grafici proporzionalità
-
Upload
maurizio-menni -
Category
Documents
-
view
31 -
download
2
Transcript of grafici proporzionalità
Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni
1. Le rappresentazioni di un fenomeno2. I grafici cartesiani3. Le grandezze direttamente proporzionali4. Altre relazioni matematiche
2Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
4. Altre relazioni matematiche
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Un fenomeno può essere rappresentato con una tabella, con
3Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
rappresentato con una tabella, con un grafico o con una formula
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Fenomeno : un recipiente viene riempito da un rubinetto
da cui esce un flusso d’acqua costante.
Fenomeno : un recipiente viene riempito da un rubinetto
da cui esce un flusso d’acqua costante
4Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Rappresentazione del fenomeno mediante tabella : la
quantità di acqua accumulata nel recipiente dipende
dall’intervallo di tempo trascorso.
5Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
Il flusso d’acqua del rubinetto è costante– Ogni minuto dal rubinetto escono 2 litri d’acqua
– Ogni minuto la quantità d’acqua nel recipiente cresce di 2 litri
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Rappresentazione del fenomeno mediante formula :
q = 2 · tt : tempo trascorso.– variabile indipendente ; unità di misura: minuti
6Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
q : quantità d’acqua accumulata.– variabile dipendente ; unità di misura: litri
2 : portata d’acqua del rubinetto.– costante ; unità di misura: litri/minuto
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Rappresentazione del fenomeno mediante grafico
Asse orizzontale (ascisse)
– variabile indipendente t
7Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
Asse verticale (ordinate)
– variabile dipendente q
A ogni punto del grafico corrisponde
una coppia di valori della tabella
Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno
Tabella : conoscenza del fenomeno limitata ad alcuni
intervalli di tempo.
Grafico : visione sintetica e immediata del fenomeno.
Formula : rappresentazione più astratta ma più completa
8Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
Le formule hanno validità generale; uno stesso tipo di
formula si può applicare a fenomeni fisici molto diversi:– Legame matematico tra le variabili: è possibile calcolare la
quantità d’acqua accumulata in un istante qualsiasi.
(variabile dipendente) = (costante) × (variabile indipendente)
La rappresentazione grafica è un potente strumento matematico per
Lezione 2 - I grafici cartesiani
9Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
potente strumento matematico per rappresentare due grandezze relative allo stesso fenomeno
Lezione 2 - I grafici cartesiani
I grafici cartesiani permettono di visualizzare la relazione
tra due grandezze fisiche.
Per tracciare un grafico cartesiano occorre:
-Tracciare gli assi, cioè due rette
10Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
-Tracciare gli assi, cioè due rette
perpendicolari, fissando il verso di
percorrenza
-Associare a ogni asse una grandezza e
un’unità di misura
-Scegliere la scala per ciascun asse
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Ogni coppia di valori della tabella individua un punto .
Uniamo i punti con una linea per visualizzare l’andamento .
In un grafico che
rappresenta una
11Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
rappresenta una
tabella di dati, l’unità
di misura e la scala
associate ai due
assi sono
indipendenti tra loro.
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Grafico di una funzione espressa da una formula.
y = 2x2
- Si costruisce una tabella di punti
- Si rappresentano i punti nel grafico
12Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
- Si rappresentano i punti nel grafico
In questo caso non si associano grandezze e
unità di misura agli assi cartesiani
Lezione 2 - I grafici cartesiani
La pendenza di una retta è il rapporto tra variazione
dell’ordinata e incremento dell’ascissa di due suoi punti.
13Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Appendiamo a una molla masse
diverse, misuriamo l’allungamento ogni
volta e costruiamo tabella e grafico.
- Per interpolazione troviamo le
coordinate di punti intermedi
14Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
coordinate di punti intermedi
- Per estrapolazione troviamo le
coordinate di punti esterni
all’intervallo della tabella.
Il significato fisico dei valori ottenuti
deve essere verificato.
Lezione 2 - I grafici cartesiani
Il risultato della misura di una grandezza è affetto da errore.
L’incertezza di un punto del grafico è rappresentata da un rettangolo ;
i lati del rettangolo sono pari agli errori assoluti sulle due variabili.
15Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
Il legame più semplice fra due grandezze variabili è quello di
Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali
16Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
grandezze variabili è quello di diretta proporzionalità
Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali
Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se
al raddoppiare di x anche y raddoppia, al triplicare di x
anche y triplica e così via.– Il lato e il perimetro di un quadrato sono grandezze direttamente
17Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
proporzionali
– la massa e il volume di una sostanza sono grandezze direttamente
proporzionali.
Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali
Se y e x sono variabili direttamente proporzionali , il loro
rapporto è costante:
18Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
k è la costante di proporzionalità.
-La formula rappresenta tutte le possibili coppie di valori delle variabili,
ad esclusione della coppia (0; 0)
Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali
Grafico di variabili direttamente
proporzionali : punti allineati con
l’origine degli assi.
La curva corrispondente è una retta
19Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
La curva corrispondente è una retta
passante per l’origine .
In molti fenomeni, le grandezze fisiche sono legate da relazioni
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
20Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
fisiche sono legate da relazioni che non sono di diretta
proporzionalità
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Se y e x sono variabili correlate linearmente , la funzione
che descrive la correlazione è del tipo:
21Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
a è b rappresentano dei valori costanti
- Se si prende un recipiente già parzialmente pieno e lo si riempie
con un rubinetto a portata costante, la quantità d’acqua q nel
recipiente e il tempo t sono grandezze correlate linearmente.
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Grafico di variabili correlate
linearmente : punti allineati tra loro ma
non con l’origine degli assi.
La curva corrispondente è una retta
22Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
La curva corrispondente è una retta
non passante per l’origine .
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Se y e x sono variabili legate da proporzionalità
quadratica , vale una formula del tipo:
23Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
a rappresenta una costante
- L’area e il raggio di un cerchio sono legate da proporzionalità
quadratica. Al raddoppiare del raggio l’area diventa 4 volte più
grande, al triplicare del raggio l’area diventa 9 volte più grande …
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Grafico di variabili legate da
proporzionalità quadratica:
una particolare curva detta
parabola .
24Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Se y e x sono variabili inversamente proporzionali , il loro
prodotto si mantiene costante. Vale una formula del tipo:
25Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
k rappresenta una costante
- In una bilancia a bracci uguali, se la massa su un braccio è fissa, la
massa equilibrante e la sua distanza dal fulcro sono inversamente
proporzionali: se la massa raddoppia, la distanza dimezza, …
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Grafico che rappresenta due
variabili inversamente
proporzionali: una particolare
curva detta iperbole .
26Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Se y e x sono variabili legate da proporzionalità inversa
quadratica , vale una formula del tipo:
27Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
k rappresenta una costante
- y è inversamente proporzionale al quadrato di x
- Prismi a base quadrata di uguale volume (equivalenti) hanno lato di
base e altezza legati da proporzionalità inversa quadratica.
Lezione 4 - Altre relazioni matematiche
Il grafico di variabili legate da
proporzionalità inversa
quadratica ha la forma
rappresentata in figura.
28Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni
Rappresentazione di fenomeni fisiciRappresentazione di fenomeni fisici
Mediante tabellaMediante tabella
Proporzionalità direttaProporzionalità diretta
Mediante formulaMediante formulaMediante graficoMediante grafico
29Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011
Correlazione lineareCorrelazione lineare
Proporzionalità inversaProporzionalità inversa
Proporzionalità quadraticaProporzionalità quadratica
Proporzionalità inversa quadratica
Proporzionalità inversa quadratica