualiNel secondo caso si misura l’allungamento di una molla prodotto dalla forza peso, sapendo che l’allungamento è proporzionale alla forza applicata. Graduando la scala si legge il peso

Nota: non è corretto esprimere il peso in kg. Il peso è il modulo di una forza e si esprime in newton [N]. Il peso di una massa di 1kgè uguale a 9.81 N. Si suole definire il chilogrammo peso, kgw ≡ 1kg · g , da cui la confusione

1 kgw = 9.81 [N] = 9.81 [kg m s-2] ≠ 1 kg [kg] anche se hanno lo stesso valore


Terzo Principio della Dinamica

3° Principio della dinamica o principio di azione e reazioneSe su un corpo agisce una forza, allora esiste un altro corpo su cui agisceuna forza uguale e contraria

Nota: Le due forze sono identiche ma vengono esercitate su corpi diversi, con masse differenti. Quindi l’effetto indotto da queste due forze identiche può essere sensibilmente differente

Esempio

F = 36 Nmastronave = 11000 kgmuomo = 92 kg

F F

2

2

/39.09236

/0033.011000

36

sma

sma

uomo

astronave


La “forza normale” è la forza di reazione alla forza di gravità prodotta dall’appoggio su cui è posato un corpo di massa m. Essa è la forza esercitata dall’appoggio, deformandosi, per sostenere il corpo appoggiatoLa forza normale è una conseguenza del 3° principio della dinamica

La forza Normale è sempre perpendicolare alla superficie e si indica con la lettera N

Se il corpo è in equilibrio la risultante delle Forze ad esso applicate è nulla

Se la risultante delle forze è diversa da 0,essa produrrà movimento

Nota: la forza normale FN è la reazione dell’appoggio ed è quindi sempre normale alla superficie. Se la superficie non è orizzontaleIl suo modulo |FN| è minore di P = |Fg|

Altri tipi di forze: Forza normale

FN

Fg


Altri tipi di forze: Forza di attrito

La forza di attrito è la forza che si oppone al movimento di un corpo sul suo piano di appoggio. Essa è dovuta all’interazione tra le asperità delle superfici (attrito statico), ovvero alla dissipazione di energia dovuta allo sfregamento tra le due superfici quando sono in movimento (attrito dinamico)

Al crescere della forza applicata, la forza di reazione prodottadall’attrito statico cresce fino ad un valore massimo, fs

Superato il valore fs il corpo comincia a muoversi e la forza di reazione prodotta dall’attrito, detto ora dinamico, si stabilizza ad un valore più basso, fk


Ancora sulla forza di attrito dinamico

Le forze di attrito fs e fk– sono proporzionali alla forza normale FN attraverso i coefficienti di attrito

detti: s e k . Nota: i coefficienti di attrito s e k dipendono dai materiali e dallo stato delle loro superfici

– si oppongono al moto – sono ortogonali a FN , e quindi paralleli alla superficie di scorrimento

|fs| = fs ≤s FN |fk| = fk = k FN

FN

Fg

Fg sinfs

FN

Fg

Fg sinfk

fs = Fg sin ≤ s FN

FN

Fg

Fg sinfk

fk = k FN < Fg sinfk = k FN = Fg sinIl corpo resta fermo (in quiete) Il corpo si muove di moto

rettilineo uniformeIl corpo si muove di moto

uniformemente accelerato


Altri tipi di forze: Resistenza del mezzo

Se un oggetto si muove in un mezzo che non sia il vuoto, il fluido (aria, acqua, ecc.) in cui si muove esercita una forza, detta forza di resistenza del mezzo (o coefficiente di resistenza aerodinamica), che si oppone al movimentoPoiché il movimento è prodotto dalla risultante di tutte le forze che agiscono sul corpo, spesso questa forza non può essere trascurata

La forza che si oppone al movimento ha, in ogni punto, la direzione di v (P), ma ha verso opposto. In sintesi ha la direzione e il verso di –v(P).

Il modulo di questa forza, indicata comunemente con D, è solitamente dato da un’espressione empirica del tipo:

D = ½ CAv2 ∝ Av2

Dove:– C è il coefficiente aerodinamico (C = 0.1÷0.4)– A è l’area massima del corpo in movimento (perpendicolare al moto)– v è il modulo della velocità del corpo– è la densità (massa volumica) del mezzo in cui si muove

I calcoli diventano normalmente parecchio complicati poiché la forza risultante, proporzionale all’accelerazione, dipende dal quadrato della velocità


Altri tipi di forze: Tensione

Quando un filo è fissato ad un corpo soggetto ad una forza, il filo è sotto tensioneIl filo esercita sul corpo una forza di trazione T applicata al punto di fissaggio del filo e diretta lungo il filoLa tensione T della corda è il modulo di tale forza

Se il sistema è in equilibrio, ogni elemento della corda è in equilibrio, cioè soggetto ad un sistema di forze a risultante nullaSe in moto accelerato, ogni elemento della corda è accelerato, cioè soggetto ad un sistema di forze a risultante ≠0In generale le corde, o funi, trasferiscono una forza da un punto ad un altroUsando anche le carrucole possiamo trasferire una forza cambiandone anche la direzione e il verso


Altri tipi di forze: Forza elastica

La forza elastica è la forza che si oppone alla deformazione di un corpo quando èsoggetto ad una forza che, a causa di un vincolo non può produrre accelerazioneUna deformazione è elastica quando, soppressa la forza che l’ha prodotta, il corpo ritorna nella forma o posizione di riposoTutti i corpi sono in grado di rispondere elasticamente ad una sollecitazione, superata la quale la deformazione diventa permanente: regime plasticoL’esempio tipico è la molla che, se tirata o compressa, reagisce con una forza F che èproporzionale allo spostamento, ma con verso opposto (si oppone allo spostamento)Detta k [N /m] la costante elastica della molla, nell’esempio della figura la forza Fgenerata dalla molla è:

F = - k d = - k x i


r(t) = x(t) i +y(t) j = ro cos(o t) i + ro sin(o t) j |r(t)| = x2 + y2 = r0

v(t) = vx(t) i + vy(t) j = - roo sin(o t) i + ro o cos(o t) j |v(t)| = vx2 + vy

2 = ro o

a(t) = ax(t) i +ay(t) j = - ro2o cos(o t) i - ro2

osin(o t) j |a(t)| = ax2 + ay

2 = ro 2o

|r(t)| = ro = cost|v(t)| = ro o = cost|a(t)| = |ac(t)| = ro 2

o = cost

Altri tipi di forze: Forza centripetaLa forza centripeta è una forza diretta verso il centro di curvatura di una traiettoria. Essa si ha quando l’oggetto compie una curvaCosì come una forza (risultante di tutte le forze) che agisce su una massa produce un’accelerazione, e quindi una variazione di velocità, e quindi un moto, se un corpo èsoggetto ad una accelerazione è necessario che ci sia una forza che l’ha generata Facendo calcoli del moto circolare uniforme, dal punto di vista cinematico, abbiamo trovato che l’accelerazione aveva solo una componente ortogonale al moto e diretta verso il centro. Questa accelerazione, responsabile del cambio di direzione della velocità (costante in modulo) l’abbiamo chiamata centripetaLa forza centripeta è la forza che genera l’accelerazione centripeta secondo la solita legge di Newton: F = m aRiscrivendo quanto visto in cinematica per il moto circolare uniforme:

x

y

r

P(t)v(t)

a(t)

s

Fcentripeta (t) = m acentripeta (t)


Alcune note

Forza centrifugaLa forza centrifuga è una forza “apparente” che percepiamo quando ci troviamo in un sistema di riferimento non inerziale (cioè che subisce un’accelerazione)Se siamo su una moto in curva, noi e la moto, per curvare, avremo applicata una forza centripeta, che sarà in equilibrio (3° principio) con la reazione vincolare, della strada e del sellino. Poiché noi siamo sulla moto e siamo collegati, in ogni istante, al sistema che genera la reazione vincolare, quello che percepiamo non è la forza centripeta ma la reazione vincolare ad essa, cioè la forza centrifugaLa forza centrifuga (apparente perché non esiste nel sistema inerziale in cui descriviamo il moto) è, come ogni reazione vincolare, uguale ed opposta alla forza (centripeta) che la genera

Caduta di un corpo e resistenza del mezzoIl campo gravitazionale terrestre applica ad ogni corpo la stessa accelerazione g = cost, a prescindere dalla sua massa e dalla sua forma. Il fatto che una piuma eUn sasso non presentino la stessa legge del moto sefatti cadere dalla torre di Pisa è solo una conseguenza della resistenza dell’aria (che dipende da: A, v e C)


Obiettivi esercizi Cap. 5 e Cap. 6 (RHW)

Saper trovare la risultante di più forze che agiscono su un corpo

Saper applicare i principi della dinamica in vari contesti

Saper ricavare la legge del moto dato un sistema di forze agenti su un corpo


Esescizi Lezione 4

1. Una massa di 0.2 kg si trova su un piano orizzontale. Una forza F1 agisce verso destra e un’altra forza F2 agisce verso sinistra, e i valori delle due forze sono rispettivamente 4 N e 2 N.

a) Trovare forza e accelerazione risultanti. [Fris.= 2 N , aris = 10 m s-2 ]Un’ulteriore forza F3 del valore di 1 N si aggiunge: essa agisce lungo una direzione di 30 gradi verso il basso rispetto all’orizzontale da sinistra a destra.

b) Trovare i nuovi valori di forza e accelerazione ? [ F = 2.87 N, a = 14.35 m s-2 ]

2. Un elettrone di massa 9.11 10-31 kg ha una velocità iniziale di 3 105 m/s. Esso viaggia in linea retta e la sua velocità aumenta fino ad essere 7·105 m/s in una distanza di 5 cm. Assumendo che la sua accelerazione sia costante,

a) determinare la forza sull’elettrone [ 3.64·10-18 N ]b) confrontare questa forza con il peso dell’elettrone, che avevamo trascurato. [ 8.93 ·10-30 N ] -

Eserciziario Serway, 4.2

3. Un blocco su un piano inclinato liscio con inclinazione di 20 gradi possiede una velocitàiniziale di 5 m/s. Di quanto scivola in salita il blocco prima si arrestarsi? [3.73 m] -Eserciziario Serway, 4.5

4. Una moneta è appoggiata su un libro che è stato inclinato di un angolo rispetto al piano orizzontale. Per successive approssimazioni si trova che, quando raggiunge i 13°, la moneta è sul punto di scivolare lungo il libro (ovvero un piccolissimo incremento dell’angolo la farebbe scivolare). Qual è il coefficiente d’attrito statico μs tra moneta e libro. - Esercizio Halliday, 6.3. [μs=0.23]



5. Un blocco di massa m=15 kg è trattenuto da una fune su un piano liscio inclinato di 27 gradi. (a) Quanto valgono la forza normale e la tensione della fune ? (b) Ora tagliamo la corda: quanto vale l’accelerazione del blocco verso il basso ? - Esercizio Halliday 5.7. [ (a) FN=130 N, T=67 N. (b) a = -4.4 m/s2]

6. Una slitta si trova sulla neve, su un piano inclinato di 30º. La slitta ha una massa M = 5 kg, e un ragazzo la tiene ferma con una fune sottile di massa trascurabile. Se il coefficiente di attrito statico è μs = 0.10, qual è la forza T che il ragazzo deve esercitare per tenere ferma la slitta [T=20.26 N ] ? Dopo un certo tempo, il ragazzo lascia libera la slitta, senza spingerla (dunque con velocità iniziale nulla). Se la slitta scivola per 10 m lungo il pendio, che velocità finale v raggiunge [v=9.19 m/s] ? Si assuma che il coefficiente di attrito dinamico d sia ugale a 0.08. - Tema d’esame gennaio 2008

Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).

