La spirale logaritmica è impostata su una serie di rettangoliaurei.

L'infinita riproducibilità di queste figure geometricheassegnava a esse un altissimo potere simbolico legato alcosmo, alla divinità.

In seguito il Rinascimento, periodo in cui il pensiero el'arte si cimentarono a fondo sui temi dell'armonia, il rapportoaureo fu oggetto di studi particolarmente approfonditi. Oltreai grandi contributi di Piero della Francesca (1412-1492),artista eccelso ma anche grande studioso di geometria, ilrapporto aureo venne dettagliatamente indagato da LucaPacioli (1445-1514) nel trattato De divina proportione, superba-mente illustrato da Leonardo da Vinci (1452-1519); il grandeinflusso di questo trattato su artisti e scienziati dell'epocaportò anche a denominare il rapporto aureo quale divinaproporzione.

• Rapporto aureo e scienzeGiovanni Keplero (1571 - 1630), oltre che grande astronomo,

fu anche eccellente matematico. A lui si devono i più acutilegami tra il numero aureo, la matematica, la fisica, la cosmo-grafia. Egli trovò ricorrenti presenze del numero aureo nelmoto degli astri, nello sviluppo delle piante, nella serie diFibonacci.

La serie di Fibonacci è dovuta a Leonardo da Pisa, dettoFibonacci, grande matematico del XII secolo, che nel suofamoso Liber abbaci propose l'uso della numerazione arabadando grande impulso alla rinascita degli studi matematici.Per la soluzione di un problema Fibonacci si avvale dellaseguente serie:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Come si può notare ogni termine della successione è parialla somma dei due precedenti.

Keplero nel 1611 scoprì che nella serie di Fibonacci ilrapporto tra ogni numero e il suo predecessore tende ineso-rabilmente al valore del numero aureo (1,618033…).

In seguito molti altri studiosi di matematica trovarononella serie di Fibonacci sorprendenti proprietà, tali da conferirea essa un aura di magia.

La sezione aurea

SCHEDA DI APPROFONDIMENTO

Nella storia dell'umanità la ricerca di canoni estetici, diarmonie perfette ha spesso ritrovato sul suo cammino unnumero molto speciale: il numero aureo. Esso è un numeroirrazionale e corrisponde al valore di 1,618033 (i valori decimaliin realtà si estendono indefinitamente senza ripetizioni). Lasingolarità di questo numero sta nel fatto che su di esso sibasano proporzioni rilevabili nei più disparati campi dellanatura, delle scienze, delle arti.

• Rapporto aureo e geometriaIl rapporto aureo è quello che si stabilisce tra un segmentoe una sua parte, in modo che quest'ultima sia il medioproporzionale tra il segmento e la parte residua. Questorapporto, noto con il nome di rapporto estremo e medio, venneampiamente studiato da Euclide (IV -III sec. a.C.) nella suaopera Elementi, in cui compendia in modo mirabile e rigorosoil sapere degli antichi nell'ambito della geometria.

I l r a p p o r t o a u r e onell'esposizione di Euclidesi ritrova nella costruzionedel pentagono e di alcunisolidi regolari (icosaedro edodecaedro).

Nel pentagono il rapportotra diagonale e lato è pari alrapporto aureo; con proce-dimenti grafici era dunquepossibile pervenire alla co-struzione del pentagono edei solidi ad esso legati(quali il dodecaedro el'icosaedro).

È possibile che questo particolare rapporto abbia dimostratol'esistenza dei numeri irrazionali sin dagli studi della scuolapitagorica (precedente al trattato di Euclide); la magia deinumeri e delle proporzioni si irradiò da questa scuola inpensatori e scienziati dell'antica Grecia, in particolare Platone(428-347 a.C.).

Nel Timeo egli descrive origini e funzioni del cosmo ipotiz-zando che la materia abbia una struttura basata sui cinquesolidi regolari, da allora chiamati solidi platonici. A ognunodei quattro elementi (acqua, terra, aria e fuoco) viene associatoun solido regolare, mentre il dodecaedro viene collegato alcosmo nel suo insieme.

Evocazioni magiche su-scitavano in antico il pen-tagramma e la spirale lo-garitmica.

Il pentagramma (afianco), simbolo mistericodei pitagorici, è basato sulpentagono e le sue diago-nali; al suo interno si puòriprodurre una serie infi-nita di pentagoni e penta-grammi.

«La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora;l’altro è la sezione aurea di un segmento. Il primo possiamoparagonarlo a un oggetto d’oro; il secondo possiamo definirloun prezioso gioiello».

GIOVANNI KEPLERO

A B

C

D

E

AD = BD = AB . 1,618033

36°

72° 72°

Il dodecaedro vacuoi l l u s t r a t o d aLeonardo da Vincinel trattato Dedivina proportione diLuca Pacioli.

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• Rapporto aureo e arteLa particolare passione dei greci per l'armonia geometricaha fatto ritrovare, talora indebitamente, la presenza delrapporto aureo in molte opere d'arte dell'antichità.

Secondo Policleto (V sec. a.C.), grande scultore e teoricodel canone, nonchécultore della mate-matica pitagorica, «lab e l l e z z a n a s c edall'esatta propor-zione non degli ele-menti, ma di tutte leparti tra di loro».Nella sua famosascultura del Doriforo(a fianco) si ritrovanoapplicate le regoledel «Canone» e pro-porzioni basate sulrapporto aureo.

Molte ipotesi ri-trovano tale propor-zione nella strutturadella grande Pira-mide di Giza, delPartenone di Atene, dell'Arco di Co-stantino a Roma.passione di moltiartisti del Rinasci-mento per questo magico numero ha indotto a ritrovarnetracce nei dipinti di Leonardo da Vinci, di Piero della Francesca,di Albrecht Dürer (1471-1528). In seguito furono influenzatida questo fascino i pittori cubisti e il grande architetto LeCorbusier. Quest'ultimo formulò un sistema, denominatoModulor (da Module d'or), basato sul rapporto aureo e sulleproporzioni dell'uomo; esso doveva fornire «alla scala umanauna misura di armonia, universalmente applicabileall'architettura e alla meccanica».

Anche il mondo della grafica ha subìto un forte fascino dalrapporto aureo; le tassellazioni modulari di Penrose e diEscher (1898- 1972) sono spesso basate sul triangolo aureo(triangolo isoscele con angoli alla base di 72°).

SCHEDA DI APPROFONDIMENTO

Rapporto aureo e natura

Il rapporto aureo viene ritrovato in fenomeni naturali i piùdisparati: nelle spirali logaritmiche di galassie o molluschimarini, quali il Nautilus (a fianco), nelle proporzioni delcorpo umano o nella struttura di foglie e arbusti, nel numerodi vibrazioni dei suoni della scala dodecafonica.

In definitiva si può ritenere che nontutte le numerosissime ricorrenze delrapporto aureo abbiano un fondamentoindiscusso, ma si può senz'altro ritenereche lo spirito umano sia molto sensibileall'armonia di questo rapporto.

a

A

B

b

c

C

glossario

Triangolo aureoè un triangoloisoscele conangoli alla basedi 72°; la base èla sezione aureadei lati uguali.

36°

72° 72°

Modulor di Le Corbusier (1950). Dall’altezza di un uomo (183 cm)rapportata alla sua altezza con braccio alzato (226 cm) e a quella

dell’ombelico (113cm), nascono duescale dimensionali(rossa e azzurra)basate sulla seriedi Fibonacci equindi sul rapportoaureo. Sulla basedel Modulor nac-quero molti pro-getti del grandearchitetto svizzero.Ancor prima dienunciare la teoriadel Modulor, LeCorbusier si servìdella proprozioneaurea in progetti,tra cui la Villa Steina Garches.

Villa Stein a Garches di LeCorbusier (1928). La faccia-ta è strutturata sulla basedi rettangoli aurei, che leconferiscono particolarearmonia.

Conchiglie e stelle marine,di C.M. Escher (1941). Que-sta composizione è struttu-rata su una simmetria rota-tor ia di un modulopentagonale; ogni moduloè composto da due semiqua-drati (in arancio) e un trian-golo aureo (in azzurro).

Il Doriforo di Policleto.

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La sezione aurea

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