di Matteo Puzzle

Lautore grato a chiunque voglia segnalare eventuali imprecisioni, riportate in questo documento, o soluzioni alternative ai quesiti proposti; sono graditi commenti, suggerimenti e giudizi critici. Il presente documento pu essere copiato, fotocopiato, riprodotto, a patto che non venga altera lintegrit, la propriet dellautore e il contenuto stesso. Lautore non potr essere ritenuto responsabile per il contenuto e l'utilizzo del presente documento, declinandone ogni responsabilit.

PROPRIETA Matteo PuzzleVERSIONE FILE 2.3 DATA DI CREAZIONE 27 Luglio 2004 ULTIMA MODIFICA 20 Ottobre 2004 ESTENSIONE FILE .pdf

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PREMESSA La matematica considerata dagli scienziati la regina delle scienze poich lunico e valido strumento per indagare, spiegare e capire ci che succede nella realt, sia microscopica (ad esempio latomo e le particelle che lo compongono), sia macroscopica (come il cosmo e i pianeti). Non esisterebbero le branche della scienza (fisica, chimica e biologia) e lingegneria (applicazione della scienza) se lumanit non avesse sviluppato, nel corso dei secoli, le strutture matematiche (assiomi, teoremi e dimostrazioni) che oggi permettono ad un computer di funzionare o ad un treno di partire in orario; ci non deve far pensare che la ricerca matematica sia conclusa, anzi, vero il contrario: gli studi nei vari settori (mi si permetta questo termine) della matematica proseguono, e in questo lungo e infinito cammino si aprono nuove porte che conducono ad altrettanti nuovi settori di indagine spesso completamente sconosciuti. A dimostrazione di quanto affermo, a titolo desempio, sufficiente pensare ai frattali, la cui recente scoperta (anni 70) da parte di Mandelbrot , ha introdotto un immenso e ignoto campo di indagine di cui difficile, se non impossibile, vederne i confini. Purtroppo nella societ in cui viviamo, la matematica (aritmetica, algebra, geometria, calcolo infinitesimale etc) relegata a poche ore settimanali nelle scuole medie e pochissime ore nelle scuole superiori, e come aggravante, spesso insegnata da persone che non hanno una idonea e valida preparazione in matematica. Quindi lo studente, nella maggior parte dei casi, vive la matematica tra i banchi di scuola come un mattone indigesto di cui non ne comprende lutilit, e si trascina cos preoccupanti lacune alluniversit e per tutta la vita, rimanendo convinto che la matematica non serva fondamentalmente a nulla se non a turbare la propria vita; ignorando magari che il telefonino cellulare, di cui sicuramente un geloso possessore, stato inventato grazie alla matematica, poich il fenomeno dellelettromagnetismo, che ci permette anche di fare una telefonata, descritto dalle equazioni di Maxwell. E essenziale sottolineare ulteriormente limportanza della matematica nel fare Scienza, e nelladempiere a questo compito necessario richiamare allattenzione il metodo galileiano, utilizzato in tutti i laboratori e centri ricerca del mondo. In breve, tale metodo, proposto da Galileo Galilei (insieme con di Isaac Newton sono considerati i padri della scienza moderna) prevede losservazione di un fenomeno (fisico, chimico, biologico etc) la successiva riproducibilit in laboratorio e lo sviluppo di un modello matematico che lo descriva; quindi la matematica ha un ruolo centrale nel produrre la conoscenza della realt, senza la matematica non possibile dimostrare o smentire ipotesi scientifiche e quindi far fare un passo in avanti allumanit. Sullimportanza della matematica se ne potrebbe discutere ancora per molto, ma mi fermer qui, e citer come esempio conclusivo ricordando che uno strumento valido, utilizzato dagli organismi internazionali, per valutare la preparazione e le potenzialit di un popolo sono le conoscenze che esso possiede in matematica. Vedi: http://matematica.uni-bocconi.it/losapevateche/losapevate-eis.htmIn queste poche pagine cercher di mettere in evidenza limportanza della conoscenza di semplici concetti matematici nella risoluzione degli indovinelli. Poich i quesiti sono posti sottoforma di gioco, di ricreazione, il lettore non deve pensare che ci rappresenti una banalizzazione della matematica, anzi, come dice Carlo Bo nel suo ottimo sito web, la matematica ricreativa vera matematica, ha un'antichissima tradizione e il suo ruolo fondamentalmente educativo. Non solo, la matematica ricreativa basata su una vastissima collezione di problemi che hanno lo straordinario

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potere di generare entusiasmo, attenzione e curiosit nei confronti della matematica. E di sviluppare le abilit matematiche che sono in noi. I pi antichi problemi di questa tradizione risalgono al 3000 a.C. e tuttoggi se ne creano continuamente di nuovi. La maggior parte delle persone, che hanno talvolta portato i loro studi sino alluniversit, ignorano completamente lesistenza di questo aspetto della matematica, appunto ricreativo, come dice la parola stessa, ri-crea, ri-genera, fa rinascere. Ci un male, perch questa tipologia di problemi sviluppano la capacit di concentrarsi su un unico punto, aiutano a mettersi in contatto con il proprio inconscio cognitivo, e una volta risolti danno il senso della vittoria, di aver vinto una sfida. Nelle scuole primarie, elementari e medie, i problemi matematici di tipo ricreativo hanno il potere di scovare tra gli scolari gli autentici talenti e far divertire tutti e dimostrare che le noiose ore di matematica possono avere tante applicazioni, tra cui la risoluzione di un divertente indovinello! Alle superiori e soprattutto alluniversit, questo tipo di quesiti, possono diventare uno spunto interessante per gli esami di matematica, spesso eccessivamente improntati nella risoluzione manuale di un calcolo, che unoperazione meccanica, sterile ed sufficiente una calcolatrice grafico simbolica per svolgere tale operazione in pochi secondi! Linutilit di risolvere per ore limiti, derivate, integrali, serie etc evidente, le abilit individuali devono, invece e pi proficuamente, essere tese allimpostazione logica della soluzione di un qualunque problema! Credo che sia arrivato il tempo per aggiornare i programmi dei corsi di matematica (analisi 1 e 2, geometria e algebra, meccanica razionale etc) attraverso linserimento di analisi di problemi in cui labilit nello sviluppo di un procedimento risolutivo logico sia il cardine dellesame. Mentre si assiste a una forte valorizzazione della matematica, in tutti i suoi aspetti compreso quello ricreativo, nei paesi pi sviluppati come U.S.A. e Giappone, come fu precedentemente per lU.R.S.S. e tutto il blocco sovietico, ma anche nei paesi in via di sviluppo che hanno compreso limportanza della matematica nel progresso tecnologico e quindi economico, come Cina e India, il sistema scolastico italiano purtroppo responsabile di uno scarso impegno nellinsegnamento della matematica, con un conseguente impoverimento di cultura matematica in tutto il Paese. Va detto, per, che nel resto dellEuropa occidentale le cose non vanno meglio, le competizioni matematiche internazionali sono spesso vinte dai Paesi dellEst (ex blocco sovietico) e dai Paesi asiatici e gran parte dellinnovazione tecnologica, come gi detto prima, prodotta negli Stati Uniti e in Giappone. Al termine di questo documento riportata una ricca bibliografia rivolta a chi vuole approfondire gli aspetti della matematica, per addetti ai lavori e non; inoltre vi una raccolta di link di siti web attinenti alla matematica e alle sue infinite applicazioni, e un breve elenco di film in cui la matematica protagonista. Chiunque riesca a dotare di veste matematica un qualunque problema, arriver per passaggi logici ad una soluzione certa e far fare un passo, seppur piccolo, alla scienza, chi invece ripudia lo strumento matematico proceder per tentativi disordinati, magari invocando la fortuna o chiss quale altra divinit, perdendo una gran quantit di tempo e non giungendo ad alcun risultato utile ne per s ne per gli altri.

Matteo Puzzlematematicare@hotmail.com

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INTRODUZIONE ALLA RISOLUZIONE DEGLI INDOVINELLI Tutti i 50 indovinelli proposti in queste pagine, sono risolvibili attraverso semplici conoscenze di analisi matematica e geometria; pi precisamente, sono state utilizzate nozioni basilari di algebra, matrici, serie numeriche e di funzioni, trigonometria, geometria euclidea, integrazione semplice e multipla, e derivazione semplice, parziale e direzionale. Alcuni dei quesiti proposti sono tratti da riviste, periodici nazionali e siti web, specificando di volta in volta la fonte, e i testi per esigenze grafiche e pratiche possono aver subito lievi modifiche; ad esempio, le unit di misura di problemi antichi sono state sostituite con unit di misura moderne e del sistema internazionale. Le soluzioni di quasi tutti i quesiti sono state sviluppate dallautore del presente documento, che si preoccupato di evidenziare laspetto matematico di ognuno dei quesiti non limitandosi a dare una risposta, ma ad approfondire i vari aspetti delle soluzioni che sono abbondantemente discusse; quando ci non avvenuto stato riportato il nome dellautore della soluzione dellindovinello e da dove tale soluzione tratta. Per aiutare il lettore, sono stati inseriti i passaggi intermedi pi significativi prima del conseguimento della soluzione dellindovinello proposto; tuttavia, invito il lettore a porre la sua attenzione principalmente sullimpostazione della soluzione, perch lo svolgimento dei calcoli spesso puramente tecnico e affidato talvolta ai calcolatori, lasciando cos poco spazio alla creativit individuale. Per poter impostare il procedimento risolutivo per poi giungere alla soluzione, auspicabile, in fase preliminare, elencare i dati contenuti nel testo dellindovinello; il passaggio successivo fondamentale, perch consiste nel passare dalla proposizione, contenuta nel testo dellindovinello, alla scrittura matematica mediante equazioni o, nel caso vi fossero figure, alla loro analisi geometrica; ci possibile dopo una attenta lettura del testo e dopo aver individuato le incognite e aver fatto considerazioni sugli ordini di grandezza. Spesso conveniente indicare anche i dati noti, oltre ovviamente lincognita, mediante variabili simboliche cos da trovare una soluzione globale adatta a risolvere almeno tutti gli indovinelli di una stessa tipologia; ci avvenuto, ad esempio, nella terna di indovinelli n34,35,36 ed anche in altri casi che non vi voglio anticipare. Comunque, una volta impostata, la soluzione si pu eseguire attraverso un calcolatore, o, nei casi pi semplici, un p di esercizio mentale non guasta! Questi indovinelli vogliono essere un spunto interessante per trovare unapplicazione alla matematica laddove sembrerebbe, a prima vista, non vi siano implicazioni. Molte delle soluzioni dei quesiti proposti, sono adatte ad essere risolte mediante un software di matematica (Derive, Maple, Mathematica, Scientific Workplace etc..) o con luso di calcolatrici grafico simboliche dotate preferibilmente di C.A.S. (Computer Algebra System), come le Texas Instruments (TI 89Titanium/Voyage200), Hewlett Packard (HP 49G+) e Casio (FX 2.0 Plus e ClassPad 300). In questo documento, i grafici sono stati tracciati utilizzando Maple e Derive, ed anche i calcoli sono stati elaborati, laddove era opportuno, con versioni recenti di questi due software. Per concludere questa breve introduzione, invito il lettore a consultare le soluzioni solo dopo aver impostato una sua soluzione logica che porti ad un risultato possibile. Ribadisco che il passaggio fondamentale limpostazione logica, e quindi rigorosa, della soluzione, ma, se il lettore dovesse sbagliare questo passaggio necessaria una rilettura attenta del testo dellindovinello cercando di riflettere prima di buttarsi in calcoli sconclusionati e illogici.

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Invece, una volta impostata una soluzione logica e corretta dei quesiti, un errore nella procedura dei calcoli assai meno importante e con lausilio di una semplice calcolatrice si pu rimediare allerrore. Tengo a precisare che il lettore non deve preoccuparsi se non riesce a risolvere tutti gli indovinelli, perch incontrare difficolt, soprattutto per i neofiti della matematica ricreativa, normalissimo; pi in generale, incontrare difficolt in matematica normale e come diceva il grande fisico premio nobel Albert Einstein: non preoccuparti delle tue difficolt in matematica, ti posso assicurare che le mie sono ancora molto grandi. In ultima analisi, vorrei invitare tutti a navigare sullottimo sito di Carlo Bo: http://utenti.quipo.it/base5/Vi lascio con il disegno dellornitottero e una frase del grande Leonardo da Vinci buon divertimento!!

La scienza il capitano e la pratica i suoi soldati

Leonardo da Vinci da: L'uomo e la natura, Feltrinelli.

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INDICE - I testi dei 50 indovinelli Pag.1 Lartista e la sua matita 102 La pesca alle trote 103 Tre amici allenoteca 104 Le camere di un ospedale 115 Let di Matteo e Sara 116 Uno strano parcheggiatore 117 La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 1 128 La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 2 129 La convergenza dei cerchi in un quadrato 1310 La convergenza dei cerchi in un triangolo isoscele 1311 Rotolando sui binari 1412 Larea interstiziale 1413 Le ruote del treno 1414 Gara tra solidi 1515 Il salvadanaio 1516 Il giocatore dazzardo 1517 Una pigna per una pallottola 1518 Larcipelago di Fantasilandia 1619 Luniverso di Fantasilandia 1620 Il filo per stendere i panni 1621 A Paola piacciono le ciliegie 1722 Somma e prodotto uguali 1723 Il figliol prodigo 1724 Lasino e il mulo 1725 Alice e Roberto 1726 La scala fra due torri 1827 Le due torri e la fonte 1828 Se tu mi dai una mano 1829 Un leone, un leopardo e un ghepardo 1830 Leredit dei 35 cammelli 1931 Il cavallo stanco 1932 Dilapidare la ricchezza 1933 Un filo intorno alla terra 1934 Se io avessi venduto tante uova come te 1935 Se io avessi venduto tante uova come te - Parte II 2036 Rompicapo bovino 2037 Il viaggiatore 2038 Il viaggiatore Parte II 2039 Cin Cin 2140 Una gallina e mezza 2141 Dieci sacchetti da dieci monete 2142 Traversate transatlantiche 2143 Tre rubinetti 2144 La botte che si svuota 2245 Gli ebrei in Egitto 2246 Adamo ed Eva 2247 La lumaca 2248 Quanto pesano i ragazzi? 2249 Loste disonesto e recidivo 2350 La scimmia e le noci di cocco 23

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INDICE Le soluzioni dei 50 indovinelli Pag.1 Lartista e la sua matita 252 La pesca alle trote 273 Tre amici allenoteca 294 Le camere di un ospedale 305 Let di Matteo e Sara 336 Uno strano parcheggiatore 357 La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 1 368 La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 2 389 La convergenza dei cerchi in un quadrato 3910 La convergenza dei cerchi in un triangolo isoscele 4111 Rotolando sui binari 4312 Larea interstiziale 4413 Le ruote del treno 4514 Gara tra solidi 4615 Il salvadanaio 5116 Il giocatore dazzardo 5217 Una pigna per una pallottola 5318 Larcipelago di Fantasilandia 5619 Luniverso di Fantasilandia 5820 Il filo per stendere i panni 6121 A Paola piacciono le ciliegie 6322 Somma e prodotto uguali 6423 Il figliol prodigo 6524 Lasino e il mulo 6725 Alice e Roberto 6826 La scala fra due torri 6927 Le due torri e la fonte 7128 Se tu mi dai una mano 7229 Un leone, un leopardo e un ghepardo 7330 Leredit dei 35 cammelli 7431 Il cavallo stanco 7532 Dilapidare la ricchezza 7733 Un filo intorno alla terra 7834 Se io avessi venduto tante uova come te 7935 Se io avessi venduto tante uova come te - Parte II 8136 Rompicapo bovino 8337 Il viaggiatore 8438 Il viaggiatore Parte II 8539 Cin Cin 8640 Una gallina e mezza 8741 Dieci sacchetti da dieci monete 8842 Traversate transatlantiche 8943 Tre rubinetti 9044 La botte che si svuota 9145 Gli ebrei in Egitto 9246 Adamo ed Eva 9347 La lumaca 9448 Quanto pesano i ragazzi? 9549 Loste disonesto e recidivo 9750 La scimmia e le noci di cocco 98

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Pag.Bibliografia 101Link utili 111La matematica al cinema 112

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Ho sempre pensato che il modo migliore per rendere la

matematica interessante quello di presentarla come se fosse un

gioco.A livelli superiori, specialmente

quando la matematica applicata a problemi concreti, pu e deve

essere terribilmente seria.Ma nessuno studente pu essere motivato a studiare, ad esempio,

la teoria astratta dei gruppi dicendogli che la trover bella,

interessante, o addirittura utile se diventer un fisico delle particelle

elementari.Sicuramente il miglior modo per

tenerlo sveglio quello di presentargli giochi matematici,

puzzles, paradossi (...).Nessuno dice che un insegnante

non debba fare altro che divertire i propri studenti.

Deve esserci un interscambio tra seriet e divertimento:

questultimo tiene desto l'interesse, mentre la seriet

giustifica il divertimento.Alla fine, lo studente potr perfino essere sorpreso della quantit di

matematica non banale che ha appreso senza neppure volerlo.

Martin Gardner

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INDOVINELLO 1 Lartista e la sua matita (tratto dalla Settimana Enigmistica n 3677 del 14/9/2002 a pagina 35) Un artista usa 2 matite, una con la mina dura e unaltra con la mina tenera. Prima che inizi il disegno entrambe le matite sono di lunghezza identica. Quando lartista finisce il disegno, la matita con la mina tenera lunga di 1 cm pi della met della matita con la mina dura; poich esse si sono accorciate complessivamente (entrambe le matite) di una lunghezza pari a quella della attuale matita con la mina tenera, quanti cm di matita dura ha consumato lartista? INDOVINELLO 2 La pesca alle trote (tratto dalla rivista Focus n 114 del Aprile 2002 a pagina 152) In un lago si sono tenute le finali di pesca alla trota tra Matteo, Marco, Luca e Giovanni. La gara stata vinta da Marco che, curiosamente, ha pescato la met delle trote complessivamente prese dai 4 concorrenti pi mezza trota; al secondo posto si piazzato Matteo, che riuscito a catturare la met delle trote rimaste (dopo aver tolto quelle pescate da Marco) pi mezza trota; Giovanni, terzo arrivato, ha preso allamo la met delle trote rimaste (dopo aver tolto quelle dei primi due piazzati) pi mezza trota; Luca, ultimo, si portato a casa le rimanenti 12 trote. Dato che le trote si pescano intere, quante trote hanno pescato rispettivamente i 4 partecipanti alla gara di pesca? E quante in totale? INDOVINELLO 3 Tre amici allenoteca (tratto dalla rivista Focus n 97 del Novembre 2000 a pagina 190) Tre amici hanno comprato 3 bottiglie di vino ciascuno, spendendo 100 euro a testa. Ogni bottiglia stata scelta almeno una volta, tranne una che stata scelta tre volte; quale tra le 9 bottiglie, che hanno il seguente costo, stata scelte 3 volte? bottiglia 1 costo: 11 bottiglia 2 costo: 19 bottiglia 3 costo: 22 bottiglia 4 costo: 28 bottiglia 5 costo: 50 bottiglia 6 costo: 59 bottiglia 7 costo: 67

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INDOVINELLO 4 Le camere di un ospedale (tratto dalla Settimana Enigmistica n 3683 del 26/10/2002 a pagina 35) Il primo piano di un ospedale composto di dieci locali numerati da 1 a 10. Il locale n 2 destinato a ripostiglio, ma tutti glia altri sono camere per degenti. Le camere hanno un numero di letti compreso tra 2 e 5; soltanto in due di queste nove camere con letti, il rapporto fra il numero della camera stessa e il numero di letti che essa contiene, non un numero intero, ma frazionario. Il numero totale dei letti nelle camere pari supera di uno il totale di quelle nelle dispari. Qual il numero di letti per ognuna delle nove camere? Quanti letti in totale? INDOVINELLO 5 Let di Matteo e Sara Fra tre anni Matteo avr il doppio dellet che Sara aveva tre anni fa, mentre ora il quadruplo degli anni di lui pari al quintuplo degli anni di lei. Se possibile determinarlo, qual let di Matteo e di Sara? INDOVINELLO 6 Uno strano parcheggiatore Un parcheggiatore ha un tariffario un p particolare: chiede 1 per la prima ora di sosta, 0,5 per la seconda ora di sosta, 0,25 per la terza ora di sosta, 0,125 per la quarta ora di sosta e cos via. Ipotizzando che unauto rimanga in sosta per un tempo infinito, se possibile determinarlo, quanto avr guadagnato il parcheggiatore? Sar diventato infinitamente ricco?

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INDOVINELLO 7 La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 1 Qual larea % ricoperta dai cerchi inscritti nel triangolo equilatero, di lato AB = A , che convergono nel vertice C?

INDOVINELLO 8 La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 2 Qual larea % ricoperta dai cerchi inscritti nel triangolo equilatero, di lato AB = A , che convergono nei vertice A, B e C?

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INDOVINELLO 9 La convergenza dei cerchi in un quadrato Qual larea % ricoperta dal cerchio inscritto nel quadrato di lato 2AB r= , e dagli infiniti cerchi che convergono nei quattro vertici del A, B, C e D?

INDOVINELLO 10 La convergenza dei cerchi in un triangolo isoscele Qual larea % ricoperta dai cerchi inscritti nel triangolo isoscele, in cui noto un lato ( AB = A ) e un angolo (nACB = ), che convergono nel vertice C?

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INDOVINELLO 11 Rotolando sui binari Due binari distano tra loro di una grandezza nota e costante . Se una biglia perfettamente sferica di diametro ( ovvia la condizione ), poggiata su questi binari, rotolando senza strisciare ( ipotizzata la presenza del solo attrito statico, mentre il coefficiente di attrito dinamico dato nullo) compie un giro completo su se stessa, quanto sar avanzata lungo i binari?

kd d k>

INDOVINELLO 12 Larea interstiziale Quanto misura larea di colore rosso sapendo che le sette circonferenze, contenute nella circonferenza pi grande di diametro , sono tutte uguali? d

INDOVINELLO 13 Le ruote del treno (tratto dalla rivista Focus n 93 del Luglio 2000 a pagina 175) Un treno percorre 84,78 Km in 45 minuti a velocit costante. Se le ruote dei vagoni hanno il diametro di un metro, quanti giri al secondo compie ogni ruota e quanti giri compie in tutto?

