La probabilità nei giochi matematici Frascati 16 ottobre 2011 Nando Geronimi Centro Pristem Bocconi...

La probabilità nei giochi matematici

Frascati 16 ottobre 2011

Nando Geronimi

Centro Pristem Bocconi

FRASCATI, 16 ottobre 2011

Il primo problema

Il cavaliere de Méré propose a Pascal il seguene problema:“E’ più facile vincere se si scommette che lanciando 4 volte 1 dado si presenti almeno una volta il 6, oppure se si scommette che lanciando 24 volte 2 dadi si presenti almeno una volta il doppio 6?”

Calcolo di de Méré:Il rapporto tra il numero dei lanci (4 o 24) e il numero dei casi possibili (6 o 36) è lo stesso: 4:6=24:36.Sembra che le due probabilità sia uguali.

Calcolo di Pascal:E1: esca almeno una volta il 6 in 4 lanci” E2: esca almeno una volta il doppio 6 in 24 lanci”.P(E1)=1- (5/6)4= 0,5177…P(E2)=1-(35/36)24 = 0,4914…


1/6+1/6+1/6+1/6=4/6=2/3

(1/6x1/6)+(1/6x1/6)+ ……=24x(1/36)=24/36=2/3

Il triangolo ottusangolo

In un piano sono dati tre punti non allineati.Calcolare la probabilità che i tre punti siano vertici di un

triangolo ottusangolo. (Lewis Carrol)



Chiamiamo con AB il segmento maggiore.Tracciamo gli archi R1 e R2 aventi centro rispettivamente in A e in B, e raggio AB; chiamiamo con P il loro punto di intersezione. Il terzo punto C si trova nella regione di piano compresa tra il segmento AB e gli archi AP e BP.

A B

P

C1

C2


Tracciamo un semicerchio di diametro AB. I segmenti AC e BC sono gli altri due lati di un triangolo. Se il punto C è interno al semicerchio il triangolo è ottusangolo.


La probabilità richiesta è il rapporto tra l’area del semicerchio e l’area della regione di piano individuata dal segmento AB e dai due archi AP e BP.

A B

P

C

Indipendentemente dall’unità di misura, la probabilità è: p=(π/2)/((4π/3)-√3) = 0,639…


Le sfere multicolori

Un’urna contiene sfere di quattro colori: rosso, bianco, azzurro e verde. Estraendo contemporaneamente 4 sfere a caso, i seguenti eventi sono tutti ugualmente possibili:

(a) 4 sfere rosse(b) 1 sfera bianca e 3 rosse(c) 1sfera bianca, 1 azzurra e 2 rosse(d) 4 sfere di colori diversi.

Quante sfere ci sono al minimo nell’urna?

Indichiamo con r, b ,a,v il numero di sfere di ogni colore, per un totale di r+b+a+v= n sfere.Il numero di casi possibili è:

Il numero di casi favorevoli per ogni estrazione è:a) = rx(r-1)x(r-2)x(r-3)/24

b) =bxrx(r-1)x(r-2))/6

c) =bxaxrx(r-1))/2

d) =bxaxrxv

I quattro prodotti devono essere uguali tra loro


Le sfere multicoloriDa a) e b) si ricava b=(r-3)/4Da b) e c) si ricava a= (r-2)/3Da c) e d) si ricava v= (r-1)/2

Indichiamo con r, b ,a,v il numero di sfere di ogni colore, per un totale di r+b+a+v= n sfere.Il numero di casi possibili è: .


Il numero di casi favorevoli per ogni estrazione è:a) = rx(r-1)x(r-2)x(r-3)/24

b) =bxrx(r-1)x(r-2))/6

c) =bxaxrx(r-1))/2

d) =bxaxrxv

I quattro prodotti devono essere uguali tra loro

Qual è il più piccolo numero che diviso per 4 dà resto 3, diviso per 3 dà resto 2 e diviso per 2 da resto 1?

E’ il m.c.m tra2, 3 e 4, diminuito di 1, cioè 11. Da cui:n=21 r=11 b=2 a=3 v=5

La mancia e gli scacchi“Papà mi regali 10 Euro?”

Sapendo che Paolo, nel gioco degli scacchi è più debole del padre ma più forte della madre, quale sarà la sua scelta nell’ordine delle partite per avere la maggiore probabilità di guadagnarsi i 10 Euro?

