La tecnologia di produzione

La teoria dell’impresa si occupa delle scelte (produttive, di prezzo, strategiche) che l’impresa può fare all’interno di determinati vincoli

I vincoli posso essere rappresentati per esempio dalle condizioni della domanda, dalle scelte dei concorrenti, o dalle condizioni della tecnologia

La teoria della produzione si occupa dello studio dei vincoli tecnologici, cioè dal fatto che per ottenere determinate quantità prodotte (output) l’impresa può usare solo alcune combinazioni di fattori produttivi (input) e solo alcuni metodi produttivi per trasformare tali fattori nelle quantità di beni desiderate

La tecnologia di produzione

La tecnologia è il modo di trasformare gli input (i fattori produttivi) in output (le quantità prodotte)

I fattori produttivi: es, terra, materie prime, denaro, energia, …

Lavoro (L), Capitale (K)

Date le quantità di output che l’impresa vuole produrre, solo alcune combinazioni di input permetteranno di ottenere tali quantità, e saranno quindi tecnicamente realizzabili

L’insieme di tutte le combinazioni di input e output tecnicamente realizzabili è l’insieme di produzione

Il massimo livello di output prodotto utilizzando un determinato livello di input coincide con la frontiera dell’insieme di produzione

La tecnologia di produzione

x = input

y = output

Frontiera di produzione rappresentata dalla funzione di produzione: y=f(x)

Insieme di produzione •A

B•

Abbiamo un solo input (x)

La tecnologia di produzione

Consideriamo invece di avere due input, K e L

L’insieme di tutte le combinazioni possibili di K e L sufficienti a produrre una determinata quantità di output è detto isoquanto

Su ciascun isoquanto le diverse combinazioni di K e L permettono di ottenere la stessa quantità di output

Diversi isoquanti corrispondono a diversi livelli di produzione

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 971

13

25

37

49

61

73

85

97

8000-10000

6000-8000

4000-6000

2000-4000

0-2000

La tecnologia di produzione

L

K

•

•

L’

K’

L’’

K’’

La tecnologia di produzione

L

K

• • •

L’

K’

Ad isoquanti superiori corrispondono livelli produttivi superiori

L’’ L’’’

Teoria: Cobb-Douglas (1928), AER

Funzione di produzione:Y = A L K

variabili: Y = produzione, L = lavoro, K = capitale

Funzione omogenea di grado +, cioè moltiplicando ciascun fattore per una costante h, la produzione risulta moltiplicata per h+.

Quindi…..

+ =1 rendimenti di scala costanti+ >1 rendimenti di scala crescenti+ <1 rendimenti di scala decrescenti

Infatti

Se ciscun input aumenta con di una percentuale pari a rx 100, cioè:

L’=L(1+r/100) e K’=K(1+r/100) avremo:

Quindi…..

+ =1 rendimenti di scala costanti+ >1 rendimenti di scala crescenti+ <1 rendimenti di scala decrescenti

rYKrKLrLAY 1'

Teoria: Cobb-Douglas (1928), AER

Produttività marginale dei fattori:

Ricordando che l’elasticità di una funzione è

e misurano l’elasticità della produzione al Lavoro e al Capitale, cioè di quanto aumenta loutput per un incremento (%)

unitario di input

K

Y

K

KαALKAL

Y

L

Yα

L

KαALKαAL

L

Y

βα1-βα

βαβ1α

K

Y

K

K

Y

Y

K

K

Y

αY

L

L

Yα

Y

L

L

Y

)('

K

L

E

E

y

xxfE

Se + =1

La produttività del lavoro è determinata dalla intensità di capitale

L

KA

L

Y

Lperdividendo

Y

:

KAL β1

Produttività marginale del lavoro (MPL):

L

Yα

L

KαALKαAL

L

Y βαβ1α

Se <1, MPL è minore della produttività media. La MPL decresce con L (K si satura).

pro

du

zio

ne

, Y

lavoro, L

= 0,7

= 0,4

Nella: Y = A L K

una riduzione di A (TFP) equivale ad uno shock negativo di produttività (di offerta):

pro

du

zio

ne,

Y

lavoro, L

Prima dello shock

dopo lo shock

Il parametro A governa gli slittamenti della funzione

Se + =1 cioè la funzione è omogenea di grado 1, per il teorema di Eulero si ha:

Cioè il prodotto può essere considerato come la somma di due termini: quota di prodotto che “compete” al Lavoro e quella che compete al Capitale

Ma in regine di concorrenza perfetta le produttività marginali dei fattori eguagliano il prezzo dei fattori e quindi le quote (assolute) saranno:

E quelle relative (divise per Y) saranno (1-) e rispettivamente.

Cioè a rendimenti di scala costanti e in libera concorrenza, esisterebbe una sorta di “spartizione naturale” del nuovo valore

K

YK

L

YLY

YKPK

YKQ

YLPL

YLQ

KK

LL

)1(

Stima dei parametri e

Funzione di produzione:Y = A L K

Trasformazione logaritmica:log(Y) = log(A) + log(L) + log(K)y = a + l + kdove lettere minuscole indicano le corrispondenti trasformazioni logaritmiche

A seconda del tipo di dati disponibili per y, l, k, ottengo diverse misure (informazioni):cross-section: yi ; li ; ki (i = 1, 2, 3, …, N)time series: yt ; lt ; kt (t = 1, 2, 3, …, T)panel data: yit ; lit ; kit

Modello per dati cross-section

yi = ai + li + ki

dove: ai = a + i ; i ~ iid(0,2) a, , e 2 sono parametri (è possibile una generalizzazione se i 2)

Ipotesi: i casi individuali (nel complesso) forniscono informazioni su una struttura unificante che ha parametri costanti.

