La Geometria dell’universo Progetto di matematica, scienze e tecnologia

classe 3C prof. Marco Burrascano e prof.ssa Daniela Pierotti

Anno Scolastico 2016/2017

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La geometria dell’universo

Introduzione Il progetto è nato dall’idea di proporre lo studio della geometria non come materia astratta fine a se stessa ma come strumento per descrivere la realtà che ci circonda, anche nel tentativo di proporre relazioni e sinergie tra le varie discipline (matematica, scienze e tecnologia). Si è voluto inoltre far capire ai ragazzi che anche la matematica ha una sua storia e che le nostre conoscenze attuali sono frutto di secoli di studi, di scoperte e di rivoluzioni, che il sapere ha una sua evoluzione.

Una parte del progetto è consistita in ricerche online sulla storia della matematica delle coniche, sulla matematica attuale delle coniche e sulle coniche nelle scienze e in arte. Gli alunni sono stati suddivisi in gruppi per sviluppare la loro abilità nel lavorare insieme.

Una parte del progetto è stata improntata sul disegno tecnico: i ragazzi hanno disegnato le varie sezioni coniche in assonometria isometrica.

Nell’ultima parte si sono approfonditi argomenti di geometria analitica e si è mostrato ai ragazzi l’utilizzo di applicazioni software di matematica, in particolare GeoGebra.

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Il cono

Le Coniche

Contributo di

Giulia Capri Samuele Cicchetti Andrea De Rosa Elisa Trapanese

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In geometria, il cono è il solido che si ottiene facendo ruotare attorno alla retta fissa h (asse) una retta uscente da un suo punto s (vertice) e rigidamente collegata ad essa. Le rette uscenti dal vertice V si chiamano generatrici del cono, l’angolo a formato dall’asse e da una generatrice si chiama semiapertura del cono. Si chiama cono indefinito anche il solido limitato dalla superficie appena descritta. Ogni piano p perpendicolare all’asse taglia il cono indefinito secondo un cerchio e la parte di cono indefinito compresa tra il vertice e il piano secante si chiama cono finito, o, come nella geometria elementare, semplicemente cono. Il cerchio si dice base, la distanza del vertice dal piano della base si dice altezza, il segmento di ciascuna generatrice compreso tra il vertice e la base si chiama lato o apotema del cono.

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Il Cerchio In geometria piana, il cerchio è la parte di piano delimitata da una circonferenza, ed è costituito dall’insieme infinito dei punti che distano da un punto dato, detto centro, non più di una distanza fissata detta raggio. Il cerchio è una figura convessa. Un segmento avente gli estremi sulla circonferenza è detto corda; ognuna delle due parti in cui questa divide il cerchio si chiama segmento circolare. Se la corda in questione passa per il centro, essa si chiama diametro e i due segmenti sono congruenti e si chiamano semicerchi. L’intersezione fra un angolo al centro, cioè un angolo avente come vertice il centro del cerchio, ed il cerchio stesso si chiama settore circolare. Due cerchi aventi lo stesso centro si dicono concentrici. L’area compresa fra le due circonferenze si chiama corona circolare. La quadratura del cerchio si riferisce all’impossibile compito di costruire con riga e compasso, a partire da un cerchio, un quadrato avente stessa area. Il cerchio viene detto inscritto in un poligono quando la sua circonferenza è tangente ad ogni lato di quest’ultimo, e circoscritto quando i vertici di un poligono stanno sulla circonferenza.

L’iperbole

L’iperbole è una curva appartenente alla famiglia delle coniche insieme a parabola e ellisse. L’iperbole si ottiene sezionando un cono con un piano parallelo al suo asse. Si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la differenza delle distanze da due punti detti fuochi si mantiene costante in valore assoluto.

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La parabola

Tra le curve che possiamo ottenere come sezione conica troviamo la parabola. Anche se queste curve possono essere “direzionate” in qualsiasi modo nel piano cartesiano, di solito quando le studiamo in geometria analitica consideriamo solamente le parabole con asse di simmetria parallelo a uno dei due assi cartesiani.

