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Fisica quantistica: fondamentiL’argomento EPR sulla completezza della teoria

quantistica, l’entanglement

Christian Ferrari e Matteo Nota

Corso di aggiornamento

Locarno, 11 aprile 2008

Premesse L’articolo EPR: Analisi L’entanglement Le correlazioni quantistiche L’argomento EPR (spin) Conclusione B

Svolgimento del pomeriggio: sommario

Da Planck a CopenhagenPAUSA

L’articolo EPR

Introduzione storicaLettura dell’articoloAnalisi della struttura logica dell’articoloCommenti e prime conclusioni

PAUSA

L’entanglement

Le correlazioni quantistiche

L’argomento EPR (versione bohmiana con gli spin 1/2)PAUSA

Conclusione generale

Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 1 / 35


Le premesse della fisica quantistica (1900-1925)

Planck (1900-1908)En = nhν

Einstein (1905, 1917)E = hν, ~p = ~~k

1925ondula

torio

Rea

lism

o

Pos

itiv

ism

o

de Broglie (1923)hν = mc2 (onda pilota)

Bohr-Sommerfeld (1913)(n,ℓ,mℓ)

Heisenberg, Born, JordanMeccanica delle matrici

SchrodingerMeccanica ondulatoria

Lyman (1906-1914)

Paschen (1908)

Rutherford-Perrin (1911)

Stark (1913)

Brackett (1922)

Pfund (1924)

Compton (1923)

Pauli, Kronig,Uhlenbeck e Goudsmit (1925)

⇒ Lo spin

Dualismoonda-particella Principio

di corrispondenza

1913-1918→1920

Kirchhoff e Bunsen (1860), Balmer (1885), Stefan (1879)

Hertz (1887), Wien (1893), Zeeman (1896)

Rontgen (1895) (Stokes, Thomson, Sommerfeld, Bragg)

Lummer, Pringsheim, Rubens, Kurlbaum (Berlino, 1900) . . .

= Rottura epistemologica



La scuola di Copenhagen

ondula

torio

Rea

lism

o

Pos

itiv

ism

o

von Neumann (1932)Heisenberg, Born, JordanMeccanica delle matrici

Schrodinger

Schrodinger (1926)

Meccanica ondulatoria

Ann. Phys. (4), 79, 361-376 (1926)

Ricevuto il 27 gennaio 1926

Zeit. Phys., 33, 879-893 (1925)

Ricevuto il 29 luglio 1925

isomorfismo

matricioperatori Algebra non commutativaSpazio di Hilbert

Interpretazione di Copenhagen (1927)

• Il formalismo e solo uno strumento di predizione. Non permette divisualizzare la “realta” (ed e inutile cercare di rappresentarla).

• La misura introduce una discontinuita nell’evoluzione dello stato(cosiddetta “riduzione del pacchetto d’onda”).La misura non e descritta come processo fisico.

Articolo EPR (1935)

H = L2(R3; C) H = ℓ2(C)



Dov’e il problema?

Misura delle componenti Sx e Sz dello spin.

x

z

z

Sx conosciuto

Sz conosciuto

Sz sconosciuto

[Sx, Sz] 6= 0



Introduzione storica a EPR (Articolo New York Time, 4 maggio 1935)



Introduzione storica a EPR

Einstein e da poco a Princeton. Aveva lavorato alcuni anniprima con Boris Podolsky, che lo raggiunge. Nathan Rosen,piu giovane, entra a Princeton nel 1934 e collabora presto conEinstein. Cosı si formo EPR.

L’articolo e pubblicato nel maggio 1935. La versione definitivae redatta da Podolsky (forte impronta logica).

L’idea centrale e di Einstein, ma questo ne critico la pesantemacchinosita logica che, secondo lui, schermaval’argomentazione principale. Dopo l’intervista a Podolsky, nelNew York Time (4 maggio 1935), scrive a Schrodinger:“[L’articolo] non ha messo in evidenza quello che avevodavvero in mente, dato che l’argomento principale e, inqualche modo, sepolto sotto l’erudizione.”