“No Paolo, devi guadagnarteli! Facciamo tre partite a scacchi, contro di me e contro tua madre. Puoi scegliere l’ordine delle partite tra: padre-madre-padre oppure madre-padre-madre. Se vinci almeno due partite consecutive ti sarai guadagnato i 10 Euro”.


La mancia e gli scacchi

Facciamo una simulazione.Indichiamo con p la probabilità di vincere contro il padre e con q la probabilità di vincere contro la madre. Supponiamo che le due probabilità siano rispettivamente: p=0,20 e q=0,70.La probabilità totale di guadagnare 10 Euro è:

Nel caso madre-padre-madre:qxpxq = 0,7x0,2x0,7=0,098qxpx(1-q) = 0,7x0,2x0,3 =0,042(1-q)xpxq = 0,3x0,2x0,7 =0,042La probabilità totale è: 0,182

Nel caso padre-madre-padre:pxqxp = 0,2x0,7x0,2 = 0,028pxqx(1-p) = 0,2x0,7x0,8 = 0,112(1-p)xqxp = 0,8x0,7x0,2 = 0,112La probabilità totale è: 0,252


4-La mancia e gli scacchi

Generalizziamo:indichiamo con p la probabilità di vincere contro il padre e con q la probabilità di vincere contro la madre. La probabilità totale di guadagnare 10 Euro è:

Nel caso madre-padre-madre:qxpxq = q2xpqxpx(1-q) = pxq- q2xp(1-q)xpxq = pxq- q2xpLa probabilità totale è: 2xpxq- q2xp

Nel caso padre-madre-padre:pxqxp = p2xqpxqx(1-p) = pxq- p2xq(1-p)xqxp = pxq- p2xqLa probabilità totale è: 2xpxq- p2xq

Dal confronto dei risultati si ha:2xpxq- p2xq > 2xpxq- q2xp infatti:- p2xq > - q2xp o q2xp > p2xq perché q>p

Paolo ha una maggiore probabilità di avere 10 Euro giocando in successione con

Padre - Madre - Padre


Il dado irregolareIn un dado irregolare la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore.

Calcolare la probabilità di ciascuna faccia.

p(1) = 1/21 p(2) = 2/21 p(3) = 3/21 p(4) = 4/21 p(5) = 5/21 p(6) = 6/21


Il dado irregolareSi lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore).

Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi?

Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti una certa faccia è direttamente proporzionale al suo valore).Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi?

1 2 3 4 5 61/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21

1 1/21

2 2/21

3 3/21

4 4/21

5 5/21

6 6/21

Il dado irregolare


1 2 3 4 5 61/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21

1 1/21 2:1/441 3:2/441 4:3/441 5:4/441 6:5/441 7:6/441

2 2/21 3:2/441 4:4/441 5:6/441 6:8/441 7:10/441 8:12/441

3 3/21 4:3/441 5:6/441 6:9/441 7:12/441 8:15/441 9:18/441

4 4/21 5:4/441 6:8/441 7:12/441 8:16/441 9:20/441 10:24/441

5 5/21 6:5/441 7:10/441 8:15/441 9:20/441 10:25/441 11:30/441

6 6/21 7:6/441 8:12/441 9:18/441 10:24/441 11:30/441 12:24/441

Il dado irregolare



1 2 3 4 5 61/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21

1 1/21 2:1/441 3:2/441 4:3/441 5:4/441 6:5/441 7:6/441

2 2/21 3:2/441 4:4/441 5:6/441 6:8/441 7:10/441 8:12/441

3 3/21 4:3/441 5:6/441 6:9/441 7:12/441 8:15/441 9:18/441

4 4/21 5:4/441 6:8/441 7:12/441 8:16/441 9:20/441 10:24/441

5 5/21 6:5/441 7:10/441 8:15/441 9:20/441 10:25/441 11:30/441

6 6/21 7:6/441 8:12/441 9:18/441 10:24/441 11:30/441 12:24/441

Il dado irregolare

Somma 8: 70/441 Somma 9: 76/441 Somma 10: 73/441


“Ho un asso!”Alice sta giocando a bridge, dopo aver guardato le proprie carte annuncia: “Ho un asso!”.