Prendiamo un punto F e una retta d nel piano. Il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da F e da d è detto parabola. Il punto F viene detto fuoco della parabola e la retta d viene detta direttrice della parabola.

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L’ellisse L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. L’ellisse è quella conica che si ottiene come sezione piana del cono di rotazione con un piano, non parallelo alla generatrice, e incidente all’asse del cono. Dati due punti del piano F1 e F2, detti fuochi, definiamo ellisse l’insieme dei punti del piano tali per cui la somma della distanza tra ciascuno di essi e i fuochi sia costante. Si può mostrare che ciascuna ellisse ha un’equazione del tipo:

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Le Coniche In Arte E In Fisica

In matematica, per conica o sezione conica si intende una curva ottenuta dalla rappresentazione piana della superficie di un cono tagliato da un piano intersecante. Le coniche sono quattro: circonferenza, ellisse, parabola, iperbole. Nella figura sopra si possono distinguere i vari tipi di coniche, in relazione alla inclinazione del piano intersecante.

La circonferenza in fisica Il moto circolare uniforme In cinematica, è il moto di un punto materiale lungo una traiettoria circolare che si muove a velocità costante. La velocità del punto materiale si trova sulla direzione della tangente alla circonferenza, perciò la velocità è detta tangenziale. Pur essendo costante la velocità in modulo, non lo è in direzione, questo è dovuto all’accelerazione centripeta. Il periodo del moto corrisponde al tempo impiegato dal punto materiale per percorrere l’intera circonferenza una sola volta, la frequenza invece corrisponde al numero di giri compiuti in un unità di tempo, quindi periodo e frequenza sono reciproci.Moto

Moto circolare di una particella carica in un campo magnetico Quando una particella carica entra in un campo magnetico con una velocità che ha direzione perpendicolare a quella del campo magnetico stesso, essa si muoverà di moto circolare. Se una particella di massa m e carica q si muove

Contributo di

Michela Baffari Carola Bortolotti Donato Iorio Simone Mancini

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con velocità v all’interno di un campo magnetico B, l’intensità della forza magnetica è: F= qvB Condizione necessaria perchè si verifichi un moto circolare è l’accelerazione centripeta; questa è fornita dalla forza magnetica che viene esercitata sulla particella verso un centro. Vediamo ora di calcolare il raggio dell’orbita circolare: Essendo l’accelerazione centripeta: a= v²/r moltiplicando per m entrambi i termini: ma= mv²/r Per il secondo principio della dinamica F=ma, perciò sostituiamo al prodotto ma la forza magnetica: qvB= mv²/r da cui ricaviamo, con semplici passaggi algebrici, il raggio dell’orbita circolare: r= mv/qB L

La circonferenza in arte

La circonferenza è ampiamente usata dagli artisti, specie dagli architetti per la costruzione di cupole, volte, archi. Ad esempio nella pianta di San Giorgio Maggiore, opera di Andrea Palladio, o nella pianta della Villa Almerico-Capra (detta anche la Rotonda), opera dello stesso autore, come si vede nelle figure seguenti.

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L’ellisse in fisica

L’ellisse è una curva geometrica molto importante nella fisica, in particolare nell’astrofisica. Le orbite dei pianeti intorno al sole, infatti, hanno una forma ellittica, come specificato dalla prima legge di Keplero. La forma dell’orbita è l’argomento della prima legge di Keplero che afferma che le orbite descritte dai pianeti attorno al Sole sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei fuochi. La posizione in cui un pianeta è più vicino al Sole si chiama perielio; quella di massimo allontanamento si chiama afelio. Se si disegnano le orbite dei pianeti si vede che esse sono quasi circolari; per questo motivo nello studio del moto dei corpi celesti spesso si approssimano le ellissi con delle circonferenze.

L’ellisse in arte

L’ellisse è stata spesso utilizzata in architettura come dimostrano le seguenti figure rappresentanti.

