LA TEORIA DELLA RELATIVITÀ GENERALE

di Leonardo Rubino leonrubino@yahoo.it per www.fisicamente.net Maggio 1993 – Rev. 00 Giugno 2011 – Rev. 01 Agosto 2011 – Rev. 02

Indice: -Indice. Pag.1 -Introduzione. Pag.2 -Capitolo 1: Premesse di Geometria. Pag.4 Par. 1.1: Formalismo, lunghezze di archi e aree di superfici curve. Pag.4 Par. 1.2: Geometria differenziale di base. Pag.7 Par. 1.3: Geometria differenziale dello spazio. Pag.10 -Capitolo 2: Le grandezze salienti della Teoria della Relatività Generale. Pag.17 Par. 2.1: Concetti introduttivi sulla Relatività Generale. Pag.17 Par. 2.2: Sul tensore metrico ed altre grandezze salienti. Pag.19 Par. 2.3: Sulla Trasformazione di Lorentz in Relatività Generale. Pag.24 Par. 2.4: Il 4-vettore Momento-Energia ed il Tensore Momento-Energia. Pag.25 Par. 2.5: Idrodinamica relativistica. Pag.28 Par. 2.6: L’Equazione della geodetica. Pag.29 Par. 2.7: La relazione tra µνg e λ

µνΓ . Pag.30

Par. 2.8: Il limite Newtoniano. Pag.30 Par. 2.9: Il Tensore di Curvatura di Riemann-Christoffel. Pag.31 -Capitolo 3: Le Equazioni del Campo Gravitazionale di Einstein. Pag.33 Par. 3.1: Le dieci Equazioni del Campo Gravitazionale di Einstein. Pag.33 -Capitolo 4: Tests classici della teoria di Einstein. Pag.35 Par. 4.1: La metrica. Pag.35 Par. 4.2: La soluzione di Schwarschild. Pag.36 Par. 4.3: Le equazioni generali del moto. Pag.37 Par. 4.4: La deflessione della luce da parte del Sole. Pag.38 Par. 4.5: Calcolo alternativo della deflessione, con profili di antagonismo alla TRG. Pag.40 Par. 4.6: La precessione del perielio dei pianeti. Pag.42 -APPENDICI. Pag.45 Appendice 1: La Teoria Della Relatività Ristretta. Pag.45 Appendice 2: Come io vedo l’Universo (Unificazione Gravità Elettromagnetismo). Pag.70 -Bibliografia. Pag.87

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La cosa più vicina all’intelligenza è la semplicità. Introduzione. La Teoria della Relatività Generale (TRG) è un’estensione della Teoria della Relatività Ristretta (o Speciale) (TRR) esposta in App. 1, necessaria ad Einstein per spiegare la Gravitazione. Il termine gravità richiama il termine accelerazione; vedremo infatti al Par. 2.1 che, laddove coi sistemi di riferimento c’è accelerazione, rotazione e gravità, la metrica non è più semplice come nella TRR. Inoltre, la TRG spiega la gravità come una curvatura dello spazio, o meglio, dello spazio-tempo (spazio-tempo matematico, nell’opinione di chi scrive) determinata dalla materia (e dall’energia!) immersa in tale spazio-tempo. E’ un po’ come quando, ad esempio, si pone una sfera di piombo su un materasso: in prossimità della sfera si ha uno sprofondamento ad imbuto e in tale zona il materasso appare incurvato. Potremmo dunque dire che tale area di materasso incurvato è il campo gravitazionale della sfera di piombo. Se ora lanciamo un pallino sul materasso, lo stesso, attriti a parte, procederà, indisturbato, di moto rettilineo uniforme sul materasso piatto, finchè, avvicinandosi all’area incurvata e sprofondata, non inizierà ad accelerare (cadere) verso la sfera di piombo. La materia, nella TRG, ha lo spazio-tempo come binari su cui muoversi; se dunque questi vengono incurvati, le traiettorie seguite dalla materia saranno curve. Se poi la sfera è così massiva da sprofondare completamente nel materasso, allora l’imbuto diventerà una sacca strozzata, ciò che chiameremmo buco nero, e dalla stessa non uscirebbe più neanche la luce. In TRG vale poi il Principio di Equivalenza, secondo cui un campo gravitazionale può essere annullato da una accelerazione e non è dunque possibile distinguere, in senso assoluto, una accelerazione da un campo gravitazionale. Si immagini infatti l’Ascensore di Einstein, in cui una persona ferma ad un piano grava ovviamente sul pavimento dell’ascensore col suo peso; se però tagliamo il cavo dell’ascensore, questo inizierà a trovarsi in caduta libera nel campo gravitazionale terrestre e l’uomo all’interno galleggerà come in un’astronave priva di gravità, poiché lui cade e l’ascensore pure e il pavimento di quest’ultimo gli sfuggirà sempre da sotto i piedi. Dunque, una accelerazione, quella di caduta, ha annullato l’effetto della gravità; e contemporaneamente, ad ascensore fermo, la persona all’interno, invece di concludere che era fermo e sospeso in un campo gravitazionale (gravando coi piedi sul pavimento) poteva anche concludere che non vi era nessun campo gravitazionale, ma che l’ascensore stava accelerando verso l’alto, spingendo sotto le suole delle sue scarpe. Con l’esempio del materasso abbiamo introdotto il concetto di curvatura dello spazio-tempo (matematico) causato dalla materia/energia. L’equazione tensoriale, che noi qui dimostreremo, che esprime appunto la corrispondenza tra materia/energia e curvatura è l’Equazione tensoriale del Campo Gravitazionale di Einstein:

µνµνµν πGTRgR 821

−=−

Il primo membro, tutto in R, ad indicare “raggio di curvatura”, esprime appunto le caratteristiche geometriche dello spazio contenente materia/energia, e l’entità di tale materia/energia è invece data dal secondo membro, col tensore momento-energia µνT , il

quale, come vedremo, in alcune sue componenti è, ad esempio, proporzionale alla densità ρ ecc.

Forse solo nell’opinione di chi scrive (in quanto il concetto che segue, così come tante altre cose, non l’ho mai letto su nessun libro) anche l’equazione di Newton sul campo gravitazionale esprime una corrispondenza tra caratteristiche geometriche dello spazio e presenza di materia:

2

2

dtrdar

r= , r

rMmGam ˆ2−=

r , →→→

→→→ rrMG

dtrd ˆ22

2

−=r

infatti, il primo membro dell’ultima equazione, ossia 2

2

dtrd r

, ossia la derivata seconda della

posizione spaziale nel tempo, è appunto una caratteristica geometrica dello spazio, mentre

il secondo membro rrMG ˆ2− ci informa sull’entità di M!

Sin dalla sua nascita, ufficialmente nel 1916, la TRG è sempre stata vista da molti con perplessità, in quanto in essa la complessità, sia matematica che concettuale, non manca proprio e dunque sostenere che così tante ipotesi e così tanti calcoli conseguenti possano portare ad equazioni che siano sempre ben salde alla realtà, qualche volta ha portato più di qualche critico a definirla una teoria un po’ azzardata (weird, in inglese). I tests classici del Cap. 4 sono incoraggianti in senso opposto, anche se pure lì le premesse, le supposizioni ed i calcoli non scarseggiano e poi, ad esempio, nel calcolo della deflessione della luce delle stelle ad opera del Sole, durante una eclissi nel 1919, la precisione di misura forse era parecchio vicina al valore misurato. Ed esistono poi spiegazioni alternative ed antagoniste alla TRG per spiegare deflessione della luce e precessione del perielio dei pianeti. Nell’opinione di chi scrive, la TRG è sicuramente una splendida e meravigliosa teoria fisico matematica, più matematica che fisica, forse la più bella che c’è, ma è altrettanto vero che contiene profili appunto un po’ azzardati. Penso che la TRG sia la classica teoria falsificabile alla Popper, un po’ come un modello interpretativo che va bene per spiegare parecchi fenomeni, ma che però non è l’essenza piena del fenomeno spiegato. E poi, supposta la realtà dell’interpretazione geometrica della curvatura, resterebbe da spiegare come mai la materia la causa; sì, la causa, ma perché? Constatare non equivale pienamente a spiegare ed a giustificare ed a rendere plausibile. Nella TRG la gravità è solo attrattiva ed Einstein, nella sua Teoria dei Campi Unificati, riassumendo un po’, dopo aver utilizzato il concetto di curvatura in TRG per spiegare l’attrazione gravitazionale, utilizzò il concetto di torsione per tentare di spiegare anche le forze repulsive dell’elettricità. Purtroppo senza successo, ossia senza che le sue nuove equazioni del campo unitario (mi pare 33) trovassero un qualche riscontro nell’Universo reale. Il lavoro di Einstein, dunque, non si esaurì con la TRG; egli, infatti, morì nel 1955 in un letto d’ospedale con carta e penna in mano! Io, personalmente, penso che la forza di gravità sia una macroscopica forza che si compone di microscopiche forze elettrostatiche tra le particelle, positive e negative, che compongono l’Universo, e che possono considerarsi distribuite in modo random (vedi App. 2). Infatti, dimostro in Appendice 2 che l’energia elettrostatica corrispondente ad un elettrone in una coppia elettrone-positrone, che è:

ere2

041

⋅πε

è esattamente pari all’energia gravitazionale conferita ad un elettrone da tutta la massa dell’Universo UnivM a distanza UnivR , cioè:

Univ

eUniv

RmGM

Si ha dunque:

Univ

eUniv

e RmGM

re

=⋅2

041πε

!!

E non pare proprio un caso anche il fatto che se si considera l’Universo come composto da soli elettroni e positroni (armoniche fondamentali, di massa em ) , in numero N, si ha banalmente che:

851075,1 ⋅≅=e

Univ

mMN

e, fin qui, ancora nulla di strano, se non fosse che ci accorgiamo che se moltiplico la radice di N ( 421013,4 ⋅≅N ) per il raggio classico dell’elettrone er , otteniamo esattamente

mRrN Unive281018,1 ⋅≅≅ , il raggio dell’Universo! E la spiegazione di ciò, in perfetta sintonia

con l’equivalenza tra elettricità e gravità appena esposta, è stata dedotta in App. 2/nel Par.4.1. Dunque l’attrazione(/repulsione) particella-antiparticella, ossia le oscillazioni veloci delle coppie particella-antiparticella, nel comporsi tra loro, danno luogo alla oscillazione lenta dell’Universo (Big Bang, espansione, contrazione, Big Crunch). Noi ora siamo nell’era della contrazione, cioè la materia si sta contraendo tutta verso in centro di massa dell’Universo, da cui l’apparire della forza di gravità attrattiva che viviamo ogni giorno, mentre centinaia di miliardi di anni fa, quando l’Universo si espandeva, la gravità era (conseguentemente) di tipo repulsivo (vedere sempre App. 2, a supporto di tutto ciò), da cui la perfetta similitudine tra l’elettricità (attrattiva e repulsiva) e la gravità (anch’essa attrattiva e repulsiva); solo che quando la Terra è nata, la gravità aveva smesso già da un pezzo di essere repulsiva! Capitolo 1: Premesse di Geometria. Par. 1.1: Formalismo, lunghezze di archi e aree di superfici curve. la sfera ed il cerchio: Con riferimento alla figura 1, vogliamo rappresentare con una formula la superficie di una sfera Σ : Fig. 1.1: La sfera.

x

circonferenza equatoriale max

y

z

φ

θ

P(r, θ, φ)

r Σ

In coordinate cartesiane, basta usare il Teorema di Pitagora per ottenere tale formula: 2222 rzyx =++ (1.1)

Invece, verso le più maneggevoli coordinate sferiche, si ha, molto banalmente ed intuitivamente:

zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=Σ

r (1.2)

dove ovviamente Στr è il vettore che descrive (muovendosi) tutta la superficie della sfera.

Si vede che le componenti sono funzione di due parametri (θ e ϕ ). Ovviamente, nel caso più semplice di un cerchio γ , si avrebbe:

yrxr ˆ)sin(ˆ)cos( θθτ γ +=r

(1.3) e qui si vede che invece le componenti sono funzione di un solo parametro (θ ), se r=cost. Fig. 1.2: Il cerchio. Le (1.1) e (1.2) si possono dunque scrivere, in forma più generale, come funzioni, rispettivamente, di 2 e 1 parametri:

zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ

r ( ϕθ ,, =vu e r=r(u,v)) (1.4)

yuxu ˆ)(ˆ)( 21 τττ γ +=r

( θ=u e r=r(u)) (1.5)

E’ ovvio che se nelle (1.4) e (1.5) i vari iτ non hanno le espressioni che hanno nelle (1.2) e (1.3), ma bensì ne hanno altre, di generiche, allora esse (sempre le (1.4) e (1.5)) possono rappresentare non più sfera e cerchio, ma altre superfici e curve del tutto generiche. Ora, volendoci avvicinare un po’ più alle coordinate cartesiane (x,y)=(x,f(x)), effettiuiamo nella (1.5) un cambio di parametro (u >>> x) in modo tale che si abbia:

yxfxxyuxu ˆ)(ˆˆ)(ˆ)( 21 +=+= τττ γr

(1.6)

Riterremo dunque la (1.4) l’espressione generale di una superficie, e la (1.6) quella generale di una curva. lunghezza di un arco su una curva: Fig. 1.3: Lunghezza di un arco.

x

y

θ r

P(r, θ)

x

y

)(uBτr

)(uAτr

)(uBτ

r- )(uAτ

r= )(uγτ

r∆ γ

Con riferimento alla figura 1.3, se )(uBτr

tende a )(uAτr , allora )(uγτ

r∆ , diverrà un )(ud γτ

r;

non solo; esso corrisponderà all’arco infinitesimo ldr

su γ . Possiamo dunque scrivere che:

)(udld γτrr

= , da cui:

∫∫∫∫∫−−−−−

+=+====)(

2

)(

2221

)()()(

))('1(])))(())([()(')(BAlBAlBAlBAlBAl

duxfdudu

uddu

udduuudldl ττττ γγ

rrr

(1.7) e notiamo, altresì, dalla composizione vettoriale di Fig. 1.3, che )(ud γτ

rrisulta essere

tangente a γ , in quanto la tocca in un solo punto, e dunque il vettore

duud

t)(γτ

rr

= (1.8)

è un vettore tangente a γ . area di una superficie curva: Riprendiamo la (1.4), che qui riportiamo: zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ

r.

Fig. 1.4: Areola su una superficie curva. Ora, con riferimento alla Figura 1.4, si abbia appunto una superficie curva Σ ed una curva

)(tγ su di essa. E’ ovvio che se voglio sostenere che la curva )(tγ sta proprio su Σ , allora si deve avere che i due parametri u e v di Σ devono essere funzione del parametro unico t di )(tγ : Ora, sappiamo dalla (1.8) che la derivata del vettore γτ

r che descrive una curva, rispetto al

suo parametro t, ci dà il vettore tangente tra tale curva. Parimenti, allora, la derivata del

vettore Στr che descrive la superficie Σ fornisce un vettore t

r tangente alla superficie

stessa, e se la derivata è effettuata sul parametro t della curva )(tγ che sta su Σ , allora, ovviamente, tale vettore tangente sarà pure la tangente della curva )(tγ . Tale parentela è analiticamente esplicitabile vedendo i due parametri u e v come funzioni del parametro t della curva: )(tuu = e )(tvv = . Allora, la tangente alla curva )(tγ sarà:

dtdv

dvd

dtdu

dud

dtdt ΣΣΣ +==

τττrrr

r (1.9)

Dunque, sempre con riferimento alla Figura 1.4, per la (1.9) si vede che il vettore

tangente tred i vettori

dud Στ

r e

dvd Στ

r stanno sullo stesso piano, in quanto costituiscono una

composizione a tre, come appunto in figura. Ora, dal momento che il prodotto vettoriale tra due vettori (modulo = prodotto dei moduli per il seno dell’angolo tra loro) dà come

tr

)(tγ

dud Στ

r

dvd Στ

r Σ

risultato ancora un vettore che è ortogonale ai primi due, allora, per ottenere il vettore

normale alla superficie Σ , effettuo il prodotto vettoriale tra dud Στ

r e

dvd Στ

re se poi voglio il

versore n (modulo unitario) dividerò per il modulo del vettore normale:

dvd

dud

dvd

dud

nΣΣ

ΣΣ

×

×=

ττ

ττ

rr

rr

ˆ (versore normale) (1.10)

Per quanto riguarda l’area di una superficie (in generale) curva, sappiamo dalla geometria elementare che l’area di un trapezio è data dal prodotto dei due lati per il seno dell’angolo da essi formato e ricordando la definizione di prodotto vettoriale riportata qui sopra,

possiamo allora dire che l’areola Σd individuata dai due vettorini dud Στ

r e

dvd Στ

r(Fig. 1.4) è:

dvd

dudd ΣΣ ×=Σ

ττrr

, da cui, per integrazione su tutto u e v:

dudvdv

ddudd

vu∫∫∫−

ΣΣ

Σ

×=Σ=Σττrr

(1.11)

Par. 1.2: Geometria differenziale di base. Fig. 1.5: Triedro fondamentale.

Abbiamo visto con la (1.8) che il vettore )(')(

)( udu

udut γ

γ ττ rr

r== è tangente alla curva )(uγ .

Volendo noi un versore t (modulo unitario), avremo:

)(')('

)(ˆuu

utγ

γ

ττr

r

= (versore tangente) (1.12)

Quindi, sempre con la (1.8) abbiamo visto che l’operazione di derivazione fornisce un vettore ortogonale. Deriviamo ora la (1.12), ottenendo il versore normale )(ˆ un :

)(ˆ)(ˆ utdudun = (versore normale) (1.13)

Per ultimo, definiamo il versore binormale )(ˆ ub , ovviamente nel seguente modo, utilizzando il prodotto vettoriale:

)(ˆ)(ˆ)(ˆ unutub ×= (versore binormale) (1.14)

)(uγ

)(ˆ ut )(ˆ ub

)(ˆ un

)(uP

)(')('

)(ˆuu

utγ

γ

ττr

r

=

)(ˆ)(ˆ utdudun = (triedro fondamentale con parametro generico u) (1.15)

)(ˆ)(ˆ)(ˆ unutub ×= Vedemmo poi con la (1.7) che la lunghezza di un arco è pari a:

∫∫∫∫ ====−−−

u

uBAsBAsBAs

duuduuudsdus0

)(')(')()()()()(

γγγ τττrrrr

(1.16)

da cui: )(')(' ududsus γτ

r== .

Se ora nel triedro (1.15) effettuiamo un cambio di parametro (u >>> s, con s parametro intrinseco), si avrà:

)('1)('

)()]([')('

usu

dsdu

duud

sus γγ

γγ ττ

ττr

rrr

=== , da cui:

1)(')('

)(' ==usu

s γγ

ττ

rr

. Poi:

22 ))('(

)('')(')(''

))('(

)('')(')(')('')(''

usdsduusuu

usdsduusuus

dsduu

sγγγγ

γ

τττττ

rrrrr −

=−

=

ed otteniamo così il triedro fondamentale nella parametrizzazione intrinseca:

)(')(ˆ sst γτr

=

)('')(''

)(ˆss

snγ

γ

ττr

r

= (triedro fondamentale con parametro intrinseco s) (1.17)

)('')('')('

)(ˆ)(ˆ)(ˆs

sssnstsb

γ

γγ

τττ

r

rr×

=×=

Fig. 1.6: Triedro fondamentale nella parametrizzazione intrinseca.

)(sγ

)(ˆ st )(ˆ sb

)(ˆ sn

)(sP

curvatura e raggio di curvatura:

)('' sγτr

è nullo per le rette, mentre è 0≠ sulle circonferenze ecc.

)('' sγτ

r è definito come CURVATURA di γ in )(sγτ

r.

)(''1)(

ss

γτρ r= (1.18)

è il RAGGIO DI CURVATURA. Esempio del cerchio (sul piano x-y):

222 ryx =+ (z=0)

)cos(cosrsrrx == α , )sin(sin

rsrry == α , z=0 (dove rs α= è l’arco di circonferenza),

dunque: )0),sin(),cos((),,()(rsr

rsrzyxs ==γτ

r da cui:

)0),cos(),sin(()',','()(

)('rs

rszyx

dssd

s −=== γγ

ττ

rr e dunque:

)0),sin(1),cos(1()'','',''()('

)(''rs

rrs

rzyx

dssd

s −−=== γγ

ττ

rr

, da cui, ancora:

r

zyxs 1'''''')('' 222 =++=γτr (curvatura)!!

la torsione:

)('ˆ sb è // a )(ˆ sn ; infatti:

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)('')(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ))(ˆ)(ˆ()(ˆ sndsdstsn

dsdstsnssn

dsdstsnst

dsdsnst

dsdsb

dsd

×=×+×=×+×=×= γτr

Ora osserviamo che, essendo )(ˆ sn un versore (modulo 1 costante), )(ˆ sndsd non

rappresenta una variazione del modulo di )(ˆ sn , ossia lungo la sua estensione di vettore, ma, di conseguenza, è una variazione solo ortogonalmente allo stesso )(ˆ sn , dunque

possiamo dire che: )(ˆ sndsd ⊥ )(ˆ sn , e parlandosi di terna ortogonale, si ha anche che

(ovviamente) )](ˆ)(ˆ[ sndsdst × // )(ˆ sn e dunque viene ad essere proporzionale a )(ˆ sn :

)(ˆ)(

1)('ˆ sns

sbτ

−= ; (1.19)

)(1sτ

è la TORSIONE di γ in )(sγτr

.

Vi è ora un legame tra curvatura e torsione, espresso dalle seguenti: formule di Frénet:

dalle prime due delle (1.17) e dalla (1.18) si ha la seguente: )(ˆ)(

1)('ˆ sns

stρ

= . Poi, si ha la

(1.19):

)(ˆ)(

1)('ˆ sns

sbτ

−= . Inoltre, dall’ultima delle (1.17) scaturisce che: )(ˆ)(ˆ)(ˆ stsbsn ×= e quindi:

)(ˆ)(

1)(ˆ)(

1

)(ˆ)(

1)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(

1)('ˆ)(ˆ)(ˆ)('ˆ))(ˆ)(ˆ()(ˆ

sts

sbs

sns

sbstsns

stsbstsbstsbdsdsn

dsd

ρτ

ρτ

−=

=×+×−=×+×=×=

da cui le formule di Frénet:

)(ˆ)(

1)('ˆ sns

stρ

=

)(ˆ)(

1)('ˆ sns

sbτ

−= (formule di Frénet) (1.20)

)(ˆ)(

1)(ˆ)(

1)('ˆ sts

sbs

snρτ

−=

Curiosità: un corpo che si muove lungo una curva potrà ovviamente avere una accelerazione tangenziale at ed una accelerazione centrifuga ac che, dalla fisica, sappiamo essere v2 /r. Vediamo ora se le nostre equazioni e tutto il formalismo finora esposto confermano ciò. Si ha:

)(ˆ)()(

stdtds

dtds

dssd

dtsd

== γγ ττrr

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(

1)()(ˆ)(ˆ)()(ˆ)( 2

22

22

2

2

2

2

snvstaaaasnsdt

dsstdt

sdds

stddtdsst

dtsd

dtsd

tct ρρτ γ +=+==+=+=

rrrr

c.v.d.

Par. 1.3: Geometria differenziale dello spazio. prima forma fondamentale: abbiamo visto con la (1.4) che una superficie è rappresentabile come segue:

zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ

r , ossia: ),( vuΣΣ = ττ

rr ed in forma differenziale:

dvdudvdv

ddududd vu ττ

τττ

rrrr

r+=+= ΣΣ

Σ

Definiamo allora la 1^ forma fondamentale di ),( vuΣτr come segue:

2222 2)()(2)( GdvFdudvEdudvdudvduddI vvvuuu ++=⋅+⋅+⋅=⋅= ΣΣ ττττττττrrrrrrrr

con )( uuE ττ

rr⋅= , )( vuF ττ

rr⋅= , )( vvG ττ

rr⋅=

Se ora si effettua un cambio di parametri ( ),( vuτr >>>> ),(* φθτ

r), cambiano i coefficienti E,

F e G, ma I=I*:

=+++=+==⋅=2**2**2 )()(),(* dvdudvdudddddddI vuvu φφτθθτφτθττττφθ φθφθ

rrrrrrr

),()()( 22**2**** dvduIddvdudvdu vuvvuu ==+=+++= τττφτθτφτθτ φθφθrrrrrrr

lunghezza di un arco: Si abbia un arco ))(),(( tvtuττ

rr= ; (1.21)

qui compaiono ancora i due parametri u e v caratteristici delle superfici, ma avendo sottolineato la loro reciproca dipendenza da un sol parametro comune t, la (1.21) è allora anche l’espressione di una curva (su cui l’arco). Per la lunghezza s tra a e b, si ha allora, ovviamente:

=++=⋅== ∫∫∫ dtdtdv

dtdu

dtdv

dtdudt

dtd

dtddt

dtds

b

a vuvu

b

a

b

a

2/12/1 ]))([()( τττττττ rrrrrrr

dtdtdvG

dtdv

dtduF

dtduE

b

a

2/122 ])(2)([∫ ++= (1.22)

area A della superficie: Con la (1.11) vedemmo che dudvdddAA

vuvu

A∫∫∫−

×== ττrr

Ora, dal momento che vale la seguente identità vettoriale: 2222

bababarrrrrr

⋅−=× , si ha

allora: 22 FEGdd vu −=× ττrr

e dunque:

dudvFEGdudvdddAA

vuvuvu

A∫∫∫∫∫−−

−=×== 2ττrr (1.23)

-esempio 1: lunghezza di una circonferenza: abbiamo già visto con la (1.2) che la sfera (Fig. 1.1) si rappresenta con la seguente equazione:

zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r

. Se ora consideriamo la circonferenza equatoriale massima (vedi Fig. 1.1), la stessa la si individua ponendo φ=90°, da cui:

)ˆ0.....(ˆ)sin(ˆ)cos( zyrxr ++= θθτr

ed ho una ))(),(())(),(( trttvtu θτττrrr

== , proprio come nella (1.21), da cui:

yrxr ˆ)cos(ˆ)sin( θθτθ +−=r

yxr ˆsinˆcos θθτ +−=

r ,

22222 cossin rrrE =+=⋅= θθττ θθ

rr, 0sincossincos =+−=⋅= θθθθττθ rrF r

rr,

1sincos 22 =+=⋅= θθττ rrG rr, e la (1.22) ci fornisce dunque (r=cost 0=→

dtdr ):

CrTT

rTrdtrdtdtdEdt

dtdE

dtdtdrG

dtdr

dtdF

dtdEdt

dtdvG

dtdv

dtduF

dtduEs

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

=======

=++=++=

∫∫∫

∫∫

ππ

ωωθθ

θθ

22])([

])(2)([])(2)([

2/12

2/1222/122

cioè proprio la circonferenza del cerchio!!! -esempio 2: superficie della sfera: consideriamo sempre la nostra sfera (Fig. 1.1), che per la (1.2) si rappresenta con la seguente equazione:

zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r

, da cui: yrxr ˆ)sincos(ˆ)sinsin( ϕθϕθτθ +−=

r

zryrxr ˆ)sin(ˆ)cossin(ˆ)coscos( ϕϕθϕθτϕ −+=r

ϕττ θθ22 sinrE =⋅=

rr, 0=⋅= ϕθ ττ

rrF , 2rG =⋅= ϕϕ ττrr

e, per la (1.23), si ottiene:

220

22

2242

422cos2sin

sin0sin

rrrddr

ddrddrddFEGdAAA

ππϕπϕϕθ

ϕθϕϕθϕϕθ

π

ϕθ

ϕθϕθϕθ

=⋅=−==

==−=−==

∫∫

∫∫∫∫∫∫∫−−−

e cioè proprio la superficie della sfera che noi tutti conosciamo!!!

---------------------------- seconda forma fondamentale: riscriviamo qui la (1.10), che ci fornisce un vettore/versore N

r normale alla superficie:

vu

vuNττττrr

rrr

××

= ; si ha poi, ovviamente: 1=Nr

e NNdNNddrrrr

⋅=⋅== 2)()1(0 , da cui:

NNdrr

⊥ . (1.24) Se così è, allora Nd

rgiace sulla superficie, e dunque è esprimibile, a maggior ragione,

come segue (u,v):

dvNduNdvvNdu

uNNd vu

rrrr

r+=

∂∂

+∂∂

= (1.25)

Possiamo ora definire la seconda forma fondamentale II:

22

22

2)())((

NdvMdudvLdudvNdudvNNduNdvNduNdvduNddII vvuvvuuuvuvu

++=

=−+−−=++−=⋅−=rrrrrrrrrrrrrr

τττττττ

proprietà di II: visto che si ha che: Nvu

rrr⊥),( ττ , segue che uuuuuu NNN

rrrrrr⋅+⋅=⋅= τττ )(0 ,

vuuvvu NNNrrrrrr

⋅+⋅=⋅= τττ )(0 , uvvuuv NNNrrrrrr

⋅+⋅=⋅= τττ )(0 , vvvvvv NNNrrrrrr

⋅+⋅=⋅= τττ )(0 ,

quindi: uuuu NNrrrr

⋅−=⋅ ττ , vvvv NNrrrr

⋅−=⋅ ττ , vuuv NNrrrr

⋅−=⋅ ττ , uvvu NNrrrr

⋅−=⋅ ττ e allora:

NL uu

rr⋅= τ , NM uv

rr⋅= τ , NN vv

rr⋅= τ da cui:

NddvNdudvNduNNdvMdudvLduII vvuvuu

rrrrrrrr⋅=⋅+⋅+⋅=++= ττττ 22222 22

curvatura normale: Se si ha una superficie S contenente una curva C e se P è un punto su C, la (1.20-1) ci fornisce il vettore curvatura, mentre definiamo curvatura )('ˆ st n normale a C in P la

proiezione del vettore curvatura )('ˆ st sulla normale Nr

(ed Nr

è il versore )(ˆ sn della (1.10)):

NNstst n

rr))('ˆ()('ˆ ⋅= e la componente lungo N

r è: Nsttn

r⋅= )('ˆ .

Ora, visto che Nstr

⊥)(ˆ , si ha:

NdsdstNstNst

dsd rrr

⋅+⋅==⋅ )(ˆ)('ˆ0))(ˆ( , da cui: NdsdstNst

rr⋅−=⋅ )(ˆ)('ˆ e allora:

III

dsNdd

dsNd

dssd

NdsdstNsttn =

⋅−=−=⋅−=⋅= 2

)()(ˆ)('ˆ

rrrrrrγγ ττ

, in quanto il numeratore Nddrr

⋅γτ è

proprio la definizione di II, mentre 2ds lo si può valutate derivando la (1.22) e quadrando, e si ha proprio I. esempio: curvatura normale della sfera abbiamo già visto con la (1.2) che la sfera (Fig. 1.1) si rappresenta con la seguente equazione:

zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r

da cui: yrxr ˆ)sincos(ˆ)sinsin( ϕθϕθτθ +−=

r

zryrxr ˆ)sin(ˆ)cossin(ˆ)coscos( ϕϕθϕθτϕ −+=r

yrxr ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕθϕθτθθ −−=r

yrxr ˆ)coscos(ˆ)cossin( ϕθϕθτθϕ +−=

r

zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτϕϕ −−−=r

zryrxrN ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθ −−−=r

ϕττ θθ22 sinrE =⋅=

rr, 0=⋅= ϕθ ττ

rrF , 2rG =⋅= ϕϕ ττrr

, ϕτθθ2sinrNL =⋅=

rr, 0=⋅= NM

rrθϕτ

rNN =⋅=rr

ϕϕτ , da cui:

rGddFdEdNddMdLdtn

122

22

22

=++++

=ϕϕθθϕϕθθ !!!

curvature e direzioni principali: le due direzioni, perpendicolari tra loro, dove nt assume valori massimo e minimo, sono dette direzioni principali e le corrispondenti curvature normali t1 e t2 sono le curvature principali. Teorema: t0 è principale con direzione principale du0,dv0 se e solo se du0,dv0 e t0 soddisfano le condizioni:

0)()( 0000 =−+− dvFtMduEtL 0)()( 0000 =−+− dvGtNduFtM (1.26)

dimostrazione: tn è un estremante se (tn=II/I)

0),( 00

=dvdu

n

dudt e 0

),( 00

=dvdu

n

dvdt , cioè: 0

)0,0(

2 =⋅−⋅

dvduI

IIIIII dudu e:

0)0,0(

2 =⋅−⋅

dvduI

IIIIII dvdv . Ora, moltiplicando per I, si ha:

0)0,0(

=−dvdu

dudu IIIIII , e: 0

)0,0(

=−dvdu

dvdv IIIIII ma: 000 ),( tdvdu

III

= , dunque:

0

)0,0(0 =−

dvdududu ItII e 0

)0,0(0 =−

dvdudvdv ItII . Essendo ora:

MdvLduIIdu 22 += e FdvEduIdu 22 += e dunque:

0)()( 00000 =+−+ FdvEdutMdvLdu 0)()( 00000 =+−+ GdvFdutNdvMdu

e cioè l’asserto. Riscriviamo ora le (1.26) nel seguente modo:

0)()( =−+− dvtFMdutEL 0)()( =−+− dvtGNdutFM

e moltiplichiamo membro a membro:

0)()2()( 222 =−+−+−− MLNtFMGLENtFEG . (1.27) Le due soluzioni sono le curvature principali. curvatura di Gauss e curvatura media: dividendo la (1.27) precedente per )( 2FEG − , otteniamo: 022 =+− KHtt , con:

)(21

21 ttH += (curvature media) e 21ttK = (curvatura di Gauss). ( 2

2

FEGMLNH

−−

= )

equazioni di Gauss-Weingarten:

uτr

, vτr

, ed Nr

abbiamo visto che sono linearmente indipendenti (ortogonali) e dunque possiamo utilizzarli come base per scrivere le loro derivate:

Nbvuuu

rrrr11

211

111 +Γ+Γ= τττ

Nbvuuv

rrrr12

212

112 +Γ+Γ= τττ

Nbvuvv

rrrr22

222

122 +Γ+Γ= τττ (1.28)

NN vuu

rrrr1

21

11 γτβτβ ++=

NN vuv

rrrr2

22

12 γτβτβ ++=

Gauss

Weingarten

dove i kijΓ sono i simboli di Christoffel di 2^ specie.

Abbiamo visto con la (1.24) che: NNdrr

⊥ e la (1.25) ci dice che Ndr

è esprimibile in termini di vu NN

rr, , da cui discende che ),( vu NNN

rrr⊥ e, per le equazioni di Weingarten,

possiamo scrivere che: NNNNNN vuu

rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅= 1

21

110 γτβτβ

NNNNNN vuv

rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅= 2

22

120 γτβτβ

ma sappiamo anche che: 0=⋅=⋅ NN vu

rrrrττ e 1=⋅ NN

rr , da cui: 021 == γγ e quindi le

(1.28) si semplificano un po’, come segue:

Nbvuuu

rrrr11

211

111 +Γ+Γ= τττ

Nbvuuv

rrrr12

212

112 +Γ+Γ= τττ

Nbvuvv

rrrr22

222

122 +Γ+Γ= τττ (1.29)

vuuN τβτβrrr

21

11 +=

vuvN τβτβrrr

22

12 +=

Scriviamo le (1.29), più semplicemente, in forma TENSORIALE, più compendiosa:

Nbijijij

rrr+Γ= α

αττ (i,j=1,2) (1.30)

e ricordiamoci bene che, con la (1.30), si è appena iniziato a fare uso della CONVENZIONE DI EINSTEIN, secondo cui, se in un termine un indice è ripetuto, su esso è sottintesa la sommatoria su quell’indice. Infatti, nel termine α

ατr

ijΓ della (1.30), α è ripetuto e dunque

tale termine darà due valori, esattamente come succede nelle equazioni (1.29) di Gauss. Il TENSORE METRICO ijg :

rivediamo un attimo la nostra terminologia sin qui usata, usando forme un po’ più compendiose:

1uu = , 2uv = , ),( vuu ì = , ii u∂∂

=τ

τr

r, jiij uu ∂∂

∂=

ττ

rr

2

;

+++=⋅+⋅+⋅=⋅= 1221

2112

1111

2222

2121

1111 2 dudugdudugdudugdududududududdI ττττττττ

rrrrrrrr

kiik

ki

kiik dudugdudugdudug ==+ ∑

,

2222 , con: Eg =11 , Fgg == 2112 , Gg =22 e:

gFEGgggggggg

g =−=−=

= 2

222122112221

1211det (1.31)

Inoltre: 2

21

1 duNduNNdrrr

+= e:

=−−−−=⋅−= 2222

1212

2121

1111 duduNduduNduduNduduNNddII

rrrrrrrrrrτττττ

∑=+++=ki

kiik dudubdudubdudubdudubdudub

,

2222

1221

2112

1111

con: Lb =11 , Mbb == 2112 , Nb =22 e: bMLNbbbbbbbb

b =−=−=

= 2

222122112221

1211det .

Moltiplichiamo ora scalarmente le eq. di Gauss per kτr

si ha:

ijkkijkijkijkijkijkij gNb Γ=Γ=Γ=+Γ=⋅+Γ=⋅ αα

αα

αα

αα τττττττττ

rrrrrrrrrr0 ( 2,1,, =jiα )

Gauss

Weingarten

ijkΓ sono i simboli di Christoffel di 1^ specie.

Ricordiamo poi che: ji

ji gg δαα = (definizione di jgα ), con j

iδ che è la Delta di Kronecker, e

vale 0 se ji ≠ e 1 se ji = ; infatti: ji

ji

ji

ji

ji gg δττττττττττ α

αα

αα

α =⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 1rrrrrrrrrr, in

quanto iτr e jτ

r sono, per definizione, normali, se ji ≠ (definizione di jτr

).

Da ciò si ha allora: kij

kij

kij

kij ggg Γ=Γ=Γ=Γ α

αβαβ

αββ δ e dunque: α

α ijkijk g Γ=Γ e

αα

ijkk

ij g Γ=Γ . (1.32)

Si ha che: jkiikjkij

ug

Γ+Γ=∂∂

(1.33)

dimostrazione: si ha, per definizione di ijg , che: jiijg ττ

rr⋅= , da cui:

jkiikjjkijikkij

ug

Γ+Γ=⋅+⋅=∂∂

ττττrrrr

------------------

Si ha poi che: )(21

kij

jki

iik

ikj ug

ug

ug

∂∂

−∂∂

+∂∂

=Γ (1.34)

dimostrazione:

si ha, per la (1.33), che: kijjikiik

ug

Γ+Γ=∂∂ , ijkkjij

ki

ug

Γ+Γ=∂∂ e jkiikjk

ij

ug

Γ+Γ=∂∂

, (si tratta

sempre della (1.33), ma con indici ogni volta diversi, ma, del resto, gli indici hanno valore 1 e 2, indipendentemente dal loro nome), da cui l’asserto.

------------------ Segue che:

)(21

αααα

ug

ug

ug

g ijji

ijkk

ij ∂∂

−∂∂

+∂

∂=Γ (1.35)

e inoltre, moltiplicando la (1.32) αα

ijkk

ij g Γ=Γ in entrambi i membri per µαg (reciproco di αkg ) , dove appunto, per definizione di reciproco: kkgg µ

αµα δ= , si ha:

αµαα

µαµα δ ijk

ijkk

ij ggg Γ=Γ=Γ , ossia, rimuovendo in quest’ultima kµδ a condizione di porre

k=µ nel suo primo membro, si ha:

µµαα ijij g Γ=Γ e, grazie a quest’ultima, la (1.33) jkiikjk

ij

ug

Γ+Γ=∂∂

diventa:

µαµ

µµ kiikjjkiikjk

ij ggug

Γ+Γ=Γ+Γ=∂∂

(1.36)

------------------ Moltiplicando scalarmente per jτ

rle equazioni di Weingarten (1.29) α

ατβrr

iiN = , si ottiene:

jijijiij gNb αα

αα βττβτ =⋅=⋅=−

rrrr; ponendo ora: j

ij

i gbb αα= , si ha:

ji

ji

ji

ji

ji gggbb βδββ α

αγαγ

αγγ −=−=−== ; dunque α

ατrr

ii bN −= , con:

αα

ijj

i bgb = e αα ijij bgb =

i simboli (tensori) di Riemann di 1^ e 2^ specie:

kmijjmikmijk bbbbR −= (2^ specie, tensore di rango 4) (1.37)

ijkijk RgR ααρρ = (1^ specie, tensore di rango 4) (1.38)

mijkR è il tensore di curvature di Riemann covariante ρijkR è il tensore di curvature di Riemann misto

Ovviamente: ρρ

αααρ

ααρρ

kijjikkijjikijkijk bbbbbbbbgRgR −=−== )( (1.39)

Per la (1.37), si ha: mijkimjk RR −= , mijkmikj RR −= ; inoltre 0=mijkR se i primi due indici, o gli

ultimi due, coincidono, dunque, solo quattro componenti sono diverse da zero e sono: bMLNbbbbRR =−=−== 2

2112112221211212 e bMLNbbbbRR −=−−=−== )( 21122211221121221

Notiamo che: )(12122

2

GaussKg

Rgb

FEGMLN

===−− . (1.40)

------------------ Si ha che: α

ββα

ββααα

kijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( (1.41)

dimostrazione: Nbijijij

rrr+Γ= α

αττ >>>

++ΓΓ+Γ=++Γ+Γ==∂∂

)()()()( NbNbNbu kkijkijkijkijkijkijijkk

ij rrrrrrrrr

αββ

αα

αα

αα

αα τττττ

τ

NbbbbbbNb kijkijkijkijkijkijkij

rrrr])([])[()()( +Γ+−ΓΓ+Γ=−++ α

αα

ααβ

βαα

α ττ

dove si è usata la eq. di Weingarten αατrr

ii bN −= .

Analogamente: Nbbbb jikjikjikjikjikikj

rrr])([])[( +Γ+−ΓΓ+Γ= α

αα

ααβ

βα ττ

Ora, le derivate del terzo ordine sono indipendenti dall’ordine di derivazione se e solo se: ikjijk ττ

rr= , ossia:

0])()([])()[( =−Γ−+Γ++−ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ=− Nbbbbbbbb jikjikkijkijjikkijjikkijjikkijikjijk

rrrrα

αα

αα

αααβ

βαβ

βαα τττ

e dato che 1τr

, 2τr

ed Nr

sono linearmente indipendenti, l’equazione precedente equivale a dire che:

0])()[( =+−ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ αααβ

βαβ

βααjikkijjikkijjikkij bbbb (1.42)

0])()([ =−Γ−+Γ jikjikkijkij bbbb αα

αα

La (1.42), mediante la (1.39), fornisce: αβ

βαβ

βαααkijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( , cioè l’asserto.

Capitolo 2: Le grandezze salienti della Teoria della Relatività Generale . Par. 2.1: Concetti introduttivi sulla Relatività Generale. Si rilegga innanzitutto l’Introduzione a pag. 2. Inoltre, sappiamo dalla TRR (in App. 1) che la contrazione di Lorentz avviene nella direzione del moto, dunque, se si ha un sistema in rotazione, o un punto che ruota, ad esempio, su un cerchio, ci si troverà a muoversi, in certe fasi lungo x, poi lungo x ed y, poi magari anche lungo z, dunque la contrazione di Lorentz non agisce sempre lungo una sola coordinata e, dunque, il cerchio percorso risulterebbe, agli occhi si un sistema di

riferimento in rotazione, dunque non inerziale, schiacciato, in qualche modo, dunque modificato geometricamente. Se, infatti, in un sistema inerziale I abbiamo:

222222 dzdydxdtcd −−−=τ , ( kiik ddd ξξητ −=2 ,vedere oltre) (2.1)

in un altro sistema I’ in accelerazione lungo x rispetto al primo, si avrà:

2

21' atxx +=

'yy =

'zz = 'tt = e: ''' dtatdxdx += 'dydy =

'dzdz =

'dtdt = da cui:

222222 '')''(' dzdyatdxdtcd −−+−=τ oppure (2.2)

22222222 ''''''2')'( dzdydxdtdxatdttacd −−−−−−=τ (2.3) Se poi abbiamo anche un altro sistema I’ col piano x-y in rotazione (a velocità angolare ω ) rispetto a quello del primo, avendosi il seguente sistema di trasformazione:

tytxx ωω sin'cos' −= tytxy ωω cos'sin' +=

Fig. 2.1: Due sistemi di riferimento, uno in rotazione rispetto all’altro. e ricordando che, banalmente, ad esempio, dtttd ⋅= ωωω cos)(sin ecc, si ha per 2τd :

222222222 ''''''2'''2)]''([ dzdydxdtdyxdtdxydtyxcd −−−−++−= ωωωτ (2.4) e si vede che in nessun caso ((2.2), (2.3), e (2.4), che sono del tipo νµ

µντ dxdxgd −=2 ;

vedere oltre) si può ridurre 2τd , tramite trasformazioni temporali, alla somma algebrica

x’

x

y y’

tωθ =

ω

dei quadrati dei differenziali delle quattro coordinate, come nella (2.1) e come sarebbe invece per un altro sistema di riferimento inerziale. Dunque, la presenza di accelerazioni rettilinee dei sistemi di riferimento (che possono annullare i campi gravitazionali) e anche centrifughe/centripete, ossia centrali, come per la gravità (ad esempio, in seguito a rotazioni), introducono termini misti che cambiano la metrica, e dunque la geometria dello spazio/spazio-tempo. Da qui l’esigenza di formulare una teoria relativistica per la gravitazione (TRG). Par. 2.2: Sul tensore metrico ed altre grandezze salienti. Quando abbiamo trattato le equazioni di Gauss-Weingarten, poco sopra, abbiamo visto che uτ

r, vτ

r , ed N

r sono linearmente indipendenti (ortogonali) e dunque sono un sistema

di riferimento anche loro, ma curvilineo, e locale, in quanto giacciono su un punto della superficie, e quando ci si muove su di essa, tale terna si sposta ed essi cambiano pure di direzione. Ecco dunque un valido esempio di sistema di riferimento curvilineo, nell’opinione di chi scrive, ovviamente. In tutte le equazioni presentate nel capitolo precedente sulla geometria, gli indici i, j, k ecc variavano da 1 a 2 o anche 3. Ora, addentrandoci un po’ più nell’ambito dell’Universo e, quindi della Relatività Generale, prendiamo innanzitutto atto del fatto che il nostro Universo appare tridimensionale, dunque, per gli indici, avremo una variabilità che giunge almeno fino a tre, e poi, visto che, come esposto anche in App. 1 sulla Relatività Ristretta, esiste un Universo matematicamente quadridimensionale (per la fisica ufficiale, esso è anche realmente quadridimensionale; per me invece no!), in cui si ha covarianza, dunque conservazione, nel passaggio da un sistema inerziale all’altro, allora, con Einstein, iniziamo una volta per tutte a considerare l’Universo in chiave quadridimensionale e basta; dunque, gli indici di tutte le equazioni geometriche presentate nel capitolo precedente, avranno d’ora in poi gli indici con una variabilità a quattro valori e la quarta componente è quella temporale (ct). Varrà poi la convenzione di Einstein, secondo cui se in un termine di un’equazione un indice compare due volte, allora è sottintesa la somma su esso. Riportiamo qui le principali, che ci serviranno:

ααττrr

ijij Γ= (Eq. di Gauss in forma più compendiosa; tutto in αijΓ ) (i,j=1,2,3,4) (2.5)

(questa ci dà anche la derivata del versore)

kiik dudugd −=2τ (i,j=1,2,3,4) (tensore metrico ikg /de-quadridistanza quadro 2τd ) (2.6)

)(21

αααα

ug

ug

ug

g ijji

ijkk

ij ∂∂

−∂∂

+∂

∂=Γ (i,j=1,2,3,4) (simbolo di Christoffel di 2^ specie) (2.7)

αβ

βαβ

βαααkijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( (i,j=1,2,3,4) (Tensore di curvatura di Riemann misto) (2.8)

Il tensore metrico ikg , nel caso ci si trovi in spazi euclidei, si riduce al tensore di Minkowski

ikη (vale 1 per i=k=1,2,3 e vale -1 per i=k=4; vale 0 per i diverso da k) e senza termini

misti, cioè con i,k diversi, ηik=0; infatti, si avrebbe ( ctzyxu i ,,,= ):

22222 )(ctzyxddd kiik +−−−=−= ξξητ , proprio come nella Relatività Ristretta (App. 1) e le

iξ denoterebbero il sistema euclideo di coordinate. Passando a sistemi curvi ( idξ >>>> idx ), si ha:

νµµν

νµνµ

ξξηξξητ dxdxgdxdx

xxddd

ki

ikki

ik −=∂∂

∂∂

−=−=2 , con (2.9)

νµµνξξ

ηxx

gki

ik ∂∂

∂∂

= (2.10)

che è l’equazione di passaggio da un sistema all’altro. In futuro riserveremo, per gli indici, tendenzialmente le lettere dell’alfabeto comune (i,j,k ecc) in caso di spazi euclidei ( ikη ) e le lettere dell’alfabeto greco ( νµ, ecc) per gli spazi curvi µνg , a forte gravità.

------------------ Abbiamo visto con le (1.1) e (1.2) che una sfera si può rappresentare tramite un’equazione che contenga le tre coordinate cartesiane classiche (x,y,z) oppure anche fissando un raggio e facendo variare due angoli ( ϕθ ,,r ):

2222 rzyx =++ (x,y,z) zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=Σ

r ( ϕθ ,,r )

Ora, nel caso in cui si effettui un cambiamento di sistema di coordinate (x,y,z) >>>> (x’,y’,z’) con il secondo magari traslato e ruotato rispetto al primo, ci saranno delle classiche equazioni di passaggio da un sistema all’altro, ma i due sistemi di coordinate avranno sempre la stessa rappresentazione grafica di assi che si estendono dall’origine all’infinito, in positivo come in negativo.

2222 ''' rzyx =++ (x’,y’,z’) Ciò, però, nell’ambito della geometria euclidea, o non curvilinea, se vogliamo. Fig. 2.2: Due diversi sistemi di riferimento “euclidei”. Se ora io suppongo di dover passare da un sistema come quello di Fig. 2.2 ad uno in cui lo spazio è, per qualche motivo, incurvato, magari dalla gravità della materia e dell’energia, come sostenuto in Relatività Generale, allora la geometria euclidea non mi è più sufficiente

x’

x

y y’

z

z’

e quella curvilinea, non euclidea “alla Riemann” mi è più di aiuto. Infatti, nell’opinione di chi scrive, nel passare da un sistema normale ad uno “curvo”, non si può più avere la rappresentazione di Fig. 2.2, ma il sistema curvo avrà un aspetto di terna di assi cartesiani rettilinei solo nell’infinitesimo (“d” = de), come in Fig. 2.3, in quanto, essendo lo stesso appunto curvo, appena mi allontano dall’origine “0”, l’asse si incurva e non ho più alcuna forma di linearità e di proporzionalità. Fig. 2.3: Caso di sistema di coordinate curvilinee. Avrò dunque un sistema di equazioni di passaggio da un sistema euclideo ( iξ ) ad uno curvilineo ( ix ), nell’ambito dell’infinitesimo, per quanto appena detto, e che sarà, in generale, di questo tipo:

),,,( 432111 xxxxξξ =

),,,( 432122 xxxxξξ = (2.11) ),,,( 432133 xxxxξξ =

),,,( 432144 xxxxξξ = e viceversa:

),,,( 432111 ξξξξxx =

),,,( 432122 ξξξξxx = (2.12) ),,,( 432133 ξξξξxx =

),,,( 432144 ξξξξxx = e per le equazioni di conversione delle espressioni per le superfici e per gli oggetti geometrici (τ

r ), si ha ovviamente ( ),,,(ˆˆˆˆ 43214321 ξξξξξξξξτ =+++= tkjir e ( ),,,( 4321

44

33

22

11 xxxxxxxx =+++= τττττ

rrrrr):

tx

kx

jx

ixx

ˆˆˆˆ1

4

1

3

1

2

1

1

11 ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=ξξξξτ

τr

r

tx

kx

jx

ixx

ˆˆˆˆ2

4

2

3

2

2

2

1

22 ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=ξξξξτ

τr

r

tx

kx

jx

ixx

ˆˆˆˆ3

4

3

3

3

2

3

1

33 ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=ξξξξτ

τr

r (2.13)

tx

kx

jx

ixx

ˆˆˆˆ4

4

4

3

4

2

4

1

44 ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=ξξξξτ

τr

r

e inoltre, ovviamente:

dx dy

dz dz’

dy’ dx’

0 0

44

13

3

12

2

11

1

11 dx

xdx

xdx

xdx

xd

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=ξξξξ

ξ

44

23

3

22

2

21

1

22 dx

xdx

xdx

xdx

xd

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=ξξξξ

ξ

44

33

3

32

2

31

1

33 dx

xdx

xdx

xdx

xd

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=ξξξξ

ξ (2.14)

44

43

3

42

2

41

1

44 dx

xdx

xdx

xdx

xd

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=ξξξξ

ξ

e allora: ===+++= ),,,(),,,(ˆˆˆˆ 432143214321 dxdxdxdxddddtdkdjdidd ξξξξξξξξτ

r

τττττττrrrrrrr ddxdxdxdxdxd i

i ==+++== 44

33

22

11 (2.15)

e dunque ( 4321 ,,, dxdxdxdx ) sono le componenti di τr nella base curvilinea ( 4321 ,,, ττττ

rrrr).

Esiste ora una quaterna reciproca ( 4321 ,,, ττττrrrr

) tale che, per definizione: j

ij

i δττ =⋅rr

. Riprendendo ora un attimo la (2.15), dove è palesemente utilizzata la convenzione di Einstein, si ha: i

idxd ττrr

= Se ora vogliamo effettuare un cambiamento di base curvilinea, con coordinate da idx a

ldx' , scriveremo ovviamente che: ll

ii dxdx '' ττ

rr= e, moltiplicando entrambi i membri per

iτr

, si ha: il

li dxdx ττrr

⋅= '' , ma è anche vero che (come per le (2.14)): ll

ii dx

xxdx ''∂

∂= ; segue

che: ill

i

xx

ττrr

⋅=∂∂ '

', ossia:

l

i

il xx'

'∂∂

= ττrr

(2.16)

e la (2.16) è l’equazione per il cambiamento di base. Legge di trasformazione delle componenti di un 4-vettore: sia i

iVV τrr

= un generico vettore espresso con le coordinate curvilinee nella base iτr

; nella

base l'τr si avrà invece: l

lVV '' τrr

= e, per la (2.16):

ii

il

il

ll V

xxVVV τττ

rrrr=

∂∂

=='

''' , con:

l

ili

xxVV'

'∂∂

= (2.17)

che è la equazione di trasformazione delle componenti di un 4-vettore per cambiamento di

base. Banalmente, la sua inversa è: l

ili

xxVV

∂∂

=''

------------------

Legge di trasformazione delle componenti di un 4-tensore: nell’App. 1 sulla Relatività Ristretta abbiamo ricordato che si ottiene un tensore T di rango n quando moltiplico tra loro le componenti di n vettori. Si abbiano dunque due vettori V ed S: (dove stiamo contemporaneamente ricordando come si trasformano le loro componenti)

ν

µνµ

xxVV

∂∂

='' e σ

λσλ

xxSS

∂∂

='' >>>>

µλσ

λ

ν

µνσ

σ

λ

ν

µσν

σ

λσ

ν

µνλµµλ '''''''''' T

xx

xxT

xx

xxSV

xxS

xxVSVT =

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

== ed ecco come si

trasformano le componenti di un tensore di rango 2. Si procede poi similmente per tensori di rango superiore. derivazione di un 4-vettore: si abbia un 4-vettore: µ

µτrr

VV = ; deriviamolo:

νσσ

µµ

µ

µ

ττ

dxdV

dxdV

dxVd r

rr

+= , (2.18)

gli indici cambiano da un termine all’altro, perchè essi variano su quattro valori e non devono necessariamente essere contemporaneamente gli stessi nei vari termini. Moltiplichiamo ora il secondo membro della (2.18) per la quantità unitaria µ

µ ττrr

⋅

µµ

νσσ

µ

µ

µ τττ rrrr

][dxdV

dxdV

dxVd

+= ; bene, la quantità tra le quadre è la derivate covariante ed è

un tensore, per quanto finora detto: µ

νσσ

µ

µµ

νσσ

µ

µµν τ

τΓ+=+= V

dxdV

dxdV

dxdVV r

r

; (derivata covariante) (2.19)

con i µ

νσΓ detti Simboli di Christoffel (connessione affine) e già introdotti con la (1.30). Inoltre, per il sistema (2.13), potremmo scrivere, più in forma vettoriale compendiosa, che

µ

α

αα

µξ

ητx∂

∂= ∑ )(r , da cui una forma duale per la quaterna reciproca µτ

r (tale che, per def.

di reciprocità: νµν

µ δττ =rr

): α

µ

µµ

µ

ξητ

∂∂

= ∑ x)(r e dunque il coefficiente µνσΓ nella (2.19)

possiamo anche esprimerlo nel seguente modo:

α

µ

νσ

α

µαα

µ

µσ

α

ανµ

νσµ

νσ ξξ

ηηξ

ηξ

ηττ

∂∂

∂∂∂

=∂∂

∂∂

==Γx

xxx

xdxd

dxd 2

)(rr

, che, inserito nella (2.19), può essere

anche scritto in modo più semplice, senza i coefficienti unitari η:

α

µ

νσ

αµ

νσ ξξ

∂∂

∂∂∂

=Γx

xx

2

(2.20)

Poi, già nell’App. 1 sulla Relatività Ristretta, abbiamo ricordato che una tale derivata (di un vettore) dà un tensore. Si vede poi che tale derivata è un tensore (di rango 2) già solo per il fatto che gli addendi che la compongono contengono due indici, appunto come un tensore 2. Inoltre, la (1.30) del capitolo precedente sulla Geometria è un esempio di derivata di un vettore (versore) che appare appunto come tensore 2.

derivazione di un tensore:

si ha che: µσλρ

µσλ

σρν

νσλ

µρν

µσλρ

µσρλ k

k TTTTx

T Γ−Γ+Γ+∂∂

=; (2.21)

infatti ( µσλT sono solo le componenti, senza “versori” e inoltre 1== µ

µµ

µ δττrr

):

T(tensore)= λσµ

µσλ τττ

rrrT , da cui:

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂ )()()()())(()( σ

σλ

µνρµν

λµ

µλ

σνρνσλ

λσµ

µσλρ

λσµ

µσλρ ττττττττττττττττ

rrrrrrrrrrrrrrrr

xT

xTT

xT

x

µσρλ

µσλρ

µσλ

σρν

νσλ

µρν

µσλρ

λλσµρ

µσ τττττ ;)()( TTTTTxx

T kkk

k =Γ−Γ+Γ+∂∂

=∂∂

−rrrrr cvd.