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INDOVINELLO 14 Gara tra solidi I soliti quattro amici, Matteo, Marco, Luca e Giovanni decidono di fare una gara che consiste nel far rotolare in un piano inclinato, di angolo (con ) in cui supposto lattrito trascurabile ( ipotizzata la condizione di rotolamento puro), quattro solidi rigidi e omogenei di massa

0 9< < D0M :

1) un cilindro pieno di raggio R e altezza k 2) un guscio cilindrico di raggio R e altezza k (tubo di spessore sottile e trascurabile) 3) una sfera piena di raggio R 4) un guscio sferico di raggio R (sfera cava dallo spessore sottile e trascurabile) Ciascuno dei quattro amici sceglier un solido tra questi (come indicato nella tabella sottostante), e vince la gara colui che ha il solido che per primo giunger in fondo al piano inclinato. concorrente solido scelto Luca cilindro pieno Marco guscio cilindrico Matteo sfera piena Giovanni guscio sferico

Questi solidi, se lasciati rotolare contemporaneamente dalla stessa altezza giungeranno alla fine del piano inclinato tutti nello stesso istante o in tempi diversi? Nel caso si verifichi la seconda ipotesi, chi vincer la gara?

h

INDOVINELLO 15 Il salvadanaio (tratto dalla rivista Focus n 111 del Gennaio 2002 a pagina 116) Pino e Daniele sono due fratelli che hanno entrambi un salvadanaio. Lo rompono e ci trovano rispettivamente 20,80 e 69,46 . La mamma aggiunge di suo quanto ha nel borsellino in quel momento, dividendo esattamente la cifra in due. Curiosamente, dopo aver aggiunto i soldi regalati dalla mamma, Daniele si ritrova con una somma esattamente doppia di quella del fratello Pino. Quanto ha regalato loro la mamma? INDOVINELLO 16 Il giocatore dazzardo Un incallito giocatore dazzardo scommette 500 in una corsa di cavalli ove raddoppia tutti i suoi soldi. Nella giocata successiva perde 500 ; non soddisfatto entra in una sala da gioco e riesce raddoppiare tutto il suo denaro. Dopo aver perso nuovamente 600 si accorge di non aver pi soldi nel portafogli. Quanti soldi aveva inizialmente il giocatore? INDOVINELLO 17 Una pigna per una pallottola Da una altezza di 1,70 m un cacciatore spara un proiettile col suo fucile in direzione perfettamente orizzontale. Nel medesimo istante in cui la pallottola fuoriesce dalla canna del fucile alla velocit di 500 m/s, una pigna si stacca da un ramo dalla stessa altezza del fucile (1,70 m). Ipotizzando trascurabile lattrito con laria in entrambi i casi, chi per prima tra la pallottola e la pigna raggiunge il suolo? Quanto sar lunga la traiettoria (curva) percorsa dalla pallottola?

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INDOVINELLO 18 Larcipelago di Fantasilandia Nellarcipelago di Fantasilandia ci sono quattro isole e sono molto belle. Queste quattro isole sono un p particolari; infatti hanno tutte la medesima superficie, e, la prima isola di forma perfettamente circolare, la seconda di forma quadrata, la terza di forma esagonale e lultima un triangolo equilatero. Tutte e quattro le isole sono in vendita. Un imprenditore vuole acquistare una di queste quattro isole perch vuole costruirci alberghi e altre strutture turistiche lungo la costa, cos vuole scegliere lisola che ha il maggior numero di Km di costa. Se fossi limprenditore, quale delle quattro isole dovresti scegliere? INDOVINELLO 19 Luniverso di Fantasilandia Nell universo di Fantasilandia ci sono molti pianeti. Questi pianeti sono un p particolari perch hanno la forma di perfetti solidi geometrici e poi hanno tutti il medesimo volume. Per sfamare la popolazione dellintera galassia, il Consiglio Intergalattico ha deciso di sacrificare un pianeta delluniverso di Fantasilandia dedicando il 100% della sua superficie allagricoltura. Ora rimane da determinare quale pianeta sia pi conveniente a essere dedicato completamente allagricoltura, e quindi abbia la superficie maggiore. La scelta ricade tra i pianeti dalle seguenti forme: 1) Sfera 2) Cubo 3) Parallelepipedo formato da due cubi adiacenti 4) Cono equilatero 5) Cilindro equilatero 6) Tetraedro regolare 7) Esaedro regolare 8) Ottaedro regolare 9) Dodecaedro regolare 10) Icosaedro regolare Se fossi il Consiglio Intergalattico, quale tra questi pianeti sceglieresti? INDOVINELLO 20 Il filo per stendere i panni Una casalinga deve mettere il filo per stendere i panni. Il filo pogger in due pali alla stessa altezza di 2 m, distanziati a loro volta di 5 m. Poich la casalinga vuole evitare di doversi inchinare quando passa sotto il filo, decide che il punto pi basso (rispetto al suolo) del filo, corrisponda alla sua altezza che 1,6 m. Affinch si verifichi ci, quanto dovr essere lungo il filo per stendere i panni?

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INDOVINELLO 21 A Paola piacciono le ciliegie (tratto dalla rivista Quark n 41 del Giugno 2004 a pagina 154) A Paola piacciono le ciliegie sotto spirito delle quali cos golosa che non sa proprio trattenersi. Un giorno le viene regalato un vaso di ciliegie preparato secondo una ricetta antica e sono talmente buone che il primo giorno ne mangia un terzo del totale, il secondo giorno un quarto del totale iniziale, il terzo giorno un quinto del totale. Al quarto giorno il vaso calato in modo preoccupante e rimangono solo 13 ciliegie. Quante ciliegie vi erano allinizio nel vaso? Quante ne ha mangiato in tutto Paola? INDOVINELLO 22 Somma e prodotto uguali Esistono due numeri reali diversi tra di loro e non nulli, tali che hanno somma e prodotto uguali? Se si dire quali. INDOVINELLO 23 Il figliol prodigo Un giovanotto ha ricevuto 1024 in regalo. Ogni giorno spende met di quello che possiede (approssimato allEuro). Dopo quanti giorni rimarr senza neanche un Euro? INDOVINELLO 24 Lasino e il mulo Un asino e un mulo viaggiavano assieme, portando un carico di sacchi di grano (o otri di vino). Lasino si lamentava per il carico eccessivo. Il mulo gli disse: Di che cosa ti lamenti? Se tu mi dessi uno soltanto dei tuoi sacchi, io ne avrei il doppio di te. Ma se io ti dessi uno dei miei sacchi, ne avremmo tanti uguali. Dimmi, o sapiente lettore, quanti sacchi portava l'asino e quanti il mulo? (Dall'Antologia Greca, Epigrammi raccolti da Metrodoro) INDOVINELLO 25 Alice e Roberto Alice e Roberto stavano confrontando le loro pile di monete. Alice disse: Se tu mi dessi un certo numero di monete della tua pila, allora io avrei il sestuplo delle tue monete. Se invece io ti dessi lo stesso numero di monete tu ne avresti 1/3 delle mie. Qual il pi piccolo numero di monete che Alice potrebbe avere? (David Singmaster, The Skoliad Corner of December 2001, Maritime Mathematics Contest 2001)

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INDOVINELLO 26 La scala fra due torri Due torri sono alte rispettivamente 20 m e 24 m, e distano 22 m luna dallaltra. In quale punto del suolo deve essere posata una scala in modo che, appoggiata alluna o allaltra torre, ne raggiunga esattamente la cima? Quanto deve essere alta la scala?

INDOVINELLO 27 Le due torri e la fonte Due torri alte rispettivamente 90 braccia e 80 braccia distano 100 braccia fra loro. Fra le due torri si trova una fonte in un luogo tale che se due uccelli uguali partissero contemporaneamente dalle cime delle due torri arriverebbero a bere alla fonte nello stesso istante. Chiedo, quanto dista la fonte da ciascuna torre? (si suppone che gli uccelli volino alla stessa velocit) (Gaspar Nicolas, Prtica D'aritmtica, 1519) INDOVINELLO 28 Se tu mi dai una mano C da tosare lerba di un prato. Il padre dice al figlio: Se mi aiuti per 8 minuti, riuscir a tosare il prato in 20 minuti. Il figlio risponde: Se mi aiuti per 10 minuti, riuscir a tosare il prato in 15 minuti. Quanto tempo impiega ciascuno di essi a tosare il prato da solo? (Chuquet, 1484) INDOVINELLO 29 Un leone, un leopardo e un ghepardo Un leone, un leopardo e un ghepardo hanno catturato una zebra e la stanno mangiando assieme. Il leone da solo impiega 4 ore per mangiare una zebra, il leopardo impiega 5 ore e il ghepardo 6 ore. Quanto impiegheranno, assieme, a mangiare la loro preda? (Fibonacci, 1202)

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INDOVINELLO 30 Leredit dei 35 cammelli Uno sceicco lascia in eredit 35 cammelli ai suoi tre figli. L'eredit dovr essere divisa in parti direttamente proporzionali a 1/2, 1/3 e 1/9, senza uccidere animali. Il notaio, inoltre, dovr ricevere un cammello come ricompensa per il suo lavoro di esecutore testamentario. Come andranno divisi i cammelli? (Richard A. Proctor, 1886) INDOVINELLO 31 Il cavallo stanco Un cavallo ha percorso 700 Km in 7 giorni, dimezzando la sua velocit ogni giorno. Quanti Km ha percorso in ognuno dei 7 giorni? (Zhang Qiujian Suan Jing) INDOVINELLO 32 Dilapidare la ricchezza Un uomo possiede inizialmente 1.000.000 e spende ogni giorno 1/10 di ci che possiede. Con quanti soldi rimane dopo 12 giorni? Quanto ha speso durante i 12 giorni? (Fibonacci. 1202) INDOVINELLO 33 Un filo intorno alla terra Supponiamo la terra perfettamente sferica di circonferenza 40.000 Km, e un filo della stessa lunghezza che le giri tutto attorno allEquatore. Tagliamo il filo, aggiungiamogliene un metro, riannodiamo il tutto e lasciamo il nuovo anello a distanza costante dalla superficie. Pu un gatto passare tra il filo e la terra? INDOVINELLO 34 Se io avessi venduto tante uova come te Due donne ovivendole, Alda e Berta, vanno al mercato e portano una determinata quantit di uova per ciascuna; inoltre la somma delle uova che hanno portato le due ovivendole di 100. Alda vende le sue uova al prezzo a un determinato prezzo cadauna, mentre Berta le vende a un altro prezzo cadauna. Dalla vendita di tutte le uova, le due donne ricavano la stessa cifra. Per Alda dice a Berta: Se avessi venduto tante uova come te, al mio prezzo, avrei ricavato 18 . Berta risponde: Se avessi venduto tante uova come te, al mio prezzo, avrei ricavato solo 8 . Quante uova ha venduto Alda e quante Berta? Quanto costavano cadauna le uova di Alda e Berta? (Simpson, Algebra - 1745)

