LA DISCALCULIA EVOLUTIVA: STRUMENTI DI INTERVENTO

Studio sulle potenzialità dei giochi matematici

Progetto di ricerca di

Ariano Belli Matr. Nr. 04-984-431

ariano.belli@bluewin.ch

A.a. 2009/10

Docenti di riferimento:

Prof.ssa Feliciana Tocchetto, Prof. Fabio Leoni

 

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INDICE

BSTRACT ...................A 

.....................................................................................................................................3 

1. INTRODUZIONE .....................................................................................................................................4 a.......................................................................................................................4

.2. Contesto di riferimento ..................................................................  11 

.1. Motivazione della scelt.......................................................4

2. INQUADRAMENTO T EO2.1 Definizione e casistica .....

RICO E STATO DELL’ARTE .......................................................5...................................

2.2. Numero e computazione ......................................................................................................................5..........

.3. Classificazione e diagnosi della discalculia...................................................................................6 .........................................................................9

.4. Percorsi di riabilitaz22 

ione e misure compensative...................................................................... 10 

3. STUDIO EMPIRICO .....3.1. Scopo della ricer

........................................................................................................................ 13

3.2. Interrogativi di r ca .............................................................................................................................. 13icerca.....

3.3. Ipotesi di ricerca................ ................................................................................................................... 13..................................................

3.4. Approccio metodologico ................................................................. 13

3.5. Strumenti di indagine, di ................................................................................................................... 13 monitoraggio e di

3.6. Campione di riferimento ........... analisi ................................................................. 14

.7. Istoriato e profilo del bambino........................................................................................................ 14 discalculico ............................................................................... 14

.8. Percorso didattico-riabil  33 

itativo........................................................................................................ 15

5. RISULTATI OT TENUTI..............................5.1. Fatti aritmetici................................................

....................................................................................... 18

5.1.1. Tabella riassuntiva verifica in entrata ....................................................................................... 18

5.1.2. Analisi dei risultati verifica in entrat ....................................................................................... 18

5.1.3. Tabella riassun a....................................................................................... 20

5.1.4. Analisi dei risu tiva verifica in uscita ......................................................................................... 21ltati verifica in uscita..

5.2. Calcolo mentale............................................. ....................................................................................... 22

5.2.1. Tabella riassuntiva verifica in entrata ....................................................................................... 24

5.2.2. Analisi dei risultati verifica in entrat....................................................................................... 24

.2.3. Tabella riassuntiva verifica in uscitaa....................................................................................... 26 ......................................................................................... 27

.2.4. Analisi dei ris55 

ultati verifica in uscita......................................................................................... 28 

6. CONCLUSIONE....... .............................................................................................................................. 30

.2. Limiti della ricerc6.1. Risultati della ricerca.......................................................................................................................... 30

a .............................................................................................................................. 31 .3. Possibili svilupp

66 

i.................................................................................................................................. 32 

7. BIBLIOGRAFIA..................................................................................................................................... 33 .................................................................................................................................................... 33

.3. Articoli .....  77 

.1. Volumi............................................................................................................................................... 34

8. ALLEGATI ............................................................................................................................................... 35

ABSTRACT

Studente: Ariano Belli

Area: I disturbi specifici dell’apprendimento

Équipe: La discalculia evolutiva

Docenti di riferimento: Prof.ssa Feliciana Tocchetto, Prof. Fabio Leoni

Numero di caratteri utilizzati, spazi e note compresi: 61’970

L’elaborato si focalizza sulla discalculia evolutiva: partendo dal profilo di un

alunno discalculico vengono proposti due percorsi didattico-riabilitativi incentrati sulle

tabelline rispettivamente sul calcolo mentale.

Gli strumenti di intervento presi in esame riguardano alcuni giochi matematici da

proporre a grande gruppo. Lo studio intende verificarne l’efficacia, sia per rapporto

all’alunno discalculico sia per rapporto all’intera classe. I risultati ottenuti sono

riassumibili come segue:

interventi di senso con giochi matematici basati sulle conoscenze relative

all’intelligenza numerica possono riflettersi positivamente sull’apprendimento

matematico del bambino discalculico suggerendo un modesto aumento di

performance;

interventi di senso con giochi matematici basati sulle conoscenze relative

all’intelligenza numerica possono riflettersi positivamente sull’apprendimento

matematico dell’intera classe, specialmente per quanto concerne l’appropriazione

di strumenti metacognitivi.

Parole-chiave:

disturbi specifici dell’apprendimento; discalculia evolutiva; strategie di intervento; giochi

matematici.

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1. INTRODUZIONE

1.1. Motivazione della scelta

L’idea di orientarmi verso questo ambito di ricerca è maturata durante il quarto

tirocinio, quando mi sono confrontato con un bambino che presentava forti problemi in

matematica e che stava per essere diagnosticato discalculico dal capogruppo del Servizio di

sostegno pedagogico. Le difficoltà del discente, così come il disagio riscontrabile in alcune

sue affermazioni come “tanto non ci arrivo” oppure “tanto sono stupido”, mi sono apparsi

evidenti sin dall’inizio, un po’ meno il mio modo di agire in qualità di futuro maestro.

Con il prezioso aiuto della docente titolare e facendo riferimento a letture specifiche

mi sono documentato sulla discalculia, ma la domanda che mi ponevo era sempre la stessa:

senza volermi sostituire agli operatori specialisti del sostegno pedagogico, come potrei

aiutare questo bambino? Da qui l’idea di testare un approccio didattico di classe sfruttando

le potenzialità del gioco e dell’interazione tra compagni per favorire l’apprendimento

dell’allievo discalculico e al contempo potenziare le abilità matematiche dell’intera classe.

Detto fatto, sempre durante il tirocinio in questione, in collaborazione con la

logopedista del circondario abbiamo abbozzato degli atelier matematici a cadenza

settimanale improntati su due giochi: “Wurzel Joker” (Edizioni Mathe Kreativ) e “Numeri

in gioco” (Edizioni Erickson); abbiamo pure introdotto l’utilizzo del computer in classe, in

particolare il software “Potenziare le abilità numeriche e di calcolo” (Edizioni Erickson)

quale strumento di esercitazione. Questa prima fase di sperimentazione ha gettato le basi

per la ricerca che ho avviato l’anno successivo e che presento in questo documento.

1.2. Contesto di riferimento

Il progetto di ricerca svolto si riferisce a un territorio specifico – il Ticino – dove

fortunatamente sono presenti varie figure professionali che ruotano attorno

all’insegnamento: docenti titolari, docenti di sostegno pedagogico, logopediste, ecc...

La tendenza auspicata è proprio quella di una stretta e proficua collaborazione tra

tutti questi attori atta ad ampliare le conoscenze e a promuovere una prospettiva inclusiva

che favorisca lo scambio tra diversi profili di competenza, senza per questo invaderne il

campo specifico, com'è stato il caso dello studio che ho condotto.

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2. INQUADRAMENTO TEORICO E STATO DELL’ARTE

2.1 Definizione e casistica

La discalculia, al pari di dislessia, disortografia e disgrafia, è catalogata come un

disturbo specifico dell’apprendimento. Se consultiamo la Classificazione internazionale

delle sindromi e dei disturbi comportamentali (ICD-10) redatta dall’OMS, scopriamo che i

disturbi specifici dell’apprendimento vengono definiti “condizioni morbose che si

manifestano con specifiche e significative compromissioni dell’apprendimento e delle

abilità scolastiche”; riguardo la loro origine “si suppone vi sia un intervento significativo di

fattori biologici, i quali interagiscono con fattori non biologici (come le opportunità di

apprendimento e la qualità dell’insegnamento) producendo le manifestazioni” (qtd in

Biancardi e Milano, 1999, p. 51). Questa definizione ci permette di comprendere sin da

subito che non ci troviamo di fronte a semplici difficoltà scolastiche ma, come indica il

Manuale diagnostico e statistico dei disturbi mentali (DSM-IV) ad opera dall’American

Psychiatric Association (APA), a disturbi che “interferiscono in modo significativo con i

risultati scolastici o con le attività della vita quotidiana che richiedono capacità di lettura,

di calcolo o scrittura” (qtd in Biancardi e Milano, 1999, p. 52). Citando Biancardi e Milano

(1999, p. 63) potremmo semplificare il discorso affermando che “se è molto probabile che

un bambino con un disturbo di apprendimento abbia anche difficoltà scolastiche, non è

necessariamente vero il contrario”.

La comunità scientifica risulta concorde su alcuni punti riguardo i disturbi di

apprendimento: difficoltà di lettura, scrittura e calcolo si manifestano spesso in modo

congiunto; i fattori biologici giocano senz’altro un ruolo importante nell’insorgenza degli

stessi; i disturbi di apprendimento sono considerati come tali solo in individui con QI

uguale o superiore alla media; occorre escludere dalle categorie considerate le cattive

prestazioni scolastiche dovute per esempio a deficit cognitivi o sensoriali, problemi

psicologici o relazionali, iperattività o disturbi del linguaggio (Biancardi e Milano, 1999).

Temple (1992), dal canto suo, restituisce una definizione del disturbo chiara ed

esaustiva “la discalculia evolutiva è un disturbo delle abilità numeriche ed aritmetiche che

si manifesta in bambini di intelligenza normale, che non hanno subito danni neurologici.

Essa può presentarsi associata a dislessia, ma è possibile che ne sia dissociata” (qtd in

Vicari, 2002, p. 208).

Studi di Lucangeli e collaboratori (2006) indicano che in Italia, territorio a noi

contiguo, vengono segnalati grossomodo cinque bambini con difficoltà di calcolo su una

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classe di 25, tradotto in termini percentuali significa che il 20% degli alunni italiani

riscontra difficoltà nell’apprendimento della matematica (in Cornoldi, 2007); questo dato

potrebbe indicare una tendenza simile anche nel nostro Cantone. Occorre precisare che lo

studio considera tutte le generiche difficoltà in matematica legate a molteplici fattori; non

si tratta quindi esclusivamente di discalculia che, come abbiamo visto, è invece un disturbo

specifico dell’apprendimento. Secondo i dati dell’Academy for Research in Learning

Disabilities (IARLD) solo lo 0,5-1% della popolazione sarebbe infatti soggetto a

discalculia evolutiva, percentuale dunque molto più esigua (in Cornoldi, 2007).

Probabilmente in relazione a quest’ultimo dato, Vicari precisa che la discalculia risulta

essere il disturbo meno studiato, sia in rapporto all’architettura del sistema computazionale

cui si riferisce, sia per quanto concerne gli strumenti diagnostici e riabilitativi (2002).

Nel capitolo successivo andremo a sviluppare i tre aspetti menzionati da Vicari

seguendo l’ordine proposto: numero e computazione, classificazione e diagnosi della

discalculia, percorsi di riabilitazione e misure compensative.

2.2. Numero e computazione

Parafrasando Biancardi e Milano, è doveroso indagare i modelli concernenti la

costruzione del numero (il concetto, la lettura, la scrittura e la ripetizione), la sua

manipolazione (per esempio nelle tabelline, oppure nel calcolo a mente e scritto) e

l’esecuzione di operazioni aritmetiche semplici (addizione, sottrazione, moltiplicazione e

divisione); in pratica si tratta di considerare quelle che vengono definite low order

numerical skills, ossia le abilità matematiche di base riassumibili in numeri, proprietà e

combinazioni (1999).