(in quanto : νµ

ν

µµ

νµ

ν

τττ

τδττ

xxxxk

kkk ∂∂

+∂∂

==∂∂

=∂∂

rrr

rrr 0 , da cui: ν

µν

µ τττ

τxx

kk ∂

∂−=

∂∂

rrr

r )

Par. 2.3: Sulla Trasformazione di Lorentz in Relatività Generale. Riprendiamo un attimo la (2.9), dove sappiamo dall’App. 1 sulla Relatività Ristretta che

2τd è Lorentz invariante: δγ

γδδγ

δ

β

γ

α

αββα

αβ ηηητ dxdxdxdxxx

xxdxdxd −=

∂∂

∂∂

−=−=''''2 , con:

δ

β

γ

α

αβγδ ηηxx

xx

∂∂

∂∂

='' (2.22)

Differenziamo ora la (2.22) rispetto ad εx :

εδ

β

γ

α

αβδ

β

εγ

α

αβ ηηxx

xxx

xx

xxx

∂∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

=''''0

22

; ora, sommiamo a quest’ultima la stessa con γ ed ε

scambiati e poi sottraiamo sempre la stessa con ε e δ scambiati, ottenendo:

δ

β

εγ

α

αβηxx

xxx

∂∂

∂∂∂

=''20

2

>>>>> 0'2

=∂∂

∂εγ

α

xxx , la cui soluzione è:

αβαβ

α axx +Λ=' (Trasformazioni di Lorentz) (2.23)

Questa, unitamente alla (2.22), fornisce: βδ

αγαβδ

β

γ

α

αβγδ ηηη ΛΛ=∂∂

∂∂

=xx

xx '' .

Inoltre, la (2.23) in forma differenziale è: γαγ

α dxdx Λ=' . (2.24)

Valutiamo ora gli elementi della matrice di Lorentz (o del tensore di Lorentz) αβΛ :

Dalle Trasformazioni di Lorentz (A1.8) in App. 1, abbiamo che (// e ⊥ si riferiscono alla direzione di moto):

)(' //// tVxxrrr

−= γ , ⊥⊥ = xx rr' , )(' 2cxVttrr

⋅−= γ ; inoltre, ovviamente, si ha che:

2// )(VVVxxr

rrr⋅= e //xxx rrr

−=⊥ , sicchè:

tVVVVxxx

rr

rrrrγγ −⋅−+= 2))(1(' e (2.25)

)(' 2cxVttrr

⋅−= γ

mentre per la (2.24), si ha: ββ dxdx ii Λ=' , da cui, lasciando l’alfabeto comune (i,j ecc) per le

tre componenti spaziali, 0 come quarto coefficiente temporale e quello greco per tutto:

00' dxdxdx iji

ji Λ+Λ= (per la (2.24)) (2.26)

02

1))(1(' dxVcV

VVxddxdx ii

ii γγ +⋅−+=rr (per le (2.25)) (2.27)

(qui l’ultimo termine ha segno + e non – perché cdtdx −=0 ) Dal confronto tra le (2.26) e (2.27), si ha:

ii Vc1

0 γ+=Λ e jii

jij VV

V 2)1( −

+=Λγ

δ , e facendo nostra la normalizzazione c=1, per

emplificare un po’ le espressioni:

ii Vγ+=Λ0 e jii

jij VV

V 2)1( −

+=Λγ

δ (Tensore di Lorentz)

dove il prodotto Vxd

rr⋅ della (2.27) ha reso solo la componente j

jVdx nella (2.26), in

quanto nella (2.26) compariva solo jdx . Se la T. di Lorentz diretta è data dalla (2.24): γα

γα dxdx Λ=' quella inversa, evidentemente, la

indichiamo così: αλα

γ '' dxdx Λ= . Allora, come del resto vedemmo anche in App. 1 sulla Relarività Ristretta, non solo le componenti spaziali (x) e temporali (ct) si possono trasformare con Lorentz, ma anche i quadrivettori ed i quadritensori lo fanno:

βαβ

α VV Λ=' δ

εξξβ

εα

γδ

γαβ TT ΛΛΛ=' (ricordando che le componenti di un tensore si ottengono moltiplicando

quelle dei vettori) Par. 2.4: Il 4-vettore Momento-Energia ed il Tensore Momento-Energia. premessa sulla Delta di Dirac: per definizione, la Delta di Dirac deve soddisfare la seguente equazione:

xdyxxfyf 33 )()()( ∫ −=rrrr

δ

Praticamente, messa nell’integrale (che, ricordiamolo, è una sommatoria anch’esso), fornisce sempre la funzione integranda f, ma di altra variabile. Si veda un qualche buon testo sulla trasformata di Fourier per avere utili versioni della Delta di Dirac. premessa su correnti e densità (di materia/energia): se in vari punti )(txn

r ho energia (e dunque anche materia) con densità volumica ]/[ 3mJen , per avere quella totale dovrò ovviamente sommare su n:

∑ −=n

nn txxetx ))((),( 3 rrrδε ,

dove la Delta di Dirac mi garantisce il giusto valore di ne nella sommatoria per ogni posizione )(txn

r.

Per quanto riguarda invece la corrispondente densità di corrente di materia/energia ),( txJ rr, si ha ovviamente:

dttxdtxxetxJ n

nnn

)())((),( 3r

rrrr∑ −= δ

infatti, ]/[ 3mJen moltiplicato per ]/[)( smdt

txd nr

ci dà proprio una corrente di joule al metro

quadro.

In componenti: dt

tdxtxxexJ n

nnn

)())(()( 3α

α δ∑ −=rr

e, ovviamente: ε=0J e cttxn =)(0 .

Ora, la sommatoria è sui punti n; per avere il totale, bisogna integrare anche sul tempo:

')'())'((')())'((')( 4

dttdxtxxedtxJtxxdtxJ n

nnnn

ααα δδ ∑∫∫ −=−= ; moltiplicando ora numeratore e

denominatore per c, visto che il “de” tempo proprio è 'cdtd =τ , avremo:

ττ

τδτα

α

ddxxxedxJ n

nnn

)())(()( 4∑∫ −=

)(xJ α è un 4-vettore, perchè tale è ττα

ddxn )(

.

Inoltre, =−∂∂

−=−∂∂

=⋅∇ ∑∑ dttdxtxx

xe

dttdxtxx

xetxJ

in

nni

nn

in

nnin

)())(()())((),( 33 rrrrrrrδδ

),())((3 txt

txxt

en

nnrrr

εδ∂∂

−=−∂∂

−= ∑ . Portando ora ),( txt

rε

∂∂

− insieme con ),( txJ rrr⋅∇ , avremo

la quadridivergenza (vedi anche App.1):

0)( =∂∂ xJx

αα (è evidente l’invarianza su Lorentz). (2.28)

Inoltre, ),()()( 303 txxdxJxdenergmatQ rε∫∫ ⋅==−

------------------ il 4-vettore momento-energia: Già è stato trattato, tale vettore, nell’ambito della Relatività Ristretta (App. 1).

Ovviamente,τ

αα

ddxmp 0= ;poi α

αα

ττf

dxdm

ddp

== 2

2

0 e

γτ dtdtcVxddtcd =−=−= 2/1222/1222 )1()(rr

da cui, per la componente tridimensionale e per quella temporale:

Vmprr

γ0= e cmcEp γ000 == e quindi: (2.29)

τ

ββ

ddxcEp )( 2

0= . (2.30)

Ovviamente, per Lorentz: βαβ

α pp Λ=' .

(*): In realtà considereremo la massa m come massa riferita unità di volume [kg/m3]

il TENSORE momento-energia:

∑ −=n

nn txxtptxT ))(()(),( 30 rrrδαα (“0” è la componente temporale) (2.31)

∑ −=n

n

in

ni txx

dttdxtptxT ))(()()(),( 3 rrr

δαα (“i” fa invece riferimento alle tre componenti spaziali)

e, nell’insieme, in modo più compendioso:

∑ −=n

nn

n txxdt

tdxtpxT ))(()()()( 3 rrδ

βααβ ( cttxn =)(0 ) (2.32)

La prima è effettivamente un momento (p) e la seconda è effettivamente un’energia (p x v). Come in precedenza, si è sommato sulle particelle n. (Sommando poi anche sul tempo, si avrebbe, anche qui dopo aver moltiplicato numeratore

e denominatore per c: ∑∫ −=n

nn

n xxddxpdT ))((4 τδ

ττ

βααβ )

Ora, la (2.32), tramite la (2.30), diventa:

∑ −=n

nn

nn txxcE

ppxT ))(()/(

)( 32

rrδ

βααβ

Si nota la simmetria )()( xTxT βααβ = ; inoltre, )(xT αβ è un tensore e, come tale, per Lorentz, si trasforma come segue:

γδβδ

αγ

αβ TT ΛΛ=' . (2.33)

Inoltre, proprio come fatto in precedenza per giungere alla (2.28), tramite la quadri divergenza, si ha:

=−∂∂

−=−∂∂

=∂∂ ∑∑

nni

n

in

nn

ni

in

ni

i txxxdt

tdxtptxxxdt

tdxtptxTx

))(()()())(()()(),( 33 rrrrrδδ ααα

∑∑ −+∂∂

−=−∂∂

−=n

nn

nnn txx

dttdptxT

ttxx

ttp ))(()(),())(()( 303 rrrrr

δδα

αα

in quanto ),(0 txTt

rα

∂∂ nell’ultima riga si compone appunto, per la regola della derivazione di

un prodotto, dei due termini che ha a destra ed a sinistra.

Dunque, ),())(()( 30 txGtxxdt

tdpTx

Tt

Tx n

nni

i

rrr αα

αββ

αα δ =−=∂∂

=∂∂

+∂∂ ∑ , ossia:

ααββ GT

x=

∂∂ , con:

∑∑∑ −=−=−=n

nnn

nn

nn

n txxtfdtdtxx

ddp

dtdtxx

dttdptxG ))(()())(()())(()(),( 333 rrrrrrr

δτ

δτττ

δ ααα

α

dove τ

αα

ddpf n

n = è ovviamente una forza.

Se le particelle sono libere, allora constpn =α e dunque >>>> 0=∂∂ αβ

β Tx

!!!

Par. 2.5: Idrodinamica relativistica. E’ ora molto importante dare una forma al tensore momento-energia αβT , in quanto vedremo che, nel limite newtoniano della gravitazione relativistica, una sua componente compare )( 00T , suggerendoci così di coinvolgere, quando si esce dalla situazione limite, appunto tutto αβT . Per semplicità, considereremo ora c=1 (normalizzazione). Vediamo ora che βααβαβ ρη UUppT )( ++= e, per campi di intensità qualsiasi:

νµµνµν ρ UUppgT )( ++= (c=1) (2.34) dimostrazione: denotiamo co simbolo ~ le grandezze che si riferiscono ad un sistema in quiete; inoltre, dalla (2.32) si evince che, a secondo membro, vi è un prodotto di una quantità di moto [(kg/m3)(m/s)] per una velocità [(m/s)] (ricordare l’osservazione (*) a pag. 26) e dunque: massa x velocità x velocità (=J) fratto m3, cioè una pressione p. (2.35) Quando poi la quantità dx/dt=d(ct)/dt=c è quella corrispondente all’indice zero, come per la (2.31), allora si avrà a secondo membro il prodotto p0 (mc, vedi la (2.29)) per c, ma per l’osservazione (*) di pag. 26, m è una ρ e dunque si ha un ρc2. Riassumendo:

ijij pT δ=~ ][Pa , 0~~ 00 == ii TT , ρ=00~T , ossia ( 2cρ con c=1 ][Pa ) (2.36) Essendo ora T un tensore, trasformiamolo secondo Lorentz, in accordo con la (2.33), per ottenere i suoi valori per un sistema generico, ossia non in quiete:

γδβδ

αγ

αβ TT ~ΛΛ= ; si otterrà: (

222 11

)(11

VcV −=

−=γ , con c=1)

jiijij VVppT 2)( γρδ ++=

ii VpT 20 )( γρ+=

)( 2200 ργ += pVT infatti, tenendo conto che, per il Tensore di Lorentz, si ha:

γ=Λ00 , ii Vγ=Λ0 ( iV

c1

γ con c=1), ii Vγ=Λ0 ( iVc1

γ con c=1), jii

jij VV

V 2)1( −

+=Λγ

δ , segue che:

)(])([)~(~~ 22222000000

00

0000 pVpVTTTTi

i

i

iiii +=+=ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ∑∑ ργγργγδ

δγ

=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+=ΛΛ+=ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ∑ )()(~~~ 000202000000

00l

ilk

iki

ii

i

jj

ij

ijjj

ij

iii pVpVTTTT ργργγδδγ

(k,l ≠ 0,i e j può valere i, oppure k,l)

+−

+−

++= kkiiii VV

VVVV

VpV γγ

γγ

ργ ))1())1()(1[( 2222

=−

+−

+−

++=−

+ )])1()())1()())1()([]))1(2

22

22

222 V

VVV

VVV

VVVpVVV

VV likiiiiilli γγ

γγ

γγγργγ

γ

)(

)1(])()()[()1(

2

22222

2

ργ

γγγργγ

γγργ

+=

=−++=++−

++=

pV

VpVpVVVVV

VpVpV

i

iiilkiiii

Invece, per il calcolo di ijT , separiamo i due casi: (i=j e i ≠ j)

+−

++=≠=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= pV

VVilkTTTTTT iillil

il

kkik

ik

iiii

ii

iiiiii 22

2220000 ])1()(1[)(),(~~~~~ γ

ργγδδγ

+++−

++=−

+−

+ ])()()[()1()()(])1([])1([ 2224

22222

22

2lkiiiliki VVV

VVppVp

VVVp

VVV γ

ργγγ

++=−

+−

++=−

+ ργγγ

ργγ 22

22

2

2222

22 )()1()(2)1()()()1()(2 iiiii Vp

VVp

VVppV

VVp

=++=−++=+−−

+ 222222

222

22 )()()1()()()21()1()( γργγργγ

γ iii

ii VpVpVVpVp

VVp

)()( 22 ργ ++= pVp i . (poichè 22

2

2

2 )1(γ

γγ==

−cV

se c=1)

Nel caso invece di i ≠ j: +=≠=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ργγδ

δγjikkj

kik

jjjj

ij

iiji

ii

jijiij VVjikTTTTTT 20000 ),(~~~~~

+−

+−

+−−

++ ])1()(1][)1([])1(][)1()(1[ 22

2222

VV

VVVp

VVV

VVp jjijii γγγγ

+−

+−

+=−

+−

+ == 4

22

22

2)0(2)0()1()()1(])1(][)1([

VVVVp

VVpVVV

VVV

VVVp jiijijikjjkkiik γγ

ργγ

δγ

δ

+−

+=−

+−

+−

+ 22

4

22

4

22

2)1(2)1()()1()()1(

VVpVVV

VVVVp

VVVVp

VVpV jijijikjijji γ

ργγγγ

=−

+−

+=++−

+ 2

2

22222

4

2 )1()1(2])()()[()1(V

VpVV

VpVVVVVVV

VpV jijijikjiji γγργ

γ

)()12()1( 22

2 ργγγ

ργ +=−+−

+= pVVV

VpVVV jijiji (poichè 22

2

2

2 )1(γ

γγ==

−cV

se c=1).

In totale:

2)( γρδ jiijij VVppT ++= (per le componenti spaziali) βααβαβ ρη UUppT )( ++= (per tutte e 4 le componenti, ma in campi deboli ( αβη ))

dove ìii

i Vdtdx

ddxU γγ

τ=== e cU γ=0 .

Per ultimo, per campi gravitazionali qualsiasi ( αβη >>>> αβg ): νµµνµν ρ UUppgT )( ++= (c=1) cvd.

Par. 2.6: L’Equazione della geodetica. Un paracadutista in caduta libera non ha un pavimento su cui il suo corpo può gravare, dunque lui, tra sé e sé, non avverte accelerazione di gravità, e si sente come sospeso nel vuoto e si accorge che sta cadendo solo se guarda gli altri oggetti attorno che si muovono. Per una particella in caduta libera, dunque, vi è ovviamente un sistema di riferimento in cui 0=ar , ossia:

02

2

=∂∂

τξ α

(caduta libera in coordinate euclidee) (2.37)

con kiik ddd ξξητ −=2 .

Possiamo però vedere la (2.37) nel seguente modo:

ττξ

τξ

τξ

ττξ νµ

νµ

αµ

µ

αµ

µ

αα

ddx

ddx

xxdxd

xddx

xdd

∂∂∂

+∂∂

=∂∂

==∂∂ 2

2

2

2

2

)(0

Moltiplichiamo ora entrambi i membri per α

λ

ξ∂∂x e teniamo conto del fatto che:

λµα

λ

µ

α

δξ

ξ=

∂∂

∂∂ x

x si avrà:

02

2

=Γ+τττ

νµλµν

λ

ddx

ddx

dxd (caduta libera in coordinate curvilinee) (2.38)

(equazione della geodetica, dove geodetica, qui sulla Terra, è la rotta minima tra una località e l’altra)

con α

λ

νµ

αλµν ξ

ξ∂∂

∂∂∂

=Γx

xx

2

.

Par. 2.7: La relazione tra µνg e λ

µνΓ .

Già ricavammo tale relazione in un contesto tutto geometrico (vedere la (1.35)). Ricaviamo ora la stessa relazione partendo da un calcolo diretto:

Sappiamo già che: ν

β

µ

α

αβµνξξ

ηxx

g∂∂

∂∂

= ; applichiamo ora a quest’ultima λx∂∂ :

αβνλ

β

µ

α

αβν

β

µλ

α

λµν η

ξξη

ξξxxxxxxx

g∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂∂

=∂∂ 22

; ricordando ora che λ

αλµννµ

α ξξxxx ∂

∂Γ=

∂∂∂2

segue che:

ρµρ

λνρνρ

λµαβρ

α

µ

αρλναβν

β

ρ

αρλµλ

µν ηξξ

ηξξ gg

xxxxxg

Γ+Γ=∂∂

∂∂

Γ+∂∂

∂∂

Γ=∂∂

(2.39)

Similmente, si calcolano poi µλν

xg

∂∂ e ν

µλ

xg

∂∂

, da cui:

kkg

xg

xg

xg

λµννµλ

µλν

λµν Γ=

∂∂

−∂∂

+∂∂

2 ; definendo ora una matrice (o tensore) reciproco νσg tale che:

σν

νσ δkkgg = , si avrà, dunque:

)(21

νµλ

µλν

λµννσσ

λµ xg

xg

xg

g∂∂

−∂∂

+∂∂

=Γ , (2.40)

esattamente ciò che ottenemmo in ambito puramente geometrico appunto nel Capitolo 1. Par. 2.8: Il limite Newtoniano. Sappiamo che nel limite newtoniano (V<<c): 2222222222 dtcdtVdtcxddtcd ≅−=−=

rrτ

Ciò equivale a dire che cdtctddtdxddxddxdtdxV iiì ==∝<<∝= /)(//// 00 ττ , ossia appunto: ττ ddxddxi // 0<< .

Con ciò, la (2.38) diviene: 0)( 2002

2

=Γ+ττ

µµ

ddt

dxd (con la convenzione c=1); inoltre, essendo,

in tale limite, il campo stazionario, µνg tende a µνη (cost) e allora le derivate temporali di

µνg sono nulle e allora, per la (2.40):

νµνµ

xgg

∂∂

−=Γ 0000 2

1 e αβαβαβ η hg += , con 1<<αβh e quindi: βαβα η

xh

∂∂

−=Γ 0000 2

1 e:

0)(21

002

2

2

=∇= hddt

dxd

ττ

r da cui:

021

002

2

=∇= hdt

xd r e (2.41)

02

2

=τd

td da cui: Cddt

=τ

.

Ora, sappiamo dalla gravitazione di Newton che: rr

mMGam ˆ2−=r , da cui: r

rGMa ˆ2−=

r , ma:

φ∇=−∇= )(ˆ2 rGMr

rGM (con

rGM

−=φ ) e quindi: φ−∇== 2

2

dtxdar

re da quest’ultima con la

(2.41), emerge che: consth +−= φ200 ; visto che all’infinito 000 == φh , allora const=0 e:

)21(21000000 φφη +−=−−=+= hg (2.42) equazione di Poisson: definiamo ora, con ovvietà, il flusso del vettore accelerazione ar :

)(arΦ ; si ha: Ω−=−=−=⋅−=⋅=Φ GMdr

dSGMdSr

GMdSurr

GMSdaad n222 cosˆˆ)( θ

rrr, da cui:

GMdGMSdaaS

π4)( −=Ω−=⋅=Φ ∫∫rrr

, ma: dVzyxMV∫= ),,(ρ , da cui:

dVaDivofTheoremforSdadVzyxGa

VSV ∫∫∫ ⋅∇==⋅=−=Φrrrrr .___),,(4)( ρπ , e cioè:

),,(4 zyxGa ρπ−=⋅∇rr

Adesso, visto che si ha dall’analisi matematica che 2

ˆ)1(

rr

r−=∇

r, allora: ar−=∇φ e quindi:

ρπφφ G42 =∇=∆ (Equazione di Poisson) (2.43) Par. 2.9: Il Tensore di Curvatura di Riemann-Christoffel.

Al paragrafo 2.7 abbiamo dimostrato che )(21

νµλ

µλν

λµννσσ

λµ xg

xg

xg

g∂∂

−∂∂

+∂∂

=Γ , e cioè

esattamente ciò che ottenemmo al Cap. 1 , con la (1.35), in chiave puramente geometrica. Ora, sarebbe possibile, sebbene in forma un po’ ampollosa, esplicitare la forma del tensore di curvatura di Riemamm-Christoffel tramite calcoli diretti, puramente matematici, proprio in analogia col Par. 2.7, ma si ottiene appunto quanto ottenuto al Cap. 1 con la (1.41), che qui riportiamo, ottenuta in chiave più prettamente geometrica e dove useremo lettere greche per gli indici, per denotare che parliamo qui di campi gravitazionali di intensità qualsiasi e ricordando altresì che qui tali indici sono a quattro valori (spazio-tempo), tre spaziali ed uno temporale:

λνη

ηµ

λη

ηµνν

λµ

λµνλ

νηηµ

λη

ηµνν

λµ

λµν

λµν ΓΓ−ΓΓ+

∂Γ∂

−∂Γ∂

=ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= kkk

kkkkkk xxR )()( (2.43)

e anche kk RgR λµνλσσ

µν = da cui pure: σµνλσλµν kk RgR = e ricordando l’espressione (2.40) per

cabΓ :

+∂∂

−∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂

∂∂

== )]([21)]([

21

ρµ

µρρµσρ

νλσρµν

µρν

νρµσρ

λσσµνλσλµν x

gxg

xg

gx

gxg

xg

xg

gx

gRgR kkkkkk

][ σνη

ηµ

ση

ηµνλσ ΓΓ−ΓΓ+ kkg (2.44)

Ora, sappiamo che ρλ

σρλσ δ=gg , da cui: 0)( =

∂∂ σρ

λσ ggxk e dunque, tenendo anche conto

della (2.39), ossia della seguente: µαµ

µµ kiikjk

ij ggug

Γ+Γ=∂∂

si ha:

)( ηλησησ

ηλ

σρλσ

σρσρλσ gggg

xgg

xg kkkk Γ+Γ−=

∂∂

−=∂∂ (2.45)

dove è stato ovviamente effettuato un piccolo aggiustamento degli indici, che, ricordiamolo, hanno una valenza di genericità, ossia, poco importa se uso j o k; è importante che essi varino su quattro valori, come ormai sappiamo, e che la loro ripetizione sia coerente. Ritornando alla (2.44), la stessa diventa, grazie alla (2.45):

+ΓΓ+Γ+ΓΓ+Γ−∂∂

∂+

∂∂∂

−∂∂

∂−

∂∂∂

= σµηλ

ηνσησ

ηνλ

σµνηλ

ησησ

ηλλν

µµν

λλ

µνµ

λνλµν kkk

kkkkk gggg

xxg

xxg

xxg

xxgR ][][)][

21 2222

][ σ

νηηµ

ση

ηµνλσ ΓΓ−ΓΓ+ kkg e cioè:

][)][21 2222

σµν

ηλ

σµ

ηνλησλν

µµν

λλ

µνµ

λνλµν ΓΓ−ΓΓ+

∂∂∂

+∂∂

∂−

∂∂∂

−∂∂

∂= kk

kkkkk g

xxg

xxg

xxg

xxgR (2.46)

Come, del resto, abbiamo fatto anche alla fine del Par. 1.3, deduciamo tre proprietà del tensore kRλµν , che sono di verifica diretta:

-Simmetria λµνλµν kk RR =

-Antisimmetria νµλνλµµλνλµν kkkk RRRR =−=−=

-Ciclicità 0=++ µλνµνλλµν kkk RRR

Il tensore di Ricci:

kk RgR λµνλν

µ = ( µµ kk RR = ) (2.47)

e si verifica direttamente che: νµλλν

νλµλν

µλνλν

µ kkkk RgRgRgR +=−=−=

E’ poi palese la parentela strettissima di tale tensore con la curvatura di Gauss (vedi la (1.40), bidimensionale), da cui appunto il nome di tensore di curvatura. L’Identità di Bianchi: ponendoci in un sistema di coordinate localmente inerziale (campo gravitazionale non forte) i vari c

abΓ sono nulli; infatti, la differenza tra l’equazione della geodetica in uno spazio euclideo (2.37) e quella di uno spazio fortemente incurvato dalla gravità, ossia la (2.38),

sta proprio nella comparsa di un cabΓ . In un sistema di coordinate localmente inerziale,

dunque, la (2.46) fornisce (derivazione ;η espressa dalla presenza di ηx∂∂ ):

)][21 2222

; λνµ

µνλ

λµν

µλν

ηηλµν xxg

xxg

xxg

xxg

xR kk

kkk ∂∂∂

+∂∂

∂−

∂∂∂

−∂∂

∂∂∂

= (2.48)

e quindi, per verifica diretta, si ha che:

0;;; =++ νηλµλµηνηλµν kkk RRR

Contraendo (moltiplicando con), in quest’ultima, νλ, con λνg , si ha: 0;;; =+− ν

νηµµηηµ kkk RRR e, contraendo ancora:

0;;; =−− ν

νηµ

µηη RRR che equivale a scrivere anche (gli ultimi due termini sono simili:

2x >>> 1/2):

0)21( ; =− µ

µη

µη δ RR e 0)

21( ; =− µ

µνµν RgR (2.49)

Capitolo 3: Le Equazioni del Campo Gravitazionale di Einstein. Par. 3.1: Le dieci Equazioni del Campo Gravitazionale di Einstein. Si tratta di 16 equazioni, in realtà, in quanto le stesse contengono tensori di rango 2, ossia a due indici, ognuno dei quali può assumere 4 valori, e dunque 4x4=16, ma tali equazioni non sono tutte linearmente indipendenti tra loro, ossia contengono dei doppioni, e quelle indipendenti sono appunto dieci. Sappiamo dalla (2.42) che )21(00 φ+−=g (punto di contatto con la teoria di Newton e base di partenza), mentre dalle (2.36) sappiamo che, per materia non relativistica:

ρρ == 200 cT (con normalizzazione c=1); si ha poi che:

0022

002

00 882)]21([ GTGgg πρπφφ −=−=∇−=+−∇=∇=∆ ossia:

00002 8 GTg π−=∇ ; possiamo quindi, per estensione, suopporre che valga un’eguaglianza

del tipo: αβαβ πGTG 8−= e, per campi gravitazionali di intensità qualsiasi:

µνµν πGTG 8−=

Deduciamo ora cinque particolarità che µνG deve evidentemente avere:

A)per definizione, µνG è un tensore, visto che il tensore momento-energia µνT lo è

B) µνG consiste di termini con derivate seconde del tensore metrico (ciò guardando 002g∇ )

C) µνG è simmetrico come µνT

D)siccome µνT è conservato ( 0; =µµνT ) allora anche µνG e simili lo sono ( 0; =µµνG )

E)per campi stazionari deboli, non relativistici, si ha: 002gG ∇=µν

A e B vogliono che µνG sia proporzionale al tensore di curvatura (2.46) o meglio la (2.48),

palesemente composto da derivate seconde del tensore metrico. Inoltre, la simmetria degli indici vuole che il tensore di curvatura sia rappresentato dal tensore di Ricci µµ kk RR = e dall’altrettanto simmetrico µ

µRR = (vedi paragrafo sul tensore

di Ricci): RgCRCG µνµνµν 21 += (3.1)

ma, con le (2.49), abbiamo anche visto che:

0)21( ; =− µ

µν

µν δ RR , da cui: νµ

µν

µµν δ ;;; 2

121 RRR == ; moltiplichiamo ora la (3.1) per µµg :

µν

µν

µν RgCRCG 21 += e νννν

µµν

µµν ;2

1;2;

1;2;1; )

2(

2RCCRCRCRCRCG +=+=+=

Per la particolarità D, o 2

12

CC −= o 0; =νR ; la seconda è da escludere poiché:

µµ

µνµν

µµ πGTRCCRCggCG 8)4()( 2121 −=+=+= , quindi, se ν

ν xRR ∂∂=; si annulla,

altrettanto deve accadere a νµµ xT ∂∂ , ma noi non siamo ancora nel caso di materia non

relativistica.

Allora: )21(1 RgRCG µνµνµν −= (3.2)

Ora, grazie alla particolarità E, calcoliamo C1: per sistemi non relativistici, si ha sempre:

00TTij << , ossia: 00GGij << , da cui, per la (3.2) qui sopra: RgR ijij 21

≅ ; inoltre, αβαβ η≅g

(tensore di Minkowski) e dunque: RRkk 23

≅ e 200RR ≅ .

La (3.2) con 0==νµ ( 0000 η≅g ) fornisce:

0010000100 2)2)1(21( RCRRCG =−−= ; inoltre, per campi deboli possiamo scrivere (vedi la

(2.46) con cabΓ =0 o direttamente la (2.48)):

)][21 2222

λνµ

µνλ

λµν

µλν

λµν xxg

xxg

xxg

xxgR kk

kkk ∂∂∂

+∂∂

∂−

∂∂∂

−∂∂

∂= e kk RR λµν

λνµ η= ; essendo il campo statico, le

derivate temporali si annullano:

0020000

200

2

0000 210

21)(

21)(

21 g

xxg

xxgRR ji

ij ∇=−∂∂

∂=

∂∂∂

== ηηηη λνλν

νλλν , da cui:

002

1002

100 212 gCgCG ∇=∇= , da cui ( 11 =C ) RgRG µνµνµν 2

1−= e quindi:

µνµνµν πGTRgR 821

−=− (3.3)

che sono le equazioni del campo gravitazionale di Einstein, che riscriviamo:

µνµνµν πGTRgR 821

−=−

che ci dicono che la curvatura ( RR ,µν∝ ) dello spazio-tempo è uguale alla presenza di

materia-energia ( µνT∝ ) nello stesso!!!

Contraendo ora con µνg , si ha: µµπGTRR 82 −=− , ossia µ

µπGTR 8= e quindi:

)21(8 λ

λµνµνµν π TgTGR −−= (altra forma delle equazioni di Einstein).

Nel vuoto, f(T)=0 e quindi 0=µνR .

Capitolo 4: Tests classici della teoria di Einstein. Par. 4.1: La metrica. Si abbia sempre c=1, come convenzione semplificatrice. Definiamo un tensore metrico generale, per cui un campo gravitazionale sia statico e isotropico; statico significa che il tensore metrico non dipende dal tempo, riguardo la sua forma e le sue caratteristiche, con chiaro riferimento ai coefficienti. Isotropico significa che vi è dipendenza dagli invarianti irrotazionali; sappiamo infatti che la norma di un vettore ed il prodotto scalare tra due vettori sono invarianti per rotazione:

22 xx rr= , 2)( xdr

, xdx rr⋅

Tutto ciò per coordinate ortogonali quasi minkowskiane (quasi αβη ) νµ

µντ dxdxgd −=2 , 2222 )())(()(2)( dxrCdxxrDdxdtxrEdtrFd −⋅−⋅−=τ (4.1) 2/1)( xxr rr

⋅= e, in coordinate sferiche:

ϕθ cossin1 rx = ϕθ sinsin2 rx =

θcos3 rx =

)sin)(())(()(2)( 2222222222 ϕθθτ drdrdrrCdrrDrdtdrrrEdtrFd ++−−−= Definiamo ora l’applicazione lineare )(' rtt φ+= ed eliminiamo gli elementi non diagonali (misti) ponendo:

)()(

rFrrE

drd

−=φ

; esiste una rototraslazione/applicazione lineare che mi riduce a forma

canonica la forma quadratica qui sopra: )sin)(()(')( 222222222 ϕθθτ drdrdrrCdrrGdtrFd ++−−= , con:

))()()(()(

22

rFrErDrrG +=

Definiamo 22 )(' rrCr = ; otteniamo allora la forma standard: )sin('')'(')'( 2222222 ϕθθτ ddrdrrAdtrBd +−−= (4.2)

con )()'( rFrB = 2))()(2

1)()()(1()'( −++=

drrdC

rCr

rGrCrA

A noi interessa dunque la forma standard (4.2):

x

X2

z θ

φ

P(r, θ, φ)

x1

X3

rr

rdθ

dr

ϕθdr sin

)sin()()( 2222222 ϕθθτ ddrdrrAdtrBd +−−= e dal confronto con l’espressione generale della metrica (2.9), si evince che: )(rAgrr = , 2rg =θθ , θϕϕ

22 sinrg = , )(rBgtt −= e siccome

µνg è ortogonale, si ha che: )(1 rAg rr −= , 2−= rgθθ , θϕϕ 22 sin −−= rg , )(1 rBg tt −−= .

Sapendo poi che, per la (2.40): )(21

ρµν

µρν

νρµλρλ

µν xg

xg

xg

g∂∂

−∂∂

+∂∂

=Γ , emerge che le sole

quantità non nulle sono:

drrdA

rArrr

)()(2

1=Γ ,

)(rArr −=Γθθ ,

)(sin 2

rArr θ

ϕϕ −=Γ , dr

rdBrA

rtt

)()(2

1=Γ ,

rrr1

=Γ=Γ θθ

θθ ,

θθθϕϕ cossin−=Γ ,

rrr1

=Γ=Γ ϕϕ

ϕϕ , θϕ

ϕθϕθϕ cot=Γ=Γ ,

drrdB

rBtrt

ttr

)()(2

1=Γ=Γ .

Calcoliamo ora il tensore di Ricci ( νλ = in λµνkR della (2.43)):

λλη

ηµ

λη

ηµλλ

λµ

λµλ

µ ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂

−∂Γ∂

= kkk

kk xxR e ricordiamo che kx∂

Γ∂ λµλ è simmetrico su µ e k , anche

per eventuale verifica diretta; dunque, in totale, troviamo che:

)()('1)

)()('

)()(')(

)()('(

41

)(2)(''

rArA

rrBrB

rArA

rBrB

rBrBRrr −+−=

)(1)

)()('

)()('(

)(21

rArBrB

rArA

rArR ++−+−=θθ

θθϕϕ θ RR ⋅= 2sin , )()('1)

)()('

)()(')(

)()('(

41

)(2)(''

rArB

rrBrB

rArA

rArB

rArBRtt −++−= , 0=µνR per νµ ≠ .

Par. 4.2: La soluzione di Schwarschild. Sappiamo già che: 22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= Inoltre, nel vuoto 0=µνR , quindi

0=== ttrr RRR θθ ; (4.3) notiamo inoltre che:

)''(1BB

AA

rABR

AR ttrr +−=+ e, per la (4.3), si ha:

BB

AA ''

−= , cioè:

constrBrA =)()( . (4.4)

Poi, per ∞→r , il tensore metrico µνg deve approssimarsi al tensore di Minkowski µνη in

coordinate sferiche, ossia: 1)(lim)(lim == ∞→∞→ rBrA rr , da cui, per la (4.4):

)(1)(rB

rA = e usando quest’ultima nelle espressioni per θθR ed rrR , si ha:

)()('1 rBrrBR ++−=θθ e )(2)('

)()('

)(2)(''

rrBrR

rrBrB

rBrBRrr

θθ=+= ; ponendo 0=θθR si ha:

1)()(')( =+= rBrrBrrBdrd , da cui: constrrrB +=)( .

Inoltre, per ∞→r : φ2100 −−=−== Bggtt → (r

GM−=φ )→

]21[)(r

GMrB −= e 1]21[)( −−=r

GMrA e cioè, infine:

222222122 sin]21[]21[ ϕθθτ drdrdrr

GMdtr

GMd −−−−−= − (4.5)

(Soluzione di Schwarschild) Par. 4.3: Le equazioni generali del moto. Sappiamo dunque che 22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= e teniamo inoltre conto

della equazione della geodetica (2.38): 02

2

=Γ+dpdx

dpdx

dpxd λν

ννλ

µ

(in p generico, per ora): si

ha allora, facendo variare µ :

222

222

2

)()(2)(')(

)(sin)(

)()(

)(2)('0

dpdt

rArB

dpd

rAr

dpd

rAr

dpdr

rArA

dprd

+−−+=ϕθθ

(4.6)

22

2

)(cossin20dpd

dpdr

dpd

rdpd ϕ

θθθθ

−+= (4.7)

dpd

dpd

dpdr

dpd

rdpd θϕ

θϕϕ cot220 2

2

++= (4.8)

dpdr

dpdt

rBrB

dptd

)()('0 2

2

+= (4.9)

Ora, siccome il campo è isotropico, poniamo 2πθ = e dunque le ultime due, (4.8) e (4.9) diventano:

0]ln[ln 2 =+ rdpd

dpd ϕ e 0]ln[ln =+ B

dpdt

dpd , da cui:

Jdpdr =ϕ2 (costante) (4.10)

constBdpdt

= (=1, per scelta) (4.11)

da cui: Bdp

dt 1= . Inserendo ora le (4.10), (4.11) e la condizione ( 2πθ = ) usata prima,

nella (4.6), si ha:

)()(2)('

)()(

)(2)('0 23

22

2

2

rBrArB

rArJ

dpdr

rArA

dprd

+−+= e moltiplicando ora per dpdrrA )(2 :

0])(

1))(([ 2

22 =−+

rBrJ

dpdrrA

dpd cioè:

ErBr

JdpdrrA −=−+

)(1))(( 2

22 (costante) (4.12)

Facendo poi sistema tra la condizione ( 2πθ = ) usata prima, la (4.10), (4.11) e (4.12), si ottiene:

22 Edpd =τ (4.13)

Sappiamo che E=0 per i fotoni e E>0 per particelle materiali. Siccome A(r) è sempre positivo, si ha che la particella può raggiungere r solo se (vedi la (4.12)):

)(1

2

2

rBE

rJ

−≤+ . Usando poi la (4.11) nelle (4.10), (4.12) e (4.13), si ottiene:

)(2 rJBdtdr =ϕ (4.14)

ErBr

Jdtdr

rBrA

−=−+)(

1)()()(

2

22

2 (4.15)

e 222 )( dtrEBd =τ (4.16)

Sappiamo ora che, per campi deboli: φ21 =−B → Jdtdr =ϕ2 e

21

2)(

21

2

22 E

rJ

dtdr −

≅++ φ (4.17)

in quanto: )21()(21

1)(

1φ

φ−−≅≅

+−=− perTaylor

rB

La (4.17) ha una analoga nella meccanica classica di Newton. Per orbite generali, r=r(φ); sappiamo poi che:

Jdpdr =ϕ2

ErBr

JdpdrrA −=−+

)(1))(( 2

22

eliminando dp, si ha: 2222

4 )(11)()(

JE

rBJrddr

rrA

−=−+ϕ

, (4.18)

con soluzione:

∫−−

±=2/1

2222

2/1

)1)(

1(

)(

rJE

rBJr

drrAϕ (4.19)

Par. 4.4: La deflessione della luce da parte del Sole. Fig. 4.1: La deflessione della luce da parte del Sole.

Δφ

)(∞ϕ

γ

)(rϕ

r

b r0

RS

0

0

delSoleS RR = ; b è il parametro d’urto. All’infinito, )()sin( ∞∞ −≅−= ϕϕϕϕ rrb e:

dtdrr

dtdV ≅−=− ∞ )cos( ϕϕ ; V è la velocità di moto (costante). Essendo all’infinito A=B=1,

inserendo queste due relazioni nelle (4.14) e (4.15), si ha:

bVJ = ed (4.20) 21 VE −= (4.21)

La (4.21) è banale; per ottenere invece la (4.20), osserviamo che:

)( ∞−≅ ϕϕrb , da cui: ϕϕϕ rddr +−= ∞ )(0 , da cui: JbVrdtdr

dtdr ==−−= ∞ )(2 ϕϕϕ

Per 0rr = si ha che 0/ =ϕddr e la (4.18) allora diviene: 2/12

00 )1

)(1( VrB

rJ +−= e la (4.19)

diviene, con facili passaggi:

∫∞

− −+−+−+∞=

r

rV

rBV

rBrr

drrAr2/1

212

0

22

0

2

2/1

]1)1)(

1)(1)(

1(1[

)()()( ϕϕ (4.22)

La variazione totale di φ è: ∞− ϕϕ )(2 0r , mentre se il raggio di luce procedesse indisturbato, si avrebbe una variazione pari a π , quindi, con riferimento alla Fig. 4.1, si ha: πϕϕϕ −−=∆ ∞)(2 0r ; per un fotone, 12 =V e la (4.22) fornisce:

rdr

rBrB

rrrAr

r

21

02

0

2/1 ]1))()(())[(()()(

−∞

∫ −=∞−ϕϕ (4.23)

Usando ora gli sviluppi (di Taylor) dovuti a Robertson:

....21)( ++=r

GMrA , ....21)( +−=r

GMrB , si ha:

...])(

21][1)[(]1)(2)()[(

1...])11(21[)(1]....21

....21[)(1)

)()(()(

00

2

00

02

0

2

0

0

2

0

02

0

02

0

++

−−=−−

+≅

≅−+−+=−+−

+−=−

rrrGMr

rr

rrrrGM

rr

rr

rrGM

rr

rGM

rGM

rr

rBrB

rr

L’ultima eguaglianza è verificabile direttamente. La (4.23) diviene, per Taylor:

(per la risoluzione dei primi due integrali, si ponga xrr cos0 = , mentre per il terzo si porrà

trr

=0 e l’integrale sarà tt

+−

11 )

drrrr

GMrr

GMrr

rrAr

r....]

)(1[]1)[(1)()()(

00

21

2

0

2/1 ++

++−=∞−−

∞

∫ϕϕ ossia:

1°

Int. 2° Int.

3° Int.

...])(111[)(sin)()(0

020

0

01 ++−

−−−++=∞− −

rrrr

rr

rGM

rrr ϕϕ e dunque:

0

4r

GM=∆ϕ e ricordando la nostra normalizzazione (c=1), si ha infine: 2

0

4cr

GM=∆ϕ ; con

mRr S8

0 1095,6 ⋅== e kgM S301097,1 ⋅= , si ha:

''75,1=∆ϕ , in ottimo accordo con i dati sperimentali. In realtà, quando nel 1919 fu effettuata una spedizione in Brasile per la misura di tale deflessione della luce delle stelle da parte del Sole, in occasione di una eclissi, la precisione della misura era dello stesso ordine di grandezza del risultato. Par. 4.5: Calcolo alternativo della deflessione, con profili di antagonismo alla TRG. Questo metodo (Firk) fa leva sulla variazione di velocità che la luce subisce quando si approssima ad una massa; per tale ragione, ravvedo dei profili di antagonismo alla pura TRG. Esistono poi anche altri metodi, più o meno simili, che si basano su tale supposizione (ad esempio Wåhlin) e pare che, considerando cifre decimali lontane, siano anche più conformi ai dati sperimentali. Ricordiamo innanzitutto che, per Schwarzschild (vedi, ad esempio, la (4.5)):

22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= ; (4.24) Sappiamo poi che, in generale: 2222 )()( xddtcd r

−=τ ed essendo, per un fotone, 222 )()( dtcxd =

r, segue che: 02 =τd , da cui, per la (4.24):

2222222 sin)()(0 ϕθθ drdrdrrAdtrB −−−= ; inoltre, considerando luce che viaggia radialmente verso il Sole, possiamo annullare le componenti in θd e ϕd :

22 )()(0 drrAdtrB −= ; (4.25) la velocità della luce è dtdrc = lontano dalla massa del Sole, mentre in prossimità dello stesso vale la (4.25), dalla quale si ricava che:

crArBcdtdrV ≠== 2/1))()(( ; Dal Par. 4.2 abbiamo i valori di A(r) e B(r), in cui, però, nel momento dei calcoli, va tenuto conto che non è più c=1; quindi:

]21[)( 2rcGMrB −= e ]21[]21[)( 2

12 rc

GMrcGMrA +≅−= −

dagli sviluppi in serie sulla variabile 22rcGM , si ha banalmente che:

]21[]221][

221[)]21[]21[( 222

2/122 rc

GMrcGM

rcGM

rcGM

rcGMcV −≅−−≅+−= , ossia: ]21[ 2rc

GMcV −≅

Fig. 4.2: Le velocità dei fronti d’onda.

Angolo di deflessione

Fronte d’onda

cV ≅

cV ≅

cV ≅

cV < Sole

Con riferimento alla Figura 4.2, la parte di fronte d’onda che è più lontana dalla massa M ha velocità c, mentre quella più vicina ha velocità cV < . Fig. 4.3: Schema per i calcoli. Ora, con riferimento invece alla Figura 4.3, si ha:

222 )( xRyr ++= (eq. di un cerchio); (4.26) applichiamo ora l’operatore y∂∂ alla (4.26), ottenendo:

)(2)(2 Ryyrr +=∂∂ da cui: rRyyr /)( +=∂∂ e sulla superficie della massa M: rRyr

y=∂∂

→0

Ora: yr

crGM

rcGMc

ryr

rV

yr

yV

∂∂

=−∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

22

2])21[( , da cui:

crGMR

rR

crGM

yr

crGM

yV

yy32

02

0

222==

∂∂

=∂∂

→→

.

Calcoliamo ora la differenza tra i cammini dx e dx’ dei fronti d’onda a distanza verticale y ed y+dy, alle quali la luce ha velocità rispettivamente pari a V e V’: dx’=V’dt e dx=Vdt, da cui: dx’- dx =V’dt-Vdt=dt(V’-V) ; (4.27) inoltre, si ha, per Taylor: dyyVVV )(' ∂∂+= , ossia: dyyVVV )(' ∂∂=− e la (4.27) diventa:

dydtyVdxdx )(' ∂∂=− (4.28) Poi, sempre dalla Figura 4.3 e dalla (4.28), si ha:

VdxyVdtyVdydxdxd )()()'( ∂∂=∂∂=−=α . La deflessione totale α∆ subita tra ∞− e ∞+ è, considerando che, in tale range, V è quasi sempre uguale a c (tranne che appena in prossimità di M):

∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−∂∂≅∂∂==∆ dxyV

cdxyV

Vd )(1)(1αα e, in prossimità della superficie di M (y=0):

222/122222/3222322

)(2

)(221

RcGMR

xRRx

cGMR

xRdx

cGMRdx

crGMR

c⋅=

+=

+==∆

+∞

∞−

∞+

∞−

∞+

∞− ∫∫α , cioè:

''75,142 ==∆

RcGM

α , proprio come ottenuto al Par. 4.4!!!

Onde piane di luce

y=0

Sole (M)

y

x dy

r

y

x R

dx’=V’dt

dx=Vdt

Par. 4.6: La precessione del perielio dei pianeti. Fig. 4.4: La precessione del perielio di Mercurio. Per i pianeti ed in particolare per Mercurio, nei secoli, si nota che il perielio si sposta.

In +r e −r , si ha che 0=ϕd

dr. Sappiamo poi già che (vedi la (4.18)):

2222

4 )(11)()(

JE

rBJrddr

rrA

−=−+ϕ

; quest’ultima, in +r e −r , diventa: 222 )(11

JE

rBJr−=−

±±

,

da cui: 22

22

)()(−+

−

−

+

+

−

−=

rrrB

rrB

r

E e 22

2

11)(

1)(

1

−+

−+

−

−=

rr

rBrBJ (4.29)

Si ha: ∫− −−

+= −

r

r

rJE

rBJr

drrArr2/1

2222

2/1

]1)(

1[

)()()( ϕϕ , da cui, per le (4.29), si ha:

∫−

−−

−−

+−

−+

+−−

+−−−

−− −

−−−−

=−r

rdrrrA

rrBrBrrrBrBrrBrBrrr 22/12/1

21122

112112

)(]1)]()([

)]()([)]()([[)()( ϕϕ (4.30)

La variazione totale di φ è: )()(2 −+ −=∆ rr ϕϕϕ . In assenza di precessione si avrebbe:

ππ 22 = . La precessione dell’orbita vale: πϕϕϕ 2)()(2 −−=∆ −+ rr .

Ricordiamo ora gli sviluppi di Robertson di pag. 39:

....21)( ++=r

GMrA , ....21)( +−=r

GMrB

Abbiamo bisogno di uno sviluppo al 2° ordine per 1−B , altrimenti nella (4.30) B non dà

nessun contributo 21r

∝ . Per )(1 rB− abbiamo allora:

....421)( 2

221 +++≅−

rMG

rGMrB .

a

r+ r-

ae ⋅

21 ea −

un fuoco=Sole

Con tali sviluppi, la radice nella (4.30) può ridursi ad una forma quadratica in r1 ; si può

comunque notare che tale quantità si annulla per ±= rr , quindi:

)11)(11(1)]()([

)]()([)]()([21122

112112

+−−−

+−

−+

+−−

+−−−

− −−=−−

−−−=

rrrrC

rrBrBrrrBrBrrBrBrR

C può essere determinata eseguendo il ∞→rlim :

)]()([)](1[)](1[

11

1212

−−

+−

−+

−−

−+−

+

−−−−

=rBrBrr

rBrrBrC ; ora, fattorizzando al numeratore ed al denominatore:

MGrr )(2 +− − si ottiene: )11(21−+

+−≅rr

MGC ; con tali risultati nella (4.30), si ottiene:

∫−

+−

−+−

−−

+++≅≅−

r

r

rrrrr

drr

GM

rrMGrr

2/12 )]11)(11[(

]1[)]11(1[.........)()( ϕϕ ; definiamo ora:

Ψ−++=−+−+

sin)11(21)11(

211

rrrrr (4.31)

si ottiene: ( 2π−=Ψ→= −rr ; inoltre, basta ricavare dr in funzione di Ψd nella (4.31) e sostituire nell’integrale in dr:

Ψ−−+Ψ++≅≅−−+−+

− cos)11(21]

2)][11(

231[.........)()(

rrMG

rrMGrr π

ϕϕ .

Per la (4.31), all’afelio 2π=Ψ , quindi: )6(2)()(2LMGrr π

πϕϕϕ =−−=∆ −+ [rad/rev]

dove )11(21

−+

+=rr

L (semilato retto).

Sapendo ora che aer )1( ±=± ed aeL )1( 2−= (vedi nota (**) sotto), si ha: )6(LMGπ

ϕ =∆ e,

ricordando la nostra normalizzazione iniziale (c=1), si ha: )6( 2LcMGπ

ϕ =∆ ; per Mercurio

mL 9103,55 ⋅= , da cui ''1038,0=∆ϕ . Ora, siccome in un secolo Mercurio compie 415 rivoluzioni, si ha ''03,43sec =∆ oloϕ , in ottimo accordo con i dati sperimentali, visto che i primi rilievi su Mercurio risalgono al 1765 e Clemence, nel 1943, calcolò:

''45,0''11,43 ±=∆ϕ . ----------------------------

(**): alcune considerazioni sull’ellisse: Fig. 4.5: L’ellisse. Si ha, per la definizione stessa di ellisse, che: d(P,F)=ed(P,d), dove e è l’eccentricità e d è la direttrice. Dunque: 2222)( xeypx =+− , da cui 02)1( 2222 =+−+− ppxyxe ; con facili calcoli otteniamo che, per 0<e<1,

12

2

2

2

=+by

ax , con )1/( 2epea −= e 21 eab −= , ma sappiamo anche che 22 cab −= (dalla

definizione di ellisse), quindi, per confronto: cea =⋅ . Considerando poi anche l’altro fuoco, si ha che: d(P,F)+ d(P,F’)=cost=2a; infatti: d(P,F)=ed(P,d) e d(P,F’)=ed(P,d’) e d(P,F)+ d(P,F’)=e[d(P,d)+ d(P,d’)]=costante, ovviamente (per simmetria).