19

INDOVINELLO 35 Se io avessi venduto tante uova come te - Parte II Due donne ovivendole, Alda e Berta, vanno al mercato e portano una determinata quantit di uova per ciascuna; inoltre la somma delle uova che hanno portato le due ovivendole un dato numero. Alda vende le sue uova a un determinato prezzo cadauna, mentre Berta le vende a unaltro prezzo cadauna. Dalla vendita di tutte le uova, le due donne ricavano la stessa cifra. Per Alda dice a Berta: Se avessi venduto tante uova come te, al mio prezzo, avrei ricavato una bella cifra! Berta risponde: Se avessi venduto tante uova come te, al mio prezzo, avrei ricavato meno di te. Esprimere il guadagno totale delle uova vendute da Alda e Berta in funzione delle due somme ricavate dalle ipotetiche vendite delle uova di Berta al prezzo delle uova di Alda e viceversa. In quale direzione, rispetto alle due variabili matematiche rappresentate dai guadagni ipotetici delle vendite delle uova di Berta al prezzo delle uova di Alda e viceversa, aumenta pi rapidamente il guadagno totale delle uova vendute da Alda e Berta? Con quale rapidit aumenta in tale direzione? (variante dellindovinello n34 di Simpson, Algebra del 1745, proposta dallautore de La matematica degli indovinelli) INDOVINELLO 36 Rompicapo bovino Due allevatori, Aldo e Baldo, comprano rispettivamente una determinata quantit di mucche ciascuno, pagandole per lo stesso prezzo, cio 350 euro. Se Aldo avesse comprato al prezzo pagato da Baldo, avrebbe speso 250 euro. Quanto avrebbe pagato Baldo se avesse comprato al prezzo di Aldo? (McKay, At Home Tonight. 1940) INDOVINELLO 37 Il viaggiatore Un uomo percorre 1, 3, 9, ... Km in giorni successivi. Continuando a questo ritmo, quanti Km percorrer in 5 giorni e mezzo? (Chuquet, 1484) INDOVINELLO 38 Il viaggiatore Parte II Un uomo percorre 1, 3, 9, ... Km in giorni successivi. Continuando a questo ritmo, quanti giorni impiegher per fare il giro completo intorno alla Terra? Ipotizzando che mantenga una velocit costante, quanto tempo impiegher per fare il giro della Terra? Si ricorda che un giro completo della Terra pari a 40.000 Km. (variante dellindovinello n37 di Chuquet, proposta dallautore de La matematica degli indovinelli)

20

INDOVINELLO 39 Cin Cin In una tavolata di dieci persone quanti cin cin vengono fatti se ognuno lo fa con ciascun altro una sola volta? INDOVINELLO 40 Una gallina e mezza Se una gallina e mezzo fa un uovo e mezzo in un giorno e mezzo, quante uova far una gallina in sei giorni? INDOVINELLO 41 Dieci sacchetti da dieci monete Ho dieci sacchetti contenenti ciascuno dieci monete; in uno di questi sono contenute monete di peso 0,1 g ciascuna, nei rimanenti nove sono contenute monete di 1 g ciascuna. Come posso individuare con una bilancia ad un solo piatto, con una sola pesata e senza l'aiuto di altri fattori in quale sacchetto sono contenute le monete che pesano di meno? INDOVINELLO 42 Traversate transatlantiche (tratto dalla rivista Leducazione matematica n 3 Ottobre 2003, anno XXIV serie VII vol.1, pagina 25) Si supponga che ogni giorno a mezzogiorno, un transatlantico parta da Le Havre per New York, e che nello stesso tempo un transatlantico della stessa compagnia parta da New York per Le Havre. La traversata si effettua esattamente in sette giorni, sia in un senso che nellaltro. Il transatlantico che parte oggi a mezzogiorno da Le Havre quante navi della stessa compagnia che effettuano il percorso in senso inverso incontrer? (del matematico Edouard Lucas e pubblicato da Laisant nel 1909) INDOVINELLO 43 Tre rubinetti Abbiamo tre rubinetti. Il primo riempie una vasca in un certo tempo. Il secondo riempie la vasca in met tempo rispetto al primo. Il terzo riempie la vasca in un terzo del tempo rispetto al primo. I tre rubinetti, aperti assieme, riempiono la vasca in 2 minuti. Quanto tempo impiega ciascun rubinetto singolarmente?

21

INDOVINELLO 44 La botte che si svuota Una botte contiene una quantit di vino pari a 9,5 barili. Il suo contenuto viene trasferito nei barili in modo tale che: il primo barile si riempie in 1 ora; il secondo barile si riempie in 2 ore; il terzo barile si riempie in 4 ore; e cos via, raddoppiando ogni volta il tempo. Quanto tempo necessario per svuotare la botte? (Chuquet, 1484) INDOVINELLO 45 Gli ebrei in Egitto Si parte con 210 persone. Ogni 25 anni, la popolazione triplica. Quante persone ci saranno dopo 225 anni? (Ozanam, 1778) INDOVINELLO 46 Adamo ed Eva Si parte con una coppia: Adamo ed Eva. Supponiamo che la popolazione umana raddoppi ogni 20 anni. La bibbia ci dice che Adamo visse 900 anni. Quanti nipoti, pronipoti, etc. pot vedere Adamo circa alla met della sua vita, cio quando aveva 500 anni? Si tenga presente che Adamo ebbe il primo figlio a 100 anni. (Ozanam, 1778) INDOVINELLO 47 La lumaca Una lumaca si arrampica lungo la parete di un pozzo umido, buio e profondo 5 m. Ogni giorno sale di 3 m ed ogni notte, mentre dorme, scivola verso il basso di 2 m. Dopo quanti giorni la lumaca potr uscire dal pozzo? INDOVINELLO 48 Quanto pesano i ragazzi? Aldo, Baldo, Carlo, Diego e Franco pesano assieme 213 kg. Aldo e Baldo pesano assieme 78 kg Aldo e Carlo pesano assieme 84 kg Aldo e Diego pesano assieme 67 kg Aldo e Franco pesano assieme 89 kg Quanto pesa ciascuno di essi?

22

INDOVINELLO 49 Loste disonesto e recidivo Un oste disonesto e ubriacone beve 6 litri di vino da un barile che ne contiene 360 litri e li sostituisce con acqua, in modo che nessuno si accorga del prelievo. Dopo una settimana ripete la malefatta. Dopo unaltra settimana la ripete di nuovo. Quanto vino ha bevuto loste disonesto? (Les Amusemens. 1749) INDOVINELLO 50 La scimmia e le noci di cocco Cinque marinai naufragano su un'isola semideserta (semi-, perch c' una scimmia). Durante la giornata raccolgono un mucchio di noci di cocco, per dividersele tra di loro il giorno dopo. Durante la notte, per, uno si sveglia e decide di prendersi la sua parte in anticipo: fa cinque mucchi uguali, vede che avanza una noce, la d alla scimmia e nasconde la sua parte. Il secondo marinaio si sveglia poco dopo, va al mucchio (pi piccolo) e fa esattamente la stessa cosa: anche stavolta rimane una noce per la scimmia. Lo stesso fanno a turno gli altri tre: tutte le volte avanza una noce per la scimmia. Il mattino dopo, tutti vedono che il mucchio pi piccolo, ma avendo la coscienza sporca stanno zitti. Fanno la divisione, e di nuovo avanza una noce data alla scimmia. Qual il numero minimo di noci che i marinai avevano raccolto? Nota storica: Questo problema stato pubblicato (per la prima volta?) da Ben Ames Williams in The Saturday Evening Post nel 1926 e pi recentemente ripreso da Martin Gardner nel libro Enigmi e giochi matematici 2.

23

24

INDOVINELLO 1 Lartista e la sua matita

SEGMENTO VALORE LEGENDA

AB D T = = Lunghezza iniziale delle matite: la medesima sia per quella dura D sia per quella tenera T CD 'D Lunghezza finale (dopo aver finito il disegno) della matita con la mina dura DE x Lunghezza di mina dura consumata

FG 'T Lunghezza finale (dopo aver finito il disegno) della matita con la mina tenera GH ' 'D T Differenza di lunghezza tra la matita dura e tenera dopo aver finito il disegno HL 'D Differenza tra la lunghezza iniziale delle matite e la lunghezza della matita dura dopo aver finito il disegno MN 'T Differenza tra la lunghezza iniziale delle matite e la lunghezza della matita tenera dopo aver finito il disegno

25

Considerazioni preliminari:

'

'

'

D T

D

T

DDE H xL

= = > > = = =

1a condizione fornita dal problema:

'' 1

2D

T = +

implicazioni alla 1 condizione: '

' '

' '

''

12

11 02 2

DD T

D T

DD

GH

= > > >

2a condizione fornita dal problema: ( ) ( )' ' 'D T T + = sistema risolutivo:

( ) ( )

''

'

' '

12D

T

D

'D T T

x

= + = + + =

inserendo i valori della 1a e 2a equazione nella 3a si ottiene una sola equazione di 1 grado in cui 'D si elide:

'D 'Dx + ( ) 'D+ '2Dx + '1 2D + = 1+

diventando: 2 1x =1 risultato finale:

1x = La mina dura consumata dallartista sar pari a 1 cm.

26

INDOVINELLO 2 La pesca alle trote

x Numero di trote pescate da Matteo y Numero di trote pescate da Marco z Numero di trote pescate da Luca t Numero di trote pescate da Giovanni Q Numero totale di trote pescate dai quattro concorrenti considerazioni preliminari: x y z t Q x y t Q zQ y x t z+ + + = + + => > > >

condizioni fornite dallindovinello:

12 2

12

12

12

Qy

x Q y

t Q y x

z

= +

= +

= +=

Le incognite da calcolare sono x , , e ; per cui, per determinarle sono necessarie 4 equazioni tra loro linearmente indipendenti.

y t Q

Tali equazioni sono date dalle prime tre condizioni fornite dallindovinello, mentre la quarta condizione ottenuta dallesplicitazione del termine noto z nella considerazione preliminare in cui la somma delle trote pescate dai quattro concorrenti. QIl sistema risolutivo quindi il seguente:

12 2

12

1212

Qy

x Q y

t Q y x

x y t Q

= + = + = + + + =

Per verificare se il sistema sia risolvibile, necessario calcolare il determinante della matrice del sistema stesso, e appurare che non sia nullo:

10 1 02

1 11 0 1 02 281 1 11

2 2 21 1 1 1

=

27

Il calcolo del determinante ci assicura che il sistema fornir una soluzione utile, poich diverso da zero e quindi il rango della matrice massimo e uguale a 4 (il numero delle righe della matrice). Impostato il sistema in forma matriciale, per una rapida soluzione al calcolatore, si ha:

11 10 1 02 2 0 2 2 2 1 26

1 1 1 2 2 4 4 1 521 0 12 2 2

0 0 2 1 1 1321 1 1 11 2 4 8 8 24 1032 2 2 21 1 1 1 12

xytQ

= =

=

2652

13103

xytQ

= = = =

Quindi Marco, il primo classificato, ha pescato 52 trote, Matteo (secondo classificato) ha pescato 26 trote, Giovanni (terzo classificato) ha pescato 13 trote, mentre Luca, ultimo classificato, ha pescato 12 trote. Il totale di trote pescate dai quattro concorrenti 103.

