1 1.1 Elementi di logica matematica -...

CAPITOLO1

Nozioni preliminari

1.1 Elementi di logica matematica

La logica nacque nella Grecia classica e si sviluppò poi come scienza che tratta lavalidità di un’affermazione analizzando i nessi inferenziali, soprattutto deduttivi,tra le proposizioni che la compongono. Fin dai suoi albori, essa si trovò in strettorapporto con la matematica. In matematica, infatti, si costruiscono teorie rigorosee la logica fornisce al matematico gli strumenti per controllare la validità dei suoiragionamenti. In particolare con logica matematica si intenderà quella parte dellalogica applicata all’analisi della validità del “ragionamento matematico”.

RDefinizione (Proposizione)

Si dice proposizione (o enunciato) una affermazione alla quale si può far corrispon-dere (tramite un criterio oggettivo) il valore vero o il valore falso. Il valore di verità“vero” sarà indicato con V ed il valore di verità “falso” con F.

EEsempio 1.1

Sia P la proposizione “ Un qualsiasi numero dispari è divibile per due”. P risultafalsa in quanto, ad esempio, il numero dispari 3 non risulta divisibile per due.

RDefinizione (Proposizione decidibile)

Si dice decidibile una proposizione che può essere o provata o confutata.

EEsempio 1.2 (Antinomia di Russel (1872-1970))

Se un insieme contiene se stesso come elemento (ad esempio tale è l’insieme di tut-ti gli insiemi) si dirà che esso è autoincluso. Si consideri ora l’insieme A compostoda tutti gli insiemi non autoinclusi. Sia P la proposizione “L’insieme A è autoinclu-so”. Se si provasse P allora A dovrebbe contenere se stesso come elemento ma ciòcontraddice la definizione di A. Se, invece, la proposizione P fosse confutata alloraA non conterrebbe se stesso come elemento e, in base alla definizione di A, dovreb-be pertanto contenere se stesso come elemento e sarebbe pertanto autoincluso. Laproposizione P non può pertanto, onde evitare contraddizioni, essere né provatané confutata.

Nel seguito si supporrà che tutte le proposizioni considerate siano decidibili.

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CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 2

Alcune proposizioni non sono “scomponibili”: ad esempio la proposizione “2 è unnumero” non può essere scomposta in “2 è” e “un numero”. Tali proposizioni sa-ranno dette semplici. A partire da proposizioni semplici si possono costruire altreproposizioni che possono essere invece scomposte: ad esempio, a partire dalle pro-posizioni semplici “2 è un numero” e “2 è pari” si può costruire la proposizione, chesarà detta composta, “2 è un numero e 2 è pari”.

1.1.1 Operazioni logiche

RDefinizione (Equivalenza logica). Due proposizioni P e Q si dicono equivalentise hanno gli stessi valori di verità. L’equivalenza tra P e Q si indicherà con P =Q.

EEsempio 1.3

Sia P la proposizione “il triangolo ABC è isoscele” e Q la proposizione “il triangoloABC ha due angoli uguali”. Si ha, ovviamente, P =Q.

RDefinizione (Somma logica)

Date due proposizioni P e Q si dice somma logica di P e Q, e si indica con P ∨Q, laproposizione che è vera se almeno una delle due proposizioni risulta vera.

E’ utile rappresentare i valori di verità della somma logica tramite la seguente ta-bella di verità:

P Q P ∨Q

V V VV F VF V VF F F

EEsempio 1.4

Si considerino le proposizioni

• P =” Il numero n è divisibile per 2

• Q =” Il numero n è divisibile per 5

La proposizione P ∨Q è “Il numero n è divisibile per 2 o il numero n è divisibile per5”.

RDefinizione (Prodotto logico)

Date due proposizioni P e Q si dice prodotto logico di P e Q, e si indica con P ∧Q,la proposizione che è vera solo se entrambe le forme proposizionali sono vere.

E’ utile rappresentare i valori di verità della somma logica tramite la seguente ta-bella di verità,


P Q P ∧Q

V V VV F FF V FF F F

EEsempio 1.5


• P =” Il numero n è multiplo di 7

• Q =” Il numero n è multiplo di 5

La proposizione P ∧Q è “Il numero n è multiplo di 7 e contemporaneamente ilnumero n è multiplo di 5”.

RDefinizione (Negazione logica)

Date la proposizioni P si dice negazione di P, e si indica con ¬P, la forma proposi-zionale che è vera se P è falsa ed è falsa se P è vera.

E’ utile rappresentare i valori di verità della somma logica tramite la seguente ta-bella di verità,

¬P P

F VV F

EEsempio 1.6

Si consideri la proposizione P =”Il numero n è divisibile per 2”. La negazione di taleproposizione è ¬P = “Il numero n non è divisibile per 2”.

RDefinizione (Relazione di implicazione logica)

Date due proposizioni P e Q si dice relazione di implicazione logica, e si indica con1

P ⇒ Q, la relazione che sussiste tra P e Q nel caso in cui dalla verità di P segue laverità di Q. Se invece P è falsa Q potrebbe essere vera o falsa. Si dice anche che P ècondizione sufficiente per Q oppure che Q è condizione necessaria per P.

EEsempio 1.7


• P = “Il numero n è divisibile per 10”

• Q = “Il numero n è divisibile per 5”

1Tale relazione si legge “P implica Q”.


Siccome un numero divisibile per 10 è anche divisibile per 5 si può affermare cheP ⇒Q : affinché un numero sia divisibile per 5 è sufficiente che sia divisibile per 10.

"Osservazione

Se tra P e Q sussiste la relazione di implicazione logica P ⇒Q non è detto che sussi-sta anche la relazione Q ⇒ P. Dall’esempio precedente risulta chiaro, in effetti, cheun numero divisibile per 5 non necessariamente è divisibile per 10 (si consideri, adesempio, il numero 15). Se però accade che oltre all’implicazione logica P ⇒Q sus-siste anche l’implicazione Q ⇒ P si dice che P è condizione necessaria e sufficienteper Q o, viceversa, che Q è condizione necessaria e sufficiente per P. In tal caso siusa la notazione P ⇔Q.

RDefinizione (Teorema)

Si dice teorema una proposizione deducibile (sia essa Q) a partire da assiomi o al-tre proposizioni (indicati con P ). La proposizione P si chiamerà ipotesi mentre laproposizione Q sarà detta tesi.

"Osservazione

Per la dimostrazione di un teorema si useranno essenzialmente due tecniche:

• dimostrazione diretta (o costruttiva): supponendo valida l’ipotesi P si dedu-ce che la tesi Q è in relazione di implicazione logica con P : P ⇒Q

• dimostrazione indiretta (o per assurdo): si suppone valida l’ipotesi P e lanegazione della tesi ¬Q o, in altri termini, si suppone vera la proposizioneP ∧¬Q. Se si arriva ad una contraddizione (come può essere la negazionedell’ipotesi o di qualche assioma) si imputa tale contraddizione all’aver as-sunto come vera la negazione della tesi ¬Q. Onde evitare contraddizioni siritiene quindi falsa la negazione della tesi e vera la tesi stessa Q.