Interessante è anche capire come si può costruire un ellisse utilizzando il cosiddetto metodo “del giardiniere” perché viene usato proprio dai giardinieri per tracciare aiuole di forma ellittica. Questo metodo di costruzione, detto anche “ellisse del giardiniere”, consiste nel costruire un ellisse utilizzando dei paletti fissati nel terreno, una fune ed un punteruolo. Per tracciarla è necessario chiudere la fune con un nodo, farla passare all’esterno dei due paletti e tenerla tesa, avanzando, con un punteruolo.

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La parabola in fisica

Per iniziare diamo la definizione matematica. La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice.

Moto parabolico Quando un oggetto viene lanciato in orizzontale con una certa velocità in presenza di un campo gravitazionale, questo seguirà una traiettoria parabolica. Ad esempio una biglia su un tavolo che viene spinta per farla cadere, oppure il moto di un proiettile. La traiettoria parabolica risulta dalla combinazione del moto orizzontale e dalla caduta verticale dovuta all’attrazione gravitazionale. Analizziamo i due moti. Per il moto orizzontale avremo la seguente equazione: x – x0 = (v0 cosΘ) t

Dove x è la posizione orizzontale, x0 è la posizione orizzontale iniziale, v0 è la velocità di movimento dell’oggetto, Θ l’angolo formato dalla direzione della velocità e l’orizzontale e t il tempo. Per il moto verticale si ha: y - y0 = (v0sinΘ)t – ½gt²

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In questo caso y è la posizione verticale, y0 è la posizione verticale iniziale, v0 è la velocità di movimento dell’oggetto, Θ l’angolo formato dalla direzione della velocità e l’orizzontale, t il tempo e g l’accelerazione gravitazionale. Dalla combinazione di queste due equazioni è possibile arrivare all’equazione della traiettoria. Ricavando t dalla prima e sostituendolo nella seconda si ha: t = (x – x0)/(v0 cosΘ) y - y0 = (v0sinΘ) [(x – x0)/(v0 cosΘ)] – ½g[(x – x0)/(v0 cosΘ)] ² y = y0 + tanΘ (x – x0) - ½g[(x- x0)2/(v0 cosΘ) ²] ottenendo così l’equazione di una parabola.

Moto di una carica lanciata orizzontalmente fra le armature di un condensatore Se un elettrone entra con una certa velocità orizzontale fra le armature cariche di un condensatore, trascurando l’attrazione gravitazionale, subirà una forza elettrica che lo spingerà verso l’armatura caricata positivamente. Dalla combinazione del moto orizzontale dell’elettrone e della forza elettrica, esercitata dal campo elettrico all’interno del condensatore sull’elettrone, ne risulta una traiettoria parabolica proprio come succede per il moto di un proiettile, anche se le forze in gioco sono differenti.

L’antenna detta “parabola satellitare” o più correttamente antenna parabolica è un esempio di superficie generata dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse di simmetria. Infatti, osservandola lateralmente si può distinguere la forma propria di una parabola.

L’iperbole in fisica

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

La legge di Boyle-Mariotte La legge di Boyle-Mariotte afferma che, a temperatura costante, il prodotto fra la pressione di un gas P e il volume che questo occupa, V, è costante. Tutto ciò è descritto dall’equazione: PV=K Si può notare che questa è l’equazione di una iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Poiché non possiamo avere valori di pressione e di volume negativi, il grafico di questa funzione sarà solo un ramo di iperbole equilatera, come mostrato nella figura accanto !

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La Storia Delle Coniche

Menecmo Il più antico autore di cui abbiamo traccia che abbia trattato le coniche è Menecmo, maestro del grande condottiero Alessandro Magno e matematico greco antico, studioso di geometria, vissuto verso il 350 a.C.

Perfezionò, come dice Proclo, la geometria in ogni sua parte; ma è rimasto celebre in special modo per avere dato una nuova soluzione al grande problema della duplicazione del cubo, detto anche “il problema di Delo”. Per farlo utilizzò le coniche.