4-1: Due forze, F1 e F2, agiscono su un corpo di massa M = 5.00 kg. Se F1 = 20.0 N e F2 = 15.0 N, si trovi l’accelerazione nei due casi in figura [ (4.00i + 3.00j) m/s2 ;(5.50i + 2.60j) m/s2 ]

4-4: Un corpo di massa 1.00 kg si muove, sotto l’azione di due forze, con un’accelerazione di 10.0 m/s2 in una direzione che forma un angolo di 30.0° rispetto all’orizzontale. Una delle due forze è verticale, diretta verso l’alto, e ha modulo pari a 5.00 N. Determinare la seconda forza che agisce sul corpo, esprimendola in forma cartesiana e polare. [ F=(8.66 i )N ; F=8.66 N, =0° ]



4-6: Nel sistema mostrato in figura una forza orizzontale di modulo Fx agisce su un oggetto di massa 8.00 kg al quale è appesa, attraverso una fune e una carrucola, una massa di 2 .00 kg. Trascurando tutti gli attriti determinare:a) i valori di Fx per i quali l’oggetto appeso accelera verso l’alto [Fx > 19.6 N]b) i valori di Fx per i quali la tensione sulla fune è nulla [Fx < - 78.4 N]c) Disegnare il diagramma dell’accelerazione dell’oggetto da 8 kg

in funzione della forza Fx che varia da -100 N a 100 N.

5-1: Un blocco di 3.00 kg parte da fermo dalla sommità di un piano inclinato di 30° e scivola percorrendo una distanza di 2.00 m in 1.50 s. Determinare: a) l’accelerazione del blocco [a=1.78 m/s2], b) il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e il piano [ d = 0.368 ], c) la forza di attrito che agisce sul blocco [f = 9.37 N], d) la velocità del blocco dopo aver percorso i 2.00 m [vf = 2.67 m/s].

5-9: Consideriamo il caso di una meteora che si trovi a transitare ad una distanza dalla superficie terrestre pari a 3.00 volte il raggio della terra (Rterra = 6.37·103 km). Determinare l’accelerazione di caduta libera della meteora dovuta alla forza di gravità che agisce su di essa. [ g = 0.613 m/s2 ]







FISICAMoti in due dimensioni, 2D

Quantità di moto, conservazione, impulso


Equazione di Newton in 2D e 3D

Questa equazione può essere proiettata sulle tre direzioni indipendenti x, y e zLa forza è

F = Fx i + Fy j + Fy k = (Fi,x) i + (Fi,y) j + (Fi,z) ke dunque si ha:

Fx = max

Fy = may

Fz = maz

F = m a


Caduta libera e moto parabolico

Sono questi due moti dovuti all’accelerazione di gravità, g, prodotta dalla forza di gravità, Fg

Come si procede:1. Si sceglie il sistema di coordinate2. Si ricava l’accelerazione dalle forze3. Si ricava l’equazione del moto dall’accelerazione4. Si applicano le condizioni iniziali

Esempio del grattacielo:

Esempio del proiettile:

g

-gm

-gm

-gm

-gm

-gm

-gm

0

Nota: i risultati non dipendono dalla massa m

y

jgmF

ajgmjgmjFgmF gggg

002

0 21)( e )( yttgtytgt yyy vvv

21

21)( )(

21)( )(

)0(,)0(;)0(,)0(;00

002

002

y00

00002

00

0000

yttgyttatytgtat

xtxttatxtat

yyxxaF

yyyyyy

xxxxxxx

yyxxxx

vvvvv

vvvvv

vvvv


Moto parabolico (seguito)

Se P(0)=0, le equazioni del moto sono:

La traiettoria si ottiene eliminando il tempo:

Altra formula specifica: gittata R (punto di ritorno alla quota si partenza)

Altra formula specifica: coordinata x del punto più alto della traiettoria:

g

-gm

-gm

-gm

-gm

-gm

-gm

Attenzione: le formule della traiettoria, della gittata e del punto più alto non sono formule generali, valgono solo nelle condizioni indicate sopra: in particolare esse presuppongono che: P(0)=0 e che yfinale = y(0) = 0


In figura è rappresentato un proiettile lanciato verso un terrapieno di altezza h con velocitàiniziale v0 = 42.0 m/s e angolo di lancio 0 = 60° sopra il piano orizzontale. Il proiettile cade nel punto A, 5 s dopo il lancio. Calcolare: a) l’altezza del terrapieno, b) la velocità del proiettile all’impatto, c) la massima altezza, H, che esso ha raggiunto sopra il livello del terreno. Si trascuri la resistenza dell’aria. I dati del problema sono:

x0 = y0 = 0 tf = 5 s 0 = 60° v0.x= 42.0 cos(0) = 21.0 m/s v0.y= 42.0 sin(0) = 36.4 m/s y(tf )= h ?

Utilizzando le equazioni di pagina precedente, calcolo i valori di x(t) e y(t) all’istante t= tf

Per calcolare il valore di H notiamo che il proiettile raggiunge la quota massima quando la sua velocità verticale si annulla per passare da ascendente (vy >0) a discendente (vy <0).Calcolo quindi il valore di tH al quale vy =0 e poi sostituisco il valore trovato nella y (t) poiché H=y(tH)

Esercizio sul moto parabolico

m 1.59 536.452

9.83 21)( )(

m 105521)( )(

2,0

2,0,0

,0,0

httgtytgtat

mttxvt

fyffyfyfyfy

fxfxfx

vvvv

vv

y

x

v

m 67.4 s7.3ms4.36s7.3ms83.921

21)(

s 3.70s m9.83s m36.4 0 )(

1222,0

2

2-

-1,0

,0

fyfH

yHyHHy

tgttyH

gttgt

v

vvv


Il moto armonico

Le oscillazioni sono onnipresenti nella vita quotidiana, dalle vibrazioni alla musica. Il moto oscillatorio fondamentale è il moto armonico semplice.