EPR non presenta un paradosso, ma mira a mostrare unacarenza dell’interpretazione di Copenhagen.



Lettura dell’articolo EPR: estratto dall’articolo del NYT

Due esigenze imposte a qualsiasi teoria fisica:

“Physicists believe that there exists real material thingsindependent of our minds and our theories. We construct theoriesand invent words (such as electron, positron, . . . ) in an attempt toexplain to ourselves what we know about our external world and tohelp us to obtain further knowledge of it. Before a theory can beconsidered to be satisfactory it must pass two very severe tests.”

1 Correttezza “First, the theory must enable us to calculatefacts of nature, and these calculations must agree veryaccurately with observations and experiments.”

2 Completezza “Second, we expect a satisfactory theory, as agood image of objective reality, to contain a counterpart forevery element of the physical world. A theory (. . . ) if itsatisfies the second requirement, it may be called a completetheory.”



Lettura dell’articolo EPR

Estratto dall’articolo del NYT:

“Hundred of thousands of experiments and measurementshave shown that, at least in cases when matter moves muchslower than light, the theory of Planck, Einstein, Bohr,Heisenberg and Schrodinger known as quantum mechanics isa correct theory. Einstein, Podolsky and Rosen now discussthe question of the completeness of quantum mechanics.”

=⇒ La teoria quantistica e corretta.

Criterio di realta nell’articolo EPR:

non e strettamente un criterio empirico perche riposatotalmente sulla possibilita di predire il valore di una grandezzafisica con una certezza massima;

porta quindi sullo statuto delle grandezze osservabili e nondirettamente sulla loro osservazione.



Argomentazione logica in due parti di EPR

Parte I

Partendo dalla descrizione dello stato di una particella con unvalore definito della quantita di moto, si giunge allaconclusione che la quantita di moto e la posizione nonverificano simultaneamente il criterio di realta.

Questo ragionamento si estende a qualsiasi coppia diosservabili A e B che non commutano.

Deduzione logica:

(a) la fisica quantistica non e completa; OPPURE

(b) due grandezze che non commutano non verificanosimultaneamente il criterio di realta.

L’ultima alternativa non equivale all’affermazione che duegrandezze non commutative non possono essere misuratesimultaneamente! (correttezza della teoria).



Argomentazione logica in due parti di EPR

Parte II

Partendo dal formalismo supposto completo, si mostra che epossibile attribuire una realta a due osservabili che noncommutano (negazione della proposizione (b)).

Deduzione logica:

Necessariamente, la teoria quantistica non e completa.



Struttura logica dell’articolo EPR: premesse

Esigenze per una teoria fisica (pag. 777)

corretta: adeguata all’esperienza;

completa: ogni elemento della realta fisica deve avere unacontroparte nella teoria fisica.

Quest’ultima esigenza dipende da cosa si intende per “realtafisica”.

Criterio di realta (pag. 777)

Se, senza disturbare in alcun modo un sistema, possiamo predirecon certezza (cioe con probabilita uguale ad uno) il valore di unagrandezza fisica, allora esiste un elemento di realta fisicacorrispondente a tale grandezza fisica.



Struttura logica dell’articolo EPR

Postulato: si accetta il criterio di realta.

Definiamo le proposizioni:

C = “la fisica quantistica e completa”;

R = “[A,B] 6= 0⇒ {¬R(A) ∨ ¬R(B)}”.

Parte I (pp. 778-79)

Alternativa logica: ¬C ∨RParte II (pp. 779-80)

Assumendo C si dimostra che:

¦[A,B] 6= 0 ∧ {R(A) ∧R(B)}

©≡ ¬R

quindi:¦C ⇒ ¬R

©≡¦¬C ∨ ¬R

©



Struttura logica dell’articolo EPR

Parte I: ¬C ∨RParte II:

¦¬C ∨ ¬R

©

Conclusione: Da I e II segue

¦¬C ∨R

©∧¦¬C ∨ ¬R

©≡ ¬C ∨

¦R ∧ ¬R

©

ed e vera se e solo se ¬C e vera,

ossia se la fisica quantistica non e completa.