28

INDOVINELLO 3 Tre amici allenoteca

1x bottiglia 1 costo: 11

2x bottiglia 2 costo: 19

3x bottiglia 3 costo: 22

4x bottiglia 4 costo: 28

5x bottiglia 5 costo: 50

6x bottiglia 6 costo: 59

7x bottiglia 7 costo: 67

x bottiglia scelta 3 volte 7

1n

nx

= somma totale del costo delle 7 bottiglie Lequazione risolutiva data dallespressione:

7

1

2 300nn

xx=

+ =

xda cui si esplicita lincognita : 7

1300

2

nn

x=

=

x

quindi, sostituendo i costi di ciascuna bottiglia:

( )300 11 19 22 28 50 59 672

+ + + + + +=x

x : si ottiene il valore dellincognita

x 22= Per cui la bottiglia scelta tre volte la bottiglia che costa 22 , cio la bottiglia numero 3.

29

INDOVINELLO 4 Le camere di un ospedale

1a condizione imposta dallindovinello:

2 0x = 2a condizione imposta dallindovinello: 2 5nx 3a condizione imposta dallindovinello:

con l'insieme dei numeri naturalin

nx` `

4a condizione imposta dallindovinello:

5 5

2 22 1

1n nn n

x x = =

= + 1 Considerazioni:

10

1

18 45nn

x=

Infatti 18 rappresenta il numero minimo della somma dei letti di tutti i locali (ovviamente 2 letti per locale moltiplicato per i 9 locali); 45 rappresenta il numero massimo della somma dei letti di tutti i locali (ovviamente 5 letti per locale moltiplicato per i 9 locali).

LOCALE n

NUMERO LETTI nx

1 1x

2 2x

3 3x

4 4x

5 5x

6 6x

7 7x

8 8x

9 9x

10 10x

LEGENDA

10

1n

nx

= Somma totale dei letti dellospedale

5

22

nn

x = Somma totale dei letti dei locali pari

5

2 11

nn

x = Somma totale dei letti dei locali dispari

Gli unici due locali in cui la terza condizione non rispettata, diventando:

n

nx`

sono =1 7n n = Infatti sono numeri primi, quindi divisibili solo per 1 o per se stessi, ma al contrario di 2,3,5 non hanno il numero della stanza compreso nella seconda condizione, quindi il rapporto per 1 7n n= =Diventa:

con l'insieme dei numeri razionalinx_ _ n

30

I locali di numero dispari e con il rapporto che rispetta:

nxn `

e il loro rispettivo numero di letti, compreso tra 2 e 5, fornisca un numero intero, si avr:

sono: 3 5 9n n n= = = Affinch il rapporto tra il numero di queste tre stanze

3

5

9

33 3 1355 5 1599 3 33

perch

perch

perch

n x

n x

n x

= = = = = = = = =

Nei locali pari:

4

6

8

10

4 44 2;4 2 1 perch e n x = = = =2 46 66 2;3 3 22 38 88 2;4 4 22 4101 2;5 5 22 5

perc e

pe e

pe e

n x

n x

n x

= = = = = = = = = = =

Quindi vi sono due possibili numeri di ti per ognuno i quattro locali pari:

10 0

h

rch

rch

=

let de

LOCALE NUMERO LETTI LOCALE NUMERO LETTI n n nx nx

1 1x 6 2 ; 3

2 0 7 7x

3 3 8 2 ; 4

4 2 ; 4 9 3

5 5 10 2 ; 5 Quelli segnati in rosso, sono gli unici locali di cui, per ora, si ha la certezza del numero dei

e: +

quindi si deduce:

nn

=

Per cui, il numero totale dei letti dei nove locali sar compreso tra:

letti. Applicando la quarta condizion4 6 8 10 1 3 5 7 9 1x x x x x x x x x+ + + = + + + +

sostituendo i rispettivi e possibili numeri dei letti, si ottiene lequazione risolutiva: 1 72;4 2;3 2;4 2;5 3 5 3 1x x+ + + = + + + + +

5

6x 22

8 1

10

118 31n

nx

=

sviluppando lequazione risolutiva: 2;4 2;3 2;4 2;5 12x x+ + + = + + 1 7 31

1x e 7xSiccome devono avere almeno 2 letti ciascuno, e la somma minima dei letti dei locali dispari, considerando 2 letti per entrambi i locali incogniti, sar:

azione di sopra:

15n=

si ottiene che il numero totale dei letti dei locali dispari 15. somma massima dei locali pari:

2n= la :

1

allora il numero totale i letti delle camere pari 16. Il num ro totale dei i dellospedale uguale alla mma dei letti delle camere pari e delle camere dispari:

1nn

x x x = = =

+x

== + =

numero totale dei letti dellospedale 31, e sono cos distribuiti:

5

2 11

1 16nn

x =

+ = quindi risolvendo lequ

5

2 1 16 1nx = =1

Infatti il numero 16 corrisponde alla 5

2 4 6 8 10 4 3 4 5 16nx x x x x = + + + = + + + = che verifica

5 quarta condizione

5

2 22 1

1n nn n

x x = =

= + de

e lett so

10 5 5

2 21 2 1

n nn n = che sviluppata:

10

1

16 15 31nn Il

LOCALE NUMERO LETTI LOCALE NUMERO LETTI n n nx nx 1 2 6 3 2 0 7 2 3 3 8 4 4 4 9 3 5 5 10 5

Lospedale ha 31 posti letto!

32

INDOVINELLO 5 Let di Matteo e Sara

co dallindovinello:

0x y x y+ = =

Per determinare let di Matteo e di Sara sufficiente impostare un sistema lineare di quazioni utilizzando le due condizioni imposte nel testo dellindovinello. Prima per

e quindi se sia possibile

x Et di Matteo y Et di Sara

ndizioni imposte ( )3 2 3 2 9

4 5 4 5x y x y = =

eopportuno verificare se tale sistema ammette ununica soluzione,determinare entrambe le et, per cui necessario calcolare il determinante e constatare che sia di rango massimo, in altre parole, che non sia nullo: 1 2

3 0 =

4 5come si pu osservare il rango massimo (cio 2, quindi pari al numero di righe della matrice) perch il determinante diverso da zero. Le et di Matteo e Sara sono quindi determinabili, e per calcolarle utile impostare, per il sistema risolutivo, la matrice inversa. istema risolutivo:

0 =

risoluzione del sistema:

s2 9

4 5x yx y =

11 2 9 5 2 9 151x

4 5 0 4 1 0 123y= = =

D

cui si ottiene che Matteo ha 15 anni, mentre Sara ha 12 anni. aEsplicitando lincognita y in entrambe le equazioni del sistema risolutivo, si pu dare una interpretazione geometrica allindovinello, infatti si ottengono due rette la cui intersezione fornisce il valore dellincognita x e y :

92

45

xy

y x

+ =

=

33

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

0

6

11

1314

17

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ETA' DI MATTEO

E

La retta di colore fucsia la rappresentazione grafica dellequazione:

1516

12

78

TA' D

I SA

10RA

9

45

23

1

45

y x= La retta di colore blu la rappresentazione grafica dellequazione:

92

xy += Lintersezione tra le due rette la soluzione dellindovinello, infatti mostra nellasse delle ascisse ( ), che rappresenta let di Matteo, il valore corrispondente 15 (anni), mentre nellasse delle ordinate ( ), che rappresenta invece let di Sara, il valore che corrisponde al punto di intersezione 12 (anni).

xy

34

INDOVINELLO 6

Il parcheggiatore vorr essere corrisposto con un costo che si dimezza continuamente allo scandire delle ore, quindi si ottiene una successione di questo tipo:

Uno strano parcheggiatore

1 1 1 1 11, , , , ,................,2 4 8 16 2n

essa rappresenta una serie geometrica:

in cui una costante, la ragione ed il termine ennesimo. In questo caso e . Le serie geometriche, quando , convergono sempre e quindi forniscono una somma finita anche nel caso di infiniti addendi (come nel caso analizzato), infatti:

1

1

n

na r

=

a r n

1a = 1/ 2r =1 1r < Condizione imposta affinch la sfera possa rotolare sui binari Attraverso il teorema di Pitagora:

2 2 2 2BC AB AC d k= = quindi lavanzamento , della sfera che rotola senza strisciare sui binari, :

2 2d k = binari pari al diametro della sfera: Nel caso limite in cui la distanza tra i ( )2 2lik m 0 0d d k = =

avanzamento nullo, mentre nel caso in cui la distanza tende a zero: l k( )2 20m 0d k dlik = = avanzamento pari alla circonferenza che si ottiene sezionando la sfera con un ualunque piano passante per il centro della sfera stessa.

lq

43

INDOVINELLO 12 Larea interstiziale

a seguente costruzione geometrica aiuta a capire su come procedere per il calcolo ellarea di colore rosso:

Ld

Il ian di lato

Diametro della circonferenza pi grande

R

d Area di colore rosso

G Area di colore giallo

tr golo di vertici C , 1C e 2C equilatero e / 3d .

(2 2 21 7G

d d d + = =

)( ) ( )

( )

222

2 22 2 2 3d dd d 2

2

6 2 6 108

2 3336 2 6 72

5 6 3

5 6 30,02460952973

216

G

R

dd d

dd

108 108 72 216R G

= = =

R = =

=

44

INDOVINELLO 13 Le ruote del treno

minuti secondi m

= ==

a velocit media del treno data dallequazione:

Dati:

84,78 84780 Km m= =At 45 2700

1d L [ ]

[ ]84780 31, 4 m/s

mA 2700m

vt s

= = =il numero dei giri effettuati dalla ruota del treno nellunit di tempo pari a: [ ]

[ ]/ 31, 4/ 1m

v m srotazioni s = 0

d m = quindi, nel corso di 45 minuti, ogni ruota effettuer un numero di giri dato da:

[ ] [ ]/ 10rotazioni rotazioni s t s= = 2700 27000=

45

INDOVINELLO 14 Gara tra solidi

oich si ipotizzato che tutti i quattro solidi sono sottoposti a un moto di rotolamento uro, possibile applicare il principio di conservazione dellenergia uguagliando lenergia

nte prima che il solido rotoli lungo il piano inclinato (quando si trova t nclinato

Pppotenziale, nellistaallaltezza h ), e lenergia cinetica al termine del rotolamen o sul piano i ( 0h = ). Legenda:

Massa di un solido [Kg] o [m]

M h Altezza del piano inclinat Pendenza del piano inclinato [rad]

Energia potenziale [J] [J]

UK Energia cineticag Accelerazione di gravit [m/s2]

m2] I Momento dinerzia generico [kgc Velocit angolare del solido [rad/s] cv Velocit lineare del baricentro del solido [m/s]

Uguagliando lenergia potenziale e lenergia cinetica:

0h hU K == e sostituendo i valori di entrambi i membri, si ottiene:

2 21 12 2c c

M g h M v I = + poich, a causa del rotolamento puro, si ha:

cvcv R R

= = leguaglianza tra lenergia potenziale e lenergia cinetica diventa:

2v21 1cM g h M v I2 2

cc R = +

ed esplicitando la variabile veloc s lido al te un rotolamento puro (senza strisciamento) lungo un piano inclinato:

cv si ricava la it raggiunta da un o rmine di

2

2

1c

c

g hv IM R

=

Lunico parametro che fa variare la velocit il momento dinerzia

+

cv cI , poich , g h , M e R sono gli stessi per tutti i quattro solidi. Quindi necessario calcolare i momenti dinerzia per ognuno dei solidi. In tutti e quattro i solidi: c zI I= .