Nacque probabilmente ad Apeconesso, località della Tracia che oggi fa parte della Turchia. Egli studia le sezioni coniche ed è il primo a mostrare che ellissi, parabole e iperboli si possono ottenere tagliando un cono con un piano non parallelo alla base.

Si ritiene che non sia stato Menecmo ad inventare i nomi di parabola e iperbole; ma che piuttosto esse furono state inventate da Apollonio più tardi. Una proprietà delle coniche, in geometria proiettiva, è che esse sono equivalenti, ovvero possono essere trasformate l’una nell’altra tramite una trasformazione proiettiva.

Le coniche trovano applicazione in ottica, sia in epoca ellenista con la costruzione di specchi parabolici, sia nel Seicento. Menecmo ha fatto le sue scoperte sulle sezioni coniche mentre stava cercando di risolvere il problema di individuare il lato di un cubo avente volume doppio di un cubo dato (problema della duplicazione del cubo).

Menecmo e Apollonio

Contributo di Alessia Corradini Luca Giacomazzi Sara Tichanow Marina Viggiani

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L’opera di Menecmo sulle sezioni coniche è nota essenzialmente grazie ad un epigramma (iscrizione dedicatoria o funeraria) di Eratostene e alla scoperta di suo fratello Dinostrato del metodo che si serve alla quadratrice per costruire un quadrato di area uguale ad un cerchio dato (cioè per la scoperta di un procedimento per risolvere il problema della quadratura del cerchio). Vi è in Plutarco una curiosa affermazione sul fatto che Platone disapprovasse che Menecmo fosse arrivato alla soluzione del problema della duplicazione del cubo attraverso dispositivi meccanici. Gli esperti hanno discusso sulla possibilità che egli abbia usato dispositivi meccanici per disegnare le sue curve.

Menecmo si è occupato anche di altre questioni: Teone di Smirne afferma che egli era sostenitore della teoria astronomica delle sfere omocentriche avanzata da Eudosso. Proclo afferma che Menecmo abbia studiato anche la struttura degli enunciati (formule o proprietà) della matematica, dedicandosi alla logica ed alla distinzione fra teoremi e problemi. Egli era anche tra i primi che abbiano indagato i fondamentali del metodo matematico ed abbia discusso sul senso della parola “elemento”. Quando sia morto precisamente, non è certo; tuttavia gli studiosi contemporanei concordano nell’affermare che morì a Cizico.

Come abbiamo detto le coniche furono utili a Menecmo per risolvere il problema della duplicazione del cubo; vediamo come ci riuscì. Partendo dal metodo d’ Ippocrate della proporzione continua, considerando segmenti di lunghezza a e 2a:

a:x=x:y=y:2a

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Menecmo otteneva, considerando le proporzioni a due a due, le equazioni:

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La prima e la terza, equazioni di una parabola, la seconda di una iperbole. Mettendo queste a sistema a due a due, Menecmo otteneva la lunghezza del lato del cubo di volume doppio.

