Kurt Gödel (1906-1978)

Kurt con madre, padre e fratello nel 1910

Il fratello e Kurt (1910)

Kurt e sua moglie Adele il giorno delle nozze Vienna 1938

Tarski e Gödel a Vienna nel 1935

Einstein e Gödel

Gödel e Einstein a Princeton nel 1954

Ancora Gödel e Einstein

Einstein e Gödel sulla via del ritorno a casa dall’IAS di Princeton

Film I.Q. Think Love (1994) in cui compaiono come personaggi Einstein e Gödel

Il titolo dell’articolo di Gödel del 1931

L’enunciato del primo teorema di incompletezza

L’enunciato del secondo teorema di incompletezza

Hans Magnus Enzensberger , Omaggio a GödelIl teorema di Münchausen(cavallo, palude e capelli)è delizioso, ma non dimenticare:Münchausen era un bugiardo.

Il teorema di Gödel sembra a prima vistapiuttosto insignificante, ma ricorda:Gödel ha ragione.

"In ogni sistema sufficientemente ricco si possono formulare proposizioni che all'interno del sistema stessonon si possono né provare né refutare, a meno che il sistemanon sia incoerente".

Si può descrivere il linguaggionel linguaggio stesso:in parte, ma non completamente.Si puo indagare il cervello col cervello stesso: in parte, ma non completamente. E così via.

Per giustificare se stessoogni possibile sistemadeve trascendersie quindi distruggersi.

Essere "sufficientemente" ricco o no:la coerenza èo un difettoo una impossibilità.

(Certezza = Incoerenza)

Ogni possibile cavaliere,quale Münchauseno te stesso, è un sottosistemadi una palude sufficientemente ricca.

E un sottosistema di questo sottosistemasono i tuoi capelli,per cui ti tiranoriformisti e bugiardi.

In ogni sistema sufficientemente ricco,quindi anche nella nostra paludesi possono formulare proposizioniche all'interno del sistema stessonon si possono né provare né refutare.

Afferra queste proposizioni,e tira!

W. Sieg & C. Field, Dimostrazione automatica del primo teorema di incompletezza di Gödel

W. Sieg & C. Field, Dimostrazione automatica del secondo teorema di incompletezza di Gödel

Linguaggio universale

• Leibniz e Frege: Esiste un liguaggio universale capace di esprimere tutti i concetti matematici

• Teorema di indefinibilità di Tarski (1936): Un tale linguaggio universale non può esistere.

• Il concetto di ‘verità matematica’ fornisce un esempio di concetto che non potrebbe essere espresso in quel linguaggio

Metodo di decisione universale

• Leibniz-Hilbert: Esiste un algoritmo che permette di decidere qualsiasi problema a partire dai dati, cioè permette di stabilire se il problema è solubile o insolubile in base ai dati disponibili (per es., in base agli assiomi adottati).

• Teorema di indecidibilità di Gödel (1931): Un tale algoritmo non può esistere.

• In ogni sistema formale che soddisfi certe condizioni minime vi sono proposizioni dell’aritmetica che non sono decise dagli assiomi.

Wir müssen wissen, wir werden wissenNoi dobbiamo sapere, noi sapremo

L’ideale della purezza dei metodi

• Hilbert: Gli assiomi di una teoria devono essere sufficienti per dimostrare tutte le proposizioni vere di quella teoria.

• Primo teorema di incompletezza di Gödel (1931): Un tale ideale non può essere soddisfatto.

• In ogni sistema formale che soddisfi certi requisiti minimi vi sono proposizioni vere dell’aritmetica che non sono deducibili dagli assiomi.

Paradosso di Russell (1902)

• Moltissimi insiemi non sono membri di se stessi. Per esempio l’insieme dei gatti non è un gatto.

• Sia R l’insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di se stessi.

• Domanda: R è un membro di sé stesso? Entrambe le risposte sono impossibili.

• R è un membro di se stesso: questo è impossibile perché per definizione R ha per membri solo insiemi che non sono membri di se stessi.

• R non è un membro di se stesso: questo è impossibile perché per definizione R ha oer membri tutti gli insiemi che non sono membri di se stessi.

La matematica è certa perché si può dimostrare che è logica

• Frege: Esiste un sistema formale contenente solo assiomi logici in cui si possono dimostrare tutte le verità dell’aritmetica.

• Primo teorema di incompletezza di Gödel (1931): Un tale sistema non può esistere.

• Supponiamo che esista.

• Allora esisteranno verità dell’aritmetica non dimostrabili nel sistema.

• Contraddizione.

La matematica è certa perché si può dimostrare che è coerente

• Hilbert: Si può dimostrare con metodi assolutamente sicuri che la teoria degli insiemi è coerente (cioè in essa non si possono dedurre contraddizioni).

• Secondo teorema di incompletezza di Gödel (1931): Questo non è possibile.

• Non si può dimostrare che la teoria degli insiemi è coerente neppure con i metodi della teoria degli insiemi.

Esistono criteri certi di scelta degli assiomi

• Tali criteri non esistono.

• Secondo teorema di incompletezza nella versione di Jech (1994): Non si può dimostrare nella teoria degli insiemi che gli assiomi della teoria degli insiemi sono veri.

• Secondo teorema di incompletezza nell versione di Gödel (1931): Non si può dimostrare nella teoria degli insiemi neppure che gli assiomi della teoria degli insiemi sono coerenti.

La logica è lo studio della deduzione

• Frege: Esiste un sistema di assiomi logici da cui si possono dedurre tutte le verità logiche.

• Teorema di incompletezza della logica del secondo ordine (Tarski 1936 + categoricità degli assiomi di Peano del secondo ordine): Un tale sistema non può esistere.

• Non può esistere alcun insieme di assiomi logici che soddisfi certi requisiti minimi, il quale permetta di dedurre tutte le verità logiche.

• Dunque la deduzione è incapace di esaurire le verità logiche.