----------------------------

Fuoco=(p,0)

x

y=direttrice

P(x,y)

Appendici: App. 1: La Teoria Della Relatività Ristretta

Indice dell’App. 1: -Indice dell’App. 1. Pag.1 -App. 1-Introduzione. Pag.1 -App. 1-Capitolo 1: Concetti introduttivi fondamentali. Pag.3 App. 1-Par. 1.1 Trasformazioni di Galilei. Pag.3 App. 1-Par. 1.2: Trasformazioni (relativistiche) di Lorentz. Pag.3 App. 1-Par. 1.3: La contrazione delle lunghezze, o di Lorentz. Pag.5 App. 1-Par. 1.4: Dilatazione del tempo (Paradosso dei Gemelli). Pag.6 App. 1-Par. 1.5: Il quadrivettore posizione. Pag.6 App. 1-Par. 1.6: Legge Relativistica di Trasformazione delle Velocità. Pag.7 App. 1-Par. 1.7: Il Tempo Proprio τd di una particella. Pag.8 -App. 1-Capitolo 2: La relatività delle energie. Pag.9 App. 1-Par. 2.1: Il quadrivettore momento-energia (o momento lineare). Pag.9 App. 1-Par. 2.2: Il quadrivettore velocità. Pag.9 App. 1-Par. 2.3: La quadriforza. Pag.9 App. 1-Par. 2.4: E0=m0c2. Pag.10 App. 1-Par. 2.5: Energia cinetica relativistica. Pag.11 -App. 1-Capitolo 3: Fenomeni relativistici. Pag.11 App. 1-Par. 3.1: Tempo e gravità: la gravità rallenta il tempo! Pag.11 App. 1-Par. 3.2: Volume dei solidi in moto. Pag.12 App. 1-Par. 3.3: L’equazione delle onde, o di D’Alembert, vale in qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Pag.12 App. 1-Par. 3.4: L’esperimento di Fizeau. Pag.13 App. 1-Par. 3.5: Effetto Doppler Relativistico (longitudinale). Pag.14 App. 1-Par. 3.6: Il Paradosso dei Gemelli spiegato con l’Effetto Doppler Relativistico! Pag.14 App. 1-Par. 3.7: L’Esperimento di Michelson e Morley. Pag.15 -App. 1-Capitolo 4: L’Elettrodinamica relativistica. Pag.16 App. 1-Par. 4.1: La forza magnetica è niente altro che una (relativistica) forza elettrica di Coulomb(!) Pag.16 App. 1-Par. 4.2: Il quadrivettore densità di corrente. Pag.19 App. 1-Par. 4.3: Il tensore del campo elettromagnetico. Pag.20 -App. 1-SUBAPPENDICI: Pag.22 App. 1-Subapp. 1: Trasformazioni di Lorentz consecutive. Pag.22 App. 1- Subapp. 2: Effetto Doppler (relativistico) Trasversale. Pag.22 App. 1- Subapp. 3: Le trasformazioni della quadrivelocità. Pag.24 App. 1- Subapp. 4: Le trasformazioni della quadriforza. Pag.24 App. 1- Subapp. 5: Il quadrivettore accelerazione e le trasformazioni delle accelerazioni. Pag.25 App. 1- Subapp. 6: Come io vedo l’Universo (Unificazione Gravità Elettromagnetismo). Pag.26 App. 1-Introduzione: Tempo non è niente altro che il nome che viene dato ad una relazione matematica di rapporto tra due spazi differenti; quando dico che per andare da casa al lavoro ho impiegato il tempo di mezz’ora, dico semplicemente che il percorrimento dello spazio che separa casa mia dall’azienda in cui lavoro è corrisposto allo spazio di mezza circonferenza orologio percorsa dalla punta della lancetta dei minuti. A mio avviso, nulla di misterioso o di spazialmente quadridimensionale dunque, come invece proposto nella TRR (Teoria della Relatività Ristretta). A livello matematico, invece, il tempo può essere sì considerato una quarta dimensione, così come, se introduco la temperatura, ho poi una quinta dimensione, e così via. La velocità della luce (c=299.792,458 km/s) è un limite superiore di velocità non per mistero inspiegabile o per principio, come sostenuto nella TRR ed anche dallo stesso Einstein, ma bensì perché (sempre a mio avviso) un corpo non può muoversi a casaccio ed a proprio piacimento, nell’Universo in cui è in caduta libera a velocità c, in quanto lo stesso è vincolato a tutto l’Universo circostante, come se quest’ultimo fosse una tela di ragno che, quando la preda cerca di muoversi, condiziona il movimento della stessa, e tanto più quanto i movimenti vogliono essere ampi (v~c), cioè, per restare all’esempio della tela di ragno, se la mosca intrappolata vuole solo muovere un’ala, può farlo quasi

incondizionatamente (v<<c), mentre se vuole proprio compiere delle volate da una parte all’altra della tela (v~c), la tela si fa sentire (massa che tende all’infinito ecc). Si veda, a tal proposito, il Subappendice 1.6. La teoria di Einstein si fonda comunque formalmente su due principi: -Principio di Relatività: le leggi fisiche assumono la stessa forma in tutti i sistemi inerziali (cioè in moto relativo a velocità costante); non avendo infatti senso il moto assoluto rispetto ad un etere immobile che non esiste (vedi App.1-Par. 3.7) tutti i sistemi di riferimento sono laboratori alla pari per verificarvi le leggi della fisica e non esistono dunque sistemi di riferimento privilegiati (tranne che, a mio avviso, quello del centro di massa dell’Universo). In ogni caso, l’esperimento di Michelson e Morley (App.1-Par. 3.7) segnò la fine dell’etere e spalancò le porte alla TRR. -Principio di Costanza della Velocità della Luce: la velocità della luce nel vuoto ha in ogni sistema di riferimento inerziale sempre il valore c=300.000 km/s. Non importa dunque se la insegui a 299.000 km/s o se fuggi da essa sempre con tale velocità; la luce nel vuoto sfuggirà o ti rincorrerà sempre a 300.000 km/s! (c=299.792,458 km/s) Nell’opinione di chi scrive, c’è nella TRR una forma di contraddizione; la velocità della luce appare infatti “assoluta”, non “relativa”, parlandosi qui di “relatività”. Il fatto è che le velocità tra i vari oggetti nell’Universo sono relative appunto tra loro, ma esiste una velocità assoluta (o quasi) c con cui tutti gli oggetti nell’Universo cadono verso il centro di massa dello stesso; da cui l’assolutezza di c. E si spiega anche come mai gli oggetti in quiete risultano possedere energia m0c2 (App.1-Par. 2.4), energia che Einstein conferì appunto alla massa in quiete, senza purtroppo dirci che tale massa invece non è mai in quiete, poiché cade con velocità c verso il centro di massa dell’Universo, guarda caso. Si veda, a tal proposito, la mia opinione personale completa, in merito, in Appendice 2. Se giunge alle orecchie di un uomo comune il fatto che la luce ha velocità uguale per “tutti” gli osservatori inerziali, quand’anche con determinati moti relativi tra loro, la cosa può cadere lì. Se però giunge alle orecchie di un uomo particolare, come Einstein, le conseguenze che questi può intuire sono sconvolgenti. Questo piccolo esperimento che segue, condotto con un orologio a luce a bordo di un’astronave, dimostra che il fatto che la velocità della luce è c per “tutti” implica che il tempo sia relativo, da cui il Paradosso dei Gemelli (App.1-Par. 1.4) ecc: Fig. A1: Orologio a luce in quiete. Fig. A2: Orologio a luce in movimento a velocità V. Come si vede dalla figura A1, ogni volta che la luce (frecce blu) compie il tragitto dalla sorgente allo specchio e ritorno, l’orologio a luce segna, ad esempio, un secondo, oppure un certo tempo t’. Il tragitto in blu schematizzato in figura A1 è visto da chi è in quiete rispetto ad esso, cioè con chi è sull’astronave con l’orologio stesso. Chi invece è sulla Terra e osserva l’orologio in viaggio sull’astronave, vedrà la luce compiere tragitti obliqui e più lunghi, come in figura A2, in quanto, mentre la luce scende, lo specchio si sposta, e mentre risale, la sorgente si sposta ancora. Ora, parlandosi qui di luce, il comportamento della stessa, mentre scende, non è come quello di una valigia che cade dalla cappelliera di un vagone ferroviario, che è vista cadere verticalmente dal passeggero e in traiettoria parabolica dall’osservatore fermo sulla banchina della stazione, impiegando per entrambi lo stesso tempo di caduta, in quanto nel secondo caso (parabolico) la velocità di caduta risulta maggiore; qui si parla appunto di luce, dunque la sua velocità deve essere la stessa per tutti, e cioè c; ma, se così è, allora chi osserva il tragitto obliquo più lungo deve concludere che il tempo impiegato dalla luce per compiere un ciclo di discesa e risalita deve essere più lungo. Dunque, pur parlandosi dello stesso orologio e dello stesso evento, i due osservatori, sulla durata, giungono a risultati diversi, e dunque alla relatività del tempo ed a tutte le sue conseguenze. Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo di figura A2, si ha:

222222 ' tVtctc += , da cui: 2

2

1'cVtt −= e cioè, in generale: tt <' e t’ tende a zero per V che tende a c! Ricordo

che t’ è il tempo dell’astronauta in viaggio con l’orologio a luce, mentre t è il tempo trascorso sulla Terra. Se il fenomeno è vero per la cosa più veloce che esiste (la luce), figuriamoci per gli orologi tradizionali a lancette e per quelli biologici (esseri viventi)!

00:01 00:02 00:02

ct

Vt

ct’

sorgente di luce

contatore

specchio

ct’

V V

Negli anni settanta, utilizzando i sensibilissimi orologi atomici, è stata dimostrata la dilatazione del tempo, sulla Terra, tra due orologi atomici inizialmente sincronizzati, dopo che uno dei due ha compiuto un volo aereo, subendo una leggerissima, ma ben rilevata, dilatazione del tempo. App. 1-Capitolo 1: Concetti introduttivi fondamentali. App. 1-Par. 1.1: Trasformazioni di Galilei. Le stesse forniscono semplicemente le relazioni tra coordinate spaziali (e tempo), per due sistemi di riferimento in moto relativo, ma nell’ambito della fisica classica, dove cioè la velocità della luce c non è un limite superiore. Fig. A1.1: Sistemi di riferimento in moto relativo. Si ha ovviamente che:

tVrrrrrrr

+=+= ''00' , (A1.1) da cui, per le componenti (t=t’):

'' Vtxx += 'yy =

'zz = (A1.2) 'tt =

e per le inverse, si ha, ovviamente:

Vtxx −=' yy ='

zz =' (A1.3) tt ='

Le (A1.2) ed (A1.3) sono le Trasformazioni di Galilei.

Derivando la (A1.1), si ottiene poi: Vvvrrr

+= ' che vale come teorema di addizione delle velocità della fisica classica. App. 1-Par. 1.2: Trasformazioni (relativistiche) di Lorentz. Premetto che le Trasformazioni di Lorentz nascono prima della Teoria della Relatività (su cui la stessa si fonda) ed in un contesto tutto elettromagnetico. Le stesse sono dunque l’equivalente relativistico di quelle di Galilei e valgono dunque nel momento in cui si ammette che la velocità della luce è un limite massimo di velocità nell’Universo e che vale c per (~)ogni osservatore. -PRIMA DEDUZIONE: supponendo un moto relativo lungo x, correggiamo le componenti x delle Trasformazioni di Galilei tramite un coefficiente k, come segue:

)(' Vtxkx −= (A1.4)

)''( Vtxkx += (A1.5)

y y’

z z’

x _ x’

P

0 0’

rr 'rr

Vr

Ora, per un fotone si ha, ovviamente: tVckct )(' −= e tVckct )( += , in quanto la luce ha la stessa velocità c nei due sistemi di riferimento, da cui,

moltiplicando membro a membro:

)1('' 2

2222

cVcttkttc −= , da cui:

2

2

2 11

1

1β−

=

−

=

cV

k (A1.6)

Inoltre, dalla (A1.5) si ha: )'(1' xkx

Vt −= ed usando in quest’ultima la (A1.4), si ha:

][)]11([1)]([1' 22 xcVtk

kVxtkkt

Vkxx

kVVtxk

kx

Vt −=−−=+−=−−= (A1.7)

in quanto, per la (A1.6), si ha che: 2

2

2 )11(cV

k=− .

Con lo stesso procedimento che ci ha condotti alla (A1.7) si deduce poi anche l’espressione per t. In conclusione, ecco le Trasformazioni di Lorentz:

21)('

β−

−=

Vtxx

yy ='

zz =' (A1.8)

2

2

1

)('

β−

−=

xcVt

t

21)''(

β−

+=

Vtxx

'yy =

'zz = (A1.9)

2

2

1

)''(

β−

+=

xcVt

t

-SECONDA DEDUZIONE: Sappiamo che c=cost in tutti i sistemi di riferimento. Ora, con riferimento alla Fig. A1.1, quando 0=0’ e t=t’, dall’origine viene emessa luce per onde sferiche ed in modo isotropico e si può dunque scrivere che:

0)( 22222 =++− zyxtc e 0)'''(' 22222 =++− zyxtc in quanto la luce ha la stessa velocità c nei due sistemi di riferimento. Dunque:

)'''(')( 2222222222 zyxtczyxtc ++−=++− e per raggi propagantisi lungo x (y=y’ e z=z’): 222222 '' xtcxtc −=− . Poniamo ora ( 1−=i ): ξ=ix , '' ξ=ix , η=ct e '' η=ct ; si ha:

2222 '' ηξηξ +=+ , la cui soluzione è:

θηθξξ sincos' −=

θηθξη cossin' += (A1.10) ed in forma differenziale:

θηθξξ sincos' ddd −=

θηθξη cossin' ddd += A(1.11)

Notiamo ora che rispetto all’origine “0”, 0=dtdx

, in quanto il sistema di riferimento (0,x,y,z) è fermo rispetto a se

stesso. Invece, Vdtdx

−=''

, in quanto il sistema (0’,x’,y’,z’) si muove con velocità V rispetto a “0” e di conseguenza:

0=ηξ

dd

e cVi

dd

−=''

ηξ

, ma dal rapporto tra le (A1.11) si ha che:

θθθ

θθηξ

θθηξ

θηθξθηθξ

ηξ tg

dddd

dddd

dd

−=+−

=+

−=

+−

=cos0sin0

cossin

sincos

cossinsincos

''

e dunque: βθ icVitg ==

ma sappiamo dalla trigonometria che: 22 1

11

1cosβθ

θ−

=+

=tg

e:

22 11sin

β

β

θ

θθ

−=

+=

itg

tg e dunque le (A1.10) diventano:

21'

β

ηβξξ

−

−=

i e

21'

β

ηξβη

−

+=

i ossia:

21)('

β−

−=

Vtxx

yy ='

zz ='

21

)('

β

β

−

−=

xc

tt

e cioè ancora le (A1.8). In modo analogo si giunge poi alle (A1.9). App. 1-Par. 1.3: La contrazione delle lunghezze, o di Lorentz. Gli oggetti in movimento a velocità confrontabili con quella della luce risultano più corti, agli occhi dell’osservatore in quiete. Se quest’ultimo compie delle misurazioni per determinare la lunghezza dello sfuggente corpo in moto, il metodo più efficace che ha è quello di utilizzare delle sorgenti di luce (la cosa più veloce che esiste), illuminando la prua e la poppa del corpo in moto, al fine di determinarne le rispettive posizioni, momento per momento. Solo che la luce che usa ha velocità costante, nonché limitata, ed il risultato sarà quello di un corpo più corto. Realtà o apparenza misurativa? Convinciamoci sin da subito che la realtà (che osservo) e l’apparenza misurativa sono la stessa cosa, come non può che essere! Sia l la lunghezza di un segmento nel sistema O di quiete:

lxx AB =− . In O’ (in moto), per le Trasf. di Lorentz:

'11

)(

1

)()()'(')'(''

222llxxVtxVtx

txtxl ABAABBAB =

−=

−

−=

−

−−−=−=

βββ , in quanto nel sistema O la misura del

segmento ha senso se i due estremi vengono rilevati “simultaneamente” (tA=tB). Col tendere di v verso c, cv=β tenderà ad 1 e il radicale tenderà a zero, e con esso anche l! Dunque, la misura l rilevata in O sarà pari a quella l’ rilevata in O’ per una quantità minore di 1, cioè l’osservatore immobile (O) vedrà un oggetto più corto.

App. 1-Par. 1.4: Dilatazione del tempo (Paradosso dei Gemelli). Sembra strano, ma anche il tempo può essere ed è relativo. Ovviamente, ogni osservatore, nel suo, vede il tempo scorrere sempre allo stesso ritmo; non è che se uno viaggia a velocità prossime a quelle della luce sente il suo cuore rallentare. E’ poi il confronto tra i due osservatori di due sistemi che sono stati in moto relativo che mostra la differenza nel come i due tempi sono scorsi. Dunque, per le Trasf. di Lorentz, in O’ (sistema in movimento): AB ttt ''' −=∆ , mentre in O (sistema di quiete):

21''''

β

ββ

−

−−+=−=∆

cxtcxtttt AABBAB , ma, per ipotesi, BA xx '' = , poiché nel sistema O’ (O’,x’,y’,z’) l’orologio

è immobile, in quanto viaggia col sistema O’ stesso, dunque:

21'β−

∆=∆

tt

Col tendere di v verso c, cv=β tenderà ad 1 e il radicale tenderà a zero, e con esso anche 't∆ ! Due gemelli si separano perché uno dei due parte per un viaggio spaziale di un mese a velocità vicine a quelle della luce; ritornato sulla Terra trova il suo gemello invecchiato di trent’anni! (Paradosso dei Gemelli) A circa 260.000 km/s si ha il dimezzamento, cioè il radicale varrà ½ e i due tempi scorreranno uno la metà dell’altro. Si veda poi anche la dimostrazione della dilatazione del tempo con l’orologio a luce (in Introduzione) e quella in chiave di Effetto Doppler Relativistico (App.1-Par. 3.6). App. 1-Par. 1.5: Il quadrivettore posizione. Invece di scrivere i vettori posizione con le classiche tre componenti x, y e z, scriviamoli in forma matematicamente quadridimensionale, aggiungendo anche il tempo; ciò ci tornerà molto utile. Preciso però che, nell’opinione (motivata) di chi scrive, il nostro Universo è e resta a tre dimensioni e l’aggiunta di una quarta dimensione è un fatto puramente matematico; sfido infatti chiunque ad indicarmi col dito indice la quarta dimensione di un qualsivoglia oggetto presunto quadridimensionale. Nella TRR di oggigiorno, si parla invece di una effettiva quarta dimensione! Bene, allora: ),,,( 4321 xxxxx = , che equivale a dire anche: (x,y,z,ct).

Con tale nuova terminologia, le Trasformazioni di Lorentz divengono:

411' xxx βγγ −= 411 '' xxx βγγ +=

22' xx = 22 'xx =

33' xx = 33 'xx = (A1.12)

414' xxx γβγ +−= 414 '' xxx γβγ +=

Con cV=β e 21

1β

γ−

= .

Si può verificare che la distanza spazio-temporale tra due punti è invariante per Trasformazioni di Lorentz, cioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali:

24

23

22

21

224

23

22

21

2 )'()'()'()'()'()()()()()( xxxxxxxxxx ∆−∆+∆+∆=∆=∆−∆+∆+∆=∆ (A1.13)

(Questa espressione è una sorta di Teorema di Pitagora in quattro dimensioni). Per la dimostrazione di ciò, si utilizzino, nella (A1.13), le Trasformazioni di Lorentz qui sopra, con i Δxi in luogo degli xi, e si verifichi appunto l’egualianza. In altre parole, lunghezza tridimensionale e tempo sono relativi, mentre la loro composizione quadridimensionale è assoluta. Ecco perché si è detto che la definizione delle grandezze fisiche tramite quattro componenti ci sarebbe tornata utile. Si possono dunque applicare le Trasformazioni di Lorentz a tutti i quadrivettori, nella forma delle (A1.12).

------------- In forma matriciale, le Trasformazioni di Lorentz possono essere così scritte: (si ricordi il prodotto matriciale, con le componenti della riga della prima matrice moltiplicate per le rispettive componenti della colonna della seconda matrice, sommando poi tali prodotti per ottenere la componente della matrice prodotto appunto)

⋅

−

−

=

4

3

2

1

4321

0001000010

00

)',',','(

xxxx

xxxx

γβγ

βγγ

e (A1.14)

⋅

=

4

3

2

1

4321

''''

0001000010

00

),,,(

xxxx

xxxx

γβγ

βγγ

(A1.15)

mentre in forma tensoriale: (si utilizza la convenzione di Einstein, cioè, se in un termine un indice è ripetuto, si considera sottointesa la sommatoria su quell’indice)

kkii xx α=' (i,k=1,2,3,4) a secondo membro, k è ripetuto, quindi si somma su di esso (A1.16)

iikk xx ''α= (i,k=1,2,3,4) (A1.17)

App. 1-Par. 1.6: Legge Relativistica di Trasformazione delle Velocità. Se sto camminando alla velocità di 5 km/h in un vagone ferroviario che, a sua volta, viaggia alla velocità di 100 km/h rispetto alla banchina, avrò, rispetto alla banchina, una velocità totale di 105 km/h. Questa è fisica classica. Quando però le due velocità iniziano ad essere confrontabili con quelle della luce, la semplice composizione per somma algebrica non vale più, ed iniziano a vigere le equazioni che stiamo per scrivere; anche perché, se no, qualche somma algebrica semplice rischierebbe di farci comparire una velocità totale superiore a c, cosa impossibile. Dunque, abbiamo per definizione che:

dtdxvx = '

'' dtdxv x =

dtdyvy = '

'' dtdyv y =

dtdzvz = '

'' dtdzv z =

Differenziando ora le Trasformazioni di Lorentz, si ha:

21

)''(β−

+=

Vdtdxdx

'dydy =

'dzdz =

2

2

1

)''(

β−

+=

dxcVdt

dt da cui:

)''(

)''(

2 dxcVdt

Vdtdxdt

dxvx

+

+==

)''(

1'

2

2

dxcVdt

dydt

dyvy

+

−==

β

)''(

1'

2

2

dxcVdt

dzdt

dzvz

+

−==

β

Se ora divido numeratore e denominatore di queste ultime per dt’, si ha:

)'1(

)'(

2cVv

Vvvx

xx

+

+=

)1(

)('2c

VvVvv

x

xx

−

−=

)'

1(

1'

2

2

cVv

vv

y

yy

+

−=

β (A1.18) e analogamente:

)1(

1'

2

2

cVv

vv

y

yy

−

−=

β

)'1(

1'

2

2

cVv

vvz

zz

+

−=

β

)1(

1'2

2

cVv

vvz

zz

−

−=

β

Per 1<<cV e 1<<c

vx ci si riconduce al caso classico (galileiano) di somma algebrica.

Per rifarsi un attimo al caso del vagone ferroviario in cui una persona cammina all’interno, se si pone ),0,0,'(' cvv x=

e ),0,0,( cvv x= , dalle (A1.18) si ha che:

)'1(

)'(

2cVv

Vvvx

xx

+

+= (A1.19)

e se cVv x ==' , allora cvx = , e non 2c! Dunque, se il treno si muove di suo a velocità c ed io all’interno di esso

corro a velocità c, io, rispetto alla banchina, avrò una velocità risultante pari a c e non a 2c! La (A1.19) rappresenta il Teorema Relativistico di Addizione delle Velocità. Altro esempio: due missili che viaggiano ciascuno a velocità c/2 si incrociano; a che velocità xv si incrociano dunque?

ccc

ccccvx <==

+

+=

54

45)4

1(

)22(

2

2 !

App. 1-Par. 1.7: Il Tempo Proprio τd di una particella. Se una particella è ferma in (O’,x’,y’,z’), ossia se la stessa si muove appunto con O’, ossia se O’ è il suo sistema di riferimento “proprio”, allora: dx’= dy’= dz’=0 e:

2222222222 ''000)( dtcdtcdtcdzdydxds −=−++=−++= , da cui:

dtcv

dtdl

cdt

dtcdzdydx

cdsddt 2

22

222

222

1)(111' −=−=++

−=== τ (tempo proprio, invariante, in quanto

tale è cds

).

Dunque, quando si eseguono calcoli riguardanti una particella, viene spontaneo utilizzare per essa appunto il suo tempo proprio:

γτ

dtdtcvd =−= )1( 2

2

.

App. 1-Capitolo 2: La relatività delle energie. App. 1-Par. 2.1: Il quadrivettore momento-energia (o momento lineare). Sappiamo dalla fisica classica che il momento lineare, o quantità di moto, è dato dal prodotto della massa per la velocità. Ora, nel caso relativistico, per quanto visto finora, definiremo innanzitutto un quadrivettore e poi la velocità intesa come dx/dt avrà come dt il tempo proprio τd , che è caratteristico appunto della particella in esame, per la quale si va a definire il quadrivettore:

pmcpmcvmdtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

ddxm

ddxm

ddxm

ddxmp

====

===

),(),(),,,(

)1

,1

,1

,1

(),,,(

4321

4030201040

30

20

10

rr

γγγγττττ

dove vr è il vettore (tridimensionale) velocità, pr è il momento lineare tridimensionale,

dtdxmmc 4= è la componente quadridimensionale,

γτ

dtd = è il tempo proprio e 00

1mmm γ

γ== è la massa

dinamica, che coincide con la massa a riposo m0 solo se v=0. Si inizia quindi ad introdurre già il concetto di massa relativa, che cresce con la velocità, divenendo infinita per v=c. Come già accennato in precedenza, i moduli dei quadrivettori sono “assoluti”, cioè invarianti per trasformazioni di Lorentz; infatti:

220

22

2

2

2022222222

422

)()1(

)( cmvc

cv

mvcmcmvmppp −=−−

−=−−=−=−=r

= costante, cioè non funzione di v.

In Relatività esiste dunque un Universo (matematicamente quadridimensionale) descritto da quadrivettori, dove le grandezze non variano così arbitrariamente con la velocità e dove dunque le leggi della natura preservano una certa coerenza, indipendentemente dallo stato di moto. App. 1-Par. 2.2: Il quadrivettore velocità.

Lo definiamo ovviamente come segue: τdxdv = , dove si usa il tempo proprio τd per motivi già esposti. Numeratore e

denominatore sono entrambi invarianti, e dunque anche v lo è. Si ha:

),(),,,(),,,(),,,( 43214321 cvcvvvdt

dxdtdx

dtdx

dtdx

ddx

ddx

ddx

ddxv zyx γγγγγγγγγγ

ττττr

====,

e dunque, per il modulo di tale quadrivettore: 222222 ccvv −=−= γγ (costante!). (A2.1)

App. 1-Par. 2.3: La quadriforza. Così come in fisica classica la forza è data dalla derivata della quantità di moto nel tempo, in relatività definiamo la quadriforza come derivata del quadrivettore momento-energia nel tempo (tempo proprio):

))(),(())(,(),(),,,( 00044321 cmdtdvm

dtdcm

ddp

ddFFFFFF

dpd

F γγγγγτττ

rrr===== ; (A2.2)

si ha dunque che: Ffvmdtd rrr

=⋅= γγγ )( 0 , (A2.3)

( fvmdtd rr

=)( 0γ è la forza “classica” e a maggior ragione quando 1=γ )

da cui: )()(0

vdd

mF

vdtd r

rr

γτ

γγ == , cioè, in componenti:

)()(0

ii

i vdd

mFv

dtd

γτ

γγ == (i=x,y,z) (A2.4)

e poi, riguardo la quarta componente: 40 )( Fcmdtd

=γγ (A2.5)

e quindi: )()(0

4 cdd

mFc

dtd

γτ

γγ == . (A2.6)

Differenziamo ora la (A2.1), cioè la seguente equazione: 22222222222222 ccvvvcvv zyx −=−++=−= γγγγγγ , ottenendo:

))(2)(2

)(2)(2())()()()((0 2222

cddcv

ddv

vddvv

ddvc

ddv

ddv

ddv

dd

zz

yyxxzyx

γτ

γγτ

γ

γτ

γγτ

γγτ

γτ

γτ

γτ

−+

++=−++=

cioè: ))()()()((0 cddcv

ddvv

ddvv

ddv zzyyxx γ

τγγ

τγγ

τγγ

τγ −+++= , ossia, per la (A2.4) e la (A2.6):

)(00

4

000 mFc

mFv

mF

vmFv z

zy

yx

x γγγγ −+++= e per la (2.3) ( Ffrr

=⋅γ ):

)(00

4

000 mFc

mfv

mf

vmfv z

zy

yx

x γγ

γγ

γγ

γ −+++= , cioè:

)(4 vfc

F rr⋅=

γ. (A2.7)

Tornando ora alla (A2.2), si ha finalmente la quadriforza, o Forza di Minkowski:

))(,( vfc

fd

pdF rrr

⋅==γ

γτ

(A2.8)

Per le equazioni di trasformazione di tale quadriforza, si veda il Subappendice 1.4. App. 1-Par. 2.4: E0=m0c2.

Per la (A2.5) si ha che: 40 )( Fcmdtd

=γγ , mentre per la (A2.7) si ha: )(4 vfc

F rr⋅=

γ. Dunque:

)()( 0 vfc

cmdtd rr

⋅=γ

γγ , ossia: vfcmdtd rr

⋅=)( 20γ , ossia ancora:

dEdLdtvfcmd ==⋅=rr

)( 20γ (A2.9)

La (A2.9) è esattamente l’espressione dell’energia in fisica classica se 1=γ ; l’integrazione della (A2.9) con costante d’integrazione uguale a zero fornisce:

20cmE γ= (A2.10)

In realtà la (A2.10) vale solo per energie guadagnate (come negli acceleratori di particelle), mentre per energie cedute (Universo collassante o Fisica Atomica degli elettroni che scendono di livello) vale la seguente, che io mi attribuisco:

20

1 cmEγ

= (Rubino)

(si veda anche l’Appendice 2; per una convincente dimostrazione della stessa, prego contattarmi: leonrubino@yahoo.it ). Dunque, una particella di massa m0 possiede energia totale:

)1( 2

2

202

0

cv

cmcmE−

== γ (A2.11)

e a “riposo” ( 0=v e dunque 1=γ ) energia di “riposo”: 2

00 cmE = (A2.12)

App. 1-Par. 2.5: Energia cinetica relativistica. La differenza tra la (A2.11) e la (A2.12) fornisce ovviamente la pura energia cinetica di una particella:

)1)1(

1()1(

2

2

20

20

20

200 −

−

=−=−=−=

cv

cmcmcmcmEEEK γγ (A2.13)

Sviluppando ora in Serie di Taylor l’espressione per )1(

1

)1(

12

2

2 βγ

−=

−

=

cv

, si ha, per v<<c (β<<1):

.....83

211

)1(1 42

2+++=

−= ββ

βγ , cioè: 2

22

21

21)1(

cv

=≅− βγ e per la (A2.13):

202

22

02

0 21)

21()1( vm

cvcmcmEK ==−= γ (v<<c) e cioè la nota espressione classica (di Newton) per l’energia

cinetica! Si veda poi la deduzione della (A2.13) in Appendice 2, a partire dalle caratteristiche dell’Universo in contrazione. App. 1-Capitolo 3: Fenomeni relativistici. App. 1-Par. 3.1: Tempo e gravità: la gravità rallenta il tempo! Anche la gravità rallenta il tempo! In montagna il tempo scorre più velocemente che a valle. Ovviamente, sulla Terra, la differenza è impercettibile, ma su una stella di neutroni, o in un buco nero, l’effetto è intensissimo. gHmE 0=∆ (delta energia del salto di quota)

ν∆=∆ hE (delta energia del calo di freq. di un fotone)

Dalle due: hgHm0=∆ν .

Per un fotone, νhE = , ma in relatività: 20cmE = , da

cui, per un fotone: 20 chm ν= e dunque, per ν∆ :

2cgHνν =∆ ed essendo il tempo l’inverso della

frequenza, si ha: tt∆=∆ νν e dunque:

tcgHt 2=∆ . Dunque, su un tempo t, si ha un

rallentamento Δt dato dalla gravità! Fig. A3.1: Montagna, gravità e tempo.

Sappiamo che la velocità di fuga di un corpo celeste di massa M e raggio R vale: R

GMV 2= . Se su quel corpo un

oggetto viene lanciato verticalmente alla velocità di fuga, esso uscirà dal campo gravitazionale del corpo celeste ed andrà verso l’infinito, senza più ricadere. Un buco nero è un corpo così compresso (M grande ed R piccolo) che la velocità di fuga sulla sua superficie raggiunge il valore della velocità della luce e dunque neanche la luce vi sfugge, da cui il nome di buco nero; inoltre, per quanto detto sopra, si può affermare che in un buco nero il tempo è pressoché fermo!

H

Fotone in discesa con freq. aumentata dalla gravità

Fotone in salita con freq. diminuita dalla gravità

App. 1-Par. 3.2: Volume dei solidi in moto. I solidi in moto risultano ruotati. --Osservatore— Fig. A3.2: Corpo visto in quiete. Fig. A3.3: Corpo visto in moto.

zyxV ∆∆∆= (volume del solido per un osservatore solidale allo stesso)

22 11'''' ββ −=∆∆−∆=∆∆∆= VzyxzyxV (volume del solido per un osservatore che vede il solido in

movimento a velocità V lungo x). Ovviamente, per le Trasformazioni di Lorentz, essendo il moto lungo x, solo Δx subisce contrazione. Tuttavia, l’osservatore in quiete vede il punto B in ritardo rispetto ad A, in quanto B è più distante di A ed il ritardo vale L/c, ovviamente. Come ulteriore conseguenza, B appare spostato indietro di un tratto pari a (L/c)V=βL. Si ha: Lsin φ= βL, da cui: sin φ= β e φ=arcsin β. In definitiva, il corpo appare dunque ruotato! Ed una sfera invece continua ad apparire come tale. App. 1-Par. 3.3: L’equazione delle onde, o di D’Alembert, vale in qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Le onde elettromagnetiche nel vuoto, e dunque anche la luce, si propagano, come noto, seguendo l’equazione delle onde:

=∂∂

−∆==∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2 101tctczyxφ

φφφφφ

φ

Ora notiamo preliminarmente che, per le Trasformazioni di Lorentz, si ha (derivando le stesse):

γ=∂∂

xx'

, Vtx

γ−=∂∂ '

, 2'

cV

xt

γ−=∂∂

, γ=∂∂

tt '

, 1''=

∂∂

=∂∂

zz

yy

, 0......'''==

∂∂

=∂∂

=∂∂

xy

zx

yx

Per l’analisi matematica, si ha, in 0’: )','( trrφφ = , e dunque:

')(

''

''

''

''

' tV

xxt

txz

zxy

yxx

xx ∂∂

−+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ φ

γφ

γφφφφφ

; inoltre:

''2)

''(

2

222

2

4

2

2

2

2

2

txVcV

tcV

xx ∂∂∂

−−

∂∂

+∂∂

=∂∂ φφφ

γφ

e similmente, per le altre coordinate:

'' txV

t ∂∂

+∂∂

−=∂∂ φ

γφ

γφ

e ''

2)''

(2

2

2

2

222

2

2

txV

txV

t ∂∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂∂ φ

γφφ

γφ

e 2

2

2

2

'yy ∂∂

=∂∂ φφ

, 2

2

2

2

'zz ∂∂

=∂∂ φφ

da cui, per sostituzione nell’equazione delle onde, si ha:

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

'1

'''1

tczyxtczyx ∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂ φφφφφφφφ

c.v.d.

Δx

Δy A D

B

C

Δz L

L L

B

L

L

V

B’

V

φ

Lsin φ

App. 1-Par. 3.4: L’esperimento di Fizeau. Nel 1849, molto prima della formulazione della Teoria della Relatività Ristretta da parte di Einstein (1905), il fisico francese A.H.L. Fizeau condusse degli studi sulla velocità della luce nell’acqua e nei fluidi in movimento. Fig. A3.4: Esperimento di Fizeau.

Nell’acqua in quiete la luce ha velocità skmsmncv /000.225

33,1/103 8

≅⋅

== , dove n=1,33 è l’indice di rifrazione

dell’acqua. Se ora l’acqua, o comunque il fluido nel quale si va a misurare la velocità della luce, scorre a sua volta con velocità V, allora, secondo i risultati di Fizeau, la velocità complessiva della luce nel fluido in scorrimento è:

)11( 2nV

ncv −+= , (A3.1)

in totale disaccordo con la fisica classica, secondo cui si dovrebbe avere più semplicemente: Vncv += .

Anni dopo, la TRR ha dato una spiegazione teorica della (A3.1). Infatti, per il Teorema di Addizione delle Velocità espresso dalla (A1.19), si può scrivere che:

)1(

)(

)1(

)(

2 ncV

Vnc

ncVc

Vnc

v+

+=

+

+= ; ora, moltiplicando numeratore e denominatore per )1(

ncV

− , si ha:

2

2

2

2 )(1

)11(

)(1

)1)((

)1(

)(

ncV

ncV

nV

nc

ncV

ncVV

nc

ncV

Vnc

v−

−−+=

−

−+=

+

+= , ma le quantità

ncV 2

a numeratore e 2)(ncV

a

denominatore sono ciascuna trascurabile (<<1) rispetto agli altri addendi e possono essere appunto trascurate, da cui

l’asserto: )11( 2nV

ncv −+= .

Acqua

V

V

Acqua

Prisma inverso Specchio

P

P=lamina semitrasparente

Sorgente di luce

App. 1-Par. 3.5: Effetto Doppler Relativistico (longitudinale). Fig. A3.5: Effetto Doppler longitudinale (esempio di sorgente S in allontanamento da R con velocità V (β)). L’antenna sorgente invia a quella ricevente segnali elettromagnetici di periodo TS; Per il fenomeno della dilatazione del tempo l’antenna ricevente li riceverà con un periodo T’S tale che:

)1('

2β−= S

STT ; inoltre, l’allontanamento di S determinerà un ST '∆ tra un fronte d’onda e l’altro pari a:

)1()1(''

22 ββ

β −=

−==∆ SSS

STT

cV

cVTT ; dunque, si avrà in totale per TR:

RSS

SSSSSSR

TTT

TTTTTTT

=−+

=+−

=

=++−

=+−

=−

+−

=∆+=

)1()1(

)1()1(

)1()1()1(

)1()1()1()1(

''222

ββ

ββ

βββ

βββ

ββ

che riscriviamo: )1()1(

ββ

−+

= SR TT ; (S ed R in allontanamento) (A3.2)

lo stesso vale se è il ricevitore ad allontanarsi. Se poi S ed R sono in avvicinamento, per gli stessi ragionamenti, vale la seguente:

)1()1(

ββ

+−

= SR TT (S ed R in avvicinamento). (A3.3)

Per una trattazione più generale dell’argomento, si veda il Subappendice 1.2. App. 1-Par. 3.6: Il Paradosso dei Gemelli spiegato con l’Effetto Doppler Relativistico! Supponiamo che uno dei due gemelli parta per un viaggio spaziale a velocità pari a 3/5 c=180.000 km/s, in allontanamento dalla Terra per 25 min (misurati sulla Terra) e poi inverta la rotta e ritorni sulla Terra alla stessa velocità, impiegando dunque altri 25 min. Si trascurino ovviamente, per semplicità, le fasi di accelerazione e decelerazione. Ora, per dimostrare che la dilatazione del tempo agisce anche sulla frequenza cardiaca del gemello in viaggio (ma sempre agli occhi del gemello sulla Terra, nonché al reincontro dei gemelli a fine viaggio), supponiamo, per semplicità, che entrambi i gemelli abbiano un battito cardiaco al secondo e che il gemello sulla Terra trasmetta un impulso radio (dunque a velocità c) ogni secondo, cioè ogni suo battito cardiaco, verso l’astronave, per tenere informato il fratello gemello in viaggio sulla propria frequenza cardiaca. Ricordiamo che per il gemello “vecchio” (old) che resta sulla Terra il viaggio dura, per ipotesi, 25+25=50 min (3000 battiti cardiaci), mentre, se la dilatazione del tempo è vera, per il gemello giovane (young) la durata sarà di (V=3/5 c, cioè β=3/5):

)2591(min50)1()1( 2

2

2

22

cc

cVTTT oldoldyoung −=−=−= β =40min (=2400 battiti cardiaci)

Invece, sotto un’analisi Doppler del fenomeno, possiamo dire che, per la (A3.2), il gemello sulla Terra (old) trasmette i suoi battiti cardiaci ogni secondo, ma dal gemello in viaggio essi verranno ricevuti, nella fase di andata, ogni due secondi; infatti, durante l’andata (“to”):

c c c

Antenna Sorgente S Antenna Ricevitore R

V

sstoTtoT oldyoung 2)5/3(1)5/3(1

1)1()1(

)()( =−+

=−+

=ββ

e dunque, durante l’andata, il gemello in viaggio, il cui tempo

di andata è di 20 min=1200s=1200 battiti, ha ricevuto dal fratello sulla Terra un battito ogni 2s, cioè solo 600 battiti. Dunque, il gemello in volo, durante i suoi 20 min(=1200s) di andata, ha constatato su se stesso ovviamente 1200 battiti e ne ha ricevuti però solo 600 del fratello sulla Terra. Dopo 20 min del gemello in volo, la rotta si inverte ed inizia il ritorno verso la Terra, di altri 20 min (sempre secondo il tempo del gemello in volo). In questi altri 20 min di ritorno (“from”), però, il gemello sulla Terra trasmette sempre ogni secondo, ma quello in volo ora riceve ogni mezzo secondo; infatti, ora, per la (A3.3):

ssfromTfromT oldyoung 5,0)5/3(1)5/3(1

1)1()1(

)()( =+−

=+−

=ββ

, dunque, durante questi suoi altri 20 min=1200s=

=1200 battiti su se stesso, il gemello in volo riceve ben 2400 battiti dal fratello dalla Terra. Dunque, il gemello in volo, durante gli altri suoi 20 min(=1200s) di ritorno, ha constatato su se stesso ovviamente altri 1200 battiti e ne ha ricevuti però ben 2400 dal fratello dalla Terra. Riassumiamo: in totale, durante il suo intero viaggio di 20+20=40 min, il gemello in volo ha contato ovviamente 1200+1200=2400 battiti cardiaci su se stesso e ben 600+2400=3000 battiti cardiaci dal fratello gemello rimasto sulla Terra. Deve per forza ritenersi più giovane!!! App. 1-Par. 3.7: L’Esperimento di Michelson e Morley.

Fig. A3.6: Apparecchiatura di Michelson (interferometro). Fig. A3.7: Percorsi luminosi e rispettive velocità.

S

S1

S2

Cannocchiale e interferometro

L – sorgente luminosa r1

r2

S – specchio semiriflettente S1, S2 - specchi

S2

S

S

l2

22tV ⋅

S

S1

l1

c+V

c-V

22 Vc −

V V c c

22 Vc −

Prima di Einstein si pensava che le onde elettromagnetiche, e dunque anche la luce, dovessero necessariamente propagarsi in un mezzo, così come avviene per le onde sonore nell’aria. Si suppose dunque che lo spazio fosse permeato da un gas invisibile e leggerissimo, detto etere. La Terra ruota intorno al Sole con una velocità V di circa 30 km/s, dunque si muoverebbe nell’etere con tale velocità e la luce emessa da una sorgente luminosa solidale con la Terra stessa dovrebbe dunque avere, in generale, una velocità diversa da c (c±V lungo la direzione di moto della Terra e 22 Vc − trasversalmente). Nel 1886 si iniziò a preparare l’esperimento, che doveva dimostrare il movimento della Terra nell’etere. A Cleveland venne bloccato il traffico durante l’esperimento, per evitare vibrazioni; l’apparecchiatura fu posta su una lastra di pietra galleggiante in un pozzo di mercurio, per effettuare la rotazione dell’apparecchiatura di 90° senza vibrazioni. Ora, con l1 lungo il moto della Terra, per il cammino di andata e ritorno compiuto dalla luce, si ha:

)1(12

22111

1 cVcl

Vcl

Vclt

−=

−+

+= e per il moto trasversale lungo l2:

)1(122

222

222

2cVc

lVc

lt−

=−

=

Facendo giungere i due raggi su un interferometro per farli appunto interferire, gli stessi giungerebbero con un Δt pari a:

)]1()21([2))1()1(

(2 221

22222

122

212 cVlcVl

ccVl

cVl

cttt +−+≅

−−

−=−=∆

in quanto si ha che 410−≅cV , 822 10−≅cV e kxx k +≅+ 1)1( .

La lunghezza d’onda della luce utilizzata era m7105,5 −⋅=λ e sappiamo che a λ corrisponde l’angolo giro π2 ; possiamo dunque scrivere la seguente proporzione che coinvolge l’angolo di sfasamento δ tra i due raggi e la differenza di cammino cΔt:

δπλ tc∆

=2

, da cui: λ

πδ

tc∆=

2.

Fissando la lunghezza di un braccio e regolando quella dell’altro tramite una vite micrometrica, si può rendere cΔt dell’ordine di λ, realizzando il fenomeno di interferenza voluto. Ora, senza variare la geometria dell’apparecchiatura, la si ruoti di 90°; i ruoli di l1 ed l2 si invertiranno e si avrà:

)]1()21([2))1()1(

(2''' 222

22122

222

112 cVlcVl

ccVl

cVl

cttt +−+≅

−−

−=−=∆

e inoltre si avrebbe: 4,010105,5

22'2

'2

872

221 ≅

⋅=

+=

∆−∆=

−=

∆ −− m

mcVlltctc

λλπδδ

πδ

, cioè, con la rotazione

dell’interferometro si dovrebbe osservare uno spostamento delle frange di interferenza pari a 0,4 volte la distanza λ fra due massimi successivi. In realtà, nulla di tutto ciò fu osservato, nonostante la sensibilità degli strumenti fosse tale che si potesse avere anche

01,02

=∆πδ

!

Michelson si dichiarò dunque deluso dall’esperimento, visto che non venne dimostrato il movimento della Terra nell’etere. La questione venne risolta nel 1905 da un impiegato dell’Ufficio Brevetti di Berna, un certo Albert Einstein, che suggerì di cessare di cercare di dimostrare il moto della Terra nell’etere, per il semplice fatto che l’etere non esiste! Aggiungo io che la materia oscura dei giorni nostri presto farà la stessa fine. App. 1-Capitolo 4: L’Elettrodinamica relativistica. App. 1-Par. 4.1: La forza magnetica è niente altro che una (relativistica) forza elettrica di Coulomb(!) A tal proposito, immaginiamo la seguente situazione, dove vi è un conduttore, ovviamente composto da nuclei positivi e da elettroni, e poi un raggio catodico (di elettroni) che scorre parallelo al conduttore:

Fig. A4.1: Conduttore non percorso da corrente, visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico. Sappiamo dal magnetismo che il raggio catodico non sarà deflesso verso il conduttore perché in quest’ultimo non scorre nessuna corrente che possa determinare ciò. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che ogni singolo elettrone del raggio è respinto dagli elettroni del conduttore con una forza F-

identica a quella F+ con cui è attratto dai nuclei positivi del conduttore. Passiamo ora alla situazione in cui nel conduttore scorra invece una corrente con gli e- a velocità u:

Fig. A4.2: Conduttore percorso da corrente (con gli e- a velocità u), visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico. In quest’ultimo caso, sappiamo dal magnetismo che il raggio di elettroni deve deflettere verso il conduttore, in quanto siamo nel noto caso di correnti parallele e di verso concorde, che devono dunque attrarsi. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che dal momento che gli elettroni nel conduttore inseguono, per così dire, quelli del fascio, i primi, visti dal sistema di quiete del fascio (I’), avranno una velocità minore rispetto a quella che risultano avere i nuclei positivi, che invece sono fermi nel conduttore. Risulterà, perciò, che gli spazi immaginabili tra gli elettroni del conduttore subiranno una contrazione relativistica di Lorentz meno accentuata, rispetto ai nuclei positivi, e dunque ne risulterà una densità di carica negativa minore della densità di carica positiva, e dunque gli elettroni del fascio verranno elettricamente attratti dal conduttore. Ecco la lettura in chiave elettrica del campo magnetico. Ora, è vero che la velocità della corrente elettrica in un conduttore è molto bassa (centimetri al secondo) rispetto alla relativistica velocità della luce c, ma è anche vero che gli elettroni sono miliardi di miliardi …, e dunque un piccolo effetto di contrazione su così tanti interspazi determina l’apparire della forza magnetica. Ora, però, vediamo se la matematica ci dà quantitativamente ragione su quanto asserito, dimostrandoci che la forza magnetica è una forza elettrica anch’essa, ma vista in chiave relativistica. Consideriamo allora una situazione semplificata in cui un elettrone e- , di carica q, viaggi, con velocità v, parallelo ad una corrente di nuclei con carica Q+ (a velocità u): Fig. A4.3: Corrente di cariche positive (a velocità u) ed elettrone a velocità v nel sistema di quiete del lettore I.

e- e-

p+

e- e- e- e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Raggio catodico

Conduttore

F -

F +

Direzione del raggio catodico v

x’

y’ z’

I’

Direzione della corrente I, con e- a velocità u

e- e-

p+

e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Raggio catodico

Conduttore

F -

F +

Direzione del raggio catodico v

x’

y’ z’

I’

r

Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+

q-

220 1 cudd −=

F

v

u

x’

y’ z’

I’

x

y

I z

a) Valutazione di F in chiave elettromagnetica, nel sistema I : Ricordiamo innanzitutto che se ho N cariche Q, in linea, a distanza d una dall’altra (come in figura A4.3), allora la densità di carica lineare λ sarà:

dQdNQN =⋅⋅=λ . Ora, sempre con riferimento alla Fig. A4.3, nel sistema I, per l’elettromagnetismo l’elettrone sarà sottoposto alla forza di Lorentz )( BvEqFl ×+= che si compone di una componente originariamente già elettrica e di una magnetica:

qrdQq

rqEFel )

21()

21(

00 πεπλ

ε==⋅= dovuta all’attrazione elettrostatica di una distribuzione lineare di cariche Q,

e:

rdQu

rudQ

rtQ

rIFmagn π

µπ

µπ

µπ

µ22

)(22 0000 ==== (Biot e Savart).

Dunque: 220

0

00

0 11)1(

2)

221(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqFl

−−=−= µ

εππµ

πε , (A4.1)

dove il segno meno indica che la forza magnetica è repulsiva, in tale caso, visti i segni reali delle due correnti, e dove la distanza d0 di quiete risulta contratta a d, per Lorentz, nel sistema I in cui le cariche Q hanno velocità u

( 220 1 cudd −= ).

b) Valutazione di F in chiave elettrica, nel sistema I’ di quiete di q: nel sistema I’ la carica q è ferma e dunque non costituisce nessuna corrente elettrica, e dunque sarà presente solo una forza elettrica di Coulomb verso le cariche Q:

220

000 '11)

21()

2'1()

2'1(''

curdQqq

rdQq

rqEF el

−===⋅=

πεπεπλ

ε , (A4.2)

dove u’ è la velocità della distribuzione di cariche Q nel sistema I’, che si compone di u e v tramite il noto teorema relativistico di addizione delle velocità:

)1()(' 2cuvvuu −−= , (A4.3)

e d0, questa volta, si contrae appunto secondo u’: 220 '1' cudd −= .

Notiamo ora che, con un po’ di algebra, vale la seguente relazione (vedi la (A4.3)):

22

222222

)1()1)(1('1

cuvcvcucu

−−−

=− , che sostituita nel radicale della (A3.2) fornisce:

2222

20

000 11)1()

21()

2'1()

2'1(''

cvcucuv

rdQqq

rdQq

rqEF el

−−

−===⋅=

πεπεπλ

ε (A4.4)

Vogliamo ora confrontare la (A4.1) con la (A4.4), ma ancora non possiamo, perché una fa riferimento ad I e l’altra ad I’; rapportiamo allora elF ' della (A4.4) in I anch’essa e, per fare ciò, osserviamo che, per la definizione stessa di forza, in

I’:

2222'

'

1)_(

1)'_('

cvIinF

cvtp

tpIinF el

I

I

I

Iel

−=

−∆

∆=

∆∆

= , con II pp ∆=∆ ' in quanto p∆ si estende lungo y, e non

lungo la direzione del moto relativo, dunque per le T. di Lorentz non subisce variazione, mentre t∆ ovviamente sì. Si ha allora:

22

2222

20

0

22 111

)1()2

1(1)'_(')_( cvcvcu

cuvrdQqcvIinFIinF elel −

−−

−=−=

πε =

)_(1

)1()2

1(22

20

0

IinFcu

cuvrdQq el=

−

−=

πε (A4.5)

Ora, dunque, possiamo confrontare la (A4.1) con la (A4.5), in quanto ora entrambe fanno riferimento al sistema I. Riscriviamole una sopra l’altra:

2200

00

0 11)1(

2)

221()_(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqIinFl

−−=−= µ

εππµ

πε

22200

022

20

0 11)1(

21)1()

21()_(

cucuv

rdQq

cucuv

rdQqIinFel

−−=

−

−=

εεππε

Possiamo dunque dire che le due equazioni sono identiche se è verificata la seguente identità: 001 µε=c , e la

stessa è nota sin dal 1856. Essendo dunque identiche le due equazioni, la forza magnetica risulta ricondotta ad una forza elettrica di Coulomb, e dunque è compiuta l’unificazione dei campi elettrico e magnetico!! App. 1-Par. 4.2: Il quadrivettore densità di corrente. Si hanno ovviamente le seguenti equazioni sulla densità di carica:

00 dt

dQ=ρ , 0

021

γρβτ

ρ =−

==dt

dQddQ

Si noti poi che vale la seguente equazione che testimonia anche l’invarianza della carica elettrica: τρρ ddt =00 .

Sappiamo poi dalla fisica che la densità di corrente vale vj rrρ= .

Viene allora spontaneo definire il quadrivettore densità di corrente nel seguente modo:

),(),( 00 cvcjj γργρρrr

== ; si noti la similitudine con il quadrivettore momento-energia:

),(),( 00 cmvmmcpp γγrr

== . Si ha poi:

220

24

22cjjj ρ−=−=

r e inoltre, potendo applicare le Trasformazioni di Lorentz ad un quadrivettore, come detto allo

App.1-Par. 1.5 – eq. (A1.12), si ha:

411' jjj βγγ −= )(' Vjj xx ργ −=

22' jj = yy jj ='

33' jj = oppure anche: zz jj =' (A4.6)

414' jjj γβγ +−= )(' 2 xjcV

−= ργρ

con cV=β e 21

1β

γ−

= .

Adesso, al fine di mostrare con i quadrivettori e in modo più compatto quanto esposto all’ App.1-Par. 4.2, consideriamo un filo percorso da corrente stazionaria I in un riferimento k e sia I diretta lungo x; se in tale sistema si pone una carica q con velocità v lungo x, si ottiene un movimento di q ad opera del solo campo B, poiché E=0, in quanto, in media, vi sono in un conduttore tante cariche positive quante sono quelle negative. Se però ci poniamo ora in un sistema k’ che si muove con velocità V=v rispetto a k, in k’ q è ferma ed in teoria dovrebbe scomparire la forza magnetica; ma ciò è contrario al Principio di Relatività (vedi Introduzione). Deve quindi comparire in k’ un campo elettrico; infatti:

−++= jjj , ),0(),( nqccjj == +++

ρr

[n]=[numero di q coinvolte/m3] e

),(),( nqcvnqcjj −−== −−−

rrρ , il primo termine qui è negativo perché il verso di v è opposto a quello

convenzionale di I (in quanto qui q<0) ed il secondo termine anche è negativo, sempre perché qui q<0. Per le Trasformazioni di Lorentz (A1.12) si ha allora (v=V): nqVj x γ−==+' )(' nqVnqvj x +−=− γ

nqγρ =+' )(' 2cvVnqnq +−=− γρ

ed essendo ora −+ −≠ '' ρρ , deve comparire un campo elettrico.

App. 1-Par. 4.3: Il tensore del campo elettromagnetico. Premessa sui tensori: Un vettore è un tensore di rango 1. Per noi, poi, è sufficiente dire che ottengo un tensore di rango 2 quando eseguo il prodotto delle componenti di due vettori c e b:

),,,()( 4321 cccccc i = , ),,,()( 4321 bbbbbb k = → kiik bcA = Con le (A1.16) e (A1.17) abbiamo visto come esprimere le Trasformazioni di Lorentz:

llii cc 'α= (i,m=1,2,3,4) e m

mkk bb 'α= (k,l=1,2,3,4) e dunque:

iklmmk

liml

mk

likiik AAbcbcA ==== ''' αααα (A4.7)

che è la legge di trasformazione di un tensore di rango 2. Notiamo poi che si ottiene un tensore di rango 2 anche derivando le componenti di un vettore b rispetto alla coordinata x:

llii bb 'α= , k

kmm xx α=' >>> k

mk

m

xx

α→∂∂ '

m

lkm

li

k

ml

li

mk

m

m

i

k

i

xb

xxb

xxx

xb

xb

''')'(

''

' ∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

ααα ; dunque, tale derivata si trasforma come le componenti di un

tensore 2, dunque è un tensore 2. Premessa sull’elettromagnetismo: sappiamo dall’elettromagnetismo che i campi elettrico e magnetico (vettore induzione B) possono essere espressi in funzione dei potenziali elettrodinamici φ ed A:

tAE

∂∂

−∇−=r

rrϕ e (A4.8)

ABrrr

×∇= (A4.9)

e conosciamo anche la Condizione di Lorentz: 012 =

∂∂

+⋅∇=∂∂

+⋅∇t

Atc

A ϕεµ

ϕ rrrr , (A4.10)

nonché l’Eq. di Continuità: 0=∂∂

+⋅∇t

j ρrr. (A4.11)

Sempre dall’elettromagnetismo sappiamo inoltre che:

=−=∂∂

−∆ερϕ

ϕ 2

2

21

tc φ e (A4.12)

=−=∂∂

−∆ jtA

cA

rr

rµ2

2

21

Ar

(A4.13)

e ricordiamo che già definimmo il quadrivettore densità di corrente j:

),,,(),( ρρ cjjjcjj zyx==r

( ρii vj = ).

------------------

Viene ora spontaneo definire il Quadrivettore Potenziale o Quadripotenziale Φ :

),,,(c

AAA zyxϕ

=Φ ; infatti, così facendo, le (A4.12) e (A4.13) si possono così riassumere:

kk jµ−=Φ e definendo la quadridivergenza ))(

()(44 ctctxyx

div∂

∂+∇=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=rr

si ha anche,

banalmente:

04 =∇ jr

per l’Equazione di Continuità (A4.11) e 04 =Φ∇r

per la Condizione di Lorentz (A4.10).

