LA PROPORZIONALITÀ
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UNITÀ 4 LA PROPORZIONALITÀ 238 LA PROPORZIONALITÀ Le grandezze possono essere GRANDEZZE COSTANTI o GRANDEZZE VARIABILI. È tutto ciò che può essere misurato. GRANDEZZA Esempi: esempi di grandezze sono: la lunghezza, l’area, la massa, la temperatura, il tempo ecc. sono grandezze che mantengono sempre lo stesso valore. GRANDEZZE COSTANTI Esempio: L'altezza della Tour Eiffel perché è sempre 324 m. sono grandezze che hanno il valore che cambia. GRANDEZZE VARIABILI Esempio: L'altezza di un bambino perchè varia a seconda dell’età. PROVA TU! 1. Grandezza costante C o variabile V ? a. Il tempo regolamentare di una partita di basket (sono 4 tempi da 10 minuti). C V b. L’ampiezza di un angolo piatto. C V c. Il numero delle diagonali e il numero dei lati di un poligono. C V d. La temperatura della tua cucina nelle varie ore del giorno. C V UNITÀ 4 Seleziona i concetti
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UNITÀ 4 LA PROPORZIONALITÀ238
LA PROPORZIONALITÀ
Le grandezze possono essere GRANDEZZE COSTANTI o GRANDEZZE VARIABILI.
È tutto ciò che può essere misurato.GRANDEZZA
Esempi: esempi di grandezze sono: la lunghezza, l’area, la massa, la temperatura, il tempo ecc.
sono grandezze che mantengono sempre lo stesso valore.GRANDEZZE COSTANTI
Esempio:L'altezza della Tour Eiffel perché è sempre 324 m.
sono grandezze che hanno il valore che cambia.GRANDEZZE VARIABILI
Esempio:L'altezza di un bambino
perchè varia a seconda
dell’età.
PROVA TU!
1. Grandezza costante C o variabile V ?
a. Il tempo regolamentare di una partita di basket
(sono 4 tempi da 10 minuti). C V
b. L’ampiezza di un angolo piatto. C V
c. Il numero delle diagonali e il numero dei lati di un poligono. C V
d. La temperatura della tua cucina nelle varie ore del giorno. C V
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PROVA TU!2. In ciascuna coppia di grandezze sottolinea la variabile dipendente di
verde e la variabile indipendente di arancione.
a. Il peso del pane mangiato e le calorie fornite dal pane.
b. L'età di un neonato e il suo peso.
c. I litri di benzina acquistati e il costo della benzina acquistata.
Tra due grandezze variabili può esserci un legame di dipendenza: il valore di una dipende da quello dell’altra.
Due grandezze variabili y e x sono direttamente proporzionali
quando il RAPPORTO yx NON CAMBIA.
In generale si scrive che:
=yx k (k � valore che non cambia)
Il legame tra due grandezze direttamente proporzionali può essere rappresentato graficamente sul piano cartesiano. Si ottiene sempre una RETTA che passa per l’origine degli assi e che ha come formula generale:
y � k � x
Le due grandezze variabili sono: il costo e il peso.È chiaro che il costo dell’oro dipende dal peso dell’oro che acquisti. Per questo, il costo è la VARIABILE DIPENDENTE invece il peso è la VARIABILE INDIPENDENTE.La VARIABILE DIPENDENTE viene indicata con la lettera y.La VARIABILE INDIPENDENTE viene indicata con la lettera x.
GRANDEZZE VARIABILI DIPENDENTI E GRANDEZZE VARIABILI INDIPENDENTI
GRANDEZZE DIRETTAMENTE PROPORZIONALI
pag. esercizio n.247 3
Esempio:Il costo dell’oro e il peso dell’oro acquistato.
base dell’unità
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PROVA TU!3. Completa la tabella, poi rispondi.
y 1 2 3 4 5
x 3 6 9 12 15
yx
13
........
........
........
........
........
........
........
........
RIEPILOGO definizione rappresentazione graficagrandezze
direttamente proporzionali
rapporto costante retta che passa per l’origine
Formula: y � k � x
Esempio:
peso oro (g) x
costo oro (€) y
rapporto yx
1 30 =301
30
2 60 =602
30
3 90 =903
30
4 120 =1204
30
x y =yx
30
30
1O 2 3
6090
120
costo(€)
peso(g)
4 5
150y = 30
$ x
Il costo dell’oro e il peso dell’oro acquistato sono grandezze direttamente proporzionali perché il rapporto y
x è sempre 30 cioè =y
x 30 .
TABELLA GRAFICO
y
O
y � k � x
x
a. il rapporto yx
cambia? SÌ NO
b. y e x:
a sono direttamente proporzionali
b non sono direttamente proporzionali
valore che non cambia
=yx k
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PROVA TU!4. Esegui l’esercizio n. 1 a pag. 221.
Due grandezze variabili y e x sono inversamente proporzionali
quando il PRODOTTO y � x NON CAMBIA.
