Introduzione

Operazioni con le proposizioni

La congiunzione

La disgiunzione

Negazione di una proposizione

L’implicazione

La coimplicazione

Proprietà delle operazioni logiche

Tautologie

La logica opera con le proposizioni o enunciati, cioè tutte le frasi che possono essere definite vere o false. Sono proposizioni le seguenti frasi:

“7 è multiplo di 4” e “La Terra è un pianeta”

in quanto si può dire che la prima è falsa, mentre la seconda è vera. Non sono invece proposizioni queste frasi:

“Domani pioverà” e “Luca verrà promosso”

perché non si può stabilire il loro valore di verità.

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Le proporzioni si possono unire tra di loro attraverso delle operazioni che hanno come simboli i connettivi logici che, a seconda del simbolo, si leggono

“e, o, se… allora, se e solo se,…”.

Per negare un enunciato si usa la locuzione “non” che viene chiamata operatore di negazione e si indica con una linea sopra alla proposizione da negare.

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pp qq ppΛΛqq

VV VV VV

VV FF FF

FF VV FF

FF FF FF

Esempio:

p, q

p = “oggi è sabato” F

q = “2+2=4” V

pΛq = “oggi è sabato e 2+2=4” F

La congiunzione di due proposizioni p e q è uguale alla proposizione p Λ q che è vera solo quando p e q sono contemporaneamente vere e falsa in tutti gli altri casi.

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pp qq ppVVqq

VV VV VV

VV FF VV

FF VV VV

FF FF FF

Esempio:

p, q

p = “Lecce è una provincia” V

q = “la porta è aperta” F

pVq = “Lecce è una provincia o la porta è aperta” V

La proposizione nata dalla disgiunzione di p e q è quella proposizione che sarà falsa solo quando sia p che q saranno false. In tutti gli altri casi la proposizione sarà vera.

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Quando una proposizione vera viene negata, esse diventa falsa, mentre se la proposizione è falsa, diventerà vera.

pp pp

VV FF

FF VV

¯̄

Esempio:

p

p = “Il quadrato ho 4 lati” V

p = “Il quadrato non ha 4 lati” F¯̄

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pp qq pp→→qq

VV VV VV

VV FF FF

FF VV VV

FF FF VV

Esempio:

p, q

p = “Marco studia” V

q = “Marco è promosso” V

p →→ q = “Se Marco studia allora Marco è promosso” V

Connettendo due o più proposizioni tramite la locuzione “se… allora”, cioè con l’implicazione, otterremo una proposizione che risulterà falsa solo nel caso che la prima sia vera e la seconda falsa.

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pp qq pp↔↔qq

VV VV VV

VV FF FF

FF VV FF

FF FF VV

Si definisce coimplicazione di p e q la proposizione che è vera quando p e q hanno lo stesso valore di verità e falsa negli altri casi.

Esempio:

p, q

p = “Il Po è una montagna” V

q = “7 è un numero primo” V

pVq = “Il Po è una montagna se e solo se 7 è un numero primo” V Home

1) Proprietà commutativa della della congiunzione e della e della disgiunzione:

p p ΛΛ q = q q = q ΛΛ p p V p p V q = q q = q V pV p

2) Proprietà associativa della congiunzione e della disgiunzionedella congiunzione e della disgiunzione:

(p (p ΛΛ q) q) ΛΛ r = p r = p ΛΛ (q (q ΛΛ r) r)

(p V (p V q) q) V r = p V (q V r)V r = p V (q V r)

3) Proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzionedella congiunzione rispetto alla disgiunzione:

(p (p ΛΛ q) q) V r = (p V r = (p ΛΛ q) V (q) V (p p ΛΛ r)r)

4) Proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzionedella disgiunzione rispetto alla congiunzione:

(p V (p V q) q) ΛΛ r = (p V r = (p V q) q) ΛΛ ( (p V r)p V r)

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Se una formula enunciativa risulta vera in tutti i casi possibili viene detta tautologia. Per indicare che una formula A è una tautologia si scrive ╞ A. Quando una formula enunciativa è sempre falsa allora si chiama contraddizione.

Esempio:

aa bb aaΛΛbb

(a(aΛΛb) b) →→ a a

VV VV VV VV

VV FF FF VV

FF VV FF VV

FF FF FF VV

aa aa aaΛΛaa

VV FF FF

FF VV FF

¯̄ ¯̄

TAUTOLOGIA CONTRADDZIONETAUTOLOGIA CONTRADDZIONE Home

Nei ragionamenti di matematica ci sono sempre delle affermazioni, le premesse di cui si conosce già il valore di verità. Da queste affermazioni se ne deduce una nuova, detta conclusione.

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11ª premessaª premessa a a → b→ b

22ª premessaª premessa aa

conclusioneconclusione bb

11ª premessaª premessa a a → b→ b

22ª premessaª premessa bb

conclusioneconclusione aa

¯

¯

MODUS PONENS

MODUS TOLLENS