L’unica fonte di informazione è la variabilità fra individui. Gli i sono shock idiosincratici di offerta.

Verifica della presenza di economie di scala:

Si Stima un modello vincolato (R) con +=1 e uno non vincolato (U),

si confrontano con un test F i Residual Sum of Square (RSS) divisi per gli opportuni gradi di libertà:

m= vincoli, n= osservazioni, k=parametri

knRSS

mRSSRSSF

H

H

U

URkn

/

/

1:

1:

1

0

Modello per dati panel

yit = ait + lit + kit

dove: ait = ai + t + it ; it ~ iid(0,2)

, e 2 sono parametri (è possibile una generalizzazione se i 2 o it 2 )

Nei panel la dimensione temporale T spesso è molto inferiore a quella individuale N.

L’informazione da modellare: variabilità fra individui (between) e variabilità nel tempo per lo stesso individuo (within). Gli shock di offerta it hanno dimensione i e t.

ait = ai + t + it

Problema: come modellare la TFP? Diverse definizioni di effetto individuale ai e

temporale t implicano diversi modelli.

Effetti individuali ai fissi (N stime):

Il modello panel con effetti fissi stima la TFP (idiosincratica) per ogni individuo.

T

kβ

T

lα

T

ya

T

1t it

T

1t it

T

1t iti

ˆˆˆ

Caso 1: effetto temporale (sistemico) t = 0

Effetti individuali ai random:

Nel modello panel con effetti random la TFP è resa idiosincratica dalla presenza della variabile casuale i (e se

2 = 0?) Se supposta stocastica, la componente

idiosincratica non può essere correlata con lavoro e capitale perché:

yit = a + lit + kit + (it+i)

ai = a + i ; i ~ iid(0,2)

disturbo stocastico composito

L’effetto sistemico misura la TFP comune a tutti gli individui (una stima ad hoc per ognuno degli anni; pochi perchè T basso).

Caso 2: effetto temporale (sistemico) t 0

L’effetto sistemico (macroeconomico) t colpisce tutti gli individui allo stesso modo.

Il panel con effetti fissi temporali e individuali stima le componenti idiosincratiche e quelle sistemiche della TFP:

N

kβ

N

lα

N

yλ

N

1i it

N

1i it

N

1i itt

ˆˆˆ

Riepilogo: modellazione della produzione

TFP modellataesplicitamente

shock diofferta

causalitàstrutturale

yit = ai + t + it + lit + kit

a + i

TFPidiosincratica

TFPsistemica

it ~ iid(0,2)

T-1 parametr

i

N-1 parametri

fissa random

i ~ iid(0, 2)

i2 ; it

2

Stimatori sandwich

Ho: tutti = 0Ho:

2 = 0 Modello pooled

Ho: tutti = 0

Altre forme:

C-D con “effetto di trend” (progresso tecnico neutrale)

Y = A L K et

Con = elasticità della produzione rispetto al tempo

Principali critiche:

Ipotesi di concorrenza perfetta:; se fosse vera tutte le imprese avrebbero le stesse quote di K e L (a meno di deviazioni random) e quindi avremmo informazioni solo su un punto e non su un isoquanto

Distribuzione del reddito in base alla elasticità di sostituzione, ma ciò implica +=1 cioè nessuna economia di scala

Circolarità nella misura di K che implica il ricorso ai prezzi dei beni capitali che a loro volta dipendono dal saggio di produttività di K

CIONONOSTANTE,

Molto utilizzata, buoni risultati, analisi descrittive

Non tanto coefficienti tecnici, quanto indicatori statistici

Altre funzioni:

C-D impone elasticità di sostituzione = 1

(es: incremento di prezzo relativo di K pari all’1%, determina una diminuzione della quota K/L –intensità di capitale- pari all’1%)

Se OLS, dovrei trovare un coefficiente=1 per il salario reale , così non è empiricamente. La CES si ottiene risolvendo l’equazione:

CES: elasticità costante ma diversa da 1 Costant Elasticity of Substitution (CES)

ρ è un parametro collegato all'elasticità di sostituzione (σ): ρ = (1-σ)/σ; determina la distribuzione del reddito tra i fattori per un dato ρ.

E’ possibile una generalizzazione con elasticità variabile:

p

w

L

Y

p

w

L

Y

L

Ylog)log(log

1

)1(log)log(log

LKAYp

wba

L

Y

LKmYp

wba

L

Y)1(log)log(log

Produttività marginale:

E il saggio marginale di sostituzione:

E l’elasticità di sostituzione:

11

1

K

Y

mK

YP

L

Y

mL

YP KL

L

KR

L

K

K

Y

L

YR )1(

1loglog

1:

1

1

1

)log(

)log(

R

LK

L’interesse della CES deriva dal fatto che la elasticità di sostituzione è un parametro esplicito

Ad esempio è possibile modellare produzioni in settori che hanno, come è verosimile, elasticità di sotituzione diverse

Per quanto concerne l’elasticità la CES è una generalizzazione della C-D

Una ulteriore generalizzazione sono le funzioni VES (Variable substitution elasticity): la più nota è la funzione trans-log (trascendentale-logaritmica)

In sostanza è una approssimazione di Taylor:

CESaaa

se

LaLKaKaLaKaaY

121122

22212

211210

2

1

logloglogloglogloglog