5359/14498, meno di 1/2

Qual è la probabilità che Alice abbia un secondo asse?


“Ho un asso di quadri!”

Bob sta giocando a bridge, dopo aver guardato le proprie carte annuncia: “Ho un asso di quadri!”

11686/20825, più di 1/2

Qual è la probabilità che Bob abbia un secondo asse?


7/a “Ho un asso!”Alice e Bob stanno giocando con un mazzo di quattro carte: asso di picche (1♠), asso di quadri (1♦), due di fiori (2♣) e cinque di cuori (5♥). Ognuno riceve due carte. Dopo aver guardato le proprie, Alice annuncia: “Ho un asso!”

Qual è la probabilità che Alice abbia un secondo asse?

Probabilità:1/5

1♠-1♦ 5♥-2♣

1♦-2♣ 5♥-1♠

1♠-2♣ 5♥-1♦

1♦-5♥ 2♣-1♠

1♠-5♥ 2♣-1♦

ALICE BOB


7/a “Ho un asso quadri!”Alice e Bob stanno giocando con un mazzo di quattro carte: asso di picche (1♠), asso di quadri (1♦), due di fiori (2♣) e cinque di cuori (5♥). Ognuno riceve due carte. Dopo aver guardato le proprie, Bob annuncia. “Ho un asso di quadri!”.Qual è la probabilità che Bob abbia un secondo asse?

Probabilità:1/3

1♠-1♦ 5♥-2♣

1♦-2♣ 5♥-1♠

1♠-2♣ 5♥-1♦

1♦-5♥ 2♣-1♠

1♠-5♥ 2♣-1♦

BOB ALICE


Un problema di Laplace Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche.Si estrae una pallina dall’urna C.

Se si ignora quale urna contenga le palle nere, la probabilità di estrarre una palla nera dall’urna C è 1/3.

A B C

Qual è la probabilità che sia nera?


Un problema di LaplaceDelle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche.Si estrae una pallina dall’urna C.

Se si sa che l’urna A contiene solo palle bianche, la probabilità di estrare una palla nera dall’urna C è 1/2.

A B C



Un problema di Laplace (1814

Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre due contengano solo palline bianche.Si estrae una pallina dall’urna C.

Se si sa che le urne A a e B contengono solo palle bianche, si ha la certezza che la palla estratta dall’urna C è nera.

A B C



Un problema di Lewis Carroll (1897)

Un amico mi presenta un sacco che contiene quattro gettoni, ognuno dei gettoni può essere bianco (B) o nero (N). Mi invita ad estrarre due gettoni: sono entrambi bianchi.Poi mi dice: “Volevo dirti, prima di farti estrarre i gettoni, che almeno uno è bianco. Ma ora già lo sai, non ho più bisogno di dirtelo. Prendi ora un altro gettone”

1) Qual è la probabilità di estrarre il terzo gettone bianco?

2) Quale sarebbe la probabilità se mi avesse detto prima del gettone bianco?


E: “prima estrazione due gettoni bianchi”F: “seconda estrazione un gettone bianco”

1–11-2-1

1-3-3-11-4-6-4-1

1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 P(E) = 1x1/16 + 1/2 x 4/16 + 1/6 x 6/16 + 0 x 4/16 + 0 x 1/16 = 1/4

P(E∩F) = 1x1/16 + 1/4 x 4/16 + 0 x 6/16 + 0 x 4/16 + 0 x 1/16 = 1/8 P(F/E) = P(E∩F/E) = (1/8) / (1/4) = 1/2



1 1/2 0

E: “prima estrazione due gettoni bianchi”F: “seconda estrazione un gettone bianco”

1–11-2-1

1-3-3-11-4-6-4-1

1/16 1/8 4/16 3/8 6/16 3/8 4/16 1/8

P(E) = 1x1/8 + 1/2 x 3/8 + 1/6 x 3/8 + 0 x 1/8 = 3/8

P(E∩F) = 1x1/8 + 1/4 x 3/8 + 0 x 3/8 + 0 x 1/8 = 7/32

P(F/E) = P(E∩F/E) = (7/32) / (3/8) = 7/12



La lettera attesaSono in vacanza e aspetto notizie da due amici che si soggiornano entrambi in provincia di Trento uno a BONDONE, l’altro a CONDINO.Ricevo una lettera da quella provincia, del il timbro postale riesco a leggere solo le due lettere consecutive ON, tutto il resto è completamente invisibile.