46

1) Cilindro pieno Scegliendo un riferimento cartesiano per il cilindro pieno di altezza k , in cui lasse zcorrisponde con lasse di simmetria del solido, il momento di inerzia rispetto allasse (detto anc

z

he momento polare ) dato dallintegrale triplo: I p( ) ( )2 2 , ,I p x y z VI I I x y x y z dV= + = = +

in cui la funzione densit costante, perch il corpo cilindrico supposto omogeneo, ed data dal rapporto massa volume:

( ) 2, , M Mx y z V R = = kPer poter risolvere agevolmente lintegrale triplo, si sostituiscono le coordinate cartesiane con le coordinate cilindriche:

cossin

dV d d dzxy

= = =

per cui lintegrale diventa:

( ) ( )( )2 2 222 0 02

cos sink R

kzMI dR k

d dz = +

quindi il momento dinerzia del cilindro rispetto al suo asse di simmetria : 2

2zM RI =

per cui la velocit che raggiunge in fondo al piano inclinato :

cg hvM R = 2

2

1+2

2M R

4 2 3 1,15473 3

g h g h g h= =

Come si pu notare, la velocit cv , raggiunta dal solido, al termine del rotolamento lungo il piano inclinato, non dipende n dal raggio R del solido n dalla sua massa M , ma solamente dallaltezza h del piano inclinato, dato che laccelerazione gravitazionale g

2costante e pari a 9,80 m/s . 2) Guscio cilindrico Analogamente al cilindro pieno, il momento di inerzia rispetto allasse z dato dalla somma degli integrali tripli:

( )2 22 322 0 0

limk kR

kz r R

MI d d dz

= + 2 3 222 0 0 lim 2r

k r R

M R rM d d dz M RR k r k

+ = =

2 2

quindi il momento dinerzia del guscio cilindrico rispetto al suo asse di simmetria :

2

zI M= R

1 M R+

per cui la velocit che raggiunge in fondo al piano inclinato : 2

cg hv =

2

2M Rg h=

47

3) Sfera piena Il momento di inerzia di una sfera piena rispetto allasse dato da: z

2 2

2 2 0 034 53

z R

2 3 22R RMI d d dz M R = =

R

perci la velocit raggiunta :

2

22c

g hvM R

=

51+2M R

70 1,19527

g h g h=

Il momento di inerzia di un guscio sferico rispetto allasse , analogamente ai solidi a prec , d

4) Guscio sferico z

nalizzati in edenza ato da: 22

3zI M R= da cu velocit giung al piano inclinato i la che rag e in fondo :

2

2231+

cgvM R

=

h

2M R

30 1,09545

g h g h=

Come gi detto per il cilindro pieno, anche per gli altri tre solidi la velocit raggiunta al termi del roto ungo il inclinato, non dipende n dal raggio

cvRne lamento l piano del solido n

dalla ua masss a M , n dallaltezza h del piano inclinato, n da dato che laccelerazione gravitazionale costante e pari a 9,80 m/s2, ma dal solo momento diner a (detto omento polareE evidente che i quattro solidi giungeranno in fondo alla discesa in tempi diversi. Dato che si calcolata la velocit di ciascuno di essi, ora possibile stendere una classifica per capire chi vince e chi perde! Ecco classifi

g

zi anche m ).

la ca, con g = 2m/s : 9,80

Posizione Solido Concorrente Velocit raggiunta Momento dinerzia cv c z pI I I= =

1 Sfera piena Matteo 70 1,19527

g h g h 225M R

2 Cilindro pieno Luca 2 3 1,1547

3g h g h

2

2M R

3 Guscio sferico Giovanni 30 1,09545

g h g h 223M R

4 Guscio cilindrico Marco g h 2M R

48

La gara quindi vinta da Matteo che ha scelto la sfera piena, al secondo posto Luca che a scelto il cilindro pieno, al penultimo posto Giovanni che ha optato per il guscio sferico,

posto Marco che ha preferito il guscio cilindrico e gli costato unamara

Pe ca retazione geometrica:

hinfine, allultimo sc nfio

rtta! pire meglio il fenomeno, il seguente grafico n da una interp

19,6

21 1c+

10 1

1

m

Kg

c I

h

M

=

=

=10con cmR =

VELOCITA' RAGGIUNTA AL TERMINE DEL vROTOLA

1,4

MENTO SU UN PIANO INCLINATO

0,00,10,20,30,40,50,60,7

1,2

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5MOMENTO D'INERZIA [Kg*m^2]

VE

LOC

ITA

' RA

G]

e ne deduce che allaumentare del momento dinerzia

1,3

1,01,1

A [m

/s

0,80,9

GIU

NT

S zI diminuisce la velocit del olido omogeneo che rotola senza strisciare lungo un piano inclinato. e avesse partecipato alla gara un concorrente (di nome Massimo) che sfidando i quattro mici, ad esempio con una cassa di forma qualunque, che ovviamente striscia, ma si uppone lattrito nullo o comunque trascurabile, avrebbe vinto? er rispondere a questa domanda sufficiente impostare il principio di conservazione ellenergia come fatto in precedenza. guagliando lenergia potenziale e lenergia cinetica e sostituendo i valori di entrambi i embri, si ottiene:

cvsSasPdUm

2 20

1 12 2h h c c

U K M g h M v I == = + oich la cassa non rotola, ma striscia: p

210 02 c

I = = quindi:

M 12

g h M = 2cv da cui si ricava la velocit che raggiunge una cassa (corpo), di qualunque forma e dimensioni, al termine di un piano inclinato:

2 1,4142cv g h g h=

49

Tale velocit poteva alternativamente ricavarsi impostando e svolgendo il limite in cui il momento dinerzia 0zI :

0 02

2lim lim 2 1,4142cg hv g h g hI+ + 1I cM R

z zI + a risposta sicuramente si. In presenza di attrito nullo o trascurabile, un qualunque corpo he striscia giunger per primo al termine del piano inclinato rispetto a un corpo che rotola. a notarsi che anche in questo caso la massa

=

Lc

MD del corpo non influisce sulla velocit di trisciamento lungo una discesa. Inoltre, nel caso limite in cui il momento dinerzia zIs finitamente grande, la velocit nulla: cvin

2

2liz zIm lim 0

1c I c

g hv IM R

=

+

a nuova classifica di conseguenza: L

Posizione Solido Concorrente Velocit raggiunta Momento dinerzia cv c z pI I I= =

1 Corpo qualunque

Massimo 2 1,4142g h g h 0

2 Sfera piena Matteo 70 1,19527

g h g h 225M R

3 Cilindro pieno Luca 2 3 1,1547

3g h g h

2

2M R

4 Guscio sferico Giovanni 30 1,09545

g h g h 223M R

5 Guscio cilindrico Marco g h 2M R

50

INDOVINELLO 15 Il salvadanaio

Indicando con: trovata nel salvadanaio di Pino pari a 20,80

vata nel salvadanaio di Daniele pari a 69,46 e fratelli

1S La somma2S La somma trox La somma incognita donata dalla mamma ai du

Impostando lequazione risolutiva, si ha:

2 122 2S Sx x + = + da cui si ricava immediatamente la somma donata dalla mamma ai due fratelli:

sostituendo il valore delle somme di Pino e Daniele:

erci ciascuno dei

due fratelli ha ricevuto dalla madre 27,86 .

2 12 4S Sx =

1

2

20,8069, 46

2 4 55,72

SS

S S x

= = = =

x 2 1Quindi la mamma ha donato complessivamente ai due figli 55,72 , p

51

INDOVINELLO 16 Il giocatore dazzardo

a il valore dellincognita

Quindi il giocatore dazzardo aveva inizialmente nel portafogli 900 .

Indicando con x la somma iniziale che il giocatore aveva nel portafogli prima di entrare nelle due sale da gioco, si pu scrivere lequazione risolutiva dellindovinello:

( )( ) = 2 2 500 500 600 0xx : da cui si ricav

900x =

52

INDOVINELLO 17 Una pigna per una pallottola

er individuare chi tra la pigna e la pallottola giunge per prima al suolo da una medesima ltezza, necessario analizzare distintamente i due casi.

1) La pigna. o spazio che separa la pigna dal suolo dato dallequazione (si supposto lattrito con aria trascurabile):

Pa

Ll

212

s g t= indicando con: s Lo spazio [m] g 2Laccelerazione gravitazionale pari a 9,80 [m/s ]

Il tempo [s] Da questa equazione si ricava il tempo impiegato dalla pigna per cadere al suolo, e la velocit con cui giunge al suolo:

t t

v

2

2

12dt dt

stgds ds g t g t

= = = = =

Derivando la velocit rispetto al tempo si ottiene laccelerazione con cui la pigna prende elocit, e come prevedibile, pari alla accelerazione gravitazionale dato che oltre alla

v

vforza di gravit non vi nessunaltra forza che agisce sulla pigna:

( )2d s dv d2a s v g t gdt dt dt= = = = = = Poich la pigna si trova a 1,70 m di altezza, il tempo di caduta libera :

2 1,70 0,5899,80

[s]t = = impiegher poco pi di mezzo secondo per raggiungere il suolo.

n are, il tempo di caduta di una pigna, o di un qualunque altro corpo, non dipende n dalla massa, n dal peso e dalla forma (nel caso di attrito con laria nullo) ma dipende solo ed esclusivamente

el fucile compier un percorso parabolico, descritto dall quazione, espressa in coordinate cartesiane:

La caduta libera rappresenta un moto incipiente e come si pu ot

ndallaltezza da cui cade un corpo. 2) La pallottola La pallottola uscendo alla velocit v dalla canna d

e

( ) ( )2

2tan

2 cosgy x x

v

2=

in cui

langolo di inclinazione del fucile rispetto allorizzonte. In questo caso 0 = e , quindi lequazione del moto parabolico : 0x

222

gy xv

= he descrive la met esatta di una parabola. c

53

A cui si aggiunge laltezza del fucile dal suolo: h2

22gy x hv

= gittata

+ Gx del proiettile data dal sistema ( s h= ): La

222

0

gy x hv

y

= + =

da cui:

122 2 0,4517G

hx v v g h v hg

= = e la lunghezza di una qualunque curva,

data dallintegrale di linea:

2

1

2d ( ) 1x

xf x dx

dx = + A

sostituendo il valore degli estremi di integrazione e della funzione ( )f x con lequazione della parabola descritta dalla pallottola, si ha:

12

2 222 2

2 20 01 1

2 2Gx v g hg d gd x h dx x h dx

dx v dx v = + + = + +

A A he diventa:

c

( ) 1212 24 2 2 4 2 2 42 2 424 20

0

ln

2

v g h

v g h v g x v g x g x g x vg x v dxv g v

+ + + + + = =

A A solto lintegrale indefinito e sostituiti gli estremi di integrazione, si ottiene la lunghezza ella traiettoria parabolica percorsa dal proiettile, che risolta numericamente, per evitare alcoli prolissi, fornisce il risultato:

on m/s m/s

hvg

= = = =

vece la gittata : =

vviamente

ridc

294,5140865

1,75009,8 2

m

m

A

c

in294,5075446 mGx

Gx>Ao sempre. i pu notare che in questo caso GxA S (differiscono di 6/10 di millimetro) perch laltezza a cui si spara con il fucile (1,7 m) molto piccola se raffrontata alla gittata che di quasi 00 m. a traiettoria percorsa della pallottola

d3

294,5140865 m=A . L

54

Il grafico sottostante rappresenta la traiettoria che la pallottola segue dalluscita della canna del fucile sino a raggiungere il suolo (in assenza di attrito). Il grafico non in scala dato che i valori dellasse delle ordinate sono molto pi piccoli dellasse delle ascisse.

