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La Cromodinamica QuantisticaQCD

Dinamica del Modello Standard

Dipartimento di Fisica e GeologiaUniversità degli Studi di Perugia

[email protected]

Novembre 2016

IntroduzioneI Alla base della teoria che descrive l’interazione forte c’è il concetto di invarianza

rispetto a una trasformazione di gauge locale.I Le caratteristiche di tale trasformazione si deducono dalle evidenze sperimentali.I La simmetria di gauge locale dell’interazione forte si basa sulla carica di colore,

posseduta dai quark e non dai leptoni.I Le teoria dell’interazione forte si chiama cromodinamica quantistica, la QCD.

I La QCD è la teoria che descrive la dinamica che sta alla base della descrizionedegli adroni nell’ambito del modello a quark.

I Le interazioni tra i quark sono mediate da bosoni detti gluoni (dalla parole glue,colla in inglese), che, a differenza dei fotoni, possono auto-interagire.

I I gluoni hanno massa nulla, ciò consegue dal fatto che il raggio d’azionedell’interazione forte è infinito, come dimostrano le osservazioni sperimentali.

I L’intensità dell’interazione forte a certe energie rende inutilizzabile il regimeperturbativo della QCD.

I L’andamento della costante di accoppiamento con l’energia è tipico di una teorianon abeliana, decresce a piccole distanze e quindi a grandi energie.

I In regime non perturbativo, per calcolare le ampiezze è necessario utilizzaredei modelli efficaci in grado di riprodurne le caratteristiche principali della QCD.

S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 2/29

Perché tre colori?

• Numerosità e caratteristiche dei barioni.• Sezione d’urto e+e− → adroni.• Larghezza di decadimento del leptone τ• Larghezza di decadimento π0 → γγ• Cancellazione dell’anomalia del MS.• . . .

⇒ I quark u, d , c, s, t , bsono tripletti di colore

I I leptoni non hanno colore.I I mesoni sono stati legati quark-antiquark, qq.I I barioni sono stati a tre quark, qqq. q

q q

q q

Assumendo che la presenza di un numero quantico di colore rifletta un simmetriacontinua della lagrangiana dell’interazione forte e non sia semplicemente un grado dilibertà discreto della teoria, ci sono tre possibili candidati per la struttura di questasimmetria.

SO(3) SU(3) U(3)


Quale gruppo di simmetria di gauge?

La scelta del gruppo di simmetria èguidata da due evidenze sperimentali.

I I quark sono tripletti di colore.I Tutti gli adroni noti sono ”incolore”.

Il gruppo SO(3) non distingue tra colore e anti-colore.⇒L’interazione forte che lega quark e antiquark è la

stessa che lega due quark.

⇒L’esistenza di stati legati qq implica quella di stati qq,che avrebbero carica elettrica frazionaria.

⇒Tali stati non sono osservati sperimentalmente.

SO(3)��

Il gruppo U(3) può essere decomposto come:

U(3) = U(1)× SU(3)⇒Si hanno 1+8 = 9 generatori e quindi 9 gluoni, un

singoletto incolore e 8 con carica di colore.⇒ Il gluone incolore medierebbe interazioni forti a raggio

infinito tra adroni.

⇒Tali interazioni non sono osservate sperimentalmente.

U(3)��


La lagrangiana della QCD

La lagrangiana della QCD classica è

LQCD = −14

F aµνFaµν +

∑α

ψ(α)

j

(i /Djk −m(α)δjk

)ψ

(α)k

I quark sono descritti dagli spinori di elementi ψ(α)j .Sapore: α = u, d , c, s, t , bColore dei quark: j = 1, 2, 3

I gluoni sono descritti dai campi di gauge Aaµ. Colore dei gluoni: a = 1, . . . , 8

Tensore della forzaF aµν = ∂µA

aν − ∂νAaµ − g3 f abcAbµAcν

I g3: costante di accoppiamento.I f abc : costante di struttura di SU(3).

Derivata covariante

Dµ = ∂µ + i g3Aaµλa

2

I generatori λa, a = 1, . . . , 8, della rappresentazionefondamentale del gruppo SU(3) sono rappresentati da8 matrici complesse 3× 3.


Equazioni del moto e trasformazioni

Le equazioni del moto dei quark e dei gluoni sonoqu

ark (

i /D −m(α))ψ(α) = 0

gluo

ni

DµF aµν = g3∑α

ψ(α) λa

2γνψ

(α)

Nel limite g3 → 0 si ha il caso non interagente, gluoni e quark sono liberi.

La lagrangiana è invariante per trasformazioni di fase locali del gruppo SU(3)

U(~w)

= exp(−i wa

λa

2

)

LQCD(ψ(α),Aaµ

)= LQCD

(ψ′

(α),A′aµ

)Campi dei quark

ψ′(α)

= U(~w)ψ(α)

Campi dei gluoni

A′aµ = U(~w)

AaµU−1 (~w)+ i

g3

[∂µU

(~w)]

U−1(~w)


Il gruppo SU(3) e le matrici λ di Gell-MannIl gruppo SU(3) ha

infinite rappresentazioni irriducibiliRRR = 1, 3, 3∗, 6, 6∗, 8, 10, 10∗, . . .

quark → RRR = 3antiquark → RRR = 3∗

gluoni → RRR = 8

I {Fa(RRR)}8a=1 è l’insieme dei generatori della rappresentazione RRR si SU(3).I La rappresentazione fondamentale si SU(3) ha dimensione 3 ed è RRR = 3.I I generatori {Fa(3)}8a=1 sono rappresentati da matrici complesse {λa/2}

8a=1.

Matrici di Gell-Mann

λ1=

0 1 01 0 00 0 0

, λ2= 0 −i 0i 0 0

0 0 0

, λ3= 1 0 00 −1 0

0 0 0

, λ3= 0 0 10 0 0

1 0 0

λ5=

0 0 −i0 0 0i 0 0

, λ6= 0 0 00 0 1

0 1 0

, λ7= 0 0 00 0 −i

0 i 0

, λ8=

1√3

0 00 1√

30

0 0 −2√3


L’algebra delle matrici λ di Gell-MannA

lgeb

ra [λa, λb] = 2i fabcλca, b, c = 1, . . . , 8

fabc , costante di struttura di SU(3),è un tensore totalmente antisimmetrico.

abc 123 147 156 246 257 345 367 458 678 111 . . . 888

fabc 112 -

12

12

12

12 -

12

√3

2

√3

2 0 . . . 0

Ant

icom

mut

ator

e

{λa, λb} =43δabI + 2dabcλc

a, b, c = 1, . . . , 8

Il tensore dabc è totalmente simmetrico,ha 16 componenti indipendenti.

abc 118 146 157 228 247 256 338 344dabc

1√3

12

12

1√3

- 1212

1√3

12

abc 355 366 377 448 558 668 778 888dabc

12 -

12 -

12−1

2√

3−1

2√

3−1

2√

3−1

2√

3−1√

3

Trac

ce

Tr (λa) = 0

Tr (λaλb) = 2δaba, b = 1, . . . , 8

Rel

azio

nedi

com

plet

ezza

Iij,kl =8∑

a=1

λaijλakl

2= −1

3δijδkl + δilδjk


Operatori di Casimir

Operatori di CasimirI Sono di ordine ≥ 2, nei generatori.I Commutano tra loro.I Commutano con tutti i generatori.I Sono proporzionali all’identità.

I Rango = numero di generatoriche commutano tra loro.

I Numero di operatori di Casimir= rango.

I Il rango di SU(n) èr [SU(n)] = n − 1.

Nel caso di SU(3), si hanno r [SU(3)] = 2 operatori di Casimir

Ord

ine

2

C2(RRR) I =8∑

a=1

F 2a (RRR)O

rdin

e3

C3(RRR) I =8∑

a,b,c=1

dabcFa(RRR)Fb(RRR)Fc(RRR)

Ad esempio, nel caso del momento angolare, ovvero con il gruppo di simmetria SU(2),si ha rango uguale a uno e quindi il solo operatore di Casimir del secondo ordine

C2(RRR) I =3∑

j=1

F 2j (RRR) ,

che rappresenta il modulo quadro del momento angolare.S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 9/29

Invarianti di CasimirI Gli stati di tripletto 3, dei quark, e antitripletto 3∗, degli antiquark, sono basi per

costruire le altre rappresentazioni irriducibili di SU(3).I Ogni rappresentazione può essere ottenuta come prodotto di p quark e q

antiquark, per opportuni valori di (p, q) ∈ N2 ∪ {0, 0}.I Ad esempio: 3 ∼ (1, 0), 3∗ ∼ (0, 1), 8 ∼ (1, 1),. . . .

La dimensione della rappresentazione RRR ∼ (p, q) è data da

d(p, q) =(d + 1)(q + 1)(d + q + 2)

2.

Le invarianti di Casimir della rappresentazione RRR ∼ (p, q) si SU(3) sono:

C2(RRR) =3p + 3q + p2 + q2 + pq

3, C3(RRR) =

(p − q)(2p + q + 3)(2q + p + 3)18

Ad esempio:

C2(3) = C2(3∗) = C2(1, 0) = C2(0, 1) =43.


Invarianti di Casimir e normalizzazioniDalla relazione di completezza si ha

8∑a=1

λaijλakl

2= −

13δijδkl + δilδjk =⇒

8∑a=1

3∑j=1

λaijλajl

4=

43δil = C2(3)δil

I La rappresentazione aggiunta di SU(3) ha dimensione 8, pari al numero digeneratori.

I I generatori di tale rappresentazione si ottengono dalla costante di struttura.(F a(8)

)bc = −i fabc , a, b, c = 1, . . . , 8 .

Dalla definizione di operatore di Casimir e C2(RRR) = C2(p, q) si ottiene la contrazione

8∑c,d=1

facd fbcd =8∑

c,d=1

(−ifcad )(−ifcdb) = C2(8)δab = C2(1, 1)δab = 3 δab


Alcune contrazioniDai risultati precedenti si ottengono due contrazioni tra matrici λutili per il calcolo delle ampiezze di diverse correzioni radiative.

8∑b,c=1

fabcλbλc =12

8∑b,c=1

fabc [λb, λc ] = i8∑

b,c,d=1

fabc fbcdλd = iC2(8)λa

8∑b=1

λbλaλb =12

8∑b=1

(λb[λa, λb]− [λa, λb]λb + λbλbλa + λaλbλb

)

=12

(4i

8∑b,c=1

λbλc fabc + 8C2(3)λa)

=12

(− 4C2(8)λa + 8C2(3)λa

)8∑

b=1

λbλaλb = 2(

2C2(3)− C2(8))λa


La lagrangiana generale di QCDLa più generale lagrangiana di QCD che sia invariante di gauge e rinormalizzabile.

Lgen = −14

ZF aµνFaµν + ψ

(α)L Z

αβL i /Dψ

(β)L + ψ

(α)R Z

αβR i /Dψ

(β)R

−ψ(α)L Mαβψ

(β)R − ψ

(α)R M

†αβψ(β)L +

g2364π2

θ �µνλσF aµνFaλσ

I ZL, ZR e M sono matrici 6× 6 nello spazio dei sapori, ZL e ZR sono hermitiane.I Il termine proporzionale al parametro θ, detto termine θ, contiene la

rappresentazione duale, F̃µν , del tensore della forza.

Riscaliamo i campi Aµ e l’accoppiamento g3. A′aµ = Z 1/2Aaµ g′3 = Z−1/2g3

Diagonalizziamo le matrici ZL,Re riscaliamo i campi ψL,R . ΛL,R = UL,RZL,RU

†L,R ψ

′L,R = Λ

1/2L,R UL,RψL,R

I termini di massa.

−ψ′(α)

L M′αβψ′

(β)R −ψ

′(α)R M′

†αβψ′(β)L

M′ = Λ−1/2L ULMU†RΛ−1/2R

la matrice M ′ può essere diagonalizzata attraversouna trasformazione unitaria del campo ψ′.


Il termine θ della QCDLa procedura di diagonalizzazione della matrice M′ per mezzo di unatrasformazione unitaria dei campi dei quark ψ′, genera un ulteriore termineproporzionale a �µνλσF aµνF aλσ e quindi una modifica del parametro θ.

θ → θ = θ + arg[det(M′)]

I I valori del parametro θ e della matrice M di Lgen sono arbitrari.I Non si ha alcuna cancellazione automatica che dia θ = 0.

Il termine θ può essere espresso come a quadri-divergenza di un vettore di Lorentz.

Lθ =g23

32π2θ ∂µKµ =

g2332π2

θ ∂µ

�µνλσ 8∑a=1

Aaν

F aλσ + g338∑

b,c=1

fabcAbλAcσ

I Il vettore Kµ è singolare all’infinito.I Si ha violazione di CP da due sorgenti indipendenti, la fase della matrice di

massa dei quark, M′, e il termine θ.I Questa violazione di CP non è osservata.

Momento di dipolo elettrico del neutronede(n) < 2.9 · 10−28 e m

(90% C.L.)⇒ θ < 5.8 · 10−11(90% C.L.)


Una lagrangiana di QCD operativa

Per ottenere le regole di Feynman della QCD è necessario definire unalagrangiana operativa, in cui i gradi di libertà della gauge siano fissati.

LQCD = −14

F aµνFaµν +

3∑j,k=1

ψj(i /D −m0 I

)jk ψk −

12ξ0

(∂µAµa

)2+∂µca∂µca + g3,0fabd A

µa (∂µcb) cd

I Le grandezze con pedice ”0” rappresentano le quantità ”nude”.I I campi ca(x), a = 1, . . . , 8, detti ghost fields, sono parte della procedura di

selezione della gauge per una simmetria non-abeliana.I Sono necessari, assieme al termine proporzionale a ξ−10 , per garantire

l’invarianza di Lorentz.I I campi ca(x) si accoppiano solo con i gluoni e si manifestano solo come stati

virtuali, non asintotici.I Ci sono schemi di selezione della gauge alternativi in cui i ghost fields non sono

presenti.


I vertici di Feynman della QCD

σ, d

ν, b

µ, a

λ, c

Vertice a quattro gluoni

−i g23,0[fabefcde

(gµλgνσ−gµσgνλ

)+facefbde (gµνgλσ−gµσgνλ)

+fadefcbe(gµλgνσ−gµνgλσ

)]Solo in QCD

λ, c

ν, bµ, a

t

qpVertice a tre gluoni

−g3,0fabc[gµν (p − q)λ + gνλ (q − t)µ + gλµ (t − p)ν

]Solo in QCD

α, jβ, k

µ, aVertice quark-gluone

−i g3,0 (γµ)αβ λajk/2

tcb

µ, a

Vertice ghost-gluone

−g3,0fabc tµ

Solo in QCD


Propagatori della QCD

α, jβ, k

pPropagatore dei quark

i δjk(/p + m0

)αβ

p2 −m20 + i�

µ, aν, b

qPropagatore dei gluoni

i δabq2 + i�

(−gµν + (1− ξ0)

qµqν

q2 + i�

)

ab

pPropagatore dei ghost

i δabp2 + i�


Costanti di rinormalizzazione

Invarianzadi gauge ⇒ I vertici della QCDcontengono la stessacostante di accoppiamento ⇒ Flavor independencedell’interazione forte

La struttura dell’interazione dipende dalla rappresentazione con cui i campi si trasformano

⇓

Costanti di rinormalizzazione della QCD

ψ = Z 1/22 ψ′

Aaµ = Z1/23 A

′aµ

ca = Z1/23 c

′a

ξ0 = Z3ξ

m0 = m − δm

g3,0 =Z1Z− 323 g3 =Z

12

4 Z−13 g3 =Z1F Z

−12 Z

− 123 g3 =Z 1Z

−13 Z

− 123 g3

Z4/Z1 = Z1/Z3 = Z 1/Z 3Come le indentitàdi Ward della QED

I I valori delle costanti di rinormalizzazione Z si ottengono dal calcolo dellecorrezioni ai vertici e ai propagatori.

I Ad esempio Z3 si ottiene dal self-energy del gluone, la sua parte divergentecancella i poli in �, dovuti all’integrazione d-dimensionale, � = (4− d)/2.


Propagatore del gluone (Z3)

β, b α, aiQabαβ = −

(ig32

)2 ∫ d4p(2π)4

Tr

[γα(λ

a)kji

/p − m + i�γβ (λ

b)jki

/p − /q − m + i�

]iQabαβ = iδ

ab(

qαqβ − gαβq2)( µ2−q2

)�nf

[g23

24π21

�+ . . .

]nf è il numerodi sapori

β, b α, aiGabαβ =

(−i)2

2

∫d4k

(2π)4

Nabαβ(k2 + i�

) [(q − k)2 + i�

]iQabαβ = −iδ

ab g23

16π2C2(8)

(µ2

−q2

)� (11

3qαqβ −

19

6gαβq

2)

1

2�+ . . .

Nabαβ fattori di vertice ggg.C2(8) è l’invariante di Casimir.

β, b α, aiFabαβ = −

∫d4k

(2π)4i

(k − q)2 + i�

[g3f

abc (k − q)β] i

k2 + i�

[g3f

acd kα]

iFabαβ = iδab g

23

16π2C2(8)

(µ2

−q2

)� (qαqβ − gαβq

2) 1

2�+ . . .

Πabαβ =Qabαβ+G

abαβ+F

abαβ = iδ

ab(qαqβ−gαβq2

) g2316π2

(µ2

−q2

)�(2nf3−

53

C2(8))

12�

+. . .

Rinormalizzazionea q2 = −µ2R

Z3 = 1−g23

8π2

(µ2

µ2R

)2� (2nf3−

53

C2(8))

12�

+O(g43 )


Vertice quark-gluoni (Z1F)Correzione del vertice quark-gluoni. −i

g32

Γaν(p1, p2) = −ig32γaν − ig3Λaν(p1, p2) + . . .

p1, α p2, β

q, ν

Il contributo fermionico ha la stessa forma della correzione di vertice della QED.

−ig3Laν (p1, p2) =

(−ig3

2

)3∫ d4k(2π)4

−igαβ

k2 + i�λ

bγα

i

/p2−/k−m+ i�λ

aγν

i

/p1−/k−m +i�λ

bγβ

Laν (p, p) =

(C2(3)−

C2(8)

2

)g23

8π21

2�

(µ2

−p2

)�λa

2γν + . . .

Contiene: λbλaλb .p = p1 = p2|p2| � m2

p1, α p2, β

q, ν

Il contributo dei due gluoni non ha controparte in QED.

−ig3Haν (p1, p2) = ifabcλ

aλ

b g33

4

×∫

d4k

(2π)4γβ(/k + m

)γα Pναβ (p1, p2, k)(

k2−m2 + i�) [

(p1 − k)2−m2 + i�] [

(p2 − k)2−m2 + i�]

Haν (p, p) =3

2C2(8)

g238π2

1

2�

(µ2

−p2

)�λa

2γν + . . .

Pναβ(p1, p2, k)dal vertice ggg

Correzione totale. Λaν (p, p) = Laν (p, p)+H

aν (p, p) =

λa

2γν (C2(3) + C2(8))

g238π2

(µ2

−p2

)�12�

+ . . .

Rinormalizzazionea q2 = −µ2R

Z1F = 1− (C2(3) + C2(8))g23

8π2

(µ2

µ2R

)�12�

+ . . .


Rinormalizzazione di g3,0 e libertà asintoticaLa libertà asintotica è una peculiarità della QCD.

L’accoppiamento g3(µR) decresce al crescere della scala di rinormalizzazione µR .

I Rinormalizzazione della costante di accoppiamento: g3,0 = Z1F Z−12 Z

−1/23 g3

I Rinormalizzazione del propagatore dei quark: Z2 = 1− C2(3)g23

8π2

(µ2

µ2R

)�1

2�+ . . .

Rinormalizzazionedella carica g3,0

Zg ≡ Z1F Z−12 Z−1/23 = 1−

g2316π2

(11−

2nf3

)(µ2

µ2R

)�12�

+ . . .

g3,0 non dipende dalla scala di rinormalizzazione µR :dg3,0

d ln(µR)=∂ (Zgg3)∂ ln(µR)

= 0

µR∂g3∂µR

=∂g3

∂ ln(µR)= −

g3Zg

∂Zg∂ ln(µR)

= −(

113

C2(8)−nf2

C2(3))

g3316π2

+O(

g53)Funzione β della QCD


La funzione β della QCD

βQCD = −(

11−2nf3

)g33

16π2+O

(g53)

= −β0g33

16π2+O

(g53)

I Il vuoto della QED si comporta come un mezzo con costante dielettrica�QED > 1.

I La generazione spontanea di coppie l+l− determina un effettodi schermo della carica.

I Il vuoto di QED è un mezzo diamagnetico, ha permeabilità magnetica:µQED < 1.

Nel vuoto di QCD le coppie qq̄ determinano un effetto di schermoal pari di l+l− in QED, amplificato dal numero di sapori nf .

L’effetto delle nf coppie qq̄, con nf ≤ 16. è sovrastato dal self-energy dei gluoni, che dá alla βQCD un contributo segno opposto.

Il vuoto di QCD si comporta come un mezzo paramagneticocon µQCD > 1 e ha un effetto di anti-schermo, �QCD < 1.


1Libertà asintotica nelle ampiezze 1PI

L’effetto della libertà asintotica è evidente nelle ampiezze 1PI rinormalizzate.

La funzione di Green rinormalizzata di un diagramma connesso con NF quark e NBgluoni, N = NF + NB , nello spazio delle coordinate, ha la forma

G̃(NF ,NB)({x}) = 〈0|T(ψ(x1) . . .A(xN )

)|0〉

Nello spazio dei momenti

(2π)4δ(4)(p1 + · · · pN )G(NF ,NB)({p}) =∫ N∏

k=1

(d4xk e−ipk ·xk

)G̃(NF ,NB)({x})

Per ottenere l’ampiezza 1PI, Γ(NF ,NB), dalla funzione di Green1PI nello spazio dei momenti, i propagatori delle linee esternedebbono essere rimossi

G(NF ,NB) =∏f1

D(pf1 )∏f2

S(pf2 )Γ(NF ,NB)

∏i1

D(pi1 )∏i2

S(pi2 )

I D(p) e S(p) sono i propagatori dei gluoni e dei quark esterni.I pf1,f2 i momenti finali, pi1,i2 quelli finali, dei gluoni e dei quark rispettivamente.


2Libertà asintotica nelle ampiezze 1PILe relazioni tra quantità nude, G(NF ,NB)0 , D0, S0, Γ

(NF ,NB)0 , indipendenti dalla scala di

rinormalizzazione µR , e quelle rinormalizzate sono

G(NF ,NB) = Z NF/22 ZNB/23 G

(NF ,NB)0 D = Z

−13 D0 S = Z

−12 S0

Γ(NF ,NB) = Z NF/22 ZNB/23 Γ

(NF ,NB)0

Γ(NF ,NB)0 = Z

−NF/22 (µR)Z

−NB/23 (µR)Γ

(NF ,NB)({p}, g3(µR),m(µR), ξ(µR);µR)

Non dipende dalla scala di rinormalizzazione µR

La risposta della funzione di Green alla trasformazione di scala {p} → {λp}, si evinceda considerazioni dimensionali e, omettendo la dipendenza da m(µR) e ξ(µR), si ha

G(NF ,NB)({λp}, g3(µR);µr ) = λ4−NB−3NF/2G(NF ,NB)({p}, g3(µR);µr/λ)

La presenza della scala di rinormalizzazione µR determina unadipendenza implicita di G(NF ,NB) dal fattore di scala λ.


3Libertà asintotica nelle ampiezze 1PIIl cambiamento di scala per l’ampiezza 1PI dà lo stesso effetto che si ha per G(NF ,NB)

Γ(NF ,NB)({λp}, g3(µR);µr ) = λ4−NB−3NF/2Γ(NF ,NB)({p}, g3(µR);µr/λ)

sfruttando l’indipendenza da µr della combinazione Z−NF/22 Z

−NB/23 Γ

(NF ,NB)

Γ(NF ,NB)({λp}, g3(µR);µr ) = λ4−NB−3NF/2(

Z3(λµR)Z3(µR)

)−NB/2 (Z2(λµR)Z2(µR)

)−NF/2×Γ(NF ,NB)({p}, g3(λµR);µr )

La derivata rispetto a λ valutata in λ = 1 dà unaequazione differenziale del gruppo di rinormalizzazione. N∑

k=1

pk∂

∂pk+ NB (1 + γB) + NF

(32

+ γF

)− 4− βQCD

∂

∂g3

Γ(NF ,NB) = 0

γF =12∂ ln(Z2)∂ ln(µR)

γB =12∂ ln(Z3)∂ ln(µR)

γF e γB sono le dimensioni anomaledei campi fermionici e bosonici.


4Libertà asintotica nelle ampiezze 1PILa soluzione dell’equazione del gruppo di rinormalizzazione è

Γ({et p}, g3(µR);µR) =

et(

4−NB−3NF

2

)exp[−∫ t

0dt ′[NBγB(g3(t

′))+NFγF (g3(t′))]]

Γ({p}, g3(t);µr )

g3(t) è la running coupling constant

∂g3∂t

= βQCD(g3) g3(0) = g3

I Il comportamento dell’ampiezza 1PI ha, in aggiunta alla dimensione dei campi,le dimensioni anomale.

I La costante di interazione da cui dipende l’ampiezza con i momenti ”scalati” nonè il valore costante g3, ma la running coupling constant g3(t), decrescente alcrescere del momento.

αS(q2) =

4π11− 2nf /3

1ln(q2/Λ2QCD)

+ . . . αS(q2) =

g23(q2)

4π

Λ è l’energia a cui ḡ3 diverge e nf = numero di sapori dei quark con massa <√

q2.


Libertà asintotica e confinamentoAl diminuire di q2, l’espansione perturbativa di βQCD diventa sempre meno accurata equindi perde significato anche la definizione

αS(q2) =

4π11− 2nf /3

1ln(q2/Λ2QCD)

+ . . .

I Per αS(q2) si usa spesso l’ipotesi di lavoro non dimostrata secondo cui ci siauna divergenza nel limite q2 → 0.

I Tale divergenza giustificherebbe il fenomeno del confinamento.

I La complessità della QCD in regime di bassa energia (rispetto alla scala ΛQCD)rende impossibile una risoluzione analitica della teoria.

I Si hanno tecniche alternative: soluzioni numeriche (calcoli su reticolo), studifenomenologici, approssimazione Nc →∞, ecc..

I Il valore di αS(q2) può essere ottenuto sperimentalmente sfruttando processiche avvengano ad energie a cui la QCD possa essere considerata perturbativa.

I In ogni caso, ad un certo ordine della teoria, si avrà sempre la dipendenza daΛQCD , i cui valori vengono stimati anche in funzione del numero di sapori nf .


Alcune misure


Correzioni di ordine superioreI calcoli analitici di αS(µ) sono stati fatti fino all’ordine dei quattro loop.

I risultati sono dati in forma di serie della funzione beta.

∂aS∂ ln(µ2)

= −β0a2S − β1a3S − β2a

4S − β3a

5S + . . . aS ≡

αS4π

β0 ' 11− 0.66667 nfβ1 ' 102− 12.66667 nfβ2 ' 1428.50− 279.61 nf + 6.01852 n2fβ3 ' 29243.0− 6946.30 nf + 405.089 n2f + 1.49931 n

3f

L’espressione di αS a quattro loop, posto t ≡ ln(µ2R/Λ2QCD), è

αS (µ2R ) '

4π

β0t

[1−

β1

β20

ln(t)

t+β1(

ln2(t)− ln(t)− 1)

β4t2

+β1(

ln3(t)− 5 ln2(t)/2− 2 ln(t) + 1/2)

3β0β1β2 ln(t)− β20β3/2

β60 t3

]

αS(mb) ' 0.2266 αS(MZ ) ' 0.1184 αS(MH ) ' 0.1129


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