Complemento di logica

P Q ¬P ¬Q ¬P ∨ ¬Q P ⇒ ¬Q0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 11 0 0 1 1 11 1 0 0 0 0

Quindi¦P ⇒ ¬Q

©≡¦¬P ∨ ¬Q

©



Commenti e prime conclusioni

Bohr: “Il criterio di realta non e minimale ed e inadeguato allanuova “razionalita” suggerita dalla fisica atomica”.

Il criterio di realta non e un criterio empirico:

si basa su una certezza che non dipende dall’osservazione(oggettivita);

presuppone la correttezza della teoria quantistica e quindiun’adeguazione della teoria a qualsiasi prova empirica.

Il criterio di realta contiene ipotesi implicite: realta locale.



Spazio di Hilbert: gli stati puri

Lo spazio di Hilbert per modellizzare sistemi a due particellequantistiche e

H = H1 ⊗H2

dove H1 e H2 descrivono gli stati puri delle particelle 1 e 2.

Base: Se BH1 = {fi}ni=1 e BH2 = {gi}mi=1 allora{ek} = {fi ⊗ gj} e una base ortonormata di H1 ⊗H2 edimC H1 ⊗H2 = nm.

Prodotto scalare:

(ψ1 ⊗ ψ2, ϕ1 ⊗ ϕ2)H = (ψ1, ϕ1)H1(ψ2, ϕ2)H2

Norma:‖ψ1 ⊗ ψ2‖H1⊗H2 = ‖ψ1‖H1‖ψ2‖H2

Operatori:A⊗B(ψ1 ⊗ ψ2) = Aψ1 ⊗Bψ2



Entanglement

In generale ogni Ψ ∈ H = H1 ⊗H2 si scrive come

Ψ =mnX

k=0

αkek dove ek ∈ BH1⊗H2

Due casi:

Ψ si fattorizza come Ψ = ψ1 ⊗ ψ2: la particella 1 e nello statoψ1 e la particella 2 nello stato ψ2.

Ψ non e fattorizzabile, per esempio

Ψ = 1√2(ψ1 ⊗ ψ2 + ϕ1 ⊗ ϕ2)

la particella 1 e potenzialmente negli stati ψ1 e ϕ1 e laparticella 2 e potenzialmente negli stati ψ2 e ϕ2.

Gli stati non fattorizzabili sono detti intrecciati o entangled.



Entanglement: spin 1/2

Ψ = 1√2

�ψ1

+ ⊗ ψ2− − ψ1

− ⊗ ψ2+

� ?= ψ1 ⊗ ψ2

Scriviamoψα =

X

i=±λαi ψ

αi λαi ∈ C ,

sviluppando otteniamo:

ψ1 ⊗ ψ2 =X

i=±λ1iψ

1i ⊗

X

j=±λ2jψ

2j =

X

i=±

X

j=±λ1iλ

2jψ

1i ⊗ ψ2

j

= λ1+λ

2+ψ

1+ ⊗ ψ2

+ + λ1+λ

2−ψ

1+ ⊗ ψ2

−

+ λ1−λ

2+ψ

1− ⊗ ψ2

+ + λ1−λ

2−ψ

1− ⊗ ψ2

− .

Per descrivere lo stato Ψ dobbiamo avere:

λ1+λ

2+ = 0 λ1

+λ2− = 1√

2λ1−λ

2− = 0 λ1

−λ2+ = − 1√

2

da cui contraddizione! Ψ non e fattorizzabile.Christian Ferrari e Matteo Nota Fisica quantistica: fondamenti Locarno, 11 aprile 2008 18 / 35


Spin intrecciati

Consideriamo due spin 12 : H = C2 ⊗ C2

Stato intrecciato

Ψ = 1√2(ψ1

+ ⊗ ψ2− − ψ1

− ⊗ ψ2+)

I valori ±~2 delle osservabili Sz dei due sistemi sono entrambi delle

proprieta potenziali.

