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Corso di Matematica - Geometria
- 1 –
Ing. L. Balogh
Triangoli Triangolo qualunque – somma degli angoli interni, calcolo del perimetro e dell’area
Oggetti Vertici Lati Angoli Altezza Raggio
Simbolo A, B, C a, b, c ∝, �, � ℎ S, r
Perimetro � = � + + � Somma
angoli int. ∝ + + � = ���°
Area: ���� = �� � ���� = ����
Area con
Erone:
���� = ��� ∙ �� ∙ � ∙ �� ��: = � 2⁄
�! ≔ �� − $ �% ≔ �� − & �' ≔ �� − (
Area con
vertici ) = *)+ , ),- . = *.+ , .,- / = */+, /,-
���� = �� 0123 − �34*56 − �6- − *26 − �6-153 − �340 Triangolo rettangolo – teorema di Pitagora e teoremi di Euclide
Cateti Ipotenusa Altezza �, � �
Teorema di
Pitagora �� = �� + �
Teorema di
Euclide
(I T. Euclide)
7 $8 = $9(&8 = &9(( = $9 + &′; $8$′ = &8
&′
Teorema
dell’altezza
(II T. Euclide)
ℎ8 = $′&′ ℎ = $&(
Il Triangolo Equilatero e le sue relazioni interne
Nel triangolo equilatero, i lati sono tutti uguali e gli angoli, misurano tutti 60°.
trova/dati -> < ℎ = > )?@!
Lato < < 23 ℎ√3 =√3 2>√3 2 ∙ 3CD E⁄ √)
Altezza ℎ 12 <√3 ℎ
23 = 3> 3D E⁄ √)
Raggio = 13 <√3
23 ℎ = 2> 2 ∙ 3CG E⁄ √)
Apotema > 16 <√3
13 ℎ 12 = > 3CG E⁄ √)
Area ) 14 <8√3
13 ℎ8√3 34 =8√3 3>8√3 )?@!
Il Baricentro, il Circocentro, l’Ortocentro e l’Incentro sono sovrapposti.
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Classificazione dei triangoli
I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza relativa dei lati:
• In un triangolo equilatero tutti i lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo equilatero si
può definire anche come triangolo equiangolo, ovvero triangolo avente i suoi angoli interni
di uguale ampiezza, pari a 60°.
• In un triangolo isoscele, due lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo isoscele si può
definire anche come triangolo avente due angoli interni di uguale ampiezza.
• In un triangolo scaleno tutti i lati hanno lunghezze differenti. Un triangolo scaleno si può
definire anche come triangolo avente i tre angoli interni di diverse ampiezze.
I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più
ampio:
• Un triangolo rettangolo (o triangolo retto) ha un angolo interno di 90°, cioè un angolo
retto. Il lato opposto all'angolo retto è detto ipotenusa; è il lato più lungo del triangolo
rettangolo. Gli altri due lati del triangolo sono detti cateti. Per questo triangolo valgono il
teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide.
• Un triangolo ottusangolo (o triangolo ottuso) ha un angolo interno maggiore di 90°, cioè
un angolo ottuso.
• Un triangolo acutangolo (o triangolo acuto) ha tutti gli angoli interni minori di 90°, cioè ha
tre angoli acuti.
Tipologie di triangoli
Triangolo equilatero Triangolo isoscele Triangolo scaleno
tutti i lati lunghi uguali due lati uguali tutti i lati di lunghezza diversa
Triangolo rettangolo Triangolo ottusangolo Triangolo acutangolo
un angolo retto (90°) un angolo ottuso
(maggiore di 90°) tre angoli acuti (minori di 90°)
Nome del triangolo
Guardo gli angoli
Nome intermedio
Guardo il lati
Triangolo Triangolo
Sono tutti diversi
Triangolo scaleno
tre angoli acuti
Triangolo scaleno
acutangolo
un angolo ottuso
Triangolo scaleno
ottusangolo
Un angolo retto
Triangolo scaleno
rettangolo
due sono uguali
Triangolo isoscele
tre angoli acuti
Trianolo isoscele
acutangolo
un angolo ottuso
Triangolo isoscele
ottusangolo
Un angolo retto
Triangolo isoscele
rettangolo
Sono tutti uguali
Triangolo Equilatero
Tre angoli acuti
Triangolo equilatero
(acutangolo)
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Baricentro o Centro di gravità <-- Incontro delle Mdiane
Con compasso, riga e squadra, trova il baricentro
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Circocentro <-- Incontro degli Assi
Con compasso, riga e squadra, trova il circocentro
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Ortocentro <-- Incontro delle Altezze
Con compasso, riga e squadra, trova l’ortocentro
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Retta di Eulero
Con compasso, riga e squadra, trova il baricentro, il circocentro, l’ortocentro e la retta di Eulero
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Quadrilateri Quadrilateri
Un quadrilatero, è un poligono con quattro lati
Parallelogrammi
Un parallelogramma è un quadrilatero contraddistinto da un centro di simmetria. Di conseguenza,
i lati opposti, sono tra loro paralleli. Il parallelogramma è un caso particolare di trapezio.
Quadrato <--
<-- Parallelogrammi <-- Trapezi <-- Quadrilateri ciclici <-- Quadrilateri <--
<-- Poligoni regolari <-- Poligoni
Lati Vertici Diagonale
J �, 2, 5, K L
Perimetro M = �J
Area ���� = J�
Diagonale L = J√�
Rombo <-- Parallelogrammi <-- Trapezi <-- Quadrilateri <-- Poligoni
Lati Vertici Diagonali J �, 2, 5, K L�, L�
Perimetro M = �J
Area ���� = L� ∙ L�� ���� = J�
Diagonale J = NOL�� P� + OL�� P�
Rettangolo <-- Parallelogrammi <-- Trapezi <-- Quadrilateri <-- Poligoni
Lati Vertici Diagonale �, �, 2, 5, K L
Perimetro M = �� + �
Area � = �
Diagonale L = ��� + �
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Romboide <-- Parallelogrammi <-- Trapezi <-- Quadrilateri <-- Poligoni
Lati Vertici Altezza
J �, 2, 5, K �
Perimetro M = �� + �
Area ���� = �
Trapezio <-- Quadrilateri <-- Poligoni
Lati Vertici Diagonali
��, ��, �, � � ∥ � �, 2, 5, K L�, L�
Perimetro M = �� + �� + � + �
Area � = � + �� ∙ �
Diagonale �RKR = 2R5R
Tipologie di trapezio
Trapezio rettangolo Trapezio isoscele
Il trapezio rettangolo possiede due angoli retti Il trapezio isoscele possiede due angoli uguali a
ridosso delle sue basi
Trapezio ottuso Trapezio scaleno
Il trapezio ottuso possiede un angolo ottuso
adiacente alla base maggiore Il trapezio scaleno ha tutti i lati di diversa lunghezza
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Perpendicolare al segmento passante per un dato punto
La sezione aurea
Sezione aurea di un segmento Rettangolo aureo
)./)T = )T/T.
Spirale aurea Pentagono
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Poligoni
Poligoni Regolari
Numero di
vertici
(numero di lati)
n
Lato
m
Raggio cerchio
circoscritto
r
Angolo al centro
α
Apotema (raggio
cerchio inscritto)
ρ
���� = �� ∙ U ∙ V ∙ W
X = YZ�°V
U = � ∙ ��� − W�
Triangolo Equilatero (n=3) Quadrato (n=4) Pentagono (n=5)
Esagono (n=6) Eptagono (n=7) Ottagono (n=8)
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Cerchio
Cerchio e Circonferenza
Raggio cerchio r
Circonferenza c
Circonferenza c
� = �[�
Arco di circonferenza k
\ = X[����
Area
���� = [ ∙ ��
Area settore circolare
����C]��^ = �� �\ = X[��YZ�
Ellisse Ellisse
Perimetro p e Area
Perimetro
� = [ OY� 1� + 4 − √�P
Area
���� = [�
