Progetto SIGMAdare SIGnificato al fare MAtematica

Tema

DATI E PREVISIONIQuante combinazioni!

Laboratorio in “verticale” sviluppato nell’a.s. 2014/15 dai docenti: Luana Bacci (scuola dell’infanzia);Loretta Sestini (scuola primaria);Mario Petrillo (scuola sec. primo grado);Cecilia Magni (scuola sec. secondo grado)

Il calcolo combinatorio è considerato un

tema piuttosto impegnativo e quindi

inadatto ad essere affrontato nella scuola

dell’obbligo.

Vogliamo invece mostrare, con le attività

che vi proponiamo, come in realtà sia un

argomento che può essere trattato

anche in modo molto concreto e

coinvolgente addirittura fin dalla scuola

dell’ Infanzia e come possa sviluppare

nei bambini e nei ragazzi la capacità di

organizzarsi per riuscire a padroneggiare

una situazione complessa.

In particolare vogliamo affrontare attività relative a

quello che i matematici chiamano “principio

fondamentale del calcolo combinatorio” cioè quel

principio che ci permette, conoscendo il numero di

modi in cui possono essere fatte alcune scelte,di

ottenere il numero di tutte le possibili combinazioni.

Facciamo un esempio

Supponiamo di dover ordinare al ristorante e che nel menù ci siano:

- 3 primi

pasta al ragù,tortellini in brodo,risotto con i funghi

- 3 secondi

bistecca alla brace, petto di pollo al limone, trota al forno

- 2 dolci

tiramisù,crostata

In quanti modi diversi possiamo fare l’ordinazione?

Rappresentiamo la situazione con un “grafo ad albero”:

Percorrendo i vari “rami” dell’albero abbiamo pasti diversi: per esempio

seguendo le frecce in figura abbiamo ordinato pasta al ragù, bistecca,

tiramisù.

Quindi, poiché ogni percorso-pasto termina nell’ultimo livello, per sapere

quanti pasti diversi possiamo ordinare basta contare le “terminazioni”

dell’albero, che nel nostro caso sono 18.

Il numero delle “terminazioni” si ottiene quindi moltiplicando

3 (possibilità per la prima scelta) *

3 (possibilità per la seconda scelta)*

2 (possibilità per la terza scelta)

Questo è il principio fondamentale del calcolo combinatorio.

La nostra sperimentazione

La nostra sperimentazione consiste nel proporre attività sul

principio fondamentale del calcolo combinatorio per la scuola

dell’Infanzia, per la scuola Primaria , per la scuola secondaria

di primo grado e di secondo grado che , in modo diverso in

relazione all’età dei bambini e dei ragazzi, li aiutino a riflettere e

a organizzarsi per risolvere una situazione “complessa”.

E’ importante che i docenti osservino come i bambini o i ragazzi

cercano di risolvere il problema proposto senza suggerire la

soluzione, ma aiutandoli a scoprirla da soli.

SCUOLA DELL’INFANZIA

Candidi fiocchi stavano scendendo sul paesino di “Biancofiocco”. I bambini non attendevano altro,

tanta neve per poter finalmente costruire degli splendidi pupazzi.

Giovanni e Sofia, dopo l'abbondante nevicata, avevano passato il pomeriggio in giardino, a

costruire con cura il loro pupazzo di neve. Avevano usato due tappi di bottiglia per gli occhi, una

carota per il naso e un pezzo di stoffa rosso per la bocca.

-Che carino questo pupazzo, siamo stati bravi, vero sorellina? – esclamò felice Giovanni.

-Bellissimo, pare quasi vero, gli manca solamente... la parola! – disse Sofia.

- Brrrr…la parola...chi dice che i pupazzi di neve non parlino, eh? – fece una voce roca.

Chi aveva parlato?!I bimbi sul momento pensarono ad uno scherzo dei loro amici. Si guardarono

intorno, ma non videro nessuno.

-Ehi, piccoli! Dico a voi! – tuonò nuovamente la voce roca.

Sofia e Giovanni si girarono entrambi in direzione del pupazzo di neve, e videro che la sua bocca si

era spostata lievemente dalla posizione originale.

-Si, si, sono proprio io che vi parlo! L'amico di neve che avete appena costruito – fece il pupazzo.

-Ma i pupazzi di neve non parlano... o almeno... -mormorò Giovanni.

-Ma io sono speciale, mi chiamo Snow! Sono veramente felice di fare la vostra conoscenza, mi

avete costruito molto bello, però ho molto freddo avrei bisogno di …qualcosa che mi scaldi –

disse il pupazzo.

-Ti potremmo mettere il mio cappello e la mia sciarpa rosa e dei bei bottoni rosa nella pancia –

disse Sofia

-Tutto rosa… non mi piace, gli metteremo il mio cappello e la mia sciarpa rossa oppure cappello

rosso e sciarpa verde e dei bellissimi bottoni gialli-disse Giovanni

I due fratellini iniziarono a litigare e non smettevano più.

Il pupazzo allora decise di intervenire

- Bambini io avrei un’idea! Portate le vostre sciarpe i vostri cappelli e i vostri bottoni e io deciderò

come vestirmi-

LB1

Diapositiva 10

LB1 Luana; 21/02/2015

I bambini non lo sapevano ma Snow era un pupazzo vanitoso che adorava provarsi sciarpe, cappelli

e bottoni.

I due fratelli passarono le ultime ore del pomeriggio a fargli provare le diverse combinazioni di

sciarpe cappelli e bottoni, che di volta in volta il pupazzo chiedeva.

-Ora andiamo fratellino! Mamma e papà ci stanno aspettando per la cena!- Disse Sofia

-Ciao, ciao Snow, domani torneremo a trovarti e continueremo a giocare! – dissero i due fratelli.

Il pupazzo, sperando che arrivasse presto il nuovo giorno, chiuse gli occhi e continuò a sognare

sciarpe cappelli e bottoni colorati.

IL GIOCOIL GIOCO

Costruiamo un gioco comune

In quanti modi posso vestire il mio pupazzo?Registriamo ogni combinazione che troviamo

In quanti modi posso vestire il mio pupazzo?Registriamo ogni combinazione che troviamo

Costruiamo uno schema ad alberocontrolliamo se abbiamo trovato tutte le combinazioni

Costruiamo uno schema ad alberocontrolliamo se abbiamo trovato tutte le combinazioni

Come mi vesto a Carnevale?

A Carnevale posso travestirmi scegliendo un cappello, un

vestito e un paio di scarpe: posso scegliere tra tre cappelli

diversi (fata, strega e mago), tre vestiti diversi (rosa, rosso e

blu) e due paia di scarpe (grosse e eleganti).

In quanti modi diversi posso travestirmi?

Cominciamo a prendere il cappello di fata:possiamo metterci il vestito rosa con le scarpe grosse o il vestito rosa con le scarpe eleganti;possiamo metterci il vestito rosso con le scarpe grosse o il vestito rosso con le scarpe eleganti;possiamo metterci il vestito blu con le scarpe grosse o il vestito blu con le scarpe eleganti.

Quindi abbiamo 6 travestimenti diversi con il

cappello da fata.

Prendiamo poi il cappello da mago:anche in questo

caso avremo 6 travestimenti diversi

Prendiamo infine il cappello da strega:

anche con questo cappello avremo 6 travestimenti diversi.

Quindi avremo in tutto 6+6+6=18 travestimenti diversi!

SCUOLA PRIMARIA

E’ necessario

(in relazione all’età degli alunni):

- PORRE IL PROBLEMA e FORMULARE IPOTESI

- SPERIMENTARE

- RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE

- TABULARE I DATI

- VERIFICARE LE IPOTESI FORMULATE

- ESTRAPOLARE REGOLE

- PASSARE DALLA COMBINATORIA ALLA

PROBABILITA’

Provo

COME MI VESTO?

COSA MANGIO?

IN QUALE ORDINE USCIAMO?

Immagino

LE BANBIERE DEI PIRATI

I LETTI DEI NANETTI

I TAPPETI DI ALADINO

I FORZIERI DI ALI’ BABA’

APRITI SESAMO

Realizzo

QUALI PAROLE POSSO OTTENERE?(parole da dividere in sillabe per formarne altre)

Che combinazione!

(gioco da inventare con schede e

cartelle, in scatola)

LIBRO-GAME

STORIA-GAM(tre personaggi,

due ambienti,

tre oggetti magici,

due antagonisti)

Costruisco

- DOMINO da realizzare

- DADI da disegnare, ritagliare, montare

- LANCIO DI DADI

SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO

Vacanza studio all’estero!

Supponiamo di poter scegliere:

- di soggiornare in tre città europee per migliorare la conoscenza

delle tre principali lingue straniere come Barcellona (per lo

spagnolo), Parigi (per il francese) o Londra (per l’inglese)

- il mezzo di trasporto che potrebbe essere il pulman, il treno

oppure l’areo

- infine il periodo: durante le vacanze estive oppure in inverno

durante le vacanze natalizie

Con questi presupposti in quanti modi diversi è possibile

organizzare il nostro soggiorno all’estero?

… proviamo a costruire “l’albero” delle combinazioni possibili

scuola

Parigi

Barcellona

Londra

inverno

estate

pulmanaereo treno

… percorrendo ogni ramo dell’albero abbiamo tutte le

combinazioni delle possibili gite, ad esempio, seguendo il ramo

colorato andiamo a Barcellona con il treno durante le vacanze

estive

ma quante sono tutte le combinazioni

delle possibili vacanze studio?

Basta contare il numero delle terminazioni dei rami

del nostro albero e scopriamo che

nel nostro caso sono 18!

… ma noi grandi matematici non possiamo

sempre fare alberi e contare una ad una le

terminazioni dei loro rami!

Scopriamo come calcolare questo numero

dunque, considerando che abbiamo:

3 possibili città

3 possibili mezzi di trasporto e

2 possibili stagioni per andare in gita …

trovato! Basta fare ……………

Indovina la password!

Inseriamo una password a protezione di un file (con la successione di comandi strumenti-opzioni-protezione se usiamo Word altrimenti introducendola a livello di salvataggio se usiamo Open Office) in cui per esempio avremo scritto soltanto “Avete indovinato la password…bravi!”.

Proponiamo agli studenti di scoprire la pw per aprire il file…..

Naturalmente dobbiamo stabilire il numero dei caratteri della pw, se ci possono essere solo numeri o anche lettere con ripetizione o meno..

Si può partire con pw semplici, per esempio di 3 cifre scelte tra le cifre1,2,3,4 eventualmente ripetute: già così abbiamo 4*4*4=64 pwdiverse!

SUGGERIMENTI

Può essere divertente per gli studenti stabilire essi stessi

la pw di protezione di un loro file, sfidandosi per

esempio a coppie : è importante che comunichino alla

coppia avversaria la modalità di costruzione della pw e

che le pw siano della stessa difficoltà (per esempio una

pw di tre lettere scelte tra a,b,c,d ha la stessa difficoltà di

una pw di 3 cifre scelte tra 1,2,3,4).

E’ comunque fondamentale che comprendano

l’importanza di procedere utilizzando un “metodo” per

scrivere tutte le possibili pw fino ad arrivare a quella

giusta!

Sarebbe interessante proporre ai ragazzi di descrivere per

scritto il metodo o la strategia seguita per evitare di

inserire pw a caso e poi discuterne tutti insieme.

SCUOLA SECONDARIA

DI SECONDO GRADO

Codici segreti

Questa attività può essere svolta in una classe seconda della scuola secondaria

superiore come introduzione al calcolo combinatorio e al calcolo delle probabilità.

Si presuppone che gli studenti conoscano, dalla scuola media, la definizione classica

di probabilità di un evento come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili(tutti

ugualmente probabili)

L’insegnante pone agli studenti, divisi in gruppi di lavoro, il seguente problema:

“Qual è la probabilità, al primo tentativo, di scoprire un codice di cinque cifre scelte tra le dieci cifre 0,1,2….9?”

Può darsi che qualche studente chieda subito se le cifre si possono ripetere oppure no:

l’insegnante risponderà allora che si devono distinguere i due casi.

Caso in cui le cifre non si possono ripetere

Dalla discussione collettiva alla fine dovrebbe emergere che un buon metodo per visualizzare tutti i possibili codici che si possono formare è quello di un “grafo ad albero”.

Per scegliere la prima cifra ho tutte le dieci cifre a disposizione, per scegliere la seconda cifra, se non devo ripetere le cifre, ho solo nove cifre , per scegliere la terza cifra ho otto cifre possibili e così via ottengo

678910 ⋅⋅⋅⋅ codici diversi!

000033,030240

1

678910

1)( ≅=

⋅⋅⋅⋅=−− CODICEILINDOVINAREP

Cioè una probabilità dello 0,0033% !

Caso in cui le cifre si possono ripetere

Per la prima cifra ho 10 possibilità, ma avrò 10 possibilità anche per la

seconda cifra visto che posso ripetere le cifre e così via fino alla quinta cifra

e quindi

In questo caso la probabilità di indovinare un codice al primo colpo sarà

ancora più bassa:

e quindi una probabilità dello 0,001% !

5101010101010 =⋅⋅⋅⋅ diversi possibili codici!

00001,010

1)(

5==−− CODICEILINDOVINAREP

Giochiamo al lotto!

Ricordiamo che nel gioco del LOTTO vengono estratti (su ciascunaRuota) 5 numeri scelti tra i numeri da 1 a 90.

Se gioco un numero al LOTTO su una determinata ruota qual è la probabilità di vincere? (si parla di probabilità di vincere un “estratto semplice”)

Nota storica

E’ interessante far ricercare agli studenti le origini storiche del gioco del LOTTO: nel

XVI secolo a Genova venivano estratti a sorte, tra 90 candidati, i cinque

“Reggitori” che dovevano governare la Repubblica.

Poiché su questa estrazione la popolazione effettuava scommesse il gioco fu

regolamentato.

In quanti modi diversi possono essere estratti i 5 numeri?

Bisogna guidare gli studenti ad osservare che questa situazione è diversa da quella del

codice segreto (o della pw) perché nel codice è importante l’ordine in cui si susseguono

i numeri mentre se per esempio vengono estratti i numeri

23 45 1 33 20

l’ordine dei numeri estratti non è affatto importante e se anche fossero stati

estratti in diversa successione avrei sempre gli stessi 5 numeri estratti.

Quindi il primo numero potrebbe essere

uno dei cinque (5 possibilità), il secondo numero potrebbe essere uno dei 4

rimanenti e così via….cioè avrei modi diversi di avere

sempre estratto gli stessi 5 numeri.

Quindi per trovare quanti gruppi di cinque numeri (cioè il numero delle

combinazioni di cinque numeri che si possono formare scegliendoli tra 90

numeri ) devo dividere per8687888990 ⋅⋅⋅⋅ 12345 ⋅⋅⋅⋅

12345

86878889905,90 ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=C

12345 ⋅⋅⋅⋅

Ma allora come si calcola la probabilità di vincere un estratto semplice?

Abbiamo visto che tutti i casi possibili sono

Ma quanti sono i casi favorevoli?Occorre pensare che possono esserci tanti gruppidi 5 numeri che contengono il numero che ho giocato io: se per esempio ho giocato il 90 gli altri 4 numeri usciti possono essere 4 numeri tra i rimanenti 89 numeri cioè le combinazioni di 4 oggetti scelti tra 89 oggetti cioè

12345

86878889905,90 ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=C

Quindi abbiamo18

1

90

5)(

5,90

4,89 ===−C

Csempliceestrattop

1234

868788894,89 ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=C

Un ultimo spunto

Si può trarre spunto da questa attività sul gioco del lotto per parlare del concetto di

GIOCO EQUO.

Un gioco tra due giocatori A e B (oppure un giocatore e il banco) che scommettono

su un evento E (A scommette su E , B scommette sul non verificarsi di E cioè

sull’evento contrario che viene indicato con ), si dice equo quando

la somma rischiata da A e la somma rischiata da B (cioè il guadagno di A)

sono nello stesso rapporto delle rispettive probabilità di vincere di A e di B cioè

nello stesso rapporto tra i casi favorevoli e sfavorevoli ad E

Nota: se per esempio nel lancio di un dado scommetto sull’evento “esce il 6” se

rischio 10 euro devo guadagnare 50 euro perché il gioco sia equo poiché c’è 1 caso

favorevole e 5 sfavorevoli

E

)(:)(: EpEprr BA =

Si capisce così che il gioco del LOTTO, come del resto tutti

giochi d’azzardo, non è un gioco equo e che quindi non

conviene giocare al Lotto!

Se il gioco del Lotto fosse un gioco EQUO quanto dovrebbe essere pagato

l’estratto semplice?

Poiché la probabilità di vincere è 1/18 e quindi la probabilità di perdere è

17/18 dovrei guadagnare 17 volte quello che ho rischiato (la “posta”) e

quindi l’estratto semplice dovrebbe essere pagato 18 volte la posta .

Invece l’estratto-semplice viene pagato solo 11,232 volte la posta!

Nello stesso modo si può controllare, con il calcolo delle probabilità, che

anche l’ambo, il terno, la quaterna e la cinquina vengono pagati molto meno

di quello che dovrebbero perché il gioco fosse equo.