grafici proporzionalità

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Giuseppe Ruffo Fisica: lezioni e problemi problemi

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Giuseppe Ruffo

Fisica: lezioni e problemiproblemi

Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni

1. Le rappresentazioni di un fenomeno2. I grafici cartesiani3. Le grandezze direttamente proporzionali4. Altre relazioni matematiche

2Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011

4. Altre relazioni matematiche

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Un fenomeno può essere rappresentato con una tabella, con

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rappresentato con una tabella, con un grafico o con una formula

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Fenomeno : un recipiente viene riempito da un rubinetto

da cui esce un flusso d’acqua costante.

Fenomeno : un recipiente viene riempito da un rubinetto

da cui esce un flusso d’acqua costante

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Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Rappresentazione del fenomeno mediante tabella : la

quantità di acqua accumulata nel recipiente dipende

dall’intervallo di tempo trascorso.

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Il flusso d’acqua del rubinetto è costante– Ogni minuto dal rubinetto escono 2 litri d’acqua

– Ogni minuto la quantità d’acqua nel recipiente cresce di 2 litri

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Rappresentazione del fenomeno mediante formula :

q = 2 · tt : tempo trascorso.– variabile indipendente ; unità di misura: minuti

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q : quantità d’acqua accumulata.– variabile dipendente ; unità di misura: litri

2 : portata d’acqua del rubinetto.– costante ; unità di misura: litri/minuto

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Rappresentazione del fenomeno mediante grafico

Asse orizzontale (ascisse)

– variabile indipendente t

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Asse verticale (ordinate)

– variabile dipendente q

A ogni punto del grafico corrisponde

una coppia di valori della tabella

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Tabella : conoscenza del fenomeno limitata ad alcuni

intervalli di tempo.

Grafico : visione sintetica e immediata del fenomeno.

Formula : rappresentazione più astratta ma più completa

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Le formule hanno validità generale; uno stesso tipo di

formula si può applicare a fenomeni fisici molto diversi:– Legame matematico tra le variabili: è possibile calcolare la

quantità d’acqua accumulata in un istante qualsiasi.

(variabile dipendente) = (costante) × (variabile indipendente)

La rappresentazione grafica è un potente strumento matematico per

Lezione 2 - I grafici cartesiani

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potente strumento matematico per rappresentare due grandezze relative allo stesso fenomeno

Lezione 2 - I grafici cartesiani

I grafici cartesiani permettono di visualizzare la relazione

tra due grandezze fisiche.

Per tracciare un grafico cartesiano occorre:

-Tracciare gli assi, cioè due rette

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-Tracciare gli assi, cioè due rette

perpendicolari, fissando il verso di

percorrenza

-Associare a ogni asse una grandezza e

un’unità di misura

-Scegliere la scala per ciascun asse

Lezione 2 - I grafici cartesiani

Ogni coppia di valori della tabella individua un punto .

Uniamo i punti con una linea per visualizzare l’andamento .

In un grafico che

rappresenta una

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rappresenta una

tabella di dati, l’unità

di misura e la scala

associate ai due

assi sono

indipendenti tra loro.

Lezione 2 - I grafici cartesiani

Grafico di una funzione espressa da una formula.

y = 2x2

- Si costruisce una tabella di punti

- Si rappresentano i punti nel grafico

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- Si rappresentano i punti nel grafico

In questo caso non si associano grandezze e

unità di misura agli assi cartesiani

Lezione 2 - I grafici cartesiani

La pendenza di una retta è il rapporto tra variazione

dell’ordinata e incremento dell’ascissa di due suoi punti.

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Lezione 2 - I grafici cartesiani

Appendiamo a una molla masse

diverse, misuriamo l’allungamento ogni

volta e costruiamo tabella e grafico.

- Per interpolazione troviamo le

coordinate di punti intermedi

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coordinate di punti intermedi

- Per estrapolazione troviamo le

coordinate di punti esterni

all’intervallo della tabella.

Il significato fisico dei valori ottenuti

deve essere verificato.

Lezione 2 - I grafici cartesiani

Il risultato della misura di una grandezza è affetto da errore.

L’incertezza di un punto del grafico è rappresentata da un rettangolo ;

i lati del rettangolo sono pari agli errori assoluti sulle due variabili.

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Il legame più semplice fra due grandezze variabili è quello di

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali

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grandezze variabili è quello di diretta proporzionalità

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali

Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se

al raddoppiare di x anche y raddoppia, al triplicare di x

anche y triplica e così via.– Il lato e il perimetro di un quadrato sono grandezze direttamente

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proporzionali

– la massa e il volume di una sostanza sono grandezze direttamente

proporzionali.

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali

Se y e x sono variabili direttamente proporzionali , il loro

rapporto è costante:

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k è la costante di proporzionalità.

-La formula rappresenta tutte le possibili coppie di valori delle variabili,

ad esclusione della coppia (0; 0)

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali

Grafico di variabili direttamente

proporzionali : punti allineati con

l’origine degli assi.

La curva corrispondente è una retta

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La curva corrispondente è una retta

passante per l’origine .

In molti fenomeni, le grandezze fisiche sono legate da relazioni

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

20Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011

fisiche sono legate da relazioni che non sono di diretta

proporzionalità

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Se y e x sono variabili correlate linearmente , la funzione

che descrive la correlazione è del tipo:

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a è b rappresentano dei valori costanti

- Se si prende un recipiente già parzialmente pieno e lo si riempie

con un rubinetto a portata costante, la quantità d’acqua q nel

recipiente e il tempo t sono grandezze correlate linearmente.

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Grafico di variabili correlate

linearmente : punti allineati tra loro ma

non con l’origine degli assi.

La curva corrispondente è una retta

22Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011

La curva corrispondente è una retta

non passante per l’origine .

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Se y e x sono variabili legate da proporzionalità

quadratica , vale una formula del tipo:

23Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011

a rappresenta una costante

- L’area e il raggio di un cerchio sono legate da proporzionalità

quadratica. Al raddoppiare del raggio l’area diventa 4 volte più

grande, al triplicare del raggio l’area diventa 9 volte più grande …

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Grafico di variabili legate da

proporzionalità quadratica:

una particolare curva detta

parabola .

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Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Se y e x sono variabili inversamente proporzionali , il loro

prodotto si mantiene costante. Vale una formula del tipo:

25Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011

k rappresenta una costante

- In una bilancia a bracci uguali, se la massa su un braccio è fissa, la

massa equilibrante e la sua distanza dal fulcro sono inversamente

proporzionali: se la massa raddoppia, la distanza dimezza, …

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Grafico che rappresenta due

variabili inversamente

proporzionali: una particolare

curva detta iperbole .

26Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Se y e x sono variabili legate da proporzionalità inversa

quadratica , vale una formula del tipo:

27Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011

k rappresenta una costante

- y è inversamente proporzionale al quadrato di x

- Prismi a base quadrata di uguale volume (equivalenti) hanno lato di

base e altezza legati da proporzionalità inversa quadratica.

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Il grafico di variabili legate da

proporzionalità inversa

quadratica ha la forma

rappresentata in figura.

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Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni

Rappresentazione di fenomeni fisiciRappresentazione di fenomeni fisici

Mediante tabellaMediante tabella

Proporzionalità direttaProporzionalità diretta

Mediante formulaMediante formulaMediante graficoMediante grafico

29Giuseppe Ruffo, Fisica: lezioni e problemi - Edizione azzurra © Zanichelli editore 2011

Correlazione lineareCorrelazione lineare

Proporzionalità inversaProporzionalità inversa

Proporzionalità quadraticaProporzionalità quadratica

Proporzionalità inversa quadratica

Proporzionalità inversa quadratica