Qual è la probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO?


La lettera attesaSono in vacanza e aspetto notizie da due amici che si soggiornano entrambi in provincia di Trento uno a BONDONE, l’altro a CONDINO.Ricevo una lettera da quella provincia, dal timbro postale riesco a leggere solo le due lettere consecutive ON, tutto il resto è completamente invisibile. Qual è la probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO?

Entrambe le località sono nomi formati da sette lettere; in ognuna si possono avere 6 coppie di lettere consecutive:BO – ON – ND – DO – ON - NECO - ON – ND - DI – IN - NO

La probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da CONDINO è 1/3


QUADRATILANDIASono in visita a Quadratilandia. Parto da un incrocio e vado verso Nord (vedi la figura). Ad ogni incrocio lancio una moneta: se viene Testa giro a destra, se viene Croce giro a sinistra.

Qual è la probabiltà che dopo aver lanciato 7 volte la moneta e percorso 8 tratti, mi ritrova nell’incrocio da cui sono partito?


Indichiamo con +i uno spostamento unitario verso Nord, con –i uno spostamento unitario verso Sud, con +1 uno spostamento unitario verso Est e con -1 uno spostamento unitario verso Ovest.

Gli otto possibili spostamenti unitari sono, nell’ordine:+i, ±1, ±i, ±1, ±i, ±1, ±i, ±1.

Si fa ritorno al punto di partenza se la somma degli otto movimenti è 0.

La somma dei diversi i (+i, ±i, ±i, ±i) si può scrivere in 23=8 modi diversi e 3 di questi hanno somma 0: (+i, +i, -i, -i) (+i, -i, +i, -i) (+i, -i, -i, +i)

La somma dei diversi 1 (±1, ±1, ±1, ±1) si può scrivere in 24 =16 modi diversi e 6 di questi hanno somma 0: (+1, +1, -1, -1) (+1, -1, +1, -1) (+1, -1, -1, +1) (-1, +1, +1, -1) (-1, +1, -1, +1) (-1, -1, +1, +1)

La probabilità che mi ritrova al punto di partenza è 3/8 x 6/16 = 9/64

QUADRATILANDIA


Le scelte di Ali-BabaIl sultano disse ad Ali-Baba: “Ecco due urne, 13 palline bianche e 13 palline nere. Ripartisci tu le palline nelle due urne, io poi farò in modo di renderle indistinguibili tra loro. Tu prenderai una sola pallina da una delle due urne; se la pallina sarà bianca, tu sarai libero, altrimenti sarai impiccato”.

Ali-Baba ripartisce le 26 palline in modo da massimizzare la probabilità di salvarsi.

Quale probabilità ha Ali-Baba di salvarsi?


Il sultano disse ad Ali-Baba: “Ecco due urne, 13 palline bianche e 13 palline nere. Ripartisci tu le palline nelle due urne, io poi farò in modo di renderle indistinguibili tra loro. Tu prenderai una sola pallina da una delle due urne; se la pallina sarà bianca, tu sarai libero, altrimenti sarai impiccato”.

Ali-Baba ripartisce le 26 palline in modo da massimizzare la probabilità di salvarsi.

Quale probabilità ha Ali-Baba di salvarsi?

(1/2)x1 + (1/2)x12/25 = 27/50

Le scelte di Ali-Baba


Triangoli Ci sono cinque segmenti lunghi rispettivamente 2,4,6,8,10 cm.Scegliendo a caso tre segmenti, che probabilità abbiamo di poter costruire un triangolo?

Le terne possibili sono 1Solo le terne (4,6,8) – (4,8,10) – (6,8,10) soddisfano la condizione per costruire un triangolo.

La probabilità è 3/10


Divisori M è un numero intero che ha la proprietà che se scegliamo a caso un numero x dall’insieme dei primi 1000 numeri interi positivi, la probabilità che x sia un divisore di M è 1/100.Se M≤1000, trovare il massimo valore che può assumere.

Il numero deve avere esattamente 10 divisori, la sua scomposizione in fattori primi deve essere tale che abbia due soli fattori, uno con eponente 4 e l’altro con esponente 1.

M=976

Il fattore elevato alla quarta potenza deve essere < 5 perché 54=625 (che dovremmo poi moltiplicare per il secondo fattore primo).Restano due soli casi possibili: 24 x61=976 (24 x 67=1072)34 x11=891 (34 x13=1053)


Bob è stato invitato ad una serata a casa di Alice, una amica matematica.Quando Bob arriva alla festa, Alice lo accoglie calorosamente con queste parole: “Grazie al tuo arrivo, ora siamo in numero sufficiente affinchè la probabilità che almeno due dei presenti festeggino il loro compleanno nello stesso giorno è maggiore di ½, escludendo naturalmente il caso che uno sia nato il 29 febbraio”.

Qual è la probabiltà che almeno uno dei presenti festeggi il compleanno nello stesso giorno di Bob?


La data di compleanno


Probabilità che due persone non siano nate nello stesso giorno:

364/365

Probabilità che tre persone non siano nate nello stesso giorno:

364/365 x 363/365

Probabilità che quattro persone non siano nate nello stesso giorno:

364/365 x 363/365 x 362/365




NUMERO DI AMICI ULTIMO FATTORE PRODOTTI SUCCESIVI POTENZE DI 365 PROBABILITA’ DATA DIVERSA PERCENTUALE DATA UGUALE1 364 364 365 0,99726 0,2739732 363 132132 133225 0,991796 0,8204173 362 47831784 48627125 0,983644 1,6355914 361 17267274024 1,77E+10 0,972864 2,7135575 360 6,21622E+12 6,48E+12 0,959538 4,0462486 359 2,23162E+15 2,36E+15 0,943764 5,623577 358 7,98921E+17 8,63E+17 0,925665 7,4335298 357 2,85215E+20 3,15E+20 0,905376 9,4623839 356 1,01536E+23 1,15E+23 0,883052 11,69482

10 355 3,60454E+25 4,2E+25 0,858859 14,1141411 354 1,27601E+28 1,53E+28 0,832975 16,7024812 353 4,50431E+30 5,59E+30 0,80559 19,4410313 352 1,58552E+33 2,04E+33 0,776897 22,3102514 351 5,56517E+35 7,45E+35 0,747099 25,2901315 350 1,94781E+38 2,72E+38 0,716396 28,360416 349 6,79785E+40 9,92E+40 0,684992 31,5007717 348 2,36565E+43 3,62E+43 0,653089 34,6911418 347 8,20881E+45 1,32E+46 0,620881 37,9118519 346 2,84025E+48 4,83E+48 0,588562 41,1438420 345 9,79886E+50 1,76E+51 0,556312 44,3688321 344 3,37081E+53 6,43E+53 0,524305 47,5695322 343 1,15619E+56 2,35E+56 0,492703 50,7297223 342 3,95416E+58 8,57E+58 0,461656 53,8344324 341 1,34837E+61 3,13E+61 0,4313 56,8699725 340 4,58445E+63 1,14E+64 0,401759 59,8240826 339 1,55413E+66 4,16E+66 0,373141 62,6859327 338 5,25296E+68 1,52E+69 0,345539 65,4461528 337 1,77025E+71 5,55E+71 0,319031 68,0968529 336 5,94803E+73 2,03E+74 0,293684 70,6316230 335 1,99259E+76 7,39E+76 0,269545 73,0454631 334 6,65525E+78 2,7E+79 0,246652 75,3347532 333 2,2162E+81 9,85E+81 0,225028 77,4971933 332 7,35778E+83 3,59E+84 0,204683 79,5316934 331 2,43542E+86 1,31E+87 0,185617 81,4383235 330 8,0369E+88 4,79E+89 0,167818 83,2182136 329 2,64414E+91 1,75E+92 0,151266 84,873437 328 8,67278E+93 6,38E+94 0,135932 86,4067838 327 2,836E+96 2,33E+97 0,12178 87,8219739 326 9,24536E+98 8,5E+99 0,108768 89,1231840 325 3,0047E+101 3,1E+102 0,096848 90,3151641 324 9,7354E+103 1,1E+105 0,08597 91,4030542 323 3,1445E+106 4,1E+107 0,076077 92,3922943 322 1,0125E+109 1,5E+110 0,067115 93,2885444 321 3,2502E+111 5,5E+112 0,059024 94,0975945 320 1,0401E+114 2E+115 0,051747 94,8252846 319 3,3178E+116 7,3E+117 0,045226 95,4774447 318 1,0551E+119 2,7E+120 0,039402 96,059848 317 3,3446E+121 9,8E+122 0,03422 96,5779649 316 1,0569E+124 3,6E+125 0,029626 97,0373650 315 3,3292E+126 1,3E+128 0,025568 97,443251 314 1,0454E+129 4,8E+130 0,021995 97,8004552 313 3,272E+131 1,7E+133 0,018862 98,1138153 312 1,0209E+134 6,3E+135 0,016123 98,387754 311 3,1749E+136 2,3E+138 0,013738 98,6262355 310 9,8422E+138 8,4E+140 0,011668 98,8332456 309 3,0412E+141 3,1E+143 0,009878 99,0122557 308 9,367E+143 1,1E+146 0,008335 99,166558 307 2,8757E+146 4,1E+148 0,007011 99,2989459 306 8,7995E+148 1,5E+151 0,005877 99,4122760 305 2,6839E+151 5,5E+153 0,004911 99,5088861 304 8,1589E+153 2E+156 0,00409 99,5909662 303 2,4722E+156 7,3E+158 0,003396 99,6604463 302 7,4659E+158 2,7E+161 0,00281 99,7190564 301 2,2472E+161 9,7E+163 0,002317 99,76831

Scegliendo a caso 24persone quale ritenete sia la probabilità che due o più di esse abbiano lo stesso giorno di nascita?


1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 290

10

20

30

40

50

60

70

80


La suddivisione dei bastoni

Se rompiamo un’infinità di bastoni, qual è la probabilità che almeno uno sia rotto esattamente a metà?(Lewis Carrol)

Immaginiamo di dividere ogni bastone in (n+1) parti con n numero dispari e che gli n punti abbiano tutti la stessa probabilità di essere punto di rottura.


La suddivisione dei bastoni

La probabilità che 1 bastone non sia diviso nel suo punto centrale è (n-1)/n.La probabilità che con n bastoni nessuno sia diviso nel suo centro è ((n-1)/n)^n = (1-1/n)^n.

La probabiltà che con n bastoni almeno uno sia diviso al suo centro è: 1- (1-1/n)^n.Al tendere di n all’inifnito si ha:lim (n→ ∞) (1- (1-1/n)^n) = 1- 1/e ≈ 0,632


Il paradosso di Pietroburgo

Si lancia una moneta da 1 centesimo. Se viene testa il lanciatore paga 1 dollaro all’avversario; se viene croce il lancio viene ripetuto e se ora viene testa il lanciatore paga 2 dollari. Se viene croce si ripete il lancio e se viene testa il lanciatore paga 4 dollari. In breve, la posta viene raddoppiata ad ogni lancio e si continua sinchè non viene richiesto il pagamento.

Quanto dovrebbe mettere di posta l’avversario per avere il privilegio di giocare a questo gioco? L’avversario ha sempre il diritto di scegliere se iniziare una nuova partita o di finire il gioco. (Daniel Bernoulli)

1$T

C

TC 2$

TC 4$

TC 8$


Il paradosso di PietroburgoQualsiasi somma, diciamo pure un milione di dollari per ogni singola partita.

In ogni singola partita si ha la probabilità:½ di vincere 1 $¼ di vincere 2 $1/8 di vincere 4$…….

La vincita totale prevedibile è.(1x1/2)+(2x1/4)+(4x1/8)….. La somma di questa serie illimitata è infinita

Qualsiasi somma pagasse in anticpito per ogni singola partita l’avversario vincerebbe alla fine giocando un sufficiente numero di partite.

Si suppone che si disponga di un capitale illimitato e che si possa giocare un numero illimitato di partite.

1$T

C

TC

TC

TC



Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( ) oppure nero ( ).Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero ( + ).Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- - ) e uno è nero ( - )

Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi?

Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+ ) e si estrae un gettone: anche questo è bianco (- ).



Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( ) oppure nero ( ).Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero ( + ).Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- - ) e uno è nero ( - )

Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi?

? ? ?

Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+ ) e si estrae un gettone: anche questo è bianco (- ).

± ± ±


La probabilità nei giochi matematici Frascati 16 ottobre 2011 Nando Geronimi Centro Pristem Bocconi...

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