La logica matematica

Si ringraziano per il loro contributo gli alunni della classe IB Lic. Sc. A.S. 2010-2011

• La logica studia le proposizioni logiche e le relazioni tra esse.

• Una proposizione logica è un’affermazione per la quale esiste un criterio ben preciso per stabilire se è vera o falsa.

• A: <<19 è un numero primo>> è una proposizione logica (Vera)

• B: <<19 è un numero grande>> non è una proposizione logica

• C: <<100 è divisibile per 3>> è una proposizione logica (Falsa)

Le proposizioni logiche possono essere semplici o composte.

Proposizione logica semplice:

una proposizione logica si dice semplice o atomica se contiene un solo predicato.

Proposizione logica composta:

una proposizione logica si dice composta o molecolare se contiene più di un predicato cioè se è composta da più proposizioni semplici.

Proposizioni semplici• A: <<123 è divisibile per 3>> (Vero)

• B: <<125 è il quadrato 5>> (Falso)

Proposizioni composte• C: <<se 123 è divisibile per 3 allora 123 non è

un numero primo>> (Vero) • D: <<un numero pari è sempre divisibile per 3 e 123 è

divisibile per 5>> (Falso)

I connettivi logici

Due o più proposizioni logiche semplici possono essere legate tra di loro in modo diverso mediante connettivi in modo da formare proposizioni logiche composte

I connettivi vengono detti anche operazioni logiche perché permettono di ottenere, partendo da due o più proposizioni Vere o False, una sola proposizione che può essere Vera o Falsa

I connettivi logiciNegazione

La negazione si esegue negando il predicato verbale, invertendo così il valore di verità. A: <<99 è divisibile per 3>> VA: <<99 non è divisibile per 3>> F

A

A

V F

F V

Tavola di verità della negazione

Congiunzione

La congiunzione si esegue unendo le due proposizioni con la congiunzione e. La congiunzione risulta vera solo se entrambe le proposizioni sono vere, falsa in tutti gli altri casi.

A: <<2 è un numero primo>> VB: <<18 è divisibile per 3>> V C: <<256 è divisibile per 11>> FAB: <<2 è un numero primo e 18 è divisibile per 3>> VBC: <<18 è divisibile per 3 e 256 è divisibile per 11>> F

A B ABV V VV F FF V FF F F

Tavola di verità della congiunzione

Disgiunzione inclusiva

La disgiunzione si esegue unendo le due proposizioni con la congiunzione o. La disgiunzione risulta falsa solo se entrambe le proposizioni sono false, vera in tutti gli altri casi.

A: <<3 è divisibile per 9>> FB: <<15 è divisibile per 6>> FAB: <<3 è divisibile per 9 o 15 è divisibile per 6>>

Tavola di verità della disgiunzione inclusiva

A B ABV V VV F VF V VF F F

Disgiunzione esclusiva

Nella disgiunzione esclusiva il risultato risulta vero soltanto se le proposizioni logiche sono una vera e una falsa, risulta falso se le proposizioni logiche hanno lo stesso valore diverità.A: <<3 è un numero primo>> VB: <<15 è divisibile per 5>> V

AB <<o 3 è un numero primo o 15 è divisibile per 5>> F

Tavola di verità della disgiunzione esclusiva

A B ABV V FV F VF V VF F F

.

Implicazione materiale

L’implicazione tra due proposizioni logiche si esegue congiungendo le proposizioni con se…allora… L’implicazione risulta falsa soltanto nel caso in cui la prima è vera e la seconda è falsa.A: <<3 è un numero primo>> VB: <<18 è divisibile per 5>> FAB: <<se 3 è un numero primo allora 18 è divisibile per 5>> F

Tavola di verità dell’implicazione

A B ABV V VV F FF V VF F V

Doppia implicazione (coimplicazione)

La doppia implicazione si esegue congiungendo le due frasi con se e solo ………allora

La doppia implicazione risulta vera se le due proposizioni logiche hanno lo stesso valore di verità, falsa negli altri casi.A: <<3 è divisibile per 2>> FB: <<5 è un numero primo>> VAB: << se e solo se 3 è divisibile per 2 allora 5 è un numero primo>> F

Tavola di verità della doppia implicazione

A B ABV V VV F FF V FF F V

Espressioni logiche

Le espressioni logiche sono costituite da due o più operazioni logiche.AB con A (V) e B(F)AB =VF = FF = F

Tautologie

Si chiama tautologia un’espressione logica che risulta vera qualunque sia il valore di verità delle proposizioni che la costituiscono.A A.

A A ABV F VF V V

Contraddizioni

Si chiama contraddizione un’espressione logica falsa qualunque sia il valore di verità delle proposizioni che la costituiscono.A A

A A A AV F FF V F

Enunciati aperti

Si chiama enunciato aperto una proposizione logica che contiene una o più variabili.A(x): <<x è multiplo di 3>>Si chiama insieme universo l’insieme che contiene tutti i valori che possono essere attribuiti alle variabili dell’enunciato aperto.U= xN|x15A(5): <<5 è multiplo di 3>> FB(6): <<6 è multiplo di 3>> V

Insieme verità

Si chiama insieme verità il sottoinsiemedell’insieme universo che contiene tutti gli elementi che rendono vero l’enunciato aperto.

1 2 4 5 7 8 1011

13 14

3 6 9 1215

A

U

Insieme verità

A(x)= enunciato apertoA= insieme verità

A(x): <<x è multiplo di 3>>A= {3;6;9;12;15}

1 2 4 5 7 8 10

11

13 14

3 6 9 1215

AUInsieme verità A(x): <<x è multiplo di 3>>

U= xN|x15Insieme verità di A(x)A={3,6,9,12,15

Cioè l’insieme verità della negazione è il complementare dell’insieme verità rispetto all’insieme universo

Negazione di A(x)A(x) : <<x non è multiplo di 3>>Insieme verità di A(x)A={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14

Negazione di un enunciato aperto

13

14

U= xN|x15A(x): <<x è multiplo di 3>>B(x): <<x è pari>>Insiemi verità di A(x) e B(x)A={3,6,9,12,15 B={2,4,6,8,10,12,14

Cioè l’insieme verità della congiunzione è l’intersezione dei due insiemi verità

Congiunzione di A(x) con B(x)A(x)B(x) : <<x è multiplo di 3 e x è pari>>Insieme verità di A(x)B(x) A∩B ={6,12

Congiunzione tra due enunciati aperti

1 2 47 8 1011 14

3612 9 15

AU

B

1 2 47 8 1011 14 13

3612 9 15

AU

U= xN|x15A(x): <<x è multiplo di 3>>B(x): <<x è pari>>Insiemi verità di A(x) e B(x)A={3,6,9,12,15 B={2,4,6,8,10,12,14

Cioè l’insieme verità della disgiunzione è l’unione dei due insiemi verità

Disgiunzione di A(x) con B(x)A(x)B(x) : <<x è multiplo di 3 o x è pari>>Insieme verità di A(x) B(x) AUB ={2,3,4,6,8,9,10,12,14,15

Disgiunzione tra due enunciati aperti

B