ELEMENTI DI LOGICA

L'italiano, l'inglese, il francese, lo spagnolo sono linguaggi naturali con i quali gli uomini comunicano tra loro. Quando, in un bar tedesco, volete un te caldo e ordinate kalter Tee avrete una spiacevole sorpresa, il the invece di essere caldo sarà freddo! In questi casi abbiamo a che fare con dei "falsi amici" che esistono tra tutte le lingue esistenti. In alcuni casi le due parole di una tale coppia hanno un'origine comune, ma poi, nei secoli, l'uso di queste parole e con ciò il loro significato si è diversificato nelle due lingue. In altri casi l'identità (o la forte assomiglianza) delle due parole è un puro caso. I "falsi amici", cioè, sono coppie di parole in due lingue che sono molto simili o addirittura uguali, ma che hanno un significato diverso. Possono creare dei malintesi buffi, ma anche spiacevoli: quindi è meglio conoscerli. Se siete interessati potete vedere gli approfondimenti sui falsi amici. Ma simili malintesi si possono avere anche facendo uso dello stesso linguaggio. Se per esempio abbiamo un cartello con su scritto ELETTRICI, se esso si trova in un seggio elettorale o in un banco di scuola, il significato è diverso. In matematica questi malintesi non devono accadere! Nel linguaggio matematico ogni simbolo ha un significato preciso e universale. In questo contesto che si introduce la logica perché essa instaura delle regole nel linguaggio universale della matematica affinché esso sia privo di ambiguità e si possano eseguire ragionamenti esatti.

Come tutti i linguaggi anche quello matematico si esprime attraverso simboli e la loro conoscenza è necessaria per tradurre il linguaggio naturale di un testo in linguaggio matematico.

La logica formale si occupa soltanto di frasi costituite da affermazioni (proposizioni o enunciati). Da un punto di vista grammaticale la parola "proposizione" sta ad indicare l'espressione di un pensiero compiuto, formato almeno da un soggetto e da un predicato a cui possono eventualmente seguire alcuni complementi. Quindi non sono proposizioni le esclamazioni, gli ordini, le domande... Facciamo qualche esempio:

La mucca è un animale

il cavallo è un uccello

Roma è la più bella città del mondo

Notiamo che le prime due sono due proposizioni, la prima è vera, mentre l'altra è falsa, invece la terza esprime un giudizio soggettivo quindi non è una proposizione.

Proviamo a fare qualche esercizio:

Indica quale tra le seguenti frasi è una proposizione:

1. Vado a scuola 2. Prendo l’autobus 3. La moneta ruota velocemente 4. Il topo legge il giornale 5. Qui a L’Aquila a gennaio fa molto freddo 6. Parla più forte 7. Il tuo zaino è molto pesante 8. Domani vincerò il superenalotto 9. Lunedì arriva la supplente di matematica? 10. Il gatto gioca a calcio

11. Arriverò in orario? 12. Mia madre mi viene a prendere all’uscita 13. La matematica è una gran seccatura! 14. Stai zitto! 15. L’Aquila è una città stupenda 16. La mia borsa è piccola 17. Il Tevere bagna Firenze 18. Totti gioca con la juve

(Non sono proposizioni la 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16)

Per esercitarti potresti scrivere tu 5 proposizioni vere, 5 proposizioni false e 5 frasi che non sono delle proposizioni.

In un tale tipo di logica sussistono ancora i principi fondamentali della logica aristotelica, ossia:

Il principio di non contraddizione: una proposizione non può essere sia vera che falsa

Il principio del terzo escluso: una proposizione non può avere un altro valore di verità diverso da "vero" o "falso". Le proposizioni si possono connettere fra loro a formare proposizioni composte. Il valore di verità della proposizione composta dipende dal tipo di connettivo e dal valore di verità delle proposizioni componenti. I connettivi si distinguono dal numero di proposizioni (1,2,…n) che possono connettere (mono-, bi-,… n-argomenti). L’effetto del connettivo si specifica elencando tutti i possibili casi di combinazioni di valori vero e falso delle proposizioni componenti. In altre parole le proposizioni composte si valutano attribuendo valori di verità alla proposizioni semplici e applicando i connettivi. L’ordine di applicazione dei connettivi rispecchia, a meno di parentesi “(”,”)” la seguente gerarchia: not, and or < = >… Incominciamo ad introdurre il connettivo "not" che è un connettivo mono-argomentale.

Definizione:

il connettivo not nega il valore della proposizione.

Facciamo un esempio

piove Not piove

V F

F V

Quindi la nostra tabella di verità per il connettivo not è la seguente:

TAVOLA DI VERITA' DI NOT

p Not p V F F V

La negazione della negazione di una proposizione è la proposizione stessa.

N.B. Nella lingua naturale inglese la doppia negazione equivale ad una affermazione ed è una regola osservata rigorosamente, mentre questo non accade nella lingua naturale italiana, il che crea spesso degli equivoci. La negazione o il connettivo not corrisponde, negli insiemi, all'operazione di passaggio al complementare di un dato insieme.

Se ad esempio la proposizione è:

il numero 2 è un numero pari la sua negazione non è il numero 2 è un numero dispari, perché altrimenti non si considera lo zero. Perciò la negazione sarà semplicemente

il numero 2 non è un numero pari.

Mario è biondo La sua negazione sarà: Mario non è biondo

Oppure se la proposizione è:

La camicia è bianca La negazione sarà: la camicia non è bianca.

Non potrò dire la camicia è nera, perché altrimenti non farei il suo complementare.

Facciamo qualche esercizio insieme:

p Not p

L’Abruzzo è una regione dell’Italia L’ Abruzzo non è una regione dell’Italia

Dante è un poeta del rinascimento Dante non è un poeta del rinascimento

A tutti i giovani piace ballare Non è vero che a tutti i giovani piace ballare

Paolo non è mai obbediente Non è vero che Paolo non è mai obbediente

Come possiamo notare dall’esercizio precedente non sempre la negazione di una proposizione si ottiene mettendo il connettivo "non" prima del verbo: quando si devono negare proposizioni che contengono avverbi come "mai, sempre, qualche volta, ogni tanto, tutti i giorni" oppure che contengono aggettivi come "tutti, nessuno, qualcuno" è necessario prestare molta attenzione e spesso è opportuno negare utilizzando l'espressione "non è vero che...".

Esercizi sul connettivo not

Scrivi la negazione delle seguenti proposizioni

1. Sara e Paolo sono amici 2. Il frigorifero di casa è sempre pieno 3. La televisione non è mai spenta 4. Mio padre è simpatico 5. Nella mia comitiva siamo tutti amici 6. La frutta è tutta matura 7. A L’Aquila fa sempre freddo 8. Daniela è andata al mare con Tommaso 9. Paolo ha fatto il vaccino 10. Tutti i bambini piccoli fanno il vaccino

I principi basilari della logica sono applicati in numerosi campi. Ad esempio, a partire da essi si è costruita la logica dei circuiti.

Tutti noi sappiamo che in un circuito passa o non passa corrente rispettivamente se il circuito è chiuso o aperto e che per poter aprire e chiudere un circuito in generale si usano gli interruttori. Per capire meglio possiamo pensare alla corrente come al flusso dell'acqua e l'interruttore lo possiamo immaginare come il rubinetto. Attenzione però, noi ingenerale diciamo che quando il rubinetto è chiuso non passa l'acqua, invece quando parliamo di corrente elettrica, quando chiudo il circuito è allora che passa corrente.

Indichiamo con 1 l'eventualità che il circuito sia chiuso (passa corrente) e con 0 che il circuito sia aperto (non passa corrente).

Dato che non possiamo vedere il passaggio della corrente che si dirama nelle varie parti del circuito poniamo all'interno di esso una lampadina. Se si accende allora avrò il passaggio di corrente. D'altra parte anche noi quando in casa manca la corrente per verificare se è ritornata vediamo se si accende la luce. Quindi la lampadina ci serve solo per verificare il passaggio di corrente.

p: interruttore chiuso not p: interruttore aperto

immagine di un circuito chiuso immagine di un circuito aperto

un circuito che simula il connettivo not potrebbe essere il seguente:

+P +P

Ma quali sono i circuiti che si comportano così nella vita quotidiana?

• L' illuminazione pubblica, ma anche l’ illuminazione esterna condominiale, è strutturata in modo tale che sia attivata in mancanza di un ben preciso livello di luminosità ambientale e viceversa. Ciò si ottiene tramite un sensore elettronico (interruttore crepuscolare) che fornisce un segnale opportuno in assenza di luce. Detto sensore funziona come il connettivo NOT in quanto in assenza di luminosità (segnale di ingresso = 0) permette l'accensione (segnale =1) delle luci.

Not p

p

Not p

p

• Il telecomando del televisore è dotato di un tasto con cui ottenere il suo spegnimento. All' interno dell' apparecchio TV ci sarà certamente un circuito che, attivato dal segnale ricevuto dal telecomando (segnale 1), interrompe l'attività normale del televisore (segnale 0).

• Nella radiosveglia o in orologi di tipo elettronico dotati di suoneria è presente anche un tasto che, se premuto (cioè posto = 1) in presenza di suoneria attiva (uscita =1), ne consente l'interruzione (uscita = 0). Se non mi sbaglio si chiama snooze.

• In ogni ambiente aperto al pubblico è divenuta obbligatoria l' installazione di luci di emergenza che si attivano quando viene a mancare la alimentazione. Quest'ultima situazione può essere creata ad arte togliendo tensione all'impianto tramite l'interruttore generale. Quest'ultimo si comporta come il connettivo NOT nei confronti delle luci di emergenza che diverranno attive (uscita 1) quando l'interruttore verrà disattivato (ingresso 0).

• La spia del carburante presente in gran parte delle autovetture viene attivata (posta a 1) quando un rivelatore di livello segnala la prossima mancanza dello stesso. Ciò è ottenuto con un dispositivo (assimilabile ad una barretta che, fissa ad un estremo, viene collegata all'altro con una pallina galleggiante) che con carburante presente, tiene chiuso, cioè a 1, un interruttore. Q invece il carburante è più basso di un certo livello, il dispositivo apre l'interruttore (posizione 0), e attiverà la luce della spia.

• Nella mia lavastoviglie c’è la luce che segnala la fine del lavaggio. Anche in questo caso il dispositivo al suo interno si comporta come il connettivo not infatti quando la lavastoviglie è in funzione (interruttore in 1), la luce è spenta, quando invece la lavastoviglie ha finito il lavaggio (interruttore in 0) si accende la luce di fine ciclo.

• Inoltre sempre nella lavastoviglie c’è una spia che segnala ma mancanza di sale al suo interno. Questo credo che sia più o meno lo stesso dispositivo usato per la spia del carburante.

• Un altro esempio potrebbe essere quello della spia della cintura di sicurezza del guidatore. Quando la cintura è stata infilata nella chiusura (interruttore in 1), la pia è spenta, quando invece non è stata inserita la spia è accesa.

Il primo connettivo bi-argomentale che vediamo è il connettivo AND. Esso corrisponde alla congiunzione italiana (il simbolo è ∧ ).

Definizione

La proposizione composta con " ∧ " è vera solo se i due enunciati semplici sono veri.

Facciamo un esempio:

Per andare a scuola devo prendere lo zaino e uscire di casa.

Uscire di casa Prendere lo zaino Vado a scuola V V V F V F V F F F F F

Tabella di verità di AND

p q p ∧ q V V V F V F V F F F F F

Facciamo qualche altro esempio dell'uso di AND (=E)

- Per avere le scarpe allacciate devo allacciare la scarpa sinistra e quella destra. - A pranzo mangio sempre il primo, il secondo e la frutta - La professoressa di italiano è bella e simpatica - il numero 6 è divisibile per 2 e per 3. - Il numero 8 è un multiplo di 4 e di 2 - Mio marito è biondo e ha gli occhiali.

Avete mai giocato ad Indovina chi? Ognuno ha una propria scheda in cui può ci sono uomini e donne castani, bioni con occhiali e con altre caratteristiche. Il gioco consiste nell’indovinare qual è il personaggio che ha pescatoil vostro avversario da un mazzo di carte che contiene gli stessi personaggi della scheda.Voi fate prima una domanda, ad esempio se è un uomo e se l’avversario risponde di si, buttate giù tutte le donne. Poi fate una seconda domanda, ad esempio se porta gli occhiali, e se l’avversario risponde di sì, buttate giù tutti quelli che non li portano. Quello che state facendo è usare il connettivo and. Attenzione! Se però voi aveste chiesto al vostro avversario, che può rispondere solo sì o no alle vostre domande se il suo personaggio è un uomo e porta gli occhiali in un’unica domanda, se una di queste caratteristiche fosse stata falsa lui avrebbe dovuto rispondere di no.

Se guardiamo il connettivo AND in insiemistica esso corrisponde a fare l'intersezione tra gli insiemi, infatti nell’esempio precedente io considero l’insieme di tutti gli uomini biondi e l’insieme di tutti gli uomini con gli occhiali e il “marito” si deve trovare nell’insieme intersezione.

Dato che la proposizione composta con " ∧ " è vera solo se i due enunciati semplici sono veri, allora per poter costruire il circuito associato all' AND devo avere gli interruttori collegati in serie:

Uomini biondi . Uomini con occhiali

Mio marito

Così la nostra lampadina si accenderà solo nel caso in cui entrambi gli interruttori siano chiusi.

Ma quali sono i circuiti che si comportano così nella vita quotidiana?

• Nei robot di cucina è di solito presente un interruttore di contatto per verificare il perfetto inserimento del coperchio del recipiente in cui sono inserite le vivande da "trattare". Se tale interruttore non è attivato il robot non va in funzione anche se si fornisce tensione

• Il "salvavita", di cui dovrebbero essere dotati tutti gli impianti elettrici, si pone in AND (serie) con tutti i dispositivi elettrici serviti dall'impianto stesso dato che solo se è in posizione chiuso (cioè pari a 1) consente l'alimentazione dell'impianto.

• Le normali radiosveglie hanno a disposizione un unico display per visualizzare l'ora e i minuti. Normalmente viene presentata l'ora corrente, ma tramite un tasto si può visualizzare, in alternativa, l'ora in cui verrà attivata la suoneria (o la radio). Volendo variare una delle due, si devono premere simultaneamente due tasti, uno per scegliere il tipo di ora da cambiare ed uno per impostare il nuovo dato. Cioè, solo l'utilizzazione contemporanea di due tasti (che quindi sono in AND logico tra loro) permette di variare il dato precedentemente memorizzato.

+ PILA Plus + PILA

Plus

+ PILA Plus + PILA

Plus

• Si è spesso visto in televisione il sistema di votazione elettronico presente alla Camera dei Deputati (e al Senato). In ogni scranno è presente un dispositivo che contiene un lettore di tessera magnetica (per abilitare la votazione) ed una serie di tasti con cui esprimere il voto. Ognuno di essi è certamente posto in AND con il lettore dato che, in assenza di riconoscimento, non è consentita la partecipazione al voto.

• Nelle moderne autoradio è presente un dispositivo per memorizzare la frequenza su cui ricevere una stazione radio. Per poter aumentare il numero di canali disponibili è presente un ulteriore tasto che permette di selezionarne un insieme piuttosto che un altro (di solito, ma non necessariamente, ad esso è anche associata una banda di frequenza). Per cui, per poter ricevere una stazione radio ben precisa, si deve selezionare sia l'insieme che il singolo canale utilizzando (anche non contemporaneamente) due tasti che quindi risultano tra loro in AND logico.

Definizione di disgiunzione

La disgiunzione può essere esclusiva o inclusiva.

Considera le seguenti proposizioni composte:

- Oggi pomeriggio o esco o sto a casa - Io mangio o guardo la tv.

Nella prima proposizione si può verificare solo una delle due situazioni mentre nella seconda è possibile che si verifichino anche entrambe.

Nel primo caso la disgiunzione è esclusiva (perché una situazione esclude l'altra) nel secondo è inclusiva (perché entrambe le situazioni possono verificarsi). Iniziamo a spiegare la disgiunzione inclusiva e il suo connettivo.

Definizione del connettivo or (il simbolo è ∨ ).

Una proposizione composta formata da due proposizioni semplici unite dal connettivo or è falsa solo se entrambe le proposizioni semplici sono false

Facciamo un esempio:

Per superare i test di medicina, debbo essere preparato o debbo essere raccomandato.

Essere preparato Essere raccomandato Ho superato i test di medicina

V V V

F V V

V F V

F F F

Tabella di verità di OR

p q p ∨ q

V V V

F V V

V F V

F F F

Facciamo qualche altro esempio:

- la domenica ascolto la musica o porto il cane a passeggio - il 2 è un numero pari o 3 è un numero dispari - il Tevere è un fiume o il Tirreno è un mare - quando esco mi metto il cappotto o la sciarpa - Marco è amico mio o di mio marito. - Io ho la macchina o il motorino - Mangio o faccio i compiti

Il circuito associato al connettivo or è costruito mettendo gli interruttori in parallelo.

Ma quali sono i circuiti che si comportano così nella vita quotidiana?

• L'impianto di riscaldamento di una casa è normalmente diviso in zone (zona giorno e zona notte) al fine di consentire una gestione della temperatura diversificata tra le varie stanze. Per ottenere ciò in ogni zona è presente un termostato (funziona come un interruttore che si chiude quando la temperatura è inferiore a quella impostata) che comanda (anche se non direttamente ) l'accensione della caldaia. Basta che uno dei termostati sia chiuso per far sì che la caldaia si attivi. Quest' ultima si spegnerà quando nessun termostato segnala temperatura inferiore a quella impostata.

• Di solito le autovetture hanno in dotazione il dispositivo di apertura centralizzata delle porte. Esso consente di sbloccare le portiere anteriori aprendo una qualunque delle due. Il blocchetto di apertura situato in una delle due portiere risulta quindi essere in OR con quello presente nell'altra. Il singolo blocchetto è assimilabile a due interruttori di tipo posizionale (giro a destra apro, a sinistra chiudo o viceversa) in cui l'attivazione di una posizione sblocca l' altra.

• Ogni abitazione, sia che si tratti di villetta che di appartamento in condominio e/o palazzina, è dotata di un campanello elettrico che consente di richiamare l'attenzione di una persona per

+ PILA Plus + PILA

Plus

+ PILA Plus + PILA

Plus

farsi aprire. Detto campanello è presente sia sull'accesso principale (cancello della villetta, portone del condominio) che su quello dell'abitazione vera e propria (casa o appartamento). Premendo uno dei due pulsanti si provoca (di solito per il tempo che resta premuto) il suono di un campanello atto ad attirare l'attenzione dei presenti in casa. Per ottenere un tale effetto i due pulsanti devono essere posti in OR.

• Un dispositivo di allarme antiintrusione è basato sul rilevamento della presenza di esseri in movimento all'interno dei locali oggetto di controllo. Ciò è ottenuto grazie a dei "sensori" che, quando si accorgono dell'esistenza di qualcosa che si muove, inviano un segnale alla centralina di comando. Basta che uno di questi venga attivato per mettere in azione una o più sirene di allarme realizzando così una funzione OR tra i vari rilevatori.

• Nel caso di installazione di un impianto di allarme in una abitazione nella quale si può accedere da più punti (es. porta principale ed autorimessa) vengono installati dei dispositivi (lettori di chiavi elettroniche, chiavi vere e proprie, etc.) che hanno il compito di attivare / disattivare il funzionamento del sistema. Questi dispositivi sono messi tra loro in OR in quanto la funzionalità si ottiene utilizzando uno qualunque degli stessi.

• Per accendere un televisore dotato di telecomando è sufficiente premere un qualunque tasto selettore di canale. Ciò significa che all'interno del televisore è presente una funzione OR sui segnali che giungono da alcuni dei tasti del telecomando

La disgiunzione logica esclusiva XOR

La disgiunzione esclusiva "o" è un connettivo logico che restituisce vero se, e solo se, una delle proposizioni è vera, ma non entrambe cioè:

o una o l'altra ma non tutti e due!è un aut aut!

o mangi la minestra o salti la finestra

Tabella di verità XOR

P Q P xor Q V V F F V V V F V F F F

L'or esclusivo tra due proposizioni A e B solitamente si scrive A xor B, dove "xor" sta per la traduzione inglese di "or esclusivo", "eXclusive OR".

La disgiunzione esclusiva è possibile ottenerla anche componendo insieme i connettivi finora studiati, infatti le espressioni logiche equivalenti sono:

A xor B=(a and not b) or (not a and b)

Verifichiamo l’uguaglianza con l’aiuto delle tabelle di verità:

a Not a b Not b A and not b Not a and b (a and not b) or (not a and b)

V F V F F F F V F F V V F V F V V F F V V F V F V F F F

A xor B=(a or b)and (not (a and b) )

Verificate la precedente equivalenza per esercizio con l’aiuto delle tabelle di verità.

Nella teoria degli insiemi il connettivo XOR corrisponde alla differenza.

Avendo due insiemi A e B, il complemento di A rispetto ad B o l'insieme differenza B meno A, è formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. Di solito di indica con B-A.

Esempi

- {1,2,3,4,5} - {3} = {1,2,4,5} - {a,b,c,d} - {c,d,e,f} = {a,b} - {1,2,3} − {2,3,4} = {1} - {2,3,4} − {1,2,3} = {4}

Immagine circuito xor

DA FARE

Ma quali sono i circuiti che si comportano così nella vita quotidiana?

• (è un circuito Xor? ) il circuito costruito per prenotare la fermata dell'autobus

• La mia penna scrive o rosso o blu o nero. FOTO Della Penna

Altri connettivi bi-argomentali sono < = > che si usano con valori numerici.

Definizione di implicazione (materiale):

Due o più proposizioni semplici si possono comporre attraverso l'implicazione. L'operatore dell'implicazione ha come simbolo ⇒ che si legge se ... allora ... (in inglese if ... then...).

Le due proposizioni p, q collegate con l'implicazione si rappresentano con: p ⇒ q. La prima proposizione viene detta antecedente, la seconda conseguente. Il valore di verità dell'implicazione è falso solo nel caso in cui l'antecedente è vero e il conseguente falso.

Facciamo qualche esempio:

Se piove (antecedente), allora le strade sono bagnate (conseguente).

N.B. l’implicazione non si deve confondere con la deduzione logica (ipotesi-tesi), che è una successione di ragionamenti, intuizioni, calcoli.

Se la premessa è falsa allora p⇒q è vera qualunque sia la conseguenza.

Tabella di verità P Q p ⇒ q V V V F V V V F F F F V

Esempio:

Se fai i compiti ti compro il gelato.

Se non faccio i compiti non è detto che mia madre non mi compri il gelato perchè non mi ha detto cosa succede se non li faccio!

Quando sia la premessa che a conseguenza sono false, la proposizione composta è vera.

Infatti: "se tu hai giocato con un marziano allora io sono superman"

In questa frase sia la premessa che la conseguenza sono false ma con questa frase si evidenzia in modo originale che l'aver giocato con un marziano è una fandonia, il che è decisamente vero!

Caratteristica dell’implicazione materiale è che risulta vera anche quando non c’è un nesso di significato fra antecedente e conseguente. Posso prendere due proposizioni qualsiasi; devo solo evitare il caso che l'antecedente sia vero e il conseguente sia falso. In tutti gli altri casi è vera.

Invece nella vita quotidiana c'è sempre rapporto di significato tra antecedente e conseguente.

Qui, ad esempio, è vero che " se 3 è pari (falso), allora oggi è giovedì (falso)". E questo può sembrare un tranello: può apparire una frase inutile, poichè non c'è alcuna relazione di significato tra le due frasi.

Sono così stati chiamati anche "paradossi dell'implicazione materiale" (sono i casi di implicazione materiale che sono veri quando antecedente e conseguente non hanno relazione fra loro). Una logica fondata su questo non può essere buona per il linguaggio comune. C'è allora una enorme frattura tra logica formale e logica della realtà.

Le difficoltà dell'implicazione materiale sono reali e profonde, ed emergono quando c'è una relazione tra antecedente e conseguente.

Definizione di doppia implicazione (equivalenza logica) Connettivo "se e solo se "

Due o più proposizioni semplici si possono comporre attraverso l'equivalenza logica o doppia implicazione. L'operatore dell'implicazione ha come simbolo ⇔ che si legge se e solo se. Il valore di verità della doppia implicazione è falso quando una delle due proposizioni è falsa.

Verrò a trovarti, se e soltanto se non piove.

L’antecedente implica la conseguente, ma anche quest’ ultima implica la prima.

Da non confondere con la doppia deduzione logica (condizione necessaria e sufficiente).

P Q p ⇔ q V V V F V F V F F F F V

Facciamo qualche esempio:

oggi è lunedì ⇔ domani è martedì

Definizione di Teorema o di tautologia

Un teorema è una proposizione composta che è vera per qualsiasi combinazione di valori di verità attribuita alle sue proposizioni semplici.

Facciamo un esempio:

piove o non piove

se facciamo la tabella di verità otteniamo:

piove Non piove Piove o non piove V F V F V V

Oppure se prendiamo la prima legge di De Morgan essa dice che

not (A and B)= not A or not B

verifichiamolo tramite la tabella di verità:

a b a and b Not (a and b) Not a Not b Not a o not b V V V F F F F F V F V V F V V F F V F V V F F F V V V V

Anche l'affermazione "Tutti i corvi sono neri, oppure non lo sono", è una tautologia, perché è vera indipendentemente dal colore dei corvi.

L'opposto della tautologia è la contraddizione, un'affermazione che è sempre falsa per qualsiasi valore delle sue componenti.

Le tautologie sono poste alla base di ogni conoscenza matematica poiché sono lo strumento fondamentale per la dimostrazione dei teoremi. Infatti ogni dimostrazione cerca di ricondurre il teorema a una tautologia per dimostrarne la verità o a una contraddizione per dimostrarne la falsità.

In questo circuito passa sempre la corrente e la lampadina è sempre accesa: esso simula la tautologia

Definizione di contraddizione

La contraddizione è una proposizione composta che è falsa per qualsiasi combinazione di valori di verità attribuita alla sue proposizioni semplici.

In questa accezione essa è l'opposto della tautologia. Un esempio banale di contraddizione in questo senso è dato da ( A ∧ ¬A ). Ad esempio: "piove e non piove".

In un ragionamento logico la contraddizione sussiste nel caso in cui, partendo da determinati assiomi, si arriva a dimostrarne la falsità, rendendo ovvia la falsità dell'intero ragionamento. Un utilizzo di questo metodo è il ragionamento per assurdo.

Facciamo qualche esempio:

- piove e non piove - il bianco è identico al nero

+P

In questo circuito non passa mai corrente e la lampadina è sempre spenta: esso simula la contraddizione

Esercizi Osservazioni sugli esercizi da proporre: potrebbero essere legati al programma svolto in altre materie Tra le seguenti frasi indica quelle che possono essere considerate proposizioni in matematica

o 4 è un numero dispari o Cristoforo Colombo scoprì l' America o Oh, che meraviglia !

• Indica se proposizioni che seguono sono vere o false o Milano è il capoluogo della Lombardia o 4 è un numero primo o Un quadrato ha gli angoli congruenti

• Assegna il relativo valore di verità alle seguenti proposizioni composte o I cavalli sono quadrupedi e mammiferi o Il numero 30 è dispari e divisibile per 3 o Il numero 3 è pari e il numero 8 è primo

• Scrivi le proposizioni semplici che compongono quelle che seguono e per ciascuna indica l' operazione logica che p stata applicata

o Cesenatico è sul mar Tirreno e Napoli su quello Ionio o Roma ha più abitanti di Latina o Napoli ha più abitanti di Roma

+P

• Completa la seguente tabella di verità:

P Q P Q V V F V F F F

• Assegna il valore di verità a queste proposizioni o Il numero 30 è dispari e maggiore si 28 o Febbraio ha 28 o 29 giorni o Gli elefanti sono erbivori e mammiferi

• Completa la seguente tabella di verità :

P Q P Q V V F V F F F

• Scrivi la negazione delle proposizioni seguenti : o I leoni mangiano i carciofi o Parigi non è una città sul mare

• Indica se queste proposizioni sono vere o false : o Una porposizione composta da due proposizioni vere è sempre vera o Negando una proposizione vera se ne ottiene sempre una falsa o Esiste una analogia tra il connettivo logico 'e' e l'operazione di intersezione tra

insiemi

• Scrivi le negazioni delle seguenti proposizioni : o Stamane Mario è assente da scuola o Il triangolo ha tre lati o Il M.C.D. tra 2 e 3 non è il numero 1

• Scrivi le cifre che si usano nel sistema binario

• Quali sono i connettivi binari ? • Come si chiama il connettivo ? • Il connettivo 'e' corrisponde a quale operazione tra insiemi ? • Il connettivo 'o' corrisponde a quale operazione tra insiemi ?

Il connettivo 'non' corrisponde a quale operazione tra insiemi ? Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

1. una di queste 10 affermazioni è falsa 2. due di queste 10 affermazioni sono false 3. tre di queste 10 affermazioni sono false 4. quattro di queste 10 affermazioni sono false 5. cinque di queste 10 affermazioni sono false 6. sei di queste 10 affermazioni sono false 7. sette di queste 10 affermazioni sono false 8. otto di queste 10 affermazioni sono false 9. nove di queste 10 affermazioni sono false 10. dieci di queste 10 affermazioni sono false (la nove) Esercizio: Gino e Marco sono due amici per la pelle, inseparabili e ne combinano di tutti i colori. Sono anche vicini di casa e quando possono cercano di vedersi anche di nascosto. Hanno inventato un sistema per cui senza chiamarsi al telefono riescono a sapere se possono uscire per combinarne una delle loro. Gino che dei due è il più responsabile ha costruito un circuito in cui si accende una lampadina quando Gino ha fatto i compiti e i suoi genitori sono usciti. Marco invece ha costruito un circuito in cui si accende una lampadina quando on gioca alla play station o non c’è Zorro alla tv. Sapresti dire come sono fatti i circuiti di Gino e di Marco?

Ma se una macchina conosce solo quando passa o non passa corrente a cui associa rispettivamente 1 e 0, come fa a contare? Eppure noi conosciamo calcolatrici, computer e li usiamo per fare i conti tutti i giorni, e questi coni sono anche difficili!

Qualsiasi calcolo, per quanto complesso possa essere, viene risolto dal calcolatore utilizzando un’aritmetica semplicissima, chiamata “binaria” composta solo da 2 cifre: lo zero e l’uno. Allo zero è associato il non passaggio di corrente, all’uno il passaggio di corrente.

Utilizzando un circuito elettrico è dunque possibile creare solo 2 cifre e ciò spiega perché, essendo i calcolatori formati da tanti circuiti, è stata preferita la numerazione binaria.

Mettendo assiem più circuiti è possibile rappresentare qualsiasi numero. Ad esempio, mediante 3 circuiti è possibile ottenere le combinazioni riportate nella tabella.

LAMPADINA a LAMPADINA b LAMPADINA c NUMERO binario

NUMERO decimale

SPENTA SPENTA SPENTA 000 0 ACCESA SPENTA SPENTA 100 4 SPENTA ACCESA SPENTA 010 2

SPENTA SPENTA ACCESA 001 1 ACCESA ACCESA SPENTA 110 6 ACCESA SPENTA ACCESA 101 5 ACCESA ACCESA ACCESA 111 7 SPENTA ACCESA ACCESA 011 3

Come potete notare il numero decimale si scrive con una cifra, invece per il numero binario corrispondente abbiamo bisogno di più cifre. È come quando andavo agli scout e mi insegnavano l’alfabeto morse. Con due soli simboli: il punto e il trattino potevo scrivere tutte le lettere dell’alfabeto e quindi tutte le parole possibili. Ma com’era lungo tutto il testo! Un tempo comunicavano così con il telegrafo.

Ma questi numeri binari come funzionano?

Per capire bene il sistema binario riandiamo per un attimo al nostro sistema decimale e ricordiamoci alcune cose.

Il nostro sistema di numerazione si chiama sistema decimale posizionale.

Il termine posizional sta ad indicare che i numeri 351 e 531 anche se hanno le stesse cifre rappresentano numeri diversi, infatti nel primo caso abbiamo 3 centinaia, 5 decine ed una unità, mentre nel secondo caso abbiamo 5 centinaia, 3 decine una unità. Quindi a seconda della posizione io so il alore di quel numero. Il termine decimale, invece sta ad indicare che le cifre che utilizziamo per scrivere i vari nueri sono 10 e cioè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ma come mai abbiamo scelto proprio 10 cifre? Il motivo è sicuramente dovuto la fatto che ogni nostra mano è composta da 5 dita e quindi abbiamo in totale 10 dita e quello che noi normalmente facciamo per contare è quello di associare ad ogni dito un oggetto che stiamo contando. Così qando arriviamo a 10, li raggruppiamo e diciamo che abbiamo una decina. Insomma noi raggruppiamo le cose di 10 in 10 (unità, decine, centinaia, migliaia…).

Il computer potremmo dire che ha solo due dita, quindi raggruppa a due a due quindi invece di avere unità, decine, decine di decine, decine di decine di decine, ha unità, coppie, coppie di coppie, coppie di coppie di coppie e così via. Perciò le posizioni occupate dalle cifre che nel sistema posizionale decimale valgono 1000, 100, 10, 1 per il computer valgono 8, 4, 2, 1.

Quindi il numero 1011 che nel sistema decimale vale:

11101100010001 ×+×+×+×

Nel sistema binario vale

11214081 ×+×+×+×

Se riscriviamo questo in forma esponenziale

0123 101101100101 ×+×+×+×

0123 21212021 ×+×+×+×

Possiamo capire la regola per passare dal sistema decimale a quello binario.

Ecco una semplice tabella per capire meglio:

Sistema decimale Sistema binario Spiegazione 0 0000 0 unità 1 0001 1 unità 2 0010 1 coppia 3 0011 1 coppia e 1 unità 4 0100 1 quaterna 5 0101 1 quaterna e 1 unità 6 0110 1 quaterna e 1 coppia 7 0111 1 quaterna 1 coppia e 1 unità 8 1000 1 ottava 9 1001 1 ottava e 1 unità 10 1010 1 ottava e 1 coppia 11 1011 1 ottava e 1 coppia e 1 unità 12 1100 1 ottava e 1 quaterna 13 1101 1 ottava 1 quaterna e 1 unità 14 1110 1 ottava 1 quaterna e 1 coppia 15 1111 1 ottava 1 quaterna 1 coppia e 1

unità

Ma in generale per passare da un numero decimale ad uno binario come si fa?

Si divide il numero da trasformare per la base del sistema di numerazione in cui vogliamo trasformare il numero, nel nostro caso per 2, e si continua a dividere fino a quando non otteniamo 0 come quoziente. Facciamo un esempio:

Poi si prendono i resti e si leggono dal basso verso l’alto, quindi 18 in base 10 si scriverà 10010 in binario.

Ora abbiamo visto quali sono i numeri che il calcolatore conosce e come li trasforma nei numeri a noi più conosciuti. Ora ci potremmo chiedere: Ma il calcolatore allora come fa a contare se con un solo circuito può creare un 1 ed uno zero? Realizziamo un microcalcolatore.

18 2 0 9 2

1 4 2 0 2 2

0 1 2 1 0