A

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,11,21,31,41,51,61,71,8

0 25 5 10 125 150 175 200 225 250 275 300

GITTATA [m]

ALT

EZ

A D

I SP

AR

O

Ora si conosce anche la lunghezza del tragitto percorso dalla pallottola (la velocit un data del quesito). Per calcolare il tempo impiegato dal proiettile per giungere al suolo, si a lic me:

0 75 0

Z [m

]

pp a lequazione del moto rettilineo unifor [m]x[m/s] [s]

Gvt

= d u tema c i si ricava il po:

[m] [s] [m/s]Gxt

vricordando

= che s h= :

vt =

2 hg

v2 2 0,5h s = = = 89 [s]

ci dimostra che il tempo impi rra, in caduta libera, da una al z di una pallottola spara da unarma puntata perfettamente su i i casi la massa della pigna e della pallottola e la velocit di qu s zano in alcun modo il tempo di caduta, il quale condizionato solo da chiaro che ci avviene in condizioni ideali in cui lattrito tra aria e pr ie i vento modifica sensibilmente il m zza cos piccola da r rabile lattrito con laria.

g gegato da una pigna a cadere a te

tell

za h lo stesso orizzonte. In entramb

e tultima non influenll altezza h . E o ttile sia almeno trascurabile (nella pratica la presenza dte po di caduta di una pallottola, anticipandolo); la pigna cade da unalte itenere in ogni caso trascu

55

INDOVINELLO 18 Larcipelago di Fantasilandia

Tutte e quattro le isole possiedono una superficie per ciascuna. Per capire quale isola ha il maggior numero di Km di costa, bisogna calcolare il perimetro di ciascuna isola esprimendolo in funzione dellarea. 1) Isola di forma circolare di raggio e perimetro :

P

r CP

2r r 2 2

2

C C

C

P r P

P

= == =

=

2 Isola di forma quadrata di lato e perimetro : ) A QP2

4 4Q QP P

= = A= = AA

3) Isola di forma esagonale di lato e perimetro : EP

42

4

212

4

3 3 123

6 2 123E E

P P

= =

= =

4) Isola dalla forma di triangolo equilatero di lato e perimetro : TP

34

2

3

4 =

344

3 2 33

2 33 2 3T TP P

=

= =

Per determinare lisola con il maggior numero di Km di costa sufficiente approssimare la parte numerica dellespressione dei tre perimetri, magari con luso di una calcolatrice,

P

3

oppure pi elegantemente si pu scrivere unipotesi di relazione di grandezza e verificare se confermata. Seguendo questultima strada, si avr: ipotesi: TP P P> > > sostituendo i rispettivi valori dei perimetri, omettendo

C Q E

perch compare in ognuno di essi, ed elevandoli al quadrato:

( ) ( ) 232 22 4 42 4 2 12 2 3 > > >

56

quindi:

( ) ( ) ( )2216 4 12 12 3 > c

22

2

4 3,141592.....

4 16 4 12 12 3

16 256 192 432

on

> > = > > > > > >

lipotesi errata, infatti questa quella corretta 2432 256 192 16 > > > , perci il giusto o l seguente:

C

In co renditore sar pi conveniente scegliere lisola di forma triangolare (e i le coste pi lunghe, mentre lisola di rma circolare ha meno Km di costeNella tabella sottostante sono rappresentate le lunghezze delle coste di ognuna delle quattro isole.

rdine di grandezze iT Q EP P P P> > >

nclusione, allimplatero) perch haqu fo delle altre tre.

Forma dellisola Superficie Lunghezza della costa

Triangolare (equilatero) 342 3 4,559014113TP = 4QP = Quadrata

Esagonale ( )42 12 3,722419436EP = 2 3,544907701CP = Circolare

57

INDOVINELLO 19 Luniverso di Fantasilandia

Solido V S F

343

r 24 r 1 Sfera -

2 Cubo 3A 26 A 6 32 A 210 A 6 3 Parallelepipedo formato da due cubi adiacenti

4 Cono equilatero 333

23 -

5 Cilindro equilatero 32 6 2 -

Poliedro regolare F ` V S

3212

2 3 6 Tetraedro 4 3 4 6

7 Esaedro 6 4 8 12 3 26

323

22 3 8 Ottaedro 8 3 6 12

9 Dodecaedro 12 5 20 30 ( )23 5 5 2 5 + 315 7 54

+

( )10 Icosaedro 20 3 12 30 312

5 3 5 + 25 3 Legenda:

Volume del solido Superficie totale del solido Numero di facce del solido Numero dei lati del poligono che costituisce ogni faccia Numero dei vertici

VS F

` Numero degli spigoli

Raggio della sfera Lato del cubo

r A Raggio della circonferenza di base del cono equilatero Raggio della circonferenza delle due estermit del cilindro equilatero Lunghezza dello spigolo 58

Ora necessario esprimere la superficie in funzione del volume che uguale per tti.

S Vtu

Solido Superficie in funzione del volume S V

1 Sfera 2

3 3 33 34 1 3 1 343 2 2

r r = = =

V V S V

2 Cubo ( )23 3 36= = = V VA A S V

3 Parallelepipedo formato da due cubi adiacenti

2

3 3 32 12 2

= = = V VVA A S 0

4 Cono equilatero

26 6

3 3 33 3

3 3 33

= = =

V V S 3 V

5 Cilindro equilatero

2

3 32 362 2

=

VS = = VV

22 12 12 6 Tetraedro regolare

3 3 3312 2 2

= = = V VV S

7 Esaedro regolare ( )23 3 36 = = = V V S V

8 Ottaedro 2

3 3 32 3 2 3 3 = = =

V VV S regolare 3 2 2

9 Dodecaedro regolare ( )2

3 3 315 7 5 4 43 5

4 15 7 5 15 7 5 + = = = + + +

V VV S 5 2 5

10 Icosaedro regolare ( )

( ) ( )2

33 3

5 3 5 12 125 312 5 3 5 5 3 5

+ = = = + +

V VV S

Sviluppando il valore della superficie simbolicamente e numericamente, isolando il

termine

S23V , si pu determinare quale solido a parit di volume sviluppa una superficie

maggiore. La tabella della pagina successiva la classifica in ordine decrescente del

solido con lestensione della superficie pi grande.

V

59

Solido Sviluppo della superficie in funzione del volume S V

1 Tetraedro regolare 2 2

6 3 36 3 7,205621731= V VS

2 Cono equilatero 2 2

3 3 33 3 6,336921061= V VS

3 Parallelepipedo formato da due cubi adiacenti

2 23 3 35 2 6,29960524= V VS

4 Cubo ( ) 22 3636= VS = V 236= VS 4 Esaedro regolare

2 263 3

232 3 5,7191057576 Ottaedro regolare 3= V V S

7 Cilindro equilatero 2 2

3 3 33 2 5,535810445= V VS

8 Icosaedro regolare 23

23 31890 3 810 15 5,148348556= VS V

9 Dodecaedro regolare

( )2 63 129600= VS 5 29903 5 38080 3 17024 15 6684283521

+

234,298074882 VS

10 Sfera 2 2

33 33 3,04647389223= V VS

Il Consiglio Intergalattico dovr scegliere il pianeta che ha la forma di tetraedro regolare!!

60

INDOVINELLO 20 Il filo per stendere i panni

Il filo sottoposto al peso proprio assumer la forma di una curva detta catenaria. In questo caso gli estremi della catenaria stanno alla stessa quota, e si esprime attraverso la funzione del coseno iperbolico:

xcoshy kk

= con k , detto parametro della catenaria , indicante

laltezza minima del filo. uando la catenaria assume valori tali per cui 2k e le potenze supeQ riori possono essere

trascurate rispetto alla potenza prima, come avviene nel caso di un filo da stendere, la atenaria tende ad una configurazion ppando in serie di Taylor): c e parabolica (svilu

2 4

2 4cosh 1 .........2 24k

k k k= + + +

x x x

giungendo alla funzione:

y k

( ) 2h k x k + 2d4

y

Per calcolare la lunghezza della catenaria si utilizza lintegrale di linea:

=in cui h laltezza di attacco del filo ai pali e d la distanza tra i pali.

A2

1

( ) 1x

2x d f x dx

dx = +

A quindi:

( ) 2d 222

2

41d

h kd x k dxdx d

= + + che fornisce il risultato:

A

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2222 2 16 44 16 ln

8

d h k h kh k d h k d

d

h k

+ + + + = A

2

21,6 0, 256 1,65

mcon m

m

hk yd

= = = = x +

si ottiene la lunghezza del filo tale che nel punto pi basso 1,6 m:

Quindi la casalinga dovr mettere un filo lungo 5,08 m, praticamente 8,5 cm in pi della istanza tra i pali del filo da stendere. Nella pagina seguente rappresentata la funzione

5,084 mA

dmatematica del filo in questione.

61

CATENARIA DEL FILO DA STENDERE

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

SUOLO [m]

ALT

EZZ

A [m

]

62

INDOVINELLO 21 A Paola piacciono le ciliegie

postando lequazione risolutiva ed indicando con il numero iniziale di ciliegie ontenute nel vaso:

QImc

5

3

113n

Q Qn=

= + a cui si ottiene: d

133 4 5Q Q QQ = + + +

splicitando e svolgendo lequazione si ricava: QE1

1 1 113 1 603 4 5

Q = + + =

Quindi il vaso conteneva inizialmente 60 ciliegie e Paola in 3 giorni ne ha mangiato 47.

63

INDOVINELLO 22 Somma e prodotto uguali

ondizioni imposte nel quesito:

\

er cui deve verificarsi:

Quindi:

conica (raffigurata nel grafico qui accanto). E precisamente una iperbole, la cui equazione si ottiene esplicitando una delle due variabili, ad esempio

C 1 2

1 2

,0

x xx x

P

1 11 1

0i ii i

n n n nn nn n

x x x x= == =

= =1 2 1 2 1 2 1 2 0x x x x x x x x+ = + =

Lequazione di sopra rappresenta una

2x , per cui:

12

1 1xx

x=

Tutte le coppie di numeri il cui prodotto e somma forniscono lo stesso risultato, giacciono sul tracciato del grafico

appresentato dal colore rosso). bitrario

in in

(rPer cui assegnando un valore ar

gresso, per 1x , considerandola va iabr ile indipendente, si ottiene:

1 = 2 3x = infatti: 3x 23 93 e + = 3 93

2 2 =

Da n er il quale non possibile trovare un altro numero re le erificare lequazione 2

2 2otarsi che lunico numero reale p

a affinch sia possibile v 1 2 1x x x x+ = , il numero 1 poich oincide con lunico asintoto verticale delliperbole in questione, infatti: c

1

1lim x = 1 1x x

In ltre pa ero reale diverso da 1, da 0 (soluzione banale) e da 2 (il ui numero corrispondente se stesso

1

a role, per qualunque num

1 2 2x x= = poich 2 2 2 2 4 = + =c ) possibile tale che se moltiplicati e sommati forniscono il medesimo

risultato: trovare un altro numero reale

{ }1 1 20 1 2;2;1x x x x x + = \ importante sottolineare che quanto affermato per la variabile 1xE vale allo stesso modo

per laltra variabile 2x , poich liperbole simmetrica rispetto alla coordinata cartesiana (1;1) individuata dallintersezione dellasintoto verticale 1 1x = e orizzontale . 2In conclusione si pu affermare che le coppie di numeri che soddisfano tale condizione sono infinite, pi precisamente vi sono

1x =1 coppie.