Apollonio di Perga

Pollonio Pergeo nacque verso il 262 a.C a Perge. Visse in Egitto raggiunse la sua fama sotto il regno di Tolomeo IV Filopatore. Apollonio viaggiò e risiedette qualche tempo ad Efeso e a Pergamo. Visse a lungo, e studiò in Alessandria, nella scuola dei successori di Euclide. Sembra che Eraclio lo accusasse di aver fatto passare sotto il suo nome alcuni teoremi di Archimede sulle coniche, ma Eutocio lo difese osservando che le coniche erano già state studiate prima di Archimede. Nel IX secolo fu ricopiato il manoscritto delle Coniche. Nel sec. X fu tradotto in arabo e in persiano. La prima edizione a stampa del testo greco è di Halley, nel 1710. Le Coniche sono un’ opera classica, che va posta accanto a quelle di Archimede. Nel primo libro egli spiega la generazione delle prime tre sezioni coniche, introduce i nuovi nomi di ellissi, iperbole, parabola e dimostra che qualsivoglia sezione conica può essere ottenuta come sezione di qualunque cono circolare dato. Il secondo libro parla della proprietà dei diametri, degli assi e degli asintoti. Mentre, il terzo contiene molti teoremi particolari relativi alle tangenti e alle trasversali delle coniche. Il quarto libro discute i vari casi d’ intersezione di due sezioni coniche, ovvero di una sezione conica ed un circolo. Nel quinto libro, studiando i massimi e i minimi segmenti che da un punto del piano di una sezione conica si possono condurre ad essa, giunse assai vicino al concetto di centro di curvatura della conica, e a quello di evoluta di una conica. Il sesto libro tratta dell’ uguaglianza e della similitudine delle sezioni coniche, il settimo contiene teoremi relativi ai diametri coniugati. Apollonio scrisse molte altre opere matematiche. In un scritto perduto Apollonio perfezionò i metodi di calcolo dell’aritmetica decimale. Apollonio voleva ricondurre il concetto euclideo dell’eguaglianza geometrica al caso della sovrapponibilità delle figure, facendo appello ad esperienze ideali di movimento. Apollonio utilizzò le sue conoscenze geometriche anche per un’ applicazione pratica, la costruzione di una meridiana in cui l’ ombra viene valutata su una superficie conica in modo da fornire una accuratezza maggiore delle meridiane con superficie piana. Il carattere innovativo della sua metodologia e della sua terminologia hanno influenzato molti studiosi dei secoli successivi. A lui sono attribuiti anche le ipotesi delle orbite eccentriche, con le quali spiegare il moto apparente dei pianeti, la velocità variabile della Luna e la variazione di luminosità degli astri.

ay = x2, xy = 2a2, 2ay = y2

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Il cerchio di Apollonio è il luogo formato dai punti del piano tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissati è costante. Talora viene chiamato con questo nome uno qualunque dei cerchi che risolve il problema di Apollonio.

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La più celebre matematica e filosofa dell’antichità nata fra il 355 e il 370 d.C.. E’ la prima scienziata la cui vita sia ben documentata ed è una delle poche ad essere citata in quasi tutte le opere storiografiche delle scienze naturali. I suoi scritti sono andati perduti a causa di uno dei tanti incendi che distrussero la biblioteca di Alessandria d’Egitto ma esistono comunque buone fonti a lei contemporanee del suo lavoro e indicazioni delle sue opere in varie raccolte. Ipazia nacque ad Alessandria d’Egitto, capitale delle scienze dell’impero romano e crebbe nel colto ambiente alessandrino. Ricevette un’istruzione di prim’ordine dal padre Teone, matematico e astronomo, direttore del “Museion”, la più famosa Accademia dell’antichità. Approfondì i suoi studi presso la scuola neoplatonica. Ipazia era ammirata per la sua bellezza e la sua saggezza, ma non si sposò mai e all’età di 31 anni assunse la direzione della scuola neoplatonica di Alessandria. Insegnante di matematica e di filosofia, ella fu un’autorità e un indiscusso punto di riferimento culturale nello scenario dell’epoca. Il suo nome è tornato famoso durante l’illuminismo, quando molti autori hanno iniziato a ricordarne la sua liberà di pensiero e l’alto livello a cui erano giunti i suoi studi. Al suo nome è dedicato il Centro Internazionale Donne e Scienza, creato nel 2004 dall’UNESCO a Torino per sostenere lo studio, la ricerca e la formazione in particolare delle donne scienziate del Mediterraneo. La

Ipazia D’alessandria

Contributo di Daniele Brusadin Eleonora Carpentieri Leonardo Petroselli Martina Porfili

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sua opera più significativa è un commento in tredici volumi a “L’Aritmetica” di Diofanto, il padre dell’algebra. Nel suo commento, Ipazia sviluppò soluzioni alternative a vecchi problemi e ne formulò di nuovi che vennero inglobati in seguito nell’opera di Diofanto. Scrisse anche un commento in otto volumi a “Le coniche” di Apollonio di Pergamo. In questa opera Ipazia inserì il “Corpus astronomico”, una raccolta da lei compilata di tavole astronomiche sui moti dei corpi celesti. Ipazia si occupò anche di meccanica e di tecnologia applicata. Le vengono attribuite due invenzioni: un aerometro e l’astrolabio, il primo per determinare il peso specifico di un gas, il secondo per definire la posizione del sole o di altri corpi celesti.