Ad esempio, il moto associato ad una forza elastica, cioè proporzionale allo spostamento con segno opposto, genera un moto armonico!

L’andamento della coordinata di spostamento (x) nel tempo èrappresentato da una funzione caratteristica, detta sinusoide.


Legge oraria del moto armonico

L’equazione caratteristica di un moto periodico o armonico ed i suoi parametri principali sono:

Grandezza Unità SI Simbolo / Relazione

Frequenza hertz, Hz 1 Hz = 1 oscillazione al secondo

Periodo s Tempo per un’oscillazione completa

Ampiezza Escursione massima dalla posizione di equilibrio

Pulsazione radianti/s

1T

mx

22

T


Dinamica del moto armonico

Nota la legge oraria possiamo ricavare le espressioni di velocità ed accelerazione del moto armonico:

E con queste, applicare il II principio della dinamica:

Dunque il classico sistema massa-molla è caratterizzato da un moto armonico semplice e lineare per cui vale:

– Pulsazione

– Periodo

txtxdtd

dtdxt mm sincosv tx

dtdta m cos2v

22 ; mkxkxmamF

kmT

mk

2


Il pendolo semplice

L’oscillatore lineare è un valido modello per un grande numero di sistemi fisici in cui è presente un’oscillazione, ad esempio il pendolo

La scomposizione delle forze per un generico angolo permette di ricavare l’espressione della forza di richiamo:

Non si tratta dunque di una forza di richiamo lineare!Ma per piccoli angoli vale sempre che:

E dunque, solo per piccoli scostamenti, possiamo scrivere:

Otteniamo infatti una legge di moto armonico per la variabile :

sinsin mgFF gosc

sin

gmkkgmgmFF gosc ;sinsin

gLTtt

Lg

22;sinsin 00


Gravitazione

Newton per primo mise in relazione la forza che attira gli oggetti alla superficie terrestre con la forza che vincola i corpi celesti e formulò qualitativamente la legge di gravitazione universale:

Ogni corpo dotato di massa esercita una forza attrattiva gravitazionale su ogni altro oggetto massivo, e a sua volta subisce la stessa attrazione

La legge di gravitazione può essere espressa così:

m1 ed m2 sono le masse dei corpi, r è la distanza tra loro e G, la costante di gravitazione universale, ha valore pari a:

E’ proprio un classico esempio di azione e reazione secondo la III legge della dinamica

221

rmmGF

2211 /1067,6 kgmNG


Gravitazione - 2

La legge della gravitazione può essere espressa in forma vettoriale nel seguente modo:

– L’elemento è detto versore, è un vettore di modulo unitario diretto lungo la congiungente le due particelle

Una sfera di materiale uniforme da un punto di vista gravitazionale attira una particella posta al suo esterno come se tutta la massa fosseconcentrata nel suo centroSe un corpo interagisce per gravitazione con n altri corpi, vale il principio di sovrapposizione: la forza risultante è data dalla somma dei singoli effetti

– Questo si applica anche ad un corpo esteso, usando gli integrali

r̂

rrmmG

rr

rmmGF

2

212

21

n

iiFF

211


Le leggi di Keplero ed il moto dei pianeti

Johannes Kepler, astronomo tedesco (1571-1601), arrivò a formulare tre leggi empiriche che governano i moti dei pianeti. In seguito Newton dimostrò come si possano tutte derivare dalla legge della gravitazione• 1° legge o legge delle orbite:

Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il sole occupa uno dei due fuochi

•2° legge o legge delle aree: Il segmento che collega un pianeta al sole descrive aree uguali in tempi uguali

•3° legge o legge dei periodi:Il quadrato del periodo di un pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore della sua orbita


3° legge di Keplero per i pianeti

32 aT 32

2 4 aMG

TSole

Orbita circolare ⇒Moto Circolare Uniforme

Orbita ellittica

32 rT

Attraverso il II principio della dinamica e le leggi del moto circolare possiamo esprimere la terza legge di Keplero come:

E le cose si fanno molto più complicate

32

2 4 rMG

TSole


Per un sistema costituito da n masse concentrate mi e dalla massa totale peri a M in uno spazio a tre dimensioni il centro di massa ha coordinate:

Le tre equazioni scalari possono essere sostituite da un’unica equazione vettoriale

Il centro di massa - 1

Il centro di massa di un corpo o di un sistema di corpi è il punto che si muove come se vi fosse concentrata tutta la massa e vi agissero tutte le forze esterne

n

ii

n

iiicdm

n

iiicdm

n

iiicdm

mM

zmM

zymM

yxmM

x

1

111

1;1;1

kzmjymixmM

rmM

rmM

kzjyixr

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

n

iiicdmcdmcdmcdm

1111

1

11

1


Il centro di massa - 2Le coordinate del centro di massa di un sistema di masse concentrate, dipendono dal sistema di riferimento (ma questo non è vero per la sua posizione rispetto alle masse stesse)

m1= 1 kg ; m2= 3 kg

d = 4 m

mmkgkg

xmM

x

kgkgkgmM

n

iiicdm

n

ii

3] )[4301( 411

4 3 1

1

1

x1= 0 ; x2= d = 4 m x1= 1.5 ; x2= x1 + d = 5.5 m

mmkgkg

xmM

x

kgkgkgmM

n

iiicdm

n

ii

5.4] )[5.535.11( 411

4 3 1

1

1

m1= 1 kg ; m2= 1.5 kg ; m3= 2 kg ; M = 4.5 kg ; a = 150 cm

cmjijM

miM

mmjyixr

jaiarjiarjirrmM

r

cdmcdmcdm

n

iiicdm

7.573.831307515023

20001

332

1211


La quantità di moto

Definiamo la quantità di moto o momento lineare di un corpo puntiforme il vettore:

m = massa del corpo

v = velocità del corpo

La formulazione originale del II principio della dinamica è data proprio in funzione della quantità di moto! Vale infatti l’equazione:

Che non è altro che un’enunciazione perfettamente equivalente della già vista:

“La rapidità di variazione del momento di una particella è proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella e ha la stessa direzione di quella forza”

v mp

dtpdF

amdtdmm

dtd

dtpdF

vv)(


Conservazione della quantità di moto

Nel caso di un sistema di più corpi dalla massa totale M definiamo la quantità di moto totale del sistema come:

vcdm è le velocità del centro di massa del sistema

Dalla definizione stessa di quantità di moto segue che, per un sistema di più particelle che:

• sia isolato: la risultante di tutte le forze esterne è nulla

• sia chiuso: nessuna particella entra o esce dal sistema

vale che:

E’ il principio di conservazione della quantità di moto.

00. dtPdFrisult

P = costante => Piniziale = Pfinale

cdmMP v


Conservazione quantità di moto - 2

Esempio: Un’astronave che procede alla velocità di 2100 km/h espelle uno stadio esaurito di massa pari al 20% della massa totale e alla velocità relativa vr = 500 km/h. Determinare la velocità finale dell’astronave dopo l’espulsione.

Esempio: Un disco esplode al centro in tre pezzi che si muovono senza attrito su un piano. Determinare la velocità di un pezzo note le direzioni delle velocità, la suddivisione della massa e una delle velocità delle parti

Dati: MA=0.5M MB=0.2M MC=0.3M vC = 5 m/s vB ? vA ?Il sistema è chiuso e vale la conservazione della quantità di moto => Pf = Pi = 0.

Px = - MA vA + MC vC cos(80°) + MB vB cos(50°) = 0

Py = 0 + MC vC sin(80°) - MB vB sin(50°) = 0 =>

MB vB = MC vC sin(80°)/sin(50°) => vB = 1.5 vC sin(80°)/sin(50°) =

Il sistema è chiuso e vale la conservazione della quantità di moto => Pf = Pi

Pi = M vi = Pf = M [0.8 vf + 0.2 (vf – vr)] =>=> vf = vi + 0.2 vr = (2100 + 100) = 2200 km/h

vB = 9.94 m/s vA = MC vC cos(80°) + MB vB cos(50°) = 3 m/s


definizione di impulso

teorema dell’impulso

forza media che agisce nell’intervallo di tempo t

Impulso

La quantità di moto rappresenta un potente mezzo per la risoluzione di problemi legati alla collisione tra due o più corpi.

Durante l’urto una forza rapidamente variabile F(t) agisce per un tempo breve, da t1 a t2, inducendo una variazione della quantità di moto p di un corpo. Possiamo scrivere:

tFpJ

Jppp

dttFJ

dttFpddttFpd

t

t

t

t

p

p

12

2

1

2

1

2

1

variazione di quantità di moto


Esercizi Lezione 5

Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr.Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).

3-3 : In un bar, un avventore lancia lungo il banco un boccale di birra vuoto perché sia riempito. IL barista non lo intercetta e il boccale cade alla distanza di 1.40 m dal banco. Sapendo che l’altezza del banco è h=0.860 calcolare: a) la velocità vettoriale del boccale al momento del distacco, b) la velocità vettoriale del bicchiere appena prima dell’impatto. [ vo=(3.34 i + 0 j) m/s ; vf =(3.34 i – 4.11 j) m/s ]

3-4 : Un calciatore calcia il pallone ad una distanza di 36.0 m dalla porta, la cui traversa èalta 3.05 m. Il pallone lascia il suolo con un angolo di 53.0° rispetto all’orizzontale e velocità di 20 m/s. Sulla base dei dati si determini: a) a che distanza il pallone passa sopra o sotto la traversa [ + 0.89 m, sopra ]; b) se il passaggio in prossimità della traversa avviene in fase ascendente o discendente [in fase discendente] . 3-12 : Uno sciatore lascia la rampa di salto con una velocità di 10.0 m/s a 15° al di sopra dell’orizzontale. Sapendo che dopo il salto la pista procede con inclinazione pari a -50°rispetto all’orizzontale e trascurando l’attrito dell’aria calcolare: a) la distanza alla quale atterra il saltatore sulla discesa [ vo=(9.66 i + 2.59 j) m/s ; df =43.2 m] , b) la velocità vettoriale al momento dell’impatto [ tf = 2.88 s ; vf =(9.66 i – 25.6 j) m/s ],

8-2 : Una palla d’acciaio di 3.00 kg colpisce un muro verticale d’acciaio con una velocitàdi 10.0 m/s che forma un angolo di 60° rispetto al piano del muro. Supponendo l’urto sia perfettamente elastico e che il tempo in cui la palla resta in contatto con la superficie sia di 0.200 s, determinare, in forma vettoriale, la forza media che la parete esercita sulla palla nel periodo in cui le fornisce l’impulso. [ F = -260 i N ]


Esercizi Lezione 5 - continua

8-3 : Una lunga tavola di massa pari a 300 kg è ferma su una superficie ghiacciata sulla quale può muoversi senza attrito. Sopra la tavola una ragazza di 45 kg inizia a camminare con velocità costante pari a 1.5 m/s. Determinare la velocità relativa alla superficie del ghiaccio: a) della ragazza, b) della tavola. [ vr=1.15 i m/s, vt= -0.346 i m/s ]

Un corpo di massa M = 1 kg viene lanciato all’inizio di un piano inclinato di lunghezza L = 6 m che forma un angolo = 30° con il piano orizzontale. Sapendo che l’attrito dinamico d = 0.2 e che l’energia cinetica iniziale del corpo è Ek = 50 J, determinare: a) la velocità del corpo al momento in cui abbandona il piano inclinato [ 4.56 m/s ], b) il tempo trascorso da quando il corpo abbandona il piano inclinato al suo impatto col suolo [1.048 s ], c) la distanza dal piano inclinato a cui cade il corpo [ 4.14 m] .