1.2 Elementi di teoria degli insiemi

Secondo le parole di Cantor (1845-1918), padre della moderna teoria degli insiemi“ un insieme è una collezione di oggetti determinati e distinti della nostra perce-zione o del nostro pensiero concepiti come un tutto unico”. A ben vedere, tutta-via, il termine “collezione” è usato semplicemente come sinonimo di insieme e laprecedente frase non può essere una definizione della nozione insieme.

Una definizione rigorosa della nozione di insieme esula dagli scopi del presentetesto: ci si limiterà pertanto a considerare gli insiemi come un concetto primitivo,sinonimo di collezione, aggregato, famiglia, classe o popolazione (in statistica) dioggetti.

Nel seguito gli insiemi saranno indicati con lettere maiuscole, A,B ,C , ... mentregli elementi dell’insieme saranno indicati con lettere minuscole, a,b,c, ... Se un


elemento a appartiene all’insieme A ciò si esprimerà simbolicamente con a ∈ A,che si legge “l’elemento a appartiene all’insieme A”. In modo analalogo se a nonappartiene all’insieme A si scriverà a ∉ A.

1.2.1 Individuazione di un insieme

Per caratterizzare un insieme si userà prevalentemente specificare gli elementi chelo compongono. Ciò sarà fatto in due modi:

• elencare direttamente gli elementi che appartengono all’insieme. Ad esem-pio, se l’insieme A è composto dagli elementi a,b,c si userà la notazione

A = {a,b,c}

• indicare la proprietà o le proprietà che caratterizzano gli elementi dell’insie-me. Ad esempio, se A è l’insieme dei numeri pari e positivi si potrà caratte-rizzarlo come (il simbolo | si legge “tale che” )

A = {n | (n pari) ∧ (n positivo)}.

"Osservazione

Si conviene di considerare identici (salvo menzione esplicita) due insiemi che dif-feriscono solo per l’ordine in cui gli elementi sono elencati: ad esempio {a,b,c} siconsidera identico a {a,c,b}.

1.2.2 Sottoinsiemi

Siano A e B due insiemi. Se ogni elemento di A è anche un elemento di B si diràche A è un sottoinsieme di B e si scriverà A ⊆ B. Più formalmente (il simbolo ∀ silegge “per ogni” e il simbolo : si legge “si ha”):

RDefinizione (Sottoinsieme)

∀a ∈ A : a ∈ A ⇒ a ∈ B ⇔ A ⊆ B.


Figura 1.1

Rappresentazione di Eulero-Venn di un insieme A contenuto nell’insieme B.

Se risulta anche B ⊆ A allora gli insiemi A e B coincidono, e si scrive A = B. Sel’insieme A non coincide con l’insieme B si scriverà A 6= B.

E’ comodo introdurre un insieme, detto insieme vuoto ed indicato con il simbolo∅, caratterizzato dal fatto di non contenere alcun elemento. Per convenzione si as-sume che, dato un qualunque insieme A, l’insieme vuoto sia un suo sottoinsieme:

∅⊆ A ∀A.

RDefinizione (Sottoinsieme proprio)

Se l’insieme A è un sottoinsieme dell’insieme B ma A non coincide né con B né conl’insieme vuoto si dirà che l’insieme A è un sottoinsieme proprio di B , e si scriveràA ⊂ B. Più formalmente:

(A ⊆ B) ∧ (∃b ∈ B |b ∉ A) ⇔ A ⊂ B.

Si veda la figura 1.1 in cui l’insieme A è un sottoinsieme proprio dell’insieme B.

EEsempio 1.8

• L’insieme dei numeri dispari è un sottoinsieme (proprio) dell’insieme deinumeri interi

• L’insieme dei numeri pari non è sottoinsieme dei numeri dispari

• L’insieme dei numeri razionali è un sottoinsieme (proprio) dell’insieme deinumeri reali


RDefinizione (Insieme delle parti)

Sia dato un insieme X . Si dice insieme delle parti di X , e si indica con P (X ), l’insie-me i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di X .

EEsempio 1.9

Dato l’insieme X = {a,b,c} l’insieme delle parti di X è dato da

P (X ) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.

1.2.3 Operazioni tra insiemi

Si consideri un insieme ambiente X e siano A, B e C suoi sottoinsiemi. Si possonodefinire le seguenti operazioni tra gli insiemi A e B :

1. Unione tra insiemi, indicata con A ∪B . Essa è data dall’insieme i cui elementisono elementi di A oppure elementi di B :

A∪B = {x ∈ X | (x ∈ A)∨ (x ∈ B)}

Figura 1.2

Diagramma di Eulero-Venn rappresentante l’unione tra gli insiemi A e B.

EEsempio 1.10

Siano A = {a,c, f } e B = {a,b}. Risulta

A∪B = {a,c, f ,b}.

Si osservi che l’unione tra insiemi gode delle proprietà

commutativaA∪B = B ∪ A,

associativa(A∪B)∪C = A∪ (B ∪C ).


Si ha, inoltre,A∪∅= A

eA ⊂ B ⇒ A∪B = B

2. Intersezione tra insiemi, indicata con A∩B. Essa è data dall’insieme i cui elementisono sia elementi di A sia elementi di B :

A∩B = {x ∈ X | (x ∈ A)∧ (x ∈ B)}

Figura 1.3

Rappresentazione di Eulero-Venn dell’intersezione tra gli insiemi A e B.

EEsempio 1.11


A∩B = {a}.

Si osservi che l’unione tra insiemi gode delle proprietà

commutativaA∩B = B ∩ A,

associativa(A∩B)∩C = A∩ (B ∩C ).

Si ha, inoltre,A∩∅=∅

eA ⊂ B ⇒ A∩B = A


RDefinizione (Insiemi disgiunti) Gli insiemi A e B si dicono disgiunti se risulta

A∩B =∅.

A

B

Figura 1.4

Rappresentazione di Eulero-Venn degli insiemi disgiunti A e B.

3. Differenza tra insiemi, indicata con A\B. Essa è data dall’insieme ottenuto elimi-nando da A gli elementi in comune con B :

A\B = {x ∈ X | (x ∈ A)∧ (x ∉ B)}

Figura 1.5

Rappresentazione di Eulero-Venn della differenza A\B.

EEsempio 1.12


A\B = {c, f }.


Si osservi che può risultare A\B = A pur essendo B 6= ∅ e A\B = ∅ pur essendoA 6= B. Tale proprietà non autorizza pertanto ad applicare alla differenza tra insiemile proprietà tipiche della differenza “aritmetica” tra numeri.

Tra le operazioni di unione e intersezione tra insiemi sussistono le seguenti relazio-ni distributive:

A∪ (B ∩C ) = (A∪B)∩ (A∪C )

A∩ (B ∪C ) = (A∩B)∪ (A∩C ).

La differenza X \A è l’insieme che contiene tutti gli elementi di X che non appar-tengono ad A. Essa si chiama complementare di A (rispetto a X ) e si indica conCX A o con A. Risulta, ovviamente,

A∪ A = X

e

A∩ A =∅.

Sussitono inoltre le seguenti proprietà (leggi di de Morgan):

A∪B = A∩B

A∩B = A∪B


Esercizi

1.1) Per le coppie di insiemi seguenti si determini A∪B , A∩B , A\B , B\A :

A = {1,3,5,7} B = {2,4,6,8}

A = {0,1,2,3,4} B = {2,3,5}

1.2) La proposizione ∅= {∅} è vera o falsa?

Utilizzando la rappresentezione grafica di Eulero-Venn, si risolvano gli esercizi se-guenti:

1.3) Siano A, B ,C sottoinsiemi dell’insieme delle parti di un opportuno insieme X .La proposizione A\(B\C ) = (A\B)\C è vera o falsa?

1.4) La proposizione (A\B)∪B = A è vera o falsa?

1.5) La proposizione (A∪B)\B = A è vera o falsa?

1.2.4 Prodotto cartesiano

Dati gli insiemi A e B il prodotto cartesiano tra essi, denotato con A ×B , è dato datutte le possibili coppie ordinate (a,b) con a ∈ A e b ∈ B.

EEsempio 1.13

Sia A = {0,1} e B = {0,2}. Si ha:

A×B = {(0,0), (0,2), (1,0), (1,2)}

mentre

B × A = {(0,0), (0,1), (2,0), (2,1)}.

Si osservi che A ×B 6= B × A essendo, ad esempio, la coppia ordinata (0,2) diversadalla coppia ordinata (2,0).

Come visto nell’esempio precedente risulta, in generale,

A×B 6= B × A.

E’ possibile effettuare il prodotto cartesiano dell’insieme A con se stesso: A × A.Si usa la notazione A × A = A2. Più in generale si indicherà con An il prodottocartesiano di A con se stesso effettuato n volte:


A× A× ...× A︸︷︷︸n vol te

= An ,

il cui generico elemento è dato dall n−upla ordinata (a1, a2, ..., an), con a1, a2, ..., an ∈A.

1.2.5 Applicazioni

Si considerino due insiemi non vuoti A e B. Se ad un elemento di A si fa corrispon-dere, tramite un qualche criterio (o legge) uno ed un solo elemento di B si dice cherisulta definita una applicazione (o funzione) da A a B. Più precisamente

RDefinizione (Applicazione)

Si dice applicazione o funzione da A a B un legame di natura arbitraria che associaad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Se si indica la legge di corrispondenza tra elementi di A ed elementi di B con ilsimbolo f , si userà spesso la notazione

f : A → B.

Se all’elemento a ∈ A l’applicazione f fa corrispondere l’elemento b ∈ B si useràanche la notazione

b = f (a).

L’elemento b ∈ B è detto anche immagine di a ∈ A tramite l’applicazione f .

.

.

a

b

f

AB

Figura 1.6

Rappresentazione grafica dell’applicazione f : A → B.


RDefinizione (Dominio e immagine)

Sia data l’applicazione

f : A → B.

L’insieme A si dice dominio dell’applicazione. Si dice invece immagine di A trami-te f , e si indica con f (A), l’insieme di tutti gli elementi b ∈ B che provengono daqualche a ∈ A :

f (A) = {b ∈ B |b = f (a), ∀a ∈ A}.

L’insieme f (A) è detto anche codominio dell’applicazione f .

Nel seguito saranno definite le nozioni di iniettività, suriettività, immagine inversa,invertibilità e grafico di un’applicazione f : A → B.

RDefinizione (Suriettività)

L’applicazione f : A → B si dice suriettiva se l’insieme B coincide con l’immaginef (A) cioè se f (A) = B.

"Osservazione

Si osservi che una funzione f : A → B è suriettiva se e solo se

∀b ∈ B ∃a ∈ A | b = f (a).

"Osservazione

Una funzione f definita nel dominio A può sempre essere ricondotta ad una fun-zione suriettiva considerandola come funzione da A a f (A).

RDefinizione (Grafico)

Si dice grafico di f : A → B il sottoinsieme G f di A×B definito come

G f = {(a,b) ∈ A×B |b = f (a)∀a ∈ A}.

RDefinizione (Immagine inversa)

Sia f : A → B e b ∈ B. Si dice immagine inversa di b, e si indica con f −1(b), l’insiemedegli elementi a ∈ A tali che b = f (a) :

f −1(b) = {a ∈ A |b = f (a)}.

EEsempio 1.14

Siano A = {0,1,2,3,4} e B = {−1,1} e f : A → B l’applicazione che fa corrisponderead ogni a ∈ A il valore (−1)a : f (a) = (−1)a . Si ha:


f (0) = (−1)0 = 1,

f (1) = (−1)1 =−1,

f (2) = (−1)2 = 1,

f (3) = (−1)3 =−1,

f (4) = (−1)4 = 1

Risulta pertanto,

f −1(1) = {0,2,4}

e

f −1(−1) = {1,3}.

RDefinizione (Iniettività)

L’applicazione f : A → B si dice iniettiva se per ogni b ∈ f (A) l’immagine inversaf −1(b) contiene un solo elemento. In altri termini: f è iniettiva se ∀a, a′ ∈ A : a 6=a′ ⇒ f (a) 6= f (a′).

.

.b

f

AB

a’.a

Figura 1.7

Un esempio di applicazione non iniettiva: f (a) = f (a′) = b ⇒ {a, a′} ⊆ f −1(b).


EEsempio 1.15

Sia A = {±1,±2,±3,±4}, B l’insieme dei numeri naturali compreso lo zero2: B ={0,1,2,3,4, ...} e sia f : A → B l’applicazione

f (a) = a2 −1.

L’applicazione f non è suriettiva perché, ad esempio, 4 ∈ B non è immagine di al-cun elemento di A. Essa non è nemmeno iniettiva visto che, ad esempio, f −1(3) ={±2}.

EEsempio 1.16

Sia A =N×N, B =N e f : A → B l’applicazione definita da

f (a,b) = ab con a,b ∈N.

L’applicazione f è suriettiva in quanto ogni intero in B è ottenibile come prodottodi interi: dato ad esempio l’intero c ∈ B esso è certamente immagine della coppia(a,b) ∈ A con a = 1 e b = c. L’applicazione f non è però iniettiva in quanto esistonocoppie diverse (a,b) ∈ A a cui f associa la stessa immagine in B , come ad esempio(1,12) a cui corrisponde f (1,12) = 1 ·12 = 12, (2,6) a cui corrisponde f (2,6) = 2 ·6 =12 e (3,4) a cui corrsiponde f (3,4) = 3 ·4 = 12.

RDefinizione (Biiezione)

Se l’applicazione f : A → B è sia iniettiva sia suriettiva si dice che essa è una biie-zione o una corrispondenza biunivoca.

"Osservazione

Una corrispondenza biunivoca f : A → B fa corrispondere a un elemento del do-minio A uno ed un solo elemento di B e, per ogni elemento di B una ed una solacontroimmagine nel dominio A : stabilisce pertanto una corrispondenza biunivocatra gli insiemi A e B.

EEsempio 1.17

Siano A = {0,1,2} e B = {0,1,2,3,4,5}. Sia f la legge che fa corrispondere ad ognielemento di A il suo quadrato:

f (a) = a2.

Si avrà:

f (0) = 02 = 0,

2Come si vedrà meglio nel seguito, tale insieme è indicato con il simboloN.


f (1) = 12 = 1,

f (2) = 22 = 4,

per cui 0 ∈ B è l’immagine di 0 ∈ A,1 ∈ B è l’immagine di 1 ∈ A e 4 ∈ B è l’immaginedi 2 ∈ A. L’immagine di A tramite f è data da

f (A) = {0,1,4}.

Siccome f (A) 6= B , l’applicazione f non è suriettiva. L’applicazione risulta inveceiniettiva perché a due elementi distinti del dominio fa corrispondere due elementidistinti di B. Non essendo suriettiva, essa non può essere una biiezione.

EEsempio 1.18

Siano A = {0,1,2,3} e B = {0,2,4,6,8,10, ...,24}. Sia f definita da

f (a) = a3 −a.

Risulta:

f (0) = 03 −0 = 0,

f (1) = 13 −1 = 0,

f (2) = 23 −2 = 6,

f (3) = 33 −3 = 24.

Si ha che 0 ∈ B è l’immagine di 0,1 ∈ A, 6 ∈ B è l’immagine di 2 ∈ A e 24 ∈ B èl’immagine di 3 ∈ A. L’immagine di A tramite f è data da

f (A) = {0,6,24}.

Siccome f (A) 6= B , l’applicazione f non è suriettiva. L’applicazione non è iniettivaperché a due elementi distinti del dominio, 0,1 ∈ A fa corrispondere un solo ele-mento di B : il valore 0. Non essendo suriettiva né iniettiva, essa non può essereuna biiezione.


1.2.6 Insiemi numerici

Nel resto del testo saranno usati, principalmente, insiemi i cui elementi sono nu-meri.

1.2.6.1 Insieme dei numeri naturali

L’esempio più semplice di insieme numerico è quello i cui elementi sono i numeriinteri positivi o nulli. Tale insieme è detto insieme dei numeri naturali e si indicacon il simboloN. Si ha, più esplicitamente,

N= {0,1,2,3,4, ...}.

RDefinizione (Operazione interna)

Si dice operazione interna in un insieme A un’operazione che fa corrispondere adue elementi di A un elemento di A stesso.

Nell’insieme dei numeri naturali sono definite due operazioni interne: somma, +,e prodotto, ·.Tali operazioni soddisfano le proprietà

associativa,

∀a,b,c ∈N : (a +b)+ c = a + (b + c)

∀a,b,c ∈N : (a ·b) · c = a · (b · c)

commutativa,

∀a,b ∈N : a +b = b +a

∀a,b ∈N : a ·b = b ·a

e distributiva,

∀a,b,c ∈N : (a +b) · c = a · c +b · c.

Nell’insieme dei numeri naturali N esistono inoltre gli elementi neutri rispetto lasomma (il simbolo ∃ si legge “esiste”),

∀a ∈N ∃0 ∈N |a +0 = a


e rispetto il prodotto,

∀a ∈N ∃1 ∈N|a ·1 = a.

"Osservazione

Nell’insieme N non esistono gli elementi inverso di somma e prodotto. Ad esem-pio l’elemento inverso del numero 2 rispetto alla somma (detto anche opposto)dovrebbe essere un a ∈N tale che

2+a = 0.

Come è noto, però, il numero a che soddisfa la relazione precedente è il numero−2 che non appartiene a N. Analogamente l’elemento inverso rispetto al prodotto(detto anche reciproco) del numero 2 dovrebbe essere un a ∈N tale che

2 ·a = 1.

Come è noto il numero a che soddisfa la relazione precedente è il numero 1/2 che,però, non appartiene aN.

"Osservazione

Laddove ciò non comporti ambiguità il prodotto di due numeri, a ·b sarà indicatobrevemente con ab.

"Osservazione

L’insieme dei numeri naturali privati dello zero si indica conN+ :

N+ = {1,2,3, ...}

1.2.6.2 Insieme dei numeri relativi

L’insieme dei numeri interi “dotati di segno” è detto insieme dei numeri relativi edè indicato con il simbolo Z. Si ha:

Z= {0,±1,±2,±3, ...}.

Come per l’insieme dei numeri naturali, anche nell’insieme dei numeri relativi sipossono introdurre le operazioni interne di somma e prodotto che verificano lestesse proprietà associativa, commutativa e distributiva soddisfatte dai numeri na-turali. Anche in Z esistono gli elementi neutri per la somma,0, e per il prodotto, 1.A differenza diN, tuttavia, in Z esiste l’elemento inverso rispetto la somma:

∀a ∈Z ∃b ∈Z | a +b = 0.


Chiaramente l’elemento b in questione è unico ed è dato dal numero relativo −a :a +b = 0 ⇒ b =−a.

Così come inN, anche nell’insieme dei relativi non esiste l’elemento inverso rispet-to al prodotto.

EEsempio 1.19

Utilizzando le proprietà dell’insieme dei numeri naturali relativi si dimostri che“meno per meno fa più”o, in termini più precisi, che −(−a) = a.

Soluzione. Il numero −(−a) è l’opposto di −a. D’altra parte l’opposto b di −a èchiaramente b = a, pertanto (il simbolo ≡ si legge “identico a”)

b ≡ a =−(−a).

1.2.6.3 Insieme dei numeri razionali

L’insieme dei numeri razionali, denotato conQ, è l’insieme definito da

Q= {m

n| (m,n ∈Z)∧ (n 6= 0)},

cioè l’insieme di tutti i numeri che possono essere espressi come frazione. Cosìcome N e Z anche Q soddisfa le proprietà associativa, commutativa e distributiva.In Q, così come in Z esiste l’opposto di ogni elemento. A differenza degli insiemidei numeri interi, naturali o relativi, in Q esiste per ogni numero, escluso lo zero, ilnumero reciproco:

(∀a ∈Q)∧ (a 6= 0)∃b ∈Q|ab = 1 :

il reciproco b del numero a è indicato con a−1 e coincide con il numero razionale1a .

Benché dal punto di vista “aritmetico” l’insieme dei numeri razionali sia abbastan-za “ricco”, potendosi effettuare utilizzando i suoi elementi le operazioni di sommae prodotto e le relative operazioni inverse, per gli scopi dell’Analisi Matematica es-so non è sufficiente. Si consideri infatti il seguente teorema che dimostra che non èsempre possibile effettuare l’operazione di estrazione di radice quadrata lavorandosolo con numeri razionali.

wTeorema (Irrazionalità dip

2):p

2 ∉Q.

Dimostrazione

Si supponga, per assurdo, chep

2 sia un numero razionale. Sarà allora possibilerappresentare tale numero come

p2 = m

n(1.1)


con, per ipotesi, m e n primi tra loro o, in altre parole, in modo che la frazionem/n non sia ulteriormente “semplificabile”. In tal caso risulterebbe, elevando alquadrato ambo i membri della relazione (1.1),

2 = m2

n2 ⇒ m2 = 2n2. (1.2)

Dall’ultima relazione segue che m2, essendo divisibile per 2, è pari, che comportache anche m è un numero pari. In tal caso si può porre

m = 2s, s ∈N.

Inserendo tale relazione nella (1.2) si ottiene

m2 = 2n2 ⇒ 4s2 = 2n2 ⇒ 2s2 = n2,

cosicché anche n2 e, di conseguenza, n sono numeri pari. Si è provato quindi chesia m sia n sono numeri pari: in tal modo si arriva ad una conclusione assurda vistoche per ipotesi si era assunto che m e n fossero primi tra loro.

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1.2.7 Rappresentazione cartesiana degli insiemi numerici

Si introduca, in ciascuno degli insiemi numerici N, Z e Q la relazione d’ordine ≤ .Più formalmente si supponga di dotare gli insiemi in questione di un ordinamentototale, una relazione cioè, che goda delle proprietà:

a ≤ a

(a ≤ b)∨ (b ≤ a)

(a ≤ b)∧ (b ≤ c) ⇒ (a ≤ c)

(a ≤ b)∧ (b ≤ a) ⇒ a = b,

∀a,b,c dell’insieme in considerazione. Se risulta a ≤ b si dice anche che a pre-cede b. Avendo introdotto una relazione d’ordine si possono ordinare gli elementidi ciascun insieme considerato, potendo sempre stabilire se un qualsiasi elemen-to precede o meno un qualsiasi altro elemento. In particolare, introducendo laretta orientata (ed avendo fissato un’opportuna unità di misura) gli insiemi so-pra considerati possono essere rappresentati come punti della retta orientata. Talerappresentazione è detta cartesiana. Si osservino le figure seguenti raffiguranti lerappresentazioni cartesiane diN, Z eQ.


1 2 3 N

−2 −1 0 1 2 Z

−1 −12 0 1

2 1 Q

Figura 1.8

Rappresentazione cartesiana degli insiemiN, Z eQ.

"Osservazione

I punti situati sulla retta orientata non individuano sempre un numero razionale.Ad esempio, si veda la figura 1.9, considerando su tale retta il punto corrispondentealla diagonale del quadrato unitario, cioè

p2, come si è mostrato in precedenza, es-

so non è razionale. Si può affermare, quindi, che sulla retta orientata sono presentidei punti non rappresentabili come numeri razionali.

0 1√

2

Figura 1.9

Il puntop

2 appartiene alla retta orientata.

1.2.8 Insiemi limitati

RDefinizione (Insieme superiormente limitato)

Sia A ⊂ Q. Si dice che l’insieme A è superiormente limitato se esiste un numerorazionale più grande di ciascun numero appartenente all’insieme A. Più formal-mente, l’insieme A è superiormente limitato se

∃M ∈Q|∀a ∈ A : a ≤ M .


Il numero M si chiama maggiorante di A.

In modo analogo si può definire un insieme inferiormente limitato:

RDefinizione (Insieme inferiormente limitato)

L’insieme A ⊂Q si dice inferiormente limitato se

∃m ∈Q|∀a ∈ A : a ≥ m.

Il numero m si chiama minorante di A.

RDefinizione (Insieme limitato)

Se un insieme A ⊂ Q è superiormente e inferiormente limitato si dice che esso èlimitato.

"Osservazione

Se un insieme ammette un maggiorante allora ne ammette infiniti (ad esempio seM è un maggiorante è chiaro che tutti numeri M +n, n ∈ N sono ancora maggio-ranti). Analogamente, se un insieme ammette un minorante allora ne ammetteinfiniti.

Si consideri un insieme A ⊂ Q limitato superiormente. Come osservato in prece-denza, l’insieme A ammetterà infiniti maggioranti. Tra questi un ruolo chiave nelleconsiderazioni che seguiranno, è svolto dal più piccolo dei maggioranti. Tale nu-mero sarà detto estremo superiore dell’insieme A e sarà indicato con il simbolosup A. Più precisamente:

RDefinizione (Estremo superiore)

Sia A ⊂ Q superiormente limitato. Si dice estremo superiore di A il numero S =sup A che soddisfa le proprietà

1. ∀a ∈ A : a ≤ S, cioè S è un maggiorante di A

2. ∀ε> 0∃a | a > S −ε, cioè S è il più piccolo dei maggioranti di A.

In modo analogo si definisce l’estremo inferiore di un insieme inferiormente limi-tato, inf A, come il più grande dei minoranti dell’insieme stesso:

RDefinizione (Estremo inferiore)

Sia A ⊂Q inferiormente limitato. Si dice estremo inferiore di A il numero s = inf Ache soddisfa le proprietà

1. ∀a ∈ A : a ≥ s, cioè s è un minorante di A

2. ∀ε> 0∃a | a < s +ε, cioè s è il più grande dei minoranti di A.


Si consideri inoltre la seguente

RDefinizione (Massimo e minimo)

Se l’estremo superiore sup A dell’insieme A appartiene all’insieme esso è detto mas-simo di A ed è indicato con max A. Se l’estremo inferiore inf A dell’insieme A appar-tiene all’insieme esso è detto minimo di A ed è indicato con min A.

Se l’insieme A ⊂ Q non ammette maggioranti si dirà che esso è illimitato (o nonlimitato) superiormente. Più precisamente:

RDefinizione (Insieme superiormente illimitato)

Un insieme A ⊂Q si dice superiormente illimitato se

∀M ∈Q∃a ∈ A|a > M .

In tal caso si pone sup A =+∞.

In modo analogo si definisce

RDefinizione (Insieme inferiormente illimitato)

Un insieme A ⊂Q si dice inferiormente illimitato se

∀K ∈Q∃a ∈ A|a < K .

In tal caso si pone inf A =−∞.

Se l’insieme A è un sottoinsieme limitato dei numeri naturaliN o dei numeri relativiZ ammette sempre anche massimo e minimo. Ciò invece cessa di essere semprevero per un generico A ⊂Q, come mostrato nel seguente

EEsempio 1.20

Sia A = {x ∈Q| (x2 ≤ 2)∧ (x > 0)}. L’insieme A è composto da tutti i numeri razionalipositivi e non superiori a

p2. Il più grande dei minoranti di A è x = 0 e,quindi,

inf A = 0. Siccome 0 ∉ A esso non è il minimo di A. Il più piccolo dei maggiorantiA, invece, essendo pari a

p2, non esiste in Q : l’insieme A, pur essendo limitato

superiormente non ammette l’estremo superiore inQ.

EEsempio 1.21

Sia A = {x ∈Q|p5 < x <p7}. Il più piccolo dei maggioranti di A è

p7 che, non essen-

do razionale, non può essere l’estremo superiore dell’insieme A. In modo analogo,il più grande dei minoranti di A è

p5 ∉ Q : l’insieme A non ammette nemmeno

l’estremo inferiore inQ.

Gli esempi precedenti mostrano che un generico sottoinsieme A di Q, sebbene li-mitato, non è detto che ammetta, in Q, estremo superiore e/o inferiore. In altreparole non è detto che, inQ, l’insieme dei maggioranti (o minoranti) di un insiemelimitato ammetta un minimo (o un massimo).

Per gli scopi dell’Analisi Matematica, quindi, il solo insieme dei numeri razionalinon è sufficiente. Per tale motivo si introduce l’insieme dei numeri reali R.


1.2.9 Insieme dei numeri reali

Come visto in precedenza l’insieme dei numeri razionali Q, benché soddisfacentedal punto di vista algebrico (esistenza delle operazioni inverse di somma e prodot-to) non è sufficiente per tutti gli scopi dell’Analisi Matematica e, in particolare, intutte quelle problematiche che hanno bisogno di un insieme ambiente continuo.Il fatto che Q non contenga i numeri irrazionali si può esprimere intuitivamenteripensando alla rappresentazione cartesiana di tale insieme: sulla retta orientata(continua) non tutti i punti sono rappresentabili come razionali. La formalizzazio-ne rigorosa di tale argomento risiede nel fatto che in Q un insieme limitato nonsempre ammette gli estremi superiore ed inferiore.

Per ovviare a tale inconveniente si introduce l’insieme dei numeri reali R. Esso puòessere pensato, intuitivamente, come l’insieme dei numeri razionaliQ al quale sia-no aggiunti i numeri irrazionali. In termini più rigorosi si può pensare di introdurreun insieme con le stesse proprietà algebriche di Q e assumendo il cosiddetto as-sioma di continuità (o assioma di Dedekind) che comporta che ogni sottoinsiemelimitato di R ammette gli estremi superiore ed inferiore.

RDefinizione (Insieme ovunque denso)

L’insieme A ⊂ R si dice ovunque denso in R se, comunque scelti a,b ∈ A esiste unpunto c ∈ A compreso tra a e b.

"Osservazione

Pur non essendo continuo, l’insieme dei numeri razionali è ovunque denso in R. Ineffetti, dati i due numeri razionali a e b, il numero c = a+b

2 è razionale e, rappresen-tando il punto medio tra a e b è compreso tra essi. Gli insiemi dei numeri interi,naturali o relativi, non sono invece ovunque densi in R.

"Osservazione

Le definizioni di insieme limitato superiormente e inferiormente, estremo supe-riore ed inferiore, massimo e minimo ed insieme illimitato, date in precedenza perun generico sottoisinsieme dei numeri razionali possono essere estese immediata-mente al caso di un sottoinsieme A ⊂R : è sufficiente sostituire in tali definizioniQcon R.

EEsempio 1.22

Si consideri l’insieme

A = {x ∈R|x = (−1)n(n −1), n ∈N}.

Per valori di n pari risulta (−1)n = 1 per cui ai valori di n ∈ {0,2,4,6,8, ...} corrispon-dono gli elementi {−1,1,3,5,7, ...}. Pertanto l’insieme A non è limitato superior-mente e risulta, quindi, sup A =+∞. Per valori di n dispari si ha (−1)n =−1 e ad essicorrispondono gli elementi {...,−8,−6,−4,−2,0} : l’insieme A = {0,±2,±4,±6,±8, ...}non è limitato nemmeno inferiormente e, pertanto, inf A =−∞.


EEsempio 1.23

Sia A = {x ∈ R|x2 − x ≥ 0}. Risolvendo la disequazione x2 − x ≥ 0, che ammette lasoluzione x ∈ (−∞,0)∪ (1,+∞), si ottiene

A = (−∞,0)∪ (1,+∞).

Tale insieme è illimitato superiormente, sup A =+∞, e inferiormente, inf A =−∞.

1.2.9.1 Intervalli e intorni

Un ruolo fondamentale nell’Analisi Matematica è svolto da particolari sottoinsiemidiR, detti intervalli limitati e rappresentabili come segmenti della retta orientata. Siha:

RDefinizione (Intervalli)

• L’insieme {x ∈ R|a < x < b} si dice intervallo aperto e si indica con il simbolo(a,b)

• L’insieme {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} si dice intervallo chiuso e si indica con il simbolo[a,b]

• L’insieme {x ∈ R|a < x ≤ b} si dice intervallo semiaperto (o semichiuso) e siindica con il simbolo (a,b]

• L’insieme {x ∈ R|a ≤ x < b} si dice intervallo semiaperto (o semichiuso) e siindica con il simbolo [a,b).

I principali sottoinsiemi illimitati di R sono i cosiddetti intervalli illimitati, rappre-sentabili come semirette. Si distinguono i seguenti intervalli illimitati:

• (−∞, a] = {x ∈R|x ≤ a}

• (−∞, a) = {x ∈R|x < a}

• [a,+∞) = {x ∈R|x ≥ a}

• (a,+∞) = {x ∈R|x > a}

Secondo le notazioni introdotte è chiaro che l’intero insieme dei numeri reali puòessere rappresentato come R= (−∞,+∞).

Un’altra classe di sottoinsiemi di R molto importante nella formulazione dell’Ana-lisi Matematica è quella degli intorni.

Dato il punto x0 ∈R si dice


• Intorno sinistro di x0 di semiampiezza δ l’intervallo (x0 −δ, x0), indicato an-che con I−x0,δ

• Intorno destro di x0 di semiampiezza δ l’intervallo (x0, x0+δ), indicato anchecon I+x0,δ

• Intorno simmetrico (o, brevemente, intorno) di x0 di semiampiezza δ l’inter-vallo (x0 −δ, x0 +δ), indicato anche con Ix0,δ

• Intorno generico di x0 coincidente con un qualsiasi intervallo aperto conte-nente il punto x0.

A volte è comodo lavorare con il cosidetto insieme dei reali ampliato, indicato conR̃: esso coincide con l’insieme dei reali R al quale siano aggiunti i “punti” ±∞ :

R̃=R∪ {−∞,+∞}.

Come intorno del “punto” +∞ si converrà di scegliere l’intervallo I∞ = (a,+∞) ecome intorno del “punto” −∞ si converrà di scegliere l’intervallo I−∞ = (−∞, a).

1.2.10 Elementi di topologia unidimensionale

Sia A ⊂R.

RDefinizioni (Punti interni, isolati, di frontiera e di accumulazione)

• Il punto x0 ∈ A è detto punto interno di A se ∃Ixo tutto costituito da punti diA

• Il punto x0 ∈ A è detto punto isolato di A se ∃Ixo che non contiene punti di Adistinti da x0

• Il punto x0 ∈ R è detto punto di frontiera di A se ∀Ixo risulta che Ixo è costi-tuito da punti di A e del suo complementare

• Il punto x0 ∈ R è detto punto di accumulazione di A se ∀Ixo risulta che Ixo

contiene punti di A distinti da x0

Dal punto di vista intuitivo un punto di accumulazione è un punto di R intorno alquale si addensano infiniti punti di A. L’insieme dei punti di accumulazione di uninsieme A si chiama derivato di A e si indica con A

′.

"Osservazione

I punti di frontiera e di accumulazione non necessariamente appartengono ad A.


RDefinizione (Insiemi aperti e chiusi)

L’insieme A si dice aperto se è costituito solo da punti interni. Un insieme A è dettochiuso se il suo complementare A è aperto.

Sussiste il seguente teorema che stabilisce un legame tra un insieme chiuso ed isuoi punti di accumulazione

wTeorema {A è chiuso} ⇔ {A′ ⊆ A}

Dimostrazione

Necessità (⇒)

Sia A chiuso e x un suo punto di accumulazione, x ∈ A′. Si supponga, per assurdo,

che x ∈ A. Siccome A è aperto il punto x sarà un suo punto interno: ∃Ix ⊂ A : esiste-rebbe pertanto un intorno di x in cui non cadono punti di A, ed esso non potrebbeessere pertanto, contrariamente all’ipotesi di partenza, un punto di accumulazionedi A.

Sufficienza (⇐)

Sia x ∈ A. Siccome per ipotesi A contiene tutti i suoi punti di acumulazione il puntox non è un punto di accumulazione di A. Pertanto esiste un intorno Ix in cui noncadono punti di A. Tale intorno è quindi tutto contenuto in A : ne segue che A èaperto e quindi il suo complementare A è chiuso.

■EEsempio 1.24

Sia

A = {x ∈R|x = (−1)n(n −2)

n, n∈N+}.

L’insieme A è dato dall’unione degli elementi ottenuti per n pari e per n dispari. Aivalori di n pari corrispondono gli elementi di A

{0,2

4,

4

6,

6

8,

8

10,

10

12, } ≡ {0,

1

2,

2

3,

3

4,

4

5,

5

6, ...}

e, all’aumentare di n, tali valori si avvicinano ad 1. Ai valori di n dispari corrispon-dono gli elementi di A

{−−1

1,−1

3,−3

5,−5

7,−7

9,− 9

11, ...} ≡ {1,−1

3,−3

5,−5

7,−7

9,− 9

11, ...} :

all’aumentare di n tali valori si avvicinano al valore −1. L’insieme A è quindi datoda

A = {−1, ...,− 9

11,−7

9,−5

7,−3

5− 1

3,0,

1

2,

2

3,

3

4,

4

5,

5

6, ...,1}.


Esso è costituito da soli punti isolati e ha due punti di accumulazione, 1 e −1 :A

′ = {−1,1}. In effetti, ad esempio, in ogni intorno del punto 1, anche piccolo, cado-no infiniti punti dell’insieme A ed esso è pertanto un suo punto di accumulazione.L’estremo superiore dell’insieme è sup A = 1che, appartenendo all’insieme stessorisulta essere anche il suo valore massimo: max A = 1. L’estremo inferiore dell’in-sieme A è invece dato dal valore −1 : inf A =−1. Siccome inf A ∉ A, l’insieme A nonammette minimo.

EEsempio 1.25

Sia dato l’insieme A = [−1,2]. In ogni intorno di qualsiasi punto di A cadono infinitipunti dell’insieme pertanto si ha A

′ = A e l’insieme A risulta essere chiuso. L’estre-mo superiore di A è sup A = 2 = max A, visto che 2 ∈ A. L’estremo inferiore di A è,invece, inf A =−1 = min A, visto che −1 ∈ A.

EEsempio 1.26

Sia dato l’insieme A = [−1,2]∩Q, cioè l’insieme di tutti i razionali compresi tra −1 e2. In ogni intorno di un punto arbtrario dell’insieme [−1,2] cadono infiniti pun-ti dell’insieme A perciò l’insieme dei punti di accumulazione di A è l’intervallo[−1,2]. Siccome, per esempio,

p2 ∈ A

′ma

p2 ∉ A l’insieme A non è chiuso. L’e-

stremo superiore di A è il punto 2 che appartenendo ad A risulta essere anche ilsuo valore massimo: sup A = 2 = max A. L’estremo inferiore di A è il punto −1 ∈ A :inf A =−1 = min A.

1.3 Sommatoria e produttoria

1.3.1 Sommatoria

Nelle applicazioni dell’Analisi Matematica si ha spesso a che fare con la somma di ntermini. E’ opportuno quindi introdurre un simbolo che possa descrivere in modocompatto tale somma di n termini. Si consideri il seguente

EEsempio 1.27

Si supponga di dover considerare la somma S dei primi n numeri interi:

S = 1+2+3+ ...+n.

Tale somma può essere scritta in modo compatto introducendo il simbolo di som-matoria Σ :

S =n∑

k=1k,

che si legge: somma in k, per k che va da 1 a n, di k.


Se si deve esprimere in modo compatto la somma dei primi n interi pari,

S = 2+4+6+ ...+2n,

si ottiene:

S =n∑

k=12k.

Più in generale, si consideri la somma S

S = am +am+1 +am+2 + ...+an ,

essa può essere espressa in modo compatto come

S =n∑

k=mak .

Per rappresentare la somma di n termini mediante il simbolo di sommatoria ècomunque necessario

1. stabilire il legame esistente tra gli addendi della somma ed i numeri interi

2. individuare i numeri interi a cui corrispondono il primo e l’ultimo terminedella somma

EEsempio 1.28

Si scriva in termini di sommatoria la somma S = 5+10+15+20+ ...+100.

Soluzione

Siccome il generico addendo della somma S è un multiplo di 5, esso potrà esserescritto come 5k. Al primo addendo corrisponde k = 1 e all’ultimo k = 20. Ne segueche

S =20∑

k=15k.

EEsempio 1.29

Si scriva in termini di sommatoria la somma

S = 2+ 3

2+ 4

3+ 5

4+ ...+ 75

74.


Soluzione

Il generico addendo della somma S si può esprimere come k+1k e, siccome il primo

addendo si ottiene per k = 1 e l’ultimo per k = 74, si ha:

S =74∑

k=1

k +1

k.

EEsempio 1.30

Si scriva in termini di sommatoria la somma

S =−1+ 1

2− 1

3+ 1

4− 1

5+ 1

6+ ...− 1

25.

Soluzione

Il generico addendo della somma S, escludendo il segno, è dato da 1k , con k che

parte da 1 ed arriva a 25. Siccome gli addendi con k dispari hanno segno negativo equelli con k pari hanno segno positivo, il termine generico può essere scritto come(−1)k 1

k . Si è ottenuto, quindi,

S =25∑

k=1(−1)k 1

k.

EEsempio 1.31

Si consideri la somma

S =−1+ 1

3− 1

5+ 1

7− 1

9+ 1

11− 1

13.

Indicando il k-esimo addendo della somma S con ak , k = 1, ...,7, il legame tra isingoli addendi e i numeri interi è

ak = (−1)k

2k −1.

Il primo termine della somma corrisponde a k = 1 mentre l’ultimo a k = 7, in modoche

S =7∑

k=1

(−1)k

2k −1.


1.3.1.1 Somma dei primi n interi

Si vuola esprimere tramite sommatoria e poi calcolare la somma S dei primi nnumeri interi:

S = 1+2+3+ ...+n =n∑

k=1k.

Si ha, utilizzando la proprietà commutativa della somma,

S = 1+2+3+ ...+n

S = n + (n −1)+ (n −2)+ ...+1.

Sommando membro a membro le ultime due relazioni si ottiene:

2S = (n +1)+ (n +1)+ (n +1)+ ...+ (n +1)︸︷︷︸n volte

=

= n(n +1),

da cui,

S =n∑

k=1k = n(n +1)

2.

EEsempio 1.32

Si calcoli la somma dei primi 100 interi.

Soluzione

Si ha100∑k=1

k = 100(100+1)

2= 5050.

EEsempio 1.33

Calcolare la somma

S =78∑

k=1k.

Soluzione

Si ha:

S = 78 ·79

2= 3081.


1.3.1.2 Somma dei primi n termini di una progressione geometrica

Si dice progressione geometrica una successione {a1, a2, a3, ....an} in cui

ak+1

ak= q, ∀k = 1, ...,n.

Il rapporto tra un termine e il suo precedente, q, è detto ragione della progressio-ne geometrica. Si consideri, per semplicità, la progressione geometrica con primotermine pari a 1 : {1, q, q2, q3, ..., qn−1}, e si voglia calcolare la somma dei suoi ntermini:

S = 1+q +q2 +q3 + ...+qn−1 =n∑

k=0qk .

Se q = 1 si ottiene

S = n

mentre se q 6= 1 si ha:

S = 1+q +q2 +q3 + ...+qn−1

qS = q +q2 +q3 +q4 + ...+qn

e, sottraendo membro a membro le due precedenti relazioni, si ottiene:

S −qS = 1−qn ⇔ (1−q)S = 1−qn .

Poiché q 6= 1, la precedente relazione diviene:

S = 1−qn

1−q,

da cui

n−1∑k=0

qk ={

n se q = 11−qn

1−q se q 6= 1.

EEsempio 1.34

Si calcoli la somma


S = 1+3+9+27+81.

Soluzione

Si ha a che fare con la somma dei primi 5 termini di una progressione geometricacon primo termine unitario e ragione q = 3. Si ha:

S =4∑

k=03k = 1−35

1−3= 121.

EEsempio 1.35

Si calcoli la somma

S =30∑

k=0(

1

2)k .

Soluzione

S è la somma dei primi 31 termini di una progressione geometrica con primo ter-mine pari a 1 e ragione q = 1/2. Si ottiene, pertanto,

S = 1− ( 12 )31

1− 12

= 2(1− (1

2)31) = 2(1− 1

231 ) = 2− 2

231 = 2− 1

230 .

1.3.1.3 Prorietà della sommatoria

La sommatoria gode delle seguenti proprietà

1. Omogeneità:n∑

k=1cak = c

n∑k=1

ak

2. Additività:n∑

k=1(ak +bk ) =

n∑k=1

ak +n∑

k=1bk

3. Cambio di variabili per l’indice di somma(sia n > m):

n∑k=m

ak =n∑

k=1ak −

m−1∑k=1

ak

4. Somma di termini costanti

n∑k=1

c = cn∑

k=11 = cn.


EEsempio 1.36

Si calcoli la somma

S =150∑k=1

7k.

Soluzione

Si ha, per l’omogeneità,

S =150∑k=1

7k = 7150∑k=1

k.

Utilizzando la formula per la somma dei primi n interi si ottiene:

S = 7150∑k=1

k = 7150 ·151

2= 79275.

EEsempio 1.37

Si calcoli la somma

S =50∑

k=06.

Soluzione

Si ha, tenendo conto che S è la somma di 51 addendi tutti pari a 6,

S =50∑

k=06 = 6

50∑k=0

1 = 6 ·51 = 306

EEsempio 1.38

Calcolare la somma

S =100∑k=0

(3+2k).

Soluzione

Usando le proprietà di additività ed omogeneità della sommatoria, si ottiene

S =100∑k=0

3+2100∑k=0

k.


Poiché risulta100∑k=0

3 = 3100∑k=0

1 = 3 ·101 = 303

e

100∑k=0

k = 100 ·101

2= 5050,

si ottiene

S = 303+2 ·5050 = 10403.

EEsempio 1.39

Si calcoli la somma

S =80∑

k=0(4k +3k ).

Soluzione

Usando le proprietà di additività ed omogeneità della sommatoria, si ottiene

S = 480∑

k=0k +

80∑k=0

3k .

La prima somma vale

480∑

k=0k = 4 · 80 ·81

2= 12960

mentre per la seconda si ha

80∑k=0

3k = 1−381

1−3= 381 −1

2.

Si ottiene, pertanto,

S = 12960+ 381 −1

2.

EEsempio 1.40

Si calcoli la somma


S =80∑

k=20(4k +3k ).

Soluzione

La somma S può essere riscritta utilizzando il cambio di variabili per l’indice disomma come

S =80∑

k=0(4k +3k )−

19∑k=0

(4k +3k ).

La prima sommatoria è stata valutata nell’esempio precedente mentre per la se-conda si ottiene

19∑k=0

(4k +3k ) = 419∑

k=0k +

19∑k=0

3k = 419 ·20

2+ 1−320

1−3=

= 760+ 320 −1

2.

Si ottiene, infine,

S = 12960+ 381 −1

2−760− 320 −1

2= 12200+ 381 −320

2.

EEsempio 1.41

Si calcoli la somma

S =10∑

k=0(2k −2k).

Soluzione

Si ha:

S =10∑

k=02k −

10∑k=0

2k.

Per la prima sommatoria si ottiene

10∑k=0

2k = 1−211

1−2= 211 −1

mentre per la seconda


10∑k=0

2k = 210∑

k=0k = 2 · 10 ·11

2= 110,

cosicché

S = 211 −1−110 = 211 −111.

Esercizi

1.6) Si deduca una formula chiusa per la somma dei primi n numeri pari.

1.7) Si deduca una formula chiusa per la somma dei primi n numeri dispari.

1.3.2 Produttoria

Analogamente a quanto visto per il simbolo di sommatoria, il simbolo di produtto-ria,Π, è usato per indicare in modo compatto il prodotto tra n termini:

a1 ·a2 ·a3 · ... ·an =n∏

k=1ak .

In particolare nel seguito sarà usato spesso il prodotto dei primi n interi:

n∏k=1

k = 1 ·2 ·3 · ... ·n.

Tale prodotto è chiamato “fattoriale di n ” e si indica anche con il simbolo n!,

n! = 1 ·2 ·3 · ... ·n.

"Osservazione

Convenzionalmente si estende il valore del fattoriale di n anche a n = 0. Per defini-zione si assume

0! = 1.

Tra le proprietà del fattoriale di n nel seguito sarà utilizzata la seguente:

n! = n(n −1)!.

1 1.1 Elementi di logica matematica -...

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