Nonostante vivesse un’epoca fortemente influenzata dalla misoginia aristotelica il cui le donne erano considerati esseri inferiori, Ipazia divenne così celebre che molti affrontavano lunghi viaggi per ascoltare le sue lezioni. La sua vita si concluse con una tragica morte.

La fama contemporanea circa la figura di Ipazia sembra essere dovuta alla sua tragica morte, avvenuta nel 415 d.C. Nella Vita di Isidoro, scritta 100 anni dopo i fatti narrati, Damascio scrive: «Così accadde che un giorno Cirillo, vescovo della setta di opposizione [il Cristianesimo], passò presso la casa di Ipazia, e vide una grande folla di persone e di cavalli di fronte alla sua porta. Alcuni stavano arrivando, alcuni partendo, ed altri sostavano. Quando lui chiese perché c’era là una tale folla ed il motivo di tutto il clamore, gli fu detto dai seguaci della donna che era la casa di Ipazia il filosofo e che lei stava per salutarli. Quando Cirillo seppe questo fu così colpito dalla invidia che cominciò immediatamente a progettare il suo assassinio e la forma più atroce di assassinio che potesse immaginare». Accade infatti che le venne teso un’agguato: un gruppo di fanatici cristiani la sorprese mentre faceva ritorno a casa e, dopo averla tirata giù dal carro, la trascinarono in chiesa. Lì furono strappate a Ipazia le vesti e la donne venne letteralmente fatta a pezzi. Le vari parti smembrate del suo corpo furono portate al cosiddetto cinerone, dove si dava fuoco agli scarti, e furono bruciate perché di Ipazia non rimanesse nulla. Su Ipazia sono stati scritti molti libri e nel 2009 e stato girato un film-colossal del regista spagnolo Alejandro Amenabar, Agora. Dopo pressioni da parte di gruppi di cittadini sui social network e da parte del giornale il film è finalmente uscito nel 2010 in Italia. In un primo momento infatti nessuno si era voluto prendere carico della sua distribuzione nei cinema. Fatto che alcuni hanno interpretato come una resistenza ad accettare la rappresentazione di un’immagine negativa sulla religione cristiana, che purtroppo in quegli anni, motivò crociate contro il sapere e contro la libertà di pensiero.

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Cartesio nacque il 31 marzo del 1596 a La Haye en Touraine. La madre morì il 13 maggio 1597, l'anno dopo la sua nascita, dando alla luce un figlio che le sopravvisse solo tre giorni. Il vedovo Joachim Descartes si risposò intorno al 1600 con Anne Morin, una bretone conosciuta a Rennes, dalla quale ebbe due figli. Orfano di madre e con il padre spesso assente, a prendersi cura di René furono soprattutto la nonna materna e la nutrice. Trascorse l'infanzia con i due fratelli a La Haye, ove un precettore privato gli impartì l'istruzione elementare: il costante pallore e una frequente tosse secca, che facevano pensare ai medici che non sarebbe vissuto a lungo, ritardarono l'inizio dei suoi studi regolari