------------------ Ora, dalle (A4.8) e (A4.9) si ha:

3

2

2

31 xxz

AyABB yz

x ∂Φ∂

−∂Φ∂

=∂

∂−

∂∂

== , )(4

1

1

41 xx

ct

Ax

EE xx ∂

Φ∂−

∂Φ∂

=∂

∂−

∂∂

−==ϕ

ecc; quindi E e B non sono

esprimibili tramite due quadrivettori, ma sono esprimibili insieme tramite un quadritensore di rango 2, in quanto dimostrammo che la derivata di un vettore è un tensore 2:

)(k

i

i

kik xx

cF∂Φ∂

−∂Φ∂

= ; scriviamo ora le componenti di Fik in forma matriciale:

−−−−−−

=

00

00

zyx

zxy

yxz

xyz

ik

EEEEcBcBEcBcBEcBcB

F , e con la (A4.7) abbiamo dimostrato che Fik si trasforma nel seguente

modo: lmmk

liik FF 'αα= . (A4.14)

Si noti che Fik è antisimmetrico, cioè Fik=-Fki. Ovviamente, poi:

−−−−−−

=

0''''0''''0''''0

'

zyx

zxy

yxz

xyz

ik

EEEEcBcBEcBcBEcBcB

F

Ricordando ora che a secondo membro della (A4.14) è sottintesa la sommatoria su l ed m, che sono infatti ripetuti, e sviluppando appunto tale equazione, otteniamo le trasformazioni del campo elettromagnetico:

xx EE '= xx BB '=

)''( zyy VBEE += γ )''( 2 zyy EcVBB −= γ

)''( yzz VBEE −= γ )''( 2 yzz EcVBB += γ

nonché le sue inverse:

xx EE =' xx BB ='

)(' zyy VBEE −= γ )(' 2 zyy EcVBB += γ

)(' yzz VBEE += γ )(' 2 yzz EcVBB −= γ

App. 1-SUBAPPENDICI: App. 1-Subapp. 1: Trasformazioni di Lorentz consecutive. k >>> V >>> k’ >>> W >>> k’’ Abbiamo tre sistemi di riferimento k, k’ e k’’ e V e W sono le rispettive velocità relative.

Con le seguenti notazioni: cV

=1β , c

W=2β , 2

11 11 βγ −= , 222 11 βγ −= ,

21c

VWWVU

+

+= e

cU

=β

si ha, per le T. di Lorentz applicate consecutivamente:

)''(1 Vtxx += γ con )''( 11 x

ctt β

γ += e

)''''(' 2 Wtxx += γ con )''''(' 22 x

ctt β

γ += e, per sostituzione:

xtWVx

tWVxxVtWtxx

=+

+++=

=+++=+++=

)''1

'')(1(

]'')('')1[()''''''''(

212121

21212121

ββββγγ

ββγγββγγ (A.1.1)

e analogamente: )'')1(

1'')(1(21

22121 xWVc

ttββ

ββγγ+

+++= ; (A.1.2)

ora notiamo che si ha:

=+++−++=+−−=+ 22121

22

2121

22

21

221

22

212121 )1()]2(21[1)1()1)(1(1)1( ββββββββββββββββγγ

γββββ =−=++−= 2222121 11)]1()([11 cU , e quindi le (A.1.1) e (A.1.2) si riscrivono così:

)''''( Utxx += γ con )''''()''''( 2 xc

txcUtt β

γγ +=+= , dunque, invece di compiere due T. di

Lorentz ( 1γ ,V e 2γ ,W), se ne compie solo una, ma utilizzando γ ed U. App. 1- Subapp. 2: Effetto Doppler (relativistico) Trasversale. Rappresentiamo un’onda elettromagnetica che si propaga, tramite il suo campo elettrico E:

)(0

rktieEErrr

⋅−= ω ; tale campo si propaga lungo r e sappiamo che λπ2

=kr

e Tπ

ω2

= per cui:

Tk ωλ =r

, cioè: kc

Tkrr

===ω

λω ; (A.2.1)

rktI rr⋅−= ω è evidentemente un invariante, ma è anche esprimibile come il prodotto di due quadrivettori

(evidentemente invarianti): (4-vettore posizione e 4-vettore d’onda) ),(),( ckkctrrI ωrr

⋅−= .

Ricordiamo ora che, per la (A.2.1), c

k ω=

r e consideriamo un’onda luminosa che si propaga in un sistema k’(V) sul

piano x’, y’ e formante un angolo θ’ con x’; le componenti di 'kr

saranno:

'cos)'('cos''1 θωθ ckk == , 'sin)'('sin''2 θωθ ckk == , 0'3 =k e ')'('4 kck == ω .

Per le T. di Lorentz, si ha, invece, in un sistema k: )''( 411 kkk βγ += , 22 'kk = , 33 'kk = e )''( 144 kkk βγ += ; ora, poichè anche k3=0, anche nel sistema k il

raggio si propaga su x,y; quindi, si ha: ),0,sin,cos(ccc

k ωθ

ωθ

ω= ; calcoliamo ora dunque ω e θ: a tal proposito,

dalla trasformazione di k’4 si ha: )'cos''( θω

βω

γω

ccc+= oppure:

)'cos1(')1(

)'cos1('2

θβγωβ

θβωω +=

−

+= (A.2.2)

mentre dalla trasformazione di k’1 si ha: )''cos'(coscccω

βθω

γθω

+= e tenendo conto della (A.2.2), si ha:

)'cos1()'(cos)'(cos'cos

θββθ

βθγωω

θ+

+=+= (A.2.3)

Notiamo poi ancora che la trasformazione di k’2 e la (A.2.2) ci danno:

)'cos1('sin'sin

)'cos1()1(

'sin'sin2

θβγθ

θθβ

βθ

ωω

θ+

=+

−== (A.2.4)

e dalle (A.2.3) e (A.2.4) si ha ancora: )cos1(

sin'sinθβγ

θθ

−= , che è poi anche la (A.2.4) con θ’ e θ scambiati e con

(-β) al posto di β; il tutto per la relatività del moto. ------------------------

Supponiamo ora una sorgente ω’ in quiete in un sistema k’(θ’); allora, dalla (A.2.3) si ha:

)cos1()(cos'cos

θββθ

θ−

−= (utile per determinare subito θ da θ’) ((A.2.3) con θ’ e θ scambiati e con (-β) al posto di β),

da cui, con un po’ di calcolo:

θββ

θβcos1

)1()'cos1(2

−−

=+ e la (A.2.2) diviene:

θββ

ωωcos1

)1('

2

−−

= (A.2.5)

Qui ω’ è la ω della sorgente in moto e ωω ≠' . Dunque, se nel sistema k si vede arrivare la radiazione sotto un angolo πθ = , significa che la radiazione proviene da destra, dal sistema k’ in allontanamento lungo l’asse x, e si può dunque

parlare di Effetto Doppler Longitudinale (Par. 3.5) ed in tal caso 1coscos −== πθ e dalla (A.2.5) con sorgente in

allontanamento ( πθ = ) si ha: )1()1('

ββ

ωω+−

= (A.2.6)

>>> )1()1('

ββ

−+

= TT , mentre col sistema k’ in avvicinamento (θ=0 >>> cos θ=1), si ha:

)1()1('

ββ

ωω−+

= (A.2.7)

>>> )1()1('

ββ

+−

= TT , proprio come nel Par. 3.5.

Curiosità: sviluppando in serie di β (<<1), le (A.2.6) e (A.2.7) si ottiene: )1(' βωω −≅ e )1(' βωω +≅ da cui:

βωω

ωωω

m=∆

=−

'''

, formula molto usata in astrofisica e cosmologia per il red shift (si ricorda poi che πνω 2= e

c=λν ). Per passare dal caso di emettitore in moto a quello di osservatore in moto e viceversa, basta poi scambiare β con – β (V con –V) e ω’ con ω. In ogni caso, quando c’è avvicinamento (o allontanamento) le formule per l’Effetto Doppler Relativistico longitudinale sono le stesse indipendentemente da chi dei due si avvicina. Se il sistema k si vede invece arrivare la radiazione con 2πθ = , dall’alto, allora possiamo parlare di Effetto Doppler Relativistico TRASVERSALE; in tal caso non si ha allontanamento o avvicinamento, ma l’unico effetto di tipo Doppler è

imputabile alla sola dilatazione del tempo; infatti, anche dalla (A.2.5), con 2πθ = , si ha: )1(' 2βωω −= .

Sviluppando, con β<<1, si ha: )2

1('2β

ωω −≅ (secondo grado in β, dunque un effetto meno visibile del

longitudinale). Tale effetto fu osservato per la prima volta da Ives nel 1938 e confermò in pieno la teoria. Inoltre, la diversità tra θ’ e θ conferma anche il fenomeno dell’ABERRAZIONE della luce, secondo cui se sei in moto vedi la luce giungerti sotto un angolo diverso, un po’ come quando in viaggio in macchina vedi la pioggia cadere in obliquo sul parabrezza. E dalle (A.2.3) e (A.2.4) si ha:

)'(cos)1('sin 2

βθβθ

θ+−

=tg .

App. 1- Subapp. 3: Le trasformazioni della quadrivelocità. Abbiamo definito all’ App.1-Par. 2.2 il quadrivettore velocità:

),,,(),(),,,(),,,(),,,( 432143214321 uuuucvcvvv

dtdx

dtdx

dtdx

dtdx

ddx

ddx

ddx

ddxv zyx ===== γγγγγγγγγγ

ττττr

Applicando le T. di Lorentz, si ha: )(' 411 uuu β−Γ= , 22' uu = , 33' uu = , )(' 144 uuu β−Γ= ;

ora, si noti che Γ è definito dalla V del sistema 0’ in moto (e β=V/c), mentre γ si riferisce alla velocità v che la

particella ha in 0, e 'γ alla v’ che la particella ha in 0’. Sostituendo ora agli u i valori corrispondenti:

)('' Vvv xx γγγ −Γ= , yy vv γγ ='' , zz vv γγ ='' , )(' xvcc γβγγ −Γ= ;

e dall’ultima si ha:

)1(

1'

2 xvcV

−Γ=

γγ

, (A.3.1)

che sostituita nelle prime tre: )('

' Vvv xx −Γ=γγ

, yy vv'

'γγ

= , zz vv'

'γγ

= dà la trasformazione delle velocità. Nel

caso delle trasformazioni inverse, in luogo della (A.3.1) si avrà: )1(' 2 xv

cV

+Γ=γγ

.

Segue dalla (A.3.1) che se la particella è in quiete in 0 (v=0 >> 1=γ ), allora Γ='γ , da cui v’=-V , cioè in 0’ la particella ha velocità –V (ovvio). App. 1- Subapp. 4: Le trasformazioni della quadriforza. All’ App.1-Par. 2.3 abbiamo introdotto la Forza di Minkowski, o quadriforza:

),,,())(,( 4321 FFFFvfc

fd

pdF =⋅==

rrr γγ

τ.

Per le T. di Lorentz: )(' 411 FFF β−Γ= , 22' FF = , 33' FF = , )(' 144 FFF β−Γ= . Introducendo ora in tali equazioni di trasformazione le componenti della Forza di Minkowski, si ottiene:

))(('' vfc

ff xxrr

⋅−Γ= γβ

γγ , yy ff γγ ='' , zz ff γγ ='' , ))(()''(' xfVvfvf γγγ −⋅Γ=⋅rrrr

, da cui:

))(('

' vfc

ff xxrr

⋅−Γ=β

γγ

, yy ff'

'γγ

= , zz ff'

'γγ

= , ))(('

)''( xVfvfvf −⋅Γ=⋅rrrr

γγ

, che, per la (A.3.1)

divengono:

x

x

x

vcV

vfc

ff

21

))(('

−

⋅−=

rrβ

,

x

yy

vcV

ff

2

2

1

1'

−

−=

β ,

x

zz

vcV

ff2

2

1

1'

−

−=

β ,

x

x

vcV

Vfvfvf21

)()''(

−

−⋅=⋅

rrrr

che sono le equazioni di trasformazione della quadriforza.

App. 1- Subapp. 5: Il quadrivettore accelerazione e le trasformazioni delle accelerazioni. Ovviamente, il quadrivettore accelerazione è definibile come segue:

),,,(),,,( 432124

2

23

2

22

2

21

2

2

2

aaaad

vdd

xdd

xdd

xdd

xdd

xda ====ττττττ

Per le prime tre componenti (spaziali) si ha: ( 3,2,1=α )

22222

)1()(

1)(

ββγ

γγ

τγ ααα

ααα −+

−=+==

cvvvv

dtdv

dtdv

ddtv

dtda &&

, in quanto:

2

33

2)

)1(1(

cvv

dtd

dtd &&&

γββγ

β

γγ ==

−== . Riguardo invece a4 :

224

2

4 )1()(

2)(

βββγ

γγγ

τγ

−=====

cvvc

dtdc

dtdc

ddtc

dtda

&& e dunque:

))1(

)(,()2

),(( 2242

2

βββγγ

γγγ

−+==

vvvvdt

dcvdtda

&&& ; si noti che nel sistema in cui la particella è a riposo (v=0, β=0)

si ha: xva &=)0(1 , yva &=)0(

2 , zva &=)0(3 , 0)0(

4 =a , cioè la parte spaziale di a coincide con quella tridimensionale

ordinaria. Si ha inoltre: 022>= va & ed essendo

2a un invariante, la disegualianza è sempre verificata e a è dunque

di tipo spazio. Per giungere ora alle equazioni di trasformazione dell’accelerazione, di consideri che:

dtdvv =& e

dtdvv ''=& ; inoltre, )(tvv xx = e )'('' tvv xx = (coerentemente). Denominiamo poi:

cvx

x =β e c

v xx

'' =β ; otteniamo allora dalle (A1.18) che:

22 )'1(1

' xx

x

dvdv

ββγ += , 2)'1(

)''''(1

' x

xy

xy

y

y dvdv

dvdv

ββγ

βββ

+

−−= e 2)'1(

)''''(1

' x

xz

xz

z

z dvdv

dvdv

ββγ

βββ

+

−−= .

Da queste si ha poi:

22 )'1('

x

xx

dvdvββγ +

= , 2)'1()''''('

x

yxxyyy

dvdvdvdv

ββγβββ

+−−

= e 2)'1()''''('

x

zxxzzz

dvdvdvdvββγ

βββ+

−−= ;

dividendo ora tali relazioni con la seguente nota relazione (delle T. di Lorentz) )''( dxc

dtdt βγ += , si ha:

xx

x aa ')'1(

133 ββγ +

= , 32 )'1()''''('

x

xyyxyy

aaaa

ββγβββ

+−+

= e 32 )'1()''''('

x

xzzxzz

aaaaββγ

βββ+

−+=

che sono appunto le equazioni di trasformazione dell’accelerazione. Notiamo, per ultimo, che tali equazioni contengono la velocità; quindi, se l’accelerazione tridimensionale è costante in un sistema di riferimento inerziale, varierà nel tempo in tutti gli altri!

App. 2: Come io vedo l’Universo (Unificazione Gravità Elettromagnetismo).

Indice dell’App. 2: -Indice dell’App. 2. Pag.26 -App. 2-Capitolo 1: Un nuovo Universo, cento volte più grande, massivo e vecchio. Pag.26 App. 2-Par. 1.1: Niente materia oscura! Pag.26 App. 2-Par. 1.2: L’accelerazione cosmica aUniv. Pag.28 App. 2-Par. 1.3: La nuova densità dell’Universo. Pag.29 App. 2-Par. 1.4: Ulteriori considerazioni sul significato di aUniv. Pag.29 App. 2-Par. 1.5: Ulteriori conferme ed incoraggiamenti da parte di altre branche della fisica. Pag.30 App. 2-Par. 1.6: Sulle discrepanze tra la velocità di rotazione calcolata e quella osservata, nelle galassie. Pag.31 -App. 2-Capitolo 2: L’unificazione della forza elettromagnetica con quella gravitazionale (Rubino). Pag.32 App. 2-Par. 2.1: L’effetto di MUniv sulle particelle. Pag.32 App. 2-Par. 2.2: La scoperta dell’essenza comune di gravità ed elettromagnetismo. Pag.33 App. 2-Par. 2.3: L’entità oscillatoria dell’Universo tutto e delle particelle. Pag.34 -App. 2-Capitolo 3: L’unificazione della forza magnetica con quella elettrica. Pag.35 App. 2-Par. 3.1: La forza magnetica è niente altro che una forza elettrica di Coulomb(!). Pag.35

-App. 2-Capitolo 4: Giustificazione dell’equazione eUniv rNR = precedentemente utilizzata per l’unificazione della forza elettrica con quella gravitazionale (Rubino). Pag.38

App. 2-Par. 4.1: L’equazione eUniv rNR = (!). Pag.38

-App. 2-Capitolo 5: “aUniv“ come responsabile assoluta di tutte le forze. Pag.39 App. 2-Par. 5.1: Tutto da “aUniv“. Pag.39 App. 2-Par. 5.2: Schema riassuntivo dell’unificazione delle forze. Pag.39 App. 2-Par. 5.3: Altre considerazioni sulla composizione dell’Universo in coppie +/-. Pag.40 App. 2-Par. 5.4: La Teoria della Relatività altro non è che la interpretazione dell’Universo di oscillazioni appena descritto, in contrazione a velocità c ed accelerazione auniv. Pag.40 App. 2-Par. 5.5: Sulla “Relatività” delle energie cedute. Pag.42 -App. 2-SUBAPPENDICI. Pag.42 App. 2-Subppendice 1: Costanti fisiche. Pag.42 App. 2-Capitolo 1: Un nuovo Universo, cento volte più grande, massivo e vecchio. App. 2-Par. 1.1: Niente materia oscura! SULLE DISCREPANZE TRA LA DENSITA’ ρUniv CALCOLATA E QUELLA OSSERVATA: Ricercare il 99% della materia dell’Universo, dopo che la si è dichiarata invisibile, mi sembra alquanto strano. Si dice infatti che la materia oscura dovrebbe essere molta di più di quella visibile (dalle 10 alle 100 volte di più).

Gli astrofisici misurano un valore di ρ dell’Universo visibile pari, o intorno, a: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . La cosmologia prevalente di oggigiorno, nel calcolo della densità media dell’Universo, giunge invece ad un valore ρ pari a (vedere anche la (A1.6)):

3262 /102)34/( mkgGH localWrong

−⋅≅= πρ (valore troppo elevato!) . (A1.1)

Assumiamo ora per Hlocal (costante di Hubble locale – vedi la (A1.7) più sotto) il valore plausibile di:

])([10338,2)/(75 18 msmMpcskmH local

−⋅≅⋅≅ (A1.2)

confermato dalle innumerevoli misurazioni, ad esempio, sull’ammasso di galassie della Chioma (vedi la (A1.7) più sotto) e ciò conferma dunque anche il fatto che gli oggetti più lontani mai osservati si allontanano ad una velocità vicina a quella della luce:

OldUniversolocal RcH −≈ / , da cui: luceanniMpcHcR localOldUniv _105,134000/ 9⋅≈≈≈− (A1.3)

Inoltre, si calcola la velocità di un corpo “gravitante” di massa m ai confini dell’Universo visibile, banalmente, imponendo la seguente eguaglianza tra forza centrifuga e forza gravitazionale:

22

/ OldUnivOldUnivOldUniv

RMmGR

cmam −−−

⋅⋅=⋅=⋅ , (A1.4)

da cui, tenuto anche conto della (A1.3), segue che:

kgHGcM localOldUniv533 1067,1)/( ⋅≅⋅=− (A1.5)

e quindi:

3262333 /102)34/(])(

34[)()

34/( mkgGH

HcGHcRM locallocal

localOldUnivOldUnivWrong−

−− ⋅≅=== πππρ (A1.6)

cioè appunto la (A1.1) (valore troppo elevato!) Bene, anzi, male; tale valore è di quattro ordini di grandezza superiore al valore di densità osservato e, dunque, misurato dagli astrofisici. E poi le galassie sono troppo “leggère” per ruotare così velocemente (vedere oltre). Ed ecco che si è deciso di mettersi alla ricerca di materia oscura, e non di poca, visto che essa dovrebbe essere molta di più di quella visibile (dalle 10 alle 100 volte di più).

Invece, gli astrofisici misurano dunque un valore di ρ pari, o intorno, a: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . Cerchiamo un attimo di capire quali scelte arbitrarie, nei decenni, abbiano potuto portare a tale discrepanza. Dalle osservazioni di Hubble in poi, emerse che le galassie lontane e gli ammassi di galassie si allontanano da noi con certe velocità, determinate da misure dello spostamento verso il rosso. Ma non solo; più si osservano quelle lontane e più si rilevano velocità di allontanamento maggiori e pare giustamente che ci sia una legge che leghi la distanza di tali oggetti da noi e la velocità con cui essi si allontanano, sempre da noi. La Fig. A1.1 qui sotto è una foto dell’ammasso di galassie della Chioma, sul quale sono disponibili centinaia di misurazioni; bene, sappiamo che tale ammasso dista da noi: Δx=100 Mpc = 3,26 108 a.l. = 3,09 1024 m e si allontana da noi ad una velocità: Δv=6870 km/s=6,87 106 m/s. Fig. A1.1: Ammasso della Chioma. Parlando appunto della legge di Hubble ed utilizzando i dati dell’ammasso della Chioma, quanto si osservava (e si osserva tutt’oggi), in forma matematica, è esprimibile come segue:

])([1022,2 18 msmxvH local

−⋅≅∆∆= , (A1.7)

cioè un buon valore per la costante di Hubble “locale”, utilizzata ancor oggi dalla Cosmologia (prevalente).

App. 2-Par. 1.2: L’accelerazione cosmica aUniv. A conferma di quanto appena detto, abbiamo anche visto con la (A1.3) che si ottiene sempre lo stesso valore di costante

di Hubble locale se, invece dei dati sull’ammasso della Chioma, si utilizza l’intero nostro Universo visibile, di 13,5 910 a.l. di raggio ed espandentesi approssimativamente a velocità c. Ma per gli stessi ragionamenti fatti finora per giungere alla definizione di Hlocal, possiamo anche dire che se le galassie, con l’allontanarsi, aumentano la loro velocità, allora sono sottoposte ad un’accelerazione aUniv , e, dalla fisica, sappiamo che, banalmente:

tvttatax ∆⋅∆=∆⋅∆⋅=∆⋅=∆21)(

21

21 2 , da cui:

vxt

∆∆⋅

=∆2

, che usata nella definizione di accelerazione

aUniv , ci dà:

2122

/1062,72

)(2 sma

xv

vx

vtva UnivUniv

−⋅≅=∆⋅

∆=

∆∆⋅

∆=

∆∆

= , accelerazione cosmica (Wåhlin) (A1.8)

avendo utilizzato i dati dell’ammasso della Chioma. E’ questa l’accelerazione con cui perlomeno tutto il nostro Universo visibile accelera verso il centro di massa dell’Universo intero. VEDREMO ORA CHE QUESTO PICCOLO OGGETTO CHE ABBIAMO APPENA VALUTATO, E CIOE’ aUniv, CHE E’ UN OGGETTO DI CUI, EVIDENTEMENTE, NON SI TIENE BEN CONTO, CI PERMETTE DI CONCLUDERE CHE LA DENSITA’ CALCOLATA DELL’UNIVERSO E’ ESATTAMENTE QUELLA MISURATA DAGLI ASTROFISICI E CI PERMETTERA’ ANCHE DI GIUSTIFICARE LE ALTE VELOCITA’ DI ROTAZIONE DELLE GALASSIE, SEMPRE SENZA STARE A CERCARE LA MATERIA OSCURA

pena però il dover accettare che viviamo in un Universo che ha un raggio almeno 100 volte quello dei 13,5 910 a.l. predicato oggigiorno, e con una massa molto più grande dell’1,67 1053 kg, valutata a pag. 71, e sempre predicata oggigiorno come massa dell’Universo tutto, e non di quello a noi visibile (vedere oltre). Dipaniamo la matassa: Partiamo dunque dalla scoperta rappresentata dalla (A1.8), secondo cui stiamo accelerando e dalla (A1.4), secondo cui:

NewUnivUniv R

ca−

=2

, da cui, per il nuovo raggio dell’Universo:

macRUniv

NewUniv28

2

1017908,1 ⋅≅=− . (A1.9)

Tale valore è un centinaio di volte quello precedentemente calcolato nella (A1.3) e sarebbe però il raggio compreso tra il centro di massa dell’Universo ed il luogo dove siamo ora noi, luogo in cui la velocità della luce vale c. ((non essendo evidentemente noi esattamente ai confini di tale Universo, si dimostra che l’estensione totale è più grande

di un fattore 2 , cioè RUniv-Tot=1,667 1028m.)) In ogni caso, si viaggia su dimensioni lineari dell’ordine di 100 volte quelle contemplate nella cosmologia prevalente. In un certo senso, di materia che non vediamo ce n’è, ma sta oltre il range dei nostri telescopi, e non dentro le galassie o tra le galassie, materia (quella oscura) che andrebbe a scombussolare le leggi della gravitazione, che invece reggono bene. Sempre dalla (A1.4) si ha ora che:

2/ NewUnivNewUnivUniv RMmGam −−⋅⋅=⋅ , da cui:

kgGRaM NewUnivUnivNewUniv552 1059486,1/ ⋅=⋅= −− (A1.10)

Questo valore, ancora una volta, è 100 volte quello della cosmologia prevalente della (A1.5) ed è la massa entro il raggio RUniv-New , mentre quella entro il totale RUniv-Tot non è nota.

Dalle (A1.9) ed (A1.10) scaturisce poi che: Univ

Univ

RGMc =2 (~Eddington). (A1.11)

App. 2-Par. 1.3: La nuova densità dell’Universo. VENIAMO ORA AL CALCOLO DELLA NUOVA DENSITA’ DELL’UNIVERSO:

3303 /1032273.2)34/( mkgRM NewUnivNewUniv

−−− ⋅=⋅= πρ !!! (A1.12)

molto, ma molto prossima a quella osservata e misurata dagli astrofisici e già riportata a pag. 70. La natura, per fortuna, offre anche dei segnali che incoraggiano e, anzi, convincono, nel perseguimento di una determinata strada, quando conferme di ciò che si è intuito giungono da altri settori della fisica del tutto distanti da quello in cui ci si sta muovendo. A tal proposito, premetto che il raggio classico dell’elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!) è definito eguagliando la sua energia E=mec2 a quella elettrostatica immaginata sulla sua superficie (in senso classico):

ee r

ecm2

0

2

41πε

=⋅ , da cui:

mcm

ere

e15

2

2

0

108179,24

1 −⋅≅⋅

=πε

(A1.13)

Adesso, sempre in senso classico, se immagino, ad esempio, di calcolare l’accelerazione di gravità su un elettrone, come se lo stesso fosse un piccolo pianetino, devo scrivere banalmente che:

2e

exex r

mmGgm ⋅=⋅ , da cui:

2124

4320

22 1062,78 sma

ecGm

rmGg Univ

e

e

ee

−⋅==== επ !!! (A1.14)

cioè esattamente il valore ottenuto nella (A1.8) per tutt’altra via, macroscopica, e non microscopica, come nel caso della (A1.14). Del resto, i comportamenti gravitazionali dell’Universo e degli elettroni che lo compongono, perchè dovrebbero essere diversi tra loro? App. 2-Par. 1.4: Ulteriori considerazioni sul significato di aUniv. Beh, certo che se la materia mostra attrazione reciproca in forma di gravità, allora siamo in un Universo armonico oscillante in fase di contrazione, che si sta contraendo tutto verso un punto comune che è il centro di massa di tutto l’Universo. Infatti, l’accelerare verso il centro di massa ed il mostrare proprietà attrattive gravitazionali sono due facce della stessa medaglia. Inoltre, tutta la materia intorno a noi mostra di voler collassare: se ho una penna in mano e la lascio, essa cade, dimostrandomi che vuole collassare; poi, la Luna vuole collassare nella Terra, la Terra vuole collassare nel Sole, il Sole nel centro della Via Lattea, la Via Lattea nel centro del suo ammasso e così via, e, dunque, anche tutto l’Universo collassa. No? Ma allora come si spiegherebbe che vediamo la materia lontana, intorno a noi, allontanarsi e non avvicinarsi? Beh, facile: se tre paracadutisti si lanciano in successione da una certa quota, tutti e tre stanno cadendo verso il centro della Terra, dove poi idealmente si incontreranno, ma il secondo paracadutista, cioè quello che sta in mezzo, se guarda in avanti, vede il primo che si allontana da lui, in quanto ha una velocità maggiore, poiché si è buttato prima, mentre se guarda indietro verso il terzo, vede anche questi allontanarsi, in quanto il secondo, che sta facendo tali rilevamenti, si è lanciato prima del terzo, e dunque ha una velocità maggiore e si allontana dunque pure da lui. Allora, pur convergendo tutti, in accelerazione, verso un punto comune, si vedono tutti allontanarsi reciprocamente. Hubble era un po’ come il secondo paracadutista che fa qui i rilevamenti. Solo che non si accorse dell’esistenza della accelerazione di gravità g (aUniv) come background. Ricordo poi che recenti misurazioni su supernove di tipo Ia in galassie lontane, utilizzate come candele standard, hanno dimostrato che l’Universo sta effettivamente accelerando, fatto questo che è contro la teoria della nostra presunta attuale espansione post Big Bang, in quanto, dopo che l’effetto di una esplosione è cessato, le schegge proiettate si propagano, sì, in espansione, ma devono farlo ovviamente non accelerando.

Poi, dai rapporti attuali delle abbondanze di 235U e 238U , elementi trans-CNO formatisi durante l’esplosione della supernova originaria, si evince che (forse) la Terra ed il sistema solare hanno solo cinque o sei miliardi di anni, ma ciò non contraddice quanto appena detto sulla reale età dell’Universo, in quanto non si escludono sub-cicli che hanno dato origine alle galassie ed ai sistemi solari, di durata ben minore dell’età complessiva dell’Universo. Riguardo il periodo TUniv dell’Universo, sappiamo dalla fisica che: v=ωR e T/2πω = , e, nel caso dell’Universo

intero: c=ωRUniv e UnivT/2πω = , da cui:

scRT Univ

Univ201047118,22

⋅==π

(7.840 miliardi di anni) (A1.15)

E per il valore della frequenza angolare: sradRc NewUniversoUniv /1054,2/ 20−− ⋅=≅ω , ed esso è il parametro giusto

per una reinterpretazione della costante di Hubble globale globalH , che vale localH solo nell’Universo a noi visibile

( GlobalUniv H=ω ).

App. 2-Par. 1.5: Ulteriori conferme ed incoraggiamenti da parte di altre branche della fisica. 1) Ricordiamo preliminarmente la legge di Stephan-Boltzmann:

4Tσε = [W/m2], dove )(1067,5 428 KmW−⋅=σ E’ ora interessantissimo notare che se si immagina che un elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!) irradi tutta l’energia che lo costituisce nel tempo TUniv , si ottiene una potenza che è esattamente ½ della costante di Planck in watt! Infatti:

WhT

cmL WUniv

ee

342

10316,321 −⋅===

(Non deve stupire il coefficiente ½; infatti, ai livelli fondamentali di energia, esso sempre compare, come, ad esempio, sul primo orbitale dell’atomo di idrogeno, dove la circonferenza dell’orbitale dell’elettrone (2πr) è proprio

DeBroglieλ21 dell’elettrone. E lo stesso fotone è rappresentabile come se racchiuso in un cubetto di lato

photonλ21 ).

2) Inoltre, notiamo che un elettrone e l’Universo hanno lo stesso rapporto luminosità – massa:

infatti, WT

cMLUniv

UnivUniv

512

1080,5 ⋅== (per definizione) e risulta quindi vero che:

e

W

Unive

Univ

e

e

e

UnivUniv

Univ

Univ

Univ

Univ

m

h

Tc

mT

cm

mL

Tc

MT

cM

ML 2

12

2

2

2

====== e per la legge di Stephan-Boltzmann, sia all’Universo

che ad un “elettrone” si può, per così dire, attribuire la stessa temperatura della radiazione cosmica di fondo:

424

TRL

σπ

= , da cui: Kr

h

rL

RL

RLT

ee

e

Univ

Univ 73,2)4

21

()4

()4

()4

( 41

24

1

24

1

24

1

2 ≅====σπσπσπσπ

!!!

E tutto ciò non è più vero se si usano i valori della cosmologia prevalente! 3) Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg come conseguenza dell’essenza dell’Universo macroscopico accelerante ad Univa :

per tale principio, dal momento che il prodotto Δx Δp deve stare al disopra della quantità 2/h , con il segno dell’eguaglianza, quando Δx è massimo, Δp deve essere minimo, e viceversa:

2/h≥∆⋅∆ xp e 2/minmax h=∆⋅∆ xp ( π2/h=h )

Ora, come maxp∆ consideriamo, per l’elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!), la quantità

)(max cmp e ⋅=∆ e come minx∆ per l’elettrone, dal momento che lo stesso altro non è che un’armonica

dell’Universo che lo contiene (così come un suono può essere considerato come composto dalle sue armoniche), avremo 2

min )2( πUnivax =∆ , come conseguenza diretta delle caratteristiche dell’Universo che lo contiene; infatti, per la

(A1.15), 2UnivUnivUniv aR ω= , in quanto si sa dalla fisica che Ra 2ω= , e poi UnivUnivUniv T πνπω 22 == , e come

eω dell’elettrone (che è armonica dell’Universo) si considera dunque la “ Univν – esima” parte di Univω , cioè:

UnivGlobalUnivUnive H ννωω == , come se l’elettrone o una coppia elettrone-positrone possono compiere

oscillazioni a mo’ di quelle dell’Universo, ma con un rapporto velocità - ampiezza non pari alla Costante di Hubble

(globale), bensì con la stessa fratto Univν e, dunque, se per l’Universo tutto è vero che: 2UnivUnivUniv aR ω= , per

l’elettrone: 2222min )2()()()( πννωωUniv

UnivGlobal

Univ

UnivUniv

Univ

e

Univ aH

aaax ====∆ , da cui:

342minmax 10527,0

)2(−⋅==∆⋅∆

πUniv

eacmxp [Js] e questa quantità ( 3410527,0 −⋅ Js), guarda caso, è proprio 2/h !!

4) Come fatto in precedenza, premetto che il raggio classico dell’elettrone (particella base e “stabile”, nel nostro Universo!) è definito eguagliando la sua energia E=mec2 a quella elettrostatica immaginata sulla sua superficie (in senso classico):

ee r

ecm2

0

2

41πε

=⋅ , da cui:

mcm

ere

e15

2

2

0

108179,24

1 −⋅≅⋅

=πε

Sempre in senso classico, se immagino di calcolare l’accelerazione di gravità su un elettrone, come se lo stesso fosse un piccolo pianetino, devo scrivere banalmente che:

2e

exex r

mmGgm ⋅=⋅ , da cui:

2124

4320

22 1062,78 sma

ecGm

rmGg Univ

e

e

ee

−⋅==== επ !!!

5) Sappiamo che la quantità 137

1=α è il valore della Costante di Struttura Fine e l’espressione νh

rGm

e

e2

assume

tale valore solo se ν è quella dell’Universo da noi appena descritto, cioè:

Unive

e hr

Gmνα

2

1371

== , dove notoriamente Univ

Univ T1

=ν (vedi la (A1.15)) !!

6) Se suppongo, per semplicità, che l’Universo sia composto solo da armoniche come gli elettroni −e (e/o i positroni

+e ), essi saranno, in numero, pari a: 851075,1 ⋅≅=e

Univ

mMN (~Eddington); la radice quadrata di tale numero è:

421013,4 ⋅≅N (~Weyl).

Notiamo ora, con sorpresa, che mrN e281018,1 ⋅≅ (!), cioè proprio il valore di UnivR ottenuto nella (A1.9)

( mrNR eUniv281018,1 ⋅≅= ) !!!

App. 2-Par. 1.6: Sulle discrepanze tra la velocità di rotazione calcolata e quella osservata, nelle galassie. Fig. A1.2: Galassia di Andromeda (M31). Imponiamo, ad una stella periferica in rotazione in una galassia, l’equilibrio tra forza centrifuga e forza di attrazione gravitazionale verso il centro di massa della galassia stessa:

Galassia di Andromeda (M31): Distanza: 740 kpc; RGal=30 kpc; Massa visibile MGal = 3 1011MSun; Massa stimata(+Dark) M+Dark = 1,23 1012MSun; MSun=2 1030 kg; 1 pc= 3,086 1016 m;

2

2

Gal

Galstar

Galstar R

MmGRvm = , da cui:

Gal

Gal

RGMv =

Nel caso invece si consideri anche il contributo mareale dovuto ad aUniv , e cioè dovuto anche a tutto l’Universo circostante, si ha:

GalUnivGal

Gal RaR

GMv += ; vediamo dunque, nel caso, ad esempio, della M31, a quanti RGal (quante k volte) di

distanza dal centro della galassia il contributo di aUniv riesce a sopperire alla necessità di considerare dark matter:

GalUnivGal

Gal

Gal

Dark kRakR

GMkR

GM+=+ , da cui: 4

)(2 ≅

−= +

GalUniv

GalDark

RaMMGk , dunque a 4RGal l’esistenza di aUniv

ci permette di avere i valori di velocità di rotazione osservati, senza far ricorso alla materia oscura. Inoltre, a 4RGal il contributo alla rotazione dovuto ad aUniv domina. Per ultimo, osservo che aUniv non ha invece effetto su oggetti piccoli come il sistema solare; infatti, in tale caso:

14,11092,8 8 ≅>>⋅≅ −−

SoleTerraUnivSoleTerra

Sun RaR

MG .

E’ ovvio che queste considerazioni sul legame tra aUniv e la velocità di rotazione delle galassie sono ampiamente aperte ad ulteriori speculazioni e la formula tramite la quale si può tener conto dell’effetto mareale di Univa nelle galassie può

assumere una forma ben più complessa di quelle qui sopra, ma non sembra proprio un caso che un po’ tutte le galassie hanno dimensioni che stanno in un range abbastanza stretto (3 – 4 RMilky Way o non molto di più) e, in ogni caso, non con raggi di decine o di centinaia di RMilky Way , ma, al massimo, di qualche unità. E’ infatti la componente dovuta all’accelerazione cosmica che, annullando, in certe fasi, l’accelerazione centripeta nella galassia, andrebbe a sfrangiare la galassia stessa, ed eguaglia, ad esempio, nella M31, la componente gravitazionale propria ad un valore di raggio pari a:

MaxGalUnivMaxGal

M RaRGM

−−

=31 , da cui: 3131 5,2 M

Univ

MMaxGal R

aGMR ≅=− , ed infatti i raggi massimi osservati nelle

galassie sono all’incirca di tale taglia.

--------------------------------------------- App. 2-Capitolo 2: L’unificazione della forza elettromagnetica con quella gravitazionale (Rubino). App. 2-Par. 2.1: L’effetto di MUniv sulle particelle.

a) Ricordo che dalla definizione di er della (A1.13): 22

041 cm

re

ee

=⋅πε

e dalla (A1.11): Univ

Univ

RGMc =2 (~Eddington),

segue che:

Univ

eUniv

e RmGM

re

=⋅2

041πε

!! (A2.1)

b) Alternativamente, sappiamo che la Costante di Struttura Fine vale 1 su 137 ed è espressa dalla seguente equazione:

ch

e

π

πεα

2

41

1371

2

0== (Alonso-Finn), ma notiamo anche che la quantità 137

1 è data dalla seguente espressione, che

può essere evidentemente ritenuta, a tutti gli effetti, altrettanto valida come espressione per la Costante di Struttura Fine:

Emanable

MinBox

Univ

e

e

EE

hr

Gm_

2

1371

===ν

α , dove notoriamente Univ

Univ T1

=ν .

MinBoxE _ è la più piccola scatoletta di energia dell’Universo (l’elettrone), mentre EmanableE è la minima energia

emanabile, visto che Univν è la più piccola frequenza.

Tra parentesi, α è anche data dal rapporto tra la velocità dell’elettrone nell’atomo di idrogeno e la velocità della luce:

hcecv Hine 02

__ 2εα == , oppure ancora come rapporto tra la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone (che è la

minima λ di e- quando è libero ed alla velocità massima c) e la lunghezza d’onda di e- appunto sul primo orbitale di H:

)()( __1 HineeeHCompton vmhcmh== −λλα . E’ altresì vero che 0are=α , con 529,00 =a Å, che è il raggio

di Bohr. Potremo dunque stabilire la seguente uguaglianza e trarre le relative conseguenze (Rubino):

Univ

e

e

hr

Gm

ch

e

νπ

πεα

22

0

2

41

)137

1( === , da cui: e

eUniv

e

e

globale

e

Univ rGmR

rGm

Hc

rGmce

2222

0 241

===πνπε

avendo utilizzato anche la (A1.15).

Dunque, si può scrivere che: e

e

Univ rGm

Re 22

041

=πε

(ed anche questa equazione intermedia mostra una strettissima

parentela tra elettromagnetismo e gravità, ma procediamo oltre…)

Ora, se si immagina momentaneamente, e per semplicità, che la massa dell’Universo sia composta da N tra elettroni −e

e positroni +e , potremo scrivere che:

eUniv mNM ⋅= , da cui: e

eUniv

Univ rNNmGM

Re

=2

041πε

,

oppure ancora: e

eUniv

Univ rNmGM

NRe

=⋅)(4

1 2

0πε . (A2.2)

Se ora ipotizziamo che eUniv rNR = (vedi anche la (A4.2)), oppure, ciò che è lo stesso, NRr Unive =

, allora la

(A2.2) diventa:

Univ

eUniv

e RmGM

re

=⋅2

041πε

!! (Rubino) cioè appunto ancora la (A2.1).

Ora, notiamo innanzitutto che l’aver supposto che eUniv rNR = è correttissimo, in quanto, dalla definizione di N data

poco fa e dalla (A1.10), si ha che:

851075,1 ⋅≅=e

Univ

mMN (~Eddington), da cui: 421013,4 ⋅≅N (~Weyl) e mrNR eUniv

281018,1 ⋅≅= , cioè

proprio il valore di UnivR ottenuto nella (A1.9).

App. 2-Par. 2.2: La scoperta dell’essenza comune di gravità ed elettromagnetismo. La (A2.1) è di fondamentale importanza ed ha un significato molto preciso (Rubino) in quanto ci dice che l’energia

elettrostatica associata ad un elettrone in una coppia elettrone-positrone ( −+ee adiacenti) è né più, né meno che

l’energia gravitazionale conferita alla stessa da tutto l’Universo UnivM alla distanza UnivR ! (e viceversa…)

Dunque, un elettrone, lanciato gravitazionalmente da una enorme massa UnivM per un tempo lunghissimo UnivT e

attraverso un lunghissimo cammino UnivR, acquista una energia cinetica di origine gravitazionale tale che, se poi è

chiamato a restituirla tutta insieme, in un attimo, tramite, ad esempio, un urto, e tramite dunque una oscillazione della

molla costituita appunto dalla coppia −+ee , deve appunto trasferire una tale energia gravitazionale, accumulata nei

miliardi di anni, che se fosse da attribuire solo alla energia potenziale gravitazionale della esigua massa dell’elettrone stesso, sarebbe insufficiente per parecchi ordini di grandezza.

Ecco, dunque, che l’effetto di restituzione immediata, da parte di −e , di una grande energia gravitazionale accumulata,

che abbiamo visto essere Univ

eUniv

RmGM

, fa “apparire” l’elettrone, sul momento, e in un range più ristretto ( er ), capace

di liberare energie derivanti da forze molto più intense della gravitazionale, oppure, come se fosse capace di una speciale forza gravitazionale con una speciale Costante di Gravitazione Universale G’ ben più grande di G:

e

ee

e

ee

ee rmmG

rmm

me

me

⋅=⋅⋅⋅ ')4

1(0πε

; dunque, nel momento eventuale della restituzione immediata di energia da

parte dell’elettrone, c’è l’effetto rincorsa dovuto alla sua eterna caduta libera (gravitazionale) nell’Universo. E, di riflesso, la gravità è l’effetto di composizione di tante piccole forze elettrostatiche.

Faccio altresì notare che l’energia espressa dalla (A2.1), guarda caso, è proprio pari a 2cme !!!, cioè proprio una sorta di

energia cinetica di rincorsa posseduta dalle coppie elettrone-positrone in caduta libera, e che Einstein conferì anche alla materia in quiete, senza purtroppo dirci che quella materia, appunto, non è mai in quiete rispetto al centro di massa dell’Universo, visto che siamo tutti inesorabilmente in caduta libera, anche se tra noi ci vediamo fermi, da cui la sua

essenza di energia cinetica di origine gravitazionale 2cme :

Univ

eUniv

ee R

mGMrecm =⋅=

2

0

2

41πε

.

App. 2-Par. 2.3: L’entità oscillatoria dell’Universo tutto e delle particelle. Si parla di oscillazioni perché è così che si trasmette l’energia, specie in un urto, ed anche in quello tra, ad esempio, due palle da biliardo, dove le oscillazioni nel punto di contatto ci sono, e come, anche se non si vedono (quelle degli elettroni periferici, delle molecole, degli atomi ecc, nel punto di scontro). Si parla qui di oscillazioni in modo proprio, anche perché un sistema Sole/pianeta o un semplice atomo di idrogeno, oppure una coppia elettrone-positrone e-e+, che sono governati dalle leggi dell’elettromagnetismo, si comportano come delle vere e proprie molle: infatti, in coordinate polari, per l’elettrone in orbita intorno al protone, in un atomo di idrogeno, si ha l’equilibrio tra forza di attrazione elettrostatica e forza centrifuga:

3

2

2

2

0

22

2

0 41)(

41

rmp

rer

dtdm

reF

eer +−=+−=

πεϕ

πε , dove ω

ϕ=

dtd

e 2rmrrmrvmp eee ωω ==⋅=

Valutiamo ora l’energia corrispondente, integrando tale forza nello spazio:

2

22

0 241

rmp

redrFU

er +−=−= ∫ πε

. (A2.3)

Fig. A2.1: Grafico dell’energia. Il punto di minimo in (r0,U0) è punto di equilibrio e di stabilità (Fr=0) e lo si calcola annullando la derivata prima della (A2.3) (e cioè ponendo appunto Fr=0). Inoltre, in r0, la curva esprimente U è visivamente approssimabile con una parabola UParab e cioè, in quell’intorno, si può scrivere:

02

0 )( UrrkUParab +−= , e la corrispondente forza è: )(2 0rrkrUF Parabr −−=∂∂−=

che è, guarda caso, una forza elastica a tutti gli effetti ( kxF −= - Legge di Hooke). Inoltre, la legge gravitazionale cui l’Universo obbedisce, mostra una forza che varia con il quadrato della distanza, proprio come quella elettrostatica, dunque anche la forza gravitazionale porta alla legge di Hooke per l’Universo.

--------------------------------------------- Tramite la (A2.1) e la sua interpretazione abbiamo ricondotto la forza elettrica a quella gravitazionale; riconduciamo ora la forza magnetica a quella elettrica, in modo tale da chiudere il cerchio ed effettuare l’unificazione del campo elettromagnetico con quello gravitazionale. E tutti questi campi, per ultimo, sono riconducibili all’accelerazione cosmica aUniv , visto che la gravità lo è. App. 2-Capitolo 3: L’unificazione della forza magnetica con quella elettrica. App. 2-Par. 3.1: La forza magnetica è niente altro che una forza elettrica di Coulomb(!). A tal proposito, immaginiamo la seguente situazione, dove vi è un conduttore, ovviamente composto da nuclei positivi e da elettroni, e poi un raggio catodico (di elettroni) che scorre parallelo al conduttore: Fig. A3.1: Conduttore non percorso da corrente, visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico.

r

U

U

2

2

2 rmp

e

re2

041πε

−

r0

Uo

2

42

00 2

)4

1(pemU e

πε−=

02

0 )( UrrkUParab +−=

e- e-

p+

e- e- e- e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Raggio catodico

Conduttore

F -

F +

Direzione del raggio catodico (v)

x’

y’ z’

I’

Sappiamo dal magnetismo che il raggio catodico non sarà deflesso verso il conduttore perché in quest’ultimo non scorre nessuna corrente che possa determinare ciò. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che ogni singolo elettrone del raggio è respinto dagli elettroni del conduttore con una forza F-

identica a quella F+ con cui è attratto dai nuclei positivi del conduttore. Passiamo ora alla situazione in cui nel conduttore scorra invece una corrente con gli e- a velocità u:

Fig. A3.2: Conduttore percorso da corrente (con gli e- a velocità u), visto dal sistema di riferimento I’ (x’, y’, z’) di quiete del raggio catodico. In quest’ultimo caso, sappiamo dal magnetismo che il raggio di elettroni deve deflettere verso il conduttore, in quanto siamo nel noto caso di correnti parallele e di verso concorde, che devono dunque attrarsi. Questa è l’interpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che dal momento che gli elettroni nel conduttore inseguono, per così dire, quelli del fascio, i primi, visti dal sistema di quiete del fascio (I’), avranno una velocità minore rispetto a quella che risultano avere i nuclei positivi, che invece sono fermi nel conduttore. Risulterà, perciò, che gli spazi immaginabili tra gli elettroni del conduttore subiranno una contrazione relativistica di Lorentz meno accentuata, rispetto ai nuclei positivi, e dunque ne risulterà una densità di carica negativa minore della densità di carica positiva, e dunque gli elettroni del fascio verranno elettricamente attratti dal conduttore. Ecco la lettura in chiave elettrica del campo magnetico. Ora, è vero che la velocità della corrente elettrica in un conduttore è molto bassa (centimetri al secondo) rispetto alla relativistica velocità della luce c, ma è anche vero che gli elettroni sono miliardi di miliardi …, e dunque un piccolo effetto di contrazione su così tanti interspazi determina l’apparire della forza magnetica. Ora, però, vediamo se la matematica ci dà quantitativamente ragione su quanto asserito, dimostrandoci che la forza magnetica è una forza elettrica anch’essa, ma vista in chiave relativistica. Consideriamo allora una situazione semplificata in cui un elettrone e- , di carica q, viaggi, con velocità v, parallelo ad una corrente di nuclei con carica Q+ (a velocità u): Fig. A3.3: Corrente di cariche positive (a velocità u) ed elettrone a velocità v nel sistema di quiete del lettore I. a) Valutazione di F in chiave elettromagnetica, nel sistema I : Ricordiamo innanzitutto che se ho N cariche Q, in linea, a distanza d una dall’altra (come in figura A3.3), allora la densità di carica lineare λ sarà:

dQdNQN =⋅⋅=λ . Ora, sempre con riferimento alla Fig. A3.3, nel sistema I, per l’elettromagnetismo l’elettrone sarà sottoposto alla forza di Lorentz )( BvEqFl ×+= che si compone di una componente originariamente già elettrica e di una magnetica:

qrdQq

rqEFel )

21()

21(

00 πεπλ

ε==⋅= , dovuta all’attrazione elettrostatica di una distribuzione lineare di cariche Q

e:

Direzione della corrente I, con e- a velocità u

e- e-

p+

e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Raggio catodico

Conduttore

F -

F +

Direzione del raggio catodico (v)

x’

y’ z’

I’

r

Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+

q-

220 1 cudd −=

F

v

u

x’

y’ z’

I’

x

y

I z

rdQu

rudQ

rtQ

rIFmagn π

µπ

µπ

µπ

µ22

)(22 0000 ==== (Biot e Savart).

Dunque: 220

0

00

0 11)1(

2)

221(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqFl

−−=−= µ

εππµ

πε , (A3.1)

dove il segno meno indica che la forza magnetica è repulsiva, in tale caso, visti i segni reali delle due correnti, e dove la distanza d0 di quiete risulta contratta a d, per Lorentz, nel sistema I in cui le cariche Q hanno velocità u

( 220 1 cudd −= ).

b) Valutazione di F in chiave elettrica, nel sistema I’ di quiete di q: nel sistema I’ la carica q è ferma e dunque non costituisce nessuna corrente elettrica, e dunque sarà presente solo una forza elettrica di Coulomb verso le cariche Q:

220

000 '11)

21()

2'1()

2'1(''

curdQqq

rdQq

rqEF el

−===⋅=

πεπεπλ

ε , (A3.2)

dove u’ è la velocità della distribuzione di cariche Q nel sistema I’, che si compone di u e v tramite il noto teorema relativistico di addizione delle velocità:

)1()(' 2cuvvuu −−= , (A3.3)

e d0, questa volta, si contrae appunto secondo u’: 220 '1' cudd −= .

Notiamo ora che, con un po’ di algebra, vale la seguente relazione (vedi la (A3.3)):

22

222222

)1()1)(1('1

cuvcvcucu

−−−

=− , che sostituita nel radicale della (A3.2) fornisce:

2222

20

000 11)1()

21()

2'1()

2'1(''

cvcucuv

rdQqq

rdQq

rqEF el

−−

−===⋅=

πεπεπλ

ε (A3.4)

Vogliamo ora confrontare la (A3.1) con la (A3.4), ma ancora non possiamo, perché una fa riferimento ad I e l’altra ad I’; rapportiamo allora elF ' della (A3.4) in I anch’essa e, per fare ciò, osserviamo che, per la definizione stessa di forza, in

I’:

2222'

'

1)_(

1)'_('

cvIinF

cvtp

tpIinF el

I

I

I

Iel

−=

−∆

∆=

∆∆

= , con II pp ∆=∆ ' in quanto p∆ si estende lungo y, e non

lungo la direzione del moto relativo, dunque per le T. di Lorentz non subisce variazione, mentre t∆ ovviamente sì. Si ha allora:

22

2222

20

0

22 111

)1()2

1(1)'_(')_( cvcvcu

cuvrdQqcvIinFIinF elel −

−−

−=−=

πε =

)_(1

)1()2

1(22

20

0

IinFcu

cuvrdQq el=

−

−=

πε (A3.5)

Ora, dunque, possiamo confrontare la (A3.1) con la (A3.5), in quanto ora entrambe fanno riferimento al sistema I. Riscriviamole una sopra l’altra:

2200

00

0 11)1(

2)

221()_(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqIinFl

−−=−= µ

εππµ

πε

22200

022

20

0 11)1(

21)1()

21()_(

cucuv

rdQq

cucuv

rdQqIinFel

−−=

−

−=

εεππε

Possiamo dunque dire che le due equazioni sono identiche se è verificata la seguente identità: 001 µε=c , e la

stessa è nota sin dal 1856. Essendo dunque identiche le due equazioni, la forza magnetica risulta ricondotta ad una forza elettrica di Coulomb, e dunque è compiuta l’unificazione dei campi elettrico e magnetico!!

---------------------------------------------

App. 2-Capitolo 4: Giustificazione dell’equazione eUniv rNR = precedentemente utilizzata per

l’unificazione della forza elettrica con quella gravitazionale (Rubino).

App. 2-Par. 4.1: L’equazione eUniv rNR = (!).

Abbiamo innanzitutto già verificato che l’equazione eUniv rNR = , utilizzata nella (A2.2), è corretta di per sé, in

quanto, a livello numerico, è esatta. Ed è altresì giustificabile pure in chiave oscillatoria ed ora vediamo come; tale equazione ci dice che il raggio dell’Universo è uguale al raggio classico dell’elettrone moltiplicato per la radice quadrata del numero di elettroni (e positroni) N di cui l’Universo può ritenersi composto. (Sappiamo che in realtà, la quasi totalità della materia dell’Universo non è composta da coppie e+e- ma da coppie p+e- di atomi di H, ma a noi ora interessa vedere l’Universo scomposto in mattoni fondamentali, o in armoniche fondamentali, e sappiamo che l’elettrone ed il positrone lo sono, in quanto sono stabili, mentre il protone pare che stabile non sia, e dunque non è un’armonica fondamentale e dunque neanche un mattone fondamentale.) Supponiamo ora che ogni coppia e+e- (o, per il momento, anche p+e- (H), se preferite) sia una piccola molla (fatto peraltro già giustificato dai ragionamenti compiuti intorno alla (A2.3)), e che l’Universo sia una grande molla oscillante (ed attualmente in contrazione verso il suo centro di massa) con ampiezza di oscillazione pari ovviamente ad RUniv , che si compone di tutte le micro oscillazioni delle coppie e+e-. E, per ultimo, chiariamo che tali micromolle sono distribuite alla rinfusa nell’Universo, come non può che essere, dunque una oscilla verso destra, l’altra verso sinistra, l’altra in su, l’altra ancora in giù, e così via. In più, i componenti e+ ed e- di ogni coppia non sono fissi, dunque non considereremo N/2 coppie oscillanti con ampiezza 2re, ma N elettroni/positroni oscillanti ad re. Fig. A4.1: L’Universo rappresentato come un insieme di tante (N) molle oscillanti in direzione casuale, o come grossa molla oscillante unica. Ora, essendo le micro oscillazioni orientate a caso, la loro composizione random è schematizzabile come in figura A4.2.

Fig. A4.2: Composizione delle N micro oscillazioni err

distribuite casualmente a formare l’oscillazione globale RUniv.