Un satellite artificiale terrestre percorre, a una quota di 105 m rispetto alla superficie terrestre, un’orbita circolare di periodo uguale a 94 minuti e 32 secondi. Sapendo che il raggio medio terrestre è 6.38·106

m, si determinino: il raggio dell’orbita del satellite [R=6.48·106 m], la sua velocità tangenziale [v=7.18·103 m/s], la sua velocità angolare [=1.11·10-3 rad/s], e l’accelerazione centripeta [ac=8.0 ms-2].

Un corpo di massa m =1000 g si trova alla base di un piano inclinato di 30° rispetto al piano orizzontalee lungo 30 m. Il corpo parte con velocità iniziale v0 = 20 m/s, diretta lungo il piano e verso l’alto. Se ilpiano è senza attrito, che velocità ha il corpo alla fine della sua corsa [vf =10.3 m/s] ? Se a tale estremità si trova una molla di costante elastica k=15000 N/m, di quanto si comprime tale molla[xm=8.4 cm] ? Ripetere l’esercizio supponendo che tra il piano e il corpo si eserciti una forza di attritodinamico caratterizzata da un coefficiente d = 0.1 [v’f =7.4 m/s , x’m=6.1 cm] .

= 30°

L= 6 m

M = 1 kg







FISICA

Lavoro ed energia (cinetica e potenziale)


L’energia

La definizione di energia non è univoca ! Da un punto di vista squisitamente tecnico l’energia è una grandezza fisica scalare associata allo stato o condizione di uno o più corpi.

A patto di definire in modo corretto:– Il valore da attribuire alla grandezza energia per un dato sistema– Le regole con cui essa si trasferisce

la quantità di energia complessiva del sistema rimane sempre invariata: principio di conservazione dell’energia !

L’unità di misura SI dell’energia è il joule (J), dal nome del fisico inglese James P. Joule (1818-1889).


Energia cineticaL’energia associata allo stato di moto di un corpo è l’energia cinetica.

Un corpo di massa m e velocità v (finché v è molto inferiore alla velocitàdella luce, ovvero v << c ) possiede un’energia cinetica pari a:

Dunque:

Alcuni esempi:piccione in volo:locomotiva:…protone di LHC: ≃ 1 10-6 J…fascio di protoni di LHC: ≃ 350 106J !!

K = ½ m v2

JsmkgKsmkgm 22;/0.2;0,1 22 v

JsmkgKsmhkmkgtm 72275 109.3109.3;/8,27/100;10100 v

][][ 22

smkgJ


Lavoro

L’energia trasferita ad un corpo da una forza oppure da un altro corpo tramite una forza è il lavoro L

Il lavoro è in effetti un trasferimento di energia, dunque è una grandezza scalare e si misura anch’esso in joule (J)

Intuitivamente il lavoro incarna il familiare concetto di “fatica”, ma attenzione:

– il lavoro è proporzionale sia allo spostamento effettuato sia alla forzaimpiegata

– Una forza che accresca l’energia del corpo effettua un lavoro positivo, una che lo riduca effettua un lavoro negativo

– la componente della forza che “lavora” è quella che induce direttamente lo spostamento, cioè quella parallela alla spostamento

– senza variazione di energia non vi è lavoro: sostenere un peso fermo non comporta lo svolgimento di lavoro !


Quindi con un espressione di valore generale, nel caso di forza costante applicata ad una massa puntiforme:

Ovvero il lavoro è il prodotto scalare dei vettori forza e spostamentoDunque il lavoro è positivo se la forza ha una componente nella direzione dello

spostamento (lavoro motore), ed è negativo se la forza ha una componente opposta allo spostamento (lavoro resistente)

Definizione di lavoro

Possiamo mettere in relazione le formule viste finora per un caso semplice: corpo in moto monodimensionale, senza attrito.

dFL

dFmm

accunifmotoda

maFamF

x

x

x

xx

22

22

0

0

21

21

*.).(2

;

vv

vv

cosdFdFL

aaa

attxxda

tat22

121*

20

220002

000

0vvvvvvvvvvvv


Teorema dell’energia cinetica

L’equazione appena ricavata contiene un risultato dal valore ancor piùgenerale, e noto come il teorema dell’energia cinetica:

Ovvero:

=

• Il teorema è valido per un corpo puntiforme (appunto, particella), oppure per un corpo esteso ma rigido.

• Il lavoro totale è la somma algebrica dei lavori svolti singolarmente da ciascuna forza.

LKKK

LdFKKmm x

0

02

02

21

21 vv

Variazione di energia cinetica di una particella

Lavoro totale svolto sulla particella

dLdxFdxamdtddtmdmdmdK )/)(()(21 2 vvvvv


Lavoro nel caso generale

Nel caso più generale in cui ad una particella è applicata una forza non costante, dunque variabile in modulo o direzione,Il lavoro è espresso da un integrale di linea.

• Caso monodimensionale:

• Caso bidimensionale:

– I vettori forza e spostamento variano entrambilungo una traiettoria l

),( BAl

sdFL

A

Bl

f

i

x

xjx

jjj

dxxFxFL

xesimojnelFdimediovaloreFxFL

)(lim

;

)0(


Lavoro delle forze gravitazionale ed elastica

Lavoro Lg della forza gravitazionale:

- in salita- in discesa

Lavoro Le della forza elastica:

– Conosciamo l’espressione della forza di richiamo elastica, la legge di Hooke, quindi applichiamo quanto appena visto:

mgdmgdL

mgdmgdL

mgdhhmgL

mgF

g

g

g

g

)0cos(

)180cos(

)cos()cos()( 12

x

K

m

22

222

21

21

21

21)(

fie

ifxx

x

x

x

xe

xkxkL

xxkxkdxkxdxFL f

i

f

i

f

i


Potenza

La potenza è legata alla rapidità con cui viene sviluppata una certa quantità di lavoro.