1x

2x

64

INDOVINELLO 23 Il figliol prodigo

d indicando con: Giorni

Generalizzando il problema, en q somma ricevuta dal giovane k somma minima raggiunta R rapporto con il quale decrementa la somma iniziale Si imposta lequazione risolutiva atta a calcolare in quale giorno il giovane rimarr con 1 :

nR q k = 0 10con:

Rk q

<

SOMMA SPESA DAL GIOVANOTTO

0

1

2

3

4

5

6

7

66

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

k SOMMA RIMASTA

n G

IOR

NI

evidente che nel giorno 0 il giovanotto ha la somma iniziale di 1024 :

ln1024

1ln2

k

n

=

E

010 1024 10242

con: nR q k n k = = = = con il trascorrere dei giorni, tale somma, si dimezza continuamente in successione eometrica.

eg

INDOVINELLO 24 Lasino e il mulo

Indicando con: x Sacchi portati dallasino y Sacchi portati dal mulo Le condizioni imposte dallindovinello sono:

Ordinate in sistema, e svolto:

51

57

x yx y = =

= =

Q indi i 7 sacchi.

( )1 2 11 1

y xy x+ = = +

2 32

12 1 3 1 2 7

= xyu lasino porta un carico di 5 sacchi, mentre il mulo porta un carico d

67

INDOVINELLO 25 Alice e Roberto

dicando con: Monete di Alice Monete di Roberto Quantit minima di monete

e condizioni imposte dallindovinello sono:

Inx y q L

( )63

x q y qy q y q

+ = = +

rdinate in sistema, e svolto: O11 6 7 15

1 4 11q qq q

=1

3 3 3 15x q= 11 q

3

y =

tit minima di monete sar 3; quindi:

o di monete che potrebbe avere Alice 45.

qPoich 3 un numero primo, la quan45x =

11y =

Si conclude che il numero minim

68

INDOVINELLO 26 La scala fra due torri

Generalizzando il problema si ha: x Distanza incognita della sca

cala Lunghezza della torre pi alta

la dalla torre pi alta y Lunghezza incognita della s

1 A2 Lunghezza della torre pi bassa d Distanza tra le due torri Tale generalizzazione implica, utilizzando il teorema di Pitagora: d x Distanza della scala dalla torre pi bassa

A

2 21y x= + A Lunghezza della scala

Ovviamente deve verificarsi:

1 2y > A A y > d

Impostando lequazione risolutiva, utilizzando nuovamente il teorema di Pitagora:

( )22 2 21 2x d x+ = +A A Elevando al quadrato primo e secondo membro ed esplicitando lincognita si ricava la distanza della scala dalla torre pi alta:

x

2 2 22 1

2dx

d+ = A A

La lunghezza della scala data da:

( )4 2 2 2 2 2 222 2 2 2 1 2 2 1 122 11

2 2

2 2

d ddyd d

+ + + + + = + = A A A A A AA A A

2

69

Sostituendo i valori numerici:

si ottiene il punto del suolo dove deve essere posata una scala, in modo che appoggiata alluna o allaltra torre ne raggiunga esattamente la cima, e la lunghezza della scala stessa:

Per cui, come indicato dal disegno sottostante, la scala dovr distare 7 m dalla torre pi alta o 15 m dalla torre pi bassa e sar lunga 25 m.

1

2

2420

22d

= = =

AA

725

xy= =

Si pu facilmente osservare che nel caso in cui le 2 torri abbiano la medesima altezza, la

distanza tra le torri: scala dovr essere posta nella met della

1 2 2 1

2 2 2 2 2 22 1 2 1lim lim

2 2d d

d d + + = = 2

dA A A

A A A A

A

70

INDOVINELLO 27 Le due torri e la fonte

Analogamente allindovinello precedente (n26), si ricava immediatamente la posizione della fonte rispetto alle torri:

x

2 2 22 1

1

183 41,52

x = =

2 1

9080

83 117100 58,52 2

1

on:

dx

x

+ == =

= = = =

A A

A

er cui la fonte dister 41,5 braccia dalla torre pi alta e 58,5 braccia dalla torre pi bassa.

2 dA

c100

2

d =

x d

P

71

INDOVINELLO 28 Se tu mi dai una mano

Indicando con:

Tempo impiegato dal padre a tosare da solo il prato Tempo impiegato dal figlio a tosare da solo il prato

Impostando il sistema risolutivo si ottengono due iperboli la cui intersezione la soluzione dellindovinello:

x y

20 8 1

10 15 1

x y + = + =

820

x yxy

x

=

1510

207

xy =

ome si evince dal grafico sottostente, lintersezioni sono due per la presenza della oluzione banale mentre lintersezione indicata dal punto rosso la soluzione ellindovinello (le linee verticali sono i due asintoti verticali delle rispettive iperboli, ve ne ono anche due orizzontali che non sono stati tracciati per non appesantire il disegno):

22088 15 220 731,42 2222020 10 7

x

x x x yx x

= = = =

Cs 0; 0x y= =ds

Q in solo, quasi 31 minuti e mezzo, mentre il figlio impiegher solamente 22 minuti esatti.

u di, il padre impiegher a tosare il prato, da

72

INDOVINELLO 29 Un leone, un leopardo e un ghepardo

Indicando con:

1t Tempo impiegato dal leone per mangiare da solo la zebra 2t Tempo impiegato dal leopardo per mangiare da solo la zebra

Tempo impiegato dal ghepardo per mangiare da solo la zebra Tempo impiegato dai 3 predatori per mangiarsi assieme la zebra

Impostando una semplice sommatoria, i tre predatori assieme, in un'ora mangiano:

3t T

31

1 1 2 3

1 1 1 1 1 1 37 0,6174 5 6 60nn

tt t t

=

= + + = + + = Quindi in unora riescono a mangiare poco pi della met di una zebra; per mangiare tutta la zebra impiegano:

1 131

1

37 1,621 1 3760

nn

T t h

=

= = mTale sommatoria una successione armonica che allinfinito diverge.

73

INDOVINELLO 30 Leredit dei 35 cammelli

oluzione di Gianfranco Bo tratta dalla pagina web: ttp://digilander.libero.it/basecinque/numeri/eredita.htm

oich 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 = 34/36 notaio aggiunge un suo cammello e consegna /2 di 36 = 18 cammelli al primo figlio; /3 di 36 = 12 cammelli al secondo figlio; /9 di 36 = 4 cammeli al terzo figlio. tutto ha consegnato 34 cammelli. unque si riprende il suo cammello e si tiene uno dei 35 cammelli come ricompensa. bello della storia che nessun figlio protesta per laudacia del calcolo, in quanto tutti anno ricevuto pi del dovuto!

Sh Pil111InDIlh

74

INDOVINELLO 31 Il cavallo stanco

Si pu subito calcolare lo spazio percorso nel -esimo giorno indicando con il tragitto

j ktotale del cavallo (Km) e con i la durata complessiva in giorni del tragitto:

( )1 10

22 11 2

2

i j

j iij

nn

k ks

=

= =

Il primo giorno il cavallo ha percorso:

62 700 448001 7 352,752 1 127

Kms = = mentre per i 6 giorni successivi:

12

22400127 176,382

Kmss = = =

2 13

3 14

4 15

5 16

67

44800

2 12744800

11200127 88,192 4 4 127

448005600127 44,09

2 8 8 12744800

2800127 22,052 16 16 127

44800127 11,02

2 32 32 127

2

Km

Km

Km

Km

s ss

s ss

s ss

s ss

ss

= = = =

= = = =

= = = =

= = = =

= =

1400

1

44800700127 5,51

64 64 127 Kms = =

Tuttavia, il tragitto percorso dal cavallo in ognuno dei 6 giorni (successivi al primo giorno) si pu alternativamente calcolare utilizzando la formula generica per il -esimo giorno, utilizzata per determinare i Km percorsi dal cavallo il primo giorno ( it pi onveniente calcol o spazio percorso un determinato giorno dividercorso il giorno precedente e cos via. E evidente che se la durata del tragitto fosse pi nga e servisse sapere i Km percorsi dal cavallo in un determinato giorno, sar ecisamente pi rapido applicare la formula generale per il -esimo giorno. conferma di quanto scritto, la somma dei percorsi parziali dei 7 giorni fornisce come omma il percorso totale che di 700 Km:

j1 ); per semplic

endo per 2 lo spazio s

c are lplu

jdAs

7

1 1700

i

j nj ns k s

= == =

75

Fornendo una rappresentazione grafica del percorso del cavallo in funzione di un dato iorno, sia ha: g

TRAGITTO DEL CAVALLO

0

50100

150

200

250300

350

400

450500

550

600

650700

750

Km

per

cors

i "s"

0 1 2 3 4 5 6 7

Giorno "d"

7700 2127

d

s=

ale curva una funzione esponenziale: T( ) c xy x a b =

89600127

a = = 21

in cui bc =

76

INDOVINELLO 32 Dilapidare la ricchezza

dicando con: Soldi rimasti dopo giorni Giorni Somma posseduta dalluomo inizialmente

In

nSn q R Rapporto con il quale decrementa la somma iniziale si imposta lequazione risolutiva:

q Rn

<

INDOVINELLO 33 Un filo intorno alla Terra

Indicando con: Circonferenza terrestre

Incremento arbitrario mediante il filo Raggio terrestre

Raggio dellanello posto a distanza costante dalla superficie terrestre

kr

'rR Differenza tra i raggi e i ha:

r 'r s

' '

'

22

22

2 2 211 0,16

216on: m m cm

r r

kk r r

k kR r r

k Rc

= = ++ = =

+= = = = =

uindi, il gatto ha a disposizione circa 16 cm in altezza per passare tra lanello posto a istanza costante dalla superficie terrestre e la superficie stessa; in tale spazio un ualunque gatto pu passarci agevolmente, per cui la risposta allindovinello icuramente affermativa. a notarsi che la differenza tra i raggi e , cio

Qdqs

r 'r RD , funzione del solo incremento rbitrario mediante il filo, cio , mentre la lunghezza della circonferenza non influenza il alore di

a k Rv , infatti:

( )2kR f k = =

oltre In R e sono direttamente proporzionali, quindi allaumentare di vi un cremento proporzionale di

k kRin , e la rappresentazione geometrica che lega le due

ariabili una retta passante per lorigine degli assi cartesiani con una pendenza positiva i circa 9 sessagesimali.

vd

78

INDOVINELLO 34 Se io avessi venduto tante uova come te...

eneralizzando il problema, ed indicando con: Uova vendute da Alda Uova vendute