Esperienza

S

zz

1 2Alice Bob



Risultati sperimentali

Misura Risultato Alice Risultato Bob

1 +~/2 −~/22 −~/2 +~/23 −~/2 +~/24 +~/2 −~/25 +~/2 −~/2. . . . . . . . .

N − 1 +~/2 −~/2N +~/2 −~/2

Per ogni coppia di risultati si osserva una perfetta (anti)correlazione: se durante una misura Alice osserva il valore +~

2 peril primo spin, allora Bob osserva il valore −~

2 per il secondo spin eviceversa.



Previsioni quantistiche

Il 50% delle volte Alice ottiene +~/2 e Bob −~/2, mentre il50% delle volte Alice ottiene −~/2 e Bob +~/2:

ProbΨ{Sz⊗I = ±~/2; I⊗Sz = ∓~/2} = ‖Pψ1±⊗Pψ2

∓Ψ‖2 = 1

2

E fondamentale sottolineare che queste coppie di valoricorrelati sono aleatorie, in una singola esperienza eimpossibile prevedere con certezza il risultato.

Ogni osservatore misura una sequenza aleatoria, e solodopo aver confrontato i rispettivi risultati che essipossono stabilire che vi e una correlazione perfetta suirisultati della misura: non vi e nessuna trasmissioneistantanea di informazione.

Lo stato ridotto di Alice (risp. Bob) e misto.



Previsioni quantistiche

Perche lo stato Ψ prevede queste correlazioni?

Ψ rappresenta uno stato di conoscenza assoluta per Sz ⊗ Sz

Sz ⊗ SzΨ = −~2

4Ψ

Quindi Bob deve misurare +~/2 se Alice ha misurato −~/2 eviceversa.

E impossibile che Alice e Bob misurino entrambi ±~/2.

OSS: il formalismo del prodotto tensoriale permette di descrivere lecorrelazioni osservate empiricamente; cosa impossibile, peresempio, con un prodotto cartesiano!



Alcune considerazioni

Nello stato Ψ la direzione di ogni singolo spin non e definita(conoscenza assoluta), ma e definita una proprieta dellacoppia di spin: l’orientazione. Infatti, gli spin sono orientatinel verso opposto.

In generale, in uno stato intrecciato non sono definite leproprieta di ogni singolo sottosistema, ma e definita unaproprieta della coppia.

Secondo la fisica quantistica e impossibile descrivere lacoppia di particelle come due entita separate, ma le dueparticelle correlate devono essere considerate comeun’unica entita.

Le due particelle devono interagire alla sorgente perpoter essere in uno stato intrecciato: per esempio

π0 −→ e+ + e−



Le ipotesi di EPR

La versione bohmiana dell’argomento EPR utilizza due spin 12 .

Le ipotesi di base, sulle quali si fonda l’argomento EPR, sono:

il criterio di realta secondo EPRSe, senza disturbare in alcun modo un sistema, possiamopredire con certezza (cioe con probabilita uguale ad uno) ilvalore di una grandezza fisica, allora esiste un elemento direalta fisica corrispondente a tale grandezza fisica;

il principio delle cause localiEventi che occorrono in una regione spazio-temporale data,non possono essere influenzati da una modifica di parametrilocalizzati in una regione spazio-temporale distante di unintervallo di tipo spazio.

I due spin possono essere considerati come due entita separate. Larealta di ogni entita e dunque di tipo locale.



Le alternative secondo EPR

EPR formulano le seguenti alternative:

(a) La descrizione quantistica della realta data dallo stato Ψ none completa;

(b) Quando gli operatori associati a due osservabili noncommutano, esse non possono possedere simultaneamente unelemento di realta fisica per il sistema nello stato Ψ.



Lo stato per l’argomento EPR

Lo stato preso in considerazione e lo stato intrecciato

Ψ = 1√2(ψ1

+ ⊗ ψ2− − ψ1

− ⊗ ψ2+)

dove ψ± sono gli autostati dell’osservabile Sz.

Ma Ψ e un stato di spin totale 0 (invariante per rotazione), quindi

Ψ = − 1√2(ϕ1

+ ⊗ ϕ2− − ϕ1

− ⊗ ϕ2+)

dove ϕ± sono gli autostati dell’osservabile Sx.



Lo stato per l’argomento EPR

Infatti

ψ+ = 1√2(ϕ+ + ϕ−) e ψ− = 1√

2(ϕ+ − ϕ−)

da cui

Ψ = 1√2(ψ1

+ ⊗ ψ2− − ψ1

− ⊗ ψ2+)

= 1√2

¦12

�(ϕ1

+ + ϕ1−)⊗ (ϕ2

+ − ϕ2−)�

− 12

�(ϕ1

+ − ϕ1−)⊗ (ϕ2

+ + ϕ2−)�©

= 1√2

¦12(ϕ1− ⊗ ϕ2

+)− 12(ϕ1

+ ⊗ ϕ2−) + 1

2(ϕ1− ⊗ ϕ2

+)− 12(ϕ1

+ ⊗ ϕ2−)©

= − 1√2(ϕ1

+ ⊗ ϕ2− − ϕ1

− ⊗ ϕ2+)



Correlazioni nello stato Ψ

Consideriamo le misure di Sz e di Sx per Alice e Bob nello statoΨ. Abbiamo le seguenti correlazioni

i risultati di Sz per Alice e Bob sono correlati

Sz ⊗ SzΨ = −~2

4 Ψ

i risultati di Sx per Alice e Bob sono correlati

Sx ⊗ SxΨ = −~2

4 Ψ

OSS: Anche se l’ipotesi delle cause locali e soddisfatta (quindianche se essi fanno delle misura in regioni spazio-temporali separatida un intervallo di tipo spazio) valgono queste correlazioni.



Misure nello stato Ψ

Per l’ipotesi delle cause locali, la misura di Alice non perturba lo

spin di Bob, ma permette di conoscere con certezza S(Bob)z e S

(Bob)x

⇓

S(Bob)z possiede un elemento di realta (la misura di Alice non fa

altro che rivelare un’informazione che gia preesisteva alla misura),

analogamente anche S(Bob)x possiede un elemento di realta.

S(Bob)z e S

(Bob)x possiedono simultaneamente un elemento di realta

fisica benche[S(Bob)z , S(Bob)

x ] 6= 0

=⇒ L’alternativa (b) e quindi falsa.=⇒ Ψ non fornisce una descrizione completa.



Una conclusione

L’argomento EPR conclude quindi che la descrizione delsistema con un vettore nello spazio di Hilbert e incompleta.

Una teoria piu completa della fisica quantistica dovrebbe

contenere un’informazione simultanea sui valori S(Bob)z e

S(Bob)x , capace di predire i risultati delle misure di queste

osservabili in una regione locale dello spazio in cui elocalizzata la particella di Bob (idem per Alice).

L’idea di EPR e di completare la fisica quantistica con dellevariabili supplementari, che furono chiamate variabilinascoste, che corrispondono ad uno stato completo.



Conclusione: La teoria quantistica puo essere considerata completa?

Stati intrecciati Ψ = 1√2(ψ1

+ ⊗ ψ2− − ψ1

− ⊗ ψ2+) 6= ϕ1 ⊗ ϕ2.

Non-separabilita: il sistema e l’insieme dei due spin e nonpuo essere scomposto (lo stato non e fattorizzabile),indipendentemente dalla distanza: correlazioni.

Non-localita: di conseguenza non si puo agire su unaparticella “senza disturbare in nessun modo” la secondaparticella.

Questo formalismo evidenzia in modo particolare una relazionetra non-separabilita e non-localita. Questa relazione provienedalla particolarita della misura quantistica.