Piaget (Piaget e Szeminska, 1941) ha dimostrato come il bambino apprenda il

numero attraverso processi di assimilazione, accomodamento e conseguente ridefinizione

dei propri schemi mentali. Questo processo naturale porta alla costruzione del concetto di

numero (più o meno verso i 5-6 anni, durante lo stadio del pensiero operatorio) da lui

inteso come la sintesi di due operazioni: ordine (relazioni) e inclusione (classi). Tradotto in

parole povere significa che un insieme di elementi, per acquisire lo statuto di quantità

numerica, deve essere considerato in funzione della sua cardinalità e situato lungo una

serie numerica secondo lo stesso criterio; parallelamente si consolidano operazioni logico-

matematiche legate a iterazione, seriazione e connexité.

Le ricerche di Starkey e Cooper (1980) ci rendono però attenti sul fatto che il

bambino possiede un’attitudine precoce a rappresentarsi la cardinalità di un insieme di

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oggetti; possedere il concetto di cardinalità implica il saper agire sulla numerosità e avere

delle aspettative aritmetiche (in Cornoldi, 2007). Lo studio di Wynn (1992) dimostra infatti

come i bambini “nascono con la capacità di eseguire processi di addizione e sottrazione

che li portano a nutrire aspettative aritmetiche”, intendendo con questo operazioni semplici

del tipo più (+) o meno (-) 1 (qtd in Lucangeli, 2006, p. 85).

Il passo successivo è rappresentato dal conteggio, che Butterworth definisce come

primo collegamento tra le capacità innate riportate sopra e le acquisizioni matematiche che

la cultura mette a disposizione; questa capacità è guidata dai principi di corrispondenza

biunivoca, ordine stabile, cardinalità, astrazione e irrilevanza dell’ordine (1999).

Passiamo ora all’acquisizione delle abilità di calcolo che riguarda invece “l’insieme

dei processi che consentono di operare sui numeri tramite operazioni aritmetiche”

(Cornoldi, 2007, p. 103). Girelli (2006) suggerisce che le prime informazioni rimaneggiate

riguardano la natura dell’operazione (i segni aritmetici) con lo scopo di accedere a

eventuali fatti aritmetici, ossia operazioni di base i cui risultati sono immagazzinati nella

memoria a lungo termine; qualora non si avesse accesso a questa conoscenza di tipo

dichiarativo, occorre attivare procedure generiche o specifiche di calcolo (in Cornoldi,

2007). Nei bambini di cinque anni, Siegler e Mitchell (1982) evidenziano la presenza di

strategie di calcolo diverse: il conteggio con le dita (esplicito o mentale) oppure il

conteggio verbale a voce alta; la scelta dipende dal grado di fiducia che essi si

attribuiscono (in Cornoldi, 2007). Nel caso delle addizioni di due cifre, Beishuizen (1993)

osserva due strategie: la scomposizione in decine e unità di entrambi gli addendi – strategia

meno evoluta – oppure unicamente del secondo addendo, che viene poi sommato o

sottratto al primo – strategia più evoluta – (in Cornoldi, 2007). Lo stesso Cornoldi (2007,

p. 105) afferma che ciò che conta maggiormente è essere coscienti che “nel calcolo a

mente la conoscenza procedurale consente di operare scomposizioni sui numeri per

ottenere operazioni intermedie più semplici, mentre nel calcolo scritto essa ordina la forma

grafica della specifica operazione, l’incolonnamento dei numeri, la direzione

spazio/temporale delle azioni, in altre parole l’ordine in cui le operazioni parziali vanno

recuperate in memoria, e, infine, il modo di utilizzarle tramite le regole vere e proprie”;

questo significa che il calcolo a mente utilizza prevalentemente strategie costruttive mentre

quello scritto procedure più o meno automatizzate.

I modelli che cercano di spiegare il punto di incontro tra numero e calcolo sono

quello di McCloskey e Caramazza (1987), che distinguono chiaramente il sistema di

calcolo da quelli di comprensione (input) e produzione (output) dei numeri, e quello di

Dehaene (1992), che ha focalizzato l’attenzione sugli aspetti del numero legati agli

apprendimenti, in particolare i vari codici coinvolti: quello arabo (digitale), quello verbale

uditivo e quello analogico (in Cornoldi, 2007).

Lo schema mostra chiaramente come un

numero debba per prima cosa essere compreso,

cioè trasformato in una rappresentazione astratta

di quantità. Successivamente interviene il sistema

di calcolo che opera una manipolazione attraverso

fatti aritmetici, segni delle operazioni o procedure

di calcolo. Il sistema di produzione è ora pronto a

restituire risposte numeriche traducendo le

rappresentazioni interne rimaneggiate. Fonte: McCloskey, Caramazza e Basili (1985) (in Cornoldi, 2007, p. 105)

Il secondo schema illustra un modello che

poggia su un assunto fondamentale: i numeri

vengono rappresentati mentalmente in formati

differenti (verbale uditivo, arabico visivo e

grandezza analogica) cui corrispondono specifici

processi di input e output nonché abilità

numeriche. Il modello predilige dunque la via

asemantica, vale a dire che non c’è la necessità di

rappresentarsi mentalmente la quantità. Fonte: Dehaene (1992) (in Cornoldi, 2007, p. 107)

Potremmo concludere affermando che la distinzione (e conseguente trattazione) tra

il sistema dei numeri e il sistema del calcolo è senz’altro valida per il primo ambito, mentre

per quanto concerne il sistema del calcolo esso si avvale necessariamente del sistema

numerico, sia in entrata che in uscita, e questa integrazione deve essere tenuta presente sia

nel processo valutativo, sia in quello riabilitativo (Vicari, 2002); in qualità di futuro

docente, aggiungerei anche a livello di progettazione didattica per l’intera classe.

  8

  9

2.3. Classificazione e diagnosi della discalculia

Il DSM-IV-TR e l’ICD-10 propongono i principali sintomi legato all’elaborazione

del num ro: e

incapacità di comprendere i concetti di base di particolari operazioni; ‐

mancanza di comprensione dei termini o dei segni matematici; ‐

mancato riconoscimento dei simboli numerici; ‐

difficoltà ad attuare le manipolazioni aritmetiche standard; ‐

‐ difficoltà nel comprendere quali numeri sono pertinenti al problema aritmetico

che si sta considerando;

‐ difficoltà ad allineare correttamente i numeri o a inserire decimali o simboli

durante i calcoli;

‐

‐ incapacità ad apprendere in modo soddisfacente le “tabelline” della

moltiplicazione.

scorretta organizzazione spaziale dei calcoli;

La discalculia viene classificata e spiegata in base alla presenza o meno dei sintomi

sopra esposti e ai modelli citati nel capitolo precedente. L’autorevole manuale in lingua

francese “Psychopathologie de l’enfant et de l’adolescent” spiega che esistono importanti

differenze individuali ancora poco conosciute ma che in generale si possono distinguere

due gruppi di bambini discalculici. I primi hanno difficoltà ad acquisire le basi necessarie

al calcolo e ad averne accesso più o meno automaticamente, mentre i secondi fanno errori

procedurali nella manipolazione dei dati matematici, nel calcolo o nei ragionamenti

matematici; al primo gruppo di bambini generalmente si ricollega un importante ritardo

nell’accesso al codice che non è riscontrabile nei bambini del secondo gruppo (Dumas,

2005).

Temple (1997) si spinge oltre e identifica tre tipi di discalculia: la discalculia

dovuta ad una dislessia specifica alle cifre, la discalculia dovuta all’incapacità di evocare

fatti aritmetici e la discalculia dovuta all’incapacità selettiva di sviluppare le procedure del

calcolo scritto (in Gaillard et al., 2007). Lucangeli, Ianniti e Vettore cercano di dare forma

alle tre tipologie del disturbo spiegando che nel primo caso sono invalidati i meccanismi

lessicali e di transcodifica (errori in compiti di lettura e scrittura di numeri in codice

arabico o verbale); nel secondo caso la difficoltà riguarda l’acquisizione dei fatti aritmetici

(tabelline, risultati semplici e risultati mnemonici); nel terzo caso la discalculia riguarda le

procedure di calcolo (errori di riporto, prestito e incolonnamento) in assenza di errori

lessicali (2007).

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Per quanto riguarda la diagnosi, è opportuno sottolineare che in Ticino dal 2007

abbiamo a disposizione uno strumento diagnostico di nuova generazione: si tratta di

“numerical”, un test neurocognitivo per la padronanza del numero e del calcolo, elaborato

da un’équipe di ricerca dell’Università di Losanna (patrocinata dal prof. Gaillard) e

successivamente normalizzato a livello ticinese da un sottogruppo di lavoro del Servizio di

sostegno pedagogico del Cantone. Nel manuale per lo sperimentatore, “numerical” viene

definito come “una batteria di test per il numero e il calcolo, destinata a bambini che hanno

già beneficiato di due anni completi di scolarizzazione elementare” (Gaillard et al., 2007,

p. 9). Le indicazioni relative alla sua somministrazione confermano la possibilità di

diagnosticare un bambino come ‘discalculico’ non prima dei 7-8 anni (indicativamente

verso febbraio-marzo della terza elementare). Il test si propone di testare gli elementi

chiave in ambito numerico e aritmetico, riassumibili nei seguenti fattori: alfabetico,

digitale, orale, calcolo scritto, calcolo orale e scritto, stima proposta, analogico, spaziale

(Gaillard et al., 2007).

“Numerical” si presenta come uno strumento di prevenzione (i primi cinque fattori

citati restituiscono infatti una visione predittiva a livello di riuscita nella scuola elementare,

mentre i restanti tre si riferiscono alla scuola media e oltre), di diagnosi (che si compone di

due profili: uno quantitativo, e riferito alle prestazione negli otto ambiti considerati, e uno

qualitativo, che indica il livello raggiunto in ogni singola prova tramite i tre parametri ‘non

acquisito’, ‘in fase di acquisizione’, ‘acquisito’) e di indicazione terapeutica (la

standardizzazione dei punteggi ottenuti permette di creare un profilo grafico che suggerisce

in modo immediato gli ambiti in cui è opportuno proporre interventi specifici).

2.4. Percorsi di riabilitazione e misure compensative

Tocchiamo ora l’aspetto legato al trattamento della discalculia. A livello di

intervento vengono solitamente proposti due tipi di misure: percorsi di riabilitazione

(specifici oppure legati ai recenti programmi di potenziamento delle abilità di cognizione

numerica) e misure compensative o dispensative, per esempio la tavola periodica, la tavola

additiva e sottrattiva oppure la calcolatrice (Cornoldi, 2007). Vicari ci ricorda che in realtà

“le strategie e gli strumenti da adottare per aiutare i bambini che presentano difficoltà con

numeri e calcoli sono al momento tutte da costruire” (Vicari, 2002, p. 216). Vediamo

quelle studiate e proposte di recente.

Per gli algoritmi del calcolo esistono esercizi improntati sulla costruzione dei fatti

aritmetici (che puntano all’efficienza nel calcolo mentale rapido, abilità indispensabile sia

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a scuola sia nella vita quotidiana) ed esercizi connessi alla stabilizzazione delle operazioni

scritte (qui occorre puntare su un maggior ordine nei dati da collocare tramite indicatori

spaziali e sequenziali, sulla padronanza dell’algoritmo e infine sul controllo dei risultati

ottenuti). Si è inoltre visto che allenare il calcolo mentale con le strategie tradizionali non

porta a grandi risultati; spesso è utile proporre richiami visivi e sonori, oppure richiami alla

sequenza numerica prevista, come nel caso delle tabelline, tramite l’aiuto delle dita o della

tavola pitagorica (Vicari, 2002). Risulta dunque opportuno favorire l’acquisizione di

molteplici trucchetti, perché anche nei calcoli a mente complessi i discalculici non si

avvalgono per esempio delle più semplici strategie di scomposizione (Vicari, 2002).

Come ricorda Lucangeli, riferendosi a Hiebert (1988), un punto essenziale nella

matematica scritta è “la padronanza del rapporto tra simbolo e referente, ossia la capacità

di ritornare al significato partendo dalle rappresentazioni scritte” (Lucangeli, 2006, p. 86).

Ecco perché nei bambini discalculici non va mai tralasciata la riabilitazione legata alla

transcodifica che punti a “rinforzare le loro capacità di scrivere e leggere i numeri, [...] a

identificare la loro collocazione sulla retta dei numeri, a identificare le ricorsività che

presentano” (Vicari, 2002, p. 217 ). Se è vero che “le difficoltà nell’esecuzione di calcoli

possono essere superate attraverso l’uso della calcolatrice, quelle relative al processamento

numerico non possono usufruire di strumenti di compenso e necessitano di uno specifico

intervento riabilitativo” (Vicari, 2002, p. 211).

Biancardi e colleghi hanno svolto considerevoli studi sia sulla riabilitazione del

sistema dei numeri che del calcolo. Concentriamoci sulle loro proposte incentrate sul

calcolo mentale e sull’esecuzione a mente di calcoli complessi. La prima constatazione è

che per i discalculici una delle maggiori difficoltà consiste nel reperire i fatti aritmetici,

cioè il richiamare alla mente un risultato di un’operazione direttamente dalla memoria a

lungo termine; in questo occorre “rendere più facilmente utilizzabile il magazzino dei fatti

aritmetici, oppure, quando le difficoltà sono tali da impedirlo, almeno rendere il calcolo

mentale il più possibile rapido e corretto” (Biancardi, Mariani e Pieretti, 2004, p. 82).

Le strategie per l’acquisizione dei fatti aritmetici vanno dalla reiterazione delle

tavole (periodica, additiva e sottrattiva) alla costruzione di associazioni linguistiche e/o

visive mentre per l’incremento dell’efficienza nel calcolo si punta sull’uso delle dita e sulla

riduzione del numero di informazioni da memorizzare; l’indicazione generale sembra

comunque quella di non insistere troppo sulla memorizzazione forzata bensì su misure che

facilitino l’esecuzione del calcolo (Biancardi, Mariani e Pieretti, 2004). Nello svolgimento

di calcoli complessi a mente si predilige la scomposizione in decine di tutte le componenti

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dell’operazione oppure di una sola componente così come l’arrotondamento (che però

risulta complesso in quanto richiede il controllo contemporaneo di più fattori).

Attualmente la ricerca si sta focalizzando su promettenti studi basati sul

potenziamento dell’intelligenza numerica e delle abilità cognitive a essa correlate. Spesso

di tratta di giochi numerici (da tavolo o su CD-ROM) che si rivelano sia strumenti di

riabilitazione, sia strumenti per favorire l’apprendimento matematico nella intera classe.

Essi non si pongono l’obiettivo di lavorare su specifici contenuti del curricolo di

matematica, né su concetti matematici precisi, ma si focalizzano sulle modalità di

elaborazione del sistema numerico e di calcolo (Cornoldi, 2007). Un esempio è “Numeri in

gioco” (Edizioni Erickson) che esercita e sviluppa abilità matematiche riconducibili a

molteplici ambiti: la linea dei numeri, la transcodifica numerica, la codifica semantica, il

calcolo mentale, e il calcolo scritto. Lucangeli propone invece il progetto “L’intelligenza

numerica” (Edizioni Erickson) che abbina aspetti cognitivi e metacognitivi attivando

processi lessicali, semantici, sintattici, il calcolo a mente e il calcolo scritto per fare in

modo che il bambino possa sviluppare personali strategie consone al suo stile di

apprendimento e via via più autonome.

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3. STUDIO EMPIRICO

3.1. Scopo della ricerca

Sulla base degli studi legati all’intelligenza numerica e partendo dal profilo di un

bambino discalculico, proporre un percorso di recupero e potenziamento delle sue abilità

numeriche e di calcolo mentale. Verificare l’efficacia di tali misure sia sull’apprendimento

del singolo allievo che a livello di classe.

3.2. Interrogativi di ricerca

Gli interrogativi di ricerca sono riassumibili come segue:

⇒ Quali interventi di classe posso pianificare per un bambino discalculico?

⇒ È possibile maturare strategie di calcolo efficaci proponendo attività di classe?

⇒ I giochi numerici hanno un riscontro effettivo sugli apprendimenti matematici

dell’alunno discalculico? Se del caso, in che misura e in quale forma?

⇒ I giochi numerici potenziano l’abilità numerica dell’intera classe? Se del caso,

in che misura e in quale maniera?

3.3. Ipotesi di ricerca

Le ipotesi di ricerca che lo studio intende verificare sono così riassumibili:

1. Interventi di senso con giochi matematici basati sulle conoscenze relative

all’intelligenza numerica si riflettono positivamente sull’apprendimento del

bambino discalculico.

2. Interventi di senso con giochi matematici basati sulle conoscenze relative

all’intelligenza numerica si riflettono positivamente sull’apprendimento

dell’intera classe.

3.4. Approccio metodologico

Suddivido il campione di riferimento in modo equo (gruppo di controllo

rispettivamente gruppo sperimentale) sulla base di due prove in entrata somministrate

collettivamente a tutta la classe. Al gruppo sperimentale sottopongo settimanalmente due

ore di attività improntate su giochi numerici, questo sull’arco di sei settimane (tre per ogni

percorso). Il gruppo di controllo svolge con il docente titolare altre attività di matematica

che non toccano però gli ambiti studiati dalla ricerca. Al termine di ogni percorso viene

riproposta la verifica iniziale all’intero campione per testarne nuovamente le competenze

matematiche.

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3.5. Strumenti di indagine, di monitoraggio e di analisi

Le verifiche vertono su alcuni aspetti, tra i quali figurano: l’automatismo nel

recupero di fatti aritmetici – le caselline – e le eventuali strategie messe in atto (primo

percorso) così come la capacità di calcolare correttamente a mente utilizzando strategie

efficaci (secondo percorso). I risultati conseguiti vengono successivamente analizzati dal

punto di vista quantitativo (punteggi ottenuti sia nei singoli esercizi che globalmente) e

qualitativo (come si pongono gli allievi di fronte alle differenti strategie di recupero di fatti

aritmetici rispettivamente di calcolo mentale). Alla fine stabilisco tre confronti che mi

permettono di verificare le ipotesi di ricerca: l’evoluzione dell’apprendimento del bambino

discalculico, l’evoluzione dell’apprendimento del gruppo sperimentale rispettivamente il

confronto con il gruppo di monitoraggio.

Come strumento di monitoraggio utilizzo il diario. In ogni intervento prevedo una o

più attività a coppie dove ho la possibilità di lavorare a stretto contatto con il bambino

discalculico e annotare gli interventi verbali più rilevanti, le strategie che propone e come

egli si pone di fronte alle attività che svolgiamo (riuscita, difficoltà, motivazione, ecc…).

Questo modo di operare mi permette inoltre di compiere regolazioni in itinere rispetto agli

interventi programmati.

3.6. Campione di riferimento

Il campione è composto da una classe di quattordici allievi di quarta elementare del

Cantone Ticino. Al suo interno è presente un bambino diagnosticato discalculico dal

Servizio di sostegno pedagogico a fine gennaio 2009. Per sviluppare il percorso didattico-

riabilitativo sono stati presi in considerazione i fattori più carenti che emergono dal suo

profilo “numerical”: il recupero di fatti aritmetici e il fattori legati al calcolo.

Ricordo che per questioni legate alla protezione della sfera privata i nomi dei

bambini citati sono stati opportunamente modificati.

3.7. Istoriato e profilo del bambino discalculico

Samuele è l’alunno diagnosticato discalculico presente all’interno del campione di

riferimento preso in considerazione per la ricerca.

Il bambino nasce nel 1999, frequenta per intero i tre anni alla Scuola dell’infanzia,

che terminano con una proposta di rinvio. La motivazione principale è legata al suo

sviluppo cognitivo, in particolare a una carenza nel linguaggio (nel 2002 viene segnalato al

Servizio di sostegno che attiva un intervento logopedico precoce) e a un ritardo nella

  15

costruzione del concetto di numero (relazione – corrispondenza – classificazione –

seriazione), di astrazione e di generalizzazione. Samuele non sembra inoltre interessato a

compiti “scolastici” come pure alla lettura o alla scrittura.

In ambito prettamente matematico, dagli esami psicometrici e pedagogici effettuati

dal capogruppo del Servizio di sostegno pedagogico nella primavera del 2005, si nota un

sensibile ritardo rispetto alla norma nelle sue competenze in campo aritmetico (5/10), nella

comprensione numerica e nelle capacità logico-matematiche (6/10). D’intesa con i genitori

e gli operatori scolastici che si occupano di Samuele, il bambino viene inserito nel gruppo

di stimolazione (prescuola).

Nel 2006 Samuele intraprende il primo ciclo di scuola elementare; a detta della

docente titolare i primi due anni sono caratterizzati da evidenti difficoltà in matematica e

da un’importante ritardo nell’accesso al codice (avvenuto unicamente al secondo anno

inoltrato). Per queste ragioni, nella primavera del 2007 gli viene sottoposto il test del QI

(Allegato 1, p. 36) che restituisce un punteggio totale nella media (101). Il suo profilo

WISCR-R appare discontinuo: punteggi leggermente bassi per un totale di 87 nel verbale

(da notare il picco negativo nella memoria di cifre) mentre sopra la media nel punteggio di

perfomance pari a 120 (con picco positivo nelle storie figurate). Dati alla mano occorre

dunque tenere in conto un’ipotesi di disturbo dell’apprendimento che, ricordiamolo, si

manifesta unicamente in individui con QI uguale o superiore alla media e che non

presentano deficit specifici.

A inizio 2009, trascorsi dunque più di due anni completi di scolarizzazione SE, gli

viene sottoposto il test neurocognitivo per la padronanza del numero e del calcolo

“numerical” (Allegato 2, pp. 37-38). La scala quantitativa indica un risultato al limite (83)

mentre quella qualitativa è al di sotto della media (68). I punteggi più carenti li troviamo

nel fattore digitale e nei fattori calcolo scritto e calcolo orale scritto. I risultati non lasciano

dubbi: l’ipotesi di discalculia viene confermata. L’allora maestra di Samuele come pure il

suo docente attuale avviano un curricolo differenziato che tiene conto del suo disturbo

specifico dell’apprendimento; per contro il bambino non è seguito dal Servizio di sostegno

pedagogico.

3.8. Percorso didattico-riabilitativo

Sulla base del profilo del bambino discalculico ma anche dell’intero campione di

riferimento (per rapporto al grado di scolarizzazione SE), ho elaborato un percorso

didattico-riabiliativo improntato sui giochi numerici che di seguito ripropongo in sintesi.

  16

Elenco dapprima il percorso svolto sui fatti aritmetici (tabelline). Le attività pensate

erano funzionali all’emergere di strategie che, di volta in volta, venivano sia sintetizzate

sulla tavola pitagorica (Allegato 3, p. 39) sia mobilitate nei vari giochi matematici proposti.

Rimando agli allegati per una visione più approfondita del materiale utilizzato e per le

osservazioni annotate sull’alunno discalculico e sul gruppo sperimentale (Allegato 4, p.

40).

1. Verifica in entrata (45 min.)

• “Tabelline, che passione!” (Allegato 5, pp. 41-43)

2. Primo intervento (2 ore)

• Tavola pitagorica: strategia del ×1, del ×10, del ×2, del ×5 e del ×6

• Canzone: “La ballata del cow-boy Bill” (Allegato 6, p. 44)

• Gioco: “Joker” (Allegato 7, p. 45)

• Compito: studiare bene la casellina del 6

3. Secondo intervento (2 ore)

• Rime: “La ballata delle rime” (Allegato 8, pp. 46-47)

• Tavola pitagorica: la strategia del ×9 (Allegato 9, p. 48) e del ×4

• Giochi: “À vos baguettes” e “Main pleine” (Allegato 10, p. 49)

• Compito: studiare bene la casellina del 9

4. Terzo intervento (2 ore)

• Tavola pitagorica: strategia del ×8, del ×3 e del ×7

• Giochi: “En 6 coups” e “Memory delle caselline” (Allegato 11, p. 50)

• Compito: ripassare l’intera tavola pitagorica in vista della verifica

5. Verifica in uscita (45 min.)

• “Tabelline, che passione!” (Allegato 12, pp. 51-53)

  17

Elenco ora il percorso relativo al calcolo mentale. Pure in questo caso le attività

pensate erano funzionali all’emergere di strategie efficaci che di volta in volta venivano

discusse ed esercitate con il gruppo oppure in coppia con un compagno. Rimando

nuovamente agli allegati per maggiori approfondimenti (Allegato 13, pp. 54-55).

1. Verifica in entrata (45 min.)

• “Calcoli, che passione!” (Allegato 14, pp. 56-59)

2. Primo intervento (2 ore)

• Giochi: “Numeri in gioco” e “Math puzzles” (Allegato 15, p. 60)

3. Secondo intervento (2 ore)

• Strategie: “Il mago” (Allegato 16, p. 61) e “La vetrata” (Allegato 17, p. 62)

• Giochi: “5 MIN!” (Allegato 18, p. 63) e “Math puzzles”

3. Terzo intervento (2 ore)

• Strategie: “La lettera giusta” (Allegato 19, p. 64)

• Gioco: “Trimini” e “Tutti i segni” (Allegato 20, p. 65)

1. Verifica in uscita (45 min.)

• “Calcoli, che passione!” (Allegato 21, pp. 66-69)

5. RISULTATI OTTENUTI

5.1. Fatti aritmetici

Le tabelle riassumono i risultati ottenuti dalla classe nella verifica in entrata, rispettivamente in uscita, “Tabelline, che passione!” (Allegati 5

e 12, pp. 41-43 e pp. 51-53) relativi al percorso didattico-riabilitativo incentrato sulle caselline. Esse riportano i risultati di ogni bambino nei singoli

esercizi, i punteggi totali, le risposte a carattere discorsivo e i commenti registrati al termine delle prove durante una succinta discussione in merito.

5.1.1. Tabella riassuntiva verifica in entrata

In arancione sono segnati i bambini facenti parte del gruppo sperimentale nonché i relativi risultati presi in esame nell’analisi che segue; il

bambino discalculico e i risultati globali da lui ottenuti sono invece marcati in verde.

data: 09.10.’09 tempo: 45’ somministrazione: collettiva a tutto il campione di riferimento

Nome del bambino

orale es. 1

scritto es. 2

corr. es. 3

scomp. es. 5

sequ. es. 6

rime es. 7

gioco es. 8

tavola es. 9

TOT. strategie es. 4

commenti dopo aver consegnato

Letizia 8/8 8/8 8/8 16/16 7/8 4/8 2/50 99/100 152/206 - Non so...

Luca 6/8 8/8 8/8 16/16 7/8 8/8 7/50 100/100 160/206 - Facile, da pensare bene e divertente.

Olivier 8/8 8/8 8/8 15/16 8/8 4/8 1/50 100/100 152/206 So tutti i calcoli senza il trucchetto. Due piccoli esercizi difficili.

Daria 7/8 8/8 8/8 13/16 7/8 4/8 5/50 100/100 152/206 Ho studiato tanto le caselline e me le ricordo.

Facile.

Damiano 8/8 8/8 8/8 16/16 8/8 5/8 2/50 100/100 155/206 Anche a me vengono in mente spontaneamente.

L’ho trovato interessante e da riflettere.

  18

  19

Nome del bambino

orale es. 1

scritto es. 2

corr. es. 3

scomp. es. 5

sequ. es. 6

rime es. 7

gioco es. 8

tavola es. 9

TOT. strategie es. 4

commenti dopo aver consegnato

Luana 8/8 7/8 8/8 16/16 8/8 3/8 0/50 95/100 145/206 Io faccio tipo 9×3 = 27 − 9 = 18 oppure faccio per esempio: 6×5 = 30 − 6 = 24

Ci ho messo un po’ perché dovevo pensare bene.

Samuele 3/8 4/8 4/8 11/16 6/8 4/8 2/50 43/100 77/206 Non mi piacciono le caselline, non ho dei trucchetti e non le so tutte a memoria.

Calcoli difficili il terzo foglio e calcoli facili i primi quattro; così così il 2° e il 3° esercizio.

Michele 8/8 7/8 8/8 16/16 8/8 7/8 49/50 98/100 201/206 Io non ho trucchi solo ogni tanto giro i calcoli.

Per me era facile anche se erano esercizi diversi dal solito.

Alessio 7/8 8/8 7/8 14/16 8/8 6/8 18/50

98/100 166/206 Io uso delle rime come 6×5 faccio la metà di 6 che è 3 e poi aggiungo uno zero, oppure 6×9 faccio per 10 poi al risultato tolgo 6.

Io non ho avuto tanti problemi ma un esercizio non ero tanto sicuro.

Aris 8/8 8/8 8/8 15/16 8/8 5/8 7/50 100/100 159/206 Io non ho nessun metodo per fare le caselline.

C’era uno che non sapevo bene cosa fare.

Roberta 8/8 8/8 8/8 16/16 8/8 5/8 31/50 100/100 184/206 Io la prima volta le ho imparate a memoria.

Per me il test non era difficile.

Gianna 8/8 8/8 8/8 16/16 8/8 4/8 50/50 100/100 202/206 Quando faccio le tabelline le faccio veloci perché mi sono esercitata tantissimo.

Facile, da ragionare.

Emma 7/8 8/8 7/8 14/16 7/8 6/8 17/50

99/100 165/206 Io non me le ricordo e faccio la tabellina di quel calcolo fino che non riesco a trovarlo.

Era per ragionare, trovare strategie; ho imparato da Lidia a fare le sequenze.

Lidia 8/8 8/8 8/8 11/16 8/8 4/8 38/50 99/100 184/206 Per ricordarmele penso ai fogli che ho fatto in passato, oppure faccio la sequenza a memoria come fa Lidia. Invece con il 9×9 faccio ×10 e tolgo una volta il numero che ho pensato.

Erano un po’ difficili le rime.

5.1.2. Analisi dei risultati verifica in entrata

L’intero campione (alunno discalculico non compreso) ottiene un punteggio totale medio pari a 167 su 206; il buon risultato è in linea con

le aspettative per una quarta elementare, dove si presume che i fatti aritmetici, in questo caso le tabelline, siano acquisiti. Nello specifico gli alunni

del gruppo sperimentale totalizzano mediamente 153 punti totali contro i 180 conseguiti dai compagni facenti parte del gruppo di controllo.

Dal canto suo Samuele ottiene un punteggio totale nettamente inferiore rispetto all’intero campione e pari a 77 su 206, questo dimostra la

sua evidente difficoltà nel recuperare i risultati delle moltiplicazioni a memoria. I punti che riesce a totalizzare sono distribuiti sui vari esercizi,

fatta eccezione per il gioco dei due quadrati.

In generale l’esercizio che pone maggiori problemi risulta essere il numero otto, perché richiede la capacità di ricostruire le moltiplicazioni

partendo dai risultati, per giunta seguendo un’unica via dettata dai dati che si hanno a disposizione. È inoltre la prima volta che gli alunni si

confrontano con un compito simile.

I discenti dichiarano di aver studiato le tabelline e di conoscerle a memoria, salvo Samuele che afferma “non mi piacciono le caselline, non

ho dei trucchetti e non le so tutte a memoria”, sintomo – questo – delle sue difficoltà con conseguente avversione per la materia. Alcuni di loro,

rispettando l’espressa consegna, scrivono le personali strategie per il recupero dei fatti aritmetici in questione, tra le quali figurano il ricorrere a

moltiplicazioni note per ricostruire un determinato risultato, il girare i calcoli, l’uso delle rime oppure delle sequenze e nel caso della tavola

moltiplicativa del ×9 il metodo classico di moltiplicare ×10 (aggiungendo uno zero) per poi sottrarre una volta il moltiplicando.

Interessante è vedere come si è posto il campione di fronte al completamento della tavola pitagorica: nessuno sembra ragionare sulla

simmetria che essa presenta e tutti procedono progressivamente per righe o per colonne impiegando complessivamente parecchio tempo. Per

questa e altre considerazioni rimando alle osservazioni registrate durante la prova (Allegato 4, p. 40).

  20

5.1.3. Tabella riassuntiva verifica in uscita

In giallo vengono evidenziate le prove dove si sono verificati dei miglioramenti rispetto alla prova in entrata mentre in rosso dove

sussistono dei cali.

data: 13.11.’09 tempo: 45’ somministrazione: collettiva a tutto il campione di riferimento

Nome del bambino

orale es. 1

scritto es. 2

corr. es. 3

scomp. es. 5

sequ. es. 6

rime es. 7

gioco es. 8

tavola es. 9

TOT. strategie es. 4

commenti dopo aver consegnato

Letizia 8/8 8/8 7/8 14/16 8/8 6/8 6/50 100/100 157/206 Per esempio se non so cosa fa 8×9 uso le mie dita oppure uso le rime.

Bello.

Luca 8/8 8/8 8/8 8/16 8/8 8/8 50/50 100/100 198/206 No, non ne ho. Facile anche se sapevamo già.

Olivier 8/8 8/8 8/8 16/16 8/8 6/8 50/50 99/100 203/206 Sì, prendi le dita iniziando con la mano sinistra [disegno delle mani]. Ho il foglio con le rime.

Ho fatto quasi tutto giusto!

Daria 8/8 8/8 8/8 11/16 7/8 7/8 19/50 100/100 168/206 Strategia del 9, strategia da contare a 2 a 2, strategia delle rime, strategia di addendi.

Facile perché sappiamo tante strategie.

Damiano 8/8 8/8 8/8 16/16 8/8 8/8 50/50 100/100 206/206    

Io non ho strategie perché le tengo a mente, però ne so altre ad esempio queste: la casellina con le rime, se è 5×9 faccio con le dita (dev’essere la casellina del 9) e esce il conto: metto la mano davanti a e me e conto fino a 5, abbasso quel dito e a sinistra ho le decine (4) e a destra le unità (5).

È andata bene anche perché ci siamo allenati tanto tutte le settimane.

Luana 7/8 8/8 7/8 16/16 8/8 6/8 50/50 100/100 202/206 Uso le dita, le rime, il sistema di Lidia oppure quello di Zeno.

Questa volta mi sa che sono stata più veloce...

Samuele 4/8 5/8 4/8 12/16 6/8 3/8 2/50 68/100 104/206 Uso le dita o mi ricordo le rime. Era più facile e poi ci ho messo meno tempo.

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Nome del bambino

orale es. 1

scritto es. 2

corr. es. 3

scomp. es. 5

sequ. es. 6

rime es. 7

gioco es. 8

tavola es. 9

TOT. strategie es. 4

commenti dopo aver consegnato

Michele 8/8 8/8 8/8 16/16 8/8 8/8 50/50 100/100 206/206 No, io non utilizzo trucchi. Facilissimo.

Alessio 8/8 8/8 8/8 12/16 8/8 7/8 18/50

100/100 169/206 Non ho strategie. Come quello dell’altra volta.

Aris 8/8 8/8 8/8 16/16 8/8 6/8 32/50 100/100 186/206 No, non ho strategie. Un quadrato l’ho capito!

Roberta 8/8 8/8 8/8 16/16 8/8 5/8 7/50 100/100 160/206 Io le so a memoria. Io non me lo ricordo più e voglio sapere come si faceva.

Gianna 8/8 8/8 8/8 12/16 8/8 7/8 50/50 100/100 201/206 No, non ne ho. Facilissimo.

Emma 8/8 8/8 8/8 13/16 8/8 7/8 30/50

99/100 181/206 Sì, se non mi ricordo la moltiplicazione rifaccio la casellina di quel calcolo.

Era lo stesso dell’altra volta ma adesso ho capito meglio un quadrato.

Lidia 8/8 8/8 8/8 16/16 8/8 8/8 50/50 100/100 206/206 Le rime, le sequenze e basta. Bene.

5.1.4. Analisi dei risultati verifica in uscita

L’intero campione (alunno discalculico non compreso) ottiene ora un punteggio totale medio pari a 188 su 206, questo significa che vi è

stato un miglioramento medio di 21 punti rispetto alla verifica in entrata. A questo punto è interessante capire in che misura il dato sia riferibile ai

giochi numerici proposti rispettivamente al fatto che la prova era nota agli allievi in quanto proposta per la seconda volta. I bambini del gruppo

sperimentale ora totalizzano mediamente 189 punti totali (+36 punti) contro i 187 (+7 punti) conseguiti dai compagni facenti parte del gruppo di

controllo. I dati mostrano un miglioramento più marcato nel gruppo sperimentale, che tra l’altro adesso supera il gruppo di controllo nel punteggio

totale, il che lascia supporre che siano stati proprio i giochi matematici proposti a fare la differenza piuttosto che altri fattori concomitanti (p. es. il

fatto che la verifica fosse nota agli alunni).

  22

Le caselle rosse ci indicano un peggioramento del punteggio in alcuni singoli esercizi che nel caso del gruppo sperimentale riguardano però

unicamente pochi punti e non hanno dunque influito negativamente sul totale, come invece successo per due alunne inserite nel gruppo di

controllo.

Questa volta è proprio l’esercizio otto a influire positivamente sul risultato finale: tra i vari giochi matematici proposti al gruppo

sperimentale figurava “Wurzel Jocker” che spronava i ragazzi a operare anche in senso inverso per completare l’intera tavola pitagorica secondo le

regole imposte dal gioco. Questa constatazione lascia supporre che sia avvenuto un reale trasfer di conoscenze che ha verosimilmente influito sulla

performace degli allievi appartenenti al gruppo sperimentale.

Passiamo all’analisi dei risultati del bambino discalculico. Samuele questa volta ottiene un punteggio totale pari a 104 su 206, con un

aumento di 27 punti totali rispetto alla verifica in entrata. Il suo miglioramento risulta inferiore rispetto a quello dei compagni che hanno seguito lo

stesso percorso didattico-riabilitativo (ricordiamolo, + 36 punti); il punteggio totale risulta oltremodo inferiore alla media e si attesta grossomodo

alla metà dei punti che era possibile conseguire nella verifica. Qualitativamente migliora in cinque esercizi su nove, regredendo però nelle rime.

Questo dato è interessante nella misura in cui il bambino cita alcune strategie – le dita e le rime – che nel secondo caso rimangono di fatto

conoscenze dichiarative che non si concretizzano in un aumento di performance bensì in un calo effettivo delle stesse. Occorre precisare che lo

stile cognitivo del bambino è improntato sul visivo per cui questo tipo di facilitazione potrebbe essere di difficile applicazione per lui.

Consideriamo nuovamente come si pone il campione di fronte alla strategie per il recupero dei fatti aritmetici. Nelle risposte fornite dal

gruppo di controllo non sussistono differenze significative rispetto alla precedente verifica, mentre per il gruppo sperimentale si nota una maggiore

consapevolezza in merito presumibilmente riconducibile alle attività cui è stato sottoposto; vengono infatti citati, e in alcuni casi spiegati, i

trucchetti con le dita, le rime, le sequenze e la scomposizione in addendi.

Concludo l’analisi con un commento sulla tavola pitagorica: il gruppo sperimentale compila la tavola pitagorica in modo più logico e

rapido, rispettando le simmetrie in essa presenti; Samuele dimostra di considerare maggiormente l’andamento righe-colonne. Anche in questo caso

rimando alle osservazioni registrate durante la prova per ulteriori approfondimenti (Allegato 4, p. 40).

  23

5.2. Calcolo mentale

Le tabelle riassumono i risultati ottenuti dalla classe nella verifica in entrata, rispettivamente in uscita, “Calcoli, che passione!” (Allegati 14

e 21, pp. 56-59 e pp. 66-69) relativi al percorso didattico-riabilitativo incentrato sul calcolo. Esse indicano i risultati di ogni bambino nei singoli

esercizi, i punteggi totali, le risposte a carattere discorsivo e i commenti registrati al termine delle prove durante una breve discussione in merito.

5.2.1. Tabella riassuntiva verifica in entrata

In arancione sono segnati i bambini facenti parte del gruppo sperimentale nonché i relativi risultati presi in esame nell’analisi che segue; il

bambino discalculico e i risultati globali da lui ottenuti sono invece marcati in verde. La sigla FABC sta ad indicare “foglio a brutta copia”.

data: 20.11.’09 tempo: 45’ somministrazione: collettiva a tutto il campione di riferimento

Nome del bambino

orale es. 1

calcoli es. 2

stima es. 3

operazionies. 4

equazioni es. 5

calcoli es. 6

TOT. strategie es. 6

commenti dopo aver consegnato

Michele 8/8 26/28 8/8 8/8 15/15 20/26 85/93 Non ho strategie, li ho in mente. FABC esegue una sottrazione in colonna

Divertente, come scoprire le strategie.

Alessio 8/8 26/28 7/8 8/8 15/15 17/26 81/93 Comincio a moltiplicare le centinaia, scrivevo il numero che ottenevo e cos⎧ via. FABC scompone alcuni calcoli

Chissà perché te vuoi sempre sapere le nostre strategie.... [ride divertito]

Aris 4/8 28/28 8/8 8/8 15/15 22/26 85/93 Prima faccio + o - le k, poi le h, d e le u. FABC non lo utilizza

Io ho fatto + o - le k, le h, le da e le u.

Roberta 8/8 28/28 8/8 8/8 9/15 23/26 84/93 [Propone alcuni esempi di scomposizione] FABC tre calcoli in colonna

Dovevi usare trucchetti per arrivarci. All’inizio era difficile, poi no.

Lidia 8/8 28/28 8/8 8/8 15/15 26/26 93/93 FABC annota resti e risultati parziali Per me era facile.

  24

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Nome del bambino

orale es. 1

calcoli es. 2

stima es. 3

operazionies. 4

equazioni es. 5

calcoli es. 6

TOT. strategie es. 6

commenti dopo aver consegnato

Gianna 8/8 26/28 8/8 8/8 15/15 26/26 91/93 La strategia che ho usato è che fai solo gli orizzontali e poi è già finito tutto, stessa cosa con i verticali. FABC esegue una sottrazione in colonna

Sembrava lungo ma non era difficile, bastava pensarci un po’ su.

Emma 8/8 28/28 8/8 7/8 15/15 24/26 90/93 Sì, ho usato strategie. Funziona. Esempio: 512 - 106 = 406 FABC annota alcuni risultati parziali

Pensavo che era lunghissima, ma non bisogna perdere la speranza. Mi sono accorta che hai fatto trabocchetti.

Samuele 3/8 15/28 5/8 5/8 7/15 6/26 41/93 Ho fatto 7 - 7 - 0 = 7 Ho fatto la stessa cosa. FABC prova a eseguire due calcoli in colonna

Sono arrivato fino all’ultimo foglio... 700 - 80, 8 - 7 che faceva 1 e poi avanti così!

Letizia 7/8 26/28 6/8 8/8 1/15 15/26 63/93 Ho fatto le operazioni in colonna e un po’ a mente. FABC esegue tre calcoli in colonna

L’ultimo esercizio era difficile, occorre sapere le strategie.

Luca 7/8 11/28 8/8 8/8 6/15 15/26 55/93 Ho preso un calcolo, per esempio 100 - 80 = 20 e ho fatto 100 - 10 - 10 - 10 - 10 - 10 - 10 - 10 - 10 = 20 FABC non lo utilizza

Non so com’è andato...

Olivier 8/8 28/28 7/8 8/8 15/15 20/26 86/93 Lo risolvo a mente, per esempio la o) o la n). FABC non lo utilizza

Siamo grandi!

Daria 7/8 28/28 8/8 7/8 0/15 22/26 72/93 Non ho strategie. FABC esegue sei calcoli in colonna

Interessante per ragionare. Divertenti e variati i calcoli. I Cruciverba facili, perché se facevi orizzontale usciva im verticale.

Luana 7/8 28/28 8/8 8/8 10/15 16/26 77/93 Per es. 126 - 30 ho fatto 126 - 26 = 100 - 4 = 96 FABC esegue una sottrazione in colonna

Interessante, se non sai le tabelline non li sai fare.

Damiano 8/8 28/28 8/8 8/8 15/15 24/26 91/93 Un calcolo l’ho fatto in colonna, tutti gli altri normalmente. FABC esegue un addizione in colonna

Interessante, in ultimo c’erano calcoli difficili difficili perché davano risultati alti.

5.2.2. Analisi dei risultati verifica in entrata

Il campione di riferimento (alunno discalculico non compreso) ottiene un punteggio totale medio pari a 81 su 93; il buon risultato è

ampiamente giustificato se si considera che i calcoli proposti rientrano in un campo numerico generalmente attribuibile a una fine terza. La prova è

comuque lunga e occorre prestare la dovuta attenzione, soprattutto al controllo dei risultati. Nel dettaglio gli alunni del gruppo sperimentale

totalizzano mediamente 87 punti totali contro i 74 conseguiti dai compagni facenti parte del gruppo di controllo (la media viene abbassata in modo

significativo da due allievi, Letizia e Luca, che ottengono risultati bassi rispetto ai compagni del loro gruppo). Samuele ottiene un punteggio totale

di 41 su 93 che, paragonato al punteggio medio ottenuto dall’intero campione, equivale a circa la metà. Dall’analisi della sua verifica emergono le

evidenti difficoltà nei processi di calcolo riconducibili alla discalculia evolutiva.

Per la maggior parte degli alunni l’esercizio che pone più difficoltà è il cruciverba finale, mentre per il gruppo di controllo sussistono bassi

risultati anche nell’esercizio cinque. Pure Samuele ottiene scarsi risultati nei due esercizi citati, mentre sembrerebbe cavarsela meglio con il primo

cruciverba, dopo essere stato aiutato nell’orientamento (verticale vs. orizzontale) da seguire nell’inserimento dei risultati. In questo particolare

esercizio sono presenti il recupero di fatti aritmetici precedentemente trattati e presumibilmente noti al bambino discalculico che ora però non

sembra già più mobilitare correttamente, come il 5×9 oppure il 6×5.

Unicamente due alunni non utilizzano il foglio a brutta che è loro concesso nell’ultimo esercizio, mentre gli altri se ne servono per eseguire

operazioni in colonna, annotare risultati parziali oppure eseguire scomposizioni. Questo dato ci fa riflettere sul fatto che per i calcoli più difficili gli

alunni necessitano del calcolo scritto.

Le principali strategie utilizzate sono le operazioni in colonna, sommare o sottrarre progressivamente le k, poi le h, le d e le u, le

scomposizioni più o meno evolute (vedi Luana rispettivamente Luca). Per eseguire i calcoli finali, Samuele segue una sua personale strategia:

sommare o sottrarre le cifre che compongono i numeri in modo del tutto arbitrario; per esempio nel calolo 512 - 106 inizia dalle unità e visto che 2

- 6 non si può fare gira il calcolo ed esegue 6 - 2 = 4 e lo scrive a destra, poi prosegue con 1 - 0 = 1 e lo scrive a sinistra, e infine termina con 5 - 1

= 4 (risultato finale 414). Non considera inoltre i passaggi di decina, di centinaia, ecc... nemmeno nell’addizione.

  26

5.2.3. Tabella riassuntiva verifica in uscita

In giallo sono marcate le prove dove sussistono dei miglioramenti rispetto alla verifica in entrata mentre in rosso dove ci sono stati dei cali. data: 20.11.’09 tempo: 45’ somministrazione: collettiva a tutto il campione di riferimento

  27

Nome del bambino

orale es. 1

calcoli es. 2

stima es. 3

operazionies. 4

equazioni es. 5

calcoli es. 6

TOT. strategie es. 6

commenti dopo aver consegnato

Michele 7/8 28/28 8/8 8/8 15/15 24/26 90/93 Ho fatto 1050 + 190 = 0 + 1/5 +0/0 + 0/1 FABC non lo utilizza

Per me è stato come l’altra volta, ma un po’ più veloce nei calcoli.

Alessio 8/8 28/28 8/8 8/8 15/15 20/26 87/93 Non ho usato strategie. FABC non lo utilizza

Per me è andato bene.

Aris 8/8 28/28 8/8 8/8 14/15 24/26 90/93 Es. 187 - 93 faccio 183 - 90 poi -3 = 94 FABC non lo utilizza

Io adesso ho usato anche strategie diverse.

Roberta 8/8 28/28 8/8 8/8 15/15 24/26 91/93 Li sapevo a memoria solo certi che li ho fatti in colona. FABC due calcoli in colonna

Erano più facili gli esercizi alla fine e li ho fatti veolce.

Lidia 8/8 28/28 8/8 8/8 14/15 26/26 92/93 Es. 126 - 30 faccio 120 - 20 = 100 poi 100 + 6 - 10 = 96 FABC annota alcune scomposizioni

Facile facile!

Gianna 8/8 28/28 8/8 8/8 15/15 26/26 93/93 Non ne ho utilizzate. FABC non lo utilizza

Facile.

Emma 8/8 28/28 8/8 7/8 15/15 26/26 92/93 Le strategie sono di usare i passaggi di decina e poi un’altra sarebbe questo esempio: 199 + 22 = 21 100 + 22 - 1 = 21 FABC non lo utilizza

Noi abbiamo lavorato sulle strategie per i calcoli e adesso sappiamo come farli meglio.

Samuele 4/8 12/28 6/8 7/8 12/15 8/26 49/93 Ho fatto 4 + 1 o 5 + 6 o 7 + 8 questa è la mia strategia. FABC annota risultati parziali

Bene perché io ho fatto tutti i calcoli e poi hai detto che ho consegnato prima.

Letizia 8/8 24/28 1/8 8/8 2/15 12/26 55/93 FABC esegue quattro calcoli in colonna Erano gli esercizi abbastanza difficili.

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Nome del bambino

orale es. 1

calcoli es. 2

stima es. 3

operazionies. 4

equazioni es. 5

calcoli es. 6

TOT. strategie es. 6

commenti dopo aver consegnato

Luca 8/8 26/28 8/8 8/8 7/15 9/26 66/93 FABC non lo utilizza Bene a parte l’esercizio in fondo.

Olivier 8/8 28/28 8/8 8/8 15/15 26/26 93/93 Non lo so. FABC non lo utilizza

Super bene!

Daria 7/8 28/28 8/8 8/8 5/15 20/26 76/93 Non usato delle strategie. FABC esegue cinque calcoli in colonna

Un po’ come l’altra volta, che se facevi in orizzontale poi usciva in verticale. Penso bene.

Luana 8/8 26/28 7/8 8/8 10/15 26/26 85/93 Es. ho preso il calcolo 126 - 30 e facevo 6 - 0 = 6 poi 2-3 non si può fare allora andavo a prendere 1 e facevo 12 - 3 = 9 e alla fine faceva 96. FABC esegue due sottrazioni in colonna

Io ho detto che ho usato una strategia per l’esercizio in fondo e li ho fatti tutti... era divertente!

Damiano 8/8 28/28 8/8 8/8 15/15 23/26 90/93 Io per esempio ho fatto così: 512 + 311 ho fatto 500 + 300 = 800, 10 + 10 = 20, 2 + 1 = 3, poi li ho messi tutti insieme e è uscito 823. FABC non lo utilizza

Mi è piaciuto perché c’erano risultati alti in fondo e dovevi pensare come fare in fretta a fare i calcoli.

5.2.4. Analisi dei risultati verifica in uscita

Al termine del percorso didattico-riabilitativo sul calcolo mentale, il campione di riferimento (alunno discalculico non compreso) ottiene un

punteggio totale medio pari a 85 su 93 (+4 punti rispetto alla verifica in entrata). Anche in questo caso è interessante analizzare separatamente i

risultati del gruppo sperimentale rispettivamente di controllo per capire in che misura l’aumento è attribuibile ai giochi matematici proposti. I

bambini del gruppo sperimentale ora totalizzano mediamente 91 punti totali (+4 punti) contro i 78 (+4 punti) conseguiti dai compagni facenti parte

del gruppo di controllo. Pur considerando che tra i due gruppi sussite una differenza nel punteggio totale conseguito (occorre ricordare che i

risultati del gruppo sperimentale si avvicinavano già inizialmente al punteggio massimo per cui era difficile ottenere risultati più significativi), il

margine di miglioramento risulta lo stesso. I dati quantitativi sembrerebbero indicare che i giochi matematici proposti non abbiano fatto la

differenza rispetto per esempio ad altre variabili, come il fatto che la verifica sia stata riproposta per la seconda volta.

  29

Nel gruppo sperimentale le caselle rosse evidenziano peggioramenti nell’ordine di un punto in alcuni singoli esercizi che non hanno però

influito negativamente sul punteggio totale, salvo nel caso di Lidia, che nella verifica in entrata otteneva il punteggio massimo. Lo stesso discorso

vale per Damiano, appartenente al gruppo di controllo, mentre per Letizia, allieva fragile, il regresso è più marcato ed equivale a ben 8 punti.

Concentriamo l’analisi sul bambino discalculico e sulle variabili qualitative per vedere se sussistono miglioramenti riconducibili al percorso cui il

gruppo sperimentale è stato sottoposto.

Samuele ottiene 49 punti totali su 93, il che corrisponde a un aumento di 8 punti sul totale, dunque notiamo un miglioramento più marcato

rispetto alla media del gruppo di sperimentazione cui apparteneva. L’alunno migliora in tutte le prove, ad eccezione del secondo esercizo che

pareva invece svolgere con più facilità nella verifica in entrata (anche in questo caso c’è stata confusione nelle direzioni da seguire). In questo

particolare esercizio cresce lo scarto nel recupero di fatti aritmetici precedentemente trattati, probabile sintomo che le conoscenze acquisite sono

ferme da ormai troppo tempo. Nell’esercizio cinque il bambino consegue il miglioramento più netto tanto da portarlo ad affermare “questo qui mi

piace da fare”. Per altre osservazioni registrate durante la prova rimando agli allegati (Allegato 13, pp. 54-55). Per eseguire i calcoli finali, Samuele

segue nuovamente la sua strategia scorretta scegliendo di svolgere più o meno gli stessi calcoli dell’altra volta. A tal proposito Luana spiega una

strategia simile e la utilizza nel modo corretto: ciò significa che a differenza di Samuele ella considera il tipo di operazione implicata come pure il

sistema decimale, moltiplicativo e posizionale che caratterizza il nostro codice numerico.

Le strategie per eseguire i calcoli più difficili, guardando le risposte fornite nell’esercizio sei, non sembrano subire modifiche importanti

rispetto alla verifica in entrata, questo aspetto è valido per tutto il campione di riferimento.

Le considerazioni più interessanti riconducibili al gruppo sperimentale si possono proporre per l’ultimo esercizio: ben sei allievi migliorano

il loro risultato e in in cinque casi senza più utilizzare il foglio a brutta; Roberta, pur utilizzandolo, ne riduce comunque il suo utilizzo. Questo dato

è senza dubbio interessante perché ci porta a ipotizzare un guadagno di tempo, una maggiore sicurezza nel calcolo mentale (gli allievi non

necessitano più di ricorrere al calcolo scritto) nonché un controllo dei risultati parziali e finali più marcato dovuto verosimilmente ai giochi

numerici effettuati in merito.

 

6. CONCLUSIONE

6.1. Risultati della ricerca

Lo studio intende verificare due ipotesi. Cominciamo dalla prima, che riguarda

l’alunno discalculico e sostiene che “interventi di senso con giochi matematici basati sulle

conoscenze relative all’intelligenza numerica si riflettono positivamente

sull’apprendimento del bambino discalculico”.

Nel percorso inerente le tabelline, l’analisi quantitativa dei dati conferma un

miglioramento a livello di performance: l’allievo ottiene risultati superiori nel fattore orale

e scritto, nella scomposizione in addendi e nel completamento della tavola pitagorica; pure

la simmetria di quest’ultima al bambino appare più chiara ed è utile nella misura in cui

punta a ridurre il numero di informazioni da memorizzare. A livello qualitativo si nota un

maggior grado di consapevolezza circa le strategie cui può far capo per accedere o

ricostruire i fatti aritmetici; i dati dimostrano però che tali conoscenze di natura

dichiarativa non per forza vengono mobilitate al momento opportuno o trasformate in

automatismi utili a massimizzare le sue potenzialità. Gli studiosi sono comunque concordi

che, dopo aver lavorato sui fatti aritmetici, sia sconveniente puntare eccessivamente sulla

loro memorizzazione e suggeriscono di puntare su strategie compensative e integrate che

incrementino l’efficienza nel calcolo mentale (Biancardi, Mariani e Pieretti, 2004).

Il percorso sul calcolo si è mosso proprio nella direzione sopraccitata. L’analisi

quantitativa dei dati indica un miglioramento di performance nei seguenti ambiti: fattore

orale, stima del risultato, natura dell’operazione e calcolo mentale. Per contro, le strategie

dell’allievo discalculico nei calcoli complessi non subiscono sostanziali modifiche. Con il

passare delle settimane, e prendendo in considerazione il secondo percorso attuato, si nota

inoltre una minor padronanza nel recupero di fatti aritmetici precedentemente trattati,

probabile dimostrazione che è di fatto poco produttivo insistere ancora in questa direzione.

I giochi matematici hanno effettivamente avuto un riscontro positivo sugli

apprendimenti matematici del bambino discalculico, anche se i risultati globali conseguiti

dall’alunno si attestano sensibilmente al di sotto della media. Questo indicatore ci porta a

concludere che interventi improntati sui giochi numerici devono essere considerati in

un’ottica inclusiva: essi non si sostituiscono e non vanno intesi come avulsi da percorsi di

riabilitazione che includano allenamenti individuali mirati, facilitatori e misure

compensative o dipensative, per esempio la tavola periodica, la tavola additiva e sottrattiva

oppure la calcolatrice (Cornoldi, 2007).

  31

Risultati incoraggianti sono comunque ulteriormente dimostrati da una verifica sul

campo numerico oltre il mille sottoposta al campione di riferimento dal docente titolare

alla fine dello studio. In allegato i risultati ottenuti dal bambino discalculico (Allegato 22,

p. 70).

La seconda ipotesi riguarda l’intera classe e sostiene che “interventi di senso con

giochi matematici basati sulle conoscenze relative all’intelligenza numerica si riflettono

positivamente sull’apprendimento dell’intera classe”.

L’analisi quantitativa dei dati conferma un miglioramento a livello di performance

nelle tabelline: sul punteggio totale, il gruppo sperimentale ottiene uno scarto positivo più

marcato rispetto al gruppo di controllo. Nel percorso sul calcolo mentale tale differenza

non è invece stata riscontrata, probabilmente perché i risultati ottenuti nella verifica in

entrata erano già molto alti oppure perché l’auspicato transfer di conoscenze non è di fatto

avvenuto.

L’analisi qualitativa suggerisce invece che nel primo caso gli alunni si appropriano

di strategie di accesso, ricostruzione e controllo dei fatti aritmetici riconducibili ai giochi

proposti; nello specifico vengono mobilitati trucchetti con le dita, le rime, le sequenze e la

scomposizione in addendi. Per quanto riguarda il calcolo, il dato più interessante è la

maggiore sicurezza e il maggior controllo nei calcoli a mente complessi, sia

nell’esecuzione dell’operazione che nei risultati finali, riscontrabile proprio nel gruppo

sperimentale.

Queste ultime considerazioni suggeriscono che, al di là delle performance, i giochi

matematici hanno un riscontro positivo sugli apprendimenti matematici dell’intera classe

soprattutto in funzione dell’esplicitazione delle strategie utilizzate e al conseguente

passaggio verso l’interiorizzazione delle azioni. Se un allievo è indotto ad analizzare i

propri processi mentali (presa di coscienza del proprio funzionamento intellettuale)

migliora infatti la propria attitudine di elaborazione numerica e di risoluzione del problema

(Cornoldi e De Beni, 1993).

6.2. Limiti della ricerca

I limiti riguardano l’esiguo campione preso in esame che non permette una

generalizzazione a una popolazione più ampia.

Nel fattore orale delle due prove ho erroneamente utilizzato calcoli diversi; seppur

facenti parte della stessa famiglia di calcolo e somministrati nel medesimo modo

potrebbero aver interferito con i risultati ottenuti.

  32

6.3. Possibili sviluppi

Penso all’impatto che hanno i giochi matematici sull’autostima del bambino

discalculico e dell’intera classe, ma anche sul loro atteggiamento nei confronti della

matematica; queste considerazioni sono deducibili da alcune affermazioni emerse all’intero

del gruppo sperimentale (Allegati 4 e 13 , p. 40 e pp. 54-55).

Si potrebbero inoltre testare le ipotesi di questo studio secondo un approccio più

inclusivo, alternando forme didattico-riabilitative a grande gruppo (giochi matematici) ad

allenamenti individuali mirati e misure compensative, puntando su una maggiore frequenza

(più somministrazioni settimanali).

  33

7. BIBLIOGRAFIA

7.1. Volumi American Psychiatric Association. (2000). DSM-IV-TR. Manuale diagnostico e statistico

dei disturbi mentali: text revision. Milano: Masson. Biancardi, A. e Nicoletti, C. (2004). Batteria per la discalculia evolutiva (BDE). Torino:

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neuropsicologici alla riabilitazione. Milano: FrancoAngeli. Biancardi, A. e Milano, G. (1999). Quando un bambino non sa leggere. Vincere la

dislessia e i disturbi dell’apprendimento. Milano: Rizzoli. Butterworth, B. (1999). Intelligenza matematica. Milano: Rizzoli. Cornoldi, C. (2007). Difficoltà e disturbi dell’apprendimento. Bologna: Il Mulino. Cornoldi, C., Lucangeli, D. e Bellina, M. (2002). Test AC-MT. Test di valutazione delle

abilità di calcolo. Trento: Edizioni Erickson. Cornoldi, C. et al. (1995). Matematica e metacognizione. Atteggiamenti metacognitivi e processi di controllo. Trento: Edizioni Erickson. Cornoldi, C. e De Beni, R. (1993). Imparare a studiare. Trento: Edizioni Erickson. D’Amore, B., Fandino Pinilla, M.I., Marazzani, I. e Sbaragli, S. (2008). La didattica e le

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Vicari, S. (2002). I disturbi dello sviluppo. Neuropsicologia clinica e ipotesi riabilitative.

Bologna: Il Mulino.

  34

7.2. Volumi a carattere didattico Biancardi, A. et al. (2008). Numeri in gioco. Sviluppo delle competenze aritmetiche per la

discalculia. Trento: Edizioni Erickson. Biancardi, A. et al. (2008). Potenziare le abilità numeriche e di calcolo. Trento: Edizioni

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inaldi, S. (2003). Le tabelline canterine. Milano: Mela Music.

Schminke, C.W. (2008). Recupero e sostegno in matematica. Addizione e sottrazione. Trento: Erickson.

Schminke, C.W. (2008). Recupero e sostegno in matematica. Moltiplicazione e divisione.

Trento: Erickson.    7.3. Articoli Butterworth, B. (Jan2005). The development of arithmetical abilities. Journal of Child

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  35

8. ALLEGATI  

 

Allegato 1

Test QI (Samuele)

36

Allegato 2

Profilo numerical (Samuele)

37-38

37-38 37-38

Allegato 3

Tavola pitagorica (Samuele)

39

Allegato 4

Osservazioni sull’operato del bambino discalculico e del gruppo sperimentale

Attività Data Osservazioni registrate

Verifica in entrata

08.10.2009 Il bambino si dimostra poco tenace nell’eseguire il compito e dice sovente “questo non lo so... questo neanche...”; nel contempo si rifiuta però di tralasciare dei risultati anche di fronte alle evidenti difficoltà che incontra e in generale preferisce apporre tutte le soluzioni piuttosto che lasciare degli spazi vuoti (salvo nelle tavole finali dove proprio afferma di non riuscire). Risulta nettamente più sicuro nell’esercizio legato alle scomposizioni rispettivamente nella sequenza del ×2. Nella compilazione della tavola pitagorica inizia dai quadrati, poi esegue la colonna del ×1, del ×10 (in questo caso anche la riga), del ×2, del ×5, del ×9 e del ×8; il resto lo riempie come viene. In generale la classe inizia dai quadrati, per poi proseguire con il ×1 o il ×10 e successivamente procedere per file o colonne in modo progressivo (nessuno nota la simmetria della tavola pitagorica). Verso la fine Samuele si scoraggia rendendosi conto che non riesce a completare il tutto ed è visibilmente frustrato.

Primo intervento

16.10.2009 Sembra comprendere e utilizzare correttamente la strategia del ×1 e del ×10. Noto che sbaglia sia nel compilare la tavola che nel leggerla, confondendo spesso righe e colonne. Samuele fatica nelle stringhe orali (sequenze) del ×2 rispettivamente del ×5; è necessario ricordargli continuamente che può tenere il conto con le sue dita. Per contro adora giocare a “Joker”: si lancia nei risultati avvalendosi del calcolo scritto sul retro della carta, studia le strategie per conquistare i jolly (è furbo!); a volte contesta il risultato dei compagni perché non coincide con quello scritto sulla sua carta (es. per lui è 6×2 che fa 12 e non 3×4). Quando cantiamo “La ballata del cow-boy Bill” (tabellina del 6) partecipa entusiasta.

Secondo intervento

23.10.2009 Ripassando la tabellina del ×6, Samuele si ricorda correttamente rime e risultati di 6×6, 6×4, 6×3. Delle nuove rime (tabellina del 4) lo colpisce positivamente il 4×8 = 32 “attenti a quei due” perché guarda la trasmissione in TV. Quando lavoriamo sulla strategia del ×9 confonde le decine con le unità (da che parte stanno sulla mano) oppure inizia a contare dalla parte sbagliata; per contare correttamente deve toccare con le dita (questo vale anche per altri bambini). Alla fine sembra aver capito il trucco e dice “è più facile e veloce della calcolatrice!”. Nel gioco dei bastoncini gioca con me (sbaglia spesso “3x3 = 36... ah no, 9!”) e conta le intersezioni quando non sa o non è sicuro; come sempre è furbo nelle strategie. Il gioco delle carte risulta difficile per tutti. Samuele si impegna giocando con la partita del 14 e i risultati bassi sembra padroneggiarli; quando non è sicuro mi chiama e chiede consiglio.

Terzo intervento

29.10.2009 Riesce particolarmente bene nell’associare rime e immagini nel memory (per es. 6×6 = 36, ho sul naso tanti nei) mentre con la strategia della scomposizione se la cava bene se ha la possibilità di scrivere la stringa numerica (per questo motivo esce alla lavagna ed esegue correttamente il 7x7, cancellando ogni volta l’addendo sommato). Il gioco delle carte con partite più alte risulta difficoltoso; è consapevole e mi chiede aiuto.

Verifica in uscita

13.11.2009 Il bambino si rivela più tenace nell’eseguire la verifica (sembra più sicuro, e meno svogliato rispetto alla verifica in entrata). Questa volta si dimostra meno frettoloso ma ugualmente rifiuta di lasciare degli spazi bianchi dove non sa (avevo espressamente detto alla classe che è meglio lasciare vuoto piuttosto che tirare a caso). Come l’altra volta è felice di svolgere con facilità l’esercizio sulle scomposizioni e quello sulla sequenza del ×2. La tavola pitagorica la compila nel modo seguente: ×1 (riga e poi colonna), ×10 (riga e poi colonna), il ×2 (riga e colonna), il ×5 (solo riga) e il ×9 (riga e colonna) mentre tenta di copiare la colonna del ×7 e del ×8; ciò che rimane lo compila come viene. Al termine della prova si dice soddisfatto del suo risultato anche perché secondo lui ha impiegato meno tempo. Il gruppo sperimentale compila la tavola pitagorica in modo più logico e rapido, rispettando le simmetrie presenti.

40

All

Verifica in entrata – 08.10.2009 (Samuele)

egato 5

41-43

41-43

41-43 41-43

Allegato 6

“La ballata del cow‐boy Bill” (Samuele)

Scopo: apprendere la tabellina del 6 mediante associazioni linguistiche e visive.

44

Allegato 7

“Wurzel Joker” (gioco matematico)

Gioco: Wurzel Joker Edizione: Mathe Kreativ Scopo: compilare la tavola pitagorica associando ammodo le moltiplicazioni ai rispettivi risultati. Particolarità: il tabellone ha due facce, da una parte ci si può allenare sulla tavola pitagorica (dove sono già segnati tutti i risultati) mentre dall’altra si effettua il gioco; i tasselli sono pensati per l’allievo discalculico in quanto sul retro è presente la moltiplicazione che porta al risultato.

45

Allegato 8

“La ballata delle rime”

46-47

Scopo: costruire e apprendere la tabellina del 4 mediante associazioni linguistiche e visive.

46-47

Allegat

La strategia del ×9 (Samuele)

o 9

Scopo: scoprire e apprendere una strategia per ricostruire e/o controllare la tabellina del 9.

48

Allegato 10

“À vos baguettes” e “Main pleine” (giochi matematici)

Gioco: À vos baguettes Edizione: COROME Scopo: allenare le tabelline entro il 6. Particolarità: il bambino discalculico ha la possibilità di controllare il risultato di tutte le moltiplicazioni contando le intersezioni che si generano di volta in volta; questo fattore garantisce un allenamento sicuro ed efficace.

Gioco: Main pleine Edizione: COROME Scopo: associare calcoli di diverso tipo allo stesso risultato. Particolarità: il bambino discalculico è invitato a riflettere sul fatto che è possibile ottenere lo stesso risultato partendo da moltiplicazioni diverse oppure da somme ripetute.

49

Allegato 11

“En 6 coups” e “Memory delle caselline” (giochi matematici)

Gioco: En 6 coups Edizione: COROME Scopo: prevedere e confrontare i risultati delle moltiplicazioni. Particolarità: l’alunno è portato a ragionare sull’ipotetico prodotto più conveniente e dunque sul suo risultato; può inoltre ripassare la tavola pitagorica creata assieme.

Gioco: Memory delle caselline Edizione: --- Scopo: consolidare le associazioni linguistiche e visive considerate. Particolarità: il memory è stato creato per il bambino discalculico (stile cognitivo visivo) e riprende le rime sia de “La ballata del cow-boy Bill” (×6) che quelle de “La ballata delle rime” (×4).

50

All

Verifica in uscita – 13.11.2009 (Samuele)

egato 12

51-53

51-53

51-53 51-53

Allegato 13

Osservazioni sull’operato del bambino discalculico e del gruppo sperimentale

Attività Data Osservazioni registrate

Verifica in entrata

20.11.2009 Durante la verifica ho dovuto aiutarlo a orientarsi (orizzontale vs. verticale) nel cruciverba iniziale facendogli notare le frecce che indicavano la giusta direzione. Negli esercizi 3 e 4 si sentiva a suo agio perché li aveva già svolti lo scorso anno nelle esercitazioni su PC. Sostiene che per lui l’esercizio finale sia troppo difficile da risolvere; lo incito a iniziare dai calcoli più facili. In questo modo comincia considerando quelli che implicano unicamente passaggio di centinaia e decina. Per il resto dei calcoli segue la sua strategia: sommare o sottrarre le cifre che compongono il numero in modo del tutto arbitrario. Alla fine del test si dice comunque soddisfatto di aver svolto tutti gli esercizi.

Primo intervento

26.11.2009 “Numeri in gioco” lo giochiamo a grande gruppo e, di turno in turno, discutiamo in merito alle strategie di calcolo che usiamo. Eccone alcune: girare il calcolo nelle moltiplicazioni (Michele: “io per esempio il calcolo lo so così e anche quando ci sono le rime li giro, come il 6×8”), stimare il risultato quando possibile (Lidia: “si vede se può o non può essere, anche se a mente non lo posso fare”)�, svolgere la divisione (Alessio: “o cerco di vedere le parti nella mia testa o faccio il ×� al contrario”), le sequenze (per effettuare la casellina del 5 Samuele si avvale della sequenza con le dita). Durante il gioco emergono alcune proprietà delle operazioni: commutativa e associativa per addizione e moltiplicazione, mentre si accorgono che ciò non vale per la sottrazione. Con i puzzle numerici Samuele lavora con un compagno forte, Alessio: di nuovo fa capo alla strategia utilizzata nella verifica in entrata anche se il suo compagno gli fa notare che bisogna fare attenzione a non invertire le cifre e alla posizione delle stesse. Quando è il turno di Alessio, Samuele si dimostra bravo e veloce nel cercare i risultati sulla cartella; inoltre ha capito che può aiutarsi con i risultati già presenti. Di fronte ai compagni così bravi sembrerebbe vergognarsi di usare le dita e lo fa sotto il banco. Gli altri gruppi operano considerando i passaggi di decina, centinaia e migliaia selezionano nelle tabelle le righe più opportune (100, 200, 300 e così via...), oppure risolvendo i calcoli secondo il grado di difficoltà (dai più facili ai più difficili), ricorrendo spesso alla scomposizione in addendi.

Secondo intervento

04.12.2009 Spiego cos’è un multiplo perché non lo sanno poi singolarmente cercano di capire i trucchi del mago. L’attività non pone difficoltà (suggerisco loro di concentrarsi sulla cifra finale del numero). Samuele spiega correttamente e con gioia i multipli di cinque: “o finisce col 5 o col 0!” e una sua compagna si riallaccia alla sequenza “eh sì perché se conti fa 5, 10, 15, 20, ecc...”. Il lavoro a coppie sulla vetrata ai bambini appare lungo: inizialmente eseguono tutti calcoli e solo un gruppo capisce che basta guardare il tipo di operazione e il finale. Li lascio lavorare un po’ e poi condividiamo la strategia a gruppo intero. Samuele vuole spiegare la strategia dello zero, che poi però applica senza distinzione a tutti i segni aritmetici; se lo riprendo si corregge, ma spesso confonde i segni delle operazioni. Passiamo al gioco “5 MIN!”. Il fatto di avere a disposizione i risultati da scegliere lo aiuta ed è molto rapido nel comporre il motivo (autocorrezione). Il gioco diverte molto i bambini che chiedono di poter giocare per più manches e con moltiplicazioni diverse. Terminiamo la lezione svolgendo a coppie i puzzles matematici che rimangono. Samuele fa giusto calcoli tipo 5050 – 1000, oppure 800 – 300; �in generale guarda i tasselli e dice “troppo difficile”, “troppo difficile”, ecc... Lo faccio ragionare sul fatto che ha già tutti i risultati a disposizione; prosegue per tentativi. A fine lezione i bambini mi dicono di apprezzare molto questi giochi matematici che definiscono “diversi”, “divertenti” e “con tanti trucchi e strategie da pensare bene”.

Terzo intervento

11.12.2009 Es. nella scheda da svolgere a coppie �99 + 99 + 99 + 99 Samuele inizia facendo il calcolo per intero ma io gli chiedo “è vicino a che cosa il 99?” risposta “al 100!” io “e allora...” risposta “ah ma allora fa quasi 400!”. �A questo punto il bambino vuole dirlo ai compagni “in questo esercizio non è che devi fare proprio tutto il calcolo ma vedi a cos’è vicino” e propone

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l’esempio del 99.� Pure questa volta ogni tanto si confonde con il segno (questo vale anche per altri bambini) e in ogni caso non è facile considerare contemporaneamente entrambe le consegne.� Un gruppo si blocca su 1251-986 “uffi, ma dobbiamo proprio risolverlo?”; faccio notare loro il consiglio di Samuele “è vicino a 1000, allora sarà circa in 250”.� Con i trimini del + il bambino discalculico se la cava bene tanto da affermare “così mi piace fare matematica!”; con quelli del diviso fa fatica e mi dice “perché io ho capito cosa fai con il più e il meno ma il diviso non so che cosa vuol dire...” Il compagno gli spiega che è l’operazione contraria al × ma lui non capisce. Colgo l’occasione per spiegarglielo con l’esempio delle caramelle; inizia a ragionare nel modo corretto.� Riusciamo a giocare brevemente al gioco “Tutti i segni” dove nei calcoli Samuele viene aiutato dalla compagna. Alla fine di questo incontro discutiamo sulle attività svolte: Emma “non è che è difficile, nel senso che i calcoli, cioè i risultati sono facili... ma ci sono dei trucchetti per farli più veloci”, Lidia “poi sono delle cose che fanno ragionare e capire quello che abbiamo in testa, è come se è per dirci le cose che facciamo”�, Michele “bello da ragionare”�, Alessio “per capire quello che facciamo noi, Samuele “a me mi piace fare così la matematica, poi ho spiegato le cose ai compagni”�, Roberta “abbiamo visto un modo diverso di fare matematica”, Gianna “�abbiamo giocato con la matematica!”, Aris “abbiamo fatto fumare il cervello!”.

Verifica in uscita

17.12.2009 Samuele fa di nuovo confusione con il primo cruciverba e mi chiede se può avere un altro foglio, acconsento. Appare più sicuro e sereno rispetto alla verifica in entrata tanto che nell’esercizio 5 afferma “questo qui mi piace da fare”. Nel cruciverba finale sceglie più o meno gli stessi calcoli dell’altra volta e adotta nuovamente la sua strategia legata alle singole cifre. Alla fine del test si ritiene soddisfatto anche perché ha impiegato meno tempo nello svolgere la verifica.

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Verifica in entrata – 20.11.2009 (Samuele)

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“Numeri in gioco” e “Math puzzles ” (giochi matematici)

Gioco: Numeri in gioco Edizione: Erickson Particolarità: questo gioco è studiato appositamente per gli alunni che presentano difficoltà in matematica. Tra le varie carte gioco sono state scelte quelle inerenti le competenze richieste nella verifica (segni matematici, calcolo mentale e calcolo scritto).

Gioco: Math puzzles Edizione: Schubi Particolarità: i puzzles numerici offrono la possibilità di lavorare sul calcolo e sulle diverse operazioni entro un campo numerico voluto (in questo caso il 1000); per il discalculico è apprezzabile il fatto di avere a disposizione i risultati ordinati.

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Allegato 16

“Il mago”

Scopo: sensibilizzare gli allievi sul controllo dei risultati, in questo caso nelle moltiplicazioni.

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Allegato 17

“La vetrata” (Samuele e un compagno)

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Scopo: esercitare il controllo dei risultati lavorando contemporaneamente su più operazioni.

Allegato 18

“5 MIN!” (gioco matematico)

Gioco: 5 MIN! Edizione: Schubi Scopo: consolidare l’apprendimento delle caselline così come l’autocorrezione. Particolarità: il gioco permette associazioni visive e per questo va in contro allo stile cognitivo dell’alunno seguito; la presenza di alcuni risultati sulla stessa carta lo sprona a ragionare su quello più probabile; l’autocorrezione favorisce il lavoro autonomo.

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Allegato 19

“La lettera giusta”

Scopo: sensibilizzare gli allievi sulla stima del risultato consolidandone la pratica.

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Allegato

“Trimini” e “Tutti i segni ” (giochi matematici)

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Gioco: Trimini Edizione: Schubi Scopo: impratichire il calcolo mediante il controllo del risultato. Particolarità: occorre associare il calcolo al giusto risultato e come controllo si hanno a disposizione i lati degli altri triangoli; comporre una figura nota facilita il compito. Gioco: Tutti i segni Edizione: Erickson Scopo: allenare tutte le operazioni aritmetiche seguendo una logica. Particolarità: in questo gioco si esercitano calcolo mentale e operazioni matematiche in modo avvincente; l’alunno discalculico dev’essere aiutato dal compagno.

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Verifica in uscita – 17.12.2009 (Samuele)

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Allegat

Campo numerico oltre il mille – primavera 2010 (Samuele)

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