UnivR

er

x

y

z

NUnivR

r

err

err

err

err

err

err

err

err

err

err

Possiamo scrivere ovviamente che: eN

UnivN

Univ rRR rrr+= −1 ed il prodotto scalare di N

UnivRr

con se stesso fornisce:

21212 2)()( eeN

UnivN

UnivN

UnivN

UnivN

Univ rrRRRRR +⋅+==⋅ −− rrrr; prendendo ora la media:

22121212 )(2)()( eN

UniveeN

UnivN

UnivN

Univ rRrrRRR +=+⋅+= −−− rr, (A4.1)

visto che 02 1 =⋅−e

NUniv rR rr

, dal momento che err

può essere orientate in modo casuale su 360° (o su π4 sr, se vi va),

e dunque un vettore che media con esso, come nella espressione precedente, fornisce un valore nullo.

Riscriviamo allora la (A4.1): 2212 )()( eN

UnivN

Univ rRR += − e procedendo, su di essa, per induzione, dal momento

che (sostituendo N con N-1 e così via):

22221 )()( eN

UnivN

Univ rRR += −− , e poi: 22322 )()( eN

UnivN

Univ rRR += −− ecc, si ottiene:

222222212 0..........2)()()( eeeN

UniveN

UnivN

Univ rNrNrRrRR =+==+=+= −− , cioè:

22)( e

NUniv rNR = , da cui, estraendo la radice di entrambi i membri:

eeUnivN

Univ rNrNRR ⋅=== 22)( , e cioè:

eUniv rNR ⋅= !!! (Rubino) (A4.2)

E’ comunque noto, in fisica, che, ad esempio, il cammino R compiuto per N passi r successivi effettuati in direzione casuale è proprio la radice di N per r (vedi, ad esempio, gli studi sul moto Browniano).

--------------------------------------------- App. 2-Capitolo 5: “aUniv“ come responsabile assoluta di tutte le forze. App. 2-Par. 5.1: Tutto da “aUniv“. Sempre in linea con quanto detto finora, la stessa accelerazione cosmica aUniv è responsabile della gravità tutta e dunque anche di quella terrestre. Infatti, solo perché la Terra è abbastanza densa, ha una accelerazione di gravità sulla sua superficie pari a g=9,81 m/s2, mentre, se tutt’oggi la si potesse considerare come composta di elettroni sparsi a caso, un

po’ come in Fig. A4.1 per l’Universo, allora la stessa avrebbe un raggio pari a eEarthee

Earth rNrm

M⋅=⋅ , e

l’accelerazione di gravità sulla sua superficie sarebbe:

2122

/1062,7)(

smarN

MGg UniveEarth

EarthNew

−⋅==⋅

= !!!

Dunque, ancora una volta, possiamo dire che la forza di gravità è una conseguenza del collasso dell’Universo con accelerazione aUniv, e le accelerazioni di gravità che si incontrano, di volta in volta, per ogni oggetto celeste, sono diverse da aUniv nella misura in cui tali oggetti sono particolarmente più compressi.

--------------------------------------------- App. 2-Par. 5.2: Schema riassuntivo dell’unificazione delle forze. Fig. A5.1: Schema riassuntivo dell’unificazione delle forze.

aUniv

GRAVITA’

causa di causa di ELETTRICITA’

MAGNETISMO

FORZA DEBOLE

causa di

(Rubino) (Einstein) (Maxwell)

FORZA FORTE (Lavori in corso)

(through meson exchanges?)

App. 2-Par. 5.3: Altre considerazioni sulla composizione dell’Universo in coppie +/-. Lo scaricarsi completo di ogni singola mollettina, che rappresenta la coppia elettrone-positrone, altro non è che l’annichilazione, con trasformazione in fotoni delle due particelle. In tal modo, la coppia non sarà più rappresentata da un’onda piccata in un dato luogo ed in un dato momento (ad esempio )()sin( vtxvtx −− , o la cugina di

quest’ultima, cioè la )( vtx −δ di Dirac), dove la parte piccata starebbe a testimoniare la carica della molla, ma sarà

rappresentata da una funzione del tipo )sin( ctx − , omogenea lungo tutta la sua traiettoria, quale il fotone è. Ciò avverrà quando il collasso dell’Universo nel suo centro di massa sarà completo. Inoltre, l’essenza delle coppie e+e-, o, in quest’era, delle e-p+, è necessaria per la non violazione del Principio di Conservazione dell’Energia. Infatti, l’Universo, che nella sua fase di contrazione massima verso una singolarità, pare svanire nel nulla, o originarsi dal nulla, nel processo inverso a mo’ di Big Bang, rappresenterebbe una violazione di tale principio di conservazione, se non fosse per il Principio di Indeterminazione, secondo cui una energia ΔE è comunque legittimata a comparire, purchè sia di durata inferiore a Δt, nella misura in cui 2h≤∆⋅∆ tE , cioè, essa può comparire a patto che l’osservatore non abbia tempo sufficiente, in relazione ai suoi mezzi di misura, per determinarla, giungendo quindi alla constatazione della violazione. E, di riflesso, tutto l’Universo, che di coppie +/- è composto, gode di questa proprietà. E la comparsa di un ΔE composto da una coppia di particelle, vede le stesse prima separarsi, e dunque avere carica uguale, mentre l’annichilirsi successivo dopo un Δt testimonia una attrazione successiva, e dunque l’assunzione di cariche opposte. Dunque, la comparsa e l’annichilazione equivalgono alla espansione e contrazione dell’Universo. Se dunque fossimo in un Universo in fase di espansione, la gravità non esisterebbe, anzi esisterebbe all’incontrario, e non è dunque vero che solo la forza elettrica può essere repulsiva, ma anche la gravità può esserlo (con Universo in fase di espansione); ora non lo è, ma lo fu! La considerazione filosofica più immediata che si può fare, in tale scenario, è che, come dire, tutto può nascere (comparire), purchè muoia, e sufficientemente in fretta; e così la violazione è evitata, o meglio, non è dimostrata/dimostrabile, ed il Principio di Conservazione dell’Energia è preservato, e la contraddizione della comparsa di energia dal nulla è aggirata, anzi, di più, è contraddetta essa stessa. Il protone, poi, gioca il ruolo del positrone, nei confronti dell’elettrone ed è più pesante di quest’ultimo per la possibilità di esistere che il caso non ha potuto negargli, nell’ambito del Principio Antropico Cosmologico, portando, un siffatto protone, all’esistenza dell’atomo e, dunque, delle cellule e della vita che si interroga su di esso. Al momento del collasso dell’Universo, il protone irradierà tutta la sua massa, divenendo positrone ed annichilendosi con l’elettrone. E trova qui risposta anche il quesito sul perché, nel nostro Universo, la materia ha prevalso sull’antimateria: infatti questo non è vero; considerando il protone, ossia un futuro, nonchè ex, positrone, come l’antimateria dell’elettrone, e viceversa, l’equilibrio è perfetto. App. 2-Par. 5.4: La Teoria della Relatività altro non è che la interpretazione dell’Universo di oscillazioni appena descritto, in contrazione a velocità c ed accelerazione auniv. Sulla composizione delle velocità: 1) Caso di un corpo di massa m. Se in un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, ho un corpo di massa m in quiete, potrò scrivere:

01 =v e 021 2

11 == mvE . Se ora gli conferisco energia cinetica, esso passerà alla velocità v2, tale che, ovviamente:

222 2

1 mvE = ed il suo delta energia di energia GUADAGNATA E↑∆ (delta up) sarà:

222

2212 )(

21)0(

210

21 vmvmmvEEE ∆=−=−=−=∆↑ , con 12 vvv −=∆ .

Ora, il fatto che ho ottenuto un v∆ che è semplicemente pari a 12 vv − è un caso del tutto PARTICOLARE e vale solo quando si parte da fermi, e cioè quando v1 = 0.

In caso contrario: 221

22

21

2212 )(

21)(

21

21

21 vmvvmmvmvEEE V∆=−=−=−=∆↑ , dove V∆ è un delta

vettoriale: )( 21

22 vvvV −=∆ ; possiamo dunque affermare che, a parte il caso particolare in cui si parta da fermi (v1

= 0), se si è già in moto, non si avrà un delta semplice, ma bensì uno vettoriale; ma questa è semplice fisica di base. 2) Caso della Terra. In un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, la Terra (E-Earth) ruota intorno al Sole con energia totale:

SE

ESunEETot R

mMGvmE−

−= 2

21

, e con energia cinetica 2

21

EEK vmE = . Se ora conferiamo alla Terra un delta up

E↑∆ di energia cinetica per farla saltare dalla sua orbita a quella di Marte (M-Mars), allora, analogamente al caso

precedente del punto 1, si ha:

22222 )(21)(

21

21

21 vmvvmvmvmE VEMEEMEEE ∆=−=−=∆↑ , con )( 22

MEV vvv −=∆ , e dunque anche qui i

delta di velocità sono di tipo vettoriale ( V∆ ). 3) Caso dell’Universo. In un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, se ad un corpo di massa m0 che mi appare in quiete voglio fargli raggiungere la velocità V, devo conferirgli un delta v appunto, ma per quanto esposto nelle pagine precedenti, essendo noi già in movimento nell’Universo (ed a velocità c), come per i punti 1 e 2 qui sopra, tale delta v deve sottostare alla seguente eguaglianza (vettoriale):

)( 22SpeedUnivAbsNewV vcvV −−−−=∆= , (A5.1)

dove SpeedUnivAbsNewv −−− è la nuova velocità assoluta che il corpo di massa m0 risulta avere non rispetto a noi, ma nel

contesto dell’Universo e rispetto al suo centro di massa. Infatti, un corpo è inesorabilmente legato all’Universo in cui si

trova, nel quale, guarda caso, esso, già di suo si muove con velocità c e possiede dunque una energia intrinseca 20cm .

Nella fattispecie, dovendo io apportare energia cinetica Ek al corpo m0 per fargli acquisire velocità V (rispetto a me), e considerando che, ad esempio, in una molla con una massa attaccata ad un’estremità, per la legge del moto armonico ho, per la velocità, una legge armonica del tipo:

ααω sinsin)( MaxMax VXv == ( αsincv SpeedUnivAbsNew =−−− , nel nostro caso),

e per l’energia armonica si ha una legge armonica del tipo:

αsinMaxEE = ( αsin)( 20

20 KEcmcm += , nel nostro caso),

ricavando αsin dalle due equazioni precedenti ed eguagliando, si ottiene:

KSpeedUnivAbsNew Ecm

cmcv+

=−−− 20

20 ,

e sostituendo tale valore di SpeedUnivAbsNewv −−− nella (A5.1), otterrò:

VEcm

cmccvcvVK

SpeedUnivAbsNewV =+

−=−=∆= −−− ])([)( 22

0

20222 , che riscrivo:

])([ 22

0

202

KEcmcmccV+

−= (A5.2)

Se ora ricavo EK dalla (A5.2), ottengo:

)11

1(

2

2

20 −

−

=

cV

cmEK !!! che è esattamente l’energia cinetica relativistica di Einstein!

Aggiungendo ora a tale EK cinetica l’energia intrinseca (che ha anche a “riposo” – riposo rispetto a noi, non rispetto al centro di massa dell’Universo) del corpo m0, ottengo l’energia totale:

20

20

2

2

2

2

20

20

20

1

1)11

1( cmcm

cV

cV

cmcmcmEE K ⋅=

−

=−

−

+=+= γ , e cioè la ben nota

20cmE ⋅= γ (della TRR). (A5.3)

Tutto ciò dopo che abbiamo supposto di apportare energia cinetica ad un corpo in quiete (rispetto a noi). La (A5.3) funziona benissimo, dunque, negli acceleratori di particelle, dove le particelle guadagnano energia, ma ci sono casi

(Universo collassante e Fisica Atomica) dove le masse perdono energia ed irraggiano, invece di guadagnarla, ed in tali casi la (A5.3) è completamente inapplicabile, in quanto la stessa vale per energie apportate, non rimosse. App. 2-Par. 5.5: Sulla “Relatività” delle energie cedute. In caso di energie rimosse (fase ulteriore del moto armonico), vale la seguente:

20

1 cmE ⋅=γ

(Rubino) (A5.4)

che è intuitiva già solo per il fatto che, con l’aumentare della velocità, il coefficiente γ1 mi abbassa m0, riducendola appunto, a favore della irradiazione, e cioè della perdita, di energia, cosa purtroppo non prevista, nei termini della (A5.4), nella Teoria della Relatività. Per una (convincente) deduzione della stessa (A5.4) e di alcune sue implicazioni, però, sono da me disponibili ulteriori trattazioni a riguardo. Utilizzando la (A5.4) in Fisica Atomica per valutare le energie di ionizzazione ZE↓∆ di atomi con singolo elettrone, ma

con numero atomico Z variabile, ci si riconduce, ad esempio, alla seguente equazione, che rispecchia egregiamente i dati sperimentali:

])2

(11[ 2

0

22

hcZecmE eZ ε

−−=∆↓ (A5.5)

e per atomi con numero quantico n qualsiasi ed orbitali qualsiasi:

])4

(11[ 2

0

22

hcnZecmE enZ ε

−−=∆ −↓ (Wåhlin) (A5.6)

Orbitale (n) Energia (J) Orbitale (n) Energia (J) 1 2,1787 10-18 5 8,7147 10-20 2 5,4467 10-19 6 6,0518 10-20 3 2,4207 10-19 7 4,4462 10-20 4 1,3616 10-19 8 3,4041 10-20

Tab. A5.1: Livelli energetici nell’atomo di idrogeno H (Z=1), come da (A5.6). L’applicazione della qui inappropriata (A5.3) non porta invece ai dati sperimentali, ma bensì al ricorso di complesse correzioni ed equazioni di correzione (Fock-Dirac ecc), che tenterebbero appunto di “correggere” una applicazione appunto errata. Anche per avere delle chiare dimostrazioni delle (A5.5) e (A5.6), sono da me disponibili ulteriori files e trattazioni.

--------------------------------------------- App. 2-SUBAPPENDICI. App. 2-Subppendice 1: Costanti fisiche.

Costante di Boltzmann k: KJ /1038,1 23−⋅

Accelerazione Cosmica aUniv: 212 /1062,7 sm−⋅

Distanza Terra-Sole AU: m1110496,1 ⋅

Massa della Terra MTerra: kg241096,5 ⋅

Raggio della Terra RTerra: m610371,6 ⋅

Carica dell’elettrone e: C19106,1 −⋅−

Numero di elettroni equivalente dell’Universo N: 851075,1 ⋅

Raggio classico dell’elettrone re: m1510818,2 −⋅

Massa dell’elettrone me: kg31101,9 −⋅

Costante di Struttura Fine )1371(≅α : 31030,7 −⋅

Frequenza dell’Universo Univν : Hz211005,4 −⋅

Pulsazione dell’Universo )( globalUniv H=ω : srad201054,2 −⋅

Costante di Gravitazione Universale G: 2211 /1067,6 kgNm−⋅

Periodo dell’Universo UnivT : s201047,2 ⋅

Anno luce a.l.: m151046,9 ⋅

Parsec pc: mla 161008,3.._26,3 ⋅=

Densità dell’Universo ρUniv: 330 /1032,2 mkg−⋅

Temp. della Radiaz. Cosmica di Fondo T: K73,2

Permeabilità magnetica del vuoto μ0: mH /1026,1 6−⋅

Permittività elettrica del vuoto ε0: mF /1085,8 12−⋅

Costante di Planck h: sJ ⋅⋅ −3410625,6

Massa del protone mp: kg271067,1 −⋅

Massa del Sole MSun: kg3010989,1 ⋅

Raggio del Sole RSun: m81096,6 ⋅

Velocità della luce nel vuoto c: sm /1099792458,2 8⋅

Costante di Stephan-Boltzmann σ: 428 /1067,5 KmW−⋅

Raggio dell’Universo (dal centro fino a noi) RUniv: m281018,1 ⋅

Massa dell’Universo (entro RUniv) MUniv: kg551059,1 ⋅ Grazie per l’attenzione. Leonardo RUBINO E-mail: leonrubino@yahoo.it

--------------------------------------------------------------- Bibliografia: 1) (M.M. Lipschutz) GEOMETRIA DIFFERENZIALE, Schaum. 2) (Steven Weinberg) GRAVITATION AND COSMOLOGY(Principles and Applications of the General Theory of Relativity), John Wiley & Sons. 3) (S. Greco e P. Valabrega) LEZIONI DI MATEMATICA, Vol. 2- Geometria Analitica e Differenziale, Levrotto & Bella. 4) (F.W.K. Firk) ESSENTIAL PHYSICS - Part 1-Relativity, Gravitation etc – F. Yale University. 5) (L. Wåhlin) THE DEADBEAT UNIVERSE, 2nd Ed. Rev., Colutron Research. 6) (R. Feynman) LA FISICA DI FEYNMAN I-II e III – Zanichelli. 7) (Lionel Lovitch-Sergio Rosati) FISICA GENERALE, Elettricità, Magnetismo, Elettromagnetismo Relatività Ristretta, Ottica, Meccanica Quantistica , 3^ Edizione; Casa Editrice Ambrosiana-Milano. 8) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA I – Meccanica-Termodinamica, Liguori. 9) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA II – Elettromagnetismo-Ottica, Liguori. 10) (R. Sexl & H.K. Schmidt) SPAZIOTEMPO – Vol. 1, Boringhieri. 11) (V.A. Ugarov) TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA, Edizioni Mir. 12) (A. Liddle) AN INTRODUCTION TO MODERN COSMOLOGY, 2nd Ed., Wiley. 13) (A. S. Eddington) THE EXPANDING UNIVERSE, Cambridge Science Classics. 14) ENCYCLOPEDIA OF ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS, Nature Publishing Group & Institute of Physics Publishing. 15) (Keplero) THE HARMONY OF THE WORLD. 16) (H. Bradt) ASTROPHYSICS PROCESSES, Cambridge University Press.

--------------------------------------------------------------

THE GENERAL THEORY OF RELATIVITY

by Leonardo Rubino

leonrubino@yahoo.it for www.fisicamente.net

May 1993 – Rev. 00 June 2011 – Rev. 00

August 2011 – Rev. 02 Contents: -Contents. Page.1 -Introduction. Page.2 - Chapter 1: Preamble on Geometry. Page.4 Par. 1.1: Formalism, lengths of arcs and areas of curved surfaces. Page.4 Par. 1.2: Base differential Geometry. Page.7 Par. 1.3: Space differential Geometry. Page.10 - Chapter 2: The main quantities in the Theory of General Relativity. Page.17 Par. 2.1: Introductory concepts on General Relativity. Page.17 Par. 2.2: On the metric tensor and other main quantities. Page.18 Par. 2.3: On the Lorentz Transformation in the General Relativity. Page.24 Par. 2.4: The 4-vector Momentum-Energy and the Tensor Momentum-Energy. Page.25 Par. 2.5: Relativistic Hydrodynamics. Page.27 Par. 2.6: The geodetic Equation. Page.29 Par. 2.7: The relation between µνg and λ

µνΓ . Page.28

Par. 2.8: The Newtonian limit. Page.30 Par. 2.9: The Riemann-Christoffel Curvature Tensor. Page.31 - Chapter 3: The Einstein’s Equations of the Gravitational Field. Page.33 Par. 3.1: The ten Einstein’s Equations of the Gravitational Field. Page.33 - Chapter 4: Classic tests of Einstein’s theory. Page.34 Par. 4.1: The metric. Page.34 Par. 4.2: The Schwarschild’s Solution. Page.36 Par. 4.3: The general equations of motion. Page.36 Par. 4.4: The deflection of light by the Sun. Page.38 Par. 4.5: An alternative calculation of the deflection, with profiles of antagonism to GTR. Page.39 Par. 4.6: The precession of the perihelion of planets. Page.41 -APPENDIXES. Page.44 Appendix 1: The Special Theory of Relativity. Page.44 Appendix 2: As I see the Universe (Unification Gravity Electromagnetism). Page.69 -Bibliography. Page.86

Simplicity is the closest thing to intelligence. Introduction. The General Theory of Relatività (GTR) is an extension of the Special Theory of Relativity (or Restricted) (STR) shown in App. 1; it was necessary for Einstein to explain the Gravitation. The word gravity reminds the word acceleration; in fact, we will see in Par. 2.1 that where there is an acceleration, rotation and gravity with a reference system, the metric is not simple anymore as in STR. Moreover, the GTR explains gravity as a curvature of the space, or better of the space-time (mathematic space-time, in the opinion of the writer) caused by matter (and by the energy!) which is in such space-time. It’s like when, for instance, you put a ball of lead on a mattress: around the sphere you have a funnel-like hollow and there, the mattress is curved. Then, we can say that in such an area where the mattress is curved is the gravitational field of the ball of lead. If now we throw a small ball over the mattress, and neglecting frictions, it will move uniformly on a straight line, over the flat side of the mattress until, as it approaches the curved hollow, it will fall towards the ball of lead. Matter, in GTR, sees the space-time as a railway over which it can move; therefore, if this railway is curved, the trajectories followed by the matter will be curved. Then, if the ball of lead is so heavy that it completely sinks into the mattress, then the funnel will become like a closed bag and we would call it a black hole, and from it nothing would come out, not even light. In the GTR the Equivalence Principle holds, according to which a gravitational field can be cancelled by an acceleration and so it is not possibile to absolutely tell an acceleration from a gravitational field. In fact, let us consider the Einstein Elevator, in which a guy, standing stopped at a floor, rests with his weight on the floor of the elevator; if now we cut the cable holding the elevator, it will start a free falling in the terrestrial gravitational field and the guy inside will float as if in a space ship where there is no gravity, as he is falling with the elevator and with its floor and this floor will always fall under his feet. Therefore, an acceleration, that of the free falling, has cancelled the gravitational effect; and, at the same time, when the elevator is stopped, the guy inside it, instead of thinking that he was standing in a gravitational field (as he is resting on the floor of the elevator) could have thought that there weren’t any gravitational fields, but that the elevator was accelerating upwards, so pushing the soles of his shoes. Through the example of the mattress we have just introduced the concept of the (mathematical) space-time curvature, caused by the matter/energy. The tensor equation, which will be here proved, and which shows the correspondence between the matter/energy and the curvature indeed, is the Einstein Gravitational Field tensor Equation:

µνµνµν πGTRgR 821

−=−

Its left side, all in R, shows the “curvature radius” and the geometric characteristics of the space in which the matter/energy is, and the measure of such a matter/energy is, on the contrary, given by the right side, through the momentum-energy tensor µνT , that, as we will see, in some of its components, is proportional to the density ρ etc. Perhaps, only in the opinion of the writer (as the thought which follows, as well as many others, hasn’t been ever read on any books by me) the Newton classic gravitational

equation shows a correspondence between geometrical characteristics and the presence of matter:

2

2

dtrdar

r= , r

rMmGam ˆ2−=

r , →→→

→→→ rrMG

dtrd ˆ22

2

−=r

in fact, the left side of the last equation, that is 2

2

dtrd r

, that is the second derivative of the

spatial position, over the time, is a geometric characteristic of the space indeed, while the

right side rrMG ˆ2− tells us about M!

Since the time when it was born, officially in 1916, the GTR has been always seen by many people with suspects, as it’s full of complexity, mathematical as well as conceptual; so, thinking that so many hypothesis and relevant calculations can lead to equations which stick to reality, sometimes led some critics to hold it as a weird theory. Classic tests in Chapt. 4 are encouraging in the opposite direction, even though also there the preambles, the suppositions and calculations are a lot, and then, for instance, in the calculation of the deflection of the light of stars by the Sun, during an eclipse in 1919, the accuracy of the measurement was very close to the result. Moreover, there are also alternative explanations and in competition with the GTR, to explain the deflection of light and the precession of the perihelion of planets. In the opinion of the writer, GTR is for sure a beautiful physical-mathematical theory, mathematical more than physical, maybe the most beautiful, but it’s also true that it has somewhat weird concepts inside. I think that the GTR is the typical falsifiable Popper-like theory, like if it were an interpretative model which works to explain many phenomena, but that it’s not the real essence of the phenomena just explained. And then, provided that the geometric interpretation of the curvature is real, we should still explain why the matter causes it; ok, it causes that, but why? To see is not the same as to explain and justify. In the GTR, the gravity is just attractive and Einstein, in his Theory of Unified Fields (let’s sum up a bit, out of brevity) after having used the concept of curvature in the GTR to explain the gravitational pull, also used the concept of torsion to try to explain also the repulsive forces of the electricity. All this unfortunately without success, that is, his unitary field equations (maybe 33) couldn’t be proved in the real Universe. Therefore, Einstein work didn’t finish with the GTR; in fact, he died in 1955 in a bed in a Hospital, with paper and pen in his hands! I personally think the force of gravity is a macroscopic force which is made of microscopic and electric forces among particles, positive and negative, which make the Universe, and that can be considered as randomly spread (see App. 2). In fact, I prove in Appendix 2 that the electric energy of an electron in an electron-positron pair, which is:

ere2

041

⋅πε

Is exactly the gravitational energy given to an electron by all the mass of the Universe UnivM at a distance UnivR , that is:

Univ

eUniv

RmGM

Therefore, we have:

Univ

eUniv

e RmGM

re

=⋅2

041πε

!!

And it really doesn’t seem to be just by chance the fact that if we see the Universe as if made just by electrons and positrons (fundamental harmonics, whose mass is em ), and whose number is N, we easily have:

851075,1 ⋅≅=e

Univ

mMN

and nothing is strange, so far, but we realize that if we multiply the square root of N ( 421013,4 ⋅≅N ) by the classic radius of the electron er , we get exactly

mRrN Unive281018,1 ⋅≅≅ , that is, the radius of the Universe! And an explanation of all this,

in a perfect harmony with the equivalence of electricity and gravity just shown, has been put in App. 2/at Par.4.1. Therefore, the attraction (/repulsion) particle-antiparticle, that is, the fast oscillations of the particle-antiparticle pairs, in composing together, generate the slow oscillation of the Universe (Big Bang, expansion, contraction, Big Crunch). Now, we are in the era of the contraction, that is, the matter is contracting all towards the centre of mass of the Universe, and that’s why we see the actractive force of gravity every day, but hundreds of billion of years ago, when the Universe was expanding, the gravity was (as a consequence) repulsive-like (see still App. 2, as a support of all this), from which the similarity between the electricity (attractive and repulsive) and the gravity (also attractive and repulsive); “unfortunately”, when the Earth was born, the gravity already stopped to be repulsive a very long time before! Chapter 1: Preamble on Geometry. Par. 1.1: Formalism, lengths of arcs and areas of curved surfaces. the sphere and the circle: with reference to figure 1, we want to represent through a formula the surface of a sphere Σ : Fig. 1.1: The Sphere. In Cartesian coordinates, we just use the Pythagorean Theorem to get such a formula:

2222 rzyx =++ (1.1) On the contrary, with the more friendly spherical coordinates, we have, very easily and intuitively:

zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=Σ

r (1.2)

x

max equatorial circumference

y

z

φ

θ

P(r, θ, φ)

r Σ

where, of course, Στr is the vector which describes (by moving) all the surface of the

sphere. We see that the components are a function of two parameters (θ e ϕ ). Of course, in the simpler case of a circle γ , we would have:

yrxr ˆ)sin(ˆ)cos( θθτ γ +=r

(1.3) and here we see that the components are a function of just one parameter (θ ), if r=const. Fig. 1.2: The Circle. (1.1) and (1.2) can therefore be written in a more general form, as functions of respectively 2 and 1 parameters:

zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ

r ( ϕθ ,, =vu and r=r(u,v)) (1.4)

yuxu ˆ)(ˆ)( 21 τττ γ +=r

( θ=u and r=r(u)) (1.5)

Of course, if in (1.4) and (1.5) all the iτ don’t have the expressions they have in (1.2) and (1.3), but they have other ones, generic ones, then they (still (1.4) and (1.5)) can represent not anymore the sphere and the circle, buth other generic surfaces and curves. Now, if we get a bit closer to the Cartesian coordinates, (x,y)=(x,f(x)), we make in (1.5) a change of parameter (u >>> x) so that we then have:

yxfxxyuxu ˆ)(ˆˆ)(ˆ)( 21 +=+= τττ γr

(1.6)

We will so consider (1.4) as the general expression for a surface and (1.6) that of a curve. length of an arc on a curve: Fig. 1.3: Length of an arc. With reference to figure 1.3, if )(uBτ

r tends to )(uAτ

r , then )(uγτr

∆ will become a )(ud γτr

;

not only; it will correspond to the infinitesimal arc ldr

on γ . We can so write that:

)(udld γτrr

= , from which:

∫∫∫∫∫−−−−−

+=+====)(

2

)(

2221

)()()(

))('1(])))(())([()(')(BAlBAlBAlBAlBAl

duxfdudu

uddu

udduuudldl ττττ γγ

rrr

(1.7)

x

y

θ r

P(r, θ)

x

y

)(uBτr

)(uAτr

)(uBτ

r- )(uAτ

r= )(uγτ

r∆ γ

and we also see from the vectorial composition in Fig. 1.3, that )(ud γτr

is tangent to γ , as

it meets it just in one point, and therefore the vector

duud

t)(γτ

rr

= (1.8)

is tangent to γ . area of a curved surface: Let’s consider again (1.4), and we report it here again: zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ

r.

Fig. 1.4: Small area on a curved surface. Now, with reference to Figure 1.4, we have a curved surface Σ , indeed, and a curve )(tγ on it. Of course, if I want to say that the curve )(tγ is really on Σ , then both parameters u and v of Σ must be a function of the only parameter t of )(tγ : Now, we know from (1.8) that the derivative of the vector γτ

r which represents a curve,

over its parameter t, yields the tangent vector tr, to the curve. By the same token, then

the derivative of the vector Στr which represents the surface Σ yields a vector t

r tangent to

the surface itself, and if the derivative is calculated on the parameter t of the curve )(tγ which lies on Σ , then, of course, such a tangent vector will be also the tangent of the curve )(tγ . Such a relationship can be analytically shown by seeing the two parameters u and v as functions of the parameter t of the curve: )(tuu = and )(tvv = . Then, the tangent to the curve )(tγ will be:

dtdv

dvd

dtdu

dud

dtdt ΣΣΣ +==

τττrrr

r (1.9)

So, still with reference to Figure 1.4, for the (1.9) we see that the tangent vector trand

vectors dud Στ

r and

dvd Στ

r lie on the same plane, as they are a three element composition, as

well as in the figure, indeed. Now, as the vectorial product of two vectors (modulus = product of moduli by the sine of the angle between them) yields a vector again, which is normal to the original vectors, then, in order to obtain the vector normal to the surface Σ

we carry out the vectorial product between dud Στ

r and

dvd Στ

rand if, then, I also want the

versor n (unitary modulus) I will divide by the modulus of the normal vector:

tr

)(tγ

dud Στ

r

dvd Στ

r Σ

dvd

dud

dvd

dud

nΣΣ

ΣΣ

×

×=

ττ

ττ

rr

rr

ˆ (normal versor) (1.10)

For what the area of a surface (in general) is concerned, we know from the elementary geometry that the area of a trapezium is given by the product of both sides by the sine of the angle formed by them, and if we also remind the definition of vectorial product above

reported, we can then say that the small area Σd delimited by the two small vectors dud Στ

r

and dv

d Στr

(Fig. 1.4) is:

dvd

dudd ΣΣ ×=Σ

ττrr

, from which, by integration over all u and v:

dudvdv

ddudd

vu∫∫∫−

ΣΣ

Σ

×=Σ=Σττrr

(1.11)

Par. 1.2: Base differential Geometry. Fig. 1.5: Fundamental Trihedron.

We saw with (1.8) that the vector )(')(

)( udu

udut γ

γ ττ rr

r== is tangent to the curve )(uγ . As

we want a versor t (unitary modulus), we’ll have:

)(')('

)(ˆuu

utγ

γ

ττr

r

= (tangent versor) (1.12)

So, still with (1.8) we saw that the derivation operation yields a normal vector. Now, we derive the (1.12), so getting the normal versor )(ˆ un :

)(ˆ)(ˆ utdudun = (normal versor) (1.13)

At last, we define the binormal versor )(ˆ ub , of course in the following way, by using the vectorial product:

)(ˆ)(ˆ)(ˆ unutub ×= (binormal versor) (1.14)

)(')('

)(ˆuu

utγ

γ

ττr

r

=

)(ˆ)(ˆ utdudun = (fundamental trihedron with generic parameter u) (1.15)

)(ˆ)(ˆ)(ˆ unutub ×=

)(uγ

)(ˆ ut )(ˆ ub

)(ˆ un

)(uP

We saw through (1.7) that the length of an arc is:

∫∫∫∫ ====−−−

u

uBAsBAsBAs

duuduuudsdus0

)(')(')()()()()(

γγγ τττrrrr

(1.16)

from which: )(')(' ududsus γτ

r== .

If now, in the trihedron (1.15), we make a change of parameter (u >>> s, with s as an intrinsic parameter), we’ll have:

)('1)('

)()]([')('

usu

dsdu

duud

sus γγ

γγ ττ

ττr

rrr

=== , from which:

1)(')('

)(' ==usu

s γγ

ττ

rr

. Then:

22 ))('(

)('')(')(''

))('(

)('')(')(')('')(''

usdsduusuu

usdsduusuus

dsduu

sγγγγ

γ

τττττ

rrrrr −

=−

=

and so we get the fundamental trihedron in the intrinsic parameterization:

)(')(ˆ sst γτr

=

)('')(''

)(ˆss

snγ

γ

ττr

r

= (fundamental trihedron with the intrinsic parameter s) (1.17)

)('')('')('

)(ˆ)(ˆ)(ˆs

sssnstsb

γ

γγ

τττ

r

rr×

=×=

Fig. 1.6: Fundamental trihedron in the intrinsic parameterization. Curvature and radius of curvature:

)('' sγτr

is zero for lines, while it is 0≠ on circles etc.

)('' sγτ

r is defined as CURVATURE of γ in )(sγτ

r.

)(''1)(

ss

γτρ r= (1.18)

is the RADIUS OF CURVATURE.

)(sγ

)(ˆ st )(ˆ sb

)(ˆ sn

)(sP

Example on a circle (on the plane x-y):

222 ryx =+ (z=0)

)cos(cosrsrrx == α , )sin(sin

rsrry == α , z=0 (where rs α= is the arc on the circle),

therefore: )0),sin(),cos((),,()(rsr

rsrzyxs ==γτ

r from which:

)0),cos(),sin(()',','()(

)('rs

rszyx

dssd

s −=== γγ

ττ

rr and so:

)0),sin(1),cos(1()'','',''()('

)(''rs

rrs

rzyx

dssd

s −−=== γγ

ττ

rr

, from which, again:

r

zyxs 1'''''')('' 222 =++=γτr (curvature)!!

the torsion:

)('ˆ sb is // to )(ˆ sn ; in fact:

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)('')(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ))(ˆ)(ˆ()(ˆ sndsdstsn

dsdstsnssn

dsdstsnst

dsdsnst

dsdsb

dsd

×=×+×=×+×=×= γτr

Now, we notice that as )(ˆ sn is a versor (modulus 1 constant), )(ˆ sndsd does not represent

a variation of the modulus of )(ˆ sn , that is, along its extension as a vector, but, as a

consequence, it is just a normal to )(ˆ sn variation, so we can say that: )(ˆ sndsd ⊥ )(ˆ sn , and

as we are talking about an orthogonal trihedron, we also have that (of course)

)](ˆ)(ˆ[ sndsdst × // )(ˆ sn and so it shows to be proportional to )(ˆ sn :

)(ˆ)(

1)('ˆ sns

sbτ

−= ; (1.19)

)(1sτ

is the TORSION of γ in )(sγτr

.

Now, there is a link between curvature and torsion and it’s expressed by the following: Frénet formulas:

from the first two of (1.17) and from (1.18) we have the following: )(ˆ)(

1)('ˆ sns

stρ

= . Then,

we have the (1.19):

)(ˆ)(

1)('ˆ sns

sbτ

−= . Moreover, from the last of the (1.17) we get: )(ˆ)(ˆ)(ˆ stsbsn ×= and so:

)(ˆ)(

1)(ˆ)(

1

)(ˆ)(

1)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(

1)('ˆ)(ˆ)(ˆ)('ˆ))(ˆ)(ˆ()(ˆ

sts

sbs

sns

sbstsns

stsbstsbstsbdsdsn

dsd

ρτ

ρτ

−=

=×+×−=×+×=×=

from which we have the Frénet formulas:

)(ˆ)(

1)('ˆ sns

stρ

=

)(ˆ)(

1)('ˆ sns

sbτ

−= (Frénet formulas) (1.20)

)(ˆ)(

1)(ˆ)(

1)('ˆ sts

sbs

snρτ

−=

Curio: a body moving along a curve can have a tangential acceleration at and a centrifugal one ac , of course, and from physics we know it’s v2 /r. Now, let’s see if all the equations and all the formalism presented so far show this. We have:

)(ˆ)()(

stdtds

dtds

dssd

dtsd

== γγ ττrr

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(

1)()(ˆ)(ˆ)()(ˆ)( 2

22

22

2

2

2

2

snvstaaaasnsdt

dsstdt

sdds

stddtdsst

dtsd

dtsd

tct ρρτ γ +=+==+=+=

rrrr

.

Par. 1.3: Space differential Geometry. first fundamental form: we saw through (1.4) that a surface can be represented as follows:

zvuyvuxvu ˆ),(ˆ),(ˆ),( 321 ττττ ++=Σ

r , that is: ),( vuΣΣ = ττ

rr and in a differential form:

dvdudvdv

ddududd vu ττ

τττ

rrrr

r+=+= ΣΣ

Σ

So, let’s define the 1st fundamental form for ),( vuΣτr as follows:

2222 2)()(2)( GdvFdudvEdudvdudvduddI vvvuuu ++=⋅+⋅+⋅=⋅= ΣΣ ττττττττrrrrrrrr

where )( uuE ττ

rr⋅= , )( vuF ττ

rr⋅= , )( vvG ττ

rr⋅=

If now we make a change of parameters ( ),( vuτr >>>> ),(* φθτ

r), we’ll have a change in the

coefficients E, F and G, but I=I*:

=+++=+==⋅=2**2**2 )()(),(* dvdudvdudddddddI vuvu φφτθθτφτθττττφθ φθφθ

rrrrrrr

),()()( 22**2**** dvduIddvdudvdu vuvvuu ==+=+++= τττφτθτφτθτ φθφθrrrrrrr

length of an arc: we have an arc on ))(),(( tvtuττ

rr= ; (1.21)

here, we still see the two parameters u and v, typical for surfaces, but as we pointed out their common dependance from one single parameter t, then (1.21) is also the expression for a curve (on which the arc is). About the length s between a and b, we then have, of course:

=++=⋅== ∫∫∫ dtdtdv

dtdu

dtdv

dtdudt

dtd

dtddt

dtds

b

a vuvu

b

a

b

a

2/12/1 ]))([()( τττττττ rrrrrrr

dtdtdvG

dtdv

dtduF

dtduE

b

a

2/122 ])(2)([∫ ++= (1.22)

area A of the surface: by the (1.11), we saw that dudvdddAA

vuvu

A∫∫∫−

×== ττrr

Now, as the following vectorial identity holds: 2222

bababarrrrrr

⋅−=× , then we have: 22 FEGdd vu −=× ττ

rrand so:

dudvFEGdudvdddAA

vuvuvu

A∫∫∫∫∫−−

−=×== 2ττrr (1.23)

-example 1: length of a circle: we already saw through (1.2) that the sphere (Fig. 1.1) is represented by the following equation:

zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r

. If now we consider the maximum equatorial circle, (see Fig. 1.1), you can get it by putting φ=90°, from which:

)ˆ0.....(ˆ)sin(ˆ)cos( zyrxr ++= θθτr

and then we have a ))(),(())(),(( trttvtu θτττrrr

== , just like in (1.21), from which:

yrxr ˆ)cos(ˆ)sin( θθτθ +−=r

yxr ˆsinˆcos θθτ +−=

r ,

22222 cossin rrrE =+=⋅= θθττ θθ

rr, 0sincossincos =+−=⋅= θθθθττθ rrF r

rr,

1sincos 22 =+=⋅= θθττ rrG rr, and so (1.22) yields (r=const 0=→

dtdr ):

CrTT

rTrdtrdtdtdEdt

dtdE

dtdtdrG

dtdr

dtdF

dtdEdt

dtdvG

dtdv

dtduF

dtduEs

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

=======

=++=++=

∫∫∫

∫∫

ππ

ωωθθ

θθ

22])([

])(2)([])(2)([

2/12

2/1222/122

that is really the length of a circle!!! -example 2: the surface of the sphere: we still consider the same sphere (Fig. 1.1), which, through (1.2), is shown by the following equation:

zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r

, from which: yrxr ˆ)sincos(ˆ)sinsin( ϕθϕθτθ +−=

r

zryrxr ˆ)sin(ˆ)cossin(ˆ)coscos( ϕϕθϕθτϕ −+=r

ϕττ θθ22 sinrE =⋅=

rr, 0=⋅= ϕθ ττ

rrF , 2rG =⋅= ϕϕ ττrr

and for the (1.23), we get:

220

22

2242

422cos2sin

sin0sin

rrrddr

ddrddrddFEGdAAA

ππϕπϕϕθ

ϕθϕϕθϕϕθ

π

ϕθ

ϕθϕθϕθ

=⋅=−==

==−=−==

∫∫

∫∫∫∫∫∫∫−−−

That is really the surface of the sphere we all know!!!

---------------------------- second fundamental form: let’s write again the (1.10), which supplies a vector/versor N

r normal to the surface:

vu

vuNττττrr

rrr

××

= ; we then have, of course: 1=Nr

and NNdNNddrrrr

⋅=⋅== 2)()1(0 , from

which: NNdrr

⊥ . (1.24) If it’s so, then Nd

rlies on the surface, and so it can be expressed as follows (u,v):

dvNduNdvvNdu

uNNd vu

rrrr

r+=

∂∂

+∂∂

= (1.25)

Now we can define the second fundamental form II:

22

22

2)())((

NdvMdudvLdudvNdudvNNduNdvNduNdvduNddII vvuvvuuuvuvu

++=

=−+−−=++−=⋅−=rrrrrrrrrrrrrr

τττττττ

properties of II: as we have: Nvu

rrr⊥),( ττ , then uuuuuu NNN

rrrrrr⋅+⋅=⋅= τττ )(0 ,

vuuvvu NNNrrrrrr

⋅+⋅=⋅= τττ )(0 , uvvuuv NNNrrrrrr

⋅+⋅=⋅= τττ )(0 , vvvvvv NNNrrrrrr

⋅+⋅=⋅= τττ )(0 ,

therefore: uuuu NNrrrr

⋅−=⋅ ττ , vvvv NNrrrr

⋅−=⋅ ττ , vuuv NNrrrr

⋅−=⋅ ττ , uvvu NNrrrr

⋅−=⋅ ττ and so:

NL uu

rr⋅= τ , NM uv

rr⋅= τ , NN vv

rr⋅= τ from which:

NddvNdudvNduNNdvMdudvLduII vvuvuu

rrrrrrrr⋅=⋅+⋅+⋅=++= ττττ 22222 22

normal curvature: if we have a surface S which contains a curve C and if P is a point on C, the (1.20-1) supplies the vector curvature, while we define the curvature )('ˆ st n normal to C in P the

projection of the curvature vector )('ˆ st on the normal Nr

(and Nr

is the versor )(ˆ sn of (1.10)):

NNstst n

rr))('ˆ()('ˆ ⋅= and the component along N

r is: Nsttn

r⋅= )('ˆ .

Now, as Nstr

⊥)(ˆ , we have:

NdsdstNstNst

dsd rrr

⋅+⋅==⋅ )(ˆ)('ˆ0))(ˆ( , from which: NdsdstNst

rr⋅−=⋅ )(ˆ)('ˆ and so:

III

dsNdd

dsNd

dssd

NdsdstNsttn =

⋅−=−=⋅−=⋅= 2

)()(ˆ)('ˆ

rrrrrrγγ ττ

, as the numerator Nddrr

⋅γτ is really

the definition of II, while 2ds can be figured out by deriving (1.22) and then squaring, and we’ll really have I. example: normal curvature of the sphere: we already saw with (1.2) that the sphere (Fig. 1.1) is represented by the following equation:

zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=r

, from which: yrxr ˆ)sincos(ˆ)sinsin( ϕθϕθτθ +−=

r

zryrxr ˆ)sin(ˆ)cossin(ˆ)coscos( ϕϕθϕθτϕ −+=r

yrxr ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕθϕθτθθ −−=r

yrxr ˆ)coscos(ˆ)cossin( ϕθϕθτθϕ +−=

r

zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτϕϕ −−−=r

zryrxrN ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθ −−−=r

ϕττ θθ22 sinrE =⋅=

rr, 0=⋅= ϕθ ττ

rrF , 2rG =⋅= ϕϕ ττrr

, ϕτθθ2sinrNL =⋅=

rr, 0=⋅= NM

rrθϕτ

rNN =⋅=rr

ϕϕτ , from which:

rGddFdEdNddMdLdtn

122

22

22

=++++

=ϕϕθθϕϕθθ !!!

curvatures and main directions: the two orthogonal directions where nt has its maximum and minimum values, are known as main directions and the relevant normal curvatures t1 and t2 are the main curvatures. Theorem: t0 is main and with main direction du0,dv0 if and only if du0,dv0 and t0 satisfy the conditions:

0)()( 0000 =−+− dvFtMduEtL 0)()( 0000 =−+− dvGtNduFtM (1.26)

proof: tn is a bound if (tn=II/I)

0),( 00

=dvdu

n

dudt and 0

),( 00

=dvdu

n

dvdt , that is: 0

)0,0(

2 =⋅−⋅

dvduI

IIIIII dudu and:

0)0,0(

2 =⋅−⋅

dvduI

IIIIII dvdv . Now, if we multiply by I, we have:

0)0,0(

=−dvdu

dudu IIIIII , and: 0

)0,0(

=−dvdu

dvdv IIIIII but: 000 ),( tdvdu

III

= , so:

0)0,0(

0 =−dvdu

dudu ItII and 0)0,0(

0 =−dvdu

dvdv ItII . Now, as:

MdvLduIIdu 22 += and FdvEduIdu 22 += and so:

0)()( 00000 =+−+ FdvEdutMdvLdu 0)()( 00000 =+−+ GdvFdutNdvMdu

that is, what we wanted to prove. Now, we rewrite the (1.26) in the following way:

0)()( =−+− dvtFMdutEL 0)()( =−+− dvtGNdutFM

and we multiply side to side:

0)()2()( 222 =−+−+−− MLNtFMGLENtFEG . (1.27) The two solutions are the main curvatures. Gauss curvature and mean curvature: by dividing the previous equation (1.27) by )( 2FEG − , we get: 022 =+− KHtt , where:

)(21

21 ttH += (mean curvature) and 21ttK = (Gauss curvature). ( 2

2

FEGMLNH

−−

= )

Gauss-Weingarten equations: we saw uτ

r, vτ

r , and N

r are linearly independent (orthogonal) and so we can use them as

a base to write their derivatives: Nbvuuu

rrrr11

211

111 +Γ+Γ= τττ

Nbvuuv

rrrr12

212

112 +Γ+Γ= τττ

Nbvuvv

rrrr22

222

122 +Γ+Γ= τττ (1.28)

NN vuu

rrrr1

21

11 γτβτβ ++=

NN vuv

rrrr2

22

12 γτβτβ ++=

Where the kijΓ are the 2nd kind Christoffel simbols.

We saw by (1.24) that: NNdrr

⊥ and the (1.25) tells us that Ndr

can be espressed in terms of vu NN

rr, , from which we have that ),( vu NNN

rrr⊥ and, according to the Weingarten

equations, we can write that: NNNNNN vuu

rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅= 1

21

110 γτβτβ

NNNNNN vuv

rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅= 2

22

120 γτβτβ

but we also know that: 0=⋅=⋅ NN vu

rrrrττ and 1=⋅ NN

rr , from which: 021 == γγ and so

(1.28) get easier, as follows: Nbvuuu

rrrr11

211

111 +Γ+Γ= τττ

Nbvuuv

rrrr12

212

112 +Γ+Γ= τττ

Nbvuvv

rrrr22

222

122 +Γ+Γ= τττ (1.29)

vuuN τβτβrrr

21

11 +=

vuvN τβτβrrr

22

12 +=

Gauss

Weingarten

Gauss

Weingarten

Let’s write (1.29), more simply, in a TENSOR form, more completely: Nbijijij

rrr+Γ= α

αττ (i,j=1,2) (1.30)

and let’s not forget that by (1.30) we have just started to use the EINSTEIN CONVENTION, according to which if in a term an index is repeated, then on it we have to sum up. In fact, in the term α

ατr

ijΓ in (1.30), α is repeated and so this term will yield two

values, as well as happens in the Gauss equations (1.29). THE METRIC TENSOR ijg :

let’s review our terminology used so far, using more compendious forms:

1uu = , 2uv = , ),( vuu ì = , ii u∂∂

=τ

τr

r, jiij uu ∂∂

∂=

ττ

rr

2

;

+++=⋅+⋅+⋅=⋅= 1221

2112

1111

2222

2121

1111 2 dudugdudugdudugdududududududdI ττττττττ

rrrrrrrr

kiik

ki

kiik dudugdudugdudug ==+ ∑

,

2222 , with: Eg =11 , Fgg == 2112 , Gg =22 and:

gFEGgggggggg

g =−=−=

= 2

222122112221

1211det (1.31)

Moreover: 2

21

1 duNduNNdrrr

+= and:

=−−−−=⋅−= 2222

1212

2121

1111 duduNduduNduduNduduNNddII

rrrrrrrrrrτττττ

∑=+++=ki

kiik dudubdudubdudubdudubdudub

,

2222

1221

2112

1111

with: Lb =11 , Mbb == 2112 , Nb =22 and: bMLNbbbbbbbb

b =−=−=

= 2

222122112221

1211det .

By scalarly multiplying Gauss equations by kτr

, we have:

ijkkijkijkijkijkijkij gNb Γ=Γ=Γ=+Γ=⋅+Γ=⋅ αα

αα

αα

αα τττττττττ

rrrrrrrrrr0 ( 2,1,, =jiα )

ijkΓ are the 1st kind Christoffel symbols.

Then, remember that: ji

ji gg δαα = (by definition of jgα ), with j

iδ which is the Kronecker’s Delta, and is 0 if ji ≠ and 1 if ji = ; in fact:

ji

ji

ji

ji

ji gg δττττττττττ α

αα

αα

α =⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 1rrrrrrrrrr, as iτ

r and jτr are, by definition,

normal, if ji ≠ (definition of jτr

). From this, we have: k

ijk

ijk

ijk

ij ggg Γ=Γ=Γ=Γ ααβ

αβαβ

β δ and so: αα ijkijk g Γ=Γ and

αα

ijkk

ij g Γ=Γ . (1.32)

We have: jkiikjkij

ug

Γ+Γ=∂∂

(1.33)

proof: we have, by definition of ijg , that: jiijg ττ

rr⋅= , from which:

jkiikjjkijikkij

ug

Γ+Γ=⋅+⋅=∂∂

ττττrrrr

------------------

Then, we also have: )(21

kij

jki

iik

ikj ug

ug

ug

∂∂

−∂∂

+∂∂

=Γ (1.34)

proof:

we have, according to (1.33), that: kijjikiik

ug

Γ+Γ=∂∂ , ijkkjij

ki

ug

Γ+Γ=∂∂ and jkiikjk

ij

ug

Γ+Γ=∂∂

,

(it’s still about (1.33), but with indexes every time different, but, all in all, indexes have values 1 and 2, whatever their name is), from which we have what we wanted to prove.

------------------ It follows that:

)(21

αααα

ug

ug

ug

g ijji

ijkk

ij ∂∂

−∂∂

+∂

∂=Γ (1.35)

and moreover, by multiplying (1.32) αα

ijkk

ij g Γ=Γ in both sides by µαg (the reciprocal of αkg ) , where, by definition of reciprocal: kkgg µ

αµα δ= , we have: αµα

αµαµα δ ij

kij

kkij ggg Γ=Γ=Γ ,

that is, by removing kµδ and provided that k=µ , in the left side, we have:

µµαα ijij g Γ=Γ and by using the last equation, the (1.33) jkiikjk

ij

ug

Γ+Γ=∂∂

becomes:

µαµ

µµ kiikjjkiikjk

ij ggug

Γ+Γ=Γ+Γ=∂∂

(1.36)

------------------ By scalarly multiplying by jτ

r, the Weingarten equations (1.29) α

ατβrr

iiN = , we get:

jijijiij gNb αα

αα βττβτ =⋅=⋅=−

rrrr; if now we put: j

ij

i gbb αα= , we have:

ji

ji

ji

ji

ji gggbb βδββ α

αγαγ

αγγ −=−=−== ; therefore α

ατrr

ii bN −= , with:

αα

ijj

i bgb = e αα ijij bgb =

the symbols (tensors) of Riemann (1st and 2nd kind):

kmijjmikmijk bbbbR −= (2nd kind, rank 4 tensor) (1.37)

ijkijk RgR ααρρ = (1st kind, rank 4 tensor) (1.38)

mijkR is the covariant Riemann curvature tensor ρijkR is the combined Riemann curvature tensor

Of course: ρρ

αααρ

ααρρ

kijjikkijjikijkijk bbbbbbbbgRgR −=−== )( (1.39)

According to (1.37), we have: mijkimjk RR −= , mijkmikj RR −= ; moreover 0=mijkR if the first

two indexes or the last two are the same; therefore, just four components are not zero, and are:

bMLNbbbbRR =−=−== 22112112221211212 and bMLNbbbbRR −=−−=−== )( 2

1122211221121221

We notice that: )(12122

2

GaussKg

Rgb

FEGMLN

===−− . (1.40)

------------------ We have: α

ββα

ββααα

kijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( (1.41)

proof: Nbijijij

rrr+Γ= α

αττ >>>

++ΓΓ+Γ=++Γ+Γ==∂∂

)()()()( NbNbNbu kkijkijkijkijkijkijijkk

ij rrrrrrrrr

αββ

αα

αα

αα

αα τττττ

τ

NbbbbbbNb kijkijkijkijkijkijkij

rrrr])([])[()()( +Γ+−ΓΓ+Γ=−++ α

αα

ααβ

βαα

α ττ

where we used the Weingarten equation αατrr

ii bN −= .