La teoria quantistica e completa?

Pur ammettendo (molto ragionevolmente) la correttezza dellateoria quantistica, rimane legittima (e aperta) la questionedella sua completezza.



Conclusione: Dopo EPR

Il criterio di realta (EPR) e un criterio metateorico:

Non concerne la validita di quello che dice la teoria(correttezza), ma “il come” lo dice. Non puo esseredirettamente confrontato con l’esperienza empirica. Dalla suaaccettazione dipende la costruzione logica di EPR e quindi lavalidita della sua conclusione.

Non e possibile confrontare direttamente la sua conclusionecon l’esperienza: ammettendo la correttezza della teoriaquantistica, si ammette la non possibilita (di principio) diconfutarla empiricamente.

Dal punto di vista logico, e unicamente possibile mostrare cheil criterio di realta rimane un postulato valido producendo unateoria completamente equivalente sul piano empirico allateoria “ortodossa”, ma che lo verifichi: variabili nascoste.



Conclusione: Dal criterio di realta alle variabili nascoste locali

David Bohm (1952): formulazione alternativa, con variabili“nascoste” (Teoria di de Broglie-Bohm). Le particellehanno una traiettoria continua, guidata da un potenzialequantico.

Realizza solo in parte il programma EPR: comportamentodeterminista delle particelle, ma rimane il problema dellalocalita. Il potenziale quantico assume valori non trascurabiliall’infinito.

Il cuore dell’argomento EPR mette in gioco la localita (statiintrecciati). La teoria quantistica “nasconde” variabililocali?

Disuguaglianze di Bell (1964)!



Einstein e la separabilita/localita

Einstein nel 1948 scrive:

“. . . e caratteristico per le cose fisiche di essere concepiti come disposti in un continuo spazio-temporale.

Sembra essenziale per questa disposizione delle cose introdotte in fisica che quest’ultime, ad un istante dato,

rivendichino un’esistenza indipendente l’una dall’altra, nella misura in cui esse di “trovano in differenti regioni

dello spazio”. Senza l’ipotesi della muto esistenza indipendente delle cose separate spazialmente le une dalle altre,

ipotesi che trova la sua origine nel pensiero di tutti i giorni, il pensiero fisico che ci e familiare non sarebbe

possibile. Non si vede come le leggi fisiche potrebbero essere formulate e verificate senza una tale separazione. La

teoria dei campi a spinto questo principio al suo estremo, nel fatto che essa localizza in elementi dello spazio

(quadridimensionale) arbitrariamente piccoli le cose elementari che essa considera come fondamentali ed esistenti

indipendentemente le une dalle altre oltre, che le leggi elementari postulate per esse. Per l’indipendenza relativa

degli oggetti distanti spazialmente (A e B), l’idea seguente e caratteristica: un’influenza esterna su A non

provoca un effetto immediato su B; questo e conosciuto come il “principio di azione locale”, che si trova

applicato in modo consistente solo nella teoria dei campi.” (trad. da: Quanten-Mechanik und Wirklichkeit, 1948)



Bibliografia

M. Le Bellac, Physique quantique, CNRS Editions (2003)

D. Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall (1951)

N. Bohr, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality BeConsidered Complete?, Phys. Rev. 48 (1935)

A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Descriptionof Physical Reality Be Considered Complete?, Phys. Rev. 47 (1935)

M. Esfeld, Philosophie des sciences, PPUR (2006)

J. von Neumann, Les fondements mathematiques de la mecaniquequantique [1932], Gabay (1988)

V. Scarani, Interferences et correlations quantiques, Vuibert (2003)

A. Shimony, I fondamenti concettuali della meccanica quantistica, in Lanuova fisica, a cura di P. Davies, Bollati-Boringhieri (1992)

A. Whitaker, Einstein, Bohr and the quantum dilemma, Cambridge (1996)

Intervista a B. Podolsky, New York Times, 4 maggio 1935


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