In generale si scrive che:
y � x � k (k � valore che non cambia)
Il legame tra due grandezze inversamente proporzionali può essere rappresentato graficamente sul piano cartesiano. Si ottiene sempre una linea curva particolare detta RAMO DI IPERBOLE EQUILATERA e che ha come formula generale:
=y kx
GRANDEZZE INVERSAMENTE PROPORZIONALI
RIEPILOGO definizione rappresentazione grafica
grandezze inversamente proporzionali
prodotto costante
y � x � k
valore che non cambia
ramo di iperbole equilatera
y
O x
y � xk
Formula: =y kx
pag. esercizio n.248 8; 9249 10250 16; 17251 18; 22
base dell’unità
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Esempio:
PROVA TU!5. Completa la tabella, poi rispondi.
y 1 2 3 4 6 9 12 18 36
x 36 18 12 9 6 4 3 2 1
y � x .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........
a. il prodotto y � x cambia? SÌ NO
b. y e x:
a sono direttamente proporzionali b sono inversamente proporzionali
6. Esegui l’esercizio n. 1 a pag. 225.
pag. esercizio n.253 29; 30; 31254 32a, b255 44; 45; 46257 53
massa (kg) x
lunghezza (m) y
prodotto
y � x1 24 24 � 1 � 24
2 12 12 � 2 � 24
3 8 8 � 3 � 24
4 6 6 � 4 � 24
8 3 3 � 8 � 24
12 2 2 � 12 � 24
24 1 1 � 24 � 24
x y y � x � 24
1
1O 2 3
234
massa(kg)
lunghezza(m)
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
56789
1011121314 y = x
24
La lunghezza e la massa sono grandezze inversamente proporzionali perché il
prodotto y � x è sempre 24 cioè y � x � 24.
TABELLA GRAFICO
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Esempio:
Da 100 kg di olive si ottengono circa 20 litri di olio.Quanti litri di olio si otterranno da 180 kg di olive?
n Costruisci una tabella dove metterai le grandezze, i tre valori che conosci e una x al posto di ciò che devi trovare.
n Ora fatti questa domanda: “se i chilogrammi di olive aumentano, aumentano anche i litri di olio prodotti"? Se la risposta è sì metti due frecce con lo stesso verso ( ) come in figura.
n A questo punto scrivi la proporzione seguendo il verso delle frecce e trova x.
100 : 180 � 20 : x
= ⋅ =x 180 20100
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PROVA TU!7. Per preparare un dolce per 4 persone ci vogliono 300 grammi di
farina. Quanti grammi di farina ci vogliono se le persone sono 6? Risolviamo insieme.
Se il numero delle persone aumenta, aumenta
anche la quantità di farina da usare perciò le
frecce hanno la punta dalla stessa parte.
Ora imposta la proporzione e trova x.
4 : ......... � 300 : .........
= ⋅ =x 6 .............
..................... grammi
Sono problemi in cui compaiono grandezze direttamente proporzionali e che si risolvono con una proporzione.
PROBLEMI DI PROPORZIONALITÀ DIRETTA...
pag. esercizio n.258 62259 65; 66; 67; 68
olive (kg) olio (l)
100 20
180 x
base dell’unità
n. persone farina (g)4 3006 x
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Sono problemi in cui compaiono grandezze inversamente proporzionali e che, anche in questo caso, si risolvono con una proporzione.
PROBLEMI DI PROPORZIONALITÀ INVERSA...
Esempio:Per costruire un muro, 3 operai ci hanno messo 25 ore.Quante ore ci avrebbero messo 5 operai?
n Costruisci una tabella dove metterai le grandezze, i tre valori che conosci e una x al posto di ciò che devi trovare.
n Ora fatti questa domanda: “se il numero degli operai aumenta, il numero delle ore aumenta o diminuisce?". Chiaramente la risposta è: “diminuisce". In questo caso metti due frecce di verso opposto ( ) come in figura.
n Scrivi la proporzione seguendo il verso delle frecce e trova x.
3 : 5 � x : 25
= ⋅ =x 3 255
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PROVA TU!8. Per andare in gita, 24 alunni pagano 10 euro a testa per il noleggio
di un pullman. Se gli alunni fossero 40, quanto pagherebbe ciascuno di loro per il noleggio dello stesso pullman?
Se il numero degli alunni aumenta, la spesa di
ciascun alunno diminuisce perciò le frecce hanno
la punta da parti opposte.
Ora imposta la proporzione e trova x.
24 : ......... � x : .........
= ⋅ =x40
......... ..................
pag. esercizio n.259 70; 71
n. alunni spesa (€)24 1040 x
n. operai ore (h)
3 25
5 x
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PROVA TU!
9. Esegui l’esercizio n. 2 a pagina 237.10. Esegui l’esercizio n. 134 a pagina 264.11. Esegui l’esercizio n. 3 a pagina 237.12. Esegui l’esercizio n. 135 a pagina 264.
Esempio:
capitale � 200 euro tasso � 2% tempo � 3 anni
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =interesse capitale tasso tempo100
200 2 3100
12 euro
Esempio:Il montante dell’esercizio di prima è uguale a
200 � 12 � 212 euro
Sono soldi in più che vengono dati di solito dalla banca quando si depositano i soldi per un certo periodo. L’interesse semplice si calcola con questa formula:
dove il capitale sono i soldi depositati.
INTERESSE SEMPLICE
È uguale a capitale depositato � interesse.MONTANTE
pag. esercizio n.264 136266 155; 156267 164; 165; 166; 167
=⋅ ⋅ (in anni)interesse capitale tasso tempo
100
base dell’unità
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POSSONO ESSERE
DIRETTAMENTE PROPORZIONALI
INVERSAMENTE PROPORZIONALI
y x
LE GRANDEZZE
UN RAMO DI IPERBOLE EQUILATERA
y
O x
y = xk
UNA RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE
y
O
y = k $
x
x
VARIABILI COSTANTI
E QUANDO IL VALORE DI UNA VARIABILE DIPENDE DA QUELLO DI UN’ALTRA VARIABILE SI PARLA DI
SI INDICA CON
y E x POSSONO ESSERE
SI INDICA CON
QUANDO
IL GRAFICO È
y � x � k
IL GRAFICO È
yx k=
QUANDO
VARIABILE DIPENDENTE
VARIABILE INDIPENDENTE
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L’ESSENZIALE
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