Similarly: Nbbbb jikjikjikjikjikikj

rrr])([])[( +Γ+−ΓΓ+Γ= α

αα

ααβ

βα ττ

Now, the third order derivatives are not depending on the order of derivation if and only if:

ikjijk ττrr

= , that is:

0])()([])()[( =−Γ−+Γ++−ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ=− Nbbbbbbbb jikjikkijkijjikkijjikkijjikkijikjijk

rrrrα

αα

αα

αααβ

βαβ

βαα τττ

and as 1τr

, 2τr

and Nr

are linearly independent, the last equation means that: 0])()[( =+−ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ ααα

ββα

ββαα

jikkijjikkijjikkij bbbb (1.42)

0])()([ =−Γ−+Γ jikjikkijkij bbbb αα

αα

The (1.42), through the (1.39), yields: αβ

βαβ

βαααkijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( , that is what we

wanted to show. Chapter 2: The main quantities in the Theory of General Relativity. Par. 2.1: Introductory concepts on General Relativity. First of all, please read again the Introduction on page 2. Moreover, we know from STR (in App. 1) that the Lorentz contraction happens just in the direction of the movement, so, if we have a rotating system or a point which rotates, for instance, around a circle, the movement will be sometimes along x, then along x and y, then also along z; therefore, the Lorentz contraction is not acting still on just one coordinate and so, the run circle will appear as squashed, when seen by a rotating reference system, therefore, not inertial somehow, and therefore geometrically modified. As a matter of fact, if:

222222 dzdydxdtcd −−−=τ , ( kiik ddd ξξητ −=2 ,see after) (2.1)

then, in another system I’ which is accelerating along x with respect to the former one, we’ll have:

2

21' atxx +=

'yy =

'zz = 'tt = and: ''' dtatdxdx += 'dydy =

'dzdz =

'dtdt = from which:

222222 '')''(' dzdyatdxdtcd −−+−=τ or (2.2)

22222222 ''''''2')'( dzdydxdtdxatdttacd −−−−−−=τ (2.3) If, then, we also have another system I’ whose plane x-y is rotating (with angular velocity ω ) with respect to that of the former system, as we then have the following transformation system:

tytxx ωω sin'cos' −= tytxy ωω cos'sin' +=

Fig. 2.1: Two reference systems, one rotating with respect to the other. and remembering that, easily, for instance, dtttd ⋅= ωωω cos)(sin etc, we have for 2τd :

222222222 ''''''2'''2)]''([ dzdydxdtdyxdtdxydtyxcd −−−−++−= ωωωτ (2.4) and we can see that in no cases ((2.2), (2.3), and (2.4), which are of the kind

νµµντ dxdxgd −=2 ; see after) we can reduce 2τd , by means of time transformations, to the

algebraic summation of the squares of the differentials of the four coordinates, as in (2.1) and as would be, on the contrary, for another inertial reference system. Therefore, the presence of linear accelerations of reference systems (that can cancel gravitational fields) and also centrifugal/centripetal ones, that is, central ones, such as for the gravity (for instance, after rotations), introduce combined terms which change the metric, and so the geometry of the space-time. From this comes the need to formulate a relativistic theory for gravitation (GTR). Par. 2.2: On the metric tensor and other main quantities. When we have dealt with the Gauss-Weingarten equations, just before, we saw that uτ

r,

vτr

, and Nr

are linearly independent (orthogonal) and so they really are a reference system, but curvilinear, and local, as they lie on a point of a surface, and when we move on it, such a tern moves and they also change their direction. That’s a valid example of a curvilinear reference system, in the opinion of the writer, of course. In all the equations introduced in the last chapter on geometry, indexes i, j, k etc changed from 1 to 2 or also 3. Now, getting a bit deeper in the Universe, and so in the General Relativity, we first of all notice that our Universe looks tridimensional, therefore, on

x’

x

y y’

tωθ =

ω

indexes, we’ll have a variability which reaches at least three, and then, as also shown in App. 1 on Special Relativity, there exists a mathematically four-dimensional Universe (for the standard physics it’s also really four-dimensional; to me, it’s not!), in which there is covariance, and so conservation, when passing from an inertial system to another, then, with Einstein, we start once and for all to consider the Universe on a four-dimensional basis and that’s it; therefore, the indexes of all the geometrical equations introduced in the last chapter, will have, from now on, all indexes with a variability on four values and the fourth value is the time one (ct). Then, the Einstein’s convention will hold, according to which if in a term of an equation an index is present twice, then the summation over it is understood. We report here the mains, which will be needed by us:

ααττrr

ijij Γ= (Gauss’ equations in a more compendious form; all in αijΓ ) (i,j=1,2,3,4) (2.5)

(this gives us also the derivative of a versor)

kiik dudugd −=2τ (i,j=1,2,3,4) (metric tensor ikg /de-square four-distance 2τd ) (2.6)

)(21

αααα

ug

ug

ug

g ijji

ijkk

ij ∂∂

−∂∂

+∂

∂=Γ (i,j=1,2,3,4) (1st kind Christoffel symbol) (2.7)

αβ

βαβ

βαααkijjikkijjikijkR ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= )()( (i,j=1,2,3,4) (Riemann combined curvature tensor) (2.8)

The metric tensor ikg , in case we are dealing with Euclidean spaces, reduces to Minkowski’s tensor ikη (it’s 1 for i=k=1,2,3 and it’s -1 for i=k=4; it’s 0 when i is different from k) and without combined terms, that is, if i,k are not the same, then ηik=0; in fact, we should then have ( ctzyxu i ,,,= ):

22222 )(ctzyxddd kiik +−−−=−= ξξητ , just like in Special Relativity (App. 1) and the iξ

would represent the Euclidean coordinate system. Then, when passing to curvilinear systems ( idξ >>>> idx ), we’ll have:

νµµν

νµνµ

ξξηξξητ dxdxgdxdx

xxddd

ki

ikki

ik −=∂∂

∂∂

−=−=2 , with (2.9)

νµµνξξ

ηxx

gki

ik ∂∂

∂∂

= (2.10)

which is the link equation from one system to another. In the future we’ll keep for the indexes the letters of the common alphabete (i,j,k etc) in case of Euclidean spaces ( ikη ) and those of the Greek alphabete ( νµ, etc) for curvilinear spaces µνg , with strong gravity.

------------------ We saw with (1.1) and (1.2) that a sphere can be represented through an equation in which there are the three classic Cartesian coordinates (x,y,z) or also by fixing a radius and making two angles change ( ϕθ ,,r ):

2222 rzyx =++ (x,y,z) zryrxr ˆ)cos(ˆ)sinsin(ˆ)sincos( ϕϕθϕθτ ++=Σ

r ( ϕθ ,,r )

Now, in case we make a change of coordinate system (x,y,z) >>>> (x’,y’,z’) where the latter is, for instance, shifted and rotated with respect to the former, there will be classic equations to go from one system to another, but both system will still have the same graphical representation by axes stretching from the origin to infinite, in positive as well as in negative.

2222 ''' rzyx =++ (x’,y’,z’) but all this in the Euclidean geometry, or non curvilinear, if we like. Fig. 2.2: Two different “Euclidean” reference systems. If now we suppose to go from a system as that in Fig. 2.2 to another in which the space is, for any reason, curved, for instance by the gravity of matter and energy, as supposed in the General Relativity, then the Euclidean geometry isn’t enough anymore and the curvilinear one, the non Euclidean Riemann-like is more helpful. In fact, in the opinion of the writer, when passing from a standard system to a curvilinear one, you cannot have the representation of Fig. 2.2, but the curvilinear one will look like a tern of straight Cartesian axes only in the infinitesimal range (“d” = de), as per Fig. 2.3; in fact, as it’s curved, as long as you get farther from the origin “0”, every single axis bends and loses any linearity and proportionality. Fig. 2.3: Case of curvilinear coordinate systems. Therefore, we’ll have a system of link equations from an Euclidean system ( iξ ) to a curvilinear one ( ix ), in the infinitesimal range, for all what just said so far, and that will be, in general, like this:

),,,( 432111 xxxxξξ =

),,,( 432122 xxxxξξ = (2.11) ),,,( 432133 xxxxξξ =

),,,( 432144 xxxxξξ =

x’

x

y y’

z

z’

dx dy

dz dz’

dy’ dx’

0 0

and vice versa:

),,,( 432111 ξξξξxx =

),,,( 432122 ξξξξxx = (2.12) ),,,( 432133 ξξξξxx =

),,,( 432144 ξξξξxx = and for the conversion equations for the expressions for the surfaces and for geometrical object (τ

r ), we obviously have ( ),,,(ˆˆˆˆ 43214321 ξξξξξξξξτ =+++= tkjir and ( ),,,( 4321

44

33

22

11 xxxxxxxx =+++= τττττ

rrrrr):

tx

kx

jx

ixx

ˆˆˆˆ1

4

1

3

1

2

1

1

11 ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=ξξξξτ

τr

r

tx

kx

jx

ixx

ˆˆˆˆ2

4

2

3

2

2

2

1

22 ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=ξξξξτ

τr

r

tx

kx

jx

ixx

ˆˆˆˆ3

4

3

3

3

2

3

1

33 ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=ξξξξτ

τr

r (2.13)

tx

kx

jx

ixx

ˆˆˆˆ4

4

4

3

4

2

4

1

44 ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=ξξξξτ

τr

r

and moreover, of course:

44

13

3

12

2

11

1

11 dx

xdx

xdx

xdx

xd

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=ξξξξ

ξ

44

23

3

22

2

21

1

22 dx

xdx

xdx

xdx

xd

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=ξξξξ

ξ

44

33

3

32

2

31

1

33 dx

xdx

xdx

xdx

xd

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=ξξξξ

ξ (2.14)

44

43

3

42

2

41

1

44 dx

xdx

xdx

xdx

xd

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=ξξξξ

ξ

and so: ===+++= ),,,(),,,(ˆˆˆˆ 432143214321 dxdxdxdxddddtdkdjdidd ξξξξξξξξτ

r

τττττττrrrrrrr ddxdxdxdxdxd i

i ==+++== 44

33

22

11 (2.15)

and therefore ( 4321 ,,, dxdxdxdx ) are the components of τr in the curvilinear base

( 4321 ,,, ττττrrrr

).

There exist a reciprocal set of four numbers ( 4321 ,,, ττττrrrr

) that, by definition: j

ij

i δττ =⋅rr

. Now, if we go back for a while to the (2.15), where we plainly used the Einstein’s convention, we have: i

idxd ττrr

=

If now we want to make a change of curvilinear base, with coordinates from idx to ldx' , we will obviously write: l

li

i dxdx '' ττrr

= and, by multiplying both sides by iτr

, we’ll have:

il

li dxdx ττrr

⋅= '' , but it’s also true that (as well as for (2.14)): ll

ii dx

xxdx ''∂

∂= ; therefore:

ill

i

xx

ττrr

⋅=∂∂ '

', that is:

l

i

il xx'

'∂∂

= ττrr

(2.16)

and (2.16) is the equation for the base change. Law of transformation for the components of a 4-vector: let i

iVV τrr

= be a generic vector expressed by curvilinear coordinates in the base iτr

; in

another base l'τr , we will have: l

lVV '' τrr

= and, according to the (2.16):

ii

il

il

ll V

xxVVV τττ

rrrr=

∂∂

=='

''' , with:

l

ili

xxVV'

'∂∂

= (2.17)

which is the transformation equation for the components of a 4-vector after a base

change. Very simply, its inverse is: l

ili

xxVV

∂∂

=''

------------------ Law of transformation for the components of a 4-tensor: in App. 1 on Special Relativity we said that we can get a tensor T with rank n when we multiply the components of n vectors. So, if we have two vectors V and S: (where we are simultaneously reminding how their components transformate)

ν

µνµ

xxVV

∂∂

='' e σ

λσλ

xxSS

∂∂

='' >>>>

µλσ

λ

ν

µνσ

σ

λ

ν

µσν

σ

λσ

ν

µνλµµλ '''''''''' T

xx

xxT

xx

xxSV

xxS

xxVSVT =

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

== and this is how the

components of a rank 2 tensor transformate. Then, you can proceed similarly for higher rank tensors. Derivation of a 4-vector: we have a 4-vector: µ

µτrr

VV = ; let’s derive it:

νσσ

µµ

µ

µ

ττ

dxdV

dxdV

dxVd r

rr

+= , (2.18)

Indexes changes from one term to another, as they change on four values and must not necessarily be simultaneously the same in all terms. Now, multiply the right side of (2.18) by the unitary (=1) quantity µ

µ ττrr

⋅ :

µµ

νσσ

µ

µ

µ τττ rrrr

][dxdV

dxdV

dxVd

+= ; well, the quantity between the brackets is the covariant

derivative and is a tensor, for all that has been said so far: µ

νσσ

µ

µµ

νσσ

µ

µµν τ

τΓ+=+= V

dxdV

dxdV

dxdVV r

r

; (covariant derivative) (2.19)

where µ

νσΓ are said the Christoffel’s symbols (affine connection) and already introduced by (1.30). Moreover, for the system (2.13), we could write, in a more compendious vectorial form:

µ

α

αα

µξ

ητx∂

∂= ∑ )(r , and, from this, we also have a dual form for the reciprocal set of four

µτr (so that, by definition of reciprocity: ν

µνµ δττ =rr

): α

µ

µµ

µ

ξητ

∂∂

= ∑ x)(r and so the coefficient

µνσΓ in (2.19) can be espressed also in the following way:

α

µ

νσ

α

µαα

µ

µσ

α

ανµ

νσµ

νσ ξξ

ηηξ

ηξ

ηττ

∂∂

∂∂∂

=∂∂

∂∂

==Γx

xxx

xdxd

dxd 2

)(rr

, that, if inserted in (2.19), can be also

written in a simpler way, without the unitary coefficients η:

α

µ

νσ

αµ

νσ ξξ

∂∂

∂∂∂

=Γx

xx

2

(2.20)

Then, already in App. 1 on Special Relativity, we reminded that such a derivative (of a vector) gives a tensor. We also notice that such a derivative is a tensor (rank 2) just because the terms which make it, have two indexes, just like a tensor 2. Moreover, (1.30) in the last chapter on Geometry is an example of a derivative of a vector (versor) which looks like a tensor 2, indeed. derivation of a tensor:

we have: µσλρ

µσλ

σρν

νσλ

µρν

µσλρ

µσρλ k

k TTTTx

T Γ−Γ+Γ+∂∂

=; (2.21)

in fact ( µσλT are just the components, without “versors” and, moreover 1== µ

µµ

µ δττrr

):

T(tensor)= λσµ

µσλ τττ

rrrT , from which:

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂ )()()()())(()( σ

σλ

µνρµν

λµ

µλ

σνρνσλ

λσµ

µσλρ

λσµ

µσλρ ττττττττττττττττ

rrrrrrrrrrrrrrrr

xT

xTT

xT

x

µσρλ

µσλρ

µσλ

σρν

νσλ

µρν

µσλρ

λλσµρ

µσ τττττ ;)()( TTTTTxx

T kkk

k =Γ−Γ+Γ+∂∂

=∂∂

−rrrrr cvd.

(as: νµ

ν

µµ

νµ

ν

τττ

τδττ

xxxxk

kkk ∂∂

+∂∂

==∂∂

=∂∂

rrr

rrr 0 , da cui: ν

µν

µ τττ

τxx

kk ∂

∂−=

∂∂

rrr

r )

Par. 2.3: On the Lorentz Transformation in the General Relativity. Let’s go back to (2.9), and we know from App. 1 on Special Relativity that 2τd is Lorentz invariant:

δγγδ

δγδ

β

γ

α

αββα

αβ ηηητ dxdxdxdxxx

xxdxdxd −=

∂∂

∂∂

−=−=''''2 , with:

δ

β

γ

α

αβγδ ηηxx

xx

∂∂

∂∂

='' (2.22)

Let’s differentiate (2.22) on εx :

εδ

β

γ

α

αβδ

β

εγ

α

αβ ηηxx

xxx

xx

xxx

∂∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

=''''0

22

; now, we sum to this the same, but with γ and ε

swapped and then we subtract the same equation, but with ε and δ swapped, so getting:

δ

β

εγ

α

αβηxx

xxx

∂∂

∂∂∂

=''20

2

>>>>> 0'2

=∂∂

∂εγ

α

xxx , whose solution is:

αβαβ

α axx +Λ=' (Lorentz Transformation) (2.23)

This one, together with (2.22), yields: βδ

αγαβδ

β

γ

α

αβγδ ηηη ΛΛ=∂∂

∂∂

=xx

xx '' .

Moreover, (2.23) in a differential form is: γαγ

α dxdx Λ=' . (2.24)

Let’s figure out the elements of the Lorentz matrix (or of the Lorentz tensor) αβΛ :

from the Lorentz Transformations (A1.8) in App. 1, we have that (// and ⊥ refers to the direction of the movement):

)(' //// tVxxrrr

−= γ , ⊥⊥ = xx rr' , )(' 2cxVttrr

⋅−= γ ; moreover, of course, we have:

2// )(VVVxxr

rrr⋅= e //xxx rrr

−=⊥ , and so:

tVVVVxxx

rr

rrrrγγ −⋅−+= 2))(1(' and (2.25)

)(' 2cxVttrr

⋅−= γ

While, for (2.24), we have: ββ dxdx ii Λ=' , from which, using the common letters (i,j etc) for

the three spatial components, 0 as the fourth time coefficient and the Greek letters for all of them:

00' dxdxdx iji

ji Λ+Λ= (for (2.24)) (2.26)

02

1))(1(' dxVcV

VVxddxdx ii

ii γγ +⋅−+=rr (for (2.25)) (2.27)

(here, the last term has got a + and not a – because cdtdx −=0 ) By comparing (2.26) and (2.27), we have:

ii Vc1

0 γ+=Λ and jii

jij VV

V 2)1( −

+=Λγ

δ , and if we use the normalization c=1, out of

simplicity:

ii Vγ+=Λ0 e jii

jij VV

V 2)1( −

+=Λγ

δ (Lorentz Tensor)

where the product Vxd

rr⋅ in (2.27) yielded just the component j

jVdx in (2.26), as in (2.26)

there was just jdx . If the direct Lorentz T. is given by (2.24): γα

γα dxdx Λ=' , then, the inverse one will be

represented as follows: αλα

γ '' dxdx Λ= . Therefore, as also seen in App. 1 on Special Relativity, not only the spatial components (x) and temporal (ct) can be Lorentz transformed, but also 4-vectors and 4-tensors can:

βαβ

α VV Λ=' δ

εξξβ

εα

γδ

γαβ TT ΛΛΛ=' (remembering that the components of a tensor are obtained by

multiplying those of vectors) Par. 2.4: The 4-vector Momentum-Energy and the Tensor Momentum-Energy. Preamble on the Delta of Dirac: By definition, the Delta of Dirac must satisfy the following equation:

xdyxxfyf 33 )()()( ∫ −=rrrr

δ

In practice, if you put it in the integral (which is a summation) it yields the same integrated function f, but of a different variable. See some good books on the Fourier Transform to have useful versions of the Delta of Dirac. Preamble on currents and densities (of matter/energy): if in various points )(txn

r we have energy (and so also matter) with a volume density

]/[ 3mJen , in order to have the total one, we obviously have to sum on n:

∑ −=n

nn txxetx ))((),( 3 rrrδε ,

where the Delta of Dirac gives the right value for ne in the summation for every position )(txn

r.

About the relevant current density of matter/energy ),( txJ rr, we obviously have:

dttxdtxxetxJ n

nnn

)())((),( 3r

rrrr∑ −= δ

in fact, ]/[ 3mJen , multiplied by ]/[)( smdt

txd nr

, really gives a current of joule per square

meter.

In components: dt

tdxtxxexJ n

nnn

)())(()( 3α

α δ∑ −=rr

and, of course: ε=0J and cttxn =)(0 .

Now, this summation is over the points n; in order to have the total value, one must integrate also over the time:

')'())'((')())'((')( 4

dttdxtxxedtxJtxxdtxJ n

nnnn

ααα δδ ∑∫∫ −=−= ; now, by multiplying numerator

and denominator by c, as “de” proper time is 'cdtd =τ , we’ll have:

ττ

τδτα

α

ddxxxedxJ n

nnn

)())(()( 4∑∫ −=

)(xJ α is a 4-vector, ad so ττα

ddxn )(

is.

Moreover, =−∂∂

−=−∂∂

=⋅∇ ∑∑ dttdxtxx

xe

dttdxtxx

xetxJ

in

nni

nn

in

nnin

)())(()())((),( 33 rrrrrrδδ

),())((3 txt

txxt

en

nnrrr

εδ∂∂

−=−∂∂

−= ∑ . If now we bring ),( txt

rε

∂∂

− together with ),( txJ rrr⋅∇ , we

will have the 4-divergence (see also App.1):

0)( =∂∂ xJx

αα (the invariance on Lorentz is clear). (2.28)

Moreover, ),()()( 303 txxdxJxdenergmatQ rε∫∫ ⋅==−

------------------ the 4-vector momentum-energy: we already dealt with it in Special Relativity (App. 1).

Of course,τ

αα

ddxmp 0= ; then α

αα

ττf

dxdm

ddp

== 2

2

0 and

γτ dtdtcVxddtcd =−=−= 2/1222/1222 )1()(rr

from which, for the tridimensional component and for the temporal one:

Vmprr

γ0= and cmcEp γ000 == and so: (2.29)

τ

ββ

ddxcEp )( 2

0= . (2.30)

Of course, for Lorentz: βαβ

α pp Λ=' .

(*): In reality, we will consider the mass m as a mass referred to the unity of volume [kg/m3] the TENSOR momentum-energy:

∑ −=n

nn txxtptxT ))(()(),( 30 rrrδαα (“0” is the temporal component) (2.31)

∑ −=n

n

in

ni txx

dttdxtptxT ))(()()(),( 3 rrr

δαα (“i” , on the contrary, refers to the three spatial

components) and, all together, in a more compendious form:

∑ −=n

nn

n txxdt

tdxtpxT ))(()()()( 3 rrδ

βααβ ( cttxn =)(0 ) (2.32)

The first one is a moment (p), actually, and the second is an energy, indeed (p x v). As before, we summed over the particles n. (Then, by summing also over the time, we’d have, here too, after having multiplied

numerator and denominator by c: ∑∫ −=n

nn

n xxddxpdT ))((4 τδ

ττ

βααβ )

Now, (2.32), through (2.30), becomes:

∑ −=n

nn

nn txxcE

ppxT ))(()/(

)( 32

rrδ

βααβ

We notice the simmetry )()( xTxT βααβ = ; moreover, )(xT αβ is a tensor and, being so, according to Lorentz, transforms, as follows:

γδβδ

αγ

αβ TT ΛΛ=' . (2.33)

Moreover, just like previously done to get (2.28), through the 4-divergence, we have:

=−∂∂

−=−∂∂

=∂∂ ∑∑

nni

n

in

nn

ni

in

ni

i txxxdt

tdxtptxxxdt

tdxtptxTx

))(()()())(()()(),( 33 rrrrrδδ ααα

∑∑ −+∂∂

−=−∂∂

−=n

nn

nnn txx

dttdptxT

ttxx

ttp ))(()(),())(()( 303 rrrv δδ

ααα

as ),(0 txTt

rα

∂∂ in the last equation is made of those two terms it has on its sides, for the

rule of the derivation.

Therefore, ),())(()( 30 txGtxxdt

tdpTx

Tt

Tx n

nni

iα

ααβ

βαα δ =−=

∂∂

=∂∂

+∂∂ ∑ rr

, that is:

ααββ GT

x=

∂∂ , with:

∑∑∑ −=−=−=n

nnn

nn

nn

n txxtfdtdtxx

ddp

dtdtxx

dttdptxG ))(()())(()())(()(),( 333 rrrrrrr

δτ

δτττ

δ ααα

α

where τ

αα

ddpf n

n = is obviously a force.

If particles are free, then constpn =α and so >>>> 0=∂∂ αβ

β Tx

!!!

Par. 2.5: Relativistic Hydrodynamics. Now, it’s very important to find a form for the tensor momentum-energy αβT , as we’ll see that in the Newtonian limit of the relativistic gravitation, a component of it appears )( 00T , so suggesting to involve, once we are out of the limit situation, all αβT indeed. Out of simplicity, now we consider that c=1 (normalization). Now we see that βααβαβ ρη UUppT )( ++= and for fields of any intensity:

νµµνµν ρ UUppgT )( ++= (c=1) (2.34) proof: let’s put the symbol ~ over the quantities which refer to a system at rest; moreover, from (2.32), we have that, in the right side, there is a product of a moment [(kg/m3)(m/s)] by a velocity [(m/s)] (remind the note (*) on page 26) and so: mass x velocity x velocity (=J) divided by m3, that is a pressure p. (2.35) Then, when the quantity dx/dt=d(ct)/dt=c is that which corresponds to the index zero, as per (2.31), then we’ll have on the right side the product p0 (mc, see (2.29)) by c, but according to the note (*) on page 26, m is a ρ and so we have ρc2. Let’s sum up:

ijij pT δ=~ ][Pa , 0~~ 00 == ii TT , ρ=00~T , that is: ( 2cρ with c=1 ][Pa ) (2.36)

As T is a tensor, let’s transform it according to Lorentz, as per (2.33), to get its values for a generic system, that is, not at rest:

γδβδ

αγ

αβ TT ~ΛΛ= ; we’ll have: (

222 11

)(11

VcV −=

−=γ , with c=1)

jiijij VVppT 2)( γρδ ++=

ii VpT 20 )( γρ+=

)( 2200 ργ += pVT in fact, as, according to the Lorentz Tensor, it is:

γ=Λ00 , ii Vγ=Λ0 ( iV

c1

γ with c=1), ii Vγ=Λ0 ( iVc1

γ with c=1), jii

jij VV

V 2)1( −

+=Λγ

δ , it follows

that: )(])([)~(~~ 22222000000

00

0000 pVpVTTTTi

i

i

iiii +=+=ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ∑∑ ργγργγδ

δγ

=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+=ΛΛ+=ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ∑ )()(~~~ 000202000000

00l

ilk

iki

ii

i

jj

ij

ijjj

ij

iii pVpVTTTT ργργγδδγ

(k,l ≠ 0,i and j can be i, or k,l)

+−

+−

++= kkiiii VV

VVVV

VpV γγ

γγ

ργ ))1())1()(1[( 2222

=−

+−

+−

++=−

+ )])1()())1()())1()([]))1(2

22

22

222 V

VVV

VVV

VVVpVVV

VV likiiiiilli γγ

γγ

γγγργγ

γ

)(

)1(])()()[()1(

2

22222

2

ργ

γγγργγ

γγργ

+=

=−++=++−

++=

pV

VpVpVVVVV

VpVpV

i

iiilkiiii

On the contrary, for the calculation of ijT , let’s split this in two cases: (i=j e i ≠ j)

+−

++=≠=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= pV

VVilkTTTTTT iillil

il

kkik

ik

iiii

ii

iiiiii 22

2220000 ])1()(1[)(),(~~~~~ γ

ργγδδγ

+++−

++=−

+−

+ ])()()[()1()()(])1([])1([ 2224

22222

22

2lkiiiliki VVV

VVppVp

VVVp

VVV γ

ργγγ

++=−

+−

++=−

+ ργγγ

ργγ 22

22

2

2222

22 )()1()(2)1()()()1()(2 iiiii Vp

VVp

VVppV

VVp

=++=−++=+−−

+ 222222

222

22 )()()1()()()21()1()( γργγργγ

γ iii

ii VpVpVVpVp

VVp

)()( 22 ργ ++= pVp i . (as 22

2

2

2 )1(γ

γγ==

−cV

if c=1)

On the contrary, if i≠ j: +=≠=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ+ΛΛ=ΛΛ= ργγδ

δγjikkj

kik

jjjj

ij

iiji

ii

jijiij VVjikTTTTTT 20000 ),(~~~~~

+−

+−

+−−

++ ])1()(1][)1([])1(][)1()(1[ 22

2222

VV

VVVp

VVV

VVp jjijii γγγγ

+−

+−

+=−

+−

+ == 4

22

22

2)0(2)0()1()()1(])1(][)1([

VVVVp

VVpVVV

VVV

VVVp jiijijikjjkkiik γγ

ργγ

δγ

δ

+−

+=−

+−

+−

+ 22

4

22

4

22

2)1(2)1()()1()()1(

VVpVVV

VVVVp

VVVVp

VVpV jijijikjijji γ

ργγγγ

=−

+−

+=++−

+ 2

2

22222

4

2 )1()1(2])()()[()1(V

VpVV

VpVVVVVVV

VpV jijijikjiji γγργ

γ

)()12()1( 22

2 ργγγ

ργ +=−+−

+= pVVV

VpVVV jijiji (as 22

2

2

2 )1(γ

γγ==

−cV

if c=1).

Totally:

2)( γρδ jiijij VVppT ++= (for the spatial components) βααβαβ ρη UUppT )( ++= (for all 4 components, but in weak fields ( αβη ))

where ìii

i Vdtdx

ddxU γγ

τ=== e cU γ=0 .

At last, for any gravitational fields ( αβη >>>> αβg ): νµµνµν ρ UUppgT )( ++= (c=1) .

Par. 2.6: The geodetic Equation. A free falling parachutist does not have any floor over which his body can rest; therefore, he does not detect any gravitational acceleration and he feels as if floating in the vacuum. He realizes he is falling only if he looks at the moving objects around. Therefore, for a free falling particle, there is a reference system in which 0=ar , that is:

02

2

=∂∂

τξ α

(free falling in Euclidean coordinates) (2.37)

with kiik ddd ξξητ −=2 .

But we can see (2.37) in the following way:

ττξ

τξ

τξ

ττξ νµ

νµ

αµ

µ

αµ

µ

αα

ddx

ddx

xxdxd

xddx

xdd

∂∂∂

+∂∂

=∂∂

==∂∂ 2

2

2

2

2

)(0

If we multiply both sides by α

λ

ξ∂∂x and consider that:

λµα

λ

µ

α

δξ

ξ=

∂∂

∂∂ x

x , we’ll have:

02

2

=Γ+τττ

νµλµν

λ

ddx

ddx

dxd (free falling in curvilinear coordinates) (2.38)

(equation of the geodetic, where geodetic, on the Earth, is the shortest path between two places)

with α

λ

νµ

αλµν ξ

ξ∂∂

∂∂∂

=Γx

xx

2

.

Par. 2.7: The relation between µνg and λ

µνΓ .

We already got such a relation in a context all geometric (see (1.35)). Now we get the same relation starting from a direct calculation:

We already know that: ν

β

µ

α

αβµνξξ

ηxx

g∂∂

∂∂

= ; now we apply λx∂∂ to it:

αβνλ

β

µ

α

αβν

β

µλ

α

λµν η

ξξη

ξξxxxxxxx

g∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂∂

=∂∂ 22

; if we now remember that λ

αλµννµ

α ξξxxx ∂

∂Γ=

∂∂∂2

, we

have:

ρµρ

λνρνρ

λµαβρ

α

µ

αρλναβν

β

ρ

αρλµλ

µν ηξξ

ηξξ gg

xxxxxg

Γ+Γ=∂∂

∂∂

Γ+∂∂

∂∂

Γ=∂∂

(2.39)

Similarly, we also calculate µλν

xg

∂∂ and ν

µλ

xg

∂∂

, from which:

kkg

xg

xg

xg

λµννµλ

µλν

λµν Γ=

∂∂

−∂∂

+∂∂

2 ; now, by defining a reciprocal matrix (or tensor) νσg so that:

σν

νσ δkkgg = , we’ll have, therefore:

)(21

νµλ

µλν

λµννσσ

λµ xg

xg

xg

g∂∂

−∂∂

+∂∂

=Γ , (2.40)

which is exactly what we got in a purely geometrical context in Chapter 1. Par. 2.8: The Newtonian limit. We know that in the Newtonian limit (V<<c): 2222222222 dtcdtVdtcxddtcd ≅−=−=

rrτ

This is to say that cdtctddtdxddxddxdtdxV iiì ==∝<<∝= /)(//// 00 ττ , that is, indeed: ττ ddxddxi // 0<< .

So, (2.38) becomes: 0)( 2002

2

=Γ+ττ

µµ

ddt

dxd (with the convention c=1); moreover, as, in this

limit, the field is stationary, µνg tends to µνη (const) and so the temporal derivatives of

µνg are zero, and so, according to (2.40):

νµνµ

xgg

∂∂

−=Γ 0000 2

1 e αβαβαβ η hg += , with 1<<αβh and so: βαβα η

xh

∂∂

−=Γ 0000 2

1 and:

0)(21

002

2

2

=∇= hddt

dxd

ττ

r from which:

021

002

2

=∇= hdt

xd r and (2.41)

02

2

=τd

td from which: Cddt

=τ

.

Now, we know from Newton’s gravitation that: rr

mMGam ˆ2−=r , from which: r

rGMa ˆ2−=

r ,

but: φ∇=−∇= )(ˆ2 rGMr

rGM (con

rGM

−=φ ) and so: φ−∇== 2

2

dtxdar

rand from both this one

and (2.41), we have: consth +−= φ200 ; as at infinite: 000 == φh , then const=0 and:

)21(21000000 φφη +−=−−=+= hg (2.42)

Poisson’s equation: now, we define, with simplicity, the flux of the acceleration vector ar :

)(arΦ ; we have: Ω−=−=−=⋅−=⋅=Φ GMdr

dSGMdSr

GMdSurr

GMSdaad n222 cosˆˆ)( θ

rrr, from

which: GMdGMSdaa

Sπ4)( −=Ω−=⋅=Φ ∫∫

rrr, but: dVzyxM

V∫= ),,(ρ , from which:

dVaDivofTheoremforSdadVzyxGa

VSV ∫∫∫ ⋅∇==⋅=−=Φrrrrr .___),,(4)( ρπ , that is:

),,(4 zyxGa ρπ−=⋅∇rr

Now, as we know from mathematics that 2

ˆ)1(

rr

r−=∇

r, then: ar−=∇φ and so:

ρπφφ G42 =∇=∆ (Poisson’s Equation) (2.43) Par. 2.9: The Riemann-Christoffel Curvature Tensor.

At Par. 2.7 we proved that )(21

νµλ

µλν

λµννσσ

λµ xg

xg

xg

g∂∂

−∂∂

+∂∂

=Γ , that is, exactly what we got at

Chapter 1, through (1.35), in a purely geometrical basis. Now, it could be possible, but a bit boring, to deduct the form of the Riemamm-Christoffel curvature tensor through direct calculations, purely mathematical, exactly like in Par. 2.7, but we would get exactly what already obtained at Chapter. 1 with (1.41), here reported again, and obtained in a more suitable geomertical basis and where we will use Greek letters for the indexes, to show that here we are talking about gravitational fields with any intensity and also reminding here that those indexes have four values each (space-time), three for space and one for time:

λνη

ηµ

λη

ηµνν

λµ

λµνλ

νηηµ

λη

ηµνν

λµ

λµν

λµν ΓΓ−ΓΓ+

∂Γ∂

−∂Γ∂

=ΓΓ−ΓΓ+Γ−Γ= kkk

kkkkkk xxR )()( (2.43)

and also kk RgR λµν

λσσµν = , from which, also: σ

µνλσλµν kk RgR = and reminding the expression

(2.40) for cabΓ :

+∂∂

−∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂

∂∂

== )]([21)]([

21

ρµ

µρρµσρ

νλσρµν

µρν

νρµσρ

λσσµνλσλµν x

gxg

xg

gx

gxg

xg

xg

gx

gRgR kkkkkk

][ σνη

ηµ

ση

ηµνλσ ΓΓ−ΓΓ+ kkg (2.44)

Now, we know that ρλ

σρλσ δ=gg , from which: 0)( =

∂∂ σρ

λσ ggxk and so, also through

(2.39), that is, the following: µαµ

µµ kiikjk

ij ggug

Γ+Γ=∂∂

, we have:

)( ηλησησ

ηλ

σρλσ

σρσρλσ gggg

xgg

xg kkkk Γ+Γ−=

∂∂

−=∂∂ (2.45)

where we have made a small rearranging of indexes, which have (those indexes) generic values, that is, we don’t care if we use j or k; what’s important is that they can have all four values, as we already know, and that their repetition is consistent. If we go back to (2.44), it becomes, through (2.45):

+ΓΓ+Γ+ΓΓ+Γ−∂∂

∂+

∂∂∂

−∂∂

∂−

∂∂∂

= σµηλ

ηνσησ

ηνλ

σµνηλ

ησησ

ηλλν

µµν

λλ

µνµ

λνλµν kkk

kkkkk gggg

xxg

xxg

xxg

xxgR ][][)][

21 2222

][ σ

νηηµ

ση

ηµνλσ ΓΓ−ΓΓ+ kkg that is:

][)][21 2222

σµν

ηλ

σµ

ηνλησλν

µµν

λλ

µνµ

λνλµν ΓΓ−ΓΓ+

∂∂∂

+∂∂

∂−

∂∂∂

−∂∂

∂= kk

kkkkk g

xxg

xxg

xxg

xxgR (2.46)

As already made at the end of Par. 1.3, we deduce three properties of the tensor kRλµν ,

which are directly verifiable: -Simmetry λµνλµν kk RR =

-Antisimmetry νµλνλµµλνλµν kkkk RRRR =−=−=

-Cyclicity 0=++ µλνµνλλµν kkk RRR

The Ricci Tensor:

kk RgR λµνλν

µ = ( µµ kk RR = ) (2.47)

and one can directly verify that : νµλλν

νλµλν

µλνλν

µ kkkk RgRgRgR +=−=−=

It’s then clear the strong relationship of such a tensor with the Gauss curvature (see (1.40), bidimensional), from which its name curvature tensor, indeed. The Bianchi’s Identity: if we put ourselves in a locally inertial reference system (not strong gravitational field) all

cabΓ are zero; in fact, the difference between the geodetic equation of an Euclidean space

(2.37) and that of a space strongly curved up by gravity, that is, the (2.38), is really the presence of a c

abΓ . In a locally inertial coordinate system, therefore, (2.46) yields

(derivation ;η expressed by the presence of ηx∂∂ ):

)][21 2222

; λνµ

µνλ

λµν

µλν

ηηλµν xxg

xxg

xxg

xxg

xR kk

kkk ∂∂∂

+∂∂

∂−

∂∂∂

−∂∂

∂∂∂

= (2.48)

and so, by direct verification, we have:

0;;; =++ νηλµλµηνηλµν kkk RRR

By contracting (by multiplying with), in the above equation, νλ, with λνg , we have: 0;;; =+− ν

νηµµηηµ kkk RRR and by contracting again:

0;;; =−− ν

νηµ

µηη RRR which is the same as to say also that (the last two terms are similar:

2x >>> 1/2):

0)21( ; =− µ

µη

µη δ RR and 0)

21( ; =− µ

µνµν RgR (2.49)

Chapter 3: The Einstein’s Equations of the Gravitational Field. Par. 3.1: The ten Einstein’s Equations of the Gravitational Field. They are 16 equations, actually, as they contain rank 2 tensors, that is, with two indexes each, and everyone of them can have 4 values, and so 4x4=16, but such equations are not all linearly independent among them, that is, there are doubles, and the independent ones are ten, indeed. We know from (2.42) that )21(00 φ+−=g (contact point with Newton’s theory and starting

base), while from (2.36) we know that, for non relativistic matter: ρρ == 200 cT (with

normalization c=1); we also have that: 00

2200

200 882)]21([ GTGgg πρπφφ −=−=∇−=+−∇=∇=∆ , that is:

00002 8 GTg π−=∇ ; so we can suppose, out of extension, that the following equality holds:

αβαβ πGTG 8−= and for gravitational fields of any intensity:

µνµν πGTG 8−=

Let’s deduce, now, five peculiarities µνG must have:

A)by definition, µνG is a tensor, as the momentum-energy tensor µνT is

B) µνG is consisting of terms with second derivatives of the metric tensor (just look at

002g∇ )

C) µνG is symmetric, as well as µνT

D)as µνT is conserved ( 0; =µµνT ), then µνG and similars are, as well ( 0; =µµνG )

E)for weak stationary fields, non relativistic ones, we have 002gG ∇=µν

A and B say that µνG is proportional to the curvature tensor (2.46), or better to (2.48),

clearly made of second derivatives of the metric tensor. Moreover, the symmetry of indexes wants that the curvature tensor is represented by the Ricci tensor µµ kk RR = and by the symmetric, as well, µ

µRR = (see the paragraph on the

Ricci tensor): RgCRCG µνµνµν 21 += (3.1)

but, through (2.49), we have also seen that:

0)21( ; =− µ

µν

µν δ RR , from which: νµ

µν

µµν δ ;;; 2

121 RRR == ; now, multiply (3.1) by µµg :

µν

µν

µν RgCRCG 21 += and νννν

µµν

µµν ;2

1;2;

1;2;1; )

2(

2RCCRCRCRCRCG +=+=+=

For the peculiarity D, 2

12

CC −= or 0; =νR ; the second one must be rejected, as:

µµ

µνµν

µµ πGTRCCRCggCG 8)4()( 2121 −=+=+= , and so, if ν

ν xRR ∂∂=; becomes zero, the

same must happen to νµµ xT ∂∂ , but now we aren’t yet in the case of non relativistic

matter.

Therefore: )21(1 RgRCG µνµνµν −= (3.2)

Now, because of the peculiarity E, we figure out C1: for non relativistic systems, we always have:

00TTij << , that is: 00GGij << , from which, for the above (3.2): RgR ijij 21

≅ ; moreover,

αβαβ η≅g (Minkowski’s tensor) and so: RRkk 23

≅ and 200RR ≅ .

(3.2) with 0==νµ ( 0000 η≅g ) yields:

0010000100 2)2)1(21( RCRRCG =−−= ; moreover, in case of weak fields, we can say (see

(2.46) with cabΓ =0 or directly (2.48)):

)][21 2222

λνµ

µνλ

λµν

µλν

λµν xxg

xxg

xxg

xxgR kk

kkk ∂∂∂

+∂∂

∂−

∂∂∂

−∂∂

∂= and kk RR λµν

λνµ η= ; being the field static, the

temporal derivatives are zero:

0020000

200

2

0000 210

21)(

21)(

21 g

xxg

xxgRR ji

ij ∇=−∂∂

∂=

∂∂∂

== ηηηη λνλν

νλλν , from which:

002

1002

100 212 gCgCG ∇=∇= , from which ( 11 =C ) RgRG µνµνµν 2

1−= and so:

µνµνµν πGTRgR 821

−=− (3.3)

which are the Einstein’s equations of the gravitational field, and we rewrite them:

µνµνµν πGTRgR 821

−=−

which tell us that the curvature ( RR ,µν∝ ) of the space-time is equal to the presence of

matter-energy ( µνT∝ ) in it!!!

Now, by contracting with µνg , we have: µµπGTRR 82 −=− , that is: µ

µπGTR 8= and so:

)21(8 λ

λµνµνµν π TgTGR −−= (another form for the Einstein’s equations).

In the vacuum, f(T)=0 and so 0=µνR .

Chapter 4: Classic tests of Einstein’s theory. Par. 4.1: The metric. We still have c=1, as a simplifying convention. Now, we define a general metric tensor through which a gravitational field is static and isotropic; static means that the metric tensor does not depend on time, about its form and its characteristics, with a clear reference to its coefficients. Isotropic means that there is a dependance from the irrotational invariants; in fact, we know that the norm of a vector and the scalar product between two vectors are invariant for rotations:

22 xx rr= , 2)( xdr

, xdx rr⋅

All this for orthogonal coordinates almost Minkowskian (almost αβη ) νµ

µντ dxdxgd −=2 , 2222 )())(()(2)( dxrCdxxrDdxdtxrEdtrFd −⋅−⋅−=τ (4.1) 2/1)( xxr rr

⋅= and in spherical coordinates:

ϕθ cossin1 rx = ϕθ sinsin2 rx =

θcos3 rx =

)sin)(())(()(2)( 2222222222 ϕθθτ drdrdrrCdrrDrdtdrrrEdtrFd ++−−−= Now, we define the linear application )(' rtt φ+= and get rid of the non diagonal elements (combined) by putting:

)()(

rFrrE

drd

−=φ

; there exists a linear rototranslation/application which reduces to a canonical

form the above quadratic form: )sin)(()(')( 222222222 ϕθθτ drdrdrrCdrrGdtrFd ++−−= , with:

))()()(()(

22

rFrErDrrG +=

Let’s define 22 )(' rrCr = ; then, we get the standard form: )sin('')'(')'( 2222222 ϕθθτ ddrdrrAdtrBd +−−= (4.2)

with )()'( rFrB = 2))()(2

1)()()(1()'( −++=

drrdC

rCr

rGrCrA

We are now interested in the standard form (4.2): )sin()()( 2222222 ϕθθτ ddrdrrAdtrBd +−−= and through a comparison with the general

expression of the metric (2.9), we get: )(rAgrr = , 2rg =θθ , θϕϕ22 sinrg = , )(rBgtt −=

and as µνg is orthogonal, we have that: )(1 rAg rr −= , 2−= rgθθ , θϕϕ 22 sin −−= rg ,

)(1 rBg tt −−= .

Then, as we know that according to (2.40): )(21

ρµν

µρν

νρµλρλ

µν xg

xg

xg

g∂∂

−∂∂

+∂∂

=Γ , it comes out

that the only non zero quantities are:

drrdA

rArrr

)()(2

1=Γ ,

)(rArr −=Γθθ ,

)(sin 2

rArr θ

ϕϕ −=Γ , dr

rdBrA

rtt

)()(2

1=Γ ,

rrr1

=Γ=Γ θθ

θθ ,

θθθϕϕ cossin−=Γ ,

rrr1

=Γ=Γ ϕϕ

ϕϕ , θϕ

ϕθϕθϕ cot=Γ=Γ ,

drrdB

rBtrt

ttr

)()(2

1=Γ=Γ .

Now, we calculate the Ricci tensor ( νλ = in λµνkR of the (2.43)):

λλη

ηµ

λη

ηµλλ

λµ

λµλ

µ ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂

−∂Γ∂

= kkk

kk xxR and we remind that kx∂

Γ∂ λµλ is symmetric over µ and k ,

also by a direct verification; therefore, we totally have:

x

X2

z θ

φ

P(r, θ, φ)

x1

X3

rr

rdθ

dr

ϕθdr sin

)()('1)

)()('

)()(')(

)()('(

41

)(2)(''

rArA

rrBrB

rArA

rBrB

rBrBRrr −+−=

)(1)

)()('

)()('(

)(21

rArBrB

rArA

rArR ++−+−=θθ

θθϕϕ θ RR ⋅= 2sin , )()('1)

)()('

)()(')(

)()('(

41

)(2)(''

rArB

rrBrB

rArA

rArB

rArBRtt −++−= , 0=µνR for νµ ≠ .

Par. 4.2: The Schwarschild’s Solution. We already know that: 22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= Moreover, in the vacuum 0=µνR , so:

0=== ttrr RRR θθ ; (4.3) moreover, we notice that:

)''(1BB

AA

rABR

AR ttrr +−=+ and for the (4.3), we have:

BB

AA ''

−= , that is:

constrBrA =)()( . (4.4)

Then, for ∞→r , the metric tensor µνg must get close to the Minkowski’s tensor µνη in

spherical coordinates, that is: 1)(lim)(lim == ∞→∞→ rBrA rr , from which, for the (4.4):

)(1)(rB

rA = and by using this one in the expressions for θθR and rrR , we have:

)()('1 rBrrBR ++−=θθ and )(2)('

)()('

)(2)(''

rrBrR

rrBrB

rBrBRrr

θθ=+= ; by putting 0=θθR , we have:

1)()(')( =+= rBrrBrrBdrd , from which: constrrrB +=)( .

Moreover, for ∞→r : φ2100 −−=−== Bggtt → (r

GM−=φ )→

]21[)(r

GMrB −= and 1]21[)( −−=r

GMrA and so, finally:

222222122 sin]21[]21[ ϕθθτ drdrdrr

GMdtr

GMd −−−−−= − (4.5)

(Schwarschild’s solution) Par. 4.3: The general equations of motion. We know that 22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= and we also consider the

geodetic equation (2.38): 02

2

=Γ+dpdx

dpdx

dpxd λν

ννλ

µ

(in p generic, for the moment): we have,

by making µ change:

222

222

2

)()(2)(')(

)(sin)(

)()(

)(2)('0

dpdt

rArB

dpd

rAr

dpd

rAr

dpdr

rArA

dprd

+−−+=ϕθθ

(4.6)

22

2

)(cossin20dpd

dpdr

dpd

rdpd ϕ

θθθθ

−+= (4.7)

dpd

dpd

dpdr

dpd

rdpd θϕ

θϕϕ cot220 2

2

++= (4.8)

dpdr

dpdt

rBrB

dptd

)()('0 2

2

+= (4.9)

Now, as the field is isotropic, we put 2πθ = and so the last two equations, (4.8) and (4.9), becomes:

0]ln[ln 2 =+ rdpd

dpd ϕ and 0]ln[ln =+ B

dpdt

dpd , from which:

Jdpdr =ϕ2 (constant) (4.10)

constBdpdt

= (=1, by choice) (4.11)

from which: Bdp

dt 1= . Now, by putting (4.10), (4.11) and the condition ( 2πθ = ) used

before, in the (4.6), we’ll have:

)()(2)('

)()(

)(2)('0 23

22

2

2

rBrArB

rArJ

dpdr

rArA

dprd

+−+= and by multiplying, now, by dpdrrA )(2 :

0])(

1))(([ 2

22 =−+

rBrJ

dpdrrA

dpd that is:

ErBr

JdpdrrA −=−+

)(1))(( 2

22 (constant) (4.12)

If now we make a system with the equations ( 2πθ = ) just used, then the (4.10), (4.11) and (4.12), we get:

22 Edpd =τ (4.13) We know that E=0 for photons and E>0 for material particles. As A(r) is always positive, we have that the particle can reach r only if (see (4.12)):

)(1

2

2

rBE

rJ

−≤+ . Then, by using (4.11) in (4.10), (4.12) and (4.13), we get:

)(2 rJBdtdr =ϕ (4.14)

ErBr

Jdtdr

rBrA

−=−+)(

1)()()(

2

22

2 (4.15)

and 222 )( dtrEBd =τ (4.16)

Now we know that, for weak fields: φ21 =−B → Jdtdr =ϕ2 and

21

2)(

21

2

22 E

rJ

dtdr −

≅++ φ (4.17)

as: )21()(21

1)(

1φ

φ−−≅≅

+−=− forTaylor

rB

(4.17) has got a similar correspondance in Newton’s classic mechanics.

For general orbits, r=r(φ); then, we know that:

Jdpdr =ϕ2

ErBr

JdpdrrA −=−+

)(1))(( 2

22

if we get rid of dp, we have: 2222

4 )(11)()(

JE

rBJrddr

rrA

−=−+ϕ

, (4.18)

whose solution is:

∫−−

±=2/1

2222

2/1

)1)(

1(

)(

rJE

rBJr

drrAϕ (4.19)

Par. 4.4: The deflection of light by the Sun. Fig. 4.1: The deflection of light by the Sun.

SunS RR = ; b is the collision parameter. At the infinite, )()sin( ∞∞ −≅−= ϕϕϕϕ rrb and:

dtdrr

dtdV ≅−=− ∞ )cos( ϕϕ ; V is the motion speed (constant). As at the infinite A=B=1, if

we put these two equations in (4.14) and (4.15), we have:

bVJ = and (4.20) 21 VE −= (4.21)

(4.21) is trivial; in order to get the (4.20), we see that:

)( ∞−≅ ϕϕrb , from which: ϕϕϕ rddr +−= ∞ )(0 , and so: JbVrdtdr

dtdr ==−−= ∞ )(2 ϕϕϕ

For 0rr = we have that 0/ =ϕddr and (4.18) then becomes: 2/12

00 )1

)(1( VrB

rJ +−= and

(4.19) becomes, after an easy calculation:

∫∞

− −+−+−+∞=

r

rV

rBV

rBrr

drrAr2/1

212

0

22

0

2

2/1

]1)1)(

1)(1)(

1(1[

)()()( ϕϕ (4.22)

Δφ

)(∞ϕ

γ

)(rϕ

r

b r0

RS

0

0

The total variation of φ is: ∞− ϕϕ )(2 0r , while, if the ray of light walked unperturbed, we

would have a variation of π , so, with reference to Fig. 4.1, we have: πϕϕϕ −−=∆ ∞)(2 0r ;

for a photon, 12 =V and (4.22) yields:

rdr

rBrB

rrrAr

r

21

02

0

2/1 ]1))()(())[(()()(

−∞

∫ −=∞−ϕϕ (4.23)

Now, by using the (Taylor’s) developments due to Robertson:

....21)( ++=r

GMrA , ....21)( +−=r

GMrB , we have:

...])(

21][1)[(]1)(2)()[(

1...])11(21[)(1]....21

....21[)(1)

)()(()(

00

2

00

02

0

2

0

0

2

0

02

0

02

0

++

−−=−−

+≅

≅−+−+=−+−

+−=−

rrrGMr

rr

rrrrGM

rr

rr

rrGM

rr

rGM

rGM

rr

rBrB

rr

The last equality can be directly verified. (4.23) becomes, for Taylor:

(in order to solve the first two integrals, put xrr cos0 = , while for the third, put t

rr

=0 and

the integral will be tt

+−

11 )

drrrr

GMrr

GMrr

rrAr

r....]

)(1[]1)[(1)()()(

00

21

2

0

2/1 ++

++−=∞−−

∞

∫ϕϕ that is:

...])(111[)(sin)()(0

020

0

01 ++−

−−−++=∞− −

rrrr

rr

rGM

rrr ϕϕ and so:

0

4r

GM=∆ϕ , and if we remind our normalization (c=1), we finally have: 2

0

4cr

GM=∆ϕ ; with

mRr S8

0 1095,6 ⋅== and kgM S301097,1 ⋅= , we have:

''75,1=∆ϕ , in perfect agreement with experimental results. In reality, when in 1919 the deflection of star light by the Sun was measured in Brazil, during an eclipse, the accuracy of the measurement was as big as the measure itself. Par. 4.5: An alternative calculation of the deflection, with profiles of antagonism to GTR. This method (Firk) is based on the variation of velocity the light undergoes when it approaches a mass; for this reason I see profiles of antagonism to pure GTR. Then, there exsist also other methods, more or less similar, based on such a supposition (for instance Wåhlin) and it seems that, if we take into account the smallest cyphers after the point, those results are even more similar to experimental values. First of all, we remind that, according to Schwarzschild (see, for instance, (4.5)):

1st Int.

2nd Int.

3rd Int.

22222222 sin)()( ϕθθτ drdrdrrAdtrBd −−−= ; (4.24) Then, we know that, in general: 2222 )()( xddtcd r

−=τ and as, for a photon, 222 )()( dtcxd =r

, we have: 02 =τd , from which, for the (4.24):

2222222 sin)()(0 ϕθθ drdrdrrAdtrB −−−= ; moreover, if we consider light radially travelling towards the Sun, we can get rid of the components in θd and ϕd :

22 )()(0 drrAdtrB −= ; (4.25) The speed of light is dtdrc = far from the mass of the Sun, while, close to it, the (4.25) holds, from which we get:

crArBcdtdrV ≠== 2/1))()(( ; From Par. 4.2, we have the values for A(r) and B(r), in which, during calculations, we do not forget that now c=1 does not hold anymore; therefore:

]21[)( 2rcGMrB −= e ]21[]21[)( 2

12 rc

GMrcGMrA +≅−= −

From the developments on the variable 22rcGM , we easily have that:

]21[]221][

221[)]21[]21[( 222

2/122 rc

GMrcGM

rcGM

rcGM

rcGMcV −≅−−≅+−= , that is: ]21[ 2rc

GMcV −≅

Fig. 4.2: The velocities of the wavefronts. With reference to Figure 4.2, the part of wavefront wich is farther from the mass M has speed c, while the closer one has speed cV < . Fig. 4.3: Drawing for calculations. Now, with reference to Figure 4.3, we have:

222 )( xRyr ++= (eq. of a circle); (4.26) now, we apply the operator y∂∂ to (4.26), so having:

)(2)(2 Ryyrr +=∂∂ , from which: rRyyr /)( +=∂∂ and on the surface of the mass M:

Deflection angle

Wavefront

cV ≅

cV ≅

cV ≅

cV < Sun

Plane waves of light

y=0

Sun (M)

y

x dy

r

y

x R

dx’=V’dt

dx=Vdt

rRyry

=∂∂→0

Now: yr

crGM

rcGMc

ryr

rV

yr

yV

∂∂

=−∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

22

2])21[( , from which:

crGMR

rR

crGM

yr

crGM

yV

yy32

02

0

222==

∂∂

=∂∂

→→

.

Now, we calculate the difference between the paths dx and dx’ of wavefronts at a vertical distance y and y+dy, at which light has got velocities V and V’ respectively: dx’=V’dt and dx=Vdt, from which: dx’- dx =V’dt-Vdt=dt(V’-V) ; (4.27) moreover, we have, for Taylor: dyyVVV )(' ∂∂+= , that is: dyyVVV )(' ∂∂=− and (4.27) becomes:

dydtyVdxdx )(' ∂∂=− (4.28) Then, still from Figure 4.3 and from (4.28), we have:

VdxyVdtyVdydxdxd )()()'( ∂∂=∂∂=−=α . The total deflection α∆ from ∞− and ∞+ is, by considering that, in such a range, V is almost always equal to c (except for when it’s right close to M):

∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−∂∂≅∂∂==∆ dxyV

cdxyV

Vd )(1)(1αα and, close to the surface of M (y=0):

222/122222/3222322

)(2

)(221

RcGMR

xRRx

cGMR

xRdx

cGMRdx

crGMR

c⋅=

+=

+==∆

+∞

∞−

∞+

∞−

∞+

∞− ∫∫α , that is:

''75,142 ==∆

RcGM

α , right what we got in Par. 4.4!!!

Par. 4.6: The precession of the perihelion of planets. Fig. 4.4: The precession of the perihelion of Mercury. For planets, and in particular for Mercury, through centuries, we notice that the perihelion moves.

a

r+ r-

ae ⋅

21 ea −

a focus=Sun

In +r e −r , we have that 0=ϕd

dr. Then, we already know that (see (4.18)):

2222

4 )(11)()(

JE

rBJrddr

rrA

−=−+ϕ

; this one, in +r e −r , becomes: 222 )(11

JE

rBJr−=−

±±

,

from which: 22

22

)()(−+

−

−

+

+

−

−=

rrrB

rrB

r

E and 22

2

11)(

1)(

1

−+

−+

−

−=

rr

rBrBJ (4.29)

We have: ∫− −−

+= −

r

r

rJE

rBJr

drrArr2/1

2222

2/1

]1)(

1[

)()()( ϕϕ , from which, for (4.29), we have:

∫−

−−

−−

+−

−+

+−−

+−−−

−− −

−−−−

=−r

rdrrrA

rrBrBrrrBrBrrBrBrrr 22/12/1

21122

112112

)(]1)]()([

)]()([)]()([[)()( ϕϕ (4.30)

The total variation of φ is: )()(2 −+ −=∆ rr ϕϕϕ . If we did not have any precession, we

would have: ππ 22 = . The precession of the orbit is: πϕϕϕ 2)()(2 −−=∆ −+ rr .

We remind the Robertson’s developments on pag. 39:

....21)( ++=r

GMrA , ....21)( +−=r

GMrB

We need a 2nd order development for 1−B , otherwise, in (4.30), B doesn’t yield anything

21r

∝ . For )(1 rB− we then have:

....421)( 2

221 +++≅−

rMG

rGMrB .

Through such developments, the root in (4.30) can reduce to a quadratic form in r1 ;

anyway, we can notice that such a quantity cancels for ±= rr , therefore:

)11)(11(1)]()([

)]()([)]()([21122

112112

+−−−

+−

−+

+−−

+−−−

− −−=−−

−−−=

rrrrC

rrBrBrrrBrBrrBrBrR

C can be calculated by executing the ∞→rlim :

)]()([)](1[)](1[

11

1212

−−

+−

−+

−−

−+−

+

−−−−

=rBrBrr

rBrrBrC ; now, by factoring on both numerator and denominator:

MGrr )(2 +− − , we get: )11(21−+

+−≅rr

MGC ; with such results in (4.30), we get:

∫−

+−

−+−

−−

+++≅≅−

r

r

rrrrr

drr

GM

rrMGrr

2/12 )]11)(11[(

]1[)]11(1[.........)()( ϕϕ ; now, we define:

Ψ−++=−+−+

sin)11(21)11(

211

rrrrr (4.31)

we get: ( 2π−=Ψ→= −rr ); moreover, we just get dr as a function of Ψd in (56.1) and make a replacement in the integral in dr:

Ψ−−+Ψ++≅≅−−+−+

− cos)11(21]

2)][11(

231[.........)()(

rrMG

rrMGrr π

ϕϕ .

For the (4.31), at the aphelion, 2π=Ψ , so: )6(2)()(2LMGrr π

πϕϕϕ =−−=∆ −+ [rad/rev]

where )11(21

−+

+=rr

L (straight semiside).

Now, as we know that aer )1( ±=± and aeL )1( 2−= (see note (**) below), we have:

)6(LMGπ

ϕ =∆ and, if we do not forget our initial normalization (c=1), we have:

)6( 2LcMGπ

ϕ =∆ ; for Mercury, mL 9103,55 ⋅= , from which ''1038,0=∆ϕ . Now, as in a century

Mercury makes 415 revolutions, we have ''03,43=∆ centuryϕ , in perfect agreement with

experimental measurements, as the very first measurements on Mercury started in 1765, and Clemence, in 1943, calculated:

''45,0''11,43 ±=∆ϕ . ----------------------------

(**): some considerations on the ellipse: Fig. 4.5: The Ellipse. we have, by the definition of ellipse, that: d(P,F)=ed(P,d), where e is the eccentricity and d is the directrix. Therefore: 2222)( xeypx =+− , from which 02)1( 2222 =+−+− ppxyxe ; through easy calculations, we get that, for 0<e<1,

12

2

2

2

=+by

ax , with )1/( 2epea −= and 21 eab −= , but we also know that 22 cab −= (by

the definition of ellipse), so, by comparison: cea =⋅ . Then, if we also take into consideration the other focus, we have: d(P,F)+ d(P,F’)=const=2a; in fact: d(P,F)=ed(P,d) and d(P,F’)=ed(P,d’) and d(P,F)+ d(P,F’)=e[d(P,d)+ d(P,d’)]=constant, of course (by simmetry).

----------------------------

Focus=(p,0)

x

y=directrix

P(x,y)

Appendixes: App. 1: The Special Theory Of Relativity. Contents of App. 1: -Contents of App. 1. Page.1 - App.1-Introduction. Page.1 -App.1-Chapter 1: Fundamental introductory concepts. Page.3 App.1-Par. 1.1 Galilean transformations. Page.3 App.1-Par. 1.2: The (Relativistic) Lorentz Transformations. Page.3 App.1-Par. 1.3: The contraction of length, or of Lorentz. Page.5 App.1-Par. 1.4: Time dilation (Twin Paradox). Page.6 App.1-Par. 1.5: The four-vector position. Page.6 App.1-Par. 1.6: Relativistic Law of Transformation of Velocities. Page.7 App.1-Par. 1.7: The Proper Time τd of a particle. Page.8 -App.1-Chapter 2: The relativity of energies. Page.8 App.1-Par. 2.1: The momentum-energy four-vector (or linear momentum). Page.8 App.1-Par. 2.2: The velocity four-vector. Page.9 App.1-Par. 2.3: The four-force. Page.9 App.1-Par. 2.4: E0=m0c2. Page.10 App.1-Par. 2.5: Relativistic kinetic Energy. Page.11 -App.1-Chapter 3: Relativistic phenomena. Page.11 App.1-Par. 3.1: Time and gravity: gravity slows down the time! Page.11 App.1-Par. 3.2: Volume of moving solids. Page.11 App.1-Par. 3.3: The equation of waves, or of D’Alembert, holds in every inertial reference system. Page.12 App.1-Par. 3.4: The Fizeau experiment. Page.12 App.1-Par. 3.5: Relativistic Doppler Effect (longitudinal). Page.13 App.1-Par. 3.6: The Twin Paradox explained by the Relativistic Doppler Effect! Page.14 App.1-Par. 3.7: The Michelson and Morley experiment. Page.15 -App.1-Chapter 4: Relativistic Electrodynamics. Page.16 App.1-Par. 4.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Page.16 App.1-Par. 4.2: The Current Density four-vector. Page.19 App.1-Par. 4.3: The Electromagnetic Field Tensor. Page.19 - App.1-SUBAPPENDXES: Page.21 App.1-Subapp. 1: Lorentz Transformations in succession. Page.21 App.1- Subapp. 2: Transversal (relativistic) Doppler Effect. Page.22 App.1- Subapp. 3: The Transformations of the four-velocity. Page.24 App.1- Subapp. 4: The transformations of the four-force. Page.24 App.1- Subapp. 5: The acceleration four-vector and the transformations of the acceleration. Page.25 App.1- Subapp. 6: As I see the Universe (Unification Gravity Electromagnetism). Page.26 App.1-Introduction: Time is just the name which has been assigned to a mathematical ratio relation between two different spaces; when I say that in order to go from home to my job place it takes half an hour, I just say that the space from home to my job place corresponds to the space of half a clock circumference run by the hand of minutes. In my own opinion, no mysterious or spatially four-dimensional stuff, as proposed by the STR (Special Theory of Relativity). On the contrary, on a mathematical basis, time can be considered as the fourth dimension, as well as temperature can be the fifth and so on. The speed of light (c=299.792,458 km/s) is an upper speed limit, but neither by an unexplainable mystery, nor by a principle, as asserted in the STR and also by Einstein himself, but rather because (and still in my opinion) a body cannot move randomly in the Universe where it’s free falling with speed c, as it’s linked to all the Universe around, as if the Universe were a spider’s web that when the trapped fly tries to move, the web affects that movement and as much as those movements are wide (v~c), that is, just to stick to the web example, if the trapped fly just wants to move a wing, it can do that almost freely (v<<c), while, on the contrary, if it really wants to fly widely from one side to the other on the web (v~c), the spider’s web resistance becomes high (mass which tends to infinite etc). On this purpose, see Appendix 2.

Anyway, Einstein’s theory is formally founded on two principles: -Principle of di Relativity: laws of phisics have the same form in all inertial systems (i.e. at relative movement with a constant speed); as it doesn’t make any sense an absolute movement with respect to a standing ether which does not exist (see Par. 3.7) all reference systems are equal laboratories to verify in all laws of physics; so there aren’t any privileged reference sysyems (except for, in my opinion, that of the center of mass of the Universe). Anyway, the Michelson and Morley experiment (App.1-Par. 3.7) represented the end of the ether and opened the doors to STR. -Principle of Constancy of the Speed of Light: the speed of light in vacuum has always the same value c=300.000 km/s. Therefore, no matter if you chase it at 299.000 km/s of if you run away from it still with that speed; light in vacuum will run away or chase you still at 300.000 km/s! (c=299.792,458 km/s) In the opinion of the writer, there is something like a contradiction in the STR; the speed of light seems to be an “absolute” object, indeed, and not “relative”, as we are here talking about “relativity”. The point here is that speeds among objects in the Universe are relative with respect to themselves, but there is an absolute (or almost) speed c with which all objects in the Universe fall towards the centre of mass of it; from this the absolute essence of c. And here there is also an explanation of the reason why objects at rest have energy m0c2 (App.1-Par. 2.4), energy given to matter at rest by Einstein, unfortunately without telling us that such a matter is never at rest, as it’s free falling with speed c towards the center of mass of the Universe, as chance would have it. On this purpose, see my complete personal opinion in Appendix 2. If a common man hears the speed of light is the same everywhere and for everybody (all inertial observers), even when they have relative movements at constant speed, nothing happens. On the contrary, if it’s heard by a particular man like Einstein, what he can understand from that can be surprising. The following simple experiment, made by a light clock on a space ship, shows that the fact that the speed of light is c for “everybody” implies that time is relative, from which the Twin Paradox comes (App.1-Par. 1.4) etc: Fig. A1: Light clock not moving. Fig. A2: Light clock moving at speed V. As you can see in Fig. A1, every time light (blue arrows) goes from source to mirror and back, the light clock says, for instance, one second, or a certain time t’. The path in blue shown in Fig. A1 is seen by those who are not moving with respect to the clock, i.e. by who is on the space ship with the clock itself. On the contrary, those who are on the Earth and see the clock moving on the ship, will see the light travelling diagonally longer paths, as shown in Fig. A2, as the mirror moves while the light goes downwards, and the source moves, too, when the light goes back upwards. Now, as we are talking about light, the behaviour of it during its going downwards is not like that of a suitcase falling from the luggage compartment of a railway wagon, which is seen to fall vertically by the passenger on it and by a parabolic trajectory by the observers not moving, on the platform at the station, so taking the same time for both of them, as in the latter case (parabolic) the falling speed is higher; we are here talking about light, therefore its speed must be the same for all, and c; but if it’s so, then those who see the longer diagonal path must say that time taken by light to go down and up must be longer. Therefore, despite we’re talking about just one clock and one event, those two observers come to different results, so to the relativity of time and to all its implications. Using the Pithagorean Theorem on the triangle in Fig. A2, we have:

222222 ' tVtctc += , from which: 2

2

1'cVtt −= and so, in general: tt <' and t’ tends to zero when V tends to c!

I remind you that t’ is the time of the astronaut who is travelling with the clock, while t is the time elapsed on the Earth. If all this is true for the fastest thing (light), then it’s also true for standard hands clocks and also for the biologic ones (living beings)! In the seventies, by using very sensitive atomic clocks, they proved the time dilation on the Earth, between two atomic clocks which were synchronized, at the beginning, after that one of them flew on a plane, underwenting a slight, but well felt, time dilation.

00:01 00:02 00:02

ct

Vt

ct’

light source

counter

mirror

ct’

V V

App.1-Chapter 1: Fundamental introductory concepts. App.1-Par. 1.1: Galilean transformations. They simply give the relations between spatial coordinates (and time), for two reference systems in relative motion, but in classic physics, where the speed of light is not an upper limit. Fig. A1.1: Reference systems in relative motion. We obviously have:

tVrrrrrrr

+=+= ''00' , (A1.1) from which, for the components (t=t’):

'' Vtxx += 'yy =

'zz = (A1.2) 'tt =

and for the reverse ones, we obviously have:

Vtxx −=' yy ='

zz =' (A1.3) tt ='

(A1.2) and (A1.3) are the Galilean Transformations.

By deriving (A1.1), we have: Vvvrrr

+= ' which can be held as the theorem of summation of velocities in classic physics. App.1-Par. 1.2: The (Relativistic) Lorentz Transformations. We know that the Lorentz transformations were born before the Theory of Relativity (which is founded on them) and on an electromagnetic basis. They correspond to the Galilean ones, but on a relativistic basis and they are in force as long as we say that the speed of light is an upper limit in the Universe and it’s c for (~)every observer. -FIRST PROOF: if we suppose a relative motion along x, we correct the x components of the Galilean Transformations through a coefficient k, as follows:

)(' Vtxkx −= (A1.4)

)''( Vtxkx += (A1.5) Now, for a photon, we obviously have:

y y’

z z’

x _ x’

P

0 0’

rr 'rr

Vr

tVckct )(' −= and tVckct )( += , as light has the same speed c in both reference systems, from which, by mutual multiplication of the corresponding sides:

)1('' 2

2222

cVcttkttc −= , from which:

2

2

2 11

1

1β−

=

−

=

cV

k (A1.6)

Moreover, from (A1.5) we have: )'(1' xkx

Vt −= and using (A1.4) in it, we have:

][)]11([1)]([1' 22 xcVtk

kVxtkkt

Vkxx

kVVtxk

kx

Vt −=−−=+−=−−= (A1.7)

as, for (A1.6), we have: 2

2

2 )11(cV

k=− .

By the same way which led us to (A1.7), we also get the expression for t. Finally, here are the Lorentz Transformations:

21)('

β−

−=

Vtxx

yy ='

zz =' (A1.8)

2

2

1

)('

β−

−=

xcVt

t

21)''(

β−

+=

Vtxx

'yy =

'zz = (A1.9)

2

2

1

)''(

β−

+=

xcVt

t

-SECOND PROOF: We know that c=const in all inertial reference systems. Now, with reference to Fig. A1.1, when 0=0’ and t=t’, from the origin light is emitted through spherical waves and isotropically and so we can write that:

0)( 22222 =++− zyxtc and 0)'''(' 22222 =++− zyxtc as light has the same speed c in both reference systems. Therefore:

)'''(')( 2222222222 zyxtczyxtc ++−=++− and for rays along x (y=y’ and z=z’): 222222 '' xtcxtc −=− . Now we say ( 1−=i ): ξ=ix , '' ξ=ix , η=ct and '' η=ct ; we have:

2222 '' ηξηξ +=+ , whose solution is:

θηθξξ sincos' −=

θηθξη cossin' += (A1.10) and in a differential form:

θηθξξ sincos' ddd −=

θηθξη cossin' ddd += (A1.11)

Now we notice that with respect to the origin “0”, 0=dtdx

, as the reference system (0,x,y,z) is not moving with respect

to itself. On the contrary, Vdtdx

−=''

, as the system (0’,x’,y’,z’) moves with speed V with respect to “0” and, as a

consequence: 0=ηξ

dd

and cVi

dd

−=''

ηξ

, but from the ratios between (A1.11) we have that:

θθθ

θθηξ

θθηξ

θηθξθηθξ

ηξ tg

dddd

dddd

dd

−=+−

=+

−=

+−

=cos0sin0

cossin

sincos

cossinsincos

''

and so: βθ icVitg ==

but we know from trigonometry that: 22 1

11

1cosβθ

θ−

=+

=tg

and:

22 11sin

β

β

θ

θθ

−=

+=

itg

tg and so the (A1.10) become:

21'

β

ηβξξ

−

−=

i and

21'

β

ηξβη

−

+=

i , that is:

21)('

β−

−=

Vtxx

yy ='

zz ='

21

)('

β

β

−

−=

xc

tt

and so (A1.8) again. By the same way, we also get (A1.9). App.1-Par. 1.3: The contraction of length, or of Lorentz. Moving objects with speeds close to that of ligth are shorter to not moving observers. If those observers make measurements to get the length of the running body, the best way is to use light sources (the fastest thing), by illuminating the bow and the stern of that body, in order to see the corresponding positions, moment by moment. But that light has a constant speed, and limited, too, and the result will be that of a shorted body. Reality or measuring appearance? Convince yourself immidiately that (observed) reality and the measuring appearence are the same thing, and it must be so! Let l be the length of a segment in the O system:

lxx AB =− . In O’, according to Lorentz Transformations:

'11

)(

1

)()()'(')'(''

222llxxVtxVtx

txtxl ABAABBAB =

−=

−

−=

−

−−−=−=

βββ , as in system O the measurement of

the segment makes sense if both ends are detected “simultaneously” (tA=tB). When v tends to c, cv=β will tend to 1 and the radical will tend to zero, as well as l! Therefore, the length l measured in O will be that measured in O’ by a value less than 1, that is, the observer at rest (O) will detect a shorter object.

App.1-Par. 1.4: Time dilation (Twin Paradox). It sounds strange, but time, too, can be, and is, relative. Of course, every observer, in himself, sees time going by still in the same way; if you move with a speed close to that of light, you will not hear your heart beating slower. The comparison between those two observers which were in relative motion will show the difference on how those two times went by. So, according to Lorentz Transformation, in O’ (moving system): AB ttt ''' −=∆ , whilst in O (system at rest):

21''''

β

ββ

−

−−+=−=∆

cxtcxtttt AABBAB , but, by assumption, BA xx '' = , as in the system O’ (O’,x’,y’,z’) the

clock is at rest, as it’s travelling with the system O’ itself; therefore:

21'β−

∆=∆

tt

When v tends to c, cv=β will tend to 1 and the radical will tend to zero, as well as 't∆ ! Two twins separate as one leaves for a spatial travel one month long and at speeds close to that of ligth; once back to the Earth, he sees the other twin thirty years older! (Twin Paradox) At a speed of 260.000 km/s you have the halving, so the radical will be ½ and those two times will go by one a half of the other. See also the proof of the time dilation by the ligth clock (in the Introduction) and also that on a Doppler Effect basis (App.1-Par. 3.6). App.1-Par. 1.5: The four-vector position. Instead of writing the position vectors with the three classic components x, y and z, let’s write them in a mathematically four-dimensional form, by adding time; this will be very useful. In the (justified) opinion of the writer, our Universe is three-dimensional and the adding of a fourth dimension is a purely mathematical operation; in fact, I defy you to show me the fourth dimension of a whatsoever object which is held four-dimensional. In the nowadays’ STR, a real four dimension is believed! Well, so: ),,,( 4321 xxxxx = , which is the same as: (x,y,z,ct).

By this new terminology, the Lorentz Transformations become:

411' xxx βγγ −= 411 '' xxx βγγ +=

22' xx = 22 'xx =

33' xx = 33 'xx = (A1.12)

414' xxx γβγ +−= 414 '' xxx γβγ +=

where cV=β e 21

1β

γ−

= .

You can prove the space-time distance between two points is invariant for Lorentz Transformations, i.e. it is the same in all inertial reference systems:

24

23

22

21

224

23

22

21

2 )'()'()'()'()'()()()()()( xxxxxxxxxx ∆−∆+∆+∆=∆=∆−∆+∆+∆=∆ (A1.13)

(This expression is a kind of Pitagorean Theorem in four dimensions). In order to prove that, use the Lorentz transformations in (A1.13), where there are Δxi in place of xi, and you check the equality. In other words, three dimension length and time are relative, while their four-dimensional composition is absolute. That’s why we said the definition of physical quantities by four components would have been useful. We can then use the Lorentz transformations on all four-vectors, in the form of (A1.12).

------------- If we use matrixes, Lorentz Transformations can be written in the following way: (remember the matrix product, with the components of the row of the first matrix which are multiplied by the corresponding components of the column of the second matrix, then summing up those products to get the component of the product matrix, indeed)

⋅

−

−

=

4

3

2

1

4321

0001000010

00

)',',','(

xxxx

xxxx

γβγ

βγγ

and (A1.14)

⋅

=

4

3

2

1

4321

''''

0001000010

00

),,,(

xxxx

xxxx

γβγ

βγγ

(A1.15)

while, for the tensor form: (use the Einstein convention, according to which, if in a term an index is repeated, the summation on that index is understood)

kkii xx α=' (i,k=1,2,3,4) on the right side, k is repeated, so you make the summation on it (A1.16)

iikk xx ''α= (i,k=1,2,3,4) (A1.17)

App.1-Par. 1.6: Relativistic Law of Transformation of Velocities. If I’m walking with a speed of 5 km/h in a railway train car which is travelling with a speed of 100 km/h with respect to the platform, I’ll have, with respect to the platform, a total speed of 105 km/h. This is classic physics. On the contrary, when those two speeds get close to that of light, the simple composition by algebraic summation cannot be used anymore, as it would show us a speed higher than that of light c, which must be impossible. Therefore, we have, by definition:

dtdxvx = '

'' dtdxv x =

dtdyvy = '

'' dtdyv y =

dtdzvz = '

'' dtdzv z =

Now, by differentiating the Lorentz Transformations, we have:

21

)''(β−

+=

Vdtdxdx

'dydy =

'dzdz =

2

2

1

)''(

β−

+=

dxcVdt

dt

from which:

)''(

)''(

2 dxcVdt

Vdtdxdt

dxvx

+

+==

)''(

1'

2

2

dxcVdt

dydt

dyvy

+

−==

β

)''(

1'

2

2

dxcVdt

dzdt

dzvz

+

−==

β

If now we divide numerator and denominator of last equations by dt’, we have:

)'1(

)'(

2cVv

Vvvx

xx

+

+=

)1(

)('2c

VvVvv

x

xx

−

−=

)'

1(

1'

2

2

cVv

vv

y

yy

+

−=

β (A1.18) and similarly:

)1(

1'

2

2

cVv

vv

y

yy

−

−=

β

)'1(

1'

2

2

cVv

vvz

zz

+

−=

β

)1(

1'2

2

cVv

vvz

zz

−

−=

β

When 1<<cV and 1<<c

vx we are in the classic case (galileian) of algebraic sum.

If we use again the example of the railway train car, where a guy walks inside, if we say ),0,0,'(' cvv x= and

),0,0,( cvv x= , from (A1.18) we have:

)'1(

)'(

2cVv

Vvvx

xx

+

+= (A1.19)

and if cVv x ==' , then cvx = , and not 2c! Therefore, if the train moves with a speed c and I run inside at c, as

well, with respect to the platform, I’ll have a resulting speed equal to c and not 2c! (1.19) represents the Relativistic Theorem of Addition of Velocities. As an example: two rockets travel each with speed c/2 and meet; at which velocity xv do they meet?

ccc

ccccvx <==

+

+=

54

45)4

1(

)22(

2

2 !

App.1-Par. 1.7: The Proper Time τd of a particle. If a particle is at rest in (O’,x’,y’,z’), i.e. if it moves in O’, indeed, i.e. if O’ is its “proper” reference system, then: dx’= dy’= dz’=0 and:

2222222222 ''000)( dtcdtcdtcdzdydxds −=−++=−++= , from which:

dtcv

dtdl

cdt

dtcdzdydx

cdsddt 2

22

222

222

1)(111' −=−=++

−=== τ (proper time, invariant, as so is cds

).

Therefore, when you make calculations on a particle, you are led to use for it its proper time, indeed:

γτ

dtdtcvd =−= )1( 2

2

.

App.1-Chapter 2: The relativity of energies. App.1-Par. 2.1: The momentum-energy four-vector (or linear momentum). We know from classic physics that the linear momentum is given by the product of the mass by the velocity. Now, in the relativistic case, for what has been said so far, we will define a four-vector and then the velocity as dx/dt will have the

proper time τd instead of dt, which is typical of the particle, indeed, for which we are going to define the four-vector:

pmcpmcvmdtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

dtdxm

ddxm

ddxm

ddxm

ddxmp

====

===

),(),(),,,(

)1

,1

,1

,1

(),,,(

4321

4030201040

30

20

10

rr

γγγγττττ

where vr is the (three-dimension) velocity vector, pr is the three-dimension linear momentum,

dtdxmmc 4= is the 4-dimension component,

γτ

dtd = is the proper time and 00

1mmm γ

γ== is the dynamic mass,

which is the rest mass only if v=0. We have just begun to introduce the concept of relative mass, which is increasing with speed, and becoming infinite when v=c. As already said before, the modules of 4-vectors are “absolute”, i.e. they are invariant for Lorentz T.; in fact:

220

22

2

2

2022222222

422

)()1(

)( cmvc

cv

mvcmcmvmppp −=−−

−=−−=−=−=r

= constant, i.e. it’s not

depending on v. In Relativity there exist a Universe (mathematically 4-dimensional) described by 4-vectors, where quantities are not changing so arbitrarily with speed and where laws of nature preserve some consistency, no matter what the state of motion is. App.1-Par. 2.2: The velocity four-vector.

We obviously define it as follows: τdxdv = , where we use the proper time τd for reasons already shown. Numerator

and denominator are both invariant, so also v is. We have:

),(),,,(),,,(),,,( 43214321 cvcvvvdt

dxdtdx

dtdx

dtdx

ddx

ddx

ddx

ddxv zyx γγγγγγγγγγ

ττττr

====,

and so, as a module for such a 4-vector: 222222 ccvv −=−= γγ (constant!). (A2.1)

Par. 2.3: The four-force. As in classic physics, force is the derivative of the linear momentum with respect to time, in relativity we define the 4-force as the derivative of the momentum-energy 4-vector with respect to time (proper time):

))(),(())(,(),(),,,( 00044321 cmdtdvm

dtdcm

ddp

ddFFFFFF

dpd

F γγγγγτττ

rrr===== ; (A2.2)

so we have: Ffvmdtd rrr

=⋅= γγγ )( 0 , (A2.3)

( fvmdtd rr

=)( 0γ is the “classic” force, and it’s more so when 1=γ )

and so: )()(0

vdd

mF

vdtd r

rr

γτ

γγ == , and by components:

)()(0

ii

i vdd

mFv

dtd

γτ

γγ == (i=x,y,z) (A2.4)

and then, about the fourth component: 40 )( Fcmdtd

=γγ (A2.5)

and so: )()(0

4 cdd

mFc

dtd

γτ

γγ == . (A2.6)

Now, we differentiate (A2.1), that is, the following equation: 22222222222222 ccvvvcvv zyx −=−++=−= γγγγγγ , so getting:

))(2)(2

)(2)(2())()()()((0 2222

cddcv

ddv

vddvv

ddvc

ddv

ddv

ddv

dd

zz

yyxxzyx

γτ

γγτ

γ

γτ

γγτ

γγτ

γτ

γτ

γτ

−+

++=−++=

that is: ))()()()((0 cddcv

ddvv

ddvv

ddv zzyyxx γ

τγγ

τγγ

τγγ

τγ −+++= , and, for (A2.4) and (A2.6):

)(00

4

000 mFc

mFv

mF

vmFv z

zy

yx

x γγγγ −+++= and for (A2.3) ( Ffrr

=⋅γ ):

)(00

4

000 mFc

mfv

mf

vmfv z

zy

yx

x γγ

γγ

γγ

γ −+++= , that is:

)(4 vfc

F rr⋅=

γ. (A2.7)

If now we go back to (A2.2), we finally have the 4-force, or Minkowski force:

))(,( vfc

fd

pdF rrr

⋅==γ

γτ

(A2.8)

To have the transformation equations for such a 4-force, please see Subappendix 1.4. Par. 2.4: E0=m0c2.

According to (A2.5), we have: 40 )( Fcmdtd

=γγ , whilst for (A2.7) we have: )(4 vfc

F rr⋅=

γ. Therefore:

)()( 0 vfc

cmdtd rr

⋅=γ

γγ , that is: vfcmdtd rr

⋅=)( 20γ , that is, again:

dEdLdtvfcmd ==⋅=rr

)( 20γ (A2.9)

(A2.9) is exactly the expression for the energy in classic physics, if 1=γ ; the integration of (2.9) with integration constant equal to zero yields:

20cmE γ= (A2.10)

In reality (A2.10) holds only for gained energies (as in particle accelerators), while for lost energies (collapsing Universe or Atomic Physics of electrons going down in energy levels) the following must be used, and I assume it as mine:

20

1 cmEγ

= (Rubino)

(see also Appendix 2; for a convincing proof of it, please contact me: leonrubino@yahoo.it ). Therefore, a particle whose mass is m0 has got a total energy:

)1( 2

2

202

0

cv

cmcmE−

== γ (A2.11)

and “at rest”( 0=v and so 1=γ ) it has a “rest” energy: 2

00 cmE = (A2.12)

App.1-Par. 2.5: Relativistic kinetic energy. The difference between (A2.11) and (A2.12) obviously yields the pure kinetic energy of a particle:

)1)1(

1()1(

2

2

20

20

20

200 −

−

=−=−=−=

cv

cmcmcmcmEEEK γγ (A2.13)

If now ve develop, according to Taylor, the expression for )1(

1

)1(

12

2

2 βγ

−=

−

=

cv

, we get, for v<<c (β<<1):

.....83

211

)1(1 42

2+++=

−= ββ

βγ , that is: 2

22

21

21)1(

cv

=≅− βγ and for (A2.13):

202

22

02

0 21)

21()1( vm

cvcmcmEK ==−= γ (v<<c) which is the well known classic expression (Newton’s) for the

kinetic energy! In order to have a proof of the (A2.13) starting from a collapsing Universe characteristics, please see into Appendix 2. App.1-Chapter 3: Relativistic phenomena. App.1-Par. 3.1: Time and gravity: gravity slows down the time! Also gravity slows down the time! On a mountain time elapses faster than down in the valley. Of course, on the Earth, the difference is imperceptible, but on a neutron star or in a black hole, that effect is very strong. gHmE 0=∆ (delta energy from the level difference)

ν∆=∆ hE (delta energy due to the freq. decrease of

the photon). From them: hgHm0=∆ν .

For a photon, νhE = , but in relativity: 20cmE = ,

from which, for a photon: 20 chm ν= and so,

for ν∆ : 2cgHνν =∆ and as time is the reciprocal of

the frequency, we have: tt∆=∆ νν and so:

tcgHt 2=∆ . Therefore, over a time t, we have a slow

Fig. A3.1: Mountain, gravity and time. down Δt due to gravity!

We know that the escape velocity of a celestial body whose mass is M and radius R is: RGMV 2= . If on that

body an object is cast vertically with the escape velocity, it will quit the gravitational field of that celestial body and will go towards the infinite, without falling down anymore. A black hole is a body so compressed (big M and small R) that the escape velocity on its surface reaches the speed of light and so not even the light can escape, from which the name of black hole; moreover, for what above said, we can say that in a black hole time is approximately stopped! App.1-Par. 3.2: Volume of moving solids. Moving solids appear rotated. Fig. A3.2: Body seen at rest. Fig. A3.3: Body seen moving.

H

Photon going down, with freq. increased by gravity

Photon going up, with freq. decreased by gravity

Δx

Δy A D

B

C

Δz L

L L

B

L

L

V

--Observer--

B’

V

φ

Lsin φ

zyxV ∆∆∆= (volume of the solid for an observer integral with it)

22 11'''' ββ −=∆∆−∆=∆∆∆= VzyxzyxV (volume of the solid for an observer who sees that solid in

movement with speed V, along x). Of course, for Lorentz Transformations, as the movement is along x, only Δx is contracted. On the other hand, the observer at rest sees point B with a delay with respect to A, and this delay is L/c, obviously. As a further consequence, B appears as moved back about a stretch which is (L/c)V=βL. We have: Lsin φ= βL, from which: sin φ= β and φ=arcsin β. Finally, that body appears rotated! And a sphere goes on appearing as a sphere. App.1-Par. 3.3: The equation of waves, or of D’Alembert, holds in every inertial reference system. Electromagnetic waves in vacuum, an so the light, too, propagates, as well known, respecting the wave equation:

=∂∂

−∆==∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2 101tctczyxφ

φφφφφ

φ

Now, we preliminarily notice that, according to the Lorentz Transformations, we have (by deriving them):

γ=∂∂

xx'

, Vtx

γ−=∂∂ '

, 2'

cV

xt

γ−=∂∂

, γ=∂∂

tt '

, 1''=

∂∂

=∂∂

zz

yy

, 0......'''==

∂∂

=∂∂

=∂∂

xy

zx

yx

According to mathematical analysis, we have, in 0’: )','( trrφφ = , and so:

')(

''

''

''

''

' tV

xxt

txz

zxy

yxx

xx ∂∂

−+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ φ

γφ

γφφφφφ

; furthermore:

''2)

''(

2

222

2

4

2

2

2

2

2

txVcV

tcV

xx ∂∂∂

−−

∂∂

+∂∂

=∂∂ φφφ

γφ

and similarly, for the other coordinates:

'' txV

t ∂∂

+∂∂

−=∂∂ φ

γφ

γφ

and ''

2)''

(2

2

2

2

222

2

2

txV

txV

t ∂∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂∂ φ

γφφ

γφ

and 2

2

2

2

'yy ∂∂

=∂∂ φφ

, 2

2

2

2

'zz ∂∂

=∂∂ φφ

from which, by substitution in the wave equation, we have:

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

'1

'''1

tczyxtczyx ∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂ φφφφφφφφ

that is what we wanted to prove.

App.1-Par. 3.4: The Fizeau experiment. In 1849, a long time before the formulation of the Special Theory of Relativity by Einstein (1905), the French physicist A.H.L. Fizeau carried out studies on the speed of light in water and in moving fluids. Fig. A3.4: Fizeau’s experiment.

Water

V

V

Water

Inverted prism Mirror

P

P=semitransparent plate

Light source

In water at rest, light has velocity skmsmncv /000.225

33,1/103 8

≅⋅

== , where n=1,33 is the refractive index of

water. If now water, or the fluid, in which we are going to measure the speed of light, flows with speed V, then, according to Fizeau’s results, the total velocity of light in the flowing fluid is:

)11( 2nV

ncv −+= , (A3.1)

in total disagreement with classic physics, according to which we should more simply have: Vncv += .

Years later, STR has given a theorethical explanation of (A3.1). In fact, for the Theorem of Addition of Velocities given by (A1.19), we can write that:

)1(

)(

)1(

)(

2 ncV

Vnc

ncVc

Vnc

v+

+=

+

+= ; now, we multiply numerator and denominator by )1(

ncV

− , and we have:

2

2

2

2 )(1

)11(

)(1

)1)((

)1(

)(

ncV

ncV

nV

nc

ncV

ncVV

nc

ncV

Vnc

v−

−−+=

−

−+=

+

+= , but quantities

ncV 2

on the numerator and 2)(ncV

on

the denominator are both negligible (<<1) with respect to the other terms and can be neglected indeed, from which the

assertion: )11( 2nV

ncv −+= .

App.1-Par. 3.5: Relativistic Doppler Effect (longitudinal). Fig. A3.5: Longitudinal Doppler Effect (example of a source S getting farther from R with speed V (β)). The source aerial sends electromagnetic signals to the receiving one, and the periods is TS; Because of the time dilation, the receiving aerial will receive them with a period T’S , so that:

)1('

2β−= S

STT ; moreover, the fact that S is getting farther will cause a ST '∆ among phase fronts, which is:

)1()1(''

22 ββ

β −=

−==∆ SSS

STT

cV

cVTT ; so, we’ll totally have TR:

RSS

SSSSSSR

TTT

TTTTTTT

=−+

=+−

=

=++−

=+−

=−

+−

=∆+=

)1()1(

)1()1(

)1()1()1(

)1()1()1()1(

''222

ββ

ββ

βββ

βββ

ββ

c c c

Source Aerial S Receiving Aerial R

V

and we rewrite it here: )1()1(

ββ

−+

= SR TT ; (S and R getting farther) (A3.2)

The same holds if the receiver is the one who gets farther. If, then, S and R are getting closer, through the same reasonings which led us so far, the following holds:

)1()1(

ββ

+−

= SR TT (S and R getting closer). (A3.3)

For a more general treatment of this subject, see Subappendix 1.2. App.1-Par. 3.6: The Twin Paradox explained by the Relativistic Doppler Effect! Say a twin leaves for a space flight with a velocity equal to 3/5 c=180.000 km/s, getting far away from the Earth for 25 min (measured on the Earth) and then he comes back towards the Earth with the same velocity, so taking another 25 min. Out of simplicity, we neglect the acceleration and deceleration phases. Now, in order to prove that the time dilation acts also on the cardiac (heart) rhythm of the travelling twin (but still in the opinion of the twin at rest on the Earth, and when the twins meet on the Earth, at the end of the flight), say, out of simplicity, both twins have one heartbeat per second and say the twin on the Earth transmits a radio pulse (whose speed is c) every second, i.e. every heartbeat, towards the space ship, in order to inform his travelling twin brother on his own cardiac rhythm. Now, remember that in the opinion of the “older” twin at rest on the Earth, the flight lasts, by supposition, 25+25=50 min (3000 heartbeats), while, if the time dilation is true, for the “younger” travelling twin it lasts (V=3/5 c, that is: β=3/5):

)2591(min50)1()1( 2

2

2

22

cc

cVTTT oldoldyoung −=−=−= β =40min (=2400 heartbeats)

Moreover, under a Doppler analysis of the phenomenon, we can say that for equation (A3.2), the twin on the Earth (old) transmits his heartbeats every second, but the flying twin will receive them, during the first “to” step of the flight, every two seconds; in fact:

sstoTtoT oldyoung 2)5/3(1)5/3(1

1)1()1(

)()( =−+

=−+

=ββ

, so, in the “to” step, the flying twin, whose “to” flight time is

20 min=1200s=1200 heartbeats, has received one heartbeat every 2s from his brother on the Earth, that is just 600 heartbeats. Therefore, the flying twin, during his 20 min(=1200s) “to” flight, has counted on himself 1200 heartbeats, but has received only 600 from his brother on the Earth. After 20 min of the flying twin, the direction of the flight is inverted and the return to the Earth starts, for another 20 min (still according to the time measured by the flying twin). During those further 20 min’s return flight (“from”), on the contrary, the twin on the Earth still transmits every second, but the flying one now receives every half a second; in fact, for equation (A3.3):

ssfromTfromT oldyoung 5,0)5/3(1)5/3(1

1)1()1(

)()( =+−

=+−

=ββ

, so, during those further flyer’s 20 min=1200s=

=1200 heartbeats counted on himself, the flyer receives 2400 heartbeats from his brother on the Earth. Therefore, the flying twin, during his further 20 min(=1200s) return flight, has obviously counted on himself another 1200 hearthbeats and has received 2400 (!) from his brother from the Earth. Sum up of the counts: Totally, during the whole space flight, of 20+20=40 min, the flying twin has obviously counted 1200+1200=2400 hearthbeats on himself and (a piece of!) 600+2400=3000 hearthbeats from his twin brother on the Earth. He must feel younger!!!

App.1-Par. 3.7: The Michelson and Morley experiment.

Fig. A3.6: Michelson’s device (interferometer). Fig. A3.7: Luminous paths and relevant velocities. Before Einstein, they thought that electromagnetic waves, and so the light, had to propagate in a mean, as well as for sounds in the air. They supposed that the space was filled with an invisible and very light gas, the ether. The Earth rotates around the Sun with a speed V around 30 km/s, so it should move through the ether with such a speed and light emitted by a light source which is on the Earth itself should have, in general, a speed different from c (c±V along the direction of rotation of the Earth and 22 Vc − transversally). In 1886 they started to prepare the experiment which should have proved the movement of the Earth through the ether. In Cleveland they stopped the street traffic during the experiment in order not to have vibrations; the device was put on a floating stone slab in a well of mercury, to easily rotate it of 90° without vibrations. Now, if you put l1 along the direction of rotation of the Earth, about the - to and fro - light path, we have:

)1(12

22111

1 cVcl

Vcl

Vclt

−=

−+

+= and for the transversal path along l2:

S

S1

S2

Interferometer and binocular

L – Light source r1

r2

S – semireflective mirror S1, S2 - mirrors

S2

S

S

l2

22tV ⋅

S

S1

l1

c+V

c-V

22 Vc −

V V c c

22 Vc −

)1(122

222

222

2cVc

lVc

lt−

=−

=

If you make both rays enter an interferometer to make them interfere, indeed, they should arrive with a Δt:

)]1()21([2))1()1(

(2 221

22222

122

212 cVlcVl

ccVl

cVl

cttt +−+≅

−−

−=−=∆

as we have 410−≅cV , 822 10−≅cV and kxx k +≅+ 1)1( .

The wavelenght of the used light was m7105,5 −⋅=λ and we know that λ corresponds to the full angle π2 ; therefore, we can write the following proportion, which involves the phase difference δ between the two rays and the path difference cΔt:

δπλ tc∆

=2

, from which: λ

πδ

tc∆=

2.

By fixing the one arm length and adjust the other arm one by a micrometric screw, you can make cΔt of the same size of λ, so making the desired interference phenomenon. Now, without bringing any change to the geometry of the device, rotate it of 90°; the roles of l1 and l2 are so swapped and we’ll have:

)]1()21([2))1()1(

(2''' 222

22122

222

112 cVlcVl

ccVl

cVl

cttt +−+≅

−−

−=−=∆

and we should also have: 4,010105,5

22'2

'2

872

221 ≅

⋅=

+=

∆−∆=

−=

∆ −− m

mcVlltctc

λλπδδ

πδ

, that is, through the

rotation of the interferometer, you should see a shift of the fringes of interference of 0,4 times the distance λ between two subsequent maxima.

In reality, none of all that was observed, despite the accuracy of the devices was as good as to detect a 01,02

=∆πδ

!

Michelson declared himself to be disappointed by that experiment, as he couldn’t prove the movement of the Earth through the ether. The question was solved in 1905 by an employee of the Patent Office of Berne, Albert Einstein, who suggested to cease searching for a proof of the movement of the Earth through the ether, for the simple reason that the ether is not existing! I add that the nowadays’ dark matter will soon end up like it. App.1-Chapter 4: Relativistic Electrodynamics. App.1-Par. 4.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Concerning this, let’s examine the following situation, where we have a wire, of course made of positive nuclei and electrons, and also a cathode ray (of electrons) flowing parallel to the wire: Fig. A4.1: Wire not flown by any current, seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’). We know from magnetism that the cathode ray will not be bent towards the wire, as there isn’t any current in it. This is the interpretation of the phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that every single electron in the ray is rejected away from the electrons in the wire, through a force F- identical to that F+ through which it’s attracted from positive nuclei in the wire.

e- e-

p+

e- e- e- e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Cathode ray

Wire

F -

F +

Direction of the cathode ray (v)

x’

y’ z’

I’

Now, let’s examine the situation in which we have a current in the wire (e- with speed u)

Fig. A4.2: Wire flown by a current (with e- speed=u), seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’). In this case we know from magnetism that the cathode ray must bend towards the wire, as we are in the well known case of parallel currents in the same direction, which must attract each other. This is the interpretation of this phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that as the electrons in the wire follow those in the ray, they will have a speed lower than that of the positive nuclei, in the system I’, as such nuclei are still in the wire. As a consequence of that, spaces among the electrons in the wire will undergo a lighter relativistic Lorentz contraction, if compared to that of the nuclei’s, so there will be a lower negative charge density, if compared to the positive one, so electrons in the ray will be electrically attracted by the wire. This is the interpretation of the magnetic field on an electric basis. Now, although the speed of electrons in an electric current is very low (centimeters per second), if compared to the relativistic speed of light, we must also acknowledge that the electrons are billions and billions…., so a small Lorentz contraction on so many spaces among charges, makes a substantial magnetic force to appear. But now let’s see if mathematics can prove we’re quantitatively right on what asserted so far, by showing that the magnetic force is an electric one itself, but seen on a relativistic basis. On the basis of that, let’s consider a simplified situation in which an electron e- , whose charge is q, moves with speed v and parallel to a nuclei current whose charge is Q+ each (and speed u): Fig. A4.3: Current of positive charge (speed u) and an electron whose speed is v, in the reader’s steady system I. a) Evaluation of F on an electromagnetic basis, in the system I : First of all, we remind ourselves of the fact that if we have N charges Q in line and d spaced (as per Fig. A4.3), then the linear charge density λ will be:

dQdNQN =⋅⋅=λ . Now, still with reference to Fig. A3.3, in the system I, for the electromagnetics the electron will undergo the Lorentz force )( BvEqFl ×+= which is made of an originally electrical component and of a magnetic one:

qrdQq

rqEFel )

21()

21(

00 πεπλ

ε==⋅= due to the electric attraction from a linear distribution of charges Q, and:

rdQu

rudQ

rtQ

rIFmagn π

µπ

µπ

µπ

µ22

)(22 0000 ==== (Biot and Savart).

Direction of the current I, whose e- speed is u

e- e-

p+

e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Cathode ray

Wire

F -

F +

Direction of the ray (v)

x’

y’ z’

I’

r

Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+

q-

220 1 cudd −=

F

v

u

x’

y’ z’

I’

x

y

I z

So: 220

0

00

0 11)1(

2)

221(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqFl

−−=−= µ

εππµ

πε , (A4.1)

where the negative sign tells us the magnetic force is repulsive, in that case, because of the real directions of those currents, and where the steady distance d0 is contracted to d, according to Lorentz, in the system I where charges Q

have got speed u ( 220 1 cudd −= ).

b) Evaluation of F on an electric base, in the steady system I’ of q: in the system I’ the charge q is still and so it doesn’t represent any electric current, and so there will be only a Coulomb electric force towards charges Q:

220

000 '11)

21()

2'1()

2'1(''

curdQqq

rdQq

rqEF el

−===⋅=

πεπεπλ

ε , (A4.2)

where u’ is the speed of the charge distribution Q in the system I’, which is due to u and v by means of the well known relativistic theorem of composition of speeds:

)1()(' 2cuvvuu −−= , (A4.3)

and d0, this time, is contracted indeed according to u’: 220 '1' cudd −= .

We now note that, through some algebraic calculations, the following equality holds (see (A4.3)):

22

222222

)1()1)(1('1

cuvcvcucu

−−−

=− , which, if replacing the radicand in (A4.2), yields:

2222

20

000 11)1()

21()

2'1()

2'1(''

cvcucuv

rdQqq

rdQq

rqEF el

−−

−===⋅=

πεπεπλ

ε (A4.4)

We now want to compare (4.1) with (4.4), but we still cannot, as one is about I and the other is about I’; so, let’s scale

elF ' in (A4.4), to I, too, and in order to do that, we see that, by definition of the force itself, in I’:

2222'

'

1)_(

1)'_('

cvIinF

cvtp

tpIinF el

I

I

I

Iel

−=

−∆

∆=

∆∆

= , where II pp ∆=∆ ' , as p∆ extends along y, and not

along the direction of the relative motion, so, according to the Lorentz transformations, it doesn’t change, while t∆ , of course, does. So:

22

2222

20

0

22 111

)1()2

1(1)'_(')_( cvcvcu

cuvrdQqcvIinFIinF elel −

−−

−=−=

πε =

)_(1

)1()2

1(22

20

0

IinFcu

cuvrdQq el=

−

−=

πε (A4.5)

Now we can compare (4.1) with (A4.5), as now both are related to the I system. Let’s write them one over another:

2200

00

0 11)1(

2)

221()_(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqIinFl

−−=−= µ

εππµ

πε

22200

022

20

0 11)1(

21)1()

21()_(

cucuv

rdQq

cucuv

rdQqIinFel

−−=

−

−=

εεππε

Therefore we can state that these two equations are identical if the following identity holds: 001 µε=c , and this

identity is known since 1856. As these two equations are identical, the magnetic force has been traced back to the Coulomb’s electric force, so the unification of electric and magnetic fields has been accomplished!!

App.1-Par. 4.2: The Current Density four-vector. We obviously have the following equations on charge density:

00 dt

dQ=ρ , 0

021

γρβτ

ρ =−

==dt

dQddQ

Moreover, notice that the following equation holds; it shows the invariance of the electric charge: τρρ ddt =00 .

Moreover, we know from physics that the current density is:

vj rrρ= .

So, we are led to define the current density 4-vector in the following way:

),(),( 00 cvcjj γργρρrr

== ; note the similarity with the momentum-energy 4-vector:

),(),( 00 cmvmmcpp γγrr

== . Then, we have:

220

24

22cjjj ρ−=−=

r and moreover, as we can apply the Lorentz Transformations to a 4-vector, as said at App.1-

Par. 1.5 – eq. (A1.12), we have:

411' jjj βγγ −= )(' Vjj xx ργ −=

22' jj = yy jj ='

33' jj = or also: zz jj =' (A4.6)

414' jjj γβγ +−= )(' 2 xjcV

−= ργρ

where cV=β e 21

1β

γ−

= .

Now, in order to show by 4-vectors and in a more compact way what shown in App.1-Par. 4.2, we consider a wire flown by a stationary current I in a reference system k and let I be directed along x; if, in such a system, we put a charge q whose speed is v along x, we’ll have a movement of q by the only field B, as E=0, because, on an average, we have in a conductor as many positive charges as the negative ones are. On the contrary, if we place ourselves in a k’ reference system which is moving with speed V=v with respect to k, in k’ q is at rest and theoretically the magnetic force should disappear; but this is unacceptable for the Principle of Relativity (see the Introduction). An electric field must so appear in k’; in fact:

−++= jjj , ),0(),( nqccjj == +++

ρr

[n]=[number of q involved/m3] and

),(),( nqcvnqcjj −−== −−−

rrρ , the first term is negative as the direction of v is opposite to the conventional one

for I (as, here q<0) and the second one is still negative, as well, still because here, q<0. For the Lorentz Transformations (A1.12) we so have (v=V): nqVj x γ−=+' )(' nqVnqvj x +−=− γ

nqγρ =+' )(' 2cvVnqnq +−=− γρ

and as now −+ −≠ '' ρρ , an electric field must appear. App.1-Par. 4.3: The Electromagnetic Field Tensor. Preamble on tensors: A vector is a tensor of rank 1. For us it’s enough to say that we get a rank 2 tensor when we make the product of the components of two vectors c and b:

),,,()( 4321 cccccc i = , ),,,()( 4321 bbbbbb k = → kiik bcA = Through (A1.16) and (A1.17) we have seen how to express the Lorentz Transformations:

llii cc 'α= (i,m=1,2,3,4) and m

mkk bb 'α= (k,l=1,2,3,4) and so:

iklmmk

liml

mk

likiik AAbcbcA ==== ''' αααα (A4.7)

which is the transformation law for a rank 2 tensor. Then, we also notice that we get a rank 2 tensor also when we derive the components of a vector b with respect to the x coordinate:

llii bb 'α= , k

kmm xx α=' >>> k

mk

m

xx

α→∂∂ '

m

lkm

li

k

ml

li

mk

m

m

i

k

i

xb

xxb

xxx

xb

xb

''')'(

''

' ∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

ααα ; therefore, such a derivative transforms as the components

of a rank 2 tensor and so it’s a rank 2 tensor, as well. Preamble on electromagnetism: We know from the electromagnetism that electric and magnetic fields (induction vector B) can be expressed as a function of electrodynamic potentials φ and A:

tAE

∂∂

−∇−=r

rrϕ and (A4.8)

ABrrr

×∇= (A4.9)

and we also know the Lorentz Condition: 012 =

∂∂

+⋅∇=∂∂

+⋅∇t

Atc

A ϕεµ

ϕ rrrr , (A4.10)

and also the Continuity Equation: 0=∂∂

+⋅∇t

j ρrr. (A4.11)

Still from electromagnetism, we also know that:

=−=∂∂

−∆ερϕ

ϕ 2

2

21

tc φ and (A4.12)

=−=∂∂

−∆ jtA

cA

rr

rµ2

2

21

Ar

(A4.13)

and we remind ourselves that we already defined the current density 4-vector j:

),,,(),( ρρ cjjjcjj zyx==r

( ρii vj = ).

------------------

Now, we feel led to define the Potential Four-vector or Four-Potential Φ :

),,,(c

AAA zyxϕ

=Φ ; in fact, so doing, (A4.12) and (A4.13) can be so summarized:

kk jµ−=Φ and if we also define the four-divergence ))(

()(44 ctctxyx

div∂

∂+∇=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=rr

we easily get:

04 =∇ jr

for the Continuity Equation (A4.11) and 04 =Φ∇r

for the Lorentz Condition (A4.10).

------------------

Now, from (A4.8) and (A4.9), we have:

3

2

2

31 xxz

AyABB yz

x ∂Φ∂

−∂Φ∂

=∂

∂−

∂∂

== , )(4

1

1

41 xx

ct

Ax

EE xx ∂

Φ∂−

∂Φ∂

=∂

∂−

∂∂

−==ϕ

etc; therefore, E and B

cannot be espressed through two 4-vectors, but through a rank 2 four-tensor, as we proved the derivative of a vector is a 2-tensor:

)(k

i

i

kik xx

cF∂Φ∂

−∂Φ∂

= ; let’s write the components of Fik as a matrix:

−−−−−−

=

00

00

zyx

zxy

yxz

xyz

ik

EEEEcBcBEcBcBEcBcB

F , and through (A4.7) we have proved that Fik transforms in the following

way: lmmk

liik FF 'αα= . (A4.14)

Notice that Fik is antisymmetric, that is: Fik=-Fki. Then, of course:

−−−−−−

=

0''''0''''0''''0

'

zyx

zxy

yxz

xyz

ik

EEEEcBcBEcBcBEcBcB

F

If now we remind ourselves that on the right side of (A4.14) the summation over l and m is understood, as they are repeated there, and if we develop such an equation, we get the transformation of the electromagnetic field:

xx EE '= xx BB '=

)''( zyy VBEE += γ )''( 2 zyy EcVBB −= γ

)''( yzz VBEE −= γ )''( 2 yzz EcVBB += γ

and also its inverse:

xx EE =' xx BB ='

)(' zyy VBEE −= γ )(' 2 zyy EcVBB += γ

)(' yzz VBEE += γ )(' 2 yzz EcVBB −= γ

SUBAPPENDIXES: Subapp. 1: Lorentz Transformations in succession. k >>> V >>> k’ >>> W >>> k’’ We have three reference systems k, k’ and k’’ and V and W are the relevant relative velocities.

Through the following terminology: cV

=1β , c

W=2β , 2

11 11 βγ −= , 222 11 βγ −= ,

21c

VWWVU

+

+=

and cU

=β , we have, for the Lorentz Transformations applied in succession:

)''(1 Vtxx += γ with )''( 11 x

ctt β

γ += and

)''''(' 2 Wtxx += γ with )''''(' 22 x

ctt β

γ += and, by substitution:

xtWVx

tWVxxVtWtxx

=+

+++=

=+++=+++=

)''1

'')(1(

]'')('')1[()''''''''(

212121

21212121

ββββγγ

ββγγββγγ (A.1.1)

and similarly: )'')1(

1'')(1(21

22121 xWVc

ttββ

ββγγ+

+++= ; (A.1.2)

Now, we see that:

=+++−++=+−−=+ 22121

22

2121

22

21

221

22

212121 )1()]2(21[1)1()1)(1(1)1( ββββββββββββββββγγ

γββββ =−=++−= 2222121 11)]1()([11 cU , and so (A.1.1) and (A.1.2) can be rewritten like that:

)''''( Utxx += γ with )''''()''''( 2 xc

txcUtt β

γγ +=+= , so, instead of carrying out two Lorentz T.

( 1γ ,V and 2γ ,W), you just make one, but usingγ and U. Subapp. 2: Transversal (relativistic) Doppler Effect. If we represent an electromagnetic wave propagating, through its electric field E:

)(0

rktieEErrr

⋅−= ω ; such a field propagates along r and we know that λπ2

=kr

and Tπ

ω2

= so:

Tk ωλ =r

, that is: kc

Tkrr

===ω

λω ; (A.2.1)

rktI rr⋅−= ω is evidently an invariant, but it can also be expressed as the product of two 4-vectors (invariants):

(position 4-vector and wave 4-vector) ),(),( ckkctrrI ωrr

⋅−= .

We know, now, that for (A.2.1), c

k ω=

r and let’s take a light wave propagating in a system k’(V) over the plane x’, y’

and forming an angle θ’ with x’; the components of 'kr

will be:

'cos)'('cos''1 θωθ ckk == , 'sin)'('sin''2 θωθ ckk == , 0'3 =k and ')'('4 kck == ω .

For the Lorentz T. , we have, on the contrary, in a system k: )''( 411 kkk βγ += , 22 'kk = , 33 'kk = and )''( 144 kkk βγ += ; now, as also k3=0, in the system k, too, the ray

propagates on x,y; so, we have:

),0,sin,cos(ccc

k ωθ

ωθ

ω= ; now, we calculate ω and θ: on this purpose, from the transformation of k’4 , we have:

)'cos''( θω

βω

γω

ccc+= , or:

)'cos1(')1(

)'cos1('2

θβγωβ

θβωω +=

−

+= (A.2.2)

while from the transformation of k’1 , we have: )''cos'(coscccω

βθω

γθω

+= and if we consider (A.2.2), we have:

)'cos1()'(cos)'(cos'cos

θββθ

βθγωω

θ+

+=+= (A.2.3)

Then, we notice that the transformation of k’2 and (A.2.2) yield:

)'cos1('sin'sin

)'cos1()1(

'sin'sin2

θβγθ

θθβ

βθ

ωω

θ+

=+

−== (A.2.4)

and from (A.2.3) and (A.2.4) we also have: )cos1(

sin'sinθβγ

θθ

−= , which is, then, (A.2.4) with θ’ and θ swapped

and with (-β) in place of β; all this, for the relativity of the movement. ------------------------

Now, suppose a source ω’ is at rest in a system k’(θ’); then, from (A.2.3) we have:

)cos1()(cos'cos

θββθ

θ−

−= (useful to get θ immediately, from θ’) (it’s the (A.2.3) with θ’ and θ swapped and with (-β) in

place of β), from which:

θββ

θβcos1

)1()'cos1(2

−−

=+ and (A.2.4) becomes:

θββ

ωωcos1

)1('

2

−−

= (A.2.5)

Here ω’ is the ω of the moving source and ωω ≠' . Therefore, if in the system k you see the radiation under an angle πθ = , this means that the radiation comes from right, from the system k’ which is getting farther along the x axis, and

so we can talk about a Longitudinal Doppler Effect (Par. 3.5) and, in this case, 1coscos −== πθ and from (A.2.5)

with the source getting farther ( πθ = ), we have: )1()1('

ββ

ωω+−

= (A.2.6)

>>> )1()1('

ββ

−+

= TT , whilst, when the system k’ getting closer (θ=0 >>> cos θ=1), we have:

)1()1('

ββ

ωω−+

= (A.2.7)

>>> )1()1('

ββ

+−

= TT , just like in App.1-Par. 3.5.

Curio: by a series development on β (<<1), (A.2.6) and (A.2.7) give: )1(' βωω −≅ and )1(' βωω +≅ so:

βωω

ωωω

m=∆

=−

'''

; this formula is very used in astrophysics and cosmology for the red shift (remember that

πνω 2= and c=λν ). In order to go from the case of the moving emitter to that of the moving observer and vice versa, you just swap β with – β (V with –V) and ω’ with ω. In any case, when there is an approaching (or a getting farther) situation, formulae for the Longitudinal Relativistic Doppler Effect are the same, no matter who is approaching. If, on the contraty, system k sees the radiation coming under 2πθ = , from the top, then we can talk about a TRANSVERSAL Relativistic Doppler Effect; in this case you don’t have either a getting farther or an approaching situation, but the only Doppler kind effect is just due to the time dilation; in fact, also from (A.2.5), with 2πθ = , we

have: )1(' 2βωω −= . By developing, with β<<1, we have: )2

1('2β

ωω −≅ (second degree in β, so, a lighter

effect, with respect to the longitudinal one). Such an effect was first observed by Ives in 1938 and this plainly proved the theory. Moreover, the diversity between θ’ and θ also confirms the phenomenon of the light ABERRATION, according to which, if you are moving, you see light coming to you under a different angle, something like when you are driving a car in a rainy day and you see the rain falling askew on the windscreen. And from (A.2.3) and (A.2.4), we have:

)'(cos)1('sin 2

βθβθ

θ+−

=tg .

Subapp. 3: The Transformations of the four-velocity. We have defined the velocity 4-vector in App.1-Par. 2.2:

),,,(),(),,,(),,,(),,,( 432143214321 uuuucvcvvv

dtdx

dtdx

dtdx

dtdx

ddx

ddx

ddx

ddxv zyx ===== γγγγγγγγγγ

ττττr

By applying the Lorentz T. , we have: )(' 411 uuu β−Γ= , 22' uu = , 33' uu = , )(' 144 uuu β−Γ= ;

now, you can see that Γ is defined by the V of the moving system 0’ (and β=V/c), while γ is referred to the velocity v

had by a particle in 0, and 'γ is to v’ had by a particle in 0’. Now, by replacing the u by the relevant values:

)('' Vvv xx γγγ −Γ= , yy vv γγ ='' , zz vv γγ ='' , )(' xvcc γβγγ −Γ= ;

from the last one, we have:

)1(

1'

2 xvcV

−Γ=

γγ

, (A.3.1)

and if you put it in the first three ones:

)('

' Vvv xx −Γ=γγ

, yy vv'

'γγ

= , zz vv'

'γγ

= , it yields the transformations of the velocities.

For the case of the inverse transformations, in place of the (A.3.1), we’ll have: )1(' 2 xv

cV

+Γ=γγ

.

It follows from (A.3.1) that if the particle is at rest in 0 (v=0 >> 1=γ ), then Γ='γ , from which v’=-V , that is, in 0’ the particle has a velocity –V (of course). Subapp. 4: The transformations of the four-force.

At App.1-Par. 2.3 we have introduced the Minkowski Force, or 4-force: ),,,())(,( 4321 FFFFvfc

fd

pdF =⋅==

rrr γγ

τ.

According to the Lorentz T.: )(' 411 FFF β−Γ= , 22' FF = , 33' FF = , )(' 144 FFF β−Γ= . If now we introduce in such equations the components of the Minkowski Force, we have:

))(('' vfc

ff xxrr

⋅−Γ= γβ

γγ , yy ff γγ ='' , zz ff γγ ='' , ))(()''(' xfVvfvf γγγ −⋅Γ=⋅rrrr

, from which:

))(('

' vfc

ff xxrr

⋅−Γ=β

γγ

, yy ff'

'γγ

= , zz ff'

'γγ

= , ))(('

)''( xVfvfvf −⋅Γ=⋅rrrr

γγ

, which, for (A.3.1),

becomes:

x

x

x

vcV

vfc

ff

21

))(('

−

⋅−=

rrβ

,

x

yy

vcV

ff

2

2

1

1'

−

−=

β ,

x

zz

vcV

ff2

2

1

1'

−

−=

β ,

x

x

vcV

Vfvfvf21

)()''(

−

−⋅=⋅

rrrr

which are the transformation equations of the 4-force. Subapp. 5: The acceleration four-vector and the transformations of the acceleration. Of course, the 4-vector acceleration can be defined as follows:

),,,(),,,( 432124

2

23

2

22

2

21

2

2

2

aaaad

vdd

xdd

xdd

xdd

xdd

xda ====ττττττ

For the first three (spatial) components, we have: ( 3,2,1=α )

22222

)1()(

1)(

ββγ

γγ

τγ ααα

ααα −+

−=+==

cvvvv

dtdv

dtdv

ddtv

dtda &&

, as:

2

33

2)

)1(1(

cvv

dtd

dtd &&&

γββγ

β

γγ ==

−== . About a4 :

224

2

4 )1()(

2)(

βββγ

γγγ

τγ

−=====

cvvc

dtdc

dtdc

ddtc

dtda

&& and so:

))1(

)(,()2

),(( 2242

2

βββγγ

γγγ

−+==

vvvvdt

dcvdtda

&&& ; notice that in the system where the particle is at rest, (v=0,

β=0) we have: xva &=)0(1 , yva &=)0(

2 , zva &=)0(3 , 0)0(

4 =a , that is, the spatial part of a is equal to the common

three-dimensional one. Moreover: 022>= va & and, as

2a is an invariant, the inequality is always true and so a is

space-type. In order to get the transformation equations for the acceleration, know that:

dtdvv =& and

dtdvv ''=& ; moreover, )(tvv xx = and )'('' tvv xx = (consistently). Then, let’s name:

cvx

x =β and c

v xx

'' =β ; so, we get from (A1.18) that:

22 )'1(1

' xx

x

dvdv

ββγ += , 2)'1(

)''''(1

' x

xy

xy

y

y dvdv

dvdv

ββγ

βββ

+

−−= and 2)'1(

)''''(1

' x

xz

xz

z

z dvdv

dvdv

ββγ

βββ

+

−−= .

Then, from them, we have:

22 )'1('

x

xx

dvdvββγ +

= , 2)'1()''''('

x

yxxyyy

dvdvdvdv

ββγβββ

+−−

= and 2)'1()''''('

x

zxxzzz

dvdvdvdvββγ

βββ+

−−= ;

if now we divide these equations by the following well known equation (of the Lorentz T.) )''( dxc

dtdt βγ += , we

have:

xx

x aa ')'1(

133 ββγ +

= , 32 )'1()''''('

x

xyyxyy

aaaa

ββγβββ

+−+

= and 32 )'1()''''('

x

xzzxzz

aaaaββγ

βββ+

−+=

which are the equations for the transformation of the accelerations, indeed. At last, we notice those equations have got the velocity inside; therefore, if the three-dimension acceleration is constant, in an inertial reference system, it will change with time in all others!

App. 2: As I see the Universe (Unification Gravity Electromagnetism). Contents of App. 2: -Contents of App. 2. Page 26 -App. 2-Chapter 1: A new Universe, 100 times bigger, more massive and older. Page 26 App. 2-Par. 1.1: No dark matter! Page 26 App. 2-Par. 1.2: Cosmic acceleration aUniv. Page 27 App. 2-Par. 1.3: The new density of the Universe. Page 28 App. 2-Par. 1.4: Further considerations on the meaning of aUniv. Page 29 App. 2-Par. 1.5: Further confirmations and encouragements from other branches of physics. Page 29 App. 2-Par. 1.6: On discrepancies between calculated and observed rotation speeds of galaxies. Page 31 -App. 2-Chapter 2: The unification of electromagnetic and gravitational forces (Rubino). Page 32 App. 2-Par. 2.1: The effects of MUniv on particles. Page 32 App. 2-Par. 2.2: The discovery of the common essence of gravity and electromagnetism. Page 33 App. 2-Par. 2.3: The oscillatory essence of the whole Universe and of its particles. Page 34 -App. 2-Chapter 3: The unification of magnetic and electric forces. Page 35 App. 2-Par. 3.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Page 35

-App. 2-Chapter 4: Justification of the equation eUniv rNR = previously used for the unification of electric and

gravitational forces (Rubino). Page 38

App. 2-Par. 4.1: The equation eUniv rNR = (!). Page 38

-App. 2-Chapter 5: “aUniv“ as absolute responsible of all forces. Page 39 App. 2-Par. 5.1: Everything from “aUniv“. Page 39 App. 2-Par. 5.2: Summarizing table of forces. Page 39 App. 2-Par. 5.3: Further considerations on composition of the Universe in pairs +/-. Page 40 App. 2-Par. 5.4: The Theory of Relativity is just an interpretation of the oscillating Universe just described contracting with speed c and acceleration auniv. Page 40 App. 2-Par. 5.5: On “Relativity” of lost energies. Page 41 -App. 2-SUBAPPENDIXES. Page 42 App. 2-Subappendix 1: Physical constants. Page 42 App. 2-Chapter 1: A new Universe, 100 times bigger, more massive and older. App. 2-Par. 1.1: No dark matter! ON DISCREPANCIES BETWEEN CALCULATED AND OBSERVED DENSITIES ρUniv : The search for 99% of matter in the Universe, after that it has been held invisible sounds somewhat strange. And it’s a lot of matter, as dark matter should be much more than the visible one (from 10 to 100 times more).

Astrophysicists measure a ρ value of visible Universe which is around: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . Prevailing cosmology nowadays gives the following value of ρ: (see also (A1.6)):

3262 /102)34/( mkgGH localWrong

−⋅≅= πρ (too high!) . (A1.1)

Let’s use the following plausible value for Hlocal (local Hubble’s constant – see (A1.7) below):

])([10338,2)/(75 18 msmMpcskmH local

−⋅≅⋅≅ (A1.2)

confirmed by many measurements on Coma cluster, for instance, (see (A1.7) below) and this also confirms that the farthest objects ever observed are travelling away with a speed close to that of light:

OldUniverselocal RcH −≈ / , from which: yearlightMpcHcR localOldUniv _105,134000/ 9⋅≈≈≈− (A1.3)

Moreover, one can easily calculate the speed of a “gravitating” mass m at the edge of the visible Universe, by the following equality between centrifugal and gravitational forces:

22

/ OldUnivOldUnivOldUniv

RMmGR

cmam −−−

⋅⋅=⋅=⋅ , (A1.4)

from which, also considering (A1.3), we have:

kgHGcM localOldUniv533 1067,1)/( ⋅≅⋅=− (A1.5)

and so:

3262333 /102)34/(])(

34[)()

34/( mkgGH

HcGHcRM locallocal

localOldUnivOldUnivWrong−

−− ⋅≅=== πππρ (A1.6)

i.e. (A1.1) indeed (too high value!) Good…, sorry, bad; this value is ten thousand times higher than the observed density value, which has been measured by astrophysicists. Moreover, galaxies are too “light” to spin so fast (see further on). As a consequence, they decided to take up searching for dark matter, and a lot of, as it should be much more than the visible one (from 10 to 100 times more).

On the contrary, astrophysicists detect a value for ρ around: 330 /102 mkg−⋅≅ρ . Let’s try to understand which arbitrary choices, through decades, led to this discrepancy. From Hubble’s observations on, we understood far galaxies and clusters got farther with speeds determined by measurements of the red shift. Not only; the farthest ones have got higher speeds and it quite rightly seems there’s a law between the distance from us of such objects and the speeds by which they get farther from us. Fig. A1.1 below is a picture of the Coma cluster, about which hundreds of measurements are available; well, we know the following data about it: distance Δx=100 Mpc = 3,26 108 l.y. = 3,09 1024 m speed Δv=6870 km/s=6,87 106 m/s. Fig. A1.1: Coma cluster. If we use data on Coma cluster to figure out the Hubble’s constant Hlocal, we get:

])([1022,2 18 msmxvH local

−⋅≅∆∆= , (A1.7)

That is a good value for “local” Hubble’s constant. App. 2-Par. 1.2: The cosmic acceleration aUniv. As a confirmation of all we just said, we also got the same Hlocal value from (A1.3) when we used data on the visible

Universe of 13,5 910 l.y. radius and ~c speed, instead of data on Coma cluster. By the same reasonings which led us so far to get the Hlocal constant definition, we can also state that if galaxies increase their own speeds with going farther, then they are accelerating with an acceleration we call aUniv , and, from physics, we know that:

tvttatax ∆⋅∆=∆⋅∆⋅=∆⋅=∆21)(

21

21 2 , from which:

vxt

∆∆⋅

=∆2

, which, if used in the definition of

acceleration aUniv , yields:

2122

/1062,72

)(2 sma

xv

vx

vtva UnivUniv

−⋅≅=∆⋅

∆=

∆∆⋅

∆=

∆∆

= , cosmic acceleration (Wåhlin) (A1.8)

after that we used data on Coma cluster. This is the acceleration by which all our visible Universe is accelerating towards the center of mass of the whole Universe. YOU’LL SEE THIS SMALL ITEM WE’VE JUST CALCULATED (aUniv) IS AN OBJECT NOT WELL TAKEN INTO ACCOUNT AND IT ALLOWS US TO SAY THE DENSITY CALCULATED FOR THE UNIVERSE IS THE SAME AS THE ONE MEASURED BY THE ASTROPHYSICISTS AND IT WILL ALSO JUSTIFY THE HIGH ROTATION VELOCITIES OF GALAXIES, AGAIN WITHOUT ANY SEARCHING FOR DARK MATTER

but, in this case, we have to accept to deal with living in a Universe whose radius is 100 times the 13,5 910 l.y. supported nowadays, and whose mass is much higher than 1,67 1053 kg, calculated at page 157, still supported nowadays and considered as the mass of the whole Universe, and not of that visible to us (see below). Let’s Disentangle the Question: Well then, let’s start from the discovery represented by (A1.8), according to which we are accelerating, and from (A1.4), according to which:

NewUnivUniv R

ca−

=2

, and, as a new radius of the Universe:

macRUniv

NewUniv28

2

1017908,1 ⋅≅=− . (A1.9)

This value is 100 times the one previously calculated in (A1.3) and it should represent the radius between the center of mass of the Universe and the place where we are now, place in which the speed of light is c.

((as we are not exactly on the edge of such a Universe, we can demonstrate the whole radius is larger by a factor 2 , that is RUniv=1,667 1028m.)) Anyway, we are dealing with linear dimensions 100 times those supported in the prevailing cosmology nowadays. We can say that there is invisible matter, but it is beyond the range of our largest telescopes and not inside galaxies or among them; the dark matter should upset laws of gravitations, but they hold very well. Again, from (A1.4) we have:

2/ NewUnivNewUnivUniv RMmGam −−⋅⋅=⋅ , so:

kgGRaM NewUnivUnivNewUniv552 1059486,1/ ⋅=⋅= −− (A1.10)

This value, again, is a hundred times that of nowadays cosmology, in (A1.5) and it represents the mass within the radius RUniv-New , while the one within the whole RUniv-Tot is unknown.

From (A1.9) and (A1.10) we also get: Univ

Univ

RGMc =2 (~Eddington). (A1.11)

App. 2-Par. 1.3: The new density of the Universe. NOW LET’S GO TO THE CALCULATION OF THE NEW DENSITY OF THE UNIVERSE:

3303 /1032273.2)34/( mkgRM NewUnivNewUniv

−−− ⋅=⋅= πρ !!! (A1.12)

very very close to that observed and measured by astrophysicists and already reported at page 158.

Nature fortunately sends encouraging and convincing signs on the pursuit of a way, when confirmations on what one has understood are coming from branches of physics very far from that in which one is investigating. On the basis of that, let’s remind ourselves of the classic radius of an electron (“stable” and base particle in our Universe!), which is defined by the equality of its energy E=mec2 ant its electrostatic one, imagined on its surface ( in a classic sense):

ee r

ecm2

0

2

41πε

=⋅ , so:

mcm

ere

e15

2

2

0

108179,24

1 −⋅≅⋅

=πε

(A1.13)

Now, still in a classic sense, if we imagine, for instance, to figure out the gravitational acceleration on an electron, as if it

were a small planet, we must easily conclude that: 2e

exex r

mmGgm ⋅=⋅ , so:

2124

4320

22 1062,78 sma

ecGm

rmGg Univ

e

e

ee

−⋅==== επ !!! (A1.14)

that is the very value obtained in (A1.8) through different reasonings, macroscopic, and not microscopic, as it was for (A1.14). All in all, why should gravitational behaviours of the Universe and of electrons (making it) be different? App. 2-Par. 1.4: Further considerations on the meaning of aUniv. Well, we have to admit that if matter shows mutual attraction as gravitation, then we are in a harmonic and oscillating Universe in contraction towards a common point, that is the center of mass of all the Universe. As a matter of fact, the acceleration towards the center of mass of the Universe and the gravitational attractive properties are two faces of the same medal. Moreover, all the matter around us shows it want to collapse: if I have a pen in my hand and I leave it, it drops, so showing me it wants to collapse; then, the Moon wants to collapse into the Earth, the Earth wants to collapse into the Sun, the Sun into the centre of the Milky Way, the Milky Way into the centre of the cluster and so on; therefore, all the Universe is collapsing. Isn’t it? So why do we see far matter around us getting farther and not closer? Easy. If three parachutists jump in succession from a certain altitude, all of them are falling towards the center of the Earth, where they would ideally meet, but if parachutist n. 2, that is the middle one, looks ahead, he sees n. 1 getting farther, as he jumped earlier and so he has a higher speed, and if he looks back at n. 3, he still sees him getting farther as n. 2, who is making observations, jumped before n. 3 and so he has a higher speed. Therefore, although all the three are accelerating towards a common point, they see each other getting farther. Hubble was somehow like parachutist n. 2 who is making observations here, but he didn’t realize of the background acceleration g (aUniv). At last, I remind you of the fact that recent measurements on Ia type supernovae in far galaxies, used as standard candles, have shown an accelerating Universe; this fact is against the theory of our supposed current post Big Bang expansion, as, after that an explosion has ceased its effect, chips spread out in expansion, ok, but they must obviously do that without accelerating.

Moreover, on abundances of 235U and 238U we see now (trans-CNO elements created during the explosion of the primary supernova, we see that (maybe) the Earth and the solar system are just (approximately) five or six billion years old, but all this is not against all what just said on the real age of the Universe, as there could have been sub-cycles from which galaxies and solar systems originated, whose duration is likely less than the age of the whole Universe. About TUniv of the Universe, we know from physics that: v=ωR and T/2πω = , and, for the whole Universe:

c=ωRUniv and UnivT/2πω = , from which:

scRT Univ

Univ201047118,22

⋅==π

(7.840 billion years) (A1.15)

About the angular frequency: sradRc NewUniversoUniv /1054,2/ 20−− ⋅=≅ω , and it is a right parameter for a

reinterpretation of the global Hubble’s constant globalH , whose value is localH only in the portion of Universe visible by

us ( GlobalUniv H=ω ).

App. 2-Par. 1.5: Further confirmations and encouragements from other branches of physics. 1) Stephan-Boltzmann’s law:

4Tσε = [W/m2], where )(1067,5 428 KmW−⋅=σ

It’s very interesting to notice that if we imagine an electron (“stable” and base particle in our Universe!) irradiating all energy it’s made of in time TUniv , we get a power which is exactly ½ of Planck’s constants, expressed in watt! In fact:

WhT

cmL WUniv

ee

342

10316,321 −⋅===

(One must not be surprised by the coefficient ½; in fact, at fundamental energy levels, it’s always present, such as, for instance, on the first orbit of the hydrogen atom, where the circumference of the orbit of the electron (2πr) really is

DeBroglieλ21 of the electron. The photon, too, can be represented as if it were contained in a small cube whose side is

photonλ21 ).

2) Moreover, we notice that an electron and the Universe have got the same luminosity-mass ratio:

in fact, WT

cMLUniv

UnivUniv

512

1080,5 ⋅== (by definition) and it’s so true that:

e

W

Unive

Univ

e

e

e

UnivUniv

Univ

Univ

Univ

Univ

m

h

Tc

mT

cm

mL

Tc

MT

cM

ML 2

12

2

2

2

====== and, according to Stephan-Boltzmann’s law, we can

consider that both an “electron” and the Universe have got the same temperature, the cosmic microwave background one:

424

TRL

σπ

= , so: Kr

h

rL

RL

RLT

ee

e

Univ

Univ 73,2)4

21

()4

()4

()4

( 41

24

1

24

1

24

1

2 =====σπσπσπσπ

!!!

And all this is no more true if we use data from the prevailing cosmology! 3) The Heisenberg Uncertainty Principle as a consequence of the essence of the macroscopic and Univa accelerating

Universe: according to this principle, the product Δx Δp must keep above 2/h , and with the equal sign, when Δx is at a maximum, Δp must be at a minimum, and vice versa:

2/h≥∆⋅∆ xp and 2/minmax h=∆⋅∆ xp ( π2/h=h )

Now, as maxp∆ we take, for the electron (“stable” and base particle in our Universe!),

)(max cmp e ⋅=∆ and as

minx∆ for the electron, as it is a harmonic of the Universe in which it is (just like a sound can be considered as made of

its harmonics), we have: 2min )2( πUnivax =∆ , as a direct consequence of the characteristics of the Universe in

which it is; in fact, from (A1.15), 2UnivUnivUniv aR ω= , as we know from physics that Ra 2ω= , and then

UnivUnivUniv T πνπω 22 == , and as eω of the electron (which is a harmonic of the Universe) we therefore take the

“ Univν –th” part of Univω , that is:

UnivUnive νωω = like if the electron of the electron-positron pairs can make oscillations similar to those of the

Universe, but through a speed-amplitude ratio which is not the (global) Hubble Constant, but through HGlobal divided by

Univν , and so, if for the whole Universe: 2UnivUnivUniv aR ω= , then, for the electron:

2222min )2()()()( πννωωUniv

UnivGlobal

Univ

UnivUniv

Univ

e

Univ aH

aaax ====∆ , from which:

342minmax 10527,0

)2(−⋅==∆⋅∆

πUniv

eacmxp [Js] and such a number ( 3410527,0 −⋅ Js), as chance would have it, is

really 2/h !! 4) As we previously did, let’s remind ourselves of the classic radius of an electron (“stable” and base particle in our Universe!), which is defined by the equality of its energy E=mec2 ant its electrostatic one, imagined on its surface ( in a classic sense):

ee r

ecm2

0

2

41πε

=⋅ , so:

mcm

ere

e15

2

2

0

108179,24

1 −⋅≅⋅

=πε

Now, still in a classic sense, if we imagine, for instance, to figure out the gravitational acceleration on an electron, as if it

were a small planet, we must easily conclude that: 2e

exex r

mmGgm ⋅=⋅ , so:

2124

4320

22 1062,78 sma

ecGm

rmGg Univ

e

e

ee

−⋅==== επ !!!

5) We know that 137

1=α is the value of the Fine structure Constant and the following formula νh

rGm

e

e2

yields

the same value only if ν is the one of the Universe we just described, that is: Unive

e hr

Gmνα

2

1371

== , where,

clearly: Univ

Univ T1

=ν (see (A1.15)) !!

6) If I suppose, out of simplicity, that the Universe is made of just harmonics, as electrons −e (and/or positrons +e ),

their number will be: 851075,1 ⋅≅=e

Univ

mMN (~Eddington); the square root of such a number is: 421013,4 ⋅≅N

(~Weyl).

Now, we are surprised to notice that mrN e281018,1 ⋅≅ (!), that is, the very UnivR value we had in (A1.9)

( mrNR eUniv281018,1 ⋅≅= ) !!!

--------------------------------------------- App. 2-Par. 1.6: On discrepancies between calculated and observed rotation speeds of galaxies. Fig. A1.2: Andromeda galaxy (M31). By balancing centrifugal and gravitational forces for a star at the edge of a galaxy:

2

2

Gal

Galstar

Galstar R

MmGRvm = , from which:

Gal

Gal

RGMv =

On the contrary, if we also consider the tidal contribution due to aUniv , i.e. the one due to all the Universe around, we get:

Andromeda galaxy (M31): Distance: 740 kpc; RGal=30 kpc; Visible Mass MGal = 3 1011MSun; Suspect Mass (+Dark) M+Dark = 1,23 1012MSun; MSun=2 1030 kg; 1 pc= 3,086 1016 m;

GalUnivGal

Gal RaR

GMv += ; let’s figure out, for instance, in M31, how many RGal (how many k times) far away from

the center of the galaxy the contribution from aUniv can save us from supposing the existence of dark matter:

GalUnivGal

Gal

Gal

Dark kRakR

GMkR

GM+=+ , so: 4

)(2 ≅

−= +

GalUniv

GalDark

RaMMGk , therefore, at 4RGal far away, the

existence of aUniv makes us obtain the same high speeds observed, without any dark matter. Moreover, at 4RGal far away, the contribution due to aUniv is dominant. At last, we notice that aUniv has no significant effect on objects as small as the solar system; in fact:

14,11092,8 8 ≅>>⋅≅ −−

SunEarthUnivSunEarth

Sun RaR

MG .

All these considerations on the link between aUniv and the rotation speed of galaxies are widely open to further speculations and the equation through which one can take into account the tidal effects of Univa in the galaxies can

have a somewhat different and more difficult look, with respect to the above one, but the fact that practically all galaxies have dimensions in a somewhat narrow range (3 – 4 RMilky Way or not so much more) doesn’t seem to be like that just by chance, and, in any case, none of them have radii as big as tents or hundreds of RMilky Way , but rather by just some times. In fact, the part due to the cosmic acceleration, by zeroing the centripetal acceleration in some phases of the revolution of galaxies, would fringe the galaxies themselves, and, for instance, in M31, it equals the gravitational part at a radius equal to:

MaxGalUnivMaxGal

M RaRGM

−−

=31 , from which: 3131 5,2 M

Univ

MMaxGal R

aGMR ≅=− ; in fact, maximum radii ever observed in

galaxies are roughly this size.

--------------------------------------------- App. 2-Chapter 2: The unification of electromagnetic and gravitational forces (Rubino). App. 2-Par. 2.1: The effects of MUniv on particles.

We remind you that from the definition of er in (A1.13): 22

041 cm

re

ee

=⋅πε

and from the (A1.11): Univ

Univ

RGMc =2

(~Eddington), we get:

Univ

eUniv

e RmGM

re

=⋅2

041πε

!! (A2.1)

As an alternative, we know that the Fine structure Constant is 1 divided by 137 and it’s given by the following equation:

ch

e

π

πεα

2

41

1371

2

0== (Alonso-Finn), but we also see that 137

1 is given by the following equation, which can be

considered suitable, as well, as the Fine structure Constant:

Emanable

MinBox

Univ

e

e

EE

hr

Gm_

2

1371

===ν

α , where Univ

Univ T1

=ν . MinBoxE _ is the smallest box of energy in the Universe (the

electron), while EmanableE is the smallest emanable energy, as Univν is the smallest frequency.

Besides, α is also given by the speed of an electron in a hydrogen atom and the speed of light ratio:

hcecv Hine 02

__ 2εα == , or also as the ratio between Compton wavelenght of the electron (which is the

minimum λ of e- when it’s free and has the speed of light c) and the wavelength of e- indeed, on the first orbit of H:

)()( __1 HineeeHCompton vmhcmh== −λλα . Moreover, 0are=α , where 529,00 =a Å is the Bohr’s radius.

So, we could set the following equation and deduce the relevant consequences (Rubino):

Univ

e

e

hr

Gm

ch

e

νπ

πεα

22

0

2

41

)137

1( === , from which: e

eUniv

e

e

globale

e

Univ rGmR

rGm

Hc

rGmce

2222

0 241

===πνπε

after that (A1.15) has been used.

Therefore, we can write: e

e

Univ rGm

Re 22

041

=πε

(and this intermediate equation, too, shows a deep relationship

between electromagnetism and gravitation, but let’s go on…)

Now, if we temporarily imagine, out of simplicity, that the mass of the Universe is made of N electrons −e and

positrons +e , we could write:

eUniv mNM ⋅= , from which: e

eUniv

Univ rNNmGM

Re

=2

041πε

,

or also: e

eUniv

Univ rNmGM

NRe

=⋅)(4

1 2

0πε . (A2.2)

If now we suppose that eUniv rNR = (see also (A4.2)), or, by the same token, NRr Unive =

, then (A2.2)

becomes:

Univ

eUniv

e RmGM

re

=⋅2

041πε

!! (Rubino) that is (A2.1) again.

Now, first of all we see that the supposition eUniv rNR = is very right, as from the definition of N above given

(A1.10), we have:

851075,1 ⋅≅=e

Univ

mMN (~Eddington), from which: 421013,4 ⋅≅N (~Weyl) and

mrNR eUniv281018,1 ⋅≅= , that is the very UnivR value obtained in (A1.9).

App. 2-Par. 2.2: The discovery of the common essence of gravity and electromagnetism. Now, (A2.1) is of a paramount importance and has got a very clear meaning (Rubino) as it tells us that the electrostatic

energy of an electron in an electron-positron pair ( −+ee adjacent) is exactly the gravitational energy given to this pair

by the whole Universe UnivM at an UnivR distance! (and vice versa)

Therefore, an electron gravitationally cast by an enormous mass UnivM for a very long time UnivT and through a long

travel UnivR, gains a gravitationally originated kinetic energy so that, if later it has to release it all together, in a short

time, through a collision, for instance, and so through an oscillation of the −+ee pair - spring, it must transfer a so huge gravitational energy indeed, stored in billion of years that if this energy were to be due just to the gravitational potential energy of the so small mass of the electron itself, it should fall short by many orders of size. Therefore, the effect due to

the immediate release of a big stored energy, by −e , which is known to be Univ

eUniv

RmGM

, makes the electron “appear”,

in the very moment, and in a narrow range ( er ), to be able to release energies coming from forces stronger than the

gravitational one, or like if it were able to exert a special gravitational force, through a special Gravitational Universal Constant G’, much bigger than G:

e

ee

e

ee

ee rmmG

rmm

me

me

⋅=⋅⋅⋅ ')4

1(0πε

; it’s only that during the sudden release of energy by the electron, there is a

run taking effect due to its eternal free (gravitational) falling in the Universe. And, at the same time, gravitation is an effect coming from the composition of many small electric forces.

I also remark here, that the energy represented by (A2.1), as chance would have it, is really 2cme !!!, that is a sort of

run taking kinetic energy, had by the free falling electron-positron pair , and that Einstein assigned to the rest matter, unfortunately without telling us that such a matter is never at rest with respect to the center of mass of the Universe, as we all are inexorably free falling, even though we see one another at rest; from which is its essence of gravitationally

originated kinetic energy 2cme :

Univ

eUniv

ee R

mGMrecm =⋅=

2

0

2

41πε

.

App. 2-Par. 2.3: The oscillatory essence of the whole Universe and of its particles. We’re talking about oscillations as this is the way the energy is transferred, and also in collisions, such as those among billiards balls, where there do are oscillations in the contact point, and how, even though we cannot directly see them (those of peripheral electrons, of molecules, of atoms etc, in the contact point). So, we’re properly talking about oscillations also because, for instance, a Sun/planet system or a single hydrogen atom,

or a −+ee pair, which are ruled by laws of electromagnetism, behave as real springs: in fact, in polar coordinates, for an electron orbiting around a proton, there is a balancing between the electrostatic attraction and the centrifugal force:

3

2

2

2

0

22

2

0 41)(

41

rmp

rer

dtdm

reF

eer +−=+−=

πεϕ

πε , where ω

ϕ=

dtd

and 2rmrrmrvmp eee ωω ==⋅=

Let’s figure out the corresponding energy by integrating such a force over the space:

2

22

0 241

rmp

redrFU

er +−=−= ∫ πε

. (A2.3)

Fig. A2.1: Graph of the energy. The point of minimum in (r0,U0) is a balance and stability point (Fr=0) and can be calculated by zeroing the first derivative of (A2.3) (i.e. setting Fr=0 indeed). Moreover, around r0, the curve for U is visibly replaceable by a parabola UParab, so, in that neighbourhood, we can write:

02

0 )( UrrkUParab +−= , and the relevant force is: )(2 0rrkrUF Parabr −−=∂∂−=

Which is, as chance would have it, an elastic force ( kxF −= - Hooke’s Law). Moreover, the gravitational law which is followed by the Universe is a force which changes with the square value of the distance, just like the electric one, so the gravitational force, too, leads to the Hooke’s law for the Universe.

--------------------------------------------- By means of (A2.1) and of its interpretation, we have turned the essence of the electric force into that of the gravitational one; now we do the same between the electric and magnetic force, so accomplishing the unification of electromagnetic and gravitational fields. At last, all these fields are traced back to aUniv , as gravitation does. App. 2-Chapter 3: The unification of magnetic and electric forces. App. 6-Par. 3.1: Magnetic force is simply a Coulomb’s electric force(!). Concerning this, let’s examine the following situation, where we have a wire, of course made of positive nuclei and electrons, and also a cathode ray (of electrons) flowing parallel to the wire: Fig. A3.1: Wire not flown by any current, seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’).

r

U

U

2

2

2 rmp

e

re2

041πε

−

r0

Uo

2

42

00 2

)4

1(pemU e

πε−=

02

0 )( UrrkUParab +−=

e- e-

p+

e- e- e- e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Cathode ray

Wire

F -

F +

Direction of the cathode ray (v)

x’

y’ z’

I’

We know from magnetism that the cathode ray will not be bent towards the wire, as there isn’t any current in it. This is the interpretation of the phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that every single electron in the ray is rejected away from the electrons in the wire, through a force F- identical to that F+ through which it’s attracted from positive nuclei in the wire. Now, let’s examine the situation in which we have a current in the wire (e-

with speed u)

Fig. A3.2: Wire flown by a current (with e- speed=u), seen from the cathode ray steady ref. system I’ (x’, y’, z’). In this case we know from magnetism that the cathode ray must bend towards the wire, as we are in the well known case of parallel currents in the same direction, which must attract each other. This is the interpretation of this phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that as the electrons in the wire follow those in the ray, they will have a speed lower than that of the positive nuclei, in the system I’, as such nuclei are still in the wire. As a consequence of that, spaces among the electrons in the wire will undergo a lighter relativistic Lorentz contraction, if compared to that of the nuclei’s, so there will be a lower negative charge density, if compared to the positive one, so electrons in the ray will be electrically attracted by the wire. This is the interpretation of the magnetic field on an electric basis. Now, although the speed of electrons in an electric current is very low (centimeters per second), if compared to the relativistic speed of light, we must also acknowledge that the electrons are billions and billions…., so a small Lorentz contraction on so many spaces among charges, makes a substantial magnetic force to appear. But now let’s see if mathematics can prove we’re quantitatively right on what asserted so far, by showing that the magnetic force is an electric one itself, but seen on a relativistic basis. On the basis of that, let’s consider a simplified situation in which an electron e- , whose charge is q, moves with speed v and parallel to a nuclei current whose charge is Q+ each (and speed u): Fig. A3.3: Current of positive charge (speed u) and an electron whose speed is v, in the reader’s steady system I. a) Evaluation of F on an electromagnetic basis, in the system I : First of all, we remind ourselves of the fact that if we have N charges Q in line and d spaced (as per Fig. A3.3), then the linear charge density λ will be:

dQdNQN =⋅⋅=λ . Now, still with reference to Fig. A3.3, in the system I, for the electromagnetics the electron will undergo the Lorentz force )( BvEqFl ×+= which is made of an originally electrical component and of a magnetic one:

qrdQq

rqEFel )

21()

21(

00 πεπλ

ε==⋅= due to the electric attraction from a linear distribution of charges Q, and:

Direction of the current I, whose e- speed is u

e- e-

p+

e- e- e- e- e-

p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+

e- e- e- e- e- e- e- e- e- e-

Cathode ray

Wire

F -

F +

Direction of the ray (v)

x’

y’ z’

I’

r

Q+ Q+ Q+ Q+ Q+ Q+

q-

220 1 cudd −=

F

v

u

x’

y’ z’

I’

x

y

I z

rdQu

rudQ

rtQ

rIFmagn π

µπ

µπ

µπ

µ22

)(22 0000 ==== (Biot and Savart).

So: 220

0

00

0 11)1(

2)

221(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqFl

−−=−= µ

εππµ

πε , (A3.1)

where the negative sign tells us the magnetic force is repulsive, in that case, because of the real directions of those currents, and where the steady distance d0 is contracted to d, according to Lorentz, in the system I where charges Q

have got speed u ( 220 1 cudd −= ).

b) Evaluation of F on an electric base, in the steady system I’ of q: in the system I’ the charge q is still and so it doesn’t represent any electric current, and so there will be only a Coulomb electric force towards charges Q:

220

000 '11)

21()

2'1()

2'1(''

curdQqq

rdQq

rqEF el

−===⋅=

πεπεπλ

ε , (A3.2)

where u’ is the speed of the charge distribution Q in the system I’, which is due to u and v by means of the well known relativistic theorem of composition of speeds:

)1()(' 2cuvvuu −−= , (A3.3)

and d0, this time, is contracted indeed, according to u’: 220 '1' cudd −= .

We now note that, through some algebraic calculations, the following equality holds (see (A3.3)):

22

222222

)1()1)(1('1

cuvcvcucu

−−−

=− , which, if replacing the radicand in (A3.2), yields:

2222

20

000 11)1()

21()

2'1()

2'1(''

cvcucuv

rdQqq

rdQq

rqEF el

−−

−===⋅=

πεπεπλ

ε (A3.4)

We now want to compare (A3.1) with (A3.4), but we still cannot, as one is about I and the other is about I’; so, let’s scale elF ' in (A3.4), to I, too, and in order to do that, we see that, by definition of the force itself, in I’:

2222'

'

1)_(

1)'_('

cvIinF

cvtp

tpIinF el

I

I

I

Iel

−=

−∆

∆=

∆∆

= , where II pp ∆=∆ ' , as p∆ extends along y, and not

along the direction of the relative motion, so, according to the Lorentz transformations, it doesn’t change, while t∆ , of course, does. So:

22

2222

20

0

22 111

)1()2

1(1)'_(')_( cvcvcu

cuvrdQqcvIinFIinF elel −

−−

−=−=

πε =

)_(1

)1()2

1(22

20

0

IinFcu

cuvrdQq el=

−

−=

πε (A3.5)

Now we can compare (A3.1) with (A3.5), as now both are related to the I system. Let’s write them one over another:

2200

00

0 11)1(

2)

221()_(

cuuv

rdQq

rdQuv

rdQqIinFl

−−=−= µ

εππµ

πε

22200

022

20

0 11)1(

21)1()

21()_(

cucuv

rdQq

cucuv

rdQqIinFel

−−=

−

−=

εεππε

Therefore we can state that these two equations are identical if the following identity holds: 001 µε=c , and this

identity is known since 1856. As these two equations are identical, the magnetic force has been traced back to the Coulomb’s electric force, so the unification of electric and magnetic fields has been accomplished!!

---------------------------------------------

App. 2-Chapter 4: Justification of the equation eUniv rNR = previously used for the unification of electric

and gravitational forces (Rubino).

App. 2-Par. 4.1: The equation eUniv rNR = (!).

First of all, we have already checked the validity of the equation eUniv rNR = , used in (A2.2), as it has proved to be

numerically correct. And it’s also justified on an oscillatory basis and now we see how; such an equation tells us the radius of the Universe is equal to the classic radius of the electron multiplied by the square root of the number of electrons (and positrons) N in which the Universe can be thought as made of. (We know that in reality almost all the matter in the Universe is not made of e+e- pairs, but rather of p+e- pairs of hydrogen atoms H, but we are now interested in considering the Universe as made of basic bricks, or in fundamental harmonics, if you like, and we know that electrons and positrons are basic bricks, as they are stable, while the proton doesn’t seem so, and then it’s neither a fundamental harmonic, and so nor a basic brick). Suppose that every pair e+e- (or, for the moment, also p+e- (H), if you like) is a small spring (this fact has been already supported by reasonings made around (A2.3)), and that the Universe is a big oscillating spring (now contracting towards its center of mass) with an oscillation amplitude obviously equal to RUniv , which is made of all microoscillations of e+e-

pairs. And, at last, we confirm that those micro springs are all randomly spread out in the Universe, as it must be; therefore, one is oscillating to the right, another to the left, another one upwards and another downwards, and so on. Moreover e+ and e- components of each pair are not fixed, so we will not consider N/2 pairs oscillating with an amplitude 2re, but N electrons/positrons oscillating with an amplitude re. Fig. A4.1: The Universe represented as a set of many (N) small springs, oscillating on random directions, or as a single big oscillating spring. Now, as those micro oscillations are randomly oriented, their random composition can be shown as in Fig. A4.2.

Fig. A4.2: Composition of N micro oscillations err

randomly spread out, so forming the global oscillation RUniv.

UnivR

er

x

y

z

NUnivR

r

err

err

err

err

err

err

err

err

err

err

We can obviously write that: eN

UnivN

Univ rRR rrr+= −1 and the scalar product N

UnivRr

with itself yields:

21212 2)()( eeN

UnivN

UnivN

UnivN

UnivN

Univ rrRRRRR +⋅+==⋅ −− rrrr; we now take the mean value:

22121212 )(2)()( eN

UniveeN

UnivN

UnivN

Univ rRrrRRR +=+⋅+= −−− rr, (A4.1)

as 02 1 =⋅−e

NUniv rR rr

, because err

can be oriented randomly over 360° (or over π4 sr, if you like), so a vector averaging

with it, as in the previous equation, yields zero.

We so rewrite (A4.1): 2212 )()( eN

UnivN

Univ rRR += − and proceeding, on it, by induction:

(by replacing N with N-1 and so on):

22221 )()( eN

UnivN

Univ rRR += −− , and then: 22322 )()( eN

UnivN

Univ rRR += −− etc, we get:

222222212 0..........2)()()( eee

NUnive

NUniv

NUniv rNrNrRrRR =+==+=+= −− , that is:

22)( e

NUniv rNR = , from which, by taking the square roots of both sides:

eeUnivN

Univ rNrNRR ⋅=== 22)( , that is:

eUniv rNR ⋅= !!! (Rubino) (A4.2)

Anyway, it’s well known that, in physics, for instance, the walk R made over N successive steps r, and taken in random directions, is really the square root of N by r (see, for instance, studies on Brownian movement).

--------------------------------------------- App. 2-Chapter 5: “aUniv“as absolute responsible of all forces. App. 2-Par. 5.1: Everything from “aUniv“. Still in agreement with what has been said so far, the cosmic acceleration itself aUniv is responsible for gravity all, and so for the terrestrial one, too. In fact, just because the Earth is dense enough, it’s got a gravitational acceleration on its surface g=9,81 m/s2, while if today we could consider it as composed of electrons randomly spread, just like in Fig. A4.1

for the Universe, then it would have a radius eEarthee

Earth rNrm

M⋅=⋅ , and the gravitational acceleration on its

surface would be:

2122

/1062,7)(

smarN

MGg UniveEarth

EarthNew

−⋅==⋅

= !!!

Therefore, once again we can say that the gravitational force is due to the collapsing of the Universe by aUniv, and all gravitational accelerations we meet, time after time, for every celestial object, are different from aUniv according to how much such objects are compressed.

--------------------------------------------- App. 2-Par. 5.2: Summarizing table of forces. Fig. A5.1: Summarizing table of forces.

aUniv

GRAVITY

causes causes ELECTRICITY

MAGNETISM

WEAK FORCE

causes

(Rubino)

(Einstein) (Maxwell)

STRONG FORCE (my works in progress) (through meson exchanges?)

App. 2-Par. 5.3: Further considerations on composition of the Universe in pairs +/-. The full releasing of every single small spring which stands for the electron-positron pair, is nothing but the annihilation, with turning into photons of those two particles. In such a way, that pair wouldn’t be represented anymore by a pointed wave, pointed in certain place and time, (for instance )()sin( vtxvtx −− , or the similar )( vtx −δ of Dirac), where

the pointed part would stand for the charge of the spring, but it will be represented by a function like )sin( ctx − , omogeneous along all its trajectory, and this is what a photon is. This will happen when the collapsing of the Universe in its center of mass will be accomplished. Moreover, the essence of the pairs e+e-, or, in this era, of e-p+, is necessary in order not to violate Principle of Conservation of Energy. In fact, the Universe seems to vanish towards a singularity, after its collapsing, or taking place from nothing, during its inverse Big Bang-like process, and so doing, it would be a violation of such a conservation principle, if not supported by the Indetermination Principle, according to which an energy ΔE is legitimated to appear anyhow, unless it lasts less than Δt, in such a way that 2h≤∆⋅∆ tE ; in other words, it can appear provided that the observer doesn’t have enough time, in comparison to his means of measure, to figure it out, so coming to the ascertainment of a violation. And, by the same token, the whole Universe, which is made of pairs +/-, has this property. And the appearing of a ΔE made of a pair of particles, shows the particles to reject each other first, so showing the same charge, while the successive annihilation after Δt shows a successive attraction, showing now opposite charges. So, the appearing and the annihilation correspond to the expansion and collapsing of the Universe. Therefore, if we were in an expanding Universe, we wouldn’t have any gravitational force, or it were opposite to how it is now, and it’s not true that just the electric force can be repulsive, but the gravitational force, too, can be so (in an expanding Universe); now it’s not so, but it was! The most immediate philosophical consideration which could be made, in such a scenario, is that, how to say, anything can be born (can appear), provided that it dies, and quick enough; so the violation is avoided, or better, it’s not proved/provable, and the Principle of Conservation of Energy is so preserved, and the contradiction due to the appearing of energy from nothing is gone around, or better, it is contradicted it itself. The proton, then, plays the role of a positron, with respect to the electron and it’s heavier than it because of the possibility to exist that the fate couldn’t deny to it, around the Anthropical Cosmological Principle, as such a proton brings to atoms and cells for life which investigates over it. When the collapse of the Universe will happen, the proton will irradiate all its mass and become a positron, ready to annihilate with the electron. And through all this, we also answer the question on the unexplained prevailing of matter over the antimatter: in fact, that’s not true; if we consider the proton, that is a future and ex positron, as the antimatter of the electron, and vice versa, the balance is perfect. App. 2-Par. 5.4: The Theory of Relativity is just an interpretation of the oscillating Universe just described, contracting with speed c and acceleration auniv. On composition of speeds: 1) Case of a body whose mass is m. If in our reference system I, where we (the observers) are at rest, there is a body

whose mass is m and it’s at rest, we can say: 01 =v and 021 2

11 == mvE . If now I give kinetic energy to it, it will

jump to speed v2, so that, obviously: 222 2

1 mvE = and its delta energy of GAINED energy E↑∆ (delta up) is:

222

2212 )(

21)0(

210

21 vmvmmvEEE ∆=−=−=−=∆↑ , with 12 vvv −=∆ .

Now, we’ve obtained a v∆ which is simply 12 vv − , but this is a PARTICULAR situation and it’s true only when it starts from rest, that is, when v1 = 0.

On the contrary: 221

22

21

2212 )(

21)(

21

21

21 vmvvmmvmvEEE V∆=−=−=−=∆↑ , where V∆ is a vectorial delta:

)( 21

22 vvvV −=∆ ; therefore, we can say that, apart from the particular case when we start from rest (v1 = 0), if we

are still moving, we won’t have a simple delta, but a vectorial one; this is simple base physics. 2) Case of the Earth. In our reference system I, in which we (the observers) are at rest, the Earth (E-Earth) rotates around the Sun with a total energy:

SE

ESunEETot R

mMGvmE−

−= 2

21

, and with a kinetic energy 2

21

EEK vmE = . If now we give the Earth a delta up

E↑∆ of kinetic energy in order to make it jump from its orbit to that of Mars (M-Mars), then, just like in the previous

point 1, we have:

22222 )(21)(

21

21

21 vmvvmvmvmE VEMEEMEEE ∆=−=−=∆↑ , with )( 22

MEV vvv −=∆ , and so also here the

speed deltas are vectorial-like ( V∆ ). 3) Case of the Universe. In our reference system I, where we (the observers) are at rest, if we want to make a body, whose mass is m0 and originally at rest, get speed V, we have to give it a delta v indeed, but for all what has been said so far, as we are already moving in the Universe, (and with speed c), as for above points 1 and 2, such a delta v must withstand the following (vectorial) equality:

)( 22SpeedUnivAbsNewV vcvV −−−−=∆= , (A5.1)

where SpeedUnivAbsNewv −−− is the new absolute speed the body (m0) looks to have, not with respect to us, but with

respect to the Universe and its center of mass. As a matter of fact, a body is inexorably linked to the Universe where it is, in which, as chance would have it, it already

moves with speed c and therefore has got an intrinsic energy 20cm .

In more details, as we want to give the body (m0) a kinetic energy Ek , in order to make it gain speed V (with respect to us), and considering that, for instance, in a spring which has a mass on one of its ends, for the harmonic motion law, the speed follows a harmonic law like:

ααω sinsin)( MaxMax VXv == ( αsincv SpeedUnivAbsNew =−−− , in our case),

and for the harmonic energy we have a harmonic law like:

αsinMaxEE = ( αsin)( 20

20 KEcmcm += , in our case),

we get αsin from the two previous equations and equal them, so getting:

KSpeedUnivAbsNew Ecm

cmcv+

=−−− 20

20 ,

now we put this expression for SpeedUnivAbsNewv −−− in (A5.1) and get:

VEcm

cmccvcvVK

SpeedUnivAbsNewV =+

−=−=∆= −−− ])([)( 22

0

20222 , and we report it below:

])([ 22

0

202

KEcmcmccV+

−= (A5.2)

If now we get EK from (A5.2), we have:

)11

1(

2

2

20 −

−

=

cV

cmEK !!! which is exactly the Einstein’s relativistic kinetic energy!

If now we add to EK such an intrinsic kinetic energy of m0 (which also stands “at rest” – rest with respect to us, not with respect to the center of mass of the Universe), we get the total energy:

20

20

2

2

2

2

20

20

20

1

1)11

1( cmcm

cV

cV

cmcmcmEE K ⋅=

−

=−

−

+=+= γ , that is the well known

20cmE ⋅= γ (of the Special Theory of Relativity). (A5.3)

All this after that we supposed to bring kinetic energy to a body at rest (with respect to us). Equation (A5.3) works wery well on particle accelerators, where particles gain energy, but there are cases (collapsing Universe and Atomic Physics) where masses lose energy and radiate, instead of gaining it, and in such cases (A5.3) is completely inapplicable, as it’s in charge for added energies, not for lost ones. App. 2-Par. 5.5: On “Relativity” of lost energies. In case of lost energies (further phase of the harmonic motion), the following one must be used:

20

1 cmE ⋅=γ

(Rubino) (A5.4)

which is intuitive just for the simple reason that, with the increase of the speed, the coefficient γ1 lowers m0 in favour of the radiation, that is of the lost of energy; unfortunately, this is not provided for by the Theory of Relativity, like in (A5.4). For a convincing proof of (A5.4) and of some of its implications, I have further files about. By using (A5.4) in Atomic Physics in order to figure out the ionization energies ZE↓∆ of atoms with just one electron,

but with a generic Z, we come to the following equation, for instance, which matches very well the experimental data:

])2

(11[ 2

0

22

hcZecmE eZ ε

−−=∆↓ (A5.5)

and for atoms with a generic quantum number n and generic orbits:

])4

(11[ 2

0

22

hcnZecmE enZ ε

−−=∆ −↓ (Wåhlin) (A5.6)

Orbit (n) Energy (J) Orbit (n) Energy (J)

1 2,1787 10-18 5 8,7147 10-20 2 5,4467 10-19 6 6,0518 10-20 3 2,4207 10-19 7 4,4462 10-20 4 1,3616 10-19 8 3,4041 10-20

Tab. A5.1: Energy levels in the hydrogen atom H (Z=1), as per (A5.6). On the contrary, the use of the here unsuitable (A5.3) doesn’t match the experimental data, but brings to complex corrections and correction equations (Fock-Dirac etc), which tries to “correct”, indeed, an unsuitable use. Again, in order to have clear proofs of (A5.5) and (A5.6), I have further files about.

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App. 2-SUBAPPENDIXES. App. 2-Subppendix 1: Physical constants.

Boltzmann’s Constant k: KJ /1038,1 23−⋅

Cosmic Acceleration aUniv: 212 /1062,7 sm−⋅

Distance Earth-Sun AU: m1110496,1 ⋅

Mass of the Earth MEarth: kg241096,5 ⋅

Radius of the Earth REarth: m610371,6 ⋅

Charge of the electron e: C19106,1 −⋅−

Number of electrons equivalent of the Universe N: 851075,1 ⋅

Classic radius of the electron re: m1510818,2 −⋅

Mass of the electron me: kg31101,9 −⋅

Fine structure Constant )1371(≅α : 31030,7 −⋅

Frequency of the Universe Univν : Hz211005,4 −⋅

Pulsation of the Universe )( globalUniv H=ω : srad201054,2 −⋅

Universal Gravitational Constant G: 2211 /1067,6 kgNm−⋅

Period of the Universe UnivT : s201047,2 ⋅

Light Year l.y.: m151046,9 ⋅

Parsec pc: mla 161008,3.._26,3 ⋅=

Density of the Universe ρUniv: 330 /1032,2 mkg−⋅

Microwave Cosmic Radiation Background Temp. T: K73,2

Magnetic Permeability of vacuum μ0: mH /1026,1 6−⋅

Electric Permittivity of vacuum ε0: mF /1085,8 12−⋅

Planck’s Constant h: sJ ⋅⋅ −3410625,6

Mass of the proton mp: kg271067,1 −⋅

Mass of the Sun MSun: kg3010989,1 ⋅

Radius of the Sun RSun: m81096,6 ⋅

Speed of light in vacuum c: sm /1099792458,2 8⋅

Stephan-Boltzmann’s Constant σ: 428 /1067,5 KmW−⋅

Radius of the Universe (from the centre to us) RUniv: m281018,1 ⋅

Mass of the Universe (within RUniv) MUniv: kg551059,1 ⋅ Thank you for your attention. Leonardo RUBINO leonrubino@yahoo.it

--------------------------------------------------------------- Bibliography: 1) (M.M. Lipschutz) DIFFERENTIAL GEOMETRY, Schaum. 2) (Steven Weinberg) GRAVITATION AND COSMOLOGY(Principles and Applications of the General Theory of Relativity), John Wiley & Sons. 3) (S. Greco e P. Valabrega) LEZIONI DI MATEMATICA, Vol. 2- Geometria Analitica e Differenziale, Levrotto & Bella. 4) (F.W.K. Firk) ESSENTIAL PHYSICS - Part 1-Relativity, Gravitation etc – F. Yale University. 5) (L. Wåhlin) THE DEADBEAT UNIVERSE, 2nd Ed. Rev., Colutron Research. 6) (R. Feynman) LA FISICA DI FEYNMAN I-II e III – Zanichelli. 7) (Lionel Lovitch-Sergio Rosati) FISICA GENERALE, Elettricità, Magnetismo, Elettromagnetismo Relatività Ristretta, Ottica, Meccanica Quantistica , 3^ Edizione; Casa Editrice Ambrosiana-Milano. 8) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA I – Meccanica-Termodinamica, Liguori. 9) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA II – Elettromagnetismo-Ottica, Liguori. 10) (R. Sexl & H.K. Schmidt) SPAZIOTEMPO – Vol. 1, Boringhieri. 11) (V.A. Ugarov) TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA, Edizioni Mir. 12) (A. Liddle) AN INTRODUCTION TO MODERN COSMOLOGY, 2nd Ed., Wiley. 13) (A. S. Eddington) THE EXPANDING UNIVERSE, Cambridge Science Classics. 14) ENCYCLOPEDIA OF ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS, Nature Publishing Group & Institute of Physics Publishing. 15) (Keplero) THE HARMONY OF THE WORLD. 16) (H. Bradt) ASTROPHYSICS PROCESSES, Cambridge University Press.

--------------------------------------------------------------