La Geometria

August 11, 2012

1 La storia della geometria: dal punto alle fun-zioni d’onda

La geometria e una scienza che e nata probabilmente insieme alla civilta. Sec-ondo alcuni studiosi, come il filosofo e informatico Marcello Frixione, si ecominciato a fare geometria quando si e cominciato a coltivare la terra. E difatto le testimonianze dello studio della geometria vengono tutte da popolazionidedite all’agricoltura, come gli Egiziani,i Babilonesi, i Sumeri, ma anche i Maya,i Cinesi, gli Indiani e i Celti della Britannia . La piu famosa sistemazione delleconoscenze antiche di geometria e stata fatta da Euclide di Alessandria in-torno al Terzo secolo avanti Cristo. Gli ”Elementi” di Euclide sono rimasti icapitoli dell’unico testo di geometria fino al 1500, quando in Francia e in Italiasi riprese lo studio della geometria, con gli studi sulla prospettiva e le sezioniconiche. Nell’ottocento il matematico tedesco Bernhard Riemann introdussel’analisi infinitesimale in geometria e creo la Geometria Differenziale. I matem-atici americani -tra cui Oliver Gibbs- rifondarono la geometria dei vettori inmodo da affrontare applicazioni all’elettrotecnica e all’elettrodinamica. Allafine del secolo il suo connazionale Felix Klein cerco di sistemare la geometriacon la teoria matematica piu di moda nel suo tempo: la teoria dei gruppi. Damisura della Terra sembrava che la geometria fosse diventata lo studio delleproprieta invarianti dei gruppi di trasformazione. E cosı anche la geometria siera perduta nel labirinto del mondo moderno. Ma i fisici restituirono alla ge-ometria il ruolo che le atteneva dall’antichita: il matematico tedesco HermannMinkowsky e il fisico tedesco Albert Einstein trovarono un modello cosmo-logico dell’universo seguendo le idee di Carl Friederich Gauss e di NicolaiLobachewsky sulle geometrie non euclidee. Nel 1927 il matematico tedescoDavid Hilbert propose una geometria radicalmente diversa da quella euclideain cui un punto e una funzione che descrive lo stato di uno spazio infinitamentepiccolo e cosı Werner Heisemberg ha potuto costruire la sua meccanica quan-tistica, da cui tutti si aspettano da un giorno all’altro il nuovo calcolatore per isuperalgoritmi crittografici del matematico americano Peter Schor.

2 La Geometria Razionale

Alle medie avete imparato a risolvere problemi di geometri con l’uso di unatabella di formule piu o meno sensate, come

A =b · h

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1

che calcola l’area di un triangolo di base b e altezza h. Questa era la geometriaprima della scrittura degli elementi di Euclide. La grandezza di questa operasta nell’ ’introduzione del metodo deduttivo, regalatoci dalla cultura ellenica.Attraverso di esso, ogni affermazione sulla geometria e una catena di deduzionilogiche fatte a partire da un insieme di proposizioni sul mondo dellefigure geometriche che nessuno -finora- e riuscito a confutare. Questeproposizioni si chiamano postulati o assiomi. La catena di deduzioni logichee detta dimostrazione e l’ultimo anello di questa catena si chiama teorema.Nei problemi di geometria, capita che agli assiomi si aggiungono proposizioni lacui verita e imposta dal problema, e queste sono le ipotesi. Infine, ci sono delleproprieta geometriche che si derivano come conseguenza immediata dei teoremie questi sono i corollari.

2.1 I Teoremi

Abbiamo visto che un teorema e l’ultima proposizione di una dimostrazione.Vediamo questo giallo tratto dalla Settimana Enigmistica Talvolta un teoremasi trova in forma di implicazione.Sui libri di testo di solito la parte prima dell’iimplicazione si chiama ipotesi e quella successiva si chiama tesi. Per esempio

se un triangolo e rettangolo allora il quadrato costruito su di un lato e lasomma dei quadrati costruiti sugli altri due

In questo esempio l’ipotesi e ”un triangolo e rettangolo” e la tesi, che e l’ultimaasserzione della dimostrazione, e ” il quadrato costruito su di un lato e la sommadei quadrati costruiti sugli altri due”

Ma allora cosa dobbiamo chiamare ”teorema”? Perche ci sono due signifi-cati per questa parola? L’equivoco stato causato dal fatto che solo negli ultimitrent’anni la Logica ha avuto l’attenzione dei matematici, grazie agli spettaco-lari risultati raggiunti dall’Intelligenza Artificiale. In realta , i due significaticoincidono. Infatti, vale il seguente teorema di Logica

se esiste una dimostrazione che dalla proposizione A deriva la proposizione Ballora e un teorema A⇒ B

questo vuol dire che ogni volta che riusciamo a provare che da un ipotesi-deriviamo una proposizione chiamata tesi allora lo schema ipotesi ⇒ tesi e unteorema secondo la definizione che abbiamo dato in questo libro.

E cosı ’, nel nostro esempio, se esiste una dimostrazione che parte dal’ipotesiche un triangolo e rettangolo e conclude che il quadrato costruito su di un latoe la somma dei quadrati costruiti sugli altri due, allora esiste una dimostrazionela cui ultima affermazione e

se in un triangolo il quadrato costruito su di un lato e la somma dei quadraticostruiti sugli altri due , allora e rettangolo

Il vantaggio delle definizione che abbiamo introdotto e che possiamo visual-izzare una dimostrazione con un albero.

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Molte volte la implicazione e sostituita da una freccia doppia ⇔ che si legge...se e solo se... e ha il seguente significato logico

• se vale la proposizione a sinistra allora vale anche la proposizione a destra

• se vale la proposizione a destra allora vale anche la proposizione a sinistra

Per esempio

un triangolo e rettangolo se e solo se il quadrato costruito su di un lato e lasomma dei quadrati costruiti sugli altri due

2.2 Il linguaggio della Geometria

Ogni volta che usiamo il linguaggio, usiamo ormai senza accorsene i terminidel discorso e le regole. Se parliamo del racconto ”Alice nel paese delle merav-iglie”, i nostri termini saranno conigli, orologi, trichechi, ostrichette, gatti e -inparticolare- il gatto del Cheshire, baron Tricheco , Bianconiglio. Distinguiamo

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in questo modo i termini generali dai termini specifici. Questi termini sonoi mattoncini di strutture piu complesse, che sono le frasi del nostro discorso.In questo caso ”Alice passa attraverso lo specchio” una frase che parla delmondo di Alice. E cosper la Geometria. Euclide defini i termini fondamentali:il punto, la retta e il piano nel modo seguente

1. Il punto e cio che non ha parti

2. Una linea e una lunghezza senza larghezza

3. Estremi di una linea sono punti

4. Linea retta quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti

Euclide nel suo libro esponeva il metodo deduttivo a partire da affermazioniper le quali non esisteva -e tuttora non esistono- esempi che le fanno risultarefalse. Queste affermazioni furono suddivise in nozioni comuni o assiomi epostulati. Le prime riguardavano la struttura logica del nostro linguaggio, isecondi la geometria. Vediamo le nozioni comuni

1. cose che sono ugual alla stessa cosa sono uguali tra loro

2. cose che coincidono tra loro sono uguali

3. se a cose uguali sono addizionate cose uguali, le totalita sono uguali

4. se a cose uguali sono addizionate cose diseguali, le toalit sono disuguali

5. il tutto e maggiore della parte

La proprieta 1) si chiama oggi proprieta trasitiva dell’uguaglianza. Sea = b e b = c allora a = c La proprieta 1) e 2) nel linguaggio moderno cidicono che l’uguaglianza e una congruenza: Se a = b allora a+ n = b+ n e sea < b allora a + n < b + n. La proprieta 5) sembra ovvia ma alla fine del’800il matematico tedesco G. Cantor stupı il mondo e dimostro che un insiemeinfinito ha tanti elementi quanto una sua parte qualsiasi, uno dei grandi misteridell’Infinito.

Si noti che i Greci non avevano alcuna presunzione di imporre leggi im-mutabili nel trattare queste propriet, come poi avvenuto per circa duemilaanni. Le nozioni comuni dovevano essere accettate nell’ambito di una comunit.I postulati erano solo una ”richiesta di fiducia” all’interlocutore per restuirlaprontamente con i teoremi.

Nella Grecia classica l’infinito veniva accuratamente evitato. Per questoeviteremo di usare questo termine nella trattazione dei postulati di Euclide. Ingeometria si usano le lettere dell’alfabeto greco tra le quali le piu usate sono α,β, γ, δ, ε, λ, π, ρ, σ, τ e ω

Postulato 1Il numero di punti dello spazio non e finitoIl numero dei punti e dele rette nel piano non e finitoIl numero di punti su una retta non e finito

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Postulato 2Due punti distinti appartengono a una sola retta

I punti si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto. Per sempio A, B,C, D. Le rette si indicano con le lettere minuscole dell’alfabeto latino, ad es-empio a, b, c, d, p, q, r... oppure si chiamano con due loro punti, ad esempio AB.Per indicare che un punto P appartiene alla retta r -giace sulla retta r- si usa lanotazione P ∈. Analogamente, il fatto che P non sia su r si indica con P /∈ r.Un insieme di punti che appartengono a una stessa retta si dicono allineati. Sedue segmenti con due punti in comune non coincidessero, uno di essi sarebbeuna spezzata. E per questo che la retta la immagginiamo come una linea dritta.

//// Postulato 3Tre punti non allineati appartengono a un solo piano

Il postulato 3 dice che tre punti non allineati individuano un solo piano.L’esistenza di tre punti non allineati e conseguenza immediata del postulato1. Analogamente, questo stesso postulato garantisce l’esistenza di 4 punti noncomplanari.

Postulato 4Se due punti di una retta appartengono a un piano, la retta giace nel pano

In termini moderni, diciamo che la retta e contenuta nel piano, ma gli El-lenici non conoscevano la teoria degli insiemi.

2.3 Relazioni di ordine su una retta

Su una retta possiamo fissare un verso di percorrenza, allo stesso modo di quandoarriviamo sulla pensilina di una stazione e stabiliamo da dove arriva il nostrotreno.Postulato 5Su una retta si puo fissare una relazione d’ordine in modo che

• Dato due punti A e B, o A precede B oppure B precede A

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• se A precede B e B precede C allora A precede C

2.4 Rette, semirette, segmenti

Definizione 1 Sia una retta r e un suo punto qualsiasi O. La semiretta diorigine O e ciascuna delle due parti in cui il putno O ripartisce r.

Se la retta e orientata, la semiretta di origine O la parte di r in cui i puntiseguono O nel verso fissato. Il punto O si chiama origine e le semirette si diconoopposte.

Definziione Siano A e B due punti su una retta. Si chiama segmento diestremi A e B l’intersezione non vuota delle semirette di origne A e B

Il segmento di estremi A e B si indica con AB. Se A e B coincidono, scriviamoA ≡ B e diciamo che AB e il segmento nullo. Un segmento si dice orientatose sulla sua retta di sostegno e fissato un verso. Se il punto A precede B nel versofissato, indichiamo il segmento con AB. In tal caso A e detto origine e B estremo.

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Definizione Due segmenti aventi in comune un estremo si dicono consec-utivi

Definizione Due segmenti consecutivi e allineati si dicono adiacenti

Se due segmenti sono adiecenti, possiamo definire l’operazione di somma trasegmenti. Chiamiamo somma il segmento AC e scriviamo

AC = AB +BC

Definzione Si definisce poligonale o spezzataaperta l’unione di segmenticonsecutivi

I segmenti della poligonale si chiamano lati e i loro estremi vertici. Ognivertice e comune a due lati, tranne il primo el’ultimo che sono gli estremi dellapoligonale. Se i vertici della poligonale coincidono la poligonale si dice chiusa

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2.5 Il postulato di partizione del piano

Una retta r divide il piano in due parti non vuote tali che

• Se i punti A e B appartengono alla stessa parte, AB contenuto in questaparte

• Se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora CD ha in comunecon r un punto

Definizione Si chiama semipano avente per origine r ciascuna delle due partiin cui un piano deve dividere il piano

In figura si nota che la retta r genera due semipiani α e β

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Si dimostra subito che dal postulato di partizione del piano segue che tradue punti di distinti A e B di una retta r esiste sempre un punto C tale che-fissato un orientamento du r A segue B e B segue C.

In altri termini, la retta e densa. Osserviamo che se la retta e densa nonvuol dire sia continua. Allo stesso modo in cui esiste sempre la media di duefrazioni ma queste non sono un insieme continuo. Per conferire continuita allaretta ci vuole un postulato particolare, detto postulato di continuta.

2.6 Posizioni reciproche tra rette

Definizione Si definisce fascio proprio di rette di centro O l’insieme dellerette di un piano passanti per O.

Die rette che si intersecao in un punto si dicono incidenti. Due rette com-planari che non sono incidenti si chiamano parallele. Due rette non complanariche non si intersecano si dicono sghembe.

Per il parallelismo vale il celeberrimo Quinto postulato di Euclide

Postulato 6 Sia r una retta e P un punto esterno ad r. Allora esiste unasola retta parallela ad r passante per P .

Su questo assioma si e lavorato duemila anni per scoprire una verita sorpren-dente: non e valido. Comunque in geometria classica si continua ad assumerecome vero.Definzione Sia r una retta. L’insieme delle rette parallele ad r prende il nomedi fascio improprio di rette o di fascio di rette parallele.

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2.7 Le figure piane

Una figura piana e un concetto su cui nessuno ha obiezioni d fare. E’ moltopiu semplice fare questo che imbarcarsi in una definizione da cui ne usciremmomalconci, visti i tempi in cui viviamo in cui perfino lo spazio a 3 dimensioni emesso in discussione dalla scoperta dei frattali.

Un figura piana si dice convessa se, data una coppia di punti interni A e B,contiene il segmento AB. In caso contrario si dice concava

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Una linea e detta curva se non e una retta. Se una curva e contenuta inun piano si dice piana. Le una linea e finita i punti della frontiera si chiamanoestremi. Se due estremi coincidono la curva si dice chiusa. Una curva e dettasemplice se non esistono punti interni coincidenti. Intuitivamente, una curvae semplice se non si intreccia.

Una curva pana chiusa divide il piano in due regioni. La parte limitata sidice interna, l’altra esterna. La frontiera si chiama anche -ma e un termineormai sempre piu obsoleto -contorno.

2.8 Angoli e poligoni

Sia O un ptunto del piano e siano a e b due semirette di origine in O. Questafigura divide il piano in due parti, ciascuna delle quai si chiama angolo

Definizione un angolo e ciascuna delle parti di piano separata da duesemirette aventi la stessa origine

Osserviamo che delle due parti, una e concava e l’altra e convessa. per con-venzione, si fa riferimento alla parte convessa ove non specificato altrimenti.

Le semirette si dicono lati dell’angolo e l’origine comune si dice verticedell’angolo. Un angolo si denota scegliendo due punti sui lati e interponendo ilvertice. Nell’esempio in figura, l’angolo convesso si denota con ab oppure con

ˆAOB. L’angolo concavo si denota con ba ma in pratica non si usa mai.

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Studiamo alcuni angoli particolari.

Definizione Siano due semirette opposte. Ciasuno dei due angoli determi-nato da esse si chiama angolo piatto.L’angolo iatto e convesso perche coincide con semipiano e si indica con π.

L’ angolo giro e il doppio di un angolo piatto, ovvero l’unione dei duesemipiani dell’angolo piatto. E’ convesso perche coincide con il piano. L’angolonullo e il semipiano delimitato da due semirette coincidenti.

Vediamo alcune relazioni tra angoli.

Definizione Due angoli si dicono consecutivi se hanno un lato in comune

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In questo caso possiamo costruire la somma tra angoli

AOC = AOB + BOC

Definzione Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i lati oppostisono allineati

E’ chiaro che la somma di due angoli adiacenti e un angolo piatto.

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2.9 I Poligoni

Un poligono e la figura formata da una poligonale semplice chiusa e dalla suaparte interna. I vertici e i lati della poligonale sono detti rispettivamente verticilati del poligono. In base al numero dei lati i poligono assumono un nome. Ipoligoni di tre lati si chiamano triangoli, quelli con quattro lati quadrilaterie fin qui abbiamo i poligoni piu studiati- Seguono i poligoni con con 5 lati chesono i pentagoni e cosı via, come in figura. E’ curioso che dal 5 in poi sicontano gli angoli -dal Greco gonos-. Noi studieremo essenzialmente i poligoniconvessi. Tra i poligoni non convessi, gli antichi Greci studiarono i poligonistellati, ottenuti da rotazioni e sovrapposizioni di poligoni convessi. In figurae disegnato un esagono regolare stellato

Gli angoli adiecenti agli angoli interni sono detti angoli esterni. Un seg-mento che unisce due vertici non consecutivi si chiama diagonale. Una cordae un segmento che unisce due punti della frontiera.

Un triangolo e un poligono che ha tre lati e tre angoli. Un angolo ha comelati adiacenti i suoi lati e come lato opposto il lato rimanente. Un lato hacome angoli adiacenti i due angoli di cui e lato e come angolo apposto ilterzo angolo.

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Nella figura l’angolo in A e adiacente ai lati BC e AB e ha come lato oppostoAC. Il ato AB e adiacente agli angoli in A e in B e ha come angolo oppostol’angolo in C.

3 La congruenza tra figure piane

Consideriamo una figura piana, per esempio un triangolo

se copiamo e incolliamo il triangolo con Ctrl-C-Ctrl-V, otteniamo una copiaA1B1C1. Questa copia e sovrapponibile al triangolo originario ABC, anche senon sono uguali. In questo caso i due triangoli sono ”isometrici o ””congru-enti”. Dire che sono isometrici vuol dire che si corrispondono l’uno ell’altro conuna trasformazione del piano che conserva le distanze. Questa trasformazione sichiama isometria e anticamente, quando non c’erano i computer e tutto dovevamuoversi, si chiamava ”movimento rigido”

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definizione Due figure geometriche sono congruenti se si corrispondono inuna isometria. Per indicare che due figure F1 e F2 sono congruenti scrviamo

F1 ' F2

Risulta evidente che la corrispondenza tra due figure e una particolare cor-rispondenza biunivoca. Essa ci permette di generalizzare la somma tra segmenti,caso piu generale.

Infatti, se AB ' A′B′ e CD ' B′C ′ sono due coppie di segmenti congruentitali che

A′B′ +B′C ′ = A′C ′

allora poniamo, per definizione

AB +BC ' A′C ′

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Definizione Un poligono e detto equilatero se ha tutti i lati congruenti traloro ed e detto equiangolo se ha tutti gli angoli congruenti tra loro

Osserviamo che esistono poligoni equilateri -come il rombo- che non sonoanche equiangoli. Quando cio accade siamo in presenza di un poligono notevole

Definizione Un poligono e regolare se e equilatero ed equiangolo.I poligoni regolari hanno da sempre affascinato i matematici. I Greci si

chiesero se tutti i poligoni regolari fossero costruibili con gli strumenti a dis-posizione in quel tempo, la riga e il compasso. Il triangolo lo . Il quadratoanche. Ma l’ettagono no. Il perch lo ha trovato il giovane matematico tedescoC.F. Gauss dopo duemila e cinquecento anni.Vediamo alcune proprieta delle congruenze.Postulato 7

1. Ogni figura e congruente a se stessa [ F ' F ]

2. Se una figura e congrente a una seconda, quest’ultima e congruente allaprima. [F ' G⇒ G ' F ]

3. Due figure congruenti a una terza sono congruenti fra loro. [Se F ' G eG ' H allora F ' H

Una relazione binaria con queste tre proprieta -dette riflessiva , simmet-rica e transitiva e detta equivalenza. La congruenza e pertanto una relazioneparticolare di equivalenza.

3.1 Confronto tra segmenti ed angoli

Nell’antica Grecia la geometria si faceva con riga e compasso. Oggi le tecnologienon lo consentno piu. Ma i postulati che questi strumenti ci hanno dato sono an-cora validi, a meno di qualche modifica. Vediamo il postulato del trasporto

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dei segmenti

Postulato 8 Data una semiretta di origine O e un segmento, esiste un solosegmento di vertice O e congruente al segmento dato

La parola ”trasporto” fa drizzare le orecchie ai matematici, perche li portasul terreno accidentato del tempo, che appartiene ai fisici. Ma la fisica non ematematica. Un’approccio meno osteggiato e quello della ”costruzione”. Se inmatematica si costruisce qualcosa, non si arrabbia nessuno.

Postulato 8 bis Data una semiretta di origine O e un segmento, si puocostruire il segmento di vertice O e congruente al segmento dato

Dati due segmenti AB e CD, il postulato del trasporto garantisce che si pucostruire un segmento A’B’ congrente ad AB e adiaecente a CD in modo che Ae A’ coincidano. In tal caso possono capitare tre casi-.primo caso Il vertice B’ coincide con il vertice D. In questo caso A’B’ e CDsono congruenti. Allora, per la proprieta’ transitiva AB ' CD

secondo caso Il vertice B’ e ”interno” al segmento CD. Allora

CB′ +B′D = CD

scriviamo allora AC < CD e diciamo che AC e minore di CD

terzo caso Il vertice B’ e ”esterno” al segmento CD. In questo caso

CD +DB′ = CD

scriviamo allora AC < CD e diciamo che AC e minore di CD.

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3.2 Il postulato del trasporto degli angoli

Postulato 9 Dati in un piano un angolo e una semiretta, si puo costruire unangolo congruente all’angolo dato, con uno dei lati coincidente con la semiretta, ilverticle nell’origine della semiretta e laltro lato in uno dei due semipiani originatidal sostegno.

Come conseguenza, fissato un angolo e una semiretta, esistono due angolicongruenti all’angolo dato con il vertice nell’origine della semiretta.

Una consegueza del postulato 9 e il confronto tra due angoli. Siano ab ecd due angoli distinti. A partire dalla semiretta c, si costruisce una angolo ˆa′b′

congruente ad ab avente vertice nello stesso vertice di cd Si hanno tre possibilicasi.

primo caso Il lato b′ coincide con c ab.Allora ' cd

secondo caso ˆa′b′ e congruente a una parte di cd; diremo che ab e minoredi cd e scriviamo ab < cd.

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terzo caso hatcd e congruente a una parte di ˆa′b′; diremo che ab e mag-giore di cd e scriviamo ab > cd.

3.3 La somma e la diferenza di angoli e segmenti

Abbiamo gia visto come si sommano due segmenti qualsiasi AB e CD. Si con-siderano i loro corrispondenti EF e FG su una retta generica, in modo cheAB ' EF e CD ' FG . Si pone infine, per definizione

EG = AB + CD

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Il procedimento indicato si estende a un numero qualsiasi di segmenti.

Dati due segmenti AB e AC tali che sia AC > ABsi dice differenza di AC e AB il segmento BC che addizionato a AB resti-

tuisce AC. In formulaBC = AC −AB

Nel caso generale, consideriamo due segmenti qualsiasi AB e CD tali che ilprimo sia maggiore del secondo. Su una retta, consideriamo due segmenti MNe PN tali che MN ' AB e PN ' CD. Allora, sara

MP = MN − PN

e quindi, poniamo, per definizione

MP = AB − CD

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Per la somma di segmenti , valgono la proprieta associativa e commutativadell’addizione tra numeri. In piu valgono le seguenti proprieta

Prposizione 1 Somme di segmenti rispettivamente congruenti sono congru-entiSe AB ' A′B′ e CD ' C ′D′ allora

AB + CD ' A′B′ + C ′D′

Proposizione 2 Differenze di segmenti rispettivaente congruenti sono con-gruentiSe AB ' A′B′ e CD ' C ′D′ allora

AB − CD ' A′B′ − C ′D′

In questo caso consideriamo la differenza un’operazione definita

3.4 Multipli e sottomultipli di un segmento

Il multiplo di un segmento -come nel caso dei numeri- si costruisce a partiredalla somma.Definizione Sia AB un segmento e n un numero intero. Si definisce multi-plo di AB secondo n e si scirve n·AB la somma di n segmenti congruenti ad AB.

Definizione. Sia AB un segmento e n un numero intero. Si definisce sot-tomultiplo di AB secondo n e si scrive

1

n·AB

il segmento il cui multiplo secondo n sia congruente ad AB.

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Sia i multipli che i sottomultipli di un segmento possono costruirsi con rigae compasso.

3.5 Il punto medio di un segmento

Definizione Si chiama punto medio di un segmento il putno interno che lodivide in due parti congruenti

Se AB e un segmento e M il suo punto medio, si ha

AM 'MB =1

2AB

Sappiamo che se due angoli AOB e BOC sono consecutivi, l’angolo AOC edefinito come la loro somma. Vediamo di estendere questa definizione a deangoli qualsiasi.

Siano AOB e CDE due angoli. Per il postulato del trasporto, esistono dueangoli A′O′B′ e B′O′C ′ tali che A′O′B′ ' AOB e B′O′C ′ ' CDE. L’angolo

A′O′C ′ = A′O′B′ + B′O′C ′

e per definizione la somma dei due angoli e si scrive

A′O′C ′ = AOB + CDE

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In modo analogo la somma si generalizza a piu di due angoli.Si dicedifferenza di due angoli -di cui il primo sia maggiore del secondo- l’angoloche sommato al secondo e congruente al primo.

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3.6 La bisettrice di un angolo

Definizione Si chiama bisettrice di un angolo di vertice O la semiretta diorigine O , interna all’angolo, che lo divide in due parti congruenti

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Osseviamo che e possibile costruire la bisettrice di un angolo con riga ecompasso, cosı come e sempre possibile dividere un angolo in 4,6,8,...2n particongruenti. Ma in generale questo non e possbile. Per esempio, dopo 2000 annidi tentativi falliti, si e dimostrato che non e possibile dividere un angoloin tre parti uguali con riga e compasso. Tuttavia, in geometria euclideasi inserisce il seguente assioma, non accettato da tutti i matematici per il suocarattere poco costruttivo:

Postulato 10 Ogni angolo e divisibile in un numero qualsiasi di parti con-gruenti

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