Numeri Complessi

√-1=i

2 1 0x

8

4916

3 8

Unità immaginaria

2 6 11 0x x

2 4 29 0x x

2 21 2( 2)( 2) 2( 1)

5 5x x x x

2 10

2x x

Applicazioni dei numeri complessi

Matematica

Fisica

Ingegneria elettronica e delle telecomunicazioni

Matematica

Risoluzione equazioni di terzo grado

3 2 3 2

3 3

2 3 2 2 3 2

q p q q p qx

3 0x px q

La formula di Cardano esprime la soluzione servendosi di radici quadrate di numeri negativi

anche quando la soluzione è un numero reale.

Ad esempio x = 4 è soluzione di 4153 xx

Tramite la formula di Cardano si ha :

3 32 121 2 121x

Fisica

Unificazione delle grandezze descriventi le proprietà dei circuiti a corrente alternata.

L’impedenza è data dalla formula

12

2z R fL i

fC

Telecomunicazioni

Semplifica la descrizione dei segnali (onde)

Gli immaginari I

ai, aR

I complessi C

a+ib, a,bR

CR I0

I complessi

a+ib, a,bR

Parte realeRe (a+ib)=a

Parte immaginariaIm (a+ib)=b

Uguaglianza

(a+ib)=(c+id) a=c b=d

Complesso coniugato

a+ib a-ib

Rappresentazione grafica

a+ib (a, b)

a

b

R

I

Piano di Gauss

bρ

2 2a b

Somma

(a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d)

Proprietà della somma

•Commutativa

•Associativa

•Esistenza elemento neutro

•Esistenza opposto a+ib -a-ib = -(a+ib)

Sottrazione

(a+ib)-(c+id) = (a+ib)+(-c-id)

Moltiplicazione

(a+ib)x(c+id) = (ac-bd)+i(cb+ad)

Proprietà della moltiplicazione

•Commutativa

•Associativa

•Esistenza elemento neutro 1

•Esistenza inverso

Prodotto e somma

•Distributiva

•Esistenza inverso

Inverso

(a+ib)x(c+id) = 1

1

a ib

2 2

1 1 a ib a ib

a ib a ib a ib a b

Divisione

2 2

1( ) : ( ) ( ) ( )

c ida ib c id a ib a ib

c id c d

Elevamento a potenza

(a+ib)n

i0=1

i1=i

i2=-1

i3=-i

i4=1

i5=i

…

in=ir

dove r è il resto della divisione di n per 4

Posso definire una relazione d’ordine?

R

I

Ma in C i2 = -1 < 0

NON posso definire una relazione d’ordine

Se potessi definire in C una relazione d’ordine, come in R, aC, a2 > 0

2(2 5 ) (2 )(1 3 ) 1

7

i i i

i

3(1 2 ) (2 5 )(1 3 )

4 4

i i i

i

3 2(2 3 ) (3 4 ) (2 3 )(2 3 ) 1

7 3

i i i i

i