Il progetto e il metodo

Fin dall'inizio delle sue ricerche su musica, ottica, matematica e geometria, Cartesio segue un piano preciso: è il progetto di una scienza interamente nuova, sganciata dall'insieme di nozioni che si insegnavano nelle scuole. Per garantire piena libertà alla ricerca sul mondo fisico e alla riflessione sulla psiche umana, Cartesio afferma l'esistenza di due sostanze radicalmente diverse: la sostanza estesa, propria dei corpi che si estendono nello spazio; la sostanza pensante, propria della mente. Il passo successivo è quello di disfarsi del patrimonio di conoscenze generalmente accolto, che Cartesio respinge in blocco, convinto che anche un solo uomo possa costruire un nuovo edificio del sapere, se riesce a individuare il metodo esatto. Questo metodo è offerto dalle matematiche che forniscono la struttura logica, cioè il modello di ragionamento deduttivo da utilizzare. Tale modo di procedere viene sintetizzato nel Discorso sul metodo in quattro regole: evidenza (non accogliere come vera una cosa a meno che non ti sembri tale con piena evidenza, cioè accogli solo quelle affermazioni sulle quali non puoi formulare il benché minimo dubbio), analisi (dividi ogni difficoltà che incontri in particelle), sintesi (organizza i pensieri con ordine, partendo dai più semplici per arrivare ai più complessi), enumerazione (fai verifiche ed enumerazioni complete e generali).

Cartesio

Contributo di

Bloomy Campiti Alice Fiorito Angelo Galluccio Tiziano Visconti

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Cartesio scienziato

Assai importante è l'opera scientifica di Cartesio, che è stato un grande matematico, soprattutto per il nuovo metodo da lui introdotto in geometria: il metodo delle coordinate che permette di individuare un punto del piano per mezzo di una coppia ordinata di numeri. Questo metodo consente di tradurre i problemi algebrici in problemi geometrici e viceversa, fondando una nuova scienza, la geometria analitica. Anche in ottica Cartesio ha conseguito risultati importanti, come la formulazione delle leggi della rifrazione; inoltre in meccanica si deve a lui un enunciato del principio d'inerzia e delle leggi della comunicazione del movimento: ogni parte della materia ‒ scrive Cartesio ‒ conserva lo stesso stato, fino a quando le altre parti, urtandola, non la costringono a cambiarlo; inoltre, una volta che essa abbia cominciato a muoversi, continuerà a farlo con uguale forza, fino a quando le altre parti non la fermeranno o ne impediranno il movimento.

Sistema di riferimento cartesiano

In matematica, un sistema di riferimento cartesiano è un sistema di riferimento formato da n rette ortogonali,[1] intersecantesi tutte in un punto chiamato origine, su ciascuna delle quali si fissa un orientamento (sono quindi rette orientate) e per le quali si fissa anche un'unità di misura (cioè si fissa una metrica di solito euclidea) che consente di identificare qualsiasi punto dell'insieme mediante n numeri reali. In questo caso si dice che i punti di questo insieme sono in uno spazio di dimensione n. Un sistema di riferimento cartesiano in due dimensioni viene chiamato piano cartesiano. Per identificare la posizione di punti nello spazio fisico viene solitamente utilizzato un sistema di riferimento cartesiano a tre dimensioni. Tuttavia per descrivere la posizione di oggetti più complicati vengono utilizzati altri sistemi di riferimento non necessariamente cartesiani e un differente numero di dimensioni, dette in questo contesto gradi di libertà. Usando un sistema di riferimento cartesiano, è possibile descrivere tramite equazioni algebriche forme geometriche come curve o superfici: i punti dell'oggetto geometrico sono quelli che soddisfano l'equazione associata. Per esempio è possibile descrivere una circonferenza nel piano cartesiano.

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Storia

L'uso delle coordinate geometriche venne introdotto per la prima volta da Nicola d'Oresme, matematico del XIV secolo operante a Parigi. René Descartes (italianizzato in Renato Cartesio, latinizzato in Renatus Cartesius), riprendendo gli studi di Nicola d'Oresme, lavorò sulla fusione dell'algebra con la geometria euclidea. Questi studi furono influenti nello sviluppo della geometria analitica, del calcolo infinitesimale e della cartografia. L'idea di questo sistema di riferimento fu sviluppato nel 1637 in due scritti da Cartesio e, indipendentemente, da Pierre de Fermat, anche se Fermat non pubblicò la sua scoperta. Nella seconda parte del suo Discorso sul metodo, Cartesio introduce la nuova idea di specificare la posizione di un punto o di un oggetto su una superficie usando due rette che si intersecano in un punto come strumenti di misura, idea ripresa in La Geometria.

L'opera scientifica di Descartes Il D. è stato grande matematico, particolarmente per il nuovo metodo di indagine geometrica da lui introdotto e chiaramente illuminato (anche se forse non da lui per primo creato): il metodo delle coordinate. Questo metodo permette di tradurre sistematicamente i problemi algebrici in problemi geometrici e viceversa, fondendo, per così dire, l'algebra e la geometria in una nuova scienza: la geometria analitica. Perciò la Géométrie è uno di quei rari libri che aprono veramente una nuova epoca nella storia della scienza. Non si deve cercare nella Géométrie una serie di risultati, quanto, appunto, un metodo. La Géométrie non contiene neppure l'equazione della linea retta, si è osservato. Contiene però, espressa con mirabile chiarezza, una fecondissima idea: quella di individuare un punto del piano per mezzo di una coppia ordinata di numeri

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(coordinate cartesiane) e di considerare una curva piana come il luogo dei punti che con le loro coordinate soddisfano un'equazione data (detta equazione cartesiana della curva, mentre il piano ha allora la qualifica di piano cartesiano). Certamente, accanto al nome del D. è giusto porre quello di P. Fermat, nella cui opera, pubblicata postuma (1679), si trovano le equazioni della retta e delle coniche. Ma a giusta ragione il metodo delle coordinate porta il nome di metodo cartesiano. Il D. studiò poi curve particolari, come il folium e le ovali che portano il suo nome. Allo studio delle ovali fu condotto dai problemi dell'ottica, scienza nella quale D. conseguì risultati fondamentali, come la chiara e definitiva formulazione delle leggi della rifrazione ricordate come leggi di Cartesio. In algebra porta il suo nome una regola per valutare il numero delle radici positive e negative di un'equazione algebrica a coefficienti reali (v. equazione). Anche in meccanica e in fisica, D. fu un caposcuola e le sue teorie conservano grande importanza storica, pur se in tutto o in parte superate. In meccanica si deve a D. un enunciato generale del principio d'inerzia ("ogni parte della materia conserva lo stesso stato, fino a quando le altre, urtandola, non la costringano a mutarlo... e una volta che abbia cominciato a muoversi, continuerà sempre a muoversi con egual forza fino a quando le altre non la fermeranno o ne ritarderanno il movimento"). Importante è la sua indagine sulla valutazione di talune grandezze cinetiche, e particolarmente della quantità di moto. D. riteneva che l'effetto di una forza come causa del moto dovesse misurarsi mediante la "quantità di moto", cioè mediante il prodotto, mv, della massa per la velocità, anziché, come sostenne successivamente Leibniz, dalla "forza viva" mv2. Ne seguì una famosa e secolare disputa tra "cartesiani e "leibniziani" che fu completamente risolta soltanto assai più tardi da d'Alembert, che dimostrò come entrambe le tesi fossero corrette, la prima se riferita all'effetto della forza F in un determinato intervallo di tempo dt, la seconda all'effetto in un determinato spostamento ds; infatti Fdt = d(mv) e Fds = d(mv2)/2.

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Le Coniche Con Geogebra5

GeoGebra è un'applicazione per lo studio di algebra e geometria. Permette di disegnare forme geometriche e grafici di funzioni e di modificarli in tempo reale. Ai ragazzi è stato mostrato come scrivendo le equazioni delle diverse coniche e modificandone i parametri è possibile osservare come si modificano i grafici delle varie curve. Esempi dei grafici ottenuti sono riportati qui di seguito.

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Le Coniche Nel Disegno Tecnico

Di seguito sono allegate le assonometrie isometriche fatte dai ragazzi durante le ore di disegno tecnico. Sono evidenziate le varie coniche ottenute sezionando un cono con vari piani.

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