Potenza media:

Potenza istantanea:

L’unità SI della potenza è il watt (W):

Attenzione, in questo ambito sono citate spesso anche altre grandezze:

• cavallo-vapore (CV): 1 CV = 735.5 W

• wattora (Wh): 1 Wh = (1 W) (3600 s) = 3.6 103 J

Il wattora è una misura di energia!

v

FdtdLP

tLP

sJW


L’energia potenziale

Abbiamo già visto come associare un valore di energia, l’energia cinetica, allo stato di moto di un corpo. Il suo valore dipende dalla velocità.

Un corpo può però possedere anche altri stati, relativi ad altre forze in gioco e dipendenti da altre grandezze fisiche:

– Pensiamo alla forza gravitazionale: l’energia associata allo stato di separazione di due corpi legati da tale forza èdetta energia potenziale gravitazionale Ug.

• Il suo valore dipende dalla distanza tra i due corpi

– Consideriamo ora la forza elastica: l’energia associata allo stato di separazione di due corpi legati da tale forza èdetta energia potenziale elastica Ue.

• Il suo valore dipende dalla estensione dell’elemento elastico rispetto al suo punto neutro


Energia potenziale e forze conservative

Dunque: • per le forze elastica e gravitazionale è possibile associare ad ogni punto

dello spazio una funzione scalare detta energia potenziale.• l’energia potenziale di un corpo in un punto P è definita come l’opposto

del lavoro necessario alla forza in esame per portare il corpo stesso da un punto di riferimento a cui si associa energia potenziale nulla, fino al punto P.

P

rifhrif

hP

LU

• Le forze elastica e gravitazionale appartengono ad una categoria di forze dette conservative.

Se il lavoro compiuto da una forza su un corpo da un punto A ad un punto B è indipendente dalla

traiettoria percorsa e dipendente esclusivamente dai punti A e B, la forza è conservativa.


Forze conservative, e non

La prima conseguenza della stessa definizione di forza conservativa èrelativa al comportamento del lavoro svolto lungo un percorso chiuso:

– Il lavoro complessivo netto svolto da una forza conservativa su una particella che si muove lungo un percorso chiuso è zero.

La forza peso, la forza gravitazionale, la forza elastica e la forza elettrostatica sono tutte forze conservative.Se nel sistema agiscono solo forze conservative, i problemi relativi al movimento dei corpi sono molto semplificati.Forze come quelle d’attrito, di resistenza del mezzo e forza magnetostatica sono non conservative.

0;; 1,1,2,1, ababaababab LLLLL


Espressioni dell’energia potenziale

Ora siamo in possesso della relazione necessaria a determinare l’espressione dell’energia potenziale per le forze note:

• Energia potenziale gravitazionale: (asse y diretto verso l’alto)

• Energia potenziale elastica:

f

i

x

x

dxxFUL )(

mgyyU

ymgymgdymgU f

i

f

i

yy

y

y

2

E’ sempre possibile (e necessario) fissare una configurazione di

riferimento per il calcolo del potenziale: ad essa poniamo Ui = 0

ed yi = 0 o xi = 0

2

222

21

21

21

21)(

kxxU

xkxkxkdxkxU ifxx

x

x

f

i

f

i


Conservazione dell’energia

L’energia meccanica di un sistema è data dalla somma dell’energia potenziale U e dell’energia cinetica K di tutti i corpi che lo compongono:

Ora, se è verificato che:– Il sistema si può assumere come isolato, cioè non viene considerata alcuna

forza esterna al sistema– Nel sistema agiscono solo forza conservative

vale il principio di conservazione dell’energia meccanica:

Mentre l’energia cinetica e potenziale, singolarmente, possono variare la loro somma rimane invariata!

Dati due istanti qualsiasi del moto nel sistema in esame, 1 e 2, vale che:

UKEmecc

222,111, UKEUKE meccmecc

0 dEdUdKdUdLdxFdK


Conservazione dell’energia - 2

Esempio 1: il moto di un pendolo• “travaso” ciclico dell’energia potenziale

U in energia cinetica K!

Esempio 2: la caduta libera• Trasformazione dell’iniziale energia

potenziale in energia cinetica!


Conservazione dell’energia - 3

Abbiamo anticipato che in sistemi conservativi lo studio del moto dei corpi risulta notevolmente semplificato … valutiamo questo esempio:

Conoscendo v0, y0 e y, come determinare la velocità v ?

Agisce solo la forza di gravità e non vi è attrito.

Applicando “ciecamente” il 2° principio della dinamica dovremmo conoscere l’espressione esatta della curvatura della pista !!

La conservazione dell’energia ci offre una semplice via d’uscita:

yygy

mgymEmgymE meccmecc

020

0200,

2

2)(2

12

1

vvv

vv Neppure la massa del corpo è

necessaria alla soluzione!


Esercizio: conservazione dell’energiaI dati del problema sono:

Se la liana ha una tensione di rottura Tmax = 950 N, arriverà Tarzan da Jane o la liana si romperà ?Valutiamo Il bilancio delle forze ponendoci nel sistema di riferimento non inerziale solidale con Tarzan:

L’equilibrio sulla liana:

v è sempre tangente all’arco percorso(= perpendicolare alla liana).

Per la conservazione dell’energia meccanica, assumendo U=0 nel punto più basso:

Quindi:

NTmhmLNPTarzan 950;2.3;18;688 max

Tarzan

L

h

T

PT

PT sin

Fc LmPT T

T

2

cos v

2100 2

1 vTT mEhPUE NNPLhPT TT 9509322

max


Curve di potenziale

Lo studio del grafico della funzione energia potenziale è particolarmente significativo. Assumiamo un caso unidimensionale, vale che:

)()()(

)()(

aledifferenziformaindx

xdUxF

xxFLxU

La forza associata ad una funzione di energia potenziale è data graficamente dall’inverso della

pendenza della funzione stessa !

In particolare:

• la condizione di energia cinetica nulla identifica il punto di inversione del moto

• un minimo nella curva di potenziale (derivata prima nulla) identifica un possibile punto di equilibrio del moto


- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

- 4 - 2 0 2 4 6

A l t e z z a

Ener

gia

Pote

nzia

le

Curve di potenziale - 2

Potenziale gravitazionale: nessun possibile punto di equilibrio

Potenziale elastico: esiste una condizione di equilibrio

Forza Pesom = 1 kg g = 9.8 m/s2

- 5

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

- 4 - 2 0 2 4 6

A l l u n g a m e n t o

Ener

gia

Pote

nzia

le

Forza ElasticaK = 3.5 N/m 2

21)( xkxU

mghhU )(


Energia potenziale gravitazionale

La forza gravitazionale è conservativa, dunque ammette un potenziale.Per il calcolo dell’energia potenziale gravitazionale:

– Diversamente dal caso della forza peso, scelgo che la configurazione di riferimento caratterizzata da potenziale nullo U=0 sia quella in cui i due corpi siano separati da una distanza infinita.

– Calcolo il potenziale di un corpo di massa m a distanza R dalla terra (massa M) assumendo che il corpo raggiunga tale punto (punto P) muovendosi dall’infinito sempre in direzione radiale (posso scegliere qualsiasi traiettoria!)

– Faccio uso della definizione stessa di energia potenziale:

– E quindi per la funzionepotenziale:

RmMGRUU

RmMG

rmMGdr

rmMGUU

drrFrdrFLUUUUU

P

RR

P

RR

Pinizialefinale

)(

01

cos

2

= 180°)

U

r

mMGrU


Indipendenza del cammino

Essendo il Lavoro dato dal prodotto scalare,

Il risultato è indipendente dal cammino di integrazioneNei tratti del tipo B-C , D-E e F-G la forza è perpendicolare allo spostamento e il prodotto scalare è nullo.

Nota: siccome il campo gravitazionale è conservativo, esso è descritto da un campo scalare, Potenziale. U = U(r).La forza gravitazionale si ottiene dal Potenziale attraverso la relazione:

0

)( rdrFL

rr

mMGrr

mMGdrdr

drrdUrF

2

)()(


Velocità di Fuga

La velocità di fuga è la velocità minima che deve avere un corpo per sfuggire al campo gravitazionale di un oggetto di massa molto piùgrande: è il caso tipico di un missile che deve sfuggire al campo gravitazionale terrestre per poter esplorare altri pianeti.Poiché l’energia potenziale del campo gravitazionale è data da:

Per poter sfuggire il missile deve avere un’energia cinetica minima ugualeall’energia potenziale che lo trattiene quando è sulla superficie delpianeta. Quindi, detta M la massa del pianeta e R il suo raggio, si ha:

RmMGrU )(

RMG

RmMGmUKE

fuga

fugatotale

2

021 2

v

v


Energia del moto armonicoApplicando le espressioni dell’energia cinetica e dell’energia potenziale elastica all’oscillatore armonico si ottiene:

– L’ energia potenziale:

– L’energia cinetica:

– L’energia meccanica è dunque costante:

txkxktU m222 cos

21

21

kmtxk

txmmtK

m

m

222

2222

sin21

sin21

21

poiché

v

2222

21

21

21

mmm xmmxktKtUtE v

1)(sin)(cos 22 tt:che ricordare basta


Esescizi Lezione 6

Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).

6-3: Una forza F = (6 i - 2 j) N agisce su una particella che compie uno spostamento r = (3 i + j) m. Trovare: a) il lavoro svolto dalla forza sulla particella, b) l’angolo tra F e r. [ a)16 J, b) = 36.9° = 0.644 rad ]

6-6: Una cassa di 40.0 kg inizialmente ferma viene spinta per 5.00 m lungo un pavimento orizzontale scabro con una forza costante orizzontale di 130 N. Se il coefficiente di attrito dinamico tra cassa e pavimento è d=0.300, determinare: a) il lavoro compiuto dalla forza applicata, b) l’energia dissipata per attrito. c) il lavoro compiuto dalla forza normale, d) il lavoro compiuto dalla gravità, e) la variazione dell’energia cinetica della cassa e f) la velocità finale della cassa. [ a) 650 J, b) 588 J, c) 0, d) 0, e) 62 J, f) 1.76 m/s ]

7-1 (modificato): Una sferetta di massa M=10.0 g scivola senza attrito lungo la guida mostrata in figura. Se la sferetta viene lasciata andare da un’altezza h = 50 cm, si determini la sua velocità nella posizione A. [ vA = 3.13 m/s ]

7-6: Un blocco di 5.00 kg viene fatto salire lungo un piano inclinato (vedi figura) con una velocità iniziale vi = 8.00 m/s. Il blocco si ferma dopo aver percorso 3.00 m lungo il piano. Determinare: a) la varia-zione di K, b) la variazione di U, c) la forza di attrito, considerata costante, d) il coefficiente di attrito dinamico d. [ a) K = - 160 J, b) U = 73.5 J, c) Fd = 28.8 N, d) d = 0.679 ]

hA

3 m

30.0 °

v i



7-10: Un blocco di 10 kg è lasciato libero nel punto A della pista mostrata in figura. La pista è priva di attrito, fatta eccezione per il tratto orizzontale BC lungo 6 m. Il blocco scende lungo la guida e colpisce una molla di costante elastica k = 2250 N/m, determinandone una compressione di 0.300 m rispetto alla lunghezza iniziale di riposo. Sulla base dei dadi determinale il coefficiente di attrito dinamico d presente nel tratto BC. [d = 0.328 ]

h=

3m

A

BC = 3 